Як вирахувати відстань від точки до прямої. Найпростіші завдання з прямою на площині

Формула для обчислення відстані від точки до прямої на площині

Якщо задано рівняння прямої Ax + By + C = 0, то відстань від точки M(M x , M y) до прямої можна знайти, використовуючи таку формулу

Приклади завдань на обчислення відстані від точки до прямої на площині

приклад 1.

Знайти відстань між прямою 3x + 4y - 6 = 0 та точкою M(-1, 3).

Рішення.Підставимо у формулу коефіцієнти прямої та координати точки

Відповідь:відстань від точки до прямої дорівнює 0.6.

рівняння площини перпендикулярно вектору, що проходить через точки Загальне рівняння площини

Ненульовий вектор , перпендикулярний заданій площині, називається нормальним вектором (або, коротше, нормаллю ) для цієї площини.

Нехай у координатному просторі (у прямокутній системі координат) задані:

а) точка ;

б) ненульовий вектор (рис.4.8 а).

Потрібно скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору Кінець підтвердження.

Розглянемо тепер різні типирівнянь прямої на площині.

1) Загальне рівняння площиниP .

З висновку рівняння випливає, що одночасно A, Bі Cне рівні 0 (поясніть чому).

Крапка належить площині Pтільки у тому випадку, коли її координати задовольняють рівняння площини. Залежно від коефіцієнтів A, B, Cі Dплощина Pзаймає те чи інше становище:

‑ площина проходить через початок системи координат, ‑ площина не проходить через початок системи координат,

‑ площина паралельна осі X,

X,

‑ площина паралельна осі Y,

‑ площина не паралельна осі Y,

‑ площина паралельна осі Z,

‑ площина не паралельна осі Z.

Доведіть ці твердження самостійно.

Рівняння (6) легко виводиться із рівняння (5). Справді, нехай точка лежить на площині P. Тоді її координати задовольняють рівняння Віднімаючи з рівняння (5) рівняння (7) і групуючи доданки, отримаємо рівняння (6). Розглянемо тепер два вектори з координатами відповідно. З формули (6) випливає, що їх скалярний добуток дорівнює нулю. Отже, вектор перпендикулярний вектору Початок і кінець останнього вектора знаходяться відповідно у точках які належать P. Отже, вектор перпендикулярний площині. P. Відстань від точки до площини P, загальне рівняння якої визначається за формулою Доказ цієї формули повністю аналогічний доказу формули відстані між точкою та прямою (див. рис. 2).
Мал. 2. До висновку формули відстані між площиною та прямою.

Справді, відстань dміж прямою і площиною одно

де - точка лежача на площині. Звідси, як і в лекції № 11, виходить вище наведена формула. Дві площини паралельні, якщо паралельні їхнім нормальним векторам. Звідси отримуємо умову паралельності двох площин ‑ коефіцієнти загальних рівняньплощин. Дві площини перпендикулярні, якщо перпендикулярні їх нормальні вектори, звідси отримуємо умову перпендикулярності двох площин, якщо відомі їх загальні рівняння

Кут fміж двома площинами дорівнює кутуміж їх нормальними векторами (див. рис. 3) і може, тому, бути обчислений за формулою
Визначення кута між площинами.

(11)

Відстань від точки до площини та способи її знаходження

Відстань від точки до площині- Довжина перпендикуляра, опущеного з точки на цю площину. Існує принаймні два способи знайти відстань від точки до площини: геометричнийі алгебраїчний.

При геометричному способіпотрібно спочатку зрозуміти, як розташований перпендикуляр з точки на площину: може він лежить в якійсь зручній площині, є висотою в якійсь зручному (або не дуже) трикутнику, а може цей перпендикуляр взагалі є висотою в якійсь піраміді.

Після цього першого і найскладнішого етапу завдання розпадається на кілька конкретних планиметричних завдань (можливо, у різних площинах).

