Розподіл релея застосування передачі інформації. Основні математичні моделі, що використовуються в теорії надійності

Більшість факторів, що впливають на виробничий процес, Не залишаються незмінними. Тому числові дані, зібрані результаті спостереження, що неспроможні бути однаковими, але обов'язково підпорядковуються певним закономірностям, званим розподілом.

Якщо вимірювати контрольований параметр безперервно, можна побудувати графік щільності розподілу. Однак на практиці проводять вимірювання тільки у певні проміжки часу та не всіх виробів, а лише деяких. Тому за результатами вимірювань будують зазвичай гістограму - ступінчасту фігуру, контури якої дають приблизне уявлення про графік щільності, тобто про характер розподілу параметра, що вивчається.

Гістограма– це стовпчикова діаграма, що служить для графічного уявленнянаявної кількісної інформації.

Зазвичай основою побудови гістограми служить інтервальна таблиця частот, у якій весь діапазон виміряних значень випадкової величинирозбитий на кілька інтервалів, і для кожного інтервалу вказано кількість значень, що потрапили на даний інтервал.

Послідовність побудови гістограми така.

1. Знаходять найбільше ( X max) та найменше ( X min) значення випадкової величини та обчислюють розмах зміни R

R =X max– X min.

2. Задають кілька розрядів k. При n< 100 можна прийнятиk = 6.

3. Визначають ширину розряду h =. Для спрощення розрахунків отримане значення hокругляють у будь-який бік.

4. Встановлюють межі розрядів та підраховують кількість вимірювань у кожному з них. При підрахунку значення Х, що знаходиться на межі розряду, його слід завжди відносити до розряду, розташованого ліворуч або праворуч.

5. Встановлюють m i- Число значень Х, що потрапили до цього розряду.

6. Визначають частоту появи величини p iу даному розряді

p i = ,

де n – загальне числовсіх дослідних даних.

7. У системі координат p i =f(X) на ширині розряду hвідкладають величину p iяк висоту і будують прямокутник.

Результат заносять до таблиці

Таблиця. Гістограма розподілу

Очевидно, що площа елементарного прямокутника

s i = hy i = p i,

а площа всієї гістограми

S = = = 1.

Таким чином, гістограма є сукупністю прямокутників.

Мал. Гістограма ( 1 ) та полігон ( 2 ) розподілу величини Х

Аналіз гістограми зводиться до її порівнянню з типовими випадками.

Звичайний тип(симетричний або дзвоноподібний). Найвища частота виявляється в середині основи гістограми (і поступово знижується до обох кінців). Форма симетрична. Така гістограма по зовнішньому виглядунаближається до нормальної (гауссівської) кривої, і можна припускати, що жоден із факторів, що впливають на досліджуваний процес, не переважає над іншими.

Ця форма гістограми зустрічається найчастіше. У цьому випадку середнє значення випадкової величини (стосовно технологічної операції – це показник рівня налаштованості) близько до середини основи гістограми, а ступінь її розсіювання щодо середнього значення (для технологічних операцій – це показник точності) характеризується крутістю зниження стовпців.

Мал. Звичайний тип гістограми

Гребінка(Мультимодальний тип). Класи через один мають нижчі частоти.

Така форма гістограми зустрічається, коли кількість одиничних спостережень, що потрапляють до класу, коливається від класу до класу або коли діє певне правилоокруглення даних Можливо потрібно здійснити розшарування даних, тобто визначити додаткові ознаки для групування значень, що спостерігаються.

Мал. Гребінка

Позитивно (негативно) скошений розподіл. Середнє значення гістограми локалізується праворуч (ліворуч) від середини основи гістограми. Частоти досить різко спадають

Під час руху вліво (вправо) і, навпаки, повільно вправо (вліво). Форма асиметрична.

Така форма гістограми зустрічається, коли нижня (верхня) межа регулюється або теоретично, або за значенням допуску або коли ліве (праве) значення недосяжно. У цьому випадку також можна припускати, що на процес переважає будь-який фактор, зокрема, подібна формазустрічається, коли має місце уповільнене (прискорене) знос ріжучого інструменту.

Така гістограма й у розподілу Релея, яке характеризує форму чи несиметричність вироби.

Мал. Позитивно скошений розподіл

Розподіл з урвищем зліва(праворуч). Середня арифметична гістограма локалізується далеко зліва (справа) від середини основи. Частоти різко спадають під час руху вліво (вправо) і навпаки, повільно вправо (вліво). Форма асиметрична.

Мал. Розподіл з урвищем зліва

Це одна з тих форм, які часто зустрічаються при 100% просіювання виробів через погану відтворюваність процесу, а також коли проявляється різко виражена позитивна (негативна) асиметрія.

Плато(рівномірний та прямокутний розподіл). Частоти в різних класахутворюють плато, оскільки всі класи мають більш менш однакові очікувані частоти.

Мал. Плато

Така форма зустрічається в суміші декількох розподілів, що мають різні середні, але може також вказувати на будь-який переважний фактор, наприклад, рівномірне зношування ріжучого інструменту.

Двопиковий тип(Бімодальний тип). На околицях середини основи частота низька, зате є по піку з кожного боку.

Така форма зустрічається, коли поєднуються два розподіли з далеко віддаленими середніми значеннями, тобто має сенс провести розшарування даних. Таку ж форму гістограми можна спостерігати і у випадку, коли який-небудь переважний фактор змінює свої характеристики, наприклад, якщо різальний інструмент має спочатку прискорене, а потім уповільнене зношування.

Мал. Двопиковий тип

Розподіл із ізольованим піком. Поруч із розподілом нормального типу утворюється невеликий ізольований пік.

Мал. Розподіл із ізольованим піком

Така форма з'являється за наявності малих включень даних з іншого розподілу чи помилки виміру. При отриманні подібної гістограми слід передусім перевірити достовірність даних, а в тому випадку, коли результати вимірювань не викликають сумніву, продумати обґрунтованість обраного способу розбиття значень, що спостерігаються на інтервали.

Крім того, за гістограмою можна провести оцінку процесу.

При використанні гістограм для оцінки якості процесу на шкалі значень параметра, що спостерігається, відзначають нижню і верхню межі поля допуску (поля специфікації) і через ці точки проводять дві прямі паралельні стовпцям гістограми.

Якщо вся гістограма виявляється в межах кордонів поля допуску, процес статистично стійкий і вимагає ніякого втручання.

Якщо ліва та права межі гістограми збігаються з межами поля допуску, то бажано зменшити розкид процесу, тому що будь-яка дія може призвести до появи виробів, що не задовольняють допуску.

Якщо частина стовпців гістограми виявляється за межами поля допуску, необхідно провести регулювання процесу так, щоб змістити середнє ближче до центру поля допускали зменшити варіації, щоб домогтися меншого розкиду.

Федеральне агентство з освіти

ГОУ ВПО «Уральський державний технічний університет-УПІ імені першого Президента Росії Б.М. Єльцина»

Кафедра теоретичних засад радіотехніки

РОЗПОДІЛ РЕЛЕЮ

з дисципліни «Вірогіднісні моделі»

Група: Р-37072

Студентка: Решетнікова Н.Є.

Викладач: Трухін М.П.

Єкатеринбург, 2009 рік

Історія появи 3

Функція щільності ймовірності 4

Інтегральна функція розподілу 6

Центральні та абсолютні моменти 8

Характеристична функція 10

Кумулянти (семіінваріанти) 11

Область застосування 12

Список використаної литературы 13

Історія появи

12 листопада 1842 р. в Ленгфорд-Грові (графство Ессекс) народився лорд Джон Вільям Релей (John William Rayleigh), англійський фізик, Нобелівський лауреат. Здобув домашню освіту. Закінчив Трініті-коледж Кембриджського університету, працював там же до 1871 р. У 1873 р. створив лабораторію в родовому маєтку Терлін-Плейс. У 1879 р. став професором експериментальної фізики Кембриджського університету, у 1884 р. – секретарем Лондонського королівського товариства. У 1887-1905 р.р. – професор Королівської асоціації, з 1905 р. – президент Лондонського королівського товариства, з 1908 р. – президент Кембриджського університету.

