Похідна геометричний та фізичний сенс доказ. Фізичний зміст похідної

Похідної функції f (x) у точці х0 називається межа (якщо він існує) відношення збільшення функції в точці х0 до збільшення аргументу Δх, якщо приріст аргументу прагне нуля і позначається f '(x0). Дія знаходження похідної функції називається диференціюванням.
Похідна функції має таку фізичний сенс: похідна функції в заданій точці- Швидкість зміни функції в заданій точці.

Геометричний зміст похідної. Похідна в точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту щодо графіку функції y=f(x) у цій точці.

Фізичний зміст похідної.Якщо точка рухається вздовж осі х та її координата змінюється згідно із законом x(t), то миттєва швидкістьточки:

Поняття диференціала, його характеристики. Правила диференціювання. приклади.

Визначення.Диференціалом функції у певній точці x називається головна, лінійна частина збільшення функції. Диференціал функції y = f(x) дорівнює творуїї похідною на збільшення незалежної змінної x (аргументу).

Це записується так:

або

Або ж


Властивості диференціалу
Диференціал має властивості, аналогічні властивостям похідної:





До основним правилам диференціюваннявідносять:
1) винесення постійного множниказа знак похідної
2) похідна суми, похідна різниці
3) похідна твори функцій
4) похідна приватного двох функцій (похідна дробу)

приклади.
Доведемо формулу: За визначенням похідної маємо:

Довільний множник можна виносити за знак граничного переходу(це відомо з властивостей межі), тому

Наприклад:Знайти похідну функції
Рішення:Скористаємося правилом винесення множника за знак похідної :

Досить часто доводиться спочатку спрощувати вид функції, що диференціюється, щоб, скористатися таблицею похідних і правилами знаходження похідних. Наступні прикладице наочно підтверджують.

Формули диференціювання. Застосування диференціала у наближених обчисленнях. приклади.

Застосування диференціала у наближених обчисленнях дозволяє використовувати диференціал для наближених обчислень значень функції.
Приклади.
За допомогою диференціалу обчислити приблизно
Для обчислення даного значеннязастосуємо формулу з теорії
Введемо на розгляд функцію а задану величинупредставимо у вигляді
тоді Обчислимо

Підставляючи все у формулу, остаточно отримаємо
Відповідь:

16. Правило Лопіталя для розкриття невизначеності виду 0/0 Або ∞/∞. приклади.
Межа відносин двох нескінченно малих або двох нескінченно великих величин дорівнює межівідносини їх похідних.

1)

17. Зростання та зменшення функції. Екстремум функції. Алгоритм дослідження функції на монотонність та екстремум. Приклади.

Функція зростаєна інтервалі, якщо для будь-яких двох точок цього інтервалу, пов'язаних ставленням, справедлива нерівність. Тобто, більшого значенняаргументу відповідає більше значення функції, та її графік йде «знизу нагору». Демонстраційна функціязростає на інтервалі

Аналогічно, функція зменшуєтьсяна інтервалі, якщо для будь-яких двох точок даного інтервалу, таких, що , справедлива нерівність . Тобто, більшому значенню аргументу відповідає менше значенняфункції, та її графік йде «згори донизу». Наша убуває на інтервалах убуває на інтервалах .

ЕкстремумиТочку називають точкою максимуму функції y=f(x), якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці максимуму називають максимумом функціїі позначають.
Точку називають точкою мінімуму функції y=f(x), якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці мінімуму називають мінімумом функціїі позначають.
Під околицею точки розуміють інтервал , де - Досить мале позитивне число.
Точки мінімуму та максимуму називають точками екстремуму, а значення функції, відповідні точкамекстремуму, називають екстремумами функції.

Щоб дослідити функцію на монотонність, скористайтеся наступною схемою:
- Знайдіть область визначення функції;
- Знайдіть похідну функції та область визначення похідної;
- Знайдіть похідні нулі, тобто. значення аргументу, у яких похідна дорівнює нулю;
- На числовому променівідзначте загальну частинуобласті визначення функції та області визначення її похідної, а на ній - нулі похідної;
- визначте знаки похідної на кожному з отриманих проміжків;
- за знаками похідної визначте, у яких проміжках функція зростає, але в яких спадає;
- Запишіть відповідні проміжки через крапку з комою.

Алгоритм дослідження безперервної функції y = f(x) на монотонність та екстремуми:
1) Знайти похідну f '(x).
2) Знайти стаціонарні (f '(x) = 0) та критичні (f '(x) не існує) точки функції y = f(x).
3) Відзначити стаціонарні та критичні точкина числовій прямій і визначити знаки похідної на проміжках, що виходять.
4) Зробити висновки про монотонність функції та її точки екстремуму.