При алгебраїчному способіЩоб знайти відстань від точки до площині, потрібно ввести систему координат, знайти координати точки і рівняння площини, і після цього застосувати формулу відстані від точки до площини.

О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знакПеретин, він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , а з другого рівняння: , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичні завданняможна використовувати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

Приклад 1

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:

Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо із співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішення, краще закладемо ще одну важливу цеглу в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цієї найпростішого завданнясуворо карає Соловей-Розбійник.

Приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Існує раціональний і не дуже раціональний спосібрішення. Самий короткий шлях- Наприкінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам з шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний змістсистеми двох лінійних рівняньз двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний

Графічний спосібполягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівняньіз двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?

Відповідь:

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Приклад 5

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішенняі відповідь наприкінці уроку:

Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типової та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?

Приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.

Аналітична перевіркарішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори та за допомогою скалярного твору векторівприходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Наша захоплююча подорож продовжується:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою"ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатий папіру масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення із проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:


У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннямив загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Саме пильну увагузвернемо на знаменник – це точно скалярний добутокнапрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний добутокнапрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функціїлегко знайти й сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .

155*. Визначити натуральну величину відрізка АВ прямого загального стану (рис. 153 а).

Рішення. Як відомо, проекція відрізка прямої на будь-якій площині дорівнює самому відрізку (з урахуванням масштабу креслення), якщо він паралельний цій площині

(Рис. 153, б). З цього випливає, що шляхом перетворення креслення треба досягти паралельності даного відрізка пл. V чи пл. Н або доповнити систему V, Н ще однією площиною, перпендикулярною до пл. V або пл. H і в той же час паралельний даному відрізку.

На рис. 153, показано введення додаткової площини S, перпендикулярної до пл. H і паралельному заданому відрізку АВ.

Проекція asbs дорівнює натуральній величині відрізка AB.

На рис. 153 г показаний інший прийом: відрізок АВ повернутий навколо прямої, що проходить через точку В і перпендикулярної до пл. Н, до положення, паралельного

пл. V. При цьому точка залишається на місці, а точка А займає нове положення А 1 . У новому положенні обрій. проекція а 1 b | осі х. Проекція a"1b" дорівнює натуральній величині відрізка АВ.

156. Дана піраміда SABC D (рис. 154). Визначити натуральну величину ребер піраміди AS та CS, використовуючи спосіб зміни площин проекцій, і ребер BS та DS, використовуючи спосіб обертання, причому взяти вісь обертання перпендикулярно пл. H.

157*. Визначити відстань від точки А до прямої ПС (рис. 155, а).

Рішення. Відстань від точки до прямої вимірюється відрізком перпендикуляра, проведеного з точки на пряму.

Якщо пряма перпендикулярна до будь-якої площини (рис. 155,6), то відстань від точки до прямої вимірюється відстанню між проекцією точки і точкою-проекцієюпрямий на цій площині. Якщо пряма займає у системі V, H загальне становище, Те, щоб визначити відстань від точки до прямої способом зміни площин проекцій, треба ввести в систему V, H ще дві додаткові площини.

Спочатку (рис. 155, в) вводимо пл. S, паралельну відрізкуНД (нова вісь S/H паралельна проекції bс), і будуємо проекції b s c s і a s . Потім (рис. 155 г) вводимо ще пл. Т, перпендикулярну до прямої ВС (нова вісь T/S перпендикулярна b s s). Будуємо проекції прямої та точки - з t (b t) та a t. Відстань між точками a t і t (b t) дорівнює відстані l від точки А до прямої ВС.

