Тріангуляція визначення координат. Граніт та камінь

Геодезичні мережі. Метод тріангуляції. Кутові виміри

Характерною та головною особливістюаналізованого періоду розвитку геодезії були геодезичні мережі. Геодезична мережа - це сукупність закріплених біля точок з певними координатами. Вони створювалися з цією метою: 1) рішення головної наукового завдання – визначення фігури Землі та її гравітаційного поля ; 2) картографування країни; 3) вирішення завдань прикладної геодезії. Основним методом побудови геодезичних мереж став 16в. . метод тріангуляції, хоча цей метод був відомий ще в давнину(Грецький математик Фалес використовував його для визначення відстані до корабля). Цей спосіб полягає у побудові біля трикутників, у яких вимірювалися кути і одна сторона. Вершини трикутників закріплювали спеціальними знаками. Зпочатку це були одиночні трикутникипотім почали будувати ланцюжкиїх та суцільні мережіз виміром у них одного чи кількох базисів(Сторін) та всіх кутів. Першу згадку про метод тріангуляції зробив Гемма Фрізіус у 1546р. Він при реалізації цього методу на великої територіїзастосовував прилад планіметр– модифіковану спрощену астролябіюз компасом, що встановлювався горизонтально на вертикальну підставку. Цей метод використовував Мартін Вальдземюллер, застосувавши розроблений ним 1513р. прилад поліметрум,яким можна було вимірювати горизонтальні або вертикальні кути. Це був прототип сучасного теодоліту. Відомий картограф Герард Меркатор (1512-1594), учень Гемми Фрізіуса, був одним із перших, хто застосував метод тріангуляції при зйомках для отримання точних карт території Голландії в 1540р. Англієць Крістофер Сакстон протягом 9 років виконував зйомки Уельсу, в яких використовував тріангуляційний метод Фрізіуса. У 1596р. Раттікус видав працю з основ триангуляції. Отже, початок застосування тріангуляційного методу при зйомках відноситься до першої половини 16в., А першим інструментом була пристосована для цього астролябія. Розробкою, застосуванням та вдосконаленням методу займалися переважно математики, геометри, які працювали в університетах.

У 17 ст. настав другий етап у формуванні методу тріангуляції та реалізації його у трьох напрямках: 1) як суворо наукової основитопографічних зйомок; 2) як засоби поширення єдиної системикоординат на території країни; 3) як головного методу визначення форми та розмірів Землі. Поширення цього в 17в. сприяло впровадження та освоєння в геодезії тригонометрії та логарифмів, Винайдених Непером в 1614р.

Вільгельм Шикхарт, з урахуванням свого досвіду створення опорної геодезичної мережі для топографічної зйомки Вюртенберга, в 1629г. опублікував перший геодезичний підручникна німецькою мовою « Короткий посібникз мистецтва зйомки земель».

Прикладом усіх 3-х напрямів є роботи 4-х поколінь геодезистів Кассіні (Жан, Жак, Цезар) у Франції, які вирішили за допомогою побудови суцільної мережі тріангуляціїТри основні завдання – створення точної карти Франції, поширення єдиної системи координат та отримання розміру Землі. Голландський математик Віллеброрд Снелліус (1591-1626) проклав у 1615-1616рр. ряд тріангуляції для вирішення задачі 3-го напряму. У Росії вважають Снелліуса автором цього методу. Француз Жан Пікар (1620-1682) в 1669-1670гг., Використовуючи ряд тріангуляції визначив довжину дуги паризького меридіана в один градус, рівну 111,212км. (Сучасна величина 111,18 км).

Для визначення висоти об'єкта та вирішення інших завдань застосовували різні комбінації рейок, наприклад, описану Леонардо да Вінчі.

Астролябія в цю епоху стала найважливішим приладом у навігації та геодезії. Для застосування в практичній геометрії астролябія була реконструйована у горизонтальне положення, у неї вбудували компас, змінили та оформлення. Коло астролябії мало 360 поділів і кожну з них ділили ще на 10 частин. Найменший поділ кола дорівнював 6 '.

Для вимірювання кутів, крім астролябії, застосовували квадрат і квадрант. Геометричний квадрат був модифікований - у нього вмикалася дуга квадранта. Квадранти в цей період були найважливішими астрономічними інструментами. Їх почали будувати великих розмірівта стаціонарного та меридіанного типів. Європейці спростили квадрант, вбудували компас. Квадрант застосовувався головним чином для вимірювання вертикальних кутівпри визначенні перевищень методом тригонометричного нівелювання, а також для визначення часу за спостереженнями висот небесних світил. Для підвищення точності відрахування часток розподілу на квадранті Педро Ноніус (1492-1577) запропонував спеціальний пристрій ноніус. Надалі ноніус було перетворено П. Верньєром на відліковий пристрій (описано в 1631 р.) і стало називатися верньєр.Точність відрахування за верньєром зросла на порядок.

