Площа трапеції по середній лінії та висоті. Площа трапеції: формули та методика обчислень
У математиці відомо кілька видів чотирикутників: квадрат, прямокутник, ромб, паралелограм. Серед них і трапеція - вид опуклого чотирикутника, який має дві сторони паралельні, а дві інші немає. Паралельні протилежні сторониназиваються основами, а дві інші – бічними сторонами трапеції. Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньою лінією. Існує кілька видів трапецій: рівнобедрений, прямокутний, криволінійний. Для кожного виду трапеції є формули для знаходження площі.
Площа трапеції
Щоб знайти площу трапеції, потрібно знати довжину її основ та висоту. Висота трапеції - це відрізок, перпендикулярний до основ. Нехай верхня основа - a, нижня основа - b, а висота - h. Тоді обчислити площу S можна за формулою:
S = ½ * (a+b) * h
тобто. взяти напівсуму підстав, помножену на висоту.
Також вдасться обчислити площу трапеції, якщо відомо значення висоти та середньої лінії. Позначимо середню лінію – m. Тоді
Розв'яжемо завдання складніше: відомі довжини чотирьох сторін трапеції - a, b, c, d. Тоді площа знайдеться за такою формулою:
Якщо відомі довжини діагоналей та кут між ними, то площа шукається так:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
де d з індексами 1 та 2 - діагоналі. У цій формулі в розрахунку наводиться синус кута.
При відомих довжинах основ a і b і двох кутах при нижній підставі площа обчислюється так:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Площа рівнобедреної трапеції
Рівностегнова трапеція – це окремий випадоктрапеції. Її відмінність у тому, що така трапеція – це опуклий чотирикутникз віссю симетрії, що проходить через середини двох протилежних сторін. Її бічні сторонирівні.
Знайти площу рівнобедреної трапеціїможна кількома способами.
- Через довжину трьох сторін. У цьому випадку довжини бічних сторін збігатимуться, тому позначені однією величиною - с, а і b - довжини основ:
- Якщо відома довжина верхньої основи, збоку і величина кута при нижній підставі, то площа обчислюється так:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
де а - верхня основа, з - бічна сторона.
- Якщо замість верхньої основи відома довжина нижньої – b, площа розраховується за такою формулою:
S = c * sin α * (b - c * cos α)
- Якщо коли відомі дві основи та кут при нижній підставі, площа обчислюється через тангенс кута:
S = ½ * (b2 - a2) * tg α
- Також площа розраховується через діагоналі та кут між ними. У цьому випадку діагоналі по довжині дорівнюють, тому кожну позначаємо буквою d без індексів:
S = ½ * d2 * sin α
- Обчислимо площу трапеції, знаючи довжину бічної сторони, середньої лінії та величину кута при нижній підставі.
Нехай бічна сторона – с, середня лінія – m, кут – a, тоді:
S = m * c * sin α
Іноді в рівносторонню трапецію можна вписати коло, радіус якого буде - r.
Відомо, що в будь-яку трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основ дорівнює сумі довжин її бокових сторін. Тоді площа знайдеться через радіус вписаного кола та кут при нижній підставі:
S = 4r2/sin α
Такий же розрахунок проводиться і через діаметр D вписаного кола (до речі, він збігається з висотою трапеції):
Знаючи основи та кут, площа рівнобедреної трапеції обчислюється так:
S = a * b / sin α
(Ця і наступні формули правильні тільки для трапецій з вписаним колом).
Через підстави та радіус кола площа шукається так:
Якщо відомі лише підстави, то площа вважається за формулою:
Через підстави та бічну лініюплоща трапеції з вписаним колом і через основи та середню лінію - m обчислюється так:
Площа прямокутної трапеції
Прямокутною називається трапеція, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. І тут бічна сторона по довжині збігається з висотою трапеції.
Прямокутна трапеція є квадратом і трикутником. Знайшовши площу кожної з фігур, складіть отримані результати та отримайте загальну площуфігури.
Також для обчислення площі прямокутної трапеції підходять загальні формули розрахунку площі трапеції.
- Якщо відомі довжини основ та висота (або перпендикулярна бічна сторона), то площа розраховується за формулою:
S = (a + b) * h / 2
Як h (висоти) може виступати бічна сторона. Тоді формула виглядає так:
S = (a + b) * c / 2
- Інший спосіб розрахувати площу - перемножити довжину середньої лінії на висоту:
або на довжину бічної перпендикулярної сторони:
- Наступний спосіб обчислення - через половину твору діагоналей та синус кута між ними:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Якщо діагоналі перпендикулярні, формула спрощується до:
S = ½ * d1 * d2
- Ще один спосіб обчислення - через напівпериметр (сума довжин двох протилежних сторін) та радіус вписаного кола.
Ця формула дійсна для основ. Якщо брати довжини бічних сторін, то одна з них дорівнюватиме подвоєному радіусу. Формула виглядатиме так:
S = (2r + c) * r
- Якщо в трапецію вписано коло, то площа обчислюється так само:
де m – довжина середньої лінії.
Площа криволінійної трапеції
Криволінійна трапеція являє собою плоску фігуру, обмежену графіком невід'ємною безперервної функції y = f(x), визначеної на відрізку , віссю абсцис і прямими x = a, x = b. По суті, дві її сторони паралельні один одному (підстави), третя сторона перпендикулярна до підстав, а четверта являє собою криву, відповідну графіку функції.
Площа криволінійної трапеціїшукають через інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:
Так обчислюються площі різних видівтрапецій. Але, крім властивостей сторін, трапеції мають однаковими властивостямикутів. Як у всіх існуючих чотирикутників, сума внутрішніх кутівтрапеція дорівнює 360 градусів. А сума кутів, що прилягають до бокової сторони, – 180 градусів.
Практика минулорічних ЄДІ та ДПА показує, що завдання з геометрії викликають складності у багатьох школярів. Ви легко впораєтеся з ними, якщо завчите всі потрібні формули та попрактикуєтеся у вирішенні завдань.
У цій статті ви побачите формули знаходження площі трапеції, а також приклади завдань із рішеннями. Такі ж можуть потрапити вам у КІМах на атестаційних іспитах або на олімпіадах. Тому поставтеся до них уважно.
Що потрібно знати про трапецію?
Для початку пригадаємо, що трапецієюназивається чотирикутник, у якого дві протилежні сторони, їх ще називають основами, паралельні, а дві інші – ні.
У трапеції також може бути опущена висота (перпендикуляр до основи). Проведена середня лінія – це пряма, яка паралельна основам і дорівнює половині їх суми. А також діагоналі, які можуть перетинатися, утворюючи гострі та тупі кути. Або, в окремих випадках, під прямим кутом. Крім того, якщо трапеція рівнобедрена, до неї можна вписати коло. І описати коло біля неї.
Формули площі трапеції
Для початку розглянемо стандартні формулизнаходження площі трапеції. Способи обчислити площу рівнобедреної та криволінійної трапецій розглянемо нижче.
Отже, уявіть, що у вас є трапеція з основами a та b, в якій до більшої основи опущена висота h. Обчислити площу фігури у разі простіше простого. Треба лише розділити на дві суму довжин підстав і помножити те, що вийде, на висоту: S = 1/2(a + b)*h.
Візьмемо інший випадок: припустимо, у трапеції, крім висоти, проведено середню лінію m. Нам відома формула знаходження довжини середньої лінії: m = 1/2 (a + b). Тому з повним правом можемо спростити формулу площі трапеції до наступного виду: S = m * h. Іншими словами, щоб знайти площу трапеції, треба помножити середню лінію на висоту.
Розглянемо ще один варіант: у трапеції проведені діагоналі d 1 і d 2 які перетинаються не під прямим кутом α. Щоб обчислити площу такої трапеції, вам потрібно розділити на два твори діагоналей і помножити те, що вийде, на sin кута між ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Тепер розглянемо формулу для знаходження площі трапеції, якщо про неї невідомо нічого, крім довжин її сторін: a, b, c і d. Це громіздка і складна формула, але вам буде корисно запам'ятати про всяк випадок та її: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
До речі, наведені вище приклади вірні і для того випадку, коли вам знадобиться формула площі прямокутної трапеції. Ця трапеція, бічна сторона якої примикає до основ під прямим кутом.
Рівностегнова трапеція
Трапеція, бічні сторони якої рівні, називається рівнобедреною. Ми розглянемо кілька варіантів формули площі рівнобедреної трапеції.
Перший варіант: для випадку, коли всередину рівнобедреної трапеції вписано коло з радіусом r, а бічна сторона і більшу основу утворюють гострий кутα. Коло може бути вписано в трапецію за умови, що сума довжин її основ дорівнює сумі довжин бічних сторін.
Площа рівнобедреної трапеції обчислюється так: помножте квадрат радіусу вписаного кола на чотири і розділіть все це на sinα: S = 4r 2 /sinα. Ще одна формула площі є окремим випадком для того варіанту, коли кут між великою основою і бічною стороною дорівнює 30 0: S = 8r 2.
Другий варіант: цього разу візьмемо рівнобедрену трапецію, в якій також проведено діагоналі d 1 і d 2 , а також висота h. Якщо діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, висота становить половину суми основ: h = 1/2(a + b). Знаючи це, легко перетворити вже знайому вам формулу площі трапеції на такий вигляд: S = h 2.
Формула площі криволінійної трапеції
Почнемо із того, що розберемося: що таке криволінійна трапеція. Уявіть собі вісь координат та графік безперервної та невід'ємної функції f, яка не змінює знака в межах заданого відрізка на осі x. Криволінійну трапецію утворюють графік функції у = f(x) – угорі, вісь х – внизу (відрізок), а з боків – прямі, проведені між точками a та b та графіком функції.
Обчислити площу такої нестандартної фігури не можна наведеними вище способами. Тут потрібно застосувати математичний аналізта використовувати інтеграл. А саме: формулу Ньютона-Лейбніца S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). У цій формулі F – первісна наша функція на вибраному відрізку . І площа криволінійної трапеції відповідає прирощенню первісної на заданому відрізку.
Приклади завдань
Щоб усі ці формули краще вщухли в голові, ось вам кілька прикладів завдань на знаходження площі трапеції. Найкраще буде, якщо ви спершу спробуєте вирішити завдання самі, і тільки потім звірите отриману відповідь із готовим рішенням.
Завдання №1:Дано трапецію. Її більша основа – 11 см, менша – 4см. У трапеції проведено діагоналі, одна довжиною 12 см, друга – 9 см.
Рішення: Побудуйте трапецію АМРС. Проведіть пряму РХ через вершину Р так, щоб вона виявилася паралельної діагоналіМС і перетнула пряму АС у точці Х. Вийде трикутник АРХ.
Ми розглянемо дві отримані внаслідок цих маніпуляцій фігури: трикутник АРХ і паралелограм СМРХ.
Завдяки паралелограму ми дізнаємося, що РХ = МС = 12 см та СХ = МР = 4см. Звідки можемо обчислити бік АХ трикутника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.
Ми можемо довести, що трикутник АРХ – прямокутний (для цього застосуйте теорему Піфагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). І вирахувати його площу: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 см 2 .
Далі вам знадобиться довести, що трикутники АМР і РСХ є рівновеликими. Підставою послужить рівність сторін МР та СГ (вже доведене вище). А також висоти, які ви опустите на ці сторони, – вони рівні висоті трапеції АМРС.
Все це дозволить вам стверджувати, що SAMPC = SAPX = 54 см 2 .
Завдання №2:Дано трапецію КРМС. На її бокових сторонах розташовані точки О та Е, при цьому ОЕ та КС паралельні. Також відомо, що площі трапецій ОРМЕ та ОКСЄ знаходяться у співвідношенні 1:5. РМ = а та КС = b. Потрібно знайти ОЕ.
Рішення: Проведіть через точку М пряму, паралельну РК, і точку її перетину з ОЕ позначте Т. А – точка перетину прямої, проведеної через точку Е паралельно РК, з основою КС.
Введемо ще одне позначення - ОЕ = х. А також висоту h1 для трикутника ТМЕ та висоту h2 для трикутника АЕС (ви можете самостійно довести подібність цих трикутників).
Вважатимемо, що b > а. Площі трапецій ОРМЕ та ОКСЄ відносяться як 1:5, що дає нам право скласти таке рівняння: (х + а) * h 1 = 1/5 (b + х) * h 2 . Перетворимо та отримаємо: h 1 /h 2 = 1/5 * ((b + х) / (х + а)).
Якщо трикутники ТМЕ і АЕС подібні, маємо h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Об'єднаємо обидва записи і отримаємо: (х - а) / (b - х) = 1/5 * ((b + х) / (х + а)) ↔ 5 (х - а) (х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.
Отже, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.
Висновок
Геометрія не найлегша з наук, але ви напевно зможете впоратися з екзаменаційними завданнями. Достатньо виявити трохи посидючості при підготовці. І, звісно, запам'ятати усі потрібні формули.
Ми постаралися зібрати в одному місці всі формули обчислення площі трапеції, щоб ви могли скористатися ними, коли готуватиметеся до іспитів і повторюватимете матеріал.
Обов'язково розкажіть про цю статтю однокласникам та друзям у соціальних мережах. Нехай хороших оцінокза ЄДІ та ДІА буде більше!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Трапецієюназивається чотирикутник, у якого тільки двісторони паралельні між собою.
Вони називаються основами фігури, що залишилися – бічними сторонами. Окремими випадками фігури вважається паралелограм. Також існує криволінійна трапеція, яка включає графік функції. Формули площі трапеції включають практично всі її елементи, і краще рішенняпідбирається залежно від заданих величин.
Основні ролі у трапеції відводяться висоті та середній лінії. Середня лінія- Це лінія, що з'єднує середини бічних сторін. Висотатрапеції проводиться під прямим кутом від верхнього кутадо основи.
Площа трапеції через висоту дорівнює добутку напівсуми довжин основ, помноженому на висоту:
Якщо за умовами відома середня лінія, то ця формула значно спрощується, так як вона дорівнює напівсумі довжин основ:
Якщо за умовами дано довжини всіх сторін, можна розглянути приклад розрахунку площі трапеції через ці дані: 
Припустимо, дана трапеція з основами a = 3 см, b = 7 см і бічними сторонами c = 5 см, d = 4 см. Знайдемо площу фігури: 
Площа рівнобічної трапеції
Окремим випадком вважається рівнобока або, як її ще називають, рівностегна трапеція.
Особливим випадком є і знаходження площі рівнобедреної (рівнобічної) трапеції. Формула виводиться у різний спосіб– через діагоналі, через кути, прилеглі до основи та радіус вписаного кола.
Якщо за умовами задана довжина діагоналей та відомий кут між ними можна використовувати таку формулу:
Пам'ятайте, що діагоналі рівнобічної трапеціїрівні між собою!
Тобто, знаючи одну з підстав, бік і кут, можна легко розрахувати площу.
Площа криволінійної трапеції
Окремий випадок – це криволінійна трапеція. Вона знаходиться на осі координат і обмежується графіком безперервної позитивної функції.
Її основа розташовує на осі X і обмежується двома точками: 
Інтеграли допомагають обчислити площу криволінійної трапеції.
Формула прописується так:
Розглянемо приклад розрахунку площі криволінійної трапеції. Формула вимагає певних знань для роботи з певними інтегралами. Для початку розберемо значення певного інтегралу: 
Тут F(a) – це значення первісної функції f(x) у точці a , F(b) – значення цієї функції f(x) у точці b . 
Тепер вирішимо завдання. На малюнку зображена криволінійна трапеція, обмежена функцією. Функція 
Нам необхідно знайти площу виділеної фігури, яка є криволінійною трапецією, обмеженою зверху графіком, праворуч прямою x = (-8), зліва прямою x = (-10) і віссю OX знизу.
Площа цієї фігури ми будемо розраховувати за такою формулою: 
Умовами завдання нам задано функцію. По ній ми знайдемо значення первісної у кожній з наших точок:
Тепер
Відповідь:площа заданої криволінійної трапеції дорівнює 4.
Нічого складного у розрахунках цього значення немає. Важлива лише гранична уважність у обчисленнях.
Площа трапеції. Вітаю вас! У цій публікації ми розглянемо зазначену формулу. Чому вона саме така та як її зрозуміти. Якщо буде розуміння, то і вчити її вам не потрібно. Якщо ж ви просто хочете подивитися цю формулу і при чому терміново, то одразу можете прокрутити сторінку вниз))
Тепер докладно та по порядку.
Трапеція це чотирикутник, дві сторони цього чотирикутника паралельні, дві інші немає. Ті, що не є паралельними – це підстави трапеції. Дві інші називаються бічними сторонами.
Якщо бічні сторони рівні, то трапеція називається рівнобедреною. Якщо одна з бічних сторін перпендикулярна до основ, то така трапеція називається прямокутною.
У класичному вигляді трапецію зображують наступним чином - більша основа знаходиться внизу, відповідно менша вгорі. Але ніхто не забороняє зображати її і навпаки. Ось ескізи:
Наступне важливе поняття.
Середня лінія трапеції – це відрізок, який з'єднує середини бічних сторін. Середня лінія паралельна основам трапеції і дорівнює їх напівсумі.
Тепер давайте вникнемо глибше. Чому так?
Розглянемо трапецію з основами a і bта із середньою лінією l, і виконаємо деякі додаткові побудови: через основи проведемо прямі, а через кінці середньої лінії перпендикуляри до перетину з основами:
*Буквенні позначення вершин та інших точок не введені навмисне, щоб уникнути зайвих позначень.
Подивіться, трикутники 1 і 2 дорівнюють другою ознакою рівності трикутників, трикутники 3 і 4 теж саме. З рівності трикутників випливає рівність елементів, а саме катетів (вони позначені відповідно синім та червоним кольором).
Тепер увага! Якщо ми подумки «відріжемо» від нижньої основи синій і червоний відрізок, то залишиться відрізок (це сторона прямокутника) рівний середньої лінії. Далі, якщо ми «приклеїмо» відрізані синій та червоний відрізок до верхньої основи трапеції, то в нас вийде також відрізок (це теж сторона прямокутника) рівний середній лінії трапеції.
Вловили? Виходить, що сума підстав дорівнюватиме двом середнім лініям трапеції:
Подивитися ще одне пояснення
Зробимо наступне – побудуємо пряму трапецію, що проходить через нижню основу, і пряму, яка пройде через точки А і В:
Отримаємо трикутники 1 і 2, вони рівні по стороні і прилеглим до неї кутам (друга ознака рівності трикутників). Це означає, що отриманий відрізок (на ескізі він позначений синім) дорівнює верхньому підставі трапеції.
Тепер розглянемо трикутник:
*Середня лінія даної трапеції та середня лінія трикутника збігаються.
Відомо, що трикутника дорівнює половині паралельної їй основи, тобто:
Добре, розібралися. Тепер про площу трапеції.
Площа трапеції формула:
Кажуть: площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав та висоти.
Тобто, виходить, що вона дорівнює добутку середньої лінії та висоти:
Ви, мабуть, помітили, що це очевидно. Геометрично це можна сказати так: якщо ми подумки відріжемо від трапеції трикутники 2 і 4 і покладемо їх відповідно на трикутники 1 і 3:
То в нас вийде прямокутник за площею рівний площінашої трапеції. Площа цього прямокутника дорівнюватиме добутку середньої лінії та висоти, тобто можемо записати:
Але річ тут не в записі, звичайно, а в розумінні.
Завантажити (переглянути) матеріал статті у форматі *pdf
На цьому все. Успіху вам!
З повагою, Олександр.
Багатолика трапеція... Вона може бути довільною, рівнобедреною чи прямокутною. І в кожному випадку потрібно знати, як знайти площу трапеції. Звичайно, найпростіше запам'ятати основні формули. Але іноді простіше скористатися тією, яка виведена з урахуванням усіх особливостей конкретної геометричної фігури.
Кілька слів про трапецію та її елементи
Будь-який чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, можна назвати трапецією. У загальному випадкувони не рівні і називаються основами. Більше їх — нижнє, інше — верхнє.
Дві інші сторони виявляються бічними. У довільної трапеції вони мають різну довжину. Якщо ж вони рівні, то постать стає рівнобедреною.
Якщо раптом кут між будь-якою бічною стороною та основою виявиться рівним 90 градусам, то трапеція є прямокутною.
Всі ці особливості можуть допомогти у вирішенні задачі про те, як знайти площу трапеції.
Серед елементів фігури, які можуть бути незамінними у вирішенні завдань, можна виділити такі:
- висота, тобто відрізок, перпендикулярний до обох підстав;
- середня лінія, що має своїми кінцями середини бічних сторін.
За якою формулою обчислити площу, якщо відомі основи та висота?
Цей вираз дається основним, тому що найчастіше можна дізнатися про ці величини, навіть коли вони не дано явно. Отже, щоб зрозуміти, як знайти площу трапеції, потрібно скласти обидві підстави і розділити їх на дві. Значення, що вийшло, потім ще помножити на значення висоти.
Якщо позначити підстави літерами а 1 і а 2 , висоту — н, формула для площі виглядатиме так:
S = ((а 1 + а 2)/2) * н.
Формула, за якою обчислюється площа, якщо дано її висота та середня лінія
Якщо уважно подивитися на попередню формулу, то легко помітити, що в ній явно присутній значення середньої лінії. А саме, сума підстав, поділена на дві. Нехай середня лінія буде позначена літерою l, тоді формула для площі стане такою:
S = l*н.
Можливість знайти площу по діагоналях
Цей спосіб допоможе, якщо відомий кут, утворений ними. Припустимо, що діагоналі позначені літерами д1 і д2, а кути між ними - α і β. Тоді формула того, як знайти площу трапеції, буде записана так:
S = ((д 1 * д 2) / 2) * sin α.
У цьому виразі можна легко замінити на β. Результат не зміниться.
Як дізнатися площу, якщо відомі всі сторони фігури?
Бувають і такі ситуації, коли у цій фігурі відомі саме сторони. Ця формула виходить громіздкою і її важко запам'ятати. Але можливо. Нехай бічні сторони мають позначення: 1 і 2 , основа а 1 більше, ніж а 2 . Тоді формула площі набуде такого вигляду:
S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ (в 1 2 - [(а 1 - а 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (а 1 - а 2)) ] 2).
Способи обчислення площі рівнобедреної трапеції
Перший пов'язаний з тим, що до неї можна вписати коло. І, знаючи її радіус (він позначається буквою r), а також кут при підставі - γ, можна скористатися такою формулою:
S = (4 * r 2) / sin γ.
Остання загальна формула, яка заснована на знанні всіх сторін фігури, суттєво спроститься за рахунок того, що бічні сторони мають однакове значення:
S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ (у 2 - [(а 1 - а 2) 2 / (2 * (а 1 - а 2))] 2).
Методи обчислення площі прямокутної трапеції
Зрозуміло, що підійде будь-який із перелічених довільної фігури. Але іноді корисно знати про одну особливість такої трапеції. Вона полягає в тому, що різниця квадратів довжин діагоналей дорівнює різниці, складеній із квадратів основ.
Часто формули для трапеції забуваються, тоді як вирази для площ прямокутника та трикутника пам'ятаються. Тоді можна застосувати простий спосіб. Розділити трапецію на дві фігури, якщо вона прямокутна, чи три. Одна точно буде прямокутником, а друга, або дві трикутниками, що залишилися. Після обчислення площ цих фігур залишиться лише скласти.
Це досить простий спосіб того, як знайти площу прямокутної трапеції.
Як бути, якщо відомі координати вершин трапеції?
В цьому випадку потрібно скористатися виразом, який дозволяє визначити відстань між точками. Його можна застосувати три рази: для того, щоб дізнатися обидва підстави та одну висоту. А потім просто застосувати першу формулу, що описана трохи вище.
Для ілюстрації такого методу можна навести такий приклад. Дано вершини з координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Потрібно дізнатися площу фігури.
Перш ніж знайти площу трапеції, за координатами необхідно обчислити довжини підстав. Потрібна така формула:
довжина відрізка = √((різниця перших координат точок) 2 + (різниця других координат точок) 2).
Верхня основа позначена АВ, отже, її довжина дорівнюватиме √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Нижня — СД = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2) = √81 = 9.
Тепер потрібно провести висоту з вершини на основу. Нехай її початок буде в точці А. Кінець відрізка опиниться на нижній підставі в точці з координатами (5; 1), нехай це буде точка Н. Довжина відрізка АН вийде рівною √((5-5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Залишилося тільки підставити значення, що виходили, у формулу площі трапеції:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Завдання вирішено без одиниць виміру, тому що не вказано масштаб координатної сітки. Він може бути як міліметр, і метр.