На рис. 155, ця ж задача виконана за допомогою способу обертання в тій його формі, яку називають способом паралельного переміщення. Спочатку пряму ВС і точку А, зберігаючи незмінним їхнє взаємне положення, повертаємо навколо деякої (не позначеної на кресленні) прямої, перпендикулярної до пл. H, так, щоб пряма НД розташувалася паралельно пл. V. Це рівносильно переміщенню точок А, В, С у площинах, паралельних пл. H. При цьому обрій. проекція заданої системи(BC + A) не змінюється ні за величиною, ні за конфігурацією, лише змінюється її положення щодо осі х. Маємо горизонт. проекцію прямої ВС паралельно осі х (положення b 1 c 1) і визначаємо проекцію a 1 відкладаючи c 1 1 1 = с-1 і а 1 1 1 = а-1, причому a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1 . Провівши прямі b"b" 1 , a"a" 1 , з "с" 1 паралельно осі х, знаходимо на них фронт. проекції b" 1 ,а" 1 , с" 1 . Далі, переміщуємо точки В 1 , С 1 і A 1 у площинах, паралельних пл. V (також не змінюючи їх взаємного розташування), так, щоб отримати В 2 С 2 ⊥ пл.H. При цьому фронту проекція прямої розташується перпендикулярно до осі x,b 2 c" 2 = b" 1 с" 1 , а для побудов проекції а" 2 треба взяти b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 провести 2"a" 2 ⊥ b" 2 с" 2 і відкласти а" 2 2" 2 = а "1 2" 1 . Тепер, провівши з 1 з 2 та а 1 а 2 || х 1 отримаємо проекції b 2 з 2 і а 2 і відстань l від точки А до прямої ВС. Визначити відстань від А до НД можна, повернувши площину, що визначається точкою А і прямою НД, навколо горизонталі цієї площини до положення Т || пл. H (рис. 155, е).

У площині, що задається точкою А і прямою ПС, проводимо горизонталь А-1 (рис. 155, ж) і повертаємо навколо неї точку В. Точка переміщається в пл. R (заданої на кресленні слідом R h), перпендикулярної А-1; у точці Про знаходиться центр обертання точки В. Визначаємо тепер натуральну величину радіуса обертання ВО (рис. 155, в). У необхідному положенні, тобто коли пл. Т, що визначається точкою А та прямою ВС, стане || пл. H, точка В вийде на R h на відстані Оb 1 від точки О (можливо й інше положення на тому ж сліді R h але по іншу сторону від О). Крапка b 1 – це горизонт. проекція точки після переміщення її в положення В 1 в просторі, коли площина, яка визначається точкою А і прямою ВС, зайняла положення Т.

Провівши (рис. 155 і) пряму b 1 1, отримуємо горизонт. проекцію прямої ЗС, вже розташованої || пл. H в одній площині з А. У цьому положенні відстань а до b 1 1 дорівнює шуканій відстані l. Площина Р, у якій лежать задані елементи, можна поєднати з пл. H (рис. 155, к), повернувши пл. Р навколо неї обрій. сліду. Перейшовши від завдання площини точкою А та прямою ВС до завдання прямими ВС та А-1 (рис. 155, л), знаходимо сліди цих прямих і проводимо через них сліди Р і P h . Будуємо (рис. 155, м) поєднане з пл. H становище фронт. сліду - P ϑ0.

Через точку проводимо горизонт. проекцію фронталі; суміщена фронталь проходить через точку 2 на сліді Р h паралельно Р ϑ0 . Точка А 0 - суміщена з пл. H положення точки А. Аналогічно знаходимо точку 0 . Пряма НД у поєднаному з пл. H положенні проходить через точку 0 і точку m (горизонт. слід прямий).

Відстань від точки A 0 до прямої 0 С 0 дорівнює шуканій відстані l.

Можна виконати вказана побудова, Знайшовши тільки один слід Р h (рис. 155, н і о). Вся побудова аналогічна повороту навколо горизонталі (див. рис. 155 ж, в, і): слід Р h - це одна з горизонталів пл. Р.

З наведених на вирішення цього завдання способів перетворення креслення кращим є спосіб обертання навколо горизонталі чи фронталі.