; 3 - Трилатерація.

Метод тріангуляції.Вважають, що метод тріангуляції вперше був запропонований голландським ученим Снелліусом в 1614 р. Цей метод широко застосовується у всіх країнах. Сутність методу ось у чому. На командних висотах території закріплюють систему геодезичних пунктів, що утворюють мережу трикутників (рис. 13). У Мережа тріангуляціїцієї мережі визначають координати вихідного пункту А,вимірюють горизонтальні кути в кожному трикутнику, а також довжини b і азимути базисних сторін, що задають масштаб і орієнтування мережі по азимуту.

Мережа тріангуляції може бути побудована у вигляді окремого ряду трикутників, системи рядів трикутників, а також у вигляді суцільної мережі трикутників. Елементами мережі тріангуляції можуть бути як трикутники, а й більше складні фігури: геодезичні чотирикутники та центральні системи.

Основними перевагами методу тріангуляції є його оперативність та можливість використання у різноманітних фізико-географічних умовах; велике числонадлишкових вимірювань у мережі, що дозволяють безпосередньо у полі здійснювати надійний контроль усіх виміряних величин; висока точність визначення взаємного становищасуміжних пунктів у мережі, особливо суцільний. Метод тріангуляції отримав найбільшого поширенняпри побудові державних геодезичних мереж.

Метод полігонометрії. Цей метод відомий також давно, проте застосування його під час створення державної геодезичної мережі стримувалося донедавна.

Полігонометричний хідтрудомісткістю лінійних вимірів, які раніше виконували за допомогою інварних дротів. Починаючи приблизно з шістдесятих років поточного століття, одночасно з впровадженням у геодезичне виробництво точних світло і радіодалекомірів, метод полігонометрії отримав подальший розвитокі став широко застосовуватися під час створення геодезичних мереж.

Сутність цього методу полягає в наступному. На місцевості закріплюють систему геодезичних пунктів, що утворюють витягнутий одиночний хід (рис. 14) або систему перехідних ходів, що утворюють суцільну мережу. Між суміжними пунктами ходу вимірюють довжини сторін s,-, але в пунктах — кути повороту р. Азімутальне орієнтування полігонометричного ходу здійснюють за допомогою азимутів, які визначаються або задані, як правило, на кінцевих пунктах його, вимірюючи при цьому примичні кути. Іноді прокладають полігонометричні ходи між пунктами з заданими координатамигеодезична мережа вищого класу точності.

Метод полігонометрії у ряді випадків, наприклад, у заселеній місцевості, на території великих місті т. п. виявляється оперативнішим і економічнішим, ніж метод тріангуляції. Це зумовлено тим, що в таких умовах на пунктах тріангуляції будують вищі геодезичні знаки, ніж на полігонометрії, оскільки в першому випадку слід забезпечити пряму видимість між набагато більшим числомпунктів, ніж у другому. Будівництво геодезичних знаків є найдорожчим видом робіт при створенні геодезичної мережі (в середньому 50-60% всіх витрат).

Метод трилатерації. Цей метод, Як і спосіб тріангуляції, передбачає створення біля геодезичних мереж чи вигляді ланцюжка трикутників, геодезичних чотирикутників і центральних систем, або як суцільних мереж трикутників, у яких вимірюються не кути, а довжини сторін. У трилатерації, як і в тріангуляції, для орієнтування мереж біля повинні бути визначені азимути низки сторін.

У міру розвитку та підвищення точності світло- та радіодалемірної техніки вимірювань відстаней метод трилатерації поступово набуває все більше значення, особливо у практиці інженерно-геодезичних праць.

Потреба у вимірі величезних, сотні кілометрів, відстаней – як у суші, і на море – з'явилася ще за давніх часів. Метод тріангуляції дозволив розрахувати величезні відстаніта визначити фігуру Землі.

Поняття тріангуляції

Перш ніж говорити про метод триангуляції, розглянемо суть терміна. Тріангуляція - це мережа прилеглих один до одного трикутників різного виду, Можна порівняти з примиканням паркетин; водночас істотно, що примикають лише цілі сторони, отже вершина одного трикутника неспроможна лежати всередині боку іншого. Тріангуляції відіграли найбільш значну роль у вимірі відстаней на земної поверхніі тим самим - і у визначенні фігури Землі.

Історія виміру земних відстаней

Капітани суден, як відомо з дитячих книжок, міряють відстані числом викурених трубок. Близький до цього метод, який використовувався у ІІ. до зв. е. відомим давньогрецьким філософом, математиком і астрономом Посідоній, учителем Цицерона: морські відстані Посідоній вимірював тривалістю плавання (з урахуванням, очевидно, швидкості судна).
Але ще раніше, у III столітті до зв. е., інший відомий древній грек, який керував бібліотекою в Олександрії математик і астроном Ератосфен, міряв сухопутні відстані за часом і швидкістю руху торгових караванів. Можливо припустити, що саме так Ератосфен заміряв відстань між Сієною та Олександрією, яка в даний час називається Асуаном (якщо спостерігати за сучасної карти, Виходить приблизно 850 км). Ця відстань була для нього дуже серйозною. Ератосфен хотів виміряти довжину меридіана і думав, що ці два єгипетські міста лежать на тому самому меридіані; Не дивлячись на те, що це зрештою не зовсім так, але близько до істини. Знайдену відстань він прийняв за довжину дуги меридіана. Об'єднавши цю довжину зі спостереженням полуденних висот Сонця над горизонтом у Сієні та Олександрії, він потім шляхом красивих геометричних міркувань обчислив довжину всього меридіана і, як наслідок, радіус земної кулі. Ще в XVI столітті відстань (приблизно 100 км) між Ам'єном та Парижем визначили підрахувавши оберти колеса екіпажу. Неточність результатів аналогічних вимірів очевидна і зрозуміла. Але вже в наступному столітті голландський математик, астроном і оптик Снелліус зміг винайти принципово новий метод триангуляції, що викладається нижче, і з його допомогою в 1615-1617 рр. . виміряв дугу меридіана, що має кутовий розмір 1° 11′ 30″.

Суть методу тріангуляції при вимірі відстаней

Подивимося, як тріангуляція дає змогу визначати відстані. Спочатку вибирають якийсь фрагмент чи ділянку земної площини, що включає обидва пункти, відстань між якими прагнуть знайти, і доступний для проведення вимірювальних робітбіля. Дану ділянку покривають мережею безлічі трикутників, що утворюють тріангуляцію, тобто тріангулюють. Після цього вибирають один із трикутників тріангуляції; називатимемо його початковим. Потім вибирають одну із сторін початкового трикутника. Вона є базою, і її довжину ретельно вимірюють. У вершинах початкового трикутника будують вежі (або вежі) - з таким розрахунком, щоб кожна була видна з інших веж. Піднявшись на вежу, розташовану в одній з вершин бази, вимірюють кут, під яким видно дві інші вежі. Потім піднімаються на вежу, розташовану в іншій вершині бази, і роблять те саме. Так, шляхом безпосереднього виміру, одержують відомості про довжину однієї зі сторін початкового трикутника (зокрема: про довжину бази) та про величину прилеглих до неї кутів. За відомими і простим формуламтригонометрії (із застосуванням косинуса, синуса, тангенсу та катангенсу) обчислюють довжини 2-х інших сторін цього трикутника. Кожну з них можна прийняти за нову базу, причому вимірювати її довжину не потрібно. Використовуючи ту саму процедуру, можливо тепер визначити довжини сторін і кути будь-якого з трикутників, що примикають до початкового, і т.д. що незрівнянно легше і може бути зроблено з високою точністю. Після завершення процесу виявляються встановленими величинивсіх що беруть участь у тріангуляції відрізків і кутів. А це, у свою чергу, дозволяє знаходити будь-які відстані в межах ділянки поверхні, покритої тріангуляцією.

Довжина дуги меридіана від широти Північного Льодовитого океану до широти Чорного моря.