Будучи всебічно ерудованим натуралістом, він відзначився в багатьох галузях науки: теорія коливань, оптика, акустика, теорія теплового випромінювання, молекулярна фізика, гідродинаміка, електрика та інші галузі фізики. Досліджуючи акустичні коливання (коливання струн, стрижнів, пластинок та ін.), він сформулював ряд фундаментальних теорем лінійної теорії коливань (1873), що дозволяють робити якісні висновки про власні частоти коливальних систем, і розробив кількісний метод збурень для знаходження власне коливальної системи. Релей вперше вказав на специфічність нелінійних систем, здатних здійснювати коливання, що незатухають, без періодичного впливу ззовні, і на особливий характер цих коливань, які згодом були названі автоколиваннями.

Він пояснив відмінність групової та фазової швидкостей та отримав формулу для групової швидкості (формула Релея).

Розподіл Релея з'явилося в 1880 році внаслідок розгляду завдання складання безлічі коливань з випадковими фазами, в якій він отримав функцію розподілу для результуючої амплітуди. Метод, розроблений у своїй Релеєм, надовго визначив розвиток теорії випадкових процесів.

Функція густини ймовірності

Вид функції розподілу:

σ-параметр.

Отже, залежно від параметра σ змінюється як амплітуда, а й дисперсія розподілу. Зі зменшенням σ амплітуда зростає і графік «звужується», а зі збільшенням σ збільшується розкид і зменшується амплітуда.

Інтегральна функція розподілу

Інтегральна функція розподілу, за визначенням рівна інтегралу від щільності ймовірності, дорівнює:

Графік інтегральної функціїрозподілу при різних параметрах:

Залежно від σ графік функції розподілу виглядає так:

Таким чином, при зміні параметра відбувається зміна графіка. При зменшенні σ графік стає крутішим, а при збільшенні σ більш пологім:

Центральні та абсолютні моменти

Закони розподілу повністю описують випадкову величину Xз імовірнісної точки зору (містять повну інформацію про випадкову величину). На практиці часто немає необхідності в такому повному описідостатньо вказати значення окремих параметрів (числових характеристик), що визначають ті чи інші властивості розподілу ймовірностей випадкової величини.

Серед числових характеристик математичне очікуваннявідіграє найбільш істотну роль і розглядається як результат застосування операції усереднення до випадкової величини Х, що позначається як
.

Початковим моментомs - го порядкувипадкової величини X називається математичне очікування s - й ступеня цієї величини:

.

Для безперервної випадкової величини:

Математичне очікування для величини, розподіленої за законом Релея одно:

Значення математичного очікування для різних значень параметра:

Центрованою випадковою величиною Xназивається її відхилення від математичного очікування
.

Центральним моментом s – ого порядкувипадкової величини Xназивається математичне очікування s- й ступеня центрованої величини
:

Для безперервної випадкової величини

.

Другий центральний момент. Дисперсіяє характеристика розсіюваннявипадкової величини біля її математичного очікування

Для випадкової величини, розподіленої за законом Релея дисперсія (другий центральний момент), дорівнює:

Характеристична функція

Характеристичною функцією випадкової величини Х називається функція

Ця функція є математичним очікуванням від деякої комплексної випадкової величини
, Що є функцією від випадкової величини Х. При вирішенні багатьох завдань зручніше користуватися характеристичною функцією, а не законом розподілу.

Знаючи закон розподілу можна знайти характеристичну функцію за такою формулою:

Як бачимо, дана формулає не що інше, як зворотне перетворення Фур'є для функції щільності розподілу. Очевидно, що за допомогою прямого перетворенняФур'є можна по характеристичної функціїзнайти закон розподілу.

Характеристична функція для випадкової величини, розподіленої за законом Релея:

,

де
- Інтеграл ймовірності комплексного аргументу.

Кумулянти (семіінваріанти)

Функція
називається кумулянтною функцією випадкової величини Х. Кумулянтна функція є повною імовірнісною характеристикою випадкової величини, як і. Сенс введення кумулянтної фукнції полягає в тому, що ця функція найчастіше виявляється найпростішою серед повних імовірнісних характеристик.

У цьому число називається кумулянтом порядку випадкової величини Х.

Область застосування

Розподіл Релея застосовується для опису великої кількості завдань, наприклад:

Завдання складання коливань із випадковими фазами;

розподіл енергії випромінювання абсолютно чорного тіла;

Для опису законів надійності;

Для опису деяких радіотехнічних сигналів;

Закону розподілу Релея підпорядковуються амплітудні значення шумових коливань (перешкод) радіоприймачі;

Використовується для опису випадкової огинаючої вузькосмугового випадкового процесу (шуму).

Список використаної літератури

Р.М. Вадзінський «Довідник з ймовірнісних розподілів», С.-П. "Наука", 2001 рік.

Г.А. Самусевич, навчальний посібник«Теорія ймовірностей та математична статистика», УДТУ-УПІ, 2007 рік.

У наступних розділах ми зустрінемо кілька різних типіввипадкових величин. У цьому розділі ми перерахуємо ці нові випадкові величини, що часто зустрічаються, їх ФПВ, ПФР і моменти. Ми почнемо з біномного розподілу, який є розподілом дискретної випадкової величини, а потім представимо розподіл деяких безперервних випадкових величин.

Біноміальний розподіл.Нехай - дискретна випадкова величина, яка приймає два можливі значення, наприклад, або , з ймовірністю і відповідно. Відповідна ФПВ показана на рис. 2.1.6.

Мал. 2.1.6. Функція розподілу ймовірностей

Тепер припустимо, що

де , , - статистично незалежні та ідентично розподілені випадкові величини з ФПВ, показаною на рис. 2.1.6. Яка функція розподілу?

Щоб відповісти на це питання, зауважимо, що спочатку це ряд цілих чисел від 0 до . Імовірність того, що , просто дорівнює ймовірності того, що всі . Оскільки статистично незалежні, то

.

Імовірність те, що , дорівнює ймовірності те, що одне доданок , інші рівні нулю. Так як ця подія може виникнути різними шляхами,

.

(2.1.84)

різних комбінацій, які призводять до результату, отримуємо

де – біноміальний коефіцієнт. Отже, ФПВ можна виразити як

, (2.1.87)

де означає найбільше ціле число , таке, що .

ІФР (2.1.87) характеризує біномний розподілдовільної величини.

Перші два моменти рівні

а характеристична функція

. (2.1.89)

Рівномірний розподіл.ФПВ та ІФР рівномірно розподіленої випадкової величини показано на рис. 2.1.7.

Мал. 2.1.7. Графіки ФПВ та ІФР для рівномірно розподіленої випадкової величини

Перші два моменти рівні

,

, (2.1.90)

,

а характеристична функція дорівнює

(2.1.91)

Гауссівський розподіл. ФПВ гауссівської або нормально розподіленої випадкової величини визначається формулою

, (2.1.92)

де – математичне очікування, а – дисперсія випадкової величини. ІФР дорівнює

де - функція помилок, що визначається виразом

. (2.1.94)

ФПВ та ПФР ілюструється на рис. 2.1.8.

Мал. 2.1.8. Графіки ФПВ (а) та ІФР (b) гауссівської випадкової величини

ІФР можна висловити через додаткову функцію помилок, тобто.

,

Зауважимо, що , , і . Для додаткової функції помилок пропорційна площі під частиною гаусівської ФПВ. Для великих значень додаткова функція помилок може бути апроксимована поруч

, (2.1.96)

причому помилка апроксимації менше, ніж останній утримуваний доданок.

Функція, яка зазвичай використовується для площі під частиною гаусівської ФПВ, позначається через і визначається як

, . (2.1.97)

Порівнюючи (2.1.95) та (2.1.97), знаходимо

. (2.1.98)

Характеристична функція гауссівської випадкової величини із середнім та дисперсією дорівнює

Центральні моменти гауссівської випадкової величини дорівнюють

(2.1.100)

а звичайні моменти можна виразити через центральні моменти

. (2.1.101)

Сума статично незалежних випадкових гаусовських величин також є гаусовською випадковою величиною. Щоб це продемонструвати, припустимо

де, - незалежні випадкові величини із середнім та дисперсіями. Використовуючи результат (2.1.79), ми бачимо, що характеристична функція дорівнює

Отже, є гауссівською випадковою величиною із середнім та дисперсією.

Хі-квадрат-розподіл.Випадкова величина з хі-квадрат-розподілом породжується гауссівською випадковою величиною, у тому сенсі, що її формування можна розглядати як перетворення останньої. Для конкретності, нехай , де - Гаусовська випадкова величина. Тоді має хі-квадрат-розподіл. Ми розрізняємо два види хі-квадрат розподілу. Перше називається центральним хі-квадрат-розподілом, і виходить, коли має нульове середнє значення. Друге називається нецентральним хі-квадрат-розподілом, і виходить, коли має ненульове середнє значення.

Спочатку розглянемо центральний хі-квадрат-розподіл. Нехай - гауссівська випадкова величина з нульовим середнім та дисперсією. Оскільки результат дається функцією (2.1.47) з параметрами і . Таким чином, отримуємо ФПВ у вигляді

, . (2.1.105)

яке не може бути виражене у замкнутому вигляді. Характеристична функція, однак, може бути виражена у замкнутій формі:

. (2.1.107)

Тепер припустимо, що випадкова величина визначається як

де , , - статистично незалежні та однаково розподілені гауссівські випадкові величини з нульовими середніми та дисперсією. Внаслідок статистичної незалежності характеристична функція

Зворотне перетворення цієї характеристики дає ФПВ

, , (2.1.110)

де - гамма-функція, визначена як

,

Ціле число, , (2.1.111)

Ця ФПВ є узагальненням (2.1.105) і названа хі-квадрат-(або гамма-) ФПВ із ступенями свободи. Вона ілюструє рис. 2.1.9.

Випадок, коли рівні

Перші два моменти рівні

, (2.1.112)

ІФР дорівнює

, (2.1.113)

Мал. 2.1.9 Графіки ФПВ для випадкової величини з хі-квадрат-розподілом для кількох значень ступенів свободи

Цей інтеграл перетворюється на неповну гамма-функцію, що була табульована Пірсоном (1965).

Якщо парно, інтеграл (2.11.113) можна виразити у замкнутому вигляді.

Зокрема, нехай де - ціле. Тоді, використовуючи повторно інтегрування частинами, отримуємо

, . (2.1.114)

Тепер розглянемо нецентральний хі-квадрат-розподіл, який є результатом зведення у квадрат гауссівської випадкової величини з ненульовим середнім. Якщо - гауссівська випадкова величина із середнім та дисперсією, випадкова величина має ФПВ

, (2.1.115)

Цей результат виходить при використанні (2.1.47) для гаусівської ФПВ із розподілом (2.1.92). Характеристична функція для ФПВ

. (2.1.116)

Для узагальнення результатів припустимо, що сумою квадратів гауссовских випадкових величин, визначених (2.1.108). Всі, передбачаються статистично незалежними із середніми, і однаковими дисперсіями. Тоді характеристична функція, що отримується з (2.1.116), при використанні співвідношення (2.1.79) дорівнює

. (2.1.117)

Зворотне перетворення Фур'є від цієї характеристики дає ФПВ

де введено позначення

а - модифікована функція Бесселя першого роду порядку, яку можна уявити нескінченним рядом

, . (2.1.120)

ФПВ, що визначається (2.1.118), називається нецентральним хі-квадрат-розподіл зі ступенем свободи. Параметр називається параметром нецентральності розподілу. ІФР для нецентрального хі-квадрат-розподілу зі ступенями свобода

Цей інтеграл не виявляється у замкнутій формі. Однак, якщо - ціле число, ІФР можна виразити через узагальнену -функцію Маркума, яка визначається як

, (2.1.122)

, (2.1.123)

Якщо замінити змінну інтегрування (1.2.121) на , причому , і покласти, що , тоді можна легко знайти

. (2.1.124)

На закінчення зауважимо, що перші два моменти для центрального хі-квадрату розпаду випадкових величин рівні

,

.