158. Дано піраміду SABC (рис. 156). Визначити відстані:

а) від вершини підстави до його боку АС способом паралельного переміщення;

б) від вершини S піраміди до сторін ВС та АВ основи способом обертання навколо горизонталі;

в) від вершини S до сторони АС підстави способом зміни площин проекцій.

159. Дана призма (рис. 157). Визначити відстані:

а) між ребрами AD та CF способом зміни площин проекцій;

б) між ребрами BE та CF обертанням навколо фронталі;

в) між ребрами AD та BE способом паралельного переміщення.

160. Визначити натуральну величину чотирикутника ABCD (рис. 158) суміщенням із пл. М. Користуватися лише горизонтальним слідом площини.

161*. Визначити відстань між прямими АВ і CD, що схрещуються, (рис. 159, а) і побудувати проекції спільного до них перпендикуляра.

Рішення. Відстань між схрещувальними прямими вимірюється відрізком (MN) перпендикуляра до обох прямих (рис. 159, б). Очевидно, якщо одну з прямих розташувати перпендикулярно до будь-якої пл. Т, то

відрізок MN перпендикуляра до обох прямих виявиться паралельним пл. Т нього проекція на цій площині відобразить відстань, яку шукає. Проекція прямого кутаменаду MN н АВ на пл. Т виявляється також прямим кутом між m t n t і а t b t так як одна зі сторін прямого кута AMN, а саме MN. паралельна пл. Т.

На рис. 159, і г шукана відстань l визначено способом зміни площин проекцій. Спочатку вводимо додаткову пл. проекцій S, перпендикулярну до пл. H та паралельну прямий CD (рис. 159, в). Потім вводимо ще одну додаткову пл. Т, перпендикулярну до пл. S і перпендикулярну до тієї ж прямої CD (рис. 159 г). Тепер можна побудувати проекцію загального перпендикуляра, провівши m t n t з точки c t (d t) перпендикулярно до проекції a t b t . Точки m t і nt - проекції точок перетину цього перпендикуляра з прямими АВ і CD. По точці m t (рис. 159, д) знаходимо m s на a s b s: проекція m s ns має бути паралельна осі Т/S. Далі, по ms і ns знаходимо m і n на ab і cd, а по них m" і n" на а"b" і c"d".

На рис. 159, показано рішення цієї задачі за способом паралельного переміщень. Спочатку ставимо пряму CD паралельно до пл. V: проекція з 1 d 1 || х. Далі переміщуємо прямі CD і АВ з положень C 1 D 1 і А 1 В 1 положення С 2 B 2 і А 2 В 2 так, щоб С 2 D 2 розташувалася перпендикулярно Н: проекція з "2 d" 2 ⊥ х. Відрізок шуканого перпендикуляра розташовується | пл. H, і, отже, m 2 n 2 виражає відстань l між АВ і CD. Знаходимо положення проекцій m" 2 і n" 2 на а" 2 b" 2 і c" 2 d" 2 потім проекцій і m 1 і m" 1 , n 1 і n" 1 , нарешті, проекцій m" і n ", m та n.

162. Дано піраміду SABC (рис. 160). Визначити відстань між ребром SB та стороною АС основи піраміди та побудувати проекції загального перпендикуляра до SB та АС, застосувавши спосіб зміни площин проекцій.

163. Дано піраміду SABC (рис. 161). Визначити відстань між ребром SH та стороною ВС основи піраміди та побудувати проекції загального перпендикуляра до SX та ВС, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

164*. Визначити відстань від точки А до площини у випадках, коли задана площина: а) трикутником BCD (рис. 162, а); б) слідами (рис. 162, б).