Зокрема, саме так у ХІХ столітті знайшлася довжина дуги меридіана від широти Північного. Льодовитого океану(у районі Хаммерфесту на острові Квальо - Норвегія) до широти Чорного моря (в районі низов'я Дунаю). Вона була сформована із довжин 12 окремих дуг. Процедура спрощувалась тим, що для знаходження довжини дуги меридіана зовсім не потрібно, щоб складові дуги примикали один до одного кінцями; достатньо, щоб кінці сусідніх дуг знаходилися на одній широті. (Наприклад, якщо необхідно визначити відстань між сімдесятою та сороковою паралелями, то можливо на одному меридіані заміряти відстань між 70-ю та 50-ю паралелями, на іншому меридіані - відстань між 50-ю та 40-ю паралелями, а після цього скласти отримані відстані.) Загальне числотрикутників тріангуляції становило 258, довжина дуги дорівнювала 2800 км. Щоб виключити помилки та неточності, неминучі при вимірах, а при обчисленнях ймовірні, 10 зазнали прямому вимірубіля. Вимірювання були проведені в період з 1816 по 1855 р.р., а підсумки були викладені у двох томах «Дуга меридіана в 25° 20′ між Дунаєм та Льодовитим морем»(СПб., 1856–1861), написаним чудовим російським геодезистом та астрономом Василем Яковичем Струве (1793–1864), який здійснив російську частинувимірів.

Методи тріангуляції

Усі методи тріангуляції за принципом побудови можна розбити на дві великі групи: прямі методи та ітераційні методи (рисунок 2.5). У прямих методах сітка будується за один етап, причому її топологія (інакше кажучи, граф зв'язків між вузлами) та координати всіх вузлів відомі спочатку. В ітераційних методах сітка будується послідовно; на кожному кроці додається один або кілька елементів, причому спочатку не відомі координати вузлів, ні топологія сітки. З іншого боку, координати вузлів і топологія можуть змінюватися у процесі побудови .

Сітки, побудовані з допомогою прямих методів, можна використовувати й у итерационных методах. Насамперед це стосується методів граничної корекції. Розміщення вузлів у методах з урахуванням критерію Делоне нерідко здійснюється з допомогою однієї з прямих алгоритмів (з наступною корекцією) .

Рисунок 2.5 – Класифікація методів дискретизації

Прямі методи

Головними перевагами прямих методів є висока швидкість роботи, надійність та простота реалізації; основним недоліком - обмежена сфера застосування. Фактично ефективно використовувати прямі методи можна тільки для тріангуляції найпростіших областей - кулі, паралелепіпеда, циліндра і т.п. Втім, нерідко такі області є частиною деяких складних областейі використання прямих методів замість ітераційних у цьому випадку дозволяє суттєво економити машинні ресурси та час.

Розглянемо, наприклад, так звану "кубічну сітку" (рисунок 2.6), тобто сітку, отриману розбиттям вихідного паралелепіпеда на рівні "куби". Якщо розміри куба - hx, hy, hz і він орієнтований по осях координат, то вузол з індексами i,j,kмає координати (Ox + i * hx, Oy + j * hy, Oz + k * hz), а його сусідами є вузли з індексами (i ± 1, i, k), (i, j ± 1, k) та ( i, j, k±1).

Малюнок 2.6 – Кубічна сітка

Методи на основі шаблонів

Шаблоном називають певний принцип розміщення вузлів та встановлення зв'язків між ними. Кожен шаблон застосовується лише до областей заданого виду. Завдяки такій вузької спеціалізації, сітки, побудовані на шаблонах, часто можуть бути високої якості.

Найпростіша для тріангуляції і в той же час часто зустрічаюча область - це паралелепіпед (рисунок 2.7). Для неї запропоновано кілька різних шаблонів, і всі вони базуються на описаній вище кубічній сітці.

Малюнок 2.7 - Розбиття куба на шість (ліворуч) та п'ять (праворуч) тетраедрів

Також існують інші шаблони, що мають кращі показники за рахунок введення додаткових вузлів, кожен з яких з'єднується з вершинами куба (рисунок 2.8).

Малюнок 2.8 – Вставка всередину кубічної сітки додаткових вершин; праворуч окремо зображений ромбовидний елемент, що виходить в результаті.

Кожен із цих додаткових вузлів з'єднується ребрами з вершинами куба, у результаті вихідний паралелепіпед розбивається на два типи елементів:

1) граничні - у вигляді чотирикутної піраміди (тобто піраміди, основою якої є квадрат);

2) внутрішні - у вигляді об'ємного ромба, складеного з двох чотирикутних пірамід, з'єднаних основами.

Щоб розбити граничні пірамідальні елементи достатньо вставити діагональне ребро (причому довільно орієнтоване); при цьому виходять два однакових тетраедра з АХ порядку 0.5.

Розбити внутрішні ромбоподібні елементи можна вже кількома у різний спосіб, і саме вибраним варіантом розрізняються між собою 2 види шаблонів:

1) Шаблон 1 – вставка діагонального ребра між вузлами кубічної сітки (рисунок 2.10):

2) Шаблон 2 – вставка ребра між додатковими вузлами (рисунок 2.6):

Тріангуляцію циліндра найрозумніше проводити шляхом розбиття його на шари (рисунок 2.11).