Релеєвський розподіл.Релеєвський розподіл часто використовується як модель для статистичних сигналів, переданих через радіоканали, таких як, наприклад, в радіозв'язку. Цей розподіл тісно пов'язаний із центральним хі-квадрат-розподілом. Щоб це проілюструвати, припустимо, що , де і - статистично незалежні гауссівські випадкові величини з нульовими середніми однаковою дисперсією. З викладеного вище випливає, що має хі-квадрат-розподіл із двома ступенями свободи. Отже, ФПВ для

, . (2.1.126)

Тепер припустимо, що ми визначаємо нову випадкову величину

. (2.1.127)

Виконавши прості перетворення (2.1.126), отримаємо для ФПВ

, . (2.1.128)

Це ФПВ для релеївської випадкової величини. Відповідна ІФР дорівнює

, . (2.1.129)

Моменти від рівні

, (2.1.130)

а дисперсія

. (2.1.131)

Характеристична функція для розподіленої за Релеєм випадкової величини

. (2.1.132)

Цей інтеграл можна так:

де - це вироджена гіпергеометрична функція, яка визначається як

, … (2.1.134)

Боулі (1990) показав, що можна висловити як

. (2.1.135)

Як узагальнення одержаних вище виразів розглянемо випадкову величину

де , , статистично незалежні однаково розподілені гауссівські випадкові величини з нульовим середнім. Зрозуміло, що має хі-квадрат-розподіл із ступенями свободи. Його ФПВ задається формулою (2.1.100). Прості перетвореннязмінної (2.1.110) приводять до ФПВ для у вигляді

, . (2.1.137)

Як наслідок фундаментальної залежності між центральним хі-квадрат-розподілом та релеївським розподілом, відповідна ІФР досить проста. Так, для будь-якого ІФР можна уявити у формі неповної гамма-функції. У разі, коли чітко, тобто. коли , ІФР для може бути представлено в замкнутій формі

, . (2.1.138)

Наприкінці наведемо формулу для -го моменту

, , (2.1.139)

справедливу для будь-кого.

Розподіл Райсу.У той час як розподіл Релея пов'язаний із центральним хі-квадрат-розподілом, розподіл Райса пов'язаний з нецентральним хі-квадрат-розподілом. Щоб проілюструвати цей зв'язок, припустимо, де і - статистично незалежні гауссівські випадкові величини із середнім, і однаковою дисперсією. З попереднього розгляду ми знаємо, що має нецентральний хі-квадрат-розподіл із параметром відхилення . ФПВ для одержуємо з (2.1.118), а при знаходимо

, . (2.1.140)

Тепер введемо нову змінну.

ФПВ для виходить з (2.1.140) шляхом заміни змінної

, . (2.1.141)

Функція (2.1.141) називається розподілом Райсу.

Як буде показано в гол. 5, ця ФПВ характеризує статистику огинаючої гармонійного сигналу схильному до впливу вузькосмугового гаусівського шуму. Вона також використовується для статистики сигналу, що переїде через деякі радіоканали. ІФР для легко знайти (2.1.124) для випадку, коли . Це дає

, , (2.1.142)

де визначається (2.1.123).

Для узагальнення наведеного вище результату нехай визначається (2.1.136), де - статистично незалежні випадкові величини з середнім, і однаковими дисперсіями. Випадкова величина має нецентральний хі-квадрат-розподіл з -ступенями свободи нецентральним параметром, що визначається (2.1.119). Еe ФПВ визначається (2.1.118), отже, ФПВ для дорівнює

, , (2.1.143)

а відповідна ІФР

де визначається (2.1.121). В окремому випадку, коли - ціле число, маємо

, , (2.1.145)

яке випливає з (2.1.124). Наприкінці зазначимо, що момент від

, , (2.1.146)

де – вироджена гіпергеометрична функція.

-розподіл Накагамі.І розподіл Релея, і розподіл Райса часто використовується для опису статистики флуктуацій сигналу на виході багатоколійного каналу із завмираннями. Ця модель каналу у гол. 14. Інший розподіл, що часто використовується для характеристики статистичних сигналів, що передаються через багатоколійні канали із завмираннями - це -розподіл Накагамі. ФПВ для цього розподілу надано Накагамі (1960)

, , (2.1.147)

де визначається як

а параметр визначається як відношення моментів і названий параметром завмирань:

, . (2.1.149)

Нормалізовану версію для (2.1.147) можна отримати шляхом введення іншої випадкової величини (див. задачу 2.15). -й момент від дорівнює

.