Рішення. Як відомо, відстань від точки до площини вимірюється величиною перпендикуляра, проведеного з точки на площину. Ця відстань проектується на якусь пл. проекцій у натуральну величину, якщо дана площина перпендикулярна до пл. проекцій (рис. 162, в). Досягти такого положення можна, перетворюючи креслення, наприклад, способом зміни пл. проекцій. Введемо пл. S (рис. 16ц, г), перпендикулярну до пл. трикутник BCD. Для цього проводимо у пл. трикутника горизонталь В-1 і маємо вісь проекцій S перпендикулярно до проекції b-1 горизонталі. Будуємо проекції точки та площини - а s та відрізок c s d s . Відстань від a s до c s d s дорівнює пошуковій відстані l точки до площини.

На Ріо. 162, д застосований спосіб паралельного переміщення. Переміщуємо всю систему до тих пір, поки горизонталь В-1 площини не стане перпендикулярна до площини V: проекція b 1 1 має бути перпендикулярна до осі x. У цьому положенні площина трикутника стане фронтально-проецірующей, і відстань l від точки А до неї вийде пл. V без спотворення.

На рис. 162 б площина задана слідами. Вводимо (рис. 162, е) додаткову пл. S, перпендикулярну до пл. P: вісь S/Н перпендикулярна Р h . Подальше зрозуміло з креслення. На рис. 162 ж завдання вирішена за допомогою одного переміщення: пл. Р перетворюється на становище Р 1 , т. е. стає фронтально-проецирующей. Слід. Р 1h перпендикулярний до осі х. Будуємо у цьому положенні площині фронт. слід горизонталі - точку n" 1 ,n 1 . Слід P 1ϑ пройде через Р 1x і n 1 . Відстань від a" 1 до Р 1ϑ дорівнює шуканій відстані l.

165. Дано піраміду SABC (див. рис. 160). Визначити відстань від точки до грані SBC піраміди, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

166. Дано піраміду SABC (див. рис. 161). Визначити висоту піраміди, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

167*. Визначити відстань між прямими АВ і CD, що схрещуються, (див. рис. 159,а) як відстань між паралельними площинами, проведеними через ці прямі.

Рішення. На рис. 163 а показані паралельні між собою площини Р і Q, з яких пл. Q проведена через CD паралельно АВ, пл. Р - через АВ паралельно пл. Q. Відстань між такими площинами і вважається відстанню між прямими АВ і CD, що схрещуються. Однак можна обмежитися побудовою тільки однієї площини, наприклад, Q, паралельно АВ, а потім визначити відстань хоча б від точки А до цієї площини.

На рис. 163 показана площина Q, проведена через CD паралельно АВ; у проекціях проведено "е" || а"b" і се || аb. Застосовуючи спосіб зміни пл. проекцій (рис. 163, в), введемо додаткову пл. S, перпендикулярну до пл. V і в той же час

перпендикулярну до пл. Q. Щоб провести вісь S/V, беремо у цій площині фронталь D-1. Тепер проводимо S/V перпендикулярно до "1" (рис. 163, в). Пл. Q зобразиться на пл. S у вигляді прямої з s d s . Решта ясно з креслення.

168. Дано піраміду SABC (див. рис, 160). Визначити відстань між ребрами SC та AB. Застосувати: 1) спосіб зміни пл. проекцій; 2) спосіб паралельного переміщення.

169*. Визначити відстань між паралельними площинами, з яких одна задана прямими АВ та АС, а інша – прямими DE та DF (рис. 164, а). Виконати також побудову випадку, коли площині задані слідами (рис. 164, б).

Рішення. Відстань (рис. 164, в) між паралельними площинами можна визначити, провівши перпендикуляр із будь-якої точки однієї площини на іншу площину. На рис. 164 г введена додаткова пл. S перпендикулярно пл. Н і до обох даних площин. Вісь S.H перпендикулярна до горизонту. проекції горизонталі, проведеної в одній із площин. Будуємо проекцію цієї площини та точки В іншій площині на пл. 5. Відстань точки d s до прямої l s a s дорівнює пошуку відстані між паралельними площинами.