18. Випуклість функції. Точки перегину. Алгоритм дослідження функції на опуклість (Увігнутість) Приклади.

опуклою внизна інтервалі Х, якщо її графік розташований не нижче за дотичну до нього в будь-якій точці інтервалу Х.

Диференційована функція називається опуклою вгоруна інтервалі Х, якщо її графік розташований не вище за дотичну до нього в будь-якій точці інтервалу Х.

Крапка формула називається точкою перегину графікафункції y=f(x), якщо в даній точці існує дотична до графіка функції (вона може бути паралельна осі Оу) і існує така околиця точки формула, в межах якої ліворуч та праворуч від точки М графік функції має різні напрямиопуклості.

Знаходження інтервалів на опуклість:

Якщо функція y=f(x) має кінцеву другу похідну на інтервалі Х і якщо виконується нерівність (), то графік функції має опуклість, спрямовану вниз (вгору) на Х.
Ця теорема дозволяє знаходити проміжки увігнутості і опуклості функції, потрібно лише області визначення вихідної функції вирішити нерівності і.

приклад: З'ясувати проміжки, на яких графік функціїЗ'ясувати проміжки, на яких графік функції має опуклість спрямовану вгору та опуклість спрямовану вниз. має опуклість спрямовану вгору та опуклість спрямовану вниз.
Рішення:Областю визначення цієї функції є все безліч дійсних чисел.
Знайдемо другу похідну.

Область визначення другої похідної збігається з областю визначення вихідної функції, тому щоб з'ясувати інтервали увігнутості і опуклості, достатньо вирішити і відповідно. Отже, опукла функція вниз на інтервалі формула і опукла вгору на інтервалі формула.

19) Асимптоти функції. приклади.

Пряма називається вертикальною асимптотоюграфіка функції, якщо хоча б одне з граничних значень або одно або.

Зауваження.Пряма не може бути вертикальною асимптотою, якщо функція безперервна у точці . Тому вертикальні асимптоти слід шукати у точках розриву функції.

Пряма називається горизонтальною асимптотоюграфіка функції, якщо хоча б одне з граничних значень або рівне.

Зауваження.Графік функції може мати лише праву горизонтальну асимптоту або лише ліву.

Пряма називається похилою асимптотоюграфіка функції , якщо

ПРИКЛАД:

Завдання.Знайти асимптоти графіка функції

Рішення.Область визначення функції:

а) вертикальні асимптоти: пряма - вертикальна асимптота, оскільки

б) горизонтальні асимптоти: знаходимо межу функції на нескінченності:

тобто, горизонтальних асимптот немає.

в) похилі асимптоти:

Отже, похила асимптота: .

Відповідь.Вертикальна асимптота - пряма.

Похила асимптота - пряма.

20) Загальна схемадослідження функції та побудова графіка. приклад.

a.
Знайти ОДЗ та точки розриву функції.

b. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

2. Провести дослідження функції за допомогою першої похідної, тобто знайти точки екстремуму функції та інтервали зростання та спадання.

3. Дослідити функцію за допомогою похідної другого порядку, тобто знайти точки перегину графіка функції та інтервали його опуклості та увігнутості.

4. Знайти асимптоти графіка функції: а) вертикальні; b) похилі.

5. З проведеного дослідження побудувати графік функції.

Зауважимо, що перед побудовою графіка корисно встановити, чи не є дана функціяпарної чи непарної.

Згадаймо, що функція називається парною, якщо при зміні символу аргументу значення функції не змінюється: f(-x) = f(x)і функція називається непарною, якщо f(-x) = -f(x).

У цьому випадку достатньо дослідити функцію та побудувати її графік при позитивних значенняхаргументи, що належать ОДЗ. При негативних значенняхаргументу графік добудовується на тій підставі, що для парної функціївін симетричний щодо осі Ой, а для непарної щодо початку координат.

приклади.Дослідити функції та побудувати їх графіки.

Область визначення функції D(у)= (–∞; +∞).Точок розриву немає.

Перетин з віссю Ox: x = 0,у= 0.

