Стосовно кола. Центральні та вписані кути
Вписаний кут, теорія задачі. Друзі! У цій статті йдеться про завдання, для вирішення яких необхідно знати властивості вписаного кута. Це ціла група завдань, вони включені до ЄДІ. Більшість їх вирішуються дуже просто, в одну дію.
Є завдання складніші, але й вони великі труднощівам не представлять, потрібно знати характеристики вписаного кута. Поступово ми розберемо усі прототипи завдань, запрошую на блог!
Тепер необхідна теорія. Згадаймо, що таке центральний та вписаний кут, хорда, дуга, на які спираються ці кути:
Центральним кутом у колі називається плоский кутзвершиною у її центрі.
Частина кола, розташована всередині плоского кута,називається дугою кола.
Градусною мірою дуги кола називається градусна міравідповідного центрального кута.
Кут називається вписаним у коло, якщо вершина кута лежитьна колі, а сторони кута перетинають це коло.
Відрізок що з'єднує дві точки кола називаєтьсяхордий. Найбільша хорда проходить через центр кола і називаєтьсядіаметр.
Для вирішення завдань на вписані в коло кути,вам необхідно знати такі властивості:
1. Вписаний кут дорівнює половині центрального, що спирається на ту саму дугу.
2. Всі вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.
3. Всі вписані кути, що спираються на ту саму хорду, вершини яких лежать по одну сторону від цієї хорди, рівні.
4. Будь-яка пара кутів, що спираються на ту саму хорду, вершини яких лежать по різні сторонихорди складають у сумі 180°.
Наслідок: протилежні кутичотирикутника вписаного в коло у сумі становлять 180 градусів.
5. Усі вписані кути, що спираються на діаметр, прямі.
Взагалі, ця властивість є наслідком із властивості (1), це його окремий випадок. Подивіться – центральний кутдорівнює 180 градусів (і цей розгорнутий кут є не що інше, як діаметр), значить за першою властивістю вписаний кут дорівнює його половині, тобто 90 градусам.
Знання цієї властивості допомагає у вирішенні багатьох завдань і часто дозволяє уникнути зайвих розрахунків. Добре засвоївши його, ви більше половини завдань такого типу зможете вирішувати усно. Два наслідки, які можна зробити:
Наслідок 1: якщо в коло вписано трикутник і одна його сторона збігається з діаметром цього кола, то трикутник є прямокутним (вершина прямого куталежить на колі).
Наслідок 2: центр описаної близько прямокутного трикутникакола збігається із серединою його гіпотенузи.
Багато прототипів стереометричних завданьтакож вирішуються завдяки використанню цієї властивості та даних наслідків. Запам'ятайте сам факт: якщо діаметр кола є стороною вписаного трикутника, то цей трикутник прямокутний (кут проти діаметра дорівнює 90 градусів). Решту висновків і наслідків ви зможете зробити самі, вчити їх не треба.
Як правило, половина завдань на вписаний кут дається з ескізом, але без позначень. Для розуміння процесу міркування під час вирішення завдань (нижче у статті) введено позначення вершин (кутів). На ЄДІ ви можете цього не робити.Розглянемо завдання:
Чому дорівнює гострий вписаний кут, що спирається на хорду, рівну радіусукола? Відповідь дайте у градусах.
Побудуємо центральний кут для заданого вписаного кута, позначимо вершини:
За якістю вписаного в коло кута:
Кут АОВ дорівнює 60 0 так як трикутник АОВ рівносторонній, а в рівносторонньому трикутникувсі кути дорівнюють по 60 0 . Сторони трикутника рівні, оскільки за умови сказано, що хорда дорівнює радіусу.
Таким чином, вписаний кут АСВ дорівнює 300.
Відповідь: 30
Знайдіть хорду, на яку спирається кут 30 0 вписаний в коло радіуса 3.
Це по суті зворотне завдання(Попередньої). Збудуємо центральний кут.
