Розподіл релею гістограма. Основні математичні моделі, що використовуються в теорії надійності

Функція густини ймовірності

Функція розподілу

, x ³ 0;

Точкова оцінкапараметра закону розподілу

.

Закон розподілу Ерланга (гамма-розподіл)

Функція густини ймовірності

Функція розподілу

, x ³ 0;

Точкова оцінка параметрів закону розподілу:

і k" приймається k як найближче ціле (k=1, 2, 3,...); .

Закон розподілу Вейбулла

Функція густини ймовірності

функція розподілу

, x ³ 0;

Точкова оцінка параметрів закону розподілу

;

У системах з пріоритетами вимог розрізняють відносний пріоритет (без переривання обслуговування), коли при надходженні вимоги з більш високим пріоритетом воно приймається на обслуговування після закінчення попереднього обслуговування вимоги з меншим пріоритетом, і абсолютний пріоритет, коли канал звільняється негайно для обслуговування вимоги, що надійшла з більш високим пріоритетом.

Шкала пріоритету може бути побудована виходячи з якихось зовнішніх щодо системи обслуговування критеріїв або на показниках, пов'язаних із роботою самої системи обслуговування. Практичне значеннямають наступні типипріоритетів:

пріоритет у вимог з найменшим часомобслуговування. Ефективність цього пріоритету може бути показана на наступний приклад. Надійшли послідовно дві вимоги з тривалістю обслуговування відповідно 6,0 і 1,0 год. При прийомі їх на обслуговування каналом, що звільнився, в порядку надходження простий складе для 1-го вимоги 6,0 год і для другого 6,0+1,0 = 7 ,0 год або сумарно для двох вимог 13,0 год. Якщо дати пріоритет другій вимогі та його прийняти на обслуговування першим, то його простий складе 1,0 год і простий іншого - 1,0 +6,0 = 7,0 год або сумарно для двох вимог 8,0 год. Виграш від призначеного пріоритету становитиме 5,0 год (13-8) скорочення простоїв вимог у системі;

пріоритет у вимог із мінімальним ставленням часу обслуговування до потужності (продуктивності) джерела вимоги, наприклад, до вантажопідйомності автомобіля.

Механізм обслуговування характеризується параметрами окремих каналівобслуговування, пропускною спроможністю системи загалом та іншими даними про обслуговування вимог. Пропускна здатність системи визначається числом каналів (апаратів) та продуктивністю кожного з них.

45.Визначення довірчих інтервалів випадкових величин

Інтервальна оцінкапараметра розподілу випадкової величини визначається тим, що з ймовірністю g

abs(P – P м) ≤d,

де P - Точне (справжнє) значення параметра;

P м - оцінка параметра з вибірки;

d – точність (помилка) оцінювання параметра Р.

Найчастіше приймають g від 0,8 до 0,99.

Довірчий інтервалпараметра – це інтервал, який потрапляє значення параметра з ймовірністю g. Наприклад, на цій основі знаходиться необхідний розмір вибірки випадкової величини, який забезпечує оцінку математичного очікування точності d з ймовірністю g. Вигляд зв'язку визначається законом розподілу випадкової величини.

Імовірність потрапляння випадкової величини в заданий інтервал [Х 1 , Х 2 ] визначається збільшенням інтегральної функції розподілу на інтервалі F(Х 2)–F(Х 1). Виходячи з цього, при відомої функціїрозподілу можна знайти очікуване гарантоване мінімальне Х гн (x≥ Х гн) або максимальне значенняХ гв (x≤ Х гв) випадкової величини із заданою ймовірністю g (рисунок 2.15). Перше є тим значенням, більше якого випадкова величина буде з ймовірністю g, а друге – що випадкова величина з ймовірністю g менше цього значення. Гарантоване мінімальне значенняХ гн з ймовірністю g забезпечується при F(x)= 1-g та максимальне Х гв при F(x)=g. Таким чином, значення Х гн і Х гв знаходяться за виразами:

Х гн = F -1 (1-g);

Х гв = F -1 (g).

приклад. Випадкова величина має експоненційний розподілз функцією .

Потрібно знайти значення Х гн і Х гв, котрим випадкова величина хз ймовірністю g=0.95 відповідно більше Х гн і менше Х гв.

Виходячи з того, що F -1 (α) = -1/l ln(1-α) (див. висновок раніше) і α = 1-g = 0.05 отримуємо

Х гн = -1/l ln(1-α) = -1/0.01 ln(1-0.05)=-100 (-.0513)=5.13.

Для Х гв α = g = 0.95 аналогічно маємо

Х гв = -1/l ln(1-α) = -1/0.01 ln(1-0.95)=-100 (-2.996)=299.6.

Для нормального закону розподілу значення Х гн і Х гв можуть бути розраховані за формулами

Х гн = х м + s U 1-g = х м - s U g;

Х гв = x м + s U g ,

де x м - математичне очікуваннявипадкової величини; s – середньоквадратичне відхилення випадкової величини; U g – одностороння квантиль нормального закону розподілу за ймовірності g.

Малюнок 2.15 – Графічна інтерпретація визначення Х гн і Х гв

46.Опис потоків вимог на обслуговування

Вхідний потік є послідовністю вимог (заявок), що прибувають у систему обслуговування, і характеризується частотою надходження вимог в одиницю часу (інтенсивністю) та законом розподілу інтенсивності потоку. Вхідний потік може бути описаний інтервалами часу між моментами надходження вимог і законом розподілу цих інтервалів.

Вимоги потоці можуть надходити по одному (ординарні потоки) або групами (неординарні потоки).

Властивість простоти потоку полягає в тому, що в будь-який момент часу може надійти тільки одна вимога. Іншими словами, властивість полягає в тому, що ймовірність надходження більше однієї вимоги за малий проміжок часу є дуже малою величиною.

У разі групового надходження вимог визначається інтенсивність надходження груп вимог і закон її розподілу, а також розмір груп і закон їх розподілу.

Інтенсивність надходження вимог може змінюватися в часі (нестаціонарні потоки) або залежить від одиниці часу, прийнятої визначення інтенсивності (стаціонарні потоки). Потік називається стаціонарним, якщо можливість появи n вимог за проміжок часу (t 0 , t 0 +Δt) не залежить від t 0 , а залежить тільки від Δt.

У нестаціонарному потоці інтенсивність змінюється у часі за неперіодичною чи періодичною закономірністю (наприклад, процеси сезонного характеру), а також може мати періоди, що відповідають частковій або повній затримці потоку.

Залежно від того, чи є зв'язок між числом вимог, що надійшли до системи до і після деякого моменту часу, потік буває з післядією або відсутністю післядії.

Ординарний, стаціонарний потік вимог із відсутністю післядії є найпростішим.

47. Критерії згоди Пірсона та Романовського

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ

Федеральна державна бюджетна освітня установа

вищої професійної освіти

«Чуваський державний університет імені І.М. Ульянова»

Факультет дизайну та комп'ютерних технологій

Кафедра комп'ютерних технологій

з дисципліни «Надійність, ергономіка та якість АСОіУ»

на тему " Основні математичні моделі, що використовуються в теоріїнадійності»

Виконав:

студент гр. зДіКТ-25-08

Люсенков І.В.

Перевірив:

Григор'єв В.Г.

Чобоксари

Вступ

Основні математичні моделі, які у теорії надійності……. 3

Розподіл Вейбулла…………………………………………………………. 3

Експоненційний розподіл………………………………………………. 4

Розподіл Релея……………………………………………………………… 5

Нормальний розподіл (розподіл Гауса)………………………….. 5

Визначення закону розподілу ……………………………………………. 6

Вибір числа показників надійності …………………………………………. 7

Точність та достовірність статистичної оцінкипоказників надійності… 10

Особливості програм на надійність………………………………………… 11

Література……………………………………………………………………… 13

Основні математичні моделі, що використовуються в теорії надійності

У наведених вище математичних співвідношеннях найчастіше використовувалося поняття щільності ймовірності та закону розподілу.

Закон розподілу - встановлюється певним чином зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Щільність розподілу (імовірностей) - поширений спосіб опису закону розподілу

Розподіл Вейбулла

Розподіл Вейбула є двопараметричним розподілом. Відповідно до цього розподілу щільність ймовірності моменту відмови

де - параметр форми (визначається підбором в результаті обробки експериментальних даних, > 0);

λ - параметр масштабування,

Від значення коефіцієнта форми великою мірою залежить графік функції густини ймовірності.

Інтенсивність відмов визначається за виразом

(2)

Можливість безвідмовної роботи

(3)

Зазначимо, що за параметра δ = 1 розподіл Вейбулла перетворюється на експоненційне, а при δ = 2 - у розподіл Релея.

При δ<1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >1 монотонно зростає (період зносу). Отже, шляхом підбору параметра можна отримати, на кожному з трьох ділянок, таку теоретичну криву λ(t), яка досить близько збігається з експериментальною кривою, і тоді розрахунок необхідних показників надійності можна проводити на основі відомої закономірності.

Експонентний розподіл

Як було зазначено експоненційний розподіл ймовірності безвідмовної роботи є окремим випадком розподілу Вейбулла, коли параметр форми δ = 1. Це розподіл однопараметричний, тобто для запису розрахункового виразу достатньо одного параметра = const . Для цього закону правильне і зворотне твердження: якщо інтенсивність відмов постійна, то можливість безвідмовної роботи як функція часу підпорядковується експоненційному закону:

(4)

Середній час безвідмовної роботи під час експоненційного закону розподілу інтервалу безвідмовної роботи виражається формулою:

(5)

Таким чином, знаючи середній час безвідмовної роботи Т 1 (або постійну інтенсивністьвідмов λ), можна у разі експоненційного розподілу знайти ймовірність безвідмовної роботи для інтервалу часу від моменту включення об'єкта до будь-якого заданого моменту t.

Розподіл Релея

Щільність ймовірності у законі Релея має наступний вигляд

(6)

де δ * - Параметр розподілу Релея.

Інтенсивність відмов дорівнює:

. (7)

Характерною ознакою розподілу Релея є пряма лінія графіка (t), що починається з початку координат.

Імовірність безвідмовної роботи об'єкта у разі визначиться за висловлюванням

(8)

Нормальний розподіл (розподіл Гауса)

Нормальний законрозподілу характеризується щільністю ймовірності виду

(9)

де m x , σ x - відповідно математичне очікування та середньоквадратичне відхилення випадкової величини Х.

При аналізі надійності РЕЗІ у вигляді випадкової величини, крім часу, часто виступають значення струму, електричної напругита інших аргументів. Нормальний закон - це двопараметричний закон, для запису якого потрібно знати m x і s x.

Імовірність безвідмовної роботи визначається за формулою

(10)

а інтенсивність відмов - за формулою

(11)

У цьому посібнику показані лише найпоширеніші закони розподілу випадкової величини. Відомий цілий рядзаконів, як і які у розрахунках надійності: гамма-распределение, χ 2 -розподіл, розподіл Максвелла, Ерланга та інших.

Щільність ймовірності у законі Релея (див. рис. 3.4) має такий вигляд

де  - параметр розподілу Релея (рівний моді цього розподілу). Його не потрібно змішувати із середньоквадратичним відхиленням:

.

Інтенсивність відмов дорівнює:

.

Характерною ознакою розподілу Релея є пряма лінія графіка  (t),починається з початку координат.

Імовірність безвідмовної роботи об'єкта у разі визначиться за висловлюванням

. (3.12)

Середнє напрацювання до відмови

. (3.13)

1. 3.4. Нормальний розподіл (розподіл Гауса)

Нормальний закон розподілу характеризується щільністю ймовірності виду

, (3.14)

де m x ,  x - відповідно математичне очікування та середньоквадратичне відхилення випадкової величини х.

При аналізі надійності електроустановок як випадкової величини, крім часу, часто виступають значення струму, електричного напруги та інших аргументів. Нормальний закон – це двопараметричний закон, для запису якого потрібно знати m xі  x .

Імовірність безвідмовної роботи визначається за формулою

, (3.15)

а інтенсивність відмов - за формулою

.

На рис. 3.5 зображені криві (t), Р(t) та(t) для випадку  t  m t , характерного для елементів, що використовуються в системах автоматичного керування .

У цьому посібнику показані лише найпоширеніші закони розподілу випадкової величини. Відомий цілий ряд законів, що так само використовуються в розрахунках надійності: гамма-розподіл, -розподіл, розподіл Максвелла, Ерланга та ін.

Слід зазначити, що якщо нерівність  t  m t не дотримується, слід використовувати усічену нормальний розподіл.

Для обґрунтованого вибору типу практичного розподілу напрацювання вщент необхідно велика кількістьвідмов із поясненням фізичних процесів, що відбуваються в об'єктах перед відмовою.

У високонадійних елементах електроустановок, під час експлуатації чи випробувань на надійність, відмовляє лише незначна частина наявних об'єктів. Тому значення числових характеристик, знайдене в результаті обробки досвідчених даних, Сильно залежить від типу передбачуваного розподілу напрацювання до відмови. Як показано в , при різних законахнапрацювання до відмови, значення середнього напрацювання до відмови, обчислені за одним і тим самим вихідним даним, можуть відрізнятися в сотні разів. Тому питання вибору теоретичної моделірозподілу напрацювання до відмови необхідно приділяти особливу увагуз відповідним доказом наближення теоретичного та експериментального розподілів (див. разд. 8).

1. 3.5. Приклади використання законів розподілу у розрахунках надійності

Визначимо показники надійності для законів розподілу часу виникнення відмов, що найчастіше використовуються.

1. 3.5.1. Визначення показників надійності при експоненційному законі розподілу

приклад . Нехай об'єкт має експоненційний розподіл часу виникнення відмов з інтенсивністю відмов  = 2,5  10 -5 1/год.

Потрібно обчислити основні показники надійності об'єкта, що не відновлюється, за t = 2000 год.

Імовірність безвідмовної роботи за час t = 2000 год дорівнює

Імовірність відмови за t = 2000 год дорівнює

 (2000) = 1 - Р (2000) = 1 - 0,9512 = 0,0488.

Використовуючи вираз (2.5), ймовірність безвідмовної роботи в інтервалі часу від 500 до 2500 год за умови, що об'єкт пропрацював безвідмовно 500 год дорівнює

Середнє напрацювання до відмови

год.

Федеральне агентство з освіти

ГОУ ВПО «Уральський державний технічний університет-УПІ імені першого Президента Росії Б.М. Єльцина»

Кафедра теоретичних засад радіотехніки

РОЗПОДІЛ РЕЛЕЮ

з дисципліни «Вірогіднісні моделі»

Група: Р-37072

Студентка: Решетнікова Н.Є.

Викладач: Трухін М.П.

Єкатеринбург, 2009 рік

Історія появи 3

Функція щільності ймовірності 4

Інтегральна функція розподілу 6

Центральні та абсолютні моменти 8

Характеристична функція 10

Кумулянти (семіінваріанти) 11

Область застосування 12

Список використаної литературы 13

Історія появи

12 листопада 1842 р. в Ленгфорд-Грові (графство Ессекс) народився лорд Джон Вільям Релей (John William Rayleigh), англійський фізик, Нобелівський лауреат. Здобув домашню освіту. Закінчив Трініті-коледж Кембриджського університету, працював там же до 1871 р. У 1873 р. створив лабораторію в родовому маєтку Терлін-Плейс. У 1879 р. став професором експериментальної фізики Кембриджського університету, у 1884 р. – секретарем Лондонського королівського товариства. У 1887-1905 р.р. – професор Королівської асоціації, з 1905 р. – президент Лондонського королівського товариства, з 1908 р. – президент Кембриджського університету.

Будучи всебічно ерудованим натуралістом, він відзначився в багатьох галузях науки: теорія коливань, оптика, акустика, теорія теплового випромінювання, молекулярна фізика, гідродинаміка, електрика та інші галузі фізики. Досліджуючи акустичні коливання (коливання струн, стрижнів, пластинок та ін.), він сформулював ряд фундаментальних теорем лінійної теорії коливань (1873), що дозволяють робити якісні висновки про власні частоти коливальних систем, і розробив кількісний метод збурень для знаходження власне коливальної системи. Релей вперше вказав на специфічність нелінійних систем, здатних здійснювати коливання, що незатухають, без періодичного впливу ззовні, і на особливий характер цих коливань, які згодом були названі автоколиваннями.

Він пояснив відмінність групової та фазової швидкостей та отримав формулу для групової швидкості (формула Релея).

Розподіл Релея з'явилося в 1880 році внаслідок розгляду завдання складання безлічі коливань з випадковими фазами, в якій він отримав функцію розподілу для результуючої амплітуди. Метод, розроблений у своїй Релеєм, надовго визначив розвиток теорії випадкових процесів.

Функція густини ймовірності

Вид функції розподілу:

σ-параметр.

Отже, залежно від параметра σ змінюється як амплітуда, а й дисперсія розподілу. Зі зменшенням σ амплітуда зростає і графік «звужується», а зі збільшенням σ збільшується розкид і зменшується амплітуда.

Інтегральна функція розподілу

Інтегральна функція розподілу, за визначенням рівна інтегралу від щільності ймовірності, дорівнює:

Графік інтегральної функції розподілу за різних параметрів σ:

Залежно від σ графік функції розподілу виглядає так:

Таким чином, при зміні параметра відбувається зміна графіка. При зменшенні σ графік стає крутішим, а при збільшенні σ більш пологім:

Центральні та абсолютні моменти

Закони розподілу повністю описують випадкову величину Xз імовірнісної точки зору (містять повну інформацію про випадкову величину). На практиці часто немає необхідності в такому повному описідостатньо вказати значення окремих параметрів (числових характеристик), що визначають ті чи інші властивості розподілу ймовірностей випадкової величини.

Серед числових характеристик математичне очікування відіграє найбільш істотну роль і розглядається як результат застосування операції усереднення до випадкової величини Х, що позначається як
.

Початковим моментомs - го порядкувипадкової величини X називається математичне очікування s - й ступеня цієї величини:

.

Для безперервної випадкової величини:

Математичне очікування для величини, розподіленої за законом Релея одно:

Значення математичного очікування для різних значень параметра:

Центрованою випадковою величиною Xназивається її відхилення від математичного очікування .

Центральним моментом s – ого порядкувипадкової величини Xназивається математичне очікування s- й ступеня центрованої величини
:

Для безперервної випадкової величини

.

Другий центральний момент. Дисперсіяє характеристика розсіюваннявипадкової величини біля її математичного очікування

Для випадкової величини, розподіленої за законом Релея дисперсія (другий центральний момент), дорівнює:

Характеристична функція

Характеристичною функцією випадкової величини Х називається функція

- ця функція є математичним очікуванням від деякої комплексної випадкової величини
, Що є функцією від випадкової величини Х. При вирішенні багатьох завдань зручніше користуватися характеристичною функцією, а не законом розподілу.

Знаючи закон розподілу можна знайти характеристичну функцію за такою формулою:

. Як бачимо, дана формулає не що інше, як зворотне перетворення Фур'є для функції щільності розподілу. Очевидно, що за допомогою прямого перетворенняФур'є можна по характеристичної функціїзнайти закон розподілу.

Характеристична функція для випадкової величини, розподіленої за законом Релея:

,

де
- Інтеграл ймовірності комплексного аргументу.

Кумулянти (семіінваріанти)

Функція
називається кумулянтною функцією випадкової величини Х. Кумулянтна функція є повною імовірнісною характеристикою випадкової величини, як і. Сенс введення кумулянтної фукнції полягає в тому, що ця функція найчастіше виявляється найпростішою серед повних імовірнісних характеристик.

У цьому число називається кумулянтом порядку випадкової величини Х.

Галузь застосування

Розподіл Релея застосовується для опису великої кількості завдань, наприклад:

Завдання складання коливань із випадковими фазами;

розподіл енергії випромінювання абсолютно чорного тіла;

Для опису законів надійності;

Для опису деяких радіотехнічних сигналів;

Закону розподілу Релея підпорядковуються амплітудні значення шумових коливань (перешкод) радіоприймачі;

Використовується для опису випадкової огинаючої вузькосмугового випадкового процесу (шуму).

Список використаної літератури

Р.М. Вадзінський «Довідник з ймовірнісних розподілів», С.-П. "Наука", 2001 рік.

Г.А. Самусевич, навчальний посібник«Теорія ймовірностей та математична статистика», УДТУ-УПІ, 2007 рік.

У наступних розділах ми зустрінемо кілька різних типіввипадкових величин. У цьому розділі ми перерахуємо ці нові, що часто зустрічаються випадкові величини, їх ФПВ, ПФР та моменти. Ми почнемо з біномного розподілу, який є розподілом дискретної випадкової величини, а потім представимо розподіл деяких безперервних випадкових величин.

Біноміальний розподіл.Нехай - дискретна випадкова величина, яка приймає два можливі значення, наприклад, або , з ймовірністю і відповідно. Відповідна ФПВ показана на рис. 2.1.6.

Мал. 2.1.6. Функція розподілу ймовірностей

Тепер припустимо, що

де , , - статистично незалежні та ідентично розподілені випадкові величини з ФПВ, показаною на рис. 2.1.6. Яка функція розподілу?

Щоб відповісти на це питання, зауважимо, що спочатку це ряд цілих чисел від 0 до . Імовірність того, що , просто дорівнює ймовірності того, що всі . Оскільки статистично незалежні, то

.

Імовірність те, що , дорівнює ймовірності те, що одне доданок , інші рівні нулю. Так як ця подія може виникнути різними шляхами,

.

(2.1.84)

різних комбінацій, які призводять до результату, отримуємо

де – біноміальний коефіцієнт. Отже, ФПВ можна виразити як

, (2.1.87)

де означає найбільше ціле число , таке, що .

ІФР (2.1.87) характеризує біномний розподілдовільної величини.

Перші два моменти рівні

а характеристична функція

. (2.1.89)

Рівномірний розподіл.ФПВ та ІФР рівномірно розподіленої випадкової величини показано на рис. 2.1.7.

Мал. 2.1.7. Графіки ФПВ та ІФР для рівномірно розподіленої випадкової величини

Перші два моменти рівні

,

, (2.1.90)

,

а характеристична функція дорівнює

(2.1.91)

Гауссівський розподіл. ФПВ гауссівської або нормально розподіленої випадкової величини визначається формулою

, (2.1.92)

де – математичне очікування, а – дисперсія випадкової величини. ІФР дорівнює

де - функція помилок, що визначається виразом

. (2.1.94)

ФПВ та ПФР ілюструється на рис. 2.1.8.

Мал. 2.1.8. Графіки ФПВ (а) та ІФР (b) гауссівської випадкової величини

ІФР можна висловити через додаткову функцію помилок, тобто.

,

. (2.1.95)

Зауважимо, що , , і . Для додаткової функції помилок пропорційна площі під частиною гаусівської ФПВ. Для великих значень додаткова функція помилок може бути апроксимована поруч

, (2.1.96)

причому помилка апроксимації менше, ніж останній утримуваний доданок.

Функція, яка зазвичай використовується для площі під частиною гаусівської ФПВ, позначається через і визначається як

, . (2.1.97)

Порівнюючи (2.1.95) та (2.1.97), знаходимо

. (2.1.98)

Характеристична функція гауссівської випадкової величини із середнім та дисперсією дорівнює

Центральні моменти гауссівської випадкової величини дорівнюють

(2.1.100)

а звичайні моменти можна виразити через центральні моменти

. (2.1.101)

Сума статично незалежних випадкових гаусовських величин також є гаусовською випадковою величиною. Щоб це продемонструвати, припустимо

де, - незалежні випадкові величини із середнім та дисперсіями. Використовуючи результат (2.1.79), ми бачимо, що характеристична функція дорівнює

Отже, є гауссівською випадковою величиною із середнім та дисперсією.

Хі-квадрат-розподіл.Випадкова величина з хі-квадрат-розподілом породжується гауссівською випадковою величиною, у тому сенсі, що її формування можна розглядати як перетворення останньої. Для конкретності, нехай , де - Гаусовська випадкова величина. Тоді має хі-квадрат-розподіл. Ми розрізняємо два види хі-квадрат розподілу. Перше називається центральним хі-квадрат-розподілом, і виходить, коли має нульове середнє значення. Друге називається нецентральним хі-квадрат-розподілом, і виходить, коли має ненульове середнє значення.

Спочатку розглянемо центральний хі-квадрат-розподіл. Нехай - гауссівська випадкова величина з нульовим середнім та дисперсією. Оскільки результат дається функцією (2.1.47) з параметрами і . Таким чином, отримуємо ФПВ у вигляді

, . (2.1.105)

яке не може бути виражене у замкнутому вигляді. Характеристична функція, однак, може бути виражена у замкнутій формі:

. (2.1.107)

Тепер припустимо, що випадкова величина визначається як

де , , - статистично незалежні та однаково розподілені гауссівські випадкові величини з нульовими середніми та дисперсією. Внаслідок статистичної незалежності характеристична функція

. (2.1.109)

Зворотне перетворення цієї характеристики дає ФПВ

, , (2.1.110)

де - гамма-функція, визначена як

,

Ціле число, , (2.1.111)

Ця ФПВ є узагальненням (2.1.105) і названа хі-квадрат-(або гамма-) ФПВ із ступенями свободи. Вона ілюструє рис. 2.1.9.

Випадок, коли рівні

Перші два моменти рівні

, (2.1.112)

ІФР дорівнює

, (2.1.113)

Мал. 2.1.9 Графіки ФПВ для випадкової величини з хі-квадрат-розподілом для кількох значень ступенів свободи

Цей інтеграл перетворюється на неповну гамма-функцію, що була табульована Пірсоном (1965).

Якщо парно, інтеграл (2.11.113) можна виразити у замкнутому вигляді.

Зокрема, нехай де - ціле. Тоді, використовуючи повторно інтегрування частинами, отримуємо

, . (2.1.114)

Тепер розглянемо нецентральний хі-квадрат-розподіл, який є результатом зведення у квадрат гауссівської випадкової величини з ненульовим середнім. Якщо - гауссівська випадкова величина із середнім та дисперсією, випадкова величина має ФПВ

, (2.1.115)

Цей результат виходить при використанні (2.1.47) для гаусівської ФПВ із розподілом (2.1.92). Характеристична функція для ФПВ

. (2.1.116)

Для узагальнення результатів припустимо, що сумою квадратів гауссовских випадкових величин, визначених (2.1.108). Всі, передбачаються статистично незалежними із середніми, і однаковими дисперсіями. Тоді характеристична функція, що отримується з (2.1.116), при використанні співвідношення (2.1.79) дорівнює

. (2.1.117)

Зворотне перетворення Фур'є від цієї характеристики дає ФПВ

де введено позначення

а - модифікована функція Бесселя першого роду порядку, яку можна уявити нескінченним рядом

, . (2.1.120)

ФПВ, що визначається (2.1.118), називається нецентральним хі-квадрат-розподіл зі ступенем свободи. Параметр називається параметром нецентральності розподілу. ІФР для нецентрального хі-квадрат-розподілу зі ступенями свобода

Цей інтеграл не виявляється у замкнутій формі. Однак, якщо - ціле число, ІФР можна виразити через узагальнену -функцію Маркума, яка визначається як

, (2.1.122)

, (2.1.123)

Якщо замінити змінну інтегрування (1.2.121) на , причому , і покласти, що , тоді можна легко знайти

. (2.1.124)

На закінчення зауважимо, що перші два моменти для центрального хі-квадрату розпаду випадкових величин рівні

,

.

Релеєвський розподіл.Релеєвський розподіл часто використовується як модель для статистичних сигналів, переданих через радіоканали, таких як, наприклад, в радіозв'язку. Цей розподіл тісно пов'язаний із центральним хі-квадрат-розподілом. Щоб це проілюструвати, припустимо, що , де і - статистично незалежні гауссівські випадкові величини з нульовими середніми однаковою дисперсією. З викладеного вище випливає, що має хі-квадрат-розподіл із двома ступенями свободи. Отже, ФПВ для

, . (2.1.126)

Тепер припустимо, що ми визначаємо нову випадкову величину

. (2.1.127)

Виконавши прості перетворення (2.1.126), отримаємо для ФПВ

, . (2.1.128)

Це ФПВ для релеївської випадкової величини. Відповідна ІФР дорівнює

, . (2.1.129)

Моменти від рівні

, (2.1.130)

а дисперсія

. (2.1.131)

Характеристична функція для розподіленої за Релеєм випадкової величини

. (2.1.132)

Цей інтеграл можна так:

де - це вироджена гіпергеометрична функція, яка визначається як

, … (2.1.134)

Боулі (1990) показав, що можна висловити як

. (2.1.135)

Як узагальнення одержаних вище виразів розглянемо випадкову величину

де , , статистично незалежні однаково розподілені гауссівські випадкові величини з нульовим середнім. Зрозуміло, що має хі-квадрат-розподіл із ступенями свободи. Його ФПВ задається формулою (2.1.100). Прості перетвореннязмінної (2.1.110) приводять до ФПВ для у вигляді

, . (2.1.137)

Як наслідок фундаментальної залежності між центральним хі-квадрат-розподілом та релеївським розподілом, відповідна ІФР досить проста. Так, для будь-якого ІФР можна уявити у формі неповної гамма-функції. У разі, коли чітко, тобто. коли , ІФР для може бути представлено в замкнутій формі

, . (2.1.138)

Наприкінці наведемо формулу для -го моменту

, , (2.1.139)

справедливу для будь-кого.

Розподіл Райсу.У той час як розподіл Релея пов'язаний із центральним хі-квадрат-розподілом, розподіл Райса пов'язаний з нецентральним хі-квадрат-розподілом. Щоб проілюструвати цей зв'язок, припустимо, де і - статистично незалежні гауссівські випадкові величини із середнім, і однаковою дисперсією. З попереднього розгляду ми знаємо, що має нецентральний хі-квадрат-розподіл із параметром відхилення . ФПВ для одержуємо з (2.1.118), а при знаходимо

, . (2.1.140)

Тепер введемо нову змінну.

ФПВ для виходить з (2.1.140) шляхом заміни змінної

, . (2.1.141)

Функція (2.1.141) називається розподілом Райсу.

Як буде показано в гол. 5, ця ФПВ характеризує статистику огинаючої гармонійного сигналу схильному до впливу вузькосмугового гаусівського шуму. Вона також використовується для статистики сигналу, що переїде через деякі радіоканали. ІФР для легко знайти (2.1.124) для випадку, коли . Це дає

, , (2.1.142)

де визначається (2.1.123).

Для узагальнення наведеного вище результату нехай визначається (2.1.136), де - статистично незалежні випадкові величини з середнім, і однаковими дисперсіями. Випадкова величина має нецентральний хі-квадрат-розподіл з -ступенями свободи нецентральним параметром, що визначається (2.1.119). Еe ФПВ визначається (2.1.118), отже, ФПВ для дорівнює

, , (2.1.143)

а відповідна ІФР

де визначається (2.1.121). В окремому випадку, коли - ціле число, маємо

, , (2.1.145)

яке випливає з (2.1.124). Наприкінці зазначимо, що момент від

, , (2.1.146)

де – вироджена гіпергеометрична функція.

-розподіл Накагамі.І розподіл Релея, і розподіл Райса часто використовується для опису статистики флуктуацій сигналу на виході багатоколійного каналу із завмираннями. Ця модель каналу у гол. 14. Інший розподіл, що часто використовується для характеристики статистичних сигналів, що передаються через багатоколійні канали із завмираннями - це -розподіл Накагамі. ФПВ для цього розподілу надано Накагамі (1960)

, , (2.1.147)

де визначається як

а параметр визначається як відношення моментів і названий параметром завмирань:

, . (2.1.149)

Нормалізовану версію для (2.1.147) можна отримати шляхом введення іншої випадкової величини (див. задачу 2.15). -й момент від дорівнює

.

При цьому можна бачити, що (2.1.147) призводить до розподілу Релея. При значеннях, що задовольняють умові, отримуємо ФПВ, яка має протяжні хвости, ніж при розподілі Релея. При значеннях хвости ФПВ розподілу Накагамі зменшуються швидше, ніж розподілу Релея. Малюнок 2.1.10 ілюструє ФПВ для різних значень.

Багатовимірний гауссівський розподіл.З багатьох багатопараметричних або багатовимірних розподілів, які можуть бути визначені, багатопараметричний розподіл Гаусса є найбільш важливим і найчастіше використовується на практиці. Введемо цей розподіл та розглянемо його основні властивості.

Припустимо, що , є випадковими гауссовськими величинами з середніми , , дисперсіями , і коваріаціями , . Зрозуміло, що , . Нехай - це матриця підступів розмірності з елементами. Нехай визначає вектор-стовпець випадкових величин і нехай означає вектор-стовпець середніх значень . Спільна ФПВ гауссівських випадкових величин , , визначається так., то бачимо, що якщо гауссівські випадкові величини не корельовані, вони також статистично незалежні. є некорельованими і, отже, статистично незалежними. у вигляді діагональної. Отже, ми повинні вимагати ми отримуємо власні вектори

Отже,

.

Легко показати, що і де діагональні елементи рівні і .