Що таке гармонійний осцилятор. Рівняння гармонійного осцилятора

Систему, що описується рівнянням , де , називатимемо гармонійним осцилятором. Рішення цього рівняння, як відомо, має вигляд:

.

Отже, гармонійний осцилятор є системою, яка здійснює гармонійні коливаннябіля положення рівноваги.

Для гармонійного осцилятора справедливі всі результати, отримані раніше гармонійного коливання.

Розглянемо та обговоримо ще додатково до них два питання.

Знайдемо імпульсгармонійного осцилятора. Продиференціюємо вираз по t і, помноживши отриманий результат на масу осцилятора, отримаємо:

У кожному положенні, що характеризується відхиленням "x", осцилятор має певне значення "p". Щоб знайти ”p” як функцію ”x”, потрібно виключити ”t” із написаних для ”p” та ”x” рівнянь, Подамо ці рівняння у вигляді:

(8.9)

Звівши ці вирази у квадрат і складаючи, отримаємо:

. (8.10)

Намалюємо графік, який показує залежність ”p” імпульсу гармонійного осцилятора від відхилення ”x” (рис. 8.6). Координатну площину(”p”, ”x”) прийнято називати фазовою площиною, А відповідний графік - фазовою траєкторією. Фазова траєкторія гармонійного осцилятора є еліпс з півосями “A” і ”A·m·w 0 ”. Кожна точка фазової траєкторії зображує стан осцилятора для певного моменту часу (тобто його відхилення та імпульс). З часом точка, що зображує стан, переміщається фазовою траєкторією, здійснюючи за період коливання повний обхід. Причому це переміщення відбувається за годинниковою стрілкою [а саме, якщо в певний момент часу t¢ x=A, p=0, то наступного моменту ”x” буде зменшуватись, а ”p” прийматиме все зростаючі за модулем від'ємні значення, тобто. рух образотворчої точки (тобто точки, що зображує стан) відбуватиметься за годинниковою стрілкою].

Знайдемо тепер площу еліпса. Або

.

Тут , де n 0 - Власна частота осцилятора, що є для даного осцилятора постійною величиною.

Отже, . Звідки

Таким чином, повна енергія гармонійного осцилятора пропорційна площі еліпса, причому коефіцієнт пропорційності служить власна частота осцилятора.

8.6. Мінімальні коливання системи поблизу положення рівноваги.

Розглянемо довільну механічну систему, становище якої можна задати з допомогою однієї величини “x”. Величиною ”x”, що визначає положення системи, може бути кут, що відраховується від деякої площини або відстань, що відраховується вздовж заданої кривої.

Потенційна енергія такої системи буде функцією однієї змінної ”x”: E p =E p (x).

Виберемо початок відліку в такий спосіб, щоб у положенні рівноваги x=0. Тоді функція E p (x) матиме щонайменше при x=0.

(через трохи “x” іншими членами нехтуємо)

Так як E p (x) при x=0 має мінімум, то , а . Позначимо E p(x) = b та тоді .

Цей вираз ідентичний з виразом для потенційної енергіїсистеми, у якій діє квазіпружна сила (константу "b" можна покласти рівною 0).

Сила, що діє на систему, може бути визначена за формулою: . Отримано з урахуванням, що робота здійснюється за рахунок зменшення потенційної енергії .

Отже, потенційна енергія системи при малих відхиленнях від положення рівноваги виявляється квадратичною функцієюзміщення, а сила, що діє на систему, має вигляд квазіпружної сили. Отже, при малих відхиленнях від положення рівноваги будь-яка механічна система здійснюватиме коливання, близькі до гармонійних.

8.7. Математичний маятник.

ВИЗНАЧЕННЯ: математичним маятникомназиватимемо ідеалізовану систему, що складається з невагомої та нерозтяжної нитки, на якій підвішена маса, зосереджена в одній точці.

Відхилення маятника від положення рівноваги характеризуватиметься кутом j (рис. 8.7). При відхиленні маятника від рівноваги виникає обертальний момент , має такий напрям, що прагне повернути маятник у положення рівноваги, тому моменту M і кутовому зміщенню j потрібно приписати різні знаки.

2a. Простір. Час. Рух Фейнман Річард Філліпс

Глава 21 Гармонічний осцилятор

Розділ 21

ГАРМОНІЧНИЙ ОСЦИЛЯТОР

§ 1. Лінійні диференціальні рівняння

§ 4. Початкові умови

§ 1. Лінійні диференціальні рівняння

Зазвичай фізику як науку ділять на кілька розділів: механіку, електрику тощо, і ми проходимо ці розділи один за одним. Зараз, наприклад, ми «проходимо» здебільшого механіку. Але час від часу відбуваються дивні речі: переходячи до нових розділів фізики і навіть до інших наук, ми стикаємося з рівняннями, які майже не відрізняються від уже вивчених нами раніше. Таким чином, багато явищ мають аналогію в зовсім інших галузях науки. Найпростіший приклад: поширення звукових хвиль багато в чому схоже на поширення світлових хвиль Якщо ми досить докладно вивчимо акустику, то виявимо потім, що «пройшли» досить більшу частинуоптики. Таким чином, вивчення явищ в одній галузі фізики може виявитися корисним щодо інших її розділів. Добре з самого початку передбачити таке можливе «розширення рамок розділу», інакше можуть виникнути здивування, чому ми витрачаємо стільки часу та сил на вивчення невеликого завдання механіки.

Гармонійний осцилятор, до вивчення якого ми зараз переходимо, буде зустрічатися майже усюди; хоча ми почнемо з суто механічних прикладів грузика на пружинці, малих відхилень маятника чи якихось інших механічних пристроїв, насправді ми вивчатимемо якесь диференційне рівняння.Це рівняння невпинно зустрічається у фізиці та в інших науках і фактично описує настільки багато явищ, що, право ж, варте того, щоб вивчити його краще. Таке рівняння описує коливання грузика на пружинці, коливання заряду, поточного взад і вперед електричним ланцюгом, коливання камертону, що породжують звукові хвилі, аналогічні коливання електронів в атомі, що породжують світлові хвилі. Додайте сюди рівняння, що описують дії регуляторів, наприклад, підтримують задану температуру термостата, складні взаємодіїу хімічних реакціях і (вже зовсім несподівано) рівняння, що відносяться до зростання колонії бактерій, яких одночасно і годують і труять отрутою, або до розмноження лисиць, що харчуються кроликами, які їдять траву, і т. д. Ми навели дуже неповний список явищ, що описуються майже тими ж рівняннями, що й механічний осцилятор. Ці рівняння називаються лінійними диференціальними рівняннями із постійними коефіцієнтами.Це рівняння, що складаються із суми кількох членів, кожен з яких є похідною. залежної величиниза незалежною, помноженою на постійний коефіцієнт. Таким чином,

називається лінійним диференціальним рівнянням n-го порядку з постійними коефіцієнтами (все а n - постійні).

§ 2. Гармонічний осцилятор

Мабуть, найпростішою механічною системою, Рух якої описується лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами, є маса на пружинці. Після того, як до пружинки підвісять грузик, вона трохи розтягнеться, щоб врівноважити силу тяжіння. Простежимо тепер за вертикальними відхиленнями маси від положення рівноваги (фіг. 21.1).

Фіг. 21.1. Вантажівка, підвішена на пружинці.

Простий приклад гармонійного осцилятора.

Відхилення вгору від положення рівноваги ми позначимо через хі припустимо, що маємо справу з абсолютно пружною пружиною. У цьому випадку сили, що протидіють розтягуванню, прямо пропорційні розтягуванню. Це означає, що сила дорівнює - kx(Знак мінус нагадує нам, що сила протидіє зсувам). Таким чином, помножене на масу прискорення має бути рівним. kx

m(d 2 x/dt 2) =-kx.(21.2)

Для простоти припустимо, що сталося так (або ми належним чином змінили систему одиниць), що k/m = 1. Нам належить вирішити рівняння

d 2 x/dt 2 =-x. (21.3)

Після цього ми повернемося до рівняння (21.2), у якому kі mутримуються явно.

Ми вже стикалися з рівнянням (21.3), коли починали вивчати механіку. Ми вирішили його чисельно [див. вип. 1, рівняння (9.12)], щоб знайти рух. Чисельним інтегруванням знайшли криву (див. фіг. 9.4, вип. 1), яка показує, що якщо частка mв початковий моментвиведена з рівноваги, але спочиває, вона повертається до положення рівноваги. Ми не стежили за часткою після того, як вона досягла положення рівноваги, але ясно, що вона на цьому не зупиниться, а буде вагатися (осцилювати).При чисельному інтегруванні ми знайшли час повернення до точки рівноваги: t= 1,570. Тривалість повного циклу вчетверо більша: t 0 = 6,28 "сек".Все це ми знайшли чисельним інтегруванням, бо краще не вміли вирішувати. Але математики дали наше розпорядження певну функцію, яка, якщо її продиференціювати двічі, перетворюється на, помножившись на -1. (Можна, звичайно, зайнятися прямим обчисленням таких функцій, але це набагато важче, ніж просто дізнатися відповідь.)

Ця функція є: x = cost.Продиференціюємо її: dx/dt=-sint, a d 2 x/dt 2 =-wt=-x.У початковий момент t=0, x=1, а початкова швидкість дорівнює нулю; це ті припущення, які ми робили при чисельному інтегруванні. Тепер, знаючи, що x=cost,знайдемо точнезначення часу, у якому z=0. Відповідь: t=p/2,чи 1,57108. Ми помилилися раніше в останньому знаку, бо чисельне інтегрування було наближеним, але помилка дуже мала!

Щоб просунутися далі, повернемося до системи одиниць, де час вимірюється у секундах. Що буде рішенням у цьому випадку? Можливо, ми врахуємо постійні kі т,помноживши на відповідний множник cost? Спробуємо. Нехай x=Acost,тоді dx/dt=-Asintі d 2 t/dt 2 =-Acost=-x.На жаль, ми не досягли успіху у вирішенні рівняння (21.2), а знову повернулися до (21.3). Натомість ми відкрили найважливіша властивістьлінійних диференціальних рівнянь: якщо помножити рішення рівняння на постійну, ми знову отримаємо рішення.Математично ясно – чому. Якщо хє рішення рівняння, то після множення обох частин рівняння Апохідні теж помножаться на Aі тому Ахтак само добре задовольнить рівнянню, як і х.Послухаємо, що скаже із цього приводу фізик. Якщо грузик розтягне пружинку вдвічі більше колишнього, то вдвічі зросте сила, вдвічі зросте прискорення, вдвічі більше колишньої буде придбана швидкість і за той самий час грузик пройде вдвічі більшу відстань. Але це вдвічі більша відстань- саме та сама відстань, яка требапройти грузику до рівноваги. Таким чином, щоб досягти рівноваги, потрібно стільки ж часуі воно залежить від початкового усунення. Інакше висловлюючись, якщо рух описується лінійним рівнянням, незалежно від «сили» воно розвиватиметься у часі однаковим чином.

Помилка пішла нам на користь – ми дізналися, що, помноживши рішення на постійну, ми отримаємо рішення колишнього рівняння. Після кількох спроб і помилок можна прийти до думки, що замість маніпуляцій з хтреба змінити шкалу часу.Інакше висловлюючись, рівняння (21.2) повинно мати рішення виду

x=cos w 0 t. (21.4)

(Тут w 0 - зовсім не кутова швидкість тіла, що обертається, але нам не вистачить всіх алфавітів, якщо кожну величину позначати особливою літерою.) Ми забезпечили тут wіндексом 0, тому що нам доведеться зустріти ще багато всяких омег: запам'ятаємо, що w 0 відповідає природного рухуосцилятора. Спроба використовувати (21.4) як рішення успішніша, тому що dx/dt=-(w 0 sin w 0 t і d 2 x/dt 2 =-w 2 0 w s w 0 t=-w 2 0 x. Нарешті ми вирішили те рівняння, яке хотіли вирішити. Це рівняння збігається з (21.2), якщо w 2 0 =k/m.

Тепер потрібно зрозуміти фізичний сенс w 0 . Ми знаємо, що косинус повторюється після того, як кут зміниться на 2я. Тому x=cosw 0 tбуде періодичним рухом; повний цикл цього руху відповідає зміні «кута» на 2p. Величину w 0 tчасто називають фазоюруху. Щоб змінити w 0 t на 2p , потрібно змінити tна t 0 (періодповного коливання); звичайно, t 0 знаходиться з рівняння w 0 t 0 = 2p. Це означає що w 0 t 0 потрібно обчислювати для одного циклу, і все повторюватиметься, якщо збільшити tна t 0 ; у разі ми збільшимо фазу на 2p. Таким чином,

Значить, чим важчий грузик, тим повільніше пружинка коливатиметься взад і вперед. Інерція в цьому випадку буде більшою, і якщо сила не зміниться, їй знадобиться більше часу для розгону та гальмування вантажу. Якщо взяти пружинку жорсткіше, то рух має відбуватися швидше; і справді, період зменшується зі збільшенням жорсткості пружини.

Зауважимо тепер, що період коливань маси на пружинці не залежить від того, якколивання починаються. Для пружинки начебто байдуже, наскільки ми її розтягнемо. Рівняння руху (21.2) визначає періодвагань, але нічого не говорить про амплітуду коливання. Амплітуду коливання, звичайно, можна визначити, і ми зараз займемося цим, але для цього треба задати початкові умови.

Річ у тім, що ми ще знайшли найзагальнішого рішення рівняння (21.2). Є кілька видів рішень. Рішення x=acosw 0 tвідповідає випадку, як у початковий момент пружинка розтягнута, а швидкість її дорівнює нулю. Можна інакше змусити пружинку рухатися, наприклад вилучити момент, коли врівноважена пружинка спочиває (х = 0),і різко вдарити по грузику; це означатиме, що у момент t=0 пружинці повідомлено якусь швидкість. Такому руху відповідатиме інше рішення (21.2) – косинус потрібно замінити на синус. Кинемо в косинус ще один камінь: якщо x=cos w 0 t-рішення, то, увійшовши в кімнату, де гойдається пружинка, в той момент (назвемо його «t=0»), коли вантаж проходить через положення рівноваги (x=0), ми будемо змушені замінити це рішення іншим. Отже, x=cosw 0 tне може бути загальним рішенням; загальне рішення має допускати, як кажуть, переміщення початку відліку часу. Такою властивістю має, наприклад, рішення x=acosw 0 (t-t 1 ), де t 1 - якась постійна. Далі можна розкласти

cos(w 0 t+D)=cos w 0 t cos D-sin w 0 t sin Dта записати

x=A cos w 0 t+У sin w 0 t,

де A=acos Dі В=- asin D. Кожну з цих форм можна використовувати для запису загального рішення (21.2): будь-яке з існуючих у світі рішень диференціального рівняння

d 2 x/dt 2 =-w 2 0 xможна записати у вигляді

x=acosw 0 (t-t 1 ), (21.6а)

x=acos(w 0 t+D), (21.6б)

х = A cos w 0 t+B sin w 0 t.(21.6в)

Деякі з величин, що зустрічаються в (21.6), мають назви: w 0 називають кутовий частотою;це число радіанів, на яке фаза змінюється за 1 сек.Вона визначається диференціальним рівнянням. Інші величини рівнянням не визначаються, а залежать від початкових умов. Постійна аслужить мірою максимального відхилення вантажу і називається амплітудоюколивання. Постійну Dіноді називають фазоюколивання, але можливі непорозуміння, тому що інші називають фазою w 0 t+D і кажуть, що фаза залежить від часу. Можна сказати, що D – це зсув фазив порівнянні з деякою, що приймається за нуль. Не будемо сперечатися про слова. Різним D відповідають руху з різними фазами. Ось це правильно, а називати D фазою чи ні - вже інше питання.

§ 3. Гармонійний рух та рух по колу

Косинус у вирішенні рівняння (21.2) наводить на думку, що гармонійний рухмає якесь відношення до руху по колу. Це порівняння, звичайно, штучне, тому що в лінійному русі нема звідки взятися кола: вантаж рухається суворо вгору і вниз. Можна виправдатись тим, що ми вже вирішили рівняння гармонійного руху, коли вивчали механіку руху по колу. Якщо частка рухається по колу з постійною швидкістю v,то радіус-вектор із центру кола до частки повертається на кут, величина якого пропорційна часу. Позначимо цей кут q =vt/R(Фіг. 21.2).

Фіг. 21.2. Частка рухається по колу з постійною швидкістю.

Тоді d q /dt= w 0 =v/R.Відомо, що прискорення а=v 2 /R=w 2 0 R направлено до центру. Координати точки, що рухається в заданий момент рівні

х=R cosq, y=Rsinq.

Що можна сказати про прискорення? Чому дорівнює x-складова прискорення, d 2 x/dt 2 . НАйті цю величину можна чисто геометрично: вона дорівнює величині прискорення, помноженої на косинус кута проекції; перед отриманим виразом треба поставити знак мінус, тому що прискорення спрямоване до центру:

а х =- acosq=-wRcosq=-w 2 0 х.(21.7)

Іншими словами, коли частка рухається по колу, горизонтальна складова руху має прискорення, пропорційне горизонтальному зміщеннювід центру. Звичайно, ми знаємо рішення для випадку руху по колу: x=Rcos w 0 t.Рівняння (21.7) не містить радіусу кола; воно однаково під час руху по будь-якого кола при однаковій w 0 .

Таким чином, є кілька причин, з яких слід очікувати, що відхилення грузика на пружинці виявиться пропорційним cosw 0 t і рух виглядатиме так, як якщо б ми стежили за x-координатою частинки, що рухається по колу з кутовий швидкістю w 0 . Перевірити це можна, поставивши досвід, щоб показати, що рух вантажу вгору-вниз на пружинці точно відповідає руху точки по колу. На фіг. 21.3 світло дугової лампи проектує на екран тіні рухомих поруч встромленою в обертовий диск голки і вантажу, що вертикально коливається.

Фіг. 21.3. Демонстрація еквівалентності простого гармонійного руху та рівномірного рухупо колу.

Якщо вчасно і з потрібного місцязмусити вантаж коливатися, а потім обережно підібрати швидкість руху диска так, щоб частоти їх рухів збіглися, тіні на екрані точно слідуватимуть одна за одною. Ось ще спосіб переконатися, що, знаходячи чисельне рішення, ми майже впритул підійшли до косінусу.

Тут можна підкреслити, що оскільки математика рівномірного руху по колу дуже подібна до математики коливального рухувгору-вниз, то аналіз коливальних рухів дуже спроститься, якщо уявити цей рух як проекцію руху по колу. Інакше кажучи, ми можемо доповнити рівняння (21.2), здавалося б, зовсім зайвим рівнянням для уі розглядати обидва рівняння спільно. Зробивши це, ми зведемо одномірні коливання до руху по колу,що позбавить нас рішення диференціального рівняння. Можна зробити ще один трюк – ввести комплексні числа, але про це у наступному розділі.

§ 4. Початкові умови

Давайте з'ясуємо, який сенс мають А і Вабо а і D. Звичайно, вони показують, як почався рух. Якщо рух розпочнеться з малого відхилення, ми отримаємо один тип коливань; якщо злегка розтягнути пружинку, а потім ударити по вантажу - інший. Постійні Аі Уабо а і D, або якісь дві інші постійні визначаються обставинами, за яких почався рух, або, як зазвичай кажуть, початковими умовами.Потрібно навчитися визначати постійні, з початкових умов. Хоча для цього можна використовувати будь-яке із співвідношень (21.6), найкраще мати справу з (21.6в). Нехай у початковий момент t=0 вантаж зміщений від положення рівноваги на величину х 0 і має швидкість v 0 . Це сама загальна ситуаціяяку тільки можна придумати. (Не можна задати початкового прискорення,тому що воно залежить від властивостей пружини; ми можемо розпорядитися лише величиною х 0 .) Обчислимо тепер Аі Ст.Почнемо з рівняння для

х = Acosw o t+B sin w 0 t;

оскільки нам знадобиться і швидкість, продиференціюємо хі отримаємо

v=- w 0 Asin w 0 t+ w 0 Bcos w 0 t.

Ці висловлювання справедливі всім t,але ми маємо додаткові відомості про величини хі vпри t=0. Таким чином, якщо покласти t=0, ми маємо отримати ліворуч х 0 і v 0 , бо це те, на що перетворюються хі vпри t=0. Крім того, ми знаємо, що косинус нуля дорівнює одиниці, а синус нуля дорівнює нулю. Отже,

х 0 =А· 1+В· 0=А

v u =-w 0 A·0+ w 0 B · 1 = w 0 B.

Таким чином, у цьому окремому випадку

А = х 0 , В = v 0 /w 0 .

Знаючи Аі В,ми можемо, якщо побажаємо, знайти і D.

Отже, завдання про рух осцилятора вирішено, але є одна цікава річ, яку треба перевірити. Потрібно з'ясувати, чи зберігається енергія. Якщо немає сил тертя, енергія повинна зберігатися. Нині нам зручно використовувати формули

х=a cos( w o t+D) та v=-w 0 asin( w 0 t+D).

Давайте знайдемо кінетичну енергію Тта потенційну енергію U. Потенційна енергія у довільний момент часу дорівнює 1/2 kx 2 , де х -зсув, a k -постійна пружності пружинки. Підставляючи замість хнаписане вище вираз, знайдемо

U= 1 / 2 kx 2 = 1 / 2 ka 2 cos 2 ( w 0 t+D).

Зрозуміло, потенційна енергія залежить від часу; вона завжди позитивна, це теж зрозуміло: адже потенційна енергія - це енергія пружини, а вона змінюється разом із х.Кінетична енергія дорівнює 1 / 2 mv 2 ; використовуючи вираз для v,отримуємо

Т = 1 / 2 mv 2 = 1 / 2 mw 2 0 a 2 sin 2 (w 0 t+D).

Кінетична енергія дорівнює нулю за максимального х, боу цьому випадку грузик зупиняється; коли ж вантаж проходить положення рівноваги (x=0), то кінетична енергіядосягає максимуму, тому що саме тоді грузик рухається найшвидше. Зміна кінетичної енергії, таким чином, протилежна зміні потенційної енергії. Повна енергія має бути постійною. Справді, якщо згадати, що k=mw 2 0 , то

T+U= 1/2 m w 2 0 а 2 = 1/2 rn w 2 0 a 2 .

Енергія залежить від квадрата амплітуди: якщо збільшити амплітуду коливання вдвічі, то енергія зросте вчетверо. Середняпотенційна енергія дорівнює половині максимальної і, отже, половині повної; середня кінетична енергія також дорівнює половині повної енергії.

§ 5. Коливання під дією зовнішньої сили

Нам залишається розглянути коливання гармонійного осциляторапід впливом зовнішньої сили. Рух у разі описується рівнянням

md 2 x/dt 2 =-kx+F(t).(21.8)

Давайте подумаємо, як поводитиметься грузик за цих обставин. Зовнішня рушійна силаможе залежати від часу яким завгодно. Почнемо із найпростішої залежності. Припустимо, що сила осцилює

F(t)=F 0 coswt.(21.9)

Зверніть увагу, що w- це не обов'язково w 0: вважатимемо, що можна змінювати w, змушуючи силу діяти з різною частотою. Отже, треба розв'язати рівняння (21.8) у разі спеціально підібраної сили (21.9). Яким буде рішення (21.8)? Одне з приватних рішень (загальним рішенням ми займемося) виглядає так:

z = Ccoswt, (21.10)

де постійну Зще треба визначити. Інакше кажучи, намагаючись знайти рішення в такому вигляді, ми припускаємо, що, якщо тягнути грузик туди-сюди, він зрештою почне гойдатися туди-сюди з частотою діючої сили. Перевіримо, чи це може бути. Підставивши (21.10) у (21.9), отримаємо

Mw 2 З coswt=-mw 2 0 Сcoswt+F 0 coswt. (21.11)

Ми вже замінили kна mw 2 0 тому, що зручніше порівнювати дві частоти. Рівняння (21.11) можна поділити на косинус, що міститься в кожному члені, і переконатися, що при правильно підібраному значенні Звираз (21.10) буде рішенням. Ця величина Змає бути такою:

Таким чином, грузик тколивається з частотою сили, що діє на нього, але амплітуда коливання залежить від співвідношення між частотою сили і частотою вільного руху осцилятора. Якщо з дуже мала порівняно з w 0 , то вантаж рухається слідом за силою. Якщо ж надто швидко змінювати напрямок поштовхів, то вантаж починає рухатися в протилежному по відношенню до сили напрямі. Це випливає з рівності (21.12), яка говорить нам, що величина Знегативна, якщо w більше власноючастоти гармонійного осцилятора w0. (Ми будемо називати w 0 власною частотою гармонійного осцилятора, а w - прикладеною частотою.) При дуже високій частоті знаменник стає дуже великим і грузик практично не рухається.

Знайдене нами рішення справедливе лише в тому випадку, коли вже встановилася рівновага між осцилятором та чинною силою; це відбувається після того, як вимруть інші рухи. Ці вимираючі рухи називають перехіднимвідгуком на силу F(t),а рух, що описується (21.10) та (21.12),- рівноважнимвідгуком.

Придивившись до формули (21.12), ми помітимо цікаву річ: якщо частота майже дорівнює w 0 , то Знаближається до нескінченності. Таким чином, якщо налаштувати силу «в лад» із власною частотою, відхилення вантажу досягнуть гігантських розмірів. Про це знає кожен, кому колись доводилося розгойдувати дитину на гойдалці. Це досить важко зробити, якщо заплющити очі і безладно штовхати гойдалку. Але якщо знайти правильний ритм, то розкачати гойдалку легко, проте, як тільки ми знову зіб'ємося з ритму, поштовхи почнуть гальмувати гойдалку і від такої роботи буде мало користі.

Якщо частота зі буде точно дорівнює w 0 , то амплітуда повинна стати нескінченною,що, зрозуміло, неможливо. Ми помилилися, бо вирішували не зовсім правильне рівняння. Складаючи рівняння (21.8), ми забули про силу тертя і багато інших сил. Тому амплітуда ніколи не досягне нескінченності; мабуть, пружинка порветься набагато раніше!