Функція непарна, отже, можна досліджувати її лише на проміжку
Прискорення – [м/с 2]
Сила - [Н]
Енергія – [Дж]

Завдання 1 групі

Крапка рухається згідно із законом s(t)=2t³-3t (s – шлях у метрах, t – час у секундах). Обчисліть швидкість руху точки, її прискорення на момент часу 2с

Завдання 2 групі

Маховик обертається навколо осі згідно із законом φ(t)= t 4 -5t. Знайдіть його кутову швидкість ω у момент часу 2с (φ – кут обертання в радіанах, ω – кутова швидкістьрадий/с)

Завдання 3 групі

Тіло масою 2 кг рухається прямолінійно згідно із законом х(t)=2-3t+2t²

Знайдіть швидкість тіла та його кінетичну енергіючерез 3с після початку руху. Яка сила діє на тіло в цей час? (t вимірюється в секундах, х – у метрах)

Завдання 4

Крапка робить коливальні рухизгідно із законом х(t)=2sin3t. Доведіть, що прискорення пропорційне координаті х.

IV.Самостійне вирішення завдань №272, 274, 275, 277

[А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов та ін. «Алгебра та початки аналізу10-11 клас»] 12 хв

Іноді завдання B9 з ЄДІ з математики замість всіх улюблених графіків функції або похідної дається просто рівняння відстані від точки до початку координат. Що робити у цьому випадку? Як на відстані знайти швидкість чи прискорення.

Насправді, все просто. Швидкість - це похідна від відстані, а прискорення - це похідна швидкості (або, що те саме, друга похідна від відстані). В цьому короткому відеови переконаєтеся, що такі завдання вирішуються нітрохи не складніше за «класичні» B9.

Сьогодні ми розберемо два завдання на фізичний зміст похідних із ЄДІ з математики. Ці завдання зустрічаються в частині B і суттєво відрізняються від тих, що більшість учнів звикла бачити на пробниках та іспитах. Справа в тому, що вони вимагають розуміти фізичний зміст похідної функції. У цих завданнях мова підепро функції, що виражають відстані.

Якщо $S=x\left(t \right)$, то $v$ ми можемо порахувати так:

Ці три формули – все, що вам знадобиться для вирішення таких прикладів на фізичний зміст похідної. Просто запам'ятайте, що $v$ це похідна від відстані, а прискорення це похідна від швидкості.

Давайте подивимося, як це працює під час вирішення реальних завдань.

Приклад №1

де $x$ - відстань від точки відліку в метрах, $t$ - час у секундах, що минув з початку руху. Знайдіть швидкість точки (м/с) в момент часу $t=2c$.

Це означає, що ми маємо функцію, що задає відстань, а потрібно порахувати швидкість в момент часу $t=2c$. Інакше кажучи, нам потрібно знайти $v$, тобто.

Ось і все, що нам потрібно було з'ясувати з умови: по-перше, як виглядає функція, а по-друге, що нам потрібно знайти.

Давайте вирішувати. Насамперед, порахуємо похідну:

\[(x)"\left(t \right)=-\frac(1)(5)\cdot 5((t)^(4))+4((t)^(3))-3(( t)^(2))+5\]

\[(x)"\left(t \right)=-((t)^(4))+4((t)^(3))-3((t)^(2))+5\]

Нам потрібно знайти похідну в точці 2. Давайте підставимо:

\[(x)"\left(2 \right)=-((2)^(4))+4\cdot ((2)^(3))-3\cdot ((2)^(2)) +5=\]

\[=-16+32-12+5=9\]

Ось і все, ми знайшли остаточну відповідь. Отже, швидкість нашої матеріальної точкиу час $t=2c$ складе 9 м/с.

Приклад №2

Матеріальна точка рухається згідно із законом:

де $x$ — відстань від точки відліку за метри, $t$ — час у секундах, виміряне початку руху. У який момент часу її швидкість дорівнювала 3 м/с?

Погляньте, в Минулого разувід нас вимагалося знайти $v$ в момент часу 2 с, а цього разу від нас потрібно знайти той самий момент, коли ця швидкість дорівнюватиме 3 м/с. Можна сказати, що нам відомо кінцеве значення, а за цим кінцевим значенням потрібно знайти вихідне.

Насамперед, знову шукаємо похідну:

\[(x)"\left(t \right)=\frac(1)(3)\cdot 3((t)^(2))-4\cdot 2t+19\]

\[(x)"\left(t \right)=((t)^(2))-8t+19\]

Від нас просять знайти, в який момент часу швидкість дорівнюватиме 3 м/с. Складаємо та вирішуємо рівняння, щоб знайти фізичний зміст похідної:

\[((t)^(2))-8t+19=3\]

\[((t)^(2))-8t+16=0\]

\[((\left(t-4 \right))^(2))=0\]

Отримане число означає, що в момент часу 4 з $v$ матеріальної точки, що рухається за вище описаним законом, якраз і дорівнюватиме 3 м/с.

Ключові моменти

У висновку давайте ще раз пробіжимося найголовнішим моментом сьогоднішнього завдання, а саме, за правилом перетворення відстань у швидкість і прискорення. Отже, якщо нам у завданні прямо описаний закон, що прямо вказує на відстань від матеріальної точки до точки відліку, то через цю формулу ми можемо знайти будь-яку миттєву швидкість (це просто похідна). Більше того, ми можемо знайти ще й прискорення. Прискорення, своєю чергою, дорівнює похідної від швидкості, тобто. другий похідний від відстані. Такі завдання зустрічаються досить рідко, тож сьогодні ми їх не розбирали. Але якщо ви побачите в умові слово "прискорення", нехай воно вас не лякає, досить просто знайти ще одну похідну.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам підготуватися до ЄДІ з математики.

Розглянемо довільну пряму, що проходить через точку графіка функції - точку А(x0, f (х 0)) і перетинає графік у певній точці B (x; f (x )). Така пряма (АВ) називається січною. З ∆АВС: АС = ∆ x; НД =∆у; tgβ =∆y /∆x.

Оскільки АС || Ox , то Ð ALO = Ð BAC = β (Як відповідні при паралельних). АлеÐ ALO - це кут нахилу січної АВ до позитивного напрямку осі Ох. Значить, tgβ = k - кутовий коефіцієнтпрямий АВ.

Тепер зменшуватимемо ∆х, тобто. ∆х→ 0. При цьому точка В наближатиметься до точки А за графіком, а січна АВ повертатиметься. Граничним положенням АВ при ∆х→ 0 буде пряма ( a ), звана дотичною до графіка функції у = f(х) у точці А.

Якщо перейти до межі при ∆х → 0 у рівності tg β =∆ y /∆ x , то отримаємо

або tg a = f "(x 0 ), оскільки
a -кут нахилу дотичної до позитивного напрямку осі Ох

, за визначенням похідної. Але tg a = k - кутовий коефіцієнт дотичної, отже, k = tg a = f "(x 0).

Отже, геометричний змістпохідної полягає в наступному:

Похідна функції у точці x 0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції, проведеної у точці з абсцисою x 0 .

Фізичний зміст похідної.

Розглянемо рух точки прямою. Нехай задана координата точки у будь-який момент часу x (t ). Відомо (з курсу фізики), що Середня швидкістьза проміжок часу [ t 0; t 0 + ∆ t ] дорівнює відношенню відстані, пройденого цей проміжок часу, тимчасово, тобто.

V ср = ∆ x /∆ t . Перейдемо до межі в останній рівності при ∆ t → 0.

lim V ср (t) = n (t 0 ) - миттєва швидкість у момент часу t 0 , ∆ t → 0.

а lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (за визначенням похідної).

Отже, n(t) = x"(t).

Фізичний зміст похідної полягає в наступному: похідна функції y = f( x) у точціx 0 - це швидкість зміни функції f(х) у точціx 0

Похідна застосовується у фізиці для знаходження швидкості по відомої функціїкоординати від часу, прискорення відомої функції швидкості від часу.

u (t) = x "(t) - швидкість,

a (f) = n "(t ) - прискорення, або

a (t) = x "(t).

Якщо відомий закон руху матеріальної точки по колу, то можна знайти кутову швидкість і кутове прискоренняпри обертальному русі:

φ = φ (t ) - Зміна кута від часу,

ω = φ "(t ) - кутова швидкість,

ε = φ "(t ) - кутове прискорення, абоε = φ "(t).

Якщо відомий закон розподілу маси неоднорідного стрижня, можна знайти лінійну щільність неоднорідного стрижня:

m = m(х) - маса,

x Î, l - довжина стрижня,

р = m (х) - лінійна щільність.

За допомогою похідної вирішуються завдання з теорії пружності та гармонійних коливань. Так, згідно із законом Гука

F = - kx, x - Змінна координата, k - Коефіцієнт пружності пружини. Поклавшиω 2 = k/m , отримаємо диференціальне рівняння пружинного маятниках"( t) + ω 2 x(t) = 0,

де ω = √ k /√ m частота коливань ( l/c ), k - жорсткість пружини ( H/m).

Рівняння виду у "+ω 2 y = 0 називається рівнянням гармонійних коливань (механічних, електричних, електромагнітних). Розв'язанням таких рівнянь є функція

у = Asin (ωt + φ 0 ) або у = Acos (ωt + φ 0 ), де

А - амплітуда коливань,ω - циклічна частота,

φ 0 - Початкова фаза.