Він вдвічі більший за вписаний, тобто кут АОВ дорівнює 60 0 . Від сюди можна дійти невтішного висновку, що трикутник АОВ рівносторонній. Отже, хорда дорівнює радіусу, тобто трьом.
Відповідь: 3
Радіус кола дорівнює 1. Знайдіть величину тупого вписаного кута, що спирається на хорду, рівне корінняз двох. Відповідь дайте у градусах.
Побудуємо центральний кут:
Знаючи радіус і хорду, ми можемо знайти центральний кут АСВ. Це можна зробити за теоремою косінусів. Знаючи центральний кут ми легко знайдемо вписаний кут АСВ.
Теорема косінусів: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює суміквадратів двох інших сторін, без подвоєного твору цих сторін на косинус кута між ними.
Отже, другий центральний кут дорівнює 360 0 – 90 0 = 270 0 .
Кут АСВ за якістю вписаного кута дорівнює його половині, тобто 135 градусів.
Відповідь: 135
Знайдіть хорду, на яку спирається кут 120 градусів, вписаний в коло радіуса корінь із трьох.
З'єднаємо точки А і В із центром кола. Позначимо її як О:
Нам відомий радіус та вписаний кут АСВ. Ми можемо знайти центральний кут АОВ (більший за 180 градусів), потім знайти кут АОВ у трикутнику АОВ. А далі за теоремою косінусів обчислити АВ.
За властивістю вписаного кута центральний кут АОВ (який більше 180 градусів) дорівнюватиме вдвічі більше вписаного, тобто 240 градусів. Отже, кут АОВ у трикутнику АОВ дорівнює 3600 – 2400 = 1200.
За теоремою косінусів:
Відповідь:3
Знайдіть вписаний кут, що спирається на дугу, що становить 20% кола. Відповідь дайте у градусах.
За властивістю вписаного кута він вдвічі менший за центральний кут, що спирається на ту ж дугу, в даному випадкумова йде про дугу АВ.
Сказано, дуга АВ становить 20 відсотків від кола. Це означає, що центральний кут АОВ становить також 20 відсотків від 360 0 .*Кількість це кут в 360 градусів. Значить,
Таким чином, вписаний кут АСВ дорівнює 36 градусів.
Відповідь: 36
Дуга кола AC, що не містить точки Bстановить 200 градусів. А дуга кола BC, яка не містить точки Aстановить 80 градусів. Знайдіть вписаний кут ACB. Відповідь дайте у градусах.
Позначимо для наочності дуги, кутові заходи яких дано. Дуга відповідна 200 градусам – синій колір, дуга відповідна 80 градусам – червоний колір, частина кола, що залишилася – жовтий колір.
Таким чином, градусний захід дуги АВ (жовтий колір), а отже, і центральний кут АОВ становить: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Вписаний кут АСВ вдвічі менший за центральний кут АОВ, тобто дорівнює 40 градусам.
Відповідь: 40
Чому дорівнює вписаний кут, що спирається на діаметр кола? Відповідь дайте у градусах.
У цій статті я розповім, як вирішувати завдання, в яких використовуються .
Спочатку, як завжди, згадаємо визначення та теореми, які потрібно знати, щоб успішно вирішувати завдання на .
1.Вписаний кут- це кут, вершина якого лежить на колі, а його сторони перетинають коло:
2.Центральний кут- це кут, вершина якого збігається з центром кола:
Градусна величина дуги колавимірюється величиною центрального кута, що на неї спирається.
У разі градусна величина дуги АС дорівнює величині кута АОС.
3. Якщо вписаний та центральний кут спираються на одну дугу, то величина вписаного кута вдвічі менша від центрального:
4. Всі вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні між собою:
5. Вписаний кут, що спирається на діаметр, дорівнює 90°:
Вирішимо кілька завдань.
1 . Завдання B7 (№ 27887)
Знайдемо величину центрального кута, що спирається на ту саму дугу:
Очевидно, що величина кута АОС дорівнює 90°, отже, кут АВС дорівнює 45°
Відповідь: 45°
2. Завдання B7 (№ 27888)
Знайдіть величину кута ABC. Відповідь дайте у градусах.
Очевидно, що кут АОС дорівнює 270 °, тоді кут АВС дорівнює 135 °.
Відповідь: 135°
3 . Завдання B7 (№ 27890)
Знайдіть градусну величину дуги AC кола, на яку спирається кут ABC. Відповідь дайте у градусах.
Знайдемо величину центрального кута, що спирається на дугу АС:
Розмір кута АОС дорівнює 45°, отже, градусна міра дуги АС дорівнює 45°.
Відповідь: 45 °.
4 . Завдання B7 (№ 27885)
Знайдіть кут ACB, якщо вписані кути ADB та DAE спираються на дуги кола, градусні величини яких рівні відповідно і . Відповідь дайте у градусах.
Кут ADB спирається на дугу АВ, отже величина центрального кута АОВ дорівнює 118°, отже, кут BDA дорівнює 59°, і суміжний йому кут ADC дорівнює 180°-59°=121° 
Аналогічно, кут DOE дорівнює 38 ° і відповідний вписаний кут DAE дорівнює 19 °.
Розглянемо трикутник ADC:
Сума кутів трикутника дорівнює 180 °.
Розмір кута АСВ дорівнює 180°- (121°+19°)=40°
Відповідь: 40°
5 . Завдання B7 (№ 27872)
Сторони чотирикутника ABCD AB, BC, CD та AD стягують дуги описаного кола, градусні величини яких рівні відповідно , , і . Знайдіть кут B цього чотирикутника. Відповідь дайте у градусах.
Кут спирається на дугу АDC, величина якої дорівнює сумі величин дуг AD і CD, тобто 71°+145°=216°
Вписаний кут дорівнює половині величини дуги ADC, тобто 108°
Відповідь: 108°
6 . Завдання B7 (№ 27873)
Точки A, B, C, D, розташовані на колі, ділять це коло на чотири дуги AB, BC, CD та AD, градусні величини яких відносяться відповідно як 4:2:3:6. Знайдіть кут A чотирикутника ABCD. Відповідь дайте у градусах.
(Див. креслення попередньої задачі)
Оскільки ми маємо відношення величин дуг, введемо одиничний елемент х. Тоді величини кожної дуги будуть виражатися таким співвідношенням:
АВ = 4х, ВС = 2х, СD = 3х, AD = 6x. Всі дуги утворюють коло, тобто їхня сума дорівнює 360°.
4х + 2х + 3х + 6х = 360 °, звідси х = 24 °.
Кут А спирається на дуги ВС та CD, які у сумі мають величину 5х=120°.
Отже, кут А дорівнює 60°
Відповідь: 60°
7 . Завдання B7 (№ 27874)
Чотирьохкутник ABCDвписаний у коло. Кут ABCрівний , кут CAD
Вписані кути Теорема про вписаний кут 1 випадок Промінь ВО збігається зі стороною кута АВС Теорема про вписаний кут 1 випадок Промінь ВО збігається зі стороною кута АВС Дано: Окр (О; R) АВС – вписаний кут Довести: АВС = ½ АС Доказ: 1. АОВ – рівнобедрений, оскільки ОВ = ОА = R, отже, В = А. 2. СОА – зовнішній кут, отже, СОА = ОВА + ОАВ СОА = 2 ОВА, отже, ОВА = ½ СОА СВА = ½ АС.
°
Гра на повторення «Віриш не віриш» Чи вірите ви, що якщо величина центрального кута дорівнює 90?, то вписаний кут, що спирається на цю дугу, дорівнює 45? Чи вірите ви, що відрізки дотичних до кола рівні і становлять рівні кути з прямого, що проходить через центр кола? Чи вірите ви, що кут, що проходить через центр кола, називається її центральним кутом? Чи вірите ви, що вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається? Чи вірите ви, що величина центрального кута вдвічі більше величинидуги, яку він спирається? Чи вірите ви, що вписаний кут, що спирається на півколо дорівнює 180? Чи вірите ви, що кут, сторони якого перетинають коло називається вписаним кутом? Чи вірите ви, що вписані кути, що спираються на ту саму дугу рівні? Чи вірите ви, що при подальшому вивченніматеріалу з колом будуть пов'язані не тільки кути, а й трикутники та чотирикутники? Ні, відрізки дотичних до кола (проведені з однієї точки) рівні і становлять рівні кути з прямої, що проходить через (цю точку і) центр кола. ТАК, якщо величина центрального кута дорівнює 90?, то вписаний кут, що спирається на цю дугу дорівнює 45?. Ні, кут проходить (виходить з) через центр кола називається її центральним кутом. Так, вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається. Ні, величина центрального кута вдвічі більша (рівна) величини дуги, на яку він спирається. Ні, вписаний кут, що спирається на півколо дорівнює 180˚ (прямий). Ні, кут, сторони якого перетинають коло (а вершина лежить на колі) називається вписаним кутом. Так, вписані кути, що спираються на ту саму дугу рівні. Так, при подальшому вивченні матеріалу з колом будуть пов'язані не лише кути, а й трикутники та чотирикутники.
Вписані кути Робота з тестування з програмованим контролем рішення. Варіант Кут АСВ на 38° менший від кута АОВ. Знайдіть суму кутів АОВ і АСВ а) 96°; б) 114°; в) 104°; г) 76°; 2. МР – діаметр, О – центр кола. ОМ = ОК = МК. Знайдіть кут РКО. а) 60 °; б) 40 °; в) 30 °; г) 45 °; 3. Кут АВС вписаний, кут АОС – центральний. Знайдіть кут АВС, якщо кут АОС = 126 ° а) 112 °; б) 123°; в) 117 °; г) 113°; Варіант Кут МСК на 34° менший від кута МОК. Знайдіть суму кутів МСК та МОК. а) 112 °; б) 102 °; в) 96 °; г) 68 °; 2. АС – діаметр кола, Про – її центр. АВ = ОВ = ОА. Знайдіть кут ОВС. а) 50 °; б) 60 °; в) 30 °; г) 45 °; 3. О – центр кола, кут L = 136°. Знайдіть кут В. а) 292°; б) 224°; в) 112°; г) 146°;
Хорда, що не проходить через центр, дорівнює діаметру. Нехай у колі проведено діаметр АВ. Через точку В проведемо якусь хорду ВС, що не проходить через центр, потім через середину цієї хорди D і точку А проведемо нову хордуАЕ. Нарешті точки Е і С з'єднаємо відрізком прямої. Розглянемо АВD та ЕРС. У цих трикутниках: ВD = DC (за побудовою), А = С (як вписані, що спираються на ту саму дугу). Крім того, ВDA = ЕDC (як вертикальні). Якщо ж сторона і два кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні. Значить, ВDA = ЕDC, а в рівних трикутникахпроти рівних кутів лежать рівні сторони. Тому, АВ = ЕС.
Знайдемо помилку За теоремою про ознаку рівності трикутника: Якщо сторона і два кути одного трикутника, що до неї прилягають, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні. А в нашому випадку, кут А не належить до сторони ВD.
Вписані кути Тест на оптичну ілюзію на малюнках з альтернативною відповіддю. Оптичну ілюзіюми досить часто спостерігаємо і навіть застосовуємо у нашій практиці, але мало знаємо її сутність. Ілюзію зору використовують архітектори для будівництва будівель, модельєри для створення моделей, художники для створення декорацій. Нам відомо, що тіло, забарвлене в світлі тони, здається більше, ніж тіло того ж розміру, забарвлене в темний тон. Бувають причини, що спричиняють оптичні ілюзії. Вписані кути Тест 2 Тест 3 Тест 2 Тест 3 У коло вписано: 1. квадрат 2. близька до квадрата фігура Тест 2, 3: Тут домінуючими є кола. Кути вписані в коло, утворюють у першому випадку квадрат, у другому правильний трикутник. Ці фігури за рахунок безлічі кіл видають себе, як фігури наближені до квадрата і трикутника. Сторони здаються увігнутими усередину. Отже, ілюзію ми можемо застосовувати на практиці, повсякденному житті. Наприклад, з її допомогою можна приховувати недоліки форми обличчя, фігури. У коло вписано: 1. трикутник 2. близька до трикутника фігура
Засвоївши теорему про величину вписаного кута в коло, робимо Висновок, т.к. з усіх точок кола, крім кінців хорди, ця хорда видно під тим самим кутом, ми можемо посадити кущі троянд у будь-якій точці на колі клумби, крім точок М і N. Це одне з практичних застосуваньтеореми про величину вписаного кута в коло.
Вписані кути Домашнє завдання. п. 71, вивчити визначення вписаного кута; вивчити теорему про вписаний кут, (записавши доказ 3 випадки) та два наслідки з неї;
Урок на тему «Дотична до кола. Центральні та вписані кути» 8 клас. Цілі уроку: - повторити визначення дотичних, видів кутів, закріпити знання на тему, навчити пошуку вирішення нестандартних завдань; - активізувати самостійність та пізнавальну діяльність учнів, навчити застосовувати отримані знання на практиці. Хід уроку. 1. Організаційний момент. 2. Теоретична розминка. 3. Тест «Ви вірите, що…» 4. Усна роботаза готовими кресленнями. 5. Тест за формою ДІА (частини А та В). 6. Різні способирозв'язання одного завдання. 7. Софізм та коло. 8. Проект «Знайди центр кола». 9. Підсумки. 10. Рефлексія. 1. Вступне слововчителі. Сьогодні на уроці ми узагальним знання на тему «Дотична до кола. Центральні та вписані кути», перевіримо теоретичну підготовку з даному розділу, закріпимо вміння розв'язувати задачі за готовими кресленнями та навички вирішення тестових завдань, Розглянемо різні способи вирішення одного завдання і звернемося до математичних софізмів, як до засобу розвитку інтересу до математики. 2. Теоретична розминка. - Дайте визначення кола. - що називається хордою - який відрізок є радіусом кола. - яке може бути взаємне розташуванняпрямий та кола. - яка пряма називається дотичною - сформулюйте властивість дотичної - який кут називається центральним - чому дорівнює градусна міра дуги. - Який кут називається вписаним. - сформулюйте теорему про вписане вугілля. - Які наслідки з нього знаєте. - Чому дорівнює кутміж дотичною та хордою, що проходить через точку дотику. - сформулюйте теорему про дві хорди, що перетинаються. - сформулюйте теорему про квадрат дотичної. Біла Ірина В'ячеславна 3. Тест «Чи вірите ви, що…» (кожному учневі видається лист із висловлюваннями; якщо він згоден із ним ставить знак +, якщо ні -) 1 варіант. 1. Чи вірите ви, що до кола перпендикулярна радіусу? 2. Чи вірите ви, що кут, що проходить через центр кола, називається центральним кутом? 3. Чи вірите ви, що хорда – відрізок, що з'єднує дві точки кола? 4. Чи вірите ви, що градусна міра півкола дорівнює 180º? 5. Чи вірите ви, що будь-які дві точки кола поділяють її на дві дуги? 6. Чи вірите ви, що вписаний кут, що спирається на півколо дорівнює 180º? 7. Чи вірите ви, що відрізок, що з'єднує центр кола з якоюсь точкою кола називається діаметром? 8. Чи вірите ви, що якщо дві хорди перетинаються, то сума відрізків однієї хорди дорівнює сумі відрізків іншої хорди? 9. Чи вірите ви, що якщо величина центрального кута дорівнює 90?, то вписаний кут, що спирається на цю дугу 45? 10. Чи вірите ви, що вписані кути, що спираються на ту саму дугу рівні? 11. Чи вірите ви, що пряма та коло можуть мати одну, дві, три спільні точки? 2 варіант. 1. Чи вірите ви, що коло – це геометрична фігура, Що складається з точок площини, що розташовані на заданій відстані? 