Безліч всіх функцій знайти онлайн. Калькулятор онлайн. Обчислити невизначений інтеграл (первоподібну)

Урок на тему: "Графік та властивості функції $y=x^2$. Приклади побудови графіків"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Інтерактивний тренажер "Правила та вправи з алгебри"
Електронний робочий зошит з алгебри для 7 класу.

Функція- Це залежність однієї змінної від іншої.

Графік функції – графічне зображенняфункції.

Властивості функції

• Область визначення функції– усі значення, які може набувати незалежна змінна.
• Область значень функції– усі значення, які може набувати залежна змінна.
• Нулі функції – значеннянезалежної змінної, коли він залежна змінна дорівнює 0.
• Мінімальне значення функції – мінімальне значеннязалежною змінною.
• Максимальне значення функції – максимальне значеннязалежною змінною.

Властивості функції $y=x^2$

Давайте опишемо властивості цієї функції:

1. x – незалежна змінна, y – залежна змінна.

2. Область визначення: очевидно, що з будь-якого значення аргументу (x) існує значення функції (y). Відповідно область визначення цієї функції вся числова пряма.

3. Область значень: y може бути менше 0, оскільки квадрат будь-якого числа є число позитивне.

4. Якщо x=0, то y=0.

5. Зверніть увагу, що для протилежних значеньаргументу функція приймає однакове значення. Для кількох чисел x = 1 і x = -1 значення функції буде 1, тобто. y = 1. Для пари чисел x = 2 та x = – 2; y = 4 і т.д.
$ y = x ^ 2 = (-x) ^ 2 $.

Графік функції $y=x^2$

Уважно подивимося на формулу y = x2 і спробуємо описати словами приблизний виглядмайбутнього графіка.

1. Оскільки y ≥ 0, весь графік не може розташовуватися нижче осі OX.

2. Графік симетричний щодо осі OY. Нам достатньо побудувати графік для позитивних значень x, а потім дзеркально відобразити його для негативних значень x.

Знайдемо кілька значень y:

Побудуємо ці точки (див. рис. 1).

Якщо спробуємо з'єднати їх пунктирною лінією, як показано на рис. 1 то деякі значення функції не потраплять на ці лінії, наприклад, точки A (x = 0,5; y = 0,25) і B (x=2,5; y=6,25). Навіть якщо ми побудуємо дуже багато точок і з'єднаємо їх маленькими прямими відрізками, завжди знайдуться значення y, які не потрапляють на ці відрізки. Тому крапки треба з'єднувати плавною кривою лінією (див. рис. 2).

Тепер залишилося дзеркально відобразити графік негативних значень x (див. рис. 3). Така крива називається параболою. Точка О (0; 0) називається вершиною параболи. Симетричні криві називаються гілками параболи.

Приклади

I. Дизайнеру треба пофарбувати частину стіни будинку у формі квадрата зі сторонами 2,7 метра. Спеціальна фарба для стін продається у фасуванні з розрахунку одна банка на 1 м2. Не проводячи обчислення, з'ясуй, скільки банок фарби треба купити, щоб після фарбування не залишилося зайвих не роздрукованих банок.

Рішення:
1. Збудуємо параболу.
2. Знайдемо на параболі точку А, яка має координату x=2,7 (див. рис. 4).
3. Ми бачимо, що в цій точці значення функції більше 7, але менше 8. Значить, дизайнеру знадобиться щонайменше 8 банок фарби.

ІІ. Побудувати графік функції у = (х + 1) 2 .

Знайдемо кілька значень y.

Побудуємо ці точки і пряму x = -1, паралельну осі OY. Очевидно, що побудовані точки симетричні щодо цієї прямої. В результаті у нас вийде така ж парабола, тільки зміщена вліво по осі OX (див. рис.5).

Як побудувати параболу? Існує кілька способів побудови графіка квадратичної функції. Кожен із них має свої плюси та мінуси. Розглянемо два способи.

Почнемо з побудови графіка квадратичної функції виду y=x²+bx+c та y=-x²+bx+c.

приклад.

Побудувати графік функції y=x2+2x-3.

Рішення:

y=x²+2x-3 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

Від вершини (-1;-4) будуємо графік параболи y=x²(як від початку координат. Замість (0;0) — вершина (-1;-4). Від (-1;-4) йдемо вправо на 1 одиницю і вгору на 1 одиницю, потім ліворуч на 1 і вгору на 1; цих 7 точок недостатньо, далі - 4 вправо, 16 - вгору і т. д.).

Графік квадратичної функції y = -x² + bx + c парабола, гілки якої спрямовані вниз. Для побудови графіка шукаємо координати вершини та від неї будуємо параболу y = -x².

приклад.

Побудувати графік функції y=-x²+2x+8.

Рішення:

y=-x²+2x+8 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Від вершини будуємо параболу y = -x² (1 - вправо, 1 вниз; 1 - вліво, 1 - вниз; 2 - вправо, 4 - вниз; 2 - вліво, 4 - вниз і т. Д.):

Цей спосіб дозволяє побудувати параболу швидко і не викликає труднощів, якщо ви вмієте будувати графіки функцій y=x² та y=-x². Нестача: якщо координати вершини дробові числабудувати графік не дуже зручно. Якщо потрібно знати точні значенняточок перетину графіка з віссю Ох, доведеться додатково розв'язати рівняння x²+bx+c=0 (або -x²+bx+c=0), навіть якщо ці точки безпосередньо можна визначити за малюнком.

Інший спосіб побудови параболи - по точках, тобто можна знайти кілька точок графіка і через них провести параболу (з урахуванням того, що пряма x = хₒ є її віссю симетрії). Зазвичай беруть вершину параболи, точки перетину графіка з осями координат і 1-2 додаткові точки.

Побудувати графік функції y=x2+5x+4.

Рішення:

y=x²+5x+4 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

тобто вершина параболи - точка (-2,5; -2,25).

Шукаємо. У точці перетину із віссю Ох y=0: x²+5x+4=0. Коріння квадратного рівняннях1=-1, х2=-4, тобто отримали дві точки графіці (-1; 0) та (-4; 0).

У точці перетину графіка із віссю Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Отримали точку (0; 4).

Для уточнення графіка можна знайти додаткову точку. Візьмемо х=1, тоді y=1²+5∙1+4=10, тобто ще одна точка графіка – (1; 10). Відзначаємо ці точки на координатної площини. З урахуванням симетрії параболи щодо прямої, що проходить через її вершину, відзначимо ще дві точки: (-5; 6) і (-6; 10) і проведемо через них параболу:

Побудувати графік функції y=-x²-3x.

Рішення:

y=-x²-3x – квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Вершина (-1,5; 2,25) - перша точка параболи.

У точках перетину графіка з віссю абсцис y=0, тобто розв'язуємо рівняння -x²-3x=0. Його коріння - х = 0 і х = -3, тобто (0; 0) і (-3; 0) - ще дві точки графіка. Точка (о; 0) є також точкою перетину параболи з віссю ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, тобто (1; -4) — додаткова точка для побудови графіка.

Побудова параболи за точками — більш трудомісткий у порівнянні з першим спосіб. Якщо парабола не перетинає вісь Oх, додаткових точок потрібно більше.

Перш ніж продовжити побудову графіків квадратичних функційвиду y=ax²+bx+c, розглянемо побудову графіків функцій за допомогою геометричних перетворень. Графіки функцій виду y=x²+c також найзручніше будувати, використовуючи одне з таких перетворень — паралельне перенесення.

Первісна функція та невизначений інтеграл

Факт 1. Інтегрування - дія, зворотне диференціювання, а саме, відновлення функції за відомою похідною цієї функції. Відновлена ​​таким чином функція F(x) називається первісноїдля функції f(x).

Визначення 1. Функція F(x f(x) на деякому проміжку Xякщо для всіх значень xз цього проміжку виконується рівність F "(x)=f(x), тобто дана функція f(x) є похідною від первісної функції F(x). .

Наприклад, функція F(x) = sin x є первісною для функції f(x) = cos x на всій числовій прямій, тому що при будь-якому значенні ікса (sin x)" = (cos x) .

Визначення 2. Невизначеним інтегралом функції f(x) називається сукупність всіх її первісних. При цьому використовується запис

∫

f(x)dx

де знак ∫ називається знаком інтеграла, функція f(x) – підінтегральною функцією, а f(x)dx - Підінтегральний вираз.

Таким чином, якщо F(x) – якась первісна для f(x) , то

∫

f(x)dx = F(x) +C

де C - Довільна постійна (константа).

Для розуміння сенсу безлічі первісних функцій як невизначеного інтеграла доречна наступна аналогія. Нехай є двері (традиційні дерев'яні двері). Її функція – "бути дверима". А з чого зроблено двері? З дерева. Значить, безліччю первісних підінтегральних функцій "бути дверима", тобто її невизначеним інтегралом, є функція "бути деревом + С", де С - константа, яка в даному контексті може позначати, наприклад, породу дерева. Подібно до того, як двері зроблені з дерева за допомогою деяких інструментів, похідна функції "зроблена" з первісної функції за допомогою формули, яку ми дізналися, вивчаючи похідну .

Тоді таблиця функцій поширених предметів та відповідних їм первісних ("бути дверима" - "бути деревом", "бути ложкою" - "бути металом" та ін.) аналогічна до таблиці основних невизначених інтегралів, яка буде наведена трохи нижче. У таблиці невизначених інтегралів перераховуються поширені функції із зазначенням первісних, у тому числі " зроблені " ці функції. У частині завдань перебування невизначеного інтеграла дані такі подинтегральные функції, які без особливих умов може бути проінтегровані безпосередньо, тобто за таблицею невизначених інтегралів. У завданнях складніше підінтегральну функцію потрібно попередньо перетворити те щоб можна було використовувати табличні інтеграли.

Факт 2. Відновлюючи функцію як первісну, ми маємо враховувати довільну постійну (константу) C, а щоб не писати список первісної з різними константами від 1 до нескінченності, потрібно записувати безліч первісних з довільною константою Cнаприклад, так: 5 x³+С . Отже, довільна стала (константа) входить у вираз первісної, оскільки первісна може бути функцією, наприклад, 5 x³+4 або 5 x³+3 і при диференціюванні 4 або 3, або будь-яка інша константа перетворюються на нуль.

Поставимо завдання інтегрування: для цієї функції f(x) знайти таку функцію F(x), похідна якоїдорівнює f(x).

приклад 1.Знайти безліч первісних функцій

Рішення. Для цієї функції першорядною є функція

Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо похідна F(x) дорівнює f(x), або, що те саме, диференціал F(x) дорівнює f(x) dx, тобто.

(2)

Отже, функція - первісна для функції . Однак вона не є єдиною первісною для . Ними служать також функції

де З- Довільна постійна. У цьому вся можна переконатися диференціюванням.

Таким чином, якщо для функції існує одна первісна, то для неї існує нескінченна безлічпервісних, що відрізняються на постійне доданок. Усі первісні функції записуються в наведеному вище вигляді. Це випливає із наступної теореми.

Теорема (формальний виклад факту 2).Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на деякому проміжку Х, то будь-яка інша первісна для f(x) на тому ж проміжку може бути представлена ​​у вигляді F(x) + C, де З- Довільна постійна.

У наступний прикладвже звертаємось до таблиці інтегралів, яка буде дана у параграфі 3, після властивостей невизначеного інтегралу. Робимо це до ознайомлення з усією таблицею, щоб було зрозуміло суть вищевикладеного. А після таблиці та властивостей будемо користуватися ними при інтегруванні у всій повноті.

приклад 2.Знайти множини первісних функцій:

Рішення. Знаходимо безліч первісних функцій, у тому числі " зроблені " дані функції. При згадці формул з таблиці інтегралів поки що просто прийміть, що є такі формули, а повністю саму таблицю невизначених інтегралів ми вивчимо трохи далі.

1) Застосовуючи формулу (7) з таблиці інтегралів при n= 3, отримаємо

2) Використовуючи формулу (10) з таблиці інтегралів при n= 1/3, маємо

3) Оскільки

то за формулою (7) при n= -1/4 знайдемо

Під знаком інтеграла пишуть не саму функцію f, а її твір на диференціал dx. Це робиться насамперед для того, щоб вказати, за якою змінною шукається первісна. Наприклад,

, ;

тут обох випадках подинтегральная функція дорівнює , та її невизначені інтеграли у розглянутих випадках виявляються різними. У першому випадку ця функція сприймається як функція від змінної x, а у другому - як функція від z .

Процес знаходження невизначеного інтеграла функції називається інтегрування цієї функції.

Геометричний зміст невизначеного інтегралу

Нехай потрібно знайти криву y=F(x)і ми вже знаємо, що тангенс кута нахилу дотичної в кожній точці є задана функція f(x)абсциси цієї точки.

Відповідно до геометричного змісту похідної, тангенс кута нахилу дотичної в даній точці кривої y=F(x) дорівнює значеннюпохідний F"(x). Отже, потрібно знайти таку функцію F(x), для якої F"(x)=f(x). Необхідна в завданні функція F(x)є первісною від f(x). Умову задачі задовольняє не одна крива, а сімейство кривих. y=F(x)- одна з таких кривих, а будь-яка інша крива може бути отримана з неї паралельним перенесеннямвздовж осі Ой.

Назвемо графік первісної функції від f(x)інтегральної кривої. Якщо F"(x)=f(x), то графік функції y=F(x)є інтегральна крива.

Факт 3. Невизначений інтеграл геометрично представлений насінням усіх інтегральних кривих як на малюнку нижче. Відстань кожної кривої від початку координат визначається довільною постійною (константою) інтегрування C.

Властивості невизначеного інтегралу

Факт 4. Теорема 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, яке диференціал – підинтегральному вираженню.

Факт 5. Теорема 2. Невизначений інтеграл від диференціалу функції f(x) дорівнює функції f(x) з точністю до постійного доданку , тобто.

(3)

Теореми 1 і 2 показують, що диференціювання та інтегрування є взаємно-зворотними операціями.

Факт 6. Теорема 3. Постійний множник у підінтегральному вираженні можна виносити за знак невизначеного інтегралу , тобто.

Раніше ми по заданої функції, керуючись різними формулами та правилами, знаходили її похідну. Похідна має численні застосування: це швидкість руху (або узагальнюючи швидкість протікання будь-якого процесу); кутовий коефіцієнтщо стосується графіку функції; за допомогою похідної можна досліджувати функцію на монотонність та екстремуми; вона допомагає вирішувати завдання оптимізацію.

Але поряд із завданням про знаходження швидкості за відомим законом руху зустрічається і зворотне завдання- завдання про відновлення закону руху по відомої швидкості. Розглянемо одне з таких завдань.

приклад 1.По прямій рухається матеріальна точка, Швидкість її руху в момент часу t задається формулою v = gt. Знайти закон руху.
Рішення. Нехай s = s(t) – шуканий закон руху. Відомо, що s"(t) = v(t). Значить, для вирішення задачі потрібно підібрати функцію s = s(t), похідна якої дорівнює gt. Неважко здогадатися, що \(s(t) = \frac(gt^) 2) (2) \).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt \)
Відповідь: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Відразу зауважимо, що приклад вирішено правильно, але неповно. Ми отримали \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Насправді завдання має безліч рішень: будь-яка функція виду \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), де C - довільна константа, може служити законом руху, оскільки \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Щоб завдання стало більш визначеним, нам треба було зафіксувати вихідну ситуацію: вказати координату точки, що рухається в якийсь момент часу, наприклад при t = 0. Якщо, скажімо, s(0) = s 0 , то з рівності s(t) = (gt 2)/2 + C одержуємо: s(0) = 0 + С, тобто C = s 0 . Тепер закон руху визначено однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

У математиці взаємно зворотним операціям надають різні назви, вигадують спеціальні позначення, наприклад: зведення в квадрат (х 2) та витяг квадратного кореня(\(\sqrt(x) \)), синус (sin x) і арксинус (arcsin x) і т. д. Процес знаходження похідної за заданою функцією називають диференціюванням, а зворотну операцію, Т. е. процес знаходження функції за заданою похідною, - інтегруванням.

Сам термін «похідна» можна обґрунтувати «по-житейськи»: функція у = f(x) «виробляє світ» нову функціюу "= f"(x). Функція у = f(x) виступає хіба що як «батька», але математики, природно, не називають її «батьком» чи «виробником», вони кажуть, що це стосовно функції у" = f"(x) , первинний образ, або первісна.

Визначення.Функцію y = F(x) називають первісною для функції y = f(x) на проміжку X, якщо для (x \ in X \) виконується рівність F"(x) = f(x)

Насправді проміжок X зазвичай не вказують, але мають на увазі (як природної області визначення функції).

Наведемо приклади.
1) Функція у = х 2 є первісною для функції у = 2х, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 2) "= 2х
2) Функція у = х 3 є первісною для функції у = 3х 2, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 3) "= 3х 2
3) Функція у = sin(x) є первісною для функції y = cos(x), оскільки для будь-якого x справедлива рівність (sin(x))" = cos(x)

При знаходженні первісних, як і похідних, використовуються як формули, а й деякі правила. Вони безпосередньо пов'язані з відповідними правилами обчислення похідних.

Ми знаємо, що похідна сума дорівнює сумі похідних. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.

Правило 1.Первісна сума дорівнює сумі первісних.

Ми знаємо, що постійний множникможна винести за знак похідної. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.

Правило 2Якщо F(x) - первісна для f(x), то kF(x) - первісна для kf(x).

Теорема 1.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x), то першорядною для функції у = f(kx + m) служить функція \(y=\frac(1)(k)F(kx+m) \)

Теорема 2.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x) на проміжку X, то у функції у = f(x) нескінченно багато первісних, і всі вони мають вигляд y = F(x) + C.

Методи інтегрування

Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод інтегрування підстановкою полягає у запровадженні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або зводиться до нього. Загальних методівпідбору підстановок немає. Вміння правильно визначити підстановку набуває практики.
Нехай потрібно обчислити інтеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Зробимо підстановку \(x= \varphi(t) \) де \(\varphi(t) \) - функція, що має безперервну похідну.
Тоді \(dx = \varphi "(t) \cdot dt \) і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt \)

Інтегрування виразів виду \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Якщо m непарне, m > 0, то зручніше зробити підстановку sin x = t.
Якщо n непарне, n > 0, зручніше зробити підстановку cos x = t.
Якщо n і m парні, зручніше зробити підстановку tg x = t.

Інтегрування частинами

Інтегрування частинами - застосування наступної формули для інтегрування:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
або:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій

Одна з операцій диференціювання-знаходження похідної (диференціала) та застосування до дослідження функцій.

Не менш важливим є зворотне завдання. Якщо відомо поведінка функції на околицях кожної точки її визначення, те, як відновити функцію загалом, тобто. у всій галузі її визначення. Це завдання є предметом вивчення так званого інтегрального обчислення.

Інтегруванням називається дія зворотне диференціювання. Або відновлення функції f(х) за даною похідною f`(х). Латинське слово"integro" означає - відновлення.

Приклад №1.

Нехай (f(х))' = 3х2. Знайдемо f(х).

Рішення:

Маючи правило диференціювання, неважко здогадатися, що f(х)=х 3 , бо

(х 3)' = 3х 2 Однак, легко можна помітити, що f(х) неоднозначно. Як f(х) можна взяти f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 та ін.

Т.к. похідна кожної їх дорівнює 3х 2 . (Похідна постійної дорівнює 0). Всі ці функції відрізняються одна від одної постійним доданком. Тому спільне рішенняЗавдання можна записати у вигляді f(х) = х 3 + С, де С - будь-яке постійне дійсне число.

Будь-яку із знайдених функцій f(х) називають первісноїдля функції F`(х) = 3х2

Визначення.

Функція F(х) називається первісною для функції f(х) на заданому проміжку J, якщо для всіх х із цього проміжку F`(х)= f(х). Так функція F(х)=х 3 первісна для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞). Оскільки для всіх х ~R справедлива рівність: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Як ми вже помітили, дана функція має безліч первісних.

Приклад №2.

Функція є первісна всім на проміжку (0; +∞), т.к. для всіх годин з цього проміжку, виконується рівність.

Завдання інтегрування полягає в тому, щоб для заданої функції знайти всі її первісні. При вирішенні цього завдання важливу рольграє таке твердження:

Ознака сталості функції. Якщо F"(х) = 0 на деякому проміжку I, то функція F - постійна цьому проміжку.

Доведення.

Зафіксуємо деяке x 0 із проміжку I. Тоді для будь-якого числа х із такого проміжку через формулу Лагранжа можна вказати таке число c, укладене між х і x 0 , що

F(x) - F(x0) = F"(c)(x-x0).

За умовою F' (с) = 0, так як з ∈1, отже,

F(x) - F(x 0) = 0.

Отже, для всіх х із проміжку I

тобто функція F зберігає постійне значення.

Усі первісні функції f можна записати за допомогою однієї формули, яку називають загальним видом первісних для функції f. Справедлива наступна теорема ( основна властивість первісних):

Теорема. Будь-яка первісна для функції f на проміжку I може бути записана у вигляді

F(x) + C, (1) де F(х) - одна з первісних для функції f(x) на проміжку I, а С - довільна стала.

Пояснимо це твердження, в якому коротко сформульовані дві властивості первісної:

1. хоч би яке число поставити у вираз (1) замість З, отримаємо первісну для f на проміжку I;
2. яку б первинну Ф для f на проміжку I не взяти, можна підібрати таке число З, що для всіх х з проміжку I буде виконано рівність

Доведення.

1. За умовою функція F - первісна для f на проміжку I. Отже, F"(х)= f(х) для будь-якого х∈1, тому (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), тобто F(x) + C - первісна для функції f.
2. Нехай Ф (х) - одне з первообразных функції f тому ж проміжку I, т. е. Ф"(x) = f (х) всім x∈I.

Тоді (Ф(x) - F(x))" = Ф"(х)-F'(х) = f(x)-f(x)=0.

Звідси випливає ст. силу ознаки сталості функції, що різниця Ф(х) - F(х) є функція, що приймає деяке постійне значення на проміжку I.

Таким чином, для всіх х із проміжку I справедлива рівність Ф(х) - F(x)=С, що й вимагалося довести. Основної властивості первісної можна надати геометричний зміст: графіки будь-яких двох первісних для функції f виходять один з одного паралельним перенесенням вздовж осі Оу

Запитання до конспектів

Функція F(x) є первинною для функції f(x). Знайдіть F(1), якщо f(x)=9x2 - 6x + 1 і F(-1) = 2.

Знайдіть всі первісні функції

Для функції (x) = cos2 * sin2x, знайдіть первісну F(x), якщо F(0) = 0.

Для функції знайдіть первісну, графік якої проходить через точку