При цьому можна бачити, що (2.1.147) призводить до розподілу Релея. При значеннях, що задовольняють умові, отримуємо ФПВ, яка має протяжні хвости, ніж при розподілі Релея. При значеннях хвости ФПВ розподілу Накагамі зменшуються швидше, ніж розподілу Релея. Малюнок 2.1.10 ілюструє ФПВ для різних значень.

Багатовимірний гауссівський розподіл.З багатьох багатопараметричних або багатовимірних розподілів, які можуть бути визначені, багатопараметричний розподіл Гауса найбільш важливий і найчастіше використовується на практиці. Введемо цей розподіл та розглянемо його основні властивості.

Припустимо, що , є випадковими гауссовськими величинами з середніми , , дисперсіями , і коваріаціями , . Ясно що , . Нехай - це матриця підступів розмірності з елементами. Нехай визначає вектор-стовпець випадкових величин і нехай означає вектор-стовпець середніх значень . Спільна ФПВ гауссівських випадкових величин , , визначається так., то бачимо, що якщо гауссівські випадкові величини не кореловані, вони також статистично незалежні. є некорельованими і, отже, статистично незалежними. у вигляді діагональної. Отже, ми повинні вимагати ми отримуємо власні вектори

Отже,

.

Легко показати, що і де діагональні елементи рівні і .

Функція густини ймовірності

Функція розподілу

, x ³ 0;

Точкова оцінкапараметра закону розподілу

.

Закон розподілу Ерланга (гамма-розподіл)

Функція густини ймовірності

Функція розподілу

, x ³ 0;

Точкова оцінка параметрів закону розподілу:

і k" приймається k як найближче ціле (k=1, 2, 3,...); .

Закон розподілу Вейбулла

Функція густини ймовірності

функція розподілу

, x ³ 0;

Точкова оцінка параметрів закону розподілу

;

У системах з пріоритетами вимог розрізняють відносний пріоритет (без переривання обслуговування), коли при надходженні вимоги з більш високим пріоритетом воно приймається на обслуговування після закінчення попереднього обслуговування вимоги з меншим пріоритетом, і абсолютний пріоритет, коли канал звільняється негайно для обслуговування вимоги, що надійшла з більш високим пріоритетом.

Шкала пріоритету може бути побудована виходячи з якихось зовнішніх щодо системи обслуговування критеріїв або на показниках, пов'язаних із роботою самої системи обслуговування. Практичне значеннямають наступні типипріоритетів:

пріоритет у вимог з найменшим часомобслуговування. Ефективність цього пріоритету може бути показана на наступний приклад. Надійшли послідовно дві вимоги з тривалістю обслуговування відповідно 6,0 і 1,0 год. При прийомі їх на обслуговування каналом, що звільнився, в порядку надходження простий складе для 1-го вимоги 6,0 год і для другого 6,0+1,0 = 7 ,0 год або сумарно для двох вимог 13,0 год. Якщо дати пріоритет другій вимогі та його прийняти на обслуговування першим, то його простий складе 1,0 год і простий іншого - 1,0 +6,0 = 7,0 год або сумарно для двох вимог 8,0 год. Виграш від призначеного пріоритету становитиме 5,0 год (13-8) скорочення простоїв вимог у системі;

пріоритет у вимог із мінімальним ставленням часу обслуговування до потужності (продуктивності) джерела вимоги, наприклад, до вантажопідйомності автомобіля.

Механізм обслуговування характеризується параметрами окремих каналівобслуговування, пропускною спроможністю системи загалом та іншими даними про обслуговування вимог. Пропускна здатність системи визначається числом каналів (апаратів) та продуктивністю кожного з них.

45.Визначення довірчих інтервалів випадкових величин

Інтервальна оцінкапараметра розподілу випадкової величини визначається тим, що з ймовірністю g

abs(P – P м) ≤d,

де P - Точне (справжнє) значення параметра;

P м - оцінка параметра з вибірки;

d – точність (помилка) оцінювання параметра Р.

Найчастіше приймають g від 0,8 до 0,99.

Довірчий інтервалпараметра – це інтервал, який потрапляє значення параметра з ймовірністю g. Наприклад, на цій основі знаходиться необхідний розмір вибірки випадкової величини, який забезпечує оцінку математичного очікування точності d з ймовірністю g. Вигляд зв'язку визначається законом розподілу випадкової величини.

Імовірність потрапляння випадкової величини в заданий інтервал [Х 1 , Х 2 ] визначається збільшенням інтегральної функції розподілу на інтервалі F(Х 2)–F(Х 1). Виходячи з цього, при відомої функціїрозподілу можна знайти очікуване гарантоване мінімальне Х гн (x≥ Х гн) або максимальне значенняХ гв (x≤ Х гв) випадкової величини із заданою ймовірністю g (рисунок 2.15). Перше є тим значенням, більше якого випадкова величина буде з ймовірністю g, а друге – що випадкова величина з ймовірністю g менше цього значення. Гарантоване мінімальне значенняХ гн з ймовірністю g забезпечується при F(x)= 1-g та максимальне Х гв при F(x)=g. Таким чином, значення Х гн і Х гв знаходяться за виразами:

Х гн = F -1 (1-g);

Х гв = F -1 (g).

приклад. Випадкова величина має експоненційний розподілз функцією .

Потрібно знайти значення Х гн і Х гв, котрим випадкова величина хз ймовірністю g=0.95 відповідно більше Х гн і менше Х гв.

Виходячи з того, що F -1 (α) = -1/l ln(1-α) (див. висновок раніше) і α = 1-g = 0.05 отримуємо

Х гн = -1/l ln(1-α) = -1/0.01 ln(1-0.05)=-100 (-.0513)=5.13.

Для Х гв α = g = 0.95 аналогічно маємо

Х гв = -1/l ln(1-α) = -1/0.01 ln(1-0.95)=-100 (-2.996)=299.6.

Для нормального законурозподіл значення Х гн і Х гв можуть бути розраховані за формулами

Х гн = х м + s U 1-g = х м - s U g;

Х гв = x м + s U g ,

де x м - Математичне очікування випадкової величини; s – середньоквадратичне відхилення випадкової величини; U g – одностороння квантиль нормального закону розподілу за ймовірності g.

Малюнок 2.15 – Графічна інтерпретація визначення Х гн і Х гв

46.Опис потоків вимог на обслуговування

Вхідний потік є послідовністю вимог (заявок), що прибувають у систему обслуговування, і характеризується частотою надходження вимог в одиницю часу (інтенсивністю) та законом розподілу інтенсивності потоку. Вхідний потік може бути описаний інтервалами часу між моментами надходження вимог і законом розподілу цих інтервалів.

Вимоги потоці можуть надходити по одному (ординарні потоки) або групами (неординарні потоки).

Властивість простоти потоку полягає в тому, що в будь-який момент часу може надійти тільки одна вимога. Іншими словами, властивість полягає в тому, що ймовірність надходження більше однієї вимоги за малий проміжок часу є дуже малою величиною.

У разі групового надходження вимог визначається інтенсивність надходження груп вимог і закон її розподілу, а також розмір груп і закон їх розподілу.

Інтенсивність надходження вимог може змінюватися в часі (нестаціонарні потоки) або залежить від одиниці часу, прийнятої визначення інтенсивності (стаціонарні потоки). Потік називається стаціонарним, якщо можливість появи n вимог за проміжок часу (t 0 , t 0 +Δt) не залежить від t 0 , а залежить тільки від Δt.

У нестаціонарному потоці інтенсивність змінюється у часі за неперіодичною чи періодичною закономірністю (наприклад, процеси сезонного характеру), а також може мати періоди, що відповідають частковій або повній затримці потоку.

Залежно від того, чи є зв'язок між числом вимог, що надійшли до системи до і після деякого моменту часу, потік буває з післядією або відсутністю післядії.

Ординарний, стаціонарний потік вимог із відсутністю післядії є найпростішим.

47. Критерії згоди Пірсона та Романовського