2. Чи вірите ви, що вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається? 3. Чи вірите ви, що хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром? 4. Чи вірите ви, що величина центрального вдвічі більша за величину дуги, на яку він спирається? 5. Чи вірите ви, що для зображення кола на кресленні використовують циркуль? 6. Чи вірите ви, що сума градусних заходів двох дуг кола із загальними кінцями дорівнює 360? 7. Чи вірите ви, що пряма, що проходить через середину хорди, перпендикулярна цій хорді? 8. Чи вірите ви, що дуга називається півколом, якщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром кола? 9. Чи вірите ви, що відрізки дотичних до кола рівні і становлять рівні кути з прямого, що проходить через центр кола? 10. Чи вірите ви, що кут, сторони якого перетинають коло, називається вписаним кутом? 11. Чи вірите ви, що при подальшому вивченні матеріалу з колом будуть пов'язані не лише кути, а й трикутники та чотирикутники? Відповіді. 1 варіант. --+++---++2 варіант. -++-++-+--+ 2 Біла Ірина В'ячеславна 4. Усна робота з готових креслень. 1. 1) Знайти ОА. (24) 2. 1) Знайти кут АВС. (40) 3. 2) ОА = 5, визначити ВВ. (5√2) 2) Знайти кут АВС. (130) 1) Знайти кути АОD та ACD. 2) Знайти кут АВС. (80; 40) (120) 4. 1) Знайти DE. (4) 3) АВ = 12, ОВ = 13; знайти ОА. (5) 3) Знайти кути А і С. (53; 90) 3) Знайти кут ВСD. (110) 2) Знайти CD. (6) 3 Біла Ірина В'ячеславна 5. Тестування за матеріалами ДІА (рівень Аі В). Варіант 1. 1. Кут АСВ на 38о менший за кут АОВ. Знайдіть суму кутів АОВ та АСВ а) 96о; б) 114о; в) 104о; г) 76о; 2. МР – діаметр, О – центр кола. ОМ = ОК = МК. Знайдіть кут РКО. а) 60о; б) 40о; в) 30о; г) 45о 3. Кут АВС вписаний, кут АОС – центральний. Знайдіть кут АВС, якщо кут АОС=126о а) 112о; б) 123о; в) 117о; г) 113о; 4 Біла Ірина В'ячеславна Варіант 2. 1. Кут МСК на 34о менше кута МОК. Знайдіть суму кутів МСК та МОК. а) 112о; б) 102о; в) 96о; г) 68о; 2. АС – діаметр кола, Про – її центр. АВ = ОВ = ОА. Знайдіть кут ОВС. а) 50о; б) 60о; в) 30о; г) 45о; 3. Про – центр кола, кут L =136о. Знайдіть кут В. а) 108о; б) 118о; в) 112о; г) 124о; Варіант 3. 1. Кут EFG на 42о менший за кут EOG знайдіть суму кутів. а) 102о; б) 126о; в) 84о; г) 116о; 2. KL – діаметр кола, Про – її центр. КО = ОМ = КМ. Знайдіть кут ОМL. а) 60о; б) 40о; в) 30о; г) 45о; 3. Кут EOD – центральний, кут EFD – вписаний, знайдіть кут EFD, якщо кут EOD=174о. а) 116о; б) 120о; в) 93о; г) 103о; Відповіді до тесту: 1 2 3 1 Варіант Б В В 2 Варіант Б В В 3 Варіант Б В В 6. Різні способи вирішення одного завдання 5 Біла Ірина В'ячеславна Задана була задача на обчислення суми кутів п'ятикутної зірки, вписаної в коло. (Мал. 1) Учні можуть вирішувати це завдання двома способами, якщо знайшли лише один спосіб вирішення, то можна на розсуд коментувати інший. I спосіб: Коли вершини п'ятикутної зірки ділять коло на рівні дуги, завдання вирішується дуже просто; 360о/5/2*5=180о. II спосіб: Кут AMR – зовнішній кут трикутника MCE, тому Обчислення кутів II