Приклади завдань
№1. Умова.Відомий кут між діагоналями довільної трапеції, він дорівнює 30 градусів. Менша діагональ має значення 3 дм, а друга більша за неї в 2 рази. Необхідно порахувати площу трапеції.
Рішення.Спочатку потрібно дізнатися довжину другий діагоналі, тому що без цього не вдасться порахувати відповідь. Обчислити її нескладно, 3*2 = 6 (дм).
Тепер потрібно скористатися відповідною формулою для площі:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2). Завдання вирішено.
Відповідь:площа трапеції дорівнює 4,5 дм2.
№2. Умова.У трапеції АВСД основами є відрізки АТ та ПС. Крапка Е – середина сторони ЦД. З неї проведено перпендикуляр до прямої АВ, кінець цього відрізка позначений буквою Н. Відомо, що довжини АВ та ЄН дорівнюють відповідно 5 і 4 см. Потрібно обчислити площу трапеції.
Рішення.Для початку потрібно зробити креслення. Оскільки значення перпендикуляра менше за сторону, до якої він проведений, то трапеція буде трохи витягнутою вгору. Так ЄП виявиться всередині фігури.
Щоб чітко побачити хід розв'язання задачі, потрібно виконати додаткову побудову. А саме, провести пряму, яка буде паралельна стороні АВ. Точки перетину цієї прямої з АТ - Р, а з продовженням ВС - Х. Постать ВХРА, що вийшла, - паралелограм. Причому його площа дорівнює шуканій. Це з тим, що трикутники, які вийшли за додаткової побудові, рівні. Це випливає з рівності сторони і двох кутів, що прилягають до неї, один — вертикальний, інший — навхрест лежачий.
Знайти площу паралелограма можна за формулою, що містить добуток сторони та висоти, опущеної на неї.
Таким чином, площа трапеції дорівнює 5*4 = 20 см2.
Відповідь: S = 20 см2.
№3. Умова.Елементи рівнобедреної трапеції мають такі значення: нижня основа – 14 см, верхня – 4 см, гострий кут – 45º. Потрібно обчислити її площу.
Рішення.Нехай меншу основу має позначення ВС. Висота, проведена з точки, називатиметься ВН. Оскільки кут 45º, то трикутник АВН вийде прямокутний та рівнобедрений. Отже, АН=ВН. Причому Ан дуже легко знайти. Вона дорівнює половині різниці підстав. Тобто (14 – 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).
Підстави відомі, висота порахована. Можна користуватися першою формулою, яка була розглянута для довільної трапеції.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).
Відповідь:Шукана площа дорівнює 45 см 2 .
№4. Умова.Є довільна трапеціяАВСД. На її бічних сторонах взяті точки О та Е, так що ОЕ паралельна основі АТ. Площа трапеції АТВД у п'ять разів більша, ніж у ЗЗСЄ. Обчислити значення ОЕ, якщо відомі довжини основ.
Рішення.Потрібно провести дві паралельні АВ прямі: першу через точку С, її перетин з ОЕ - точка Т; другу через Е та точкою перетину з АТ буде М.
Нехай невідома ОЕ = х. Висота меншої трапеції ЗЗСЄ - н 1, більшої АОЕД - н 2 .
Оскільки площі цих двох трапецій співвідносяться як 1 до 5, можна записати таку рівність:
(х + а 2) * н 1 = 1/5 (х + а 1) * н 2
н 1 / н 2 = (х + а 1) / (5 (х + а 2)).
Висоти та сторони трикутників пропорційні по побудові. Тому можна записати ще одну рівність:
н 1 / н 2 = (х - а 2) / (а 1 - х).
У двох останніх записах у лівій частині стоять рівні величини, Отже, можна написати, що (х + а 1) / (5 (х + а 2)) одно (х - а 2) / (а 1 - х).
Тут потрібно провести низку перетворень. Спочатку перемножити навхрест навхрест. З'являться дужки, які вкажуть на різницю квадратів після застосування цієї формули вийде коротке рівняння.
У ньому потрібно розкрити дужки і перенести всі складові з невідомої «х» в лівий бік, а потім витягти квадратний корінь.
Відповідь: х = √ ((а 1 2 + 5 а 2 2) / 6).