На рис. 164, д дана інша побудова (за способом паралельного переміщення). Для того щоб площина, виражена прямими АВ і АС, що перетинаються, виявилася перпендикулярна до пл. V, горизонт. проекцію горизонталі цієї площини ставимо перпендикулярно до осі х: 1 1 2 1 ⊥ х. Відстань між фронтом. проекцією d" 1 точки D і прямий а" 1 2" 1 (фронт. проекцією площини) дорівнює шуканій відстані між площинами.

На рис. 164, е показано введення додаткової пл. S, перпендикулярної до пл.H і даних площин Р і Q (вісь S/H перпендикулярна до слідів Р h , і Q h). Будуємо сліди Р s і Q s . Відстань між ними (див. рис. 164, в) дорівнює шуканій відстані l між площинами Р і Q.

На рис. 164 ж показано переміщення площин Р 1 н Q 1 в положення P 1 і Q 1 коли горизонт. сліди виявляються перпендикулярними до осі x. Відстань між новим фронтом. слідами P 1 і Q 1 дорівнює шуканій відстані l.

170. Даний паралелепіпед ABCDEFGH (рис. 165). Визначити відстані: а) між основами паралелепіпеда - l 1 ; б) між гранями ABFE та DCGH - l 2 ; в) між гранями ADHE та BCGF-l 3 .

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. У нарисної геометріївона визначається графічним шляхом за наведеним нижче алгоритмом.

Алгоритм

1. Пряму переводять у положення, в якому вона буде паралельна будь-якій площині проекції. Для цього застосовують методи перетворення ортогональних проекцій.
2. З точки проводять перпендикуляр до прямої. В основі даної побудовилежить теорема про проектування прямого кута.
3. Довжина перпендикуляра визначається шляхом перетворення його проекцій або за допомогою способу прямокутного трикутника.

На наступному малюнку представлено комплексне кресленняточки M та прямий b, заданої відрізком CD. Потрібно знайти відстань між ними.

Згідно з нашим алгоритмом, перше, що необхідно зробити, це перевести пряму в положення, паралельне площиніпроекції. При цьому важливо розуміти, що після проведених перетворень фактична відстань між точкою та прямою не повинна змінитися. Саме тому тут зручно використовувати метод заміни площин, який передбачає переміщення фігур у просторі.

Результати першого етапу побудов показані нижче. На малюнку видно, як паралельно введена додаткова фронтальна площина П 4 . У новій системі(П 1 , П 4) точки C"" 1 , D" " 1 , M"" 1 знаходяться на тому ж віддаленні від осі X 1 , що і C"", D"", M"" від осі X.

Виконуючи другу частину алгоритму, з M"" 1 опускаємо перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на пряму b"" 1 оскільки прямий кут MND між b і MN проектується на площину П 4 в натуральну величину. По лінії зв'язку визначаємо положення точки N" та проводимо проекцію M"N" відрізка MN.

на заключному етапіпотрібно визначити величину відрізка MN за його проекціями M"N" і M"" 1 N"" 1 . Для цього будуємо прямокутний трикутник M"" 1 N"" 1 N 0 , у якого катет N"" 1 N 0 дорівнює різниці(Y M 1 – Y N 1) видалення точок M" та N" від осі X 1 . Довжина гіпотенузи M"" 1 N 0 трикутника M"" 1 N"" 1 N 0 відповідає шуканій відстані від M до b.

Другий спосіб вирішення

• Паралельно CD вводимо нову передню площину П 4 . Вона перетинає П 1 по осі X 1 , причому X 1 C "D". Відповідно до методу заміни площин визначаємо проекції точок C""1, D""1 і M""1, як це зображено на малюнку.
• Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 будуємо додаткову горизонтальну площинуП 5 на яку пряма b проектується в точку C" 2 = b" 2 .
• Розмір відстані між точкою M і прямою b визначається довжиною відрізка M" 2 C" 2 , позначеного червоним кольором.

Схожі завдання: