Рівняння гармонійного осцилятора пружинного маятника. Закон руху гармонійного осцилятора

2a. Простір. Час. Рух Фейнман Річард Філліпс

Глава 21 Гармонічний осцилятор

Розділ 21

ГАРМОНІЧНИЙ ОСЦИЛЯТОР

§ 1. Лінійні диференціальні рівняння

§ 4. Початкові умови

§ 1. Лінійні диференціальні рівняння

Зазвичай фізику як науку ділять на кілька розділів: механіку, електрику тощо, і ми проходимо ці розділи один за одним. Зараз, наприклад, ми «проходимо» здебільшого механіку. Але час від часу відбуваються дивні речі: переходячи до нових розділів фізики і навіть до інших наук, ми стикаємося з рівняннями, які майже не відрізняються від уже вивчених нами раніше. Таким чином, багато явищ мають аналогію в зовсім інших галузях науки. Найпростіший приклад: поширення звукових хвиль багато в чому схоже поширення світлових хвиль. Якщо ми досить докладно вивчимо акустику, то виявимо потім, що «пройшли» досить велику частинуоптики. Таким чином, вивчення явищ в одній галузі фізики може виявитися корисним щодо інших її розділів. Добре з самого початку передбачити таке можливе «розширення рамок розділу», інакше можуть виникнути здивування, чому ми витрачаємо стільки часу та сил на вивчення невеликого завдання механіки.

Гармонійний осцилятор, до вивчення якого ми зараз переходимо, буде зустрічатися майже усюди; хоча ми почнемо з суто механічних прикладів грузика на пружинці, малих відхилень маятника чи якихось інших механічних пристроїв, насправді ми вивчатимемо якесь диференційне рівняння.Це рівняння невпинно зустрічається у фізиці та в інших науках і фактично описує настільки багато явищ, що, право ж, варте того, щоб вивчити його краще. Таке рівняння описує коливання грузика на пружинці, коливання заряду, поточного взад і вперед електричного ланцюга, коливання камертону, що породжують звукові хвилі, аналогічні коливання електронів в атомі, що породжують світлові хвилі. Додайте сюди рівняння, що описують дії регуляторів, наприклад, підтримують задану температуру термостата, складні взаємодіїу хімічних реакціях і (вже зовсім несподівано) рівняння, що відносяться до зростання колонії бактерій, яких одночасно і годують і труять отрутою, або до розмноження лисиць, що харчуються кроликами, які їдять траву, і т. д. Ми навели дуже неповний список явищ, що описуються майже тими ж рівняннями, що й механічний осцилятор. Ці рівняння називаються лінійними диференціальними рівняннями із постійними коефіцієнтами.Це рівняння, що складаються із суми кількох членів, кожен з яких є похідною. залежної величиниза незалежною, помноженою на постійний коефіцієнт. Таким чином,

називається лінійним диференціальним рівнянням n-го порядку з постійними коефіцієнтами (все а n - постійні).

§ 2. Гармонічний осцилятор

Мабуть, найпростішою механічною системою, рух якої описується лінійним диференціальним рівнянням із постійними коефіцієнтами, є маса на пружинці. Після того, як до пружинки підвісять грузик, вона трохи розтягнеться, щоб врівноважити силу тяжіння. Простежимо тепер за вертикальними відхиленнями маси від положення рівноваги (фіг. 21.1).

Фіг. 21.1. Вантажівка, підвішена на пружинці.

Простий приклад гармонійного осцилятора.

Відхилення вгору положення рівновагими позначимо через хі припустимо, що маємо справу з абсолютно пружною пружиною. У цьому випадку сили, що протидіють розтягуванню, прямо пропорційні розтягуванню. Це означає, що сила дорівнює - kx(Знак мінус нагадує нам, що сила протидіє зсувам). Таким чином, помножене на масу прискорення має бути рівним. kx

m(d 2 x/dt 2) =-kx.(21.2)

Для простоти припустимо, що сталося так (або ми належним чином змінили систему одиниць), що k/m = 1. Нам належить вирішити рівняння

d 2 x/dt 2 =-x. (21.3)

Після цього ми повернемося до рівняння (21.2), у якому kі mутримуються явно.

Ми вже стикалися з рівнянням (21.3), коли починали вивчати механіку. Ми вирішили його чисельно [див. вип. 1, рівняння (9.12)], щоб знайти рух. Чисельним інтегруванням знайшли криву (див. фіг. 9.4, вип. 1), яка показує, що якщо частка mв початковий моментвиведена з рівноваги, але спочиває, вона повертається до положення рівноваги. Ми не стежили за часткою після того, як вона досягла положення рівноваги, але ясно, що вона на цьому не зупиниться, а буде вагатися (осцилювати).При чисельному інтегруванні ми знайшли час повернення до точки рівноваги: t= 1,570. Тривалість повного циклу вчетверо більша: t 0 = 6,28 "сек".Все це ми знайшли чисельним інтегруванням, бо краще не вміли вирішувати. Але математики дали наше розпорядження певну функцію, яка, якщо її продиференціювати двічі, перетворюється на, помножившись на -1. (Можна, звичайно, зайнятися прямим обчисленням таких функцій, але це набагато важче, ніж просто дізнатися відповідь.)

Ця функція є: x = cost.Продиференціюємо її: dx/dt=-sint, a d 2 x/dt 2 =-wt=-x.У початковий момент t=0, x=1, а початкова швидкість дорівнює нулю; це ті припущення, які ми робили при чисельному інтегруванні. Тепер, знаючи, що x=cost,знайдемо точнезначення часу, у якому z=0. Відповідь: t=p/2,чи 1,57108. Ми помилилися раніше в останньому знаку, бо чисельне інтегрування було наближеним, але помилка дуже мала!

Щоб просунутися далі, повернемося до системи одиниць, де час вимірюється у секундах. Що буде рішенням у цьому випадку? Можливо, ми врахуємо постійні kі т,помноживши на відповідний множник cost? Спробуємо. Нехай x=Acost,тоді dx/dt=-Asintі d 2 t/dt 2 =-Acost=-x.На жаль, ми не досягли успіху у вирішенні рівняння (21.2), а знову повернулися до (21.3). Натомість ми відкрили найважливіша властивістьлінійних диференціальних рівнянь: якщо помножити рішення рівняння на постійну, ми знову отримаємо рішення.Математично ясно – чому. Якщо хє рішення рівняння, то після множення обох частин рівняння Апохідні теж помножаться на Aі тому Ахтак само добре задовольнить рівнянню, як і х.Послухаємо, що скаже із цього приводу фізик. Якщо грузик розтягне пружинку вдвічі більше колишнього, то вдвічі зросте сила, вдвічі зросте прискорення, вдвічі більше колишньої буде придбана швидкість і за той самий час грузик пройде вдвічі більшу відстань. Але це вдвічі більша відстань- саме та сама відстань, яка требапройти грузику до рівноваги. Таким чином, щоб досягти рівноваги, потрібно стільки ж часуі воно залежить від початкового усунення. Інакше висловлюючись, якщо рух описується лінійним рівнянням, незалежно від «сили» воно розвиватиметься у часі однаковим чином.

Помилка пішла нам на користь – ми дізналися, що, помноживши рішення на постійну, ми отримаємо рішення колишнього рівняння. Після кількох спроб і помилок можна прийти до думки, що замість маніпуляцій з хтреба змінити шкалу часу.Інакше висловлюючись, рівняння (21.2) повинно мати рішення виду

x=cos w 0 t. (21.4)

(Тут w 0 - зовсім не кутова швидкість тіла, що обертається, але нам не вистачить всіх алфавітів, якщо кожну величину позначати особливою літерою.) Ми забезпечили тут wіндексом 0, тому що нам доведеться зустріти ще багато всяких омег: запам'ятаємо, що w 0 відповідає природного рухуосцилятора. Спроба використовувати (21.4) як рішення успішніша, тому що dx/dt=-(w 0 sin w 0 t і d 2 x/dt 2 =-w 2 0 w s w 0 t=-w 2 0 x. Нарешті ми вирішили те рівняння, яке хотіли вирішити. Це рівняння збігається з (21.2), якщо w 2 0 =k/m.

Тепер потрібно зрозуміти фізичний сенс w 0 . Ми знаємо, що косинус повторюється після того, як кут зміниться на 2я. Тому x=cosw 0 tбуде періодичним рухом; повний цикл цього руху відповідає зміні «кута» на 2p. Величину w 0 tчасто називають фазоюруху. Щоб змінити w 0 t на 2p , потрібно змінити tна t 0 (періодповного коливання); звісно, t 0 знаходиться з рівняння w 0 t 0 = 2p. Це означає що w 0 t 0 потрібно обчислювати для одного циклу, і все повторюватиметься, якщо збільшити tна t 0 ; у разі ми збільшимо фазу на 2p. Таким чином,

Значить, чим важчий грузик, тим повільніше пружинка коливатиметься взад і вперед. Інерція в цьому випадку буде більшою, і якщо сила не зміниться, їй знадобиться більше часу для розгону та гальмування вантажу. Якщо взяти пружинку жорсткіше, то рух має відбуватися швидше; і справді, період зменшується зі збільшенням жорсткості пружини.

Зауважимо тепер, що період коливань маси на пружинці не залежить від того, якколивання починаються. Для пружинки начебто байдуже, наскільки ми її розтягнемо. Рівняння руху (21.2) визначає періодвагань, але нічого не говорить про амплітуду коливання. Амплітуду коливання, звичайно, можна визначити, і ми зараз займемося цим, але для цього треба задати початкові умови.

Річ у тім, що ми ще знайшли найзагальнішого рішення рівняння (21.2). Є кілька видів рішень. Рішення x=acosw 0 tвідповідає випадку, як у початковий момент пружинка розтягнута, а швидкість її дорівнює нулю. Можна інакше змусити пружинку рухатися, наприклад вилучити момент, коли врівноважена пружинка спочиває (х = 0),і різко вдарити по грузику; це означатиме, що у момент t=0 пружинці повідомлено якусь швидкість. Такому руху відповідатиме інше рішення (21.2) – косинус потрібно замінити на синус. Кинемо в косинус ще один камінь: якщо x=cos w 0 t-рішення, то, увійшовши в кімнату, де гойдається пружинка, в той момент (назвемо його «t=0»), коли вантаж проходить через положення рівноваги (x=0), ми будемо змушені замінити це рішення іншим. Отже, x=cosw 0 tне може бути загальним рішенням; загальне рішення має допускати, як кажуть, переміщення початку відліку часу. Такою властивістю має, наприклад, рішення x=acosw 0 (t-t 1 ), де t 1 - якась постійна. Далі можна розкласти

cos(w 0 t+D)=cos w 0 t cos D-sin w 0 t sin Dта записати

x=A cos w 0 t+У sin w 0 t,

де A=acos Dі В=- asin D. Кожну з цих форм можна використовувати для запису загального рішення (21.2): будь-яке з існуючих у світі рішень диференціального рівняння

d 2 x/dt 2 =-w 2 0 xможна записати у вигляді

x=acosw 0 (t-t 1 ), (21.6а)

x=acos(w 0 t+D), (21.6б)

х = A cos w 0 t+B sin w 0 t.(21.6в)

Деякі з величин, що зустрічаються в (21.6), мають назви: w 0 називають кутовий частотою;це число радіанів, на яке фаза змінюється за 1 сек.Вона визначається диференціальним рівнянням. Інші величини рівнянням не визначаються, а залежать від початкових умов. Постійна аслужить мірою максимального відхилення вантажу і називається амплітудоюколивання. Постійну Dіноді називають фазоюколивання, але можливі непорозуміння, тому що інші називають фазою w 0 t+D і кажуть, що фаза залежить від часу. Можна сказати, що D – це зсув фазив порівнянні з деякою, що приймається за нуль. Не будемо сперечатися про слова. Різним D відповідають руху з різними фазами. Ось це правильно, а називати D фазою чи ні - вже інше питання.

§ 3. Гармонійний рух та рух по колу

Косинус у вирішенні рівняння (21.2) наводить на думку, що гармонійний рухмає якесь відношення до руху по колу. Це порівняння, звичайно, штучне, тому що в лінійному русі нема звідки взятися кола: вантаж рухається суворо вгору і вниз. Можна виправдатись тим, що ми вже вирішили рівняння гармонійного руху, коли вивчали механіку руху по колу. Якщо частка рухається по колу з постійною швидкістю v,то радіус-вектор із центру кола до частки повертається на кут, величина якого пропорційна часу. Позначимо цей кут q =vt/R(Фіг. 21.2).

Фіг. 21.2. Частка рухається по колу з постійною швидкістю.

Тоді d q /dt= w 0 =v/R.Відомо, що прискорення а=v 2 /R=w 2 0 R направлено до центру. Координати точки, що рухається в заданий момент рівні

х=R cosq, y=Rsinq.

Що можна сказати про прискорення? Чому дорівнює x-складова прискорення, d 2 x/dt 2 . НАйті цю величину можна чисто геометрично: вона дорівнює величині прискорення, помноженої на косинус кута проекції; перед отриманим виразом треба поставити знак мінус, тому що прискорення спрямоване до центру:

а х =- acosq=-wRcosq=-w 2 0 х.(21.7)

Іншими словами, коли частка рухається по колу, горизонтальна складова руху має прискорення, пропорційне горизонтальному зміщеннювід центру. Звичайно, ми знаємо рішення для випадку руху по колу: x=Rcos w 0 t.Рівняння (21.7) не містить радіусу кола; воно однаково під час руху по будь-якого кола при однаковій w 0 .

Таким чином, є кілька причин, з яких слід очікувати, що відхилення грузика на пружинці виявиться пропорційним cosw 0 t і рух виглядатиме так, як якщо б ми стежили за x-координатою частинки, що рухається по колу з кутовий швидкістю w 0 . Перевірити це можна, поставивши досвід, щоб показати, що рух вантажу вгору-вниз на пружинці точно відповідає руху точки по колу. На фіг. 21.3 світло дугової лампи проектує на екран тіні рухомих поруч встромленою в обертовий диск голки і вантажу, що вертикально коливається.

Фіг. 21.3. Демонстрація еквівалентності простого гармонійного руху та рівномірного рухупо колу.

Якщо вчасно і з потрібного місцязмусити вантаж коливатися, а потім обережно підібрати швидкість руху диска так, щоб частоти їх рухів збіглися, тіні на екрані точно слідуватимуть одна за одною. Ось ще спосіб переконатися, що, знаходячи чисельне рішення, ми майже впритул підійшли до косінусу.

Тут можна підкреслити, що оскільки математика рівномірного руху по колу дуже подібна до математики коливального рухувгору-вниз, то аналіз коливальних рухів дуже спроститься, якщо уявити цей рух як проекцію руху по колу. Інакше кажучи, ми можемо доповнити рівняння (21.2), здавалося б, зовсім зайвим рівнянням для уі розглядати обидва рівняння спільно. Зробивши це, ми зведемо одномірні коливання до руху по колу,що позбавить нас рішення диференціального рівняння. Можна зробити ще один трюк – ввести комплексні числа, але про це у наступному розділі.

§ 4. Початкові умови

Давайте з'ясуємо, який сенс мають А і Вабо а і D. Звичайно, вони показують, як почався рух. Якщо рух розпочнеться з малого відхилення, ми отримаємо один тип коливань; якщо злегка розтягнути пружинку, а потім ударити по вантажу - інший. Постійні Аі Уабо а і D, або якісь дві інші постійні визначаються обставинами, за яких почався рух, або, як зазвичай кажуть, початковими умовами.Потрібно навчитися визначати постійні, з початкових умов. Хоча для цього можна використовувати будь-яке із співвідношень (21.6), найкраще мати справу з (21.6в). Нехай у початковий момент t=0 вантаж зміщений від положення рівноваги на величину х 0 і має швидкість v 0 . Це сама загальна ситуаціяяку тільки можна придумати. (Не можна задати початкового прискорення,тому що воно залежить від властивостей пружини; ми можемо розпорядитися лише величиною х 0 .) Обчислимо тепер Аі Ст.Почнемо з рівняння для

х = Acosw o t+B sin w 0 t;

оскільки нам знадобиться і швидкість, продиференціюємо хі отримаємо

v=- w 0 Asin w 0 t+ w 0 Bcos w 0 t.

Ці висловлювання справедливі всім t,але ми маємо додаткові відомості про величини хі vпри t=0. Таким чином, якщо покласти t=0, ми маємо отримати ліворуч х 0 і v 0 , бо це те, на що перетворюються хі vпри t=0. Крім того, ми знаємо, що косинус нуля дорівнює одиниціа синус нуля дорівнює нулю. Отже,

х 0 =А· 1+В· 0=А

v u =-w 0 A·0+ w 0 B · 1 = w 0 B.

Таким чином, у цьому окремому випадку

А = х 0 , В = v 0 /w 0 .

Знаючи Аі В,ми можемо, якщо побажаємо, знайти і D.

Отже, завдання про рух осцилятора вирішено, але є одна цікава річ, яку треба перевірити. Потрібно з'ясувати, чи зберігається енергія. Якщо немає сил тертя, енергія повинна зберігатися. Нині нам зручно використовувати формули

х=a cos( w o t+D) та v=-w 0 asin( w 0 t+D).

Давайте знайдемо кінетичну енергію Тта потенційну енергію U. Потенційна енергія у довільний момент часу дорівнює 1/2 kx 2 , де х -зсув, a k -постійна пружності пружинки. Підставляючи замість хнаписане вище вираз, знайдемо

U= 1 / 2 kx 2 = 1 / 2 ka 2 cos 2 ( w 0 t+D).

Зрозуміло, потенційна енергія залежить від часу; вона завжди позитивна, це теж зрозуміло: адже потенційна енергія - це енергія пружини, а вона змінюється разом із х.Кінетична енергія дорівнює 1 / 2 mv 2 ; використовуючи вираз для v,отримуємо

Т = 1 / 2 mv 2 = 1 / 2 mw 2 0 a 2 sin 2 (w 0 t+D).

Кінетична енергія дорівнює нулю за максимального х, боу цьому випадку грузик зупиняється; коли ж вантаж проходить положення рівноваги (x=0), то кінетична енергіядосягає максимуму, тому що саме тоді грузик рухається найшвидше. Зміна кінетичної енергії, таким чином, протилежна зміні потенційної енергії. Повна енергія має бути постійною. Справді, якщо згадати, що k=mw 2 0 , то

T+U= 1/2 m w 2 0 а 2 = 1/2 rn w 2 0 a 2 .

Енергія залежить від квадрата амплітуди: якщо збільшити амплітуду коливання вдвічі, то енергія зросте вчетверо. Середняпотенційна енергія дорівнює половині максимальної і, отже, половині повної; середня кінетична енергія також дорівнює половині повної енергії.

§ 5. Коливання під дією зовнішньої сили

Нам залишається розглянути коливання гармонійного осциляторапід впливом зовнішньої сили. Рух у разі описується рівнянням

md 2 x/dt 2 =-kx+F(t).(21.8)

Давайте подумаємо, як поводитиметься грузик за цих обставин. Зовнішня рушійна силаможе залежати від часу яким завгодно. Почнемо із найпростішої залежності. Припустимо, що сила осцилює

F(t)=F 0 coswt.(21.9)

Зверніть увагу, що w- це не обов'язково w 0: вважатимемо, що можна змінювати w, змушуючи силу діяти з різною частотою. Отже, треба розв'язати рівняння (21.8) у разі спеціально підібраної сили (21.9). Яким буде рішення (21.8)? Одне з приватних рішень (загальним рішенням ми займемося) виглядає так:

z = Ccoswt, (21.10)

де постійну Зще треба визначити. Інакше кажучи, намагаючись знайти рішення в такому вигляді, ми припускаємо, що, якщо тягнути грузик туди-сюди, він зрештою почне гойдатися туди-сюди з частотою діючої сили. Перевіримо, чи це може бути. Підставивши (21.10) у (21.9), отримаємо

Mw 2 З coswt=-mw 2 0 Сcoswt+F 0 coswt. (21.11)

Ми вже замінили kна mw 2 0 тому, що зручніше порівнювати дві частоти. Рівняння (21.11) можна поділити на косинус, що міститься в кожному члені, і переконатися, що при правильно підібраному значенні Звираз (21.10) буде рішенням. Ця величина Змає бути такою:

Таким чином, грузик тколивається з частотою сили, що діє на нього, але амплітуда коливання залежить від співвідношення між частотою сили і частотою вільного руху осцилятора. Якщо з дуже мала порівняно з w 0 , то вантаж рухається слідом за силою. Якщо ж надто швидко змінювати напрямок поштовхів, то вантаж починає рухатися в протилежному по відношенню до сили напрямі. Це випливає з рівності (21.12), яка говорить нам, що величина Знегативна, якщо w більше власноючастоти гармонійного осцилятора w0. (Ми будемо називати w 0 власною частотою гармонійного осцилятора, а w - прикладеною частотою.) При дуже високій частоті знаменник стає дуже великим і грузик практично не рухається.

Знайдене нами рішення справедливе лише в тому випадку, коли вже встановилася рівновага між осцилятором та чинною силою; це відбувається після того, як вимруть інші рухи. Ці вимираючі рухи називають перехіднимвідгуком на силу F(t),а рух, що описується (21.10) та (21.12),- рівноважнимвідгуком.

Придивившись до формули (21.12), ми помітимо цікаву річ: якщо частота майже дорівнює w 0 , то Знаближається до нескінченності. Таким чином, якщо налаштувати силу «в лад» із власною частотою, відхилення вантажу досягнуть гігантських розмірів. Про це знає кожен, кому колись доводилося розгойдувати дитину на гойдалці. Це досить важко зробити, якщо заплющити очі і безладно штовхати гойдалку. Але якщо знайти правильний ритм, то розкачати гойдалку легко, проте, як тільки ми знову зіб'ємося з ритму, поштовхи почнуть гальмувати гойдалку і від такої роботи буде мало користі.

Якщо частота зі буде точно дорівнює w 0 , то амплітуда повинна стати нескінченною,що, зрозуміло, неможливо. Ми помилилися, бо вирішували не зовсім правильне рівняння. Складаючи рівняння (21.8), ми забули про силу тертя і багато інших сил. Тому амплітуда ніколи не досягне нескінченності; мабуть, пружинка порветься набагато раніше!

З книги Живий кристал автора Гегузін Яків Євсійович

З книги Принц із країни хмар автора Гальфар Крістоф

Розділ 11 Двері відчинилися, і Міртіль застигла на місці. У неї перехопило подих. Перед нею стояла така гарна жінка, Якої вона ще ніколи не бачила. Риси пані Дрейкбули вражаюче тонкими: вітерець, що овів її прекрасне обличчя, і той, здавалося, торкався до нього з

З книги МИКОЛА ТЕСЛА. лекції. СТАТТІ. автора Тесла Нікола

Розділ 12 Пані Дрейк сиділа навпроти принцеси. Ніздрі Міртіль лоскотав солодкуватий запах настою, що курився в чашках. Вдихаючи аромати далеких країн, вона, що ніколи не покидала Міртільвіль, ніби перенеслася в невідомі краї і мчала в повітрі над вогняно-червоними

З книги Око та Сонце автора Вавілов Сергій Іванович

Розділ 14 Непомітно махнувши рукою Том, Трістам зайняв своє звичайне місце в останньому ряду. Міртіль кинула побіжний погляд на його руку: вчорашній опік зажив. Джеррі, що сидів поряд з Томом, був у нестямі від люті. Знову цей Трістам дешево відбувся! Неподобство! Давно пора

З книги автора

Розділ 15 - Мені зовсім не хочеться йти до директорки, - сказав Трістам, як тільки вони з Томом опинилися в коридорі. - Раніше треба було думати, - заперечив Том. - Тепер нічого не вдієш. Доведеться йти! І друзі поплелися до директорського кабінету. Трістам не помічав, що

З книги автора

Розділ 16 Вітер дув все дужче. Стебла рисових мітелок нещадно хлестали Тома і Трістама, що тікали від переслідувачів. Збожеволівши від страху, хлопчики думали тільки про те, щоб нагнати пані Дрейк. До захисного огородження було вже недалеко. Біля міської межі мати Трістама

З книги автора

Розділ 17 На півгодини раніше, коли в клас Лазурро вбіг полковник, Міртіль зрозуміла, що для їхнього містечка настав останній годинник. — Вони нас знайшли, — твердо сказав полковник. – Вони вже тут. Міртіль, Трістам, ходімо зі мною, ви повинні тікати.

З книги автора

Розділ 13 Коли Том увійшов до вітальні, Трістам сидів на дивані. Він повісив мамин кулон собі на шию, заправивши кристал під светр, і дивився на портрет Міртіль, що лежав перед ним на низенькому столику. Тристамові очі блищали, ніби він щойно плакав. — Ну і тип! -

З книги автора

Розділ 7 - Ти знаєш щось про аеродинаміку? - спитав Вакінг. - Арое ... що? У навушниках почулося важке зітхання Тома, що летів разом з Робом. Їхню машину відділяло від ластівки Вакінга кілька кілометрів. - Це наука про властивості повітря, що обтікає літаки, ракети

З книги автора

Розділ 10 – Все пропало! - вигукнув Том. - Роб не прилетить! Як думаєш, у лейтенанта був план на цей випадок? Тристам явно сумнівався, але промовчав. Він з відчаєм дивився, як ланки по десять машин, одна за одною, заходять на посадку. У деяких, особливо великих

З книги автора

Розділ 13 Усередині моторошної хмари не було чим дихати. Густий сірий туман засліпив Міртіль і Трістама, поривчастий вітер, з кожною миттю посилюючись, жбурляв машину як тріску, і вони майже відразу перестали розуміти, куди їх тягне. Потужність чудовиська, в утробі якого вони опинилися,

З книги автора

Розділ 15 Вони йшли довго, може, кілька годин. Трістам мовчки крокував за Вакінгом і Міртіль, уловлюючи уривки їхньої розмови. Так, він почув, що більшість льотчиків із Білої Столиці, на думку лейтенанта, мали врятуватися і навіть не надто постраждати: всі вони були

З книги автора

Розділ 16 Вони йшли лісом, і Міртиль розповідала Трістаму про все, що з нею сталося: про зустріч з тираном, про тропічний циклон і про те, який вибір запропонував їй цей чоловік, який не приховував свого божевілля. — Ти обрала смерть? - спитав приголомшений Трістам. - Так. І

З книги автора

ПЕРШІ СПРОБИ ОТРИМАТИ САМО-ДІЇ ДІВАЛЬНИК - МЕХАНІЧНИЙ ОСЦИЛЯТОР - РОБОТА ДЮАРА І ЛІНДЕ - РІДКОЕ ПОВІТРЯ Усвідомивши цю істину, я почав шукати шляхи виконання і

З книги автора

РОЗВИТОК НОВОГО ПРИНЦИПУ - ЕЛЕКТРИЧНИЙ ОСЦИЛЯТОР - ВИРОБ КОЛОСАЛЬНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ РУХІВ - ЗЕМЛЯ ВІДПОВІДАЄ ЛЮДИНІ - МІЖПЛАНЕТНА ЗВ'ЯЗНИЦЯ ЗВ'ЯЗНИТЬСЯ ЗВ'ЯЗНИТИ

Гармонійний осцилятор(У класичній механіці) - система, яка при зміщенні з положення рівноваги відчуває дію повертаючої сили F, пропорційної зсуву x(згідно із законом Гуку):

F = − k x (\displaystyle F=-kx)

де k- Коефіцієнт жорсткості системи.

Якщо F- єдина сила, що діє на систему, то систему називають простимабо консервативним гармонічним осцилятором. Вільні коливання такої системи є періодичний рухбіля положення рівноваги ( гармонійні коливання). Частота і амплітуда у своїй постійні, причому частота залежить від амплітуди.

Механічними прикладами гармонійного осцилятора є математичний маятник (з малими кутами відхилення), торсійний маятник і акустичні системи. Серед інших аналогів гармонійного осцилятора варто виділити електричний гармонійний осцилятор (див. LC-ланцюг).

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

Елементарні частинки квантова теоріяполя | етюд №6 | квантовий осцилятор

Вимушені коливання лінійного осцилятора Загальна фізика. Механіка Євген Бутіков

Елементарні частинки квантова теорія поля етюд №5 | класичний осцилятор

Осцилятори: що це та як їх використовувати? Навчання для трейдерів від I-TT.RU

Sytrus 01 з 16 Робота з формою осцилятора

Субтитри

Вільні коливання

Консервативний гармонічний осцилятор

Як модель консервативного гармонійного осцилятора візьмемо вантаж маси m, закріплений на пружині жорсткістю k .

Нехай x- усунення вантажу щодо положення рівноваги. Тоді, згідно із законом Гука, на нього діятиме сила, що повертає:

F = − k x . (\displaystyle F=-kx.)

Підставляємо в диференціальне рівняння.

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ? ,) − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A omega ^(2) omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)

Амплітуда скорочується. Значить, вона може мати будь-яке значення (у тому числі і нульове - це означає, що вантаж лежить у положенні рівноваги). На синус також можна скоротити, тому що рівність повинна виконуватись у будь-який момент часу t. Таким чином, залишається умова для частоти коливань:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac(1)(2))kx^(2)=(\frac(1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

тоді повна енергія має постійне значення

E = 1 2 k A 2 . (\displaystyle E=(\frac (1)(2))kA^(2).)

Простий гармонійний рух- це рух простого гармонійного, осцилятора, періодичний рух, який не є ні вимушеним, ні загасаючим. Тіло в простому гармонійному русі піддається впливу єдиної змінної сили, яка по модулю прямо пропорційна зміщенню. xвід положення рівноваги та направлена у зворотний бік.

Цей рух є періодичним: тіло коливається біля положення рівноваги за синусоїдальним законом. Кожне наступне коливання таке ж, як і попереднє, і період частота і амплітуда коливань залишаються постійними. Якщо прийняти, що положення рівноваги знаходиться в точці координати, рівної нулю, то зміщення xтіла від положення рівноваги у будь-який момент часу дається формулою:

x (t) = A cos ⁡ (2 π f t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),)

де A- амплітуда коливань, f- Частота, φ - початкова фаза.

Частота руху визначається характерними властивостямисистеми (наприклад, масою тіла, що рухається), у той час як амплітуда і початкова фаза визначаються початковими умовами - переміщенням і швидкістю тіла в момент початку коливань. Кінетична та потенційна енергії системи також залежать від цих властивостей та умов.

Просте гармонійне рух можна як математичну модель різних видівруху, наприклад, як коливання пружини . Іншими випадками, які можуть приблизно розглядатися як простий гармонійний рух, є рух маятника і вібрації молекул.

Просте гармонійне рух є основою деяких способів аналізу складніших видів руху. Одним з таких способів є спосіб, заснований на перетворенні Фур'є , суть якого зводиться до розкладання складного виглядуруху до ряду простих гармонійних рухів.

Типовим прикладом системи, в якій відбувається простий гармонійний рух, є ідеалізована система вантаж-пружина, в якій вантаж приєднаний до пружини. Якщо пружина не стиснута і не розтягнута, то вантаж не діє жодних змінних сил, і вантаж перебуває у стані механічного рівноваги. Однак, якщо вантаж вивести із положення рівноваги, пружина деформується, і з її боку на вантаж діятиме сила, яка прагнутиме повернути вантаж у положення рівноваги. У разі системи вантаж-пружина такою силою є сила пружності пружини, яка підпорядковується закону.

F = − k x , (\displaystyle F=-kx,) F- Повертаюча сила, x- переміщення вантажу (деформація пружини), k- Коефіцієнт жорсткості пружини.

Будь-яка система, в якій відбувається простий гармонійний рух, має дві ключові властивості:

Коли система виведена зі стану рівноваги, повинна існувати сила, що повертає, що прагне повернути систему в рівновагу.
Повертальна сила повинна точно або приблизно бути пропорційна переміщенню.

Система вантаж-пружина задовольняє обом цим умовам.

Одного разу зміщений вантаж піддається дії сили, що повертає, прискорює його, і прагне повернути в початкову точкутобто в положення рівноваги. У міру того, як вантаж наближається до положення рівноваги, сила, що повертає, зменшується і прагне до нуля. Однак у положенні x = 0 вантаж володіє деякою кількістю руху (імпульсом), набутим завдяки дії сили, що повертає. Тому вантаж проскакує положення рівноваги, починаючи знову деформувати пружину (але вже в протилежному напрямку). Повертаюча сила буде прагнути сповільнити його, доки швидкість стане рівною нулю; і сила знову прагнутиме повернути вантаж у положення рівноваги.

Поки в системі немає втрат енергії, вантаж коливатиметься як описано вище; такий рух називається періодичним.

Подальший аналіз покаже, що у разі системи вантаж-пружина рух є простим гармонійним.

Динаміка простого гармонійного руху

Для коливання в одновимірному просторі, враховуючи Другий закон, Ньютона ( F = m d² x/d t² ) та закон Гука ( F = −kx, як описано вище), маємо лінійне диференціальне рівняння другого порядку:

m d 2 x d t 2 = − k x , (\displaystyle m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) m- маса тіла, x- його переміщення щодо положення рівноваги, k- Постійна (коефіцієнт твердості пружини).

Рішення цього диференціального рівняння є синусоїдальним; одне з рішень таке:

x (t) = A cos ⁡ (ω t + φ) ,

де A, ω і φ - постійні величини, та положення рівноваги приймається за початкове. Кожна з цих постійних є важливим фізична властивістьруху: A- це амплітуда, ω = 2π f- кругова частота, і φ - початкова фаза.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)

Універсальний рух по колу

Просте гармонійне рух у деяких випадках можна розглядати як одновимірну проекцію універсального руху по колу.

Якщо об'єкт рухається з постійною кутовою швидкістю ω по колу радіуса r, центром якої є початок координації площини x − y, такий рух уздовж кожної з координатних осей є простим гармонійним з амплітудою rі круговою частотою?

Вантаж як простий маятник

У наближенні малих кутів рух простого маятника близький до простого гармонійного. Період коливань такого маятника, прикріпленого до стрижня завдовжки ℓ з прискоренням вільного падіння gдається формулою

T = 2 π ℓ g. (Displaystyle T = 2 pi (sqrt (frac (ell) (g))).)

Це показує, що період коливань не залежить від амплітуди та маси маятника, але залежить від прискорення вільного падіння gТому при тій же довжині маятника, на Місяці він буде гойдатися повільніше, тому що там слабша гравітація і менше значенняприскорення вільного падіння.

Вказане наближення є коректним тільки при невеликих кутах відхилення, оскільки вираз для кутового прискорення пропорційно синусу координати:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

де I- момент інерції ; в даному випадку I = m ℓ 2 .

ℓ mg θ = I α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ),

що робить кутове прискоренняпрямо пропорційним куту θ , а це задовольняє визначення простого гармонійного руху.

Гармонійний осцилятор із загасанням

Взявши за основу ту саму модель, додамо до неї силу в'язкого тертя. Сила в'язкого тертя спрямована проти швидкості руху вантажу щодо середовища та прямо пропорційна цій швидкості. Тоді повна сила, що діє на вантаж, записується так:

F = − k x − α v (\displaystyle F=-kx-\alpha v)

Проводячи аналогічні дії, отримуємо диференціальне рівняння, що описує загасаючий осцилятор:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

Тут введено позначення: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Коефіцієнт γ (\displaystyle \gamma)носить назву постійної згасання. Він також має розмірність частоти.

Рішення ж розпадається на три випадки.

x (t) = A e − γ t sin (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),

де ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- Частота вільних коливань.

x (t) = (A + B t) e − γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x(t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),

де β 1 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 ))).

Критичне згасання примітно тим, що саме при критичному згасанні осцилятор найшвидше прагне положення рівноваги. Якщо тертя менше критичного, він дійде до положення рівноваги швидше, проте «проскочить» його за інерцією, і коливатиме. Якщо тертя більше критичного, то осцилятор буде експоненційно прагнути положення рівноваги, але тим повільніше, чим більше тертя.

Тому в стрілочних індикаторах (наприклад, в амперметрах) зазвичай намагаються ввести саме критичне згасання, щоб стрілка заспокоювалася максимально швидко для зчитування його показань.

Згасання осцилятора також часто характеризують безрозмірним параметром, що називається добротністю. Добротність зазвичай позначають буквою Q (\displaystyle Q). За визначенням, добротність дорівнює:

Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gamma )))

Чим більша добротність, тим повільніше загасають коливання осцилятора.

У осцилятора з критичним згасанням добротність дорівнює 0,5. Відповідно, добротність показує характер поведінки осцилятора. Якщо добротність більше 0,5, то вільний рух осцилятора є коливаннями; теоретично з часом він перетне положення рівноваги необмежену кількість разів. Добротність, менша або рівна 0,5, відповідає коливанню осцилятора; в вільному русівін перетне положення рівноваги трохи більше одного разу.

Добротність іноді називають коефіцієнтом посилення осцилятора, так як при деяких способах збудження при збігу частоти збудження з резонансною частотою коливань їх амплітуда встановлюється приблизно в Q (\displaystyle Q)разів більше, ніж при збудженні з тією ж інтенсивністю на низькій частоті.

Також добротність приблизно дорівнює кількості коливальних циклів, за яке амплітуда коливань зменшується в e (\displaystyle e)раз, помноженому на π (\displaystyle \pi ).

У разі коливального руху згасання ще характеризують такими параметрами, як:

Час життявагань (воно ж час згасання, воно ж час релаксації) τ - час, за який амплітуда коливань зменшиться в eразів.

τ = 1/γ. (\displaystyle \tau =1/\gamma .)Цей час розглядається як час, необхідний для загасання (припинення) коливань (хоча формально вільні коливанняпродовжуються нескінченно довго).

Вимушені коливання

Коливання осцилятора називають вимушеними, коли на нього виробляється деяка додаткова дія ззовні. Цей вплив може здійснюватися різними засобамиі по різним законам. Наприклад, силовим збудженням називається вплив на вантаж силою, що залежить тільки від часу за певним законом. Кінематичним збудженням називають вплив на осцилятор рухом точки закріплення пружини по заданим законом. Можливо також вплив тертям, коли, наприклад, середовище, з яким вантаж зазнає тертя, здійснює рух за заданим законом.

Найпростішою моделлю коливального руху атомів у двоатомній молекулі може бути система з двох мас т/ і ш?, пов'язаних пружною пружиною. Коливання двох атомів щодо центру мас може бути замінене коливанням однієї еквівалентної

маси щодо початкової нульової точки R= 0, де

R- відстань між масами, R e- Положення точки рівноваги.

При класичному розгляді передбачається, що пружина ідеальна. пружна сила F прямо пропорційна деформації - відхилення від рівноваги х = R-R e,за законом Гука:

де до- Константа пружності. Таким чином, сила спрямована у бік повернення до рівноважного становища.

Спільно використовуючи закони Гука та Ньютона (F-та),можна записати:

(Позначаючи). Рішенням такого рівняння, як відомо,

служать гармонійні функції

де хо- амплітуда, а

Використовуючи наведену масу /лотримуємо:

Мірою потенційної енергії системи Vслужить робота

У квантової механікианаліз коливального руху для простої моделі гармонійного осцилятора є досить складним. Він заснований на вирішенні рівняння Шредінгера

(у/- коливальна хвильова функція, Е- загальна енергія частинки) і виходить за межі нашого викладу.

Для квантового осцилятора можливий лише дискретний рядзначень енергії Е та частот відповідно до формули E=hv.Крім того, мінімальне значенняенергії осцилятора не дорівнює нулю. Ця величина називається нульовою енергією, вона відповідає нижчому енергетичному рівню осцилятора і дорівнює її існування можна пояснити, виходячи з співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

Таким чином, відповідно до квантовою механікоюенергія гармонійного осцилятора квантується:

де v- коливальне квантове число, яке може набувати значення у=0, 1, 2, 3,....

При взаємодії осцилятора із квантами електромагнітного випромінюванняслід враховувати три фактори: 1) заселеність рівнів (імовірність знаходження молекули на даному енергетичному рівні); 2) правило частот (Бора), згідно з яким енергія кванта повинна відповідати різниці енергії якихось двох рівнів;

3) правило відбору для квантових переходів: можливість переходу, тобто. інтенсивність ліній у спектрі поглинання визначається величиною дипольного моменту переходу (див. теоретичне запровадження). У разі найпростішого гармонійного осцилятора правило відбору виходить із розгляду хвильових функцій. Воно говорить, що переходи можуть здійснюватися тільки між сусідніми рівнями («на одну сходинку»): коливальне квантове число змінюється на одиницю Av= 1. Оскільки відстані між сусідніми рівнями однакові, то в спектрі поглинання гармонійного осцилятора має бути тільки одна лінія з частотою

Так як відповідно до розподілу Больцмана при кімнатній і більше низьких температурахзаселений нижній коливальний рівень, то найбільш інтенсивний перехід із самого низького рівня(d=0), і частота цієї лінії збігається з частотою слабших переходів з вищих рівнів на сусідній, більш високий рівень.

Графіки хвильових функцій гармонійного осцилятора різних значеньенергії наведено малюнку 2.3. Вони є рішенням рівняння Шредінгера для гармонійного осцилятора.

де N, -нормуючий множник, Н 0- поліноми Ерміта, х = R-R e- Відхилення від положення рівноваги.

Дипольний момент переходу для коливальних переходів, R 0(або М„)дорівнює:

де ju - дипольний моментмолекули; коливання

тільні хвильові функціївихідного та кінцевого станіввідповідно. З формули видно, що перехід дозволено ,

якщо в точці рівноваги – дипольний момент молекули

змінюється поблизу положення точки рівноваги, (крива ju = f (R)у цій точці не проходить через максимум). Інтеграл (другий співмножник у формулі) також має бути не рівним нулю. Можна показати, що цієї умови дотримується, якщо перехід відбувається між сусідніми рівнями, звідси додаткове правиловідбору Аі = 1.

У разі двоатомних молекул коливальні спектри можуть спостерігатися лише для гетероядерних молекул, у гомоядерних молекул дипольний момент відсутній і не змінюється при коливаннях. У коливальних спектрах СО2 проявляються коливання (валентні антисиметричні та деформаційні), у яких змінюється дипольний момент, але з виявляються симетричні коливання, у яких він незмінний.

F, пропорційної зсуву x :

Якщо F- єдина сила, що діє на систему, то систему називають простимабо консервативним гармонічним осцилятором. Вільні коливання такої системи є періодичним рухом біля положення рівноваги (гармонічні коливання). Частота і амплітуда у своїй постійні, причому частота залежить від амплітуди.

Механічними прикладами гармонійного осцилятора є математичний маятник (з малими кутами відхилення), вантаж на пружині, торсійний маятник та акустичні системи. Серед немеханічних аналогів гармонійного осцилятора можна виділити електричний гармонійний осцилятор (див. LC-ланцюг).

Нехай x- Зміщення матеріальної точки щодо її положення рівноваги, а F- чинна на точку повертаюча сила будь-якої природи виду

де k= Const. Тоді, використовуючи другий закон Ньютона, можна записати прискорення як

Амплітуда скорочується. Отже, може мати будь-яке значення (зокрема і нульове - це означає, що матеріальна точка лежить у становищі рівноваги). На синус також можна скоротити, тому що рівність повинна виконуватись у будь-який момент часу t. Таким чином, залишається умова для частоти коливань:

Просте гармонійне рух є основою деяких способів аналізу складніших видів руху. Одним з таких способів є спосіб, заснований на перетворенні Фур'є, суть якого зводиться до розкладання складнішого виду руху в ряд простих гармонійних рухів.

Будь-яка система, в якій відбувається простий гармонійний рух, має дві ключові властивості:

Типовим прикладом системи, в якій відбувається простий гармонійний рух, є ідеалізована система вантаж-пружина, в якій вантаж приєднаний до пружини і знаходиться на горизонтальній поверхні. Якщо пружина не стиснута і не розтягнута, то на вантаж не діє жодних змінних сил і він перебуває у стані механічної рівноваги. Однак, якщо вантаж вивести із положення рівноваги, пружина деформується і з її боку діятиме сила, яка прагне повернути вантаж у положення рівноваги. У разі системи вантаж-пружина такою силою є сила пружності пружини, яка підпорядковується закону Гука:

де kмає цілком конкретне значення - це коефіцієнт жорсткості пружини.

Одного разу зміщений вантаж піддається дії сили, що повертає, прискорює його і прагне повернути в початкову точку, тобто в положення рівноваги. У міру того, як вантаж наближається до положення рівноваги, сила, що повертає, зменшується і прагне до нуля. Однак у положенні x = 0 вантаж володіє деякою кількістю руху (імпульсом), набутим завдяки дії сили, що повертає. Тому вантаж проскакує положення рівноваги, починаючи знову деформувати пружину (але вже у протилежному напрямку). Повертаюча сила буде прагнути сповільнити його, доки швидкість стане рівною нулю; і сила знову прагнутиме повернути вантаж у положення рівноваги.

Якщо немає втрат енергії, вантаж коливатиметься як описано вище; такий рух є періодичним.

Просте гармонійне рух, показане одночасно у реальному просторі та у фазовому просторі . Real Space – реальний простір; Phase Space – фазовий простір; velocity - швидкість; position – положення (позиція).

У разі вертикально підвішеного на пружині вантажу поряд із силою пружності діє сила тяжіння, тобто сумарно сила складе

Вимірювання частоти (або періоду) коливань вантажу на пружині використовуються в пристроях для визначення маси тіла - так званих масметрах, що застосовуються на космічних станціях, коли ваги не можуть функціонувати через невагомість.

Якщо об'єкт рухається з постійною кутовою швидкістю ω по колу радіусу rцентром якої є початок координат площини x − y, такий рух уздовж кожної з координатних осей є простим гармонійним з амплітудою rі круговою частотою?

У наближенні малих кутів рух простого маятника близький до простого гармонійного. Період коливань такого маятника, прикріпленого до стрижня завдовжки ℓ , дається формулою

де g- прискорення вільного падіння. Це показує, що період коливань не залежить від амплітуди та маси маятника, але залежить від gТому при тій самій довжині маятника на Місяці він буде гойдатися повільніше, тому що там слабша гравітація і менше значення прискорення вільного падіння.

Зазначене наближення є коректним лише при невеликих кутах відхилення, оскільки вираз для кутового прискорення пропорційно синусу координати:

де I- момент інерції ; в даному випадку I = m ℓ 2 . Невеликі кути реалізуються в умовах, коли амплітуда коливань значно менша за довжину стрижня.

що робить кутове прискорення прямо пропорційним куту θ, а це задовольняє визначення простого гармонійного руху.

При розгляді осцилятора із загасанням за основу береться модель консервативного осцилятора, до якої додається сила в'язкого тертя. Сила в'язкого тертя спрямована проти швидкості руху вантажу щодо середовища та прямо пропорційна цій швидкості. Тоді повна сила, що діє на вантаж, записується так:

Використовуючи другий закон Ньютона, отримуємо диференціальне рівняння, що описує загасаючий осцилятор:

У осцилятора з критичним згасанням добротність дорівнює 0,5. Відповідно, добротність показує характер поведінки осцилятора. Якщо добротність більше 0,5, то вільний рух осцилятора є коливаннями; теоретично, згодом він перетне положення рівноваги необмежену кількість разів. Добротність, менша або рівна 0,5, відповідає коливанню осцилятора; у вільному русі він перетне положення рівноваги трохи більше одного разу.

У разі коливального руху згасання ще характеризують такими параметрами, як:

Цей час сприймається як час, необхідне загасання (припинення) коливань (хоча, формально, вільні коливання тривають нескінченно довго).

Коливання осцилятора називають вимушеними, коли на нього виробляється деяка додаткова дія ззовні. Цей вплив може здійснюватися різними засобами та за різними законами. Наприклад, силовим збудженням називається вплив на вантаж силою, що залежить тільки від часу за певним законом. Кінематичним збудженням називають вплив на осцилятор рухом точки закріплення пружини за заданим законом. Можливо також вплив тертям, коли, наприклад, середовище, з яким вантаж зазнає тертя, здійснює рух за заданим законом.

Розглянемо просту фізичну систему – матеріальну точку, здатну без тертя вагатися на горизонтальній поверхні під дією сили Гука (див. рис. 2).

Якщо зміщення вантажу невелике (багато менше, ніж довжина недеформованої пружини), а жорсткість пружини дорівнює k, то вантаж діє єдина сила, сила Гука. Тоді рівняння

руху вантажу (Другий закон Ньютона) має вигляд

Перенісши доданки в ліву частину рівності і розділивши на масу матеріальної точки (масу пружини нехтуємо порівняно з m), отримаємо рівняння руху

(*) ,

період коливань.

Тоді, взявши функцію

і продиференціювавши її за часом, переконуємося, по-перше, що швидкість руху вантажу дорівнює

а по-друге, після повторного диференціювання,

тобто X(t) дійсно є рішенням рівняння вантажу на пружинці.

Така система, взагалі, будь-яка система, механічна, електрична чи інша, що має рівняння руху (*), називається гармонійним осцилятором. Функція типу X(t) носить назву закону руху гармонійного осцилятора, величини
називаються амплітудою,циклічноюабо власною частотою,початковою фазою. Власна частота визначається параметрами осцилятора, амплітуда та початкова фаза задаються початковими умовами.

Закон руху X(t) є вільними коливаннями. Такі коливання здійснюють незатухаючі маятники (математичний або фізичний), струм і напруження в ідеальному коливальному контурі та деякі інші системи.

Гармонічні коливання можуть складатися як у одному, і у різних напрямах. Результатом додавання теж виявляється гармонійне коливання, наприклад,

Це принцип суперпозиції (накладення) коливань.

Математики розробили теорію рядів такого роду, які називаються рядами Фур'є. Є також ряд узагальнень типу інтегралів Фур'є (частоти можуть змінюватися безперервним чином) і навіть інтеграли Лапласа, які працюють із комплексними частотами.

§15. Загасаючий осцилятор. Вимушені коливання.

Реальні механічні системизавжди мають, хоча б малий, тертя. Найпростіший випадок – рідке чи в'язке тертя. Це тертя, величина якого пропорційна швидкості руху системи (і спрямована, звісно, проти напрямку руху). Якщо рух відбувається вздовж осі Х, то рівняння руху може бути записано (наприклад, для вантажу на пружинці) у вигляді

де - Коефіцієнт в'язкого тертя.

Це рівняння руху можна перетворити на вигляд

Тут
- Коефіцієнт загасання, - Як і раніше власна частота осцилятора (який вже не можна назвати гармонійним; це загасаючий осцилятор з в'язким тертям).

Математики можуть вирішувати такі диференціальні рівняння. Було показано, що рішенням є функція

В останній формулі використовуються позначення: - Початкова амплітуда, частота слабких коливань
,
. Крім того, часто використовують інші параметри, що характеризують згасання: логарифмічний декремент згасання
, час релаксації системи
, добротність системи
, де в чисельнику стоїть запасена системою енергія, а знаменнику – втрати енергії у період Т.

У разі сильного згасання
рішення має аперіодичний вигляд.

Часто трапляються випадки, коли, крім сил тертя на осцилятор, діє зовнішня сила. Тоді рівняння руху наводиться до вигляду

вираз, що стоїть праворуч, часто називають наведеною силою, сам вираз
називають силою, що змушує. Для довільної сили знайти рішення рівняння не вдається. Зазвичай розглядають гармонійну силу, що змушує типу
. Тоді рішення являє собою загасну частину типу (**), яка для великих часів прагне нуля, і коливання, що встановилися (вимушені).

Амплітуда вимушених коливань

а фаза вимушених коливань

Зауважимо, що з наближенні своєї частоти до частоти змушує сили амплітуда вимушених коливань зростає. Це явище відоме як резонанс. Якщо згасання велике, то резонансне збільшення не велике. Такий резонанс називають тупим. При малих згасаннях амплітуда «гострого» резонансу може зрости дуже значно. Якщо система ідеальна, і тертя у ній відсутня, то амплітуда вимушених коливань збільшується необмежено.

Зауважимо також, що при частоті сили, що змушує

Досягається максимальне значення амплітуди сили, що змушує, рівне