Малюнок 2.11 - Побудова призматичної сітки у циліндрі

Малюнок 2.12 - Вставлення в призматичну сітку додаткових вузлів

Методи відображення

Методи відображення ґрунтуються на можливості побудови взаємно-однозначного відображення між областями різної геометричної форми. Таким чином, використовуючи оператор відображення, можна перенести сітку з деякої (простішої) області на задану.

Істотним недоліком цих методів є неминуче погіршення якості сітки через геометричні спотворення, що виникають при відображенні. Натомість навіть досить складні операції відображення вимагають порівняно невеликих витрат ресурсів, адже при відображенні змінюються лише координати вузлів, зв'язки залишаються незмінними.

Як правило, для відображення використовуються два типи перетворень - "найпростіші" афінні (лінійні), що дозволяють лише розтягувати/стискати сітку та більш універсальні ізопараметричні, що дозволяють відображати сітки навіть у криволінійні області (рисунок 2.13).

Малюнок 2.13 - Види перетворень

Афінним називається лінійне перетвореннякоординат:

У методах тріангуляції афінні перетворення, зазвичай, грають лише незначну допоміжну роль.

Більше значення мають ізопараметричні перетворення. Зауважимо, що вони знайшли широке застосуванняу методах відображення, а й під час вирішення завдань з урахуванням криволінійних елементів .

Сутність ізопараметричного перетворення полягає в наступному: задається деяка система внутрішніх координат (званих "барицентричними"), яка однозначним чином пов'язує положення будь-якої точки даної геометричної форми (трикутник, квадрат, тетраедр і т.д.) з певним безліччю базисних точок, що також належать даній геометричній формі(як такі точки зазвичай вибираються кути, середини сторін тощо.). Таким чином, змінивши положення базисних точок, можна легко визначити і нове положення решти всіх, використовуючи їх барицентричні координати .

Для кожної точки x=(x 1 ,x 2) невиродженого трикутника з вершинами б 1 ,б 2 ,б 3 (вершина б i має координати (б i1 , б i2)), барицентричні координати л 1 л 2 л 3 вводяться як рішення системи:

Барицентричні координати легко визначаються через відносини площ трикутників (рисунок 2.14):

Малюнок 2.14 - Барицентричні координати

Підсумовуючи, зауважимо, що зазначений метод без будь-яких особливостей переноситься у разі трьох вимірів.

Тріангуляційну схему (рис. 1) умовно можна розділити на три частини: випромінювальний (або освітлювальний) канал, контрольована поверхня, приймальний канал.

Мал. 1. Принципова схематріангуляційного вимірювача: 1 - випромінювальний канал,
2 - контрольована поверхня; 3 - приймальний канал.

Перша частина схеми – випромінювальний канал, що складається з джерела випромінювання та об'єктива, який формує зондуючий пучок на контрольованій поверхні. Як джерело випромінювання, зазвичай, використовується лазерний діод. Розподіл світла, що створюється такими джерелами, називається гаусовим (рис. 2, а).

Шириною d зондуючого пучка називається відстань між точками профілю інтенсивності лише на рівні Imax/e.

Перетяжкою гаусового пучка називається мінімальна ширина пучка вздовж напряму розповсюдження. На малюнку 2 б перетяжка розташована в площині А. Очевидно, в цій площині інтенсивність зондуючого пучка досягає максимального значення.

Мал. 2. а - розподіл Гауса (I - інтенсивність, y - напрямок перпендикулярне поширенню випромінювання), б - гаусовий пучок у поздовжньому розрізі (z - напрямок поширення випромінювання).

Об'єктив складається з однієї або кількох оптичних лінз. Відносне положення об'єктива та лазерного діодавизначає налаштування випромінювального каналу. Щоб налаштувати лазерний модуль, необхідно виставити перетяжку в центр діапазону вимірювання і відцентрувати зондуючий пучок.

Результатом хорошого налаштування є відцентрований пучок, ширина та інтенсивність якого симетрично змінюються щодо центру діапазону вимірювання.

Друга невід'ємна частина тріангуляційної вимірювальної схеми – контрольована поверхня. Кожна поверхня має властивість відбивати або розсіювати падаюче випромінювання. Розсіювання випромінювання поверхнею контрольованого об'єкта використовується в тріангуляції як фізична основадля отримання інформації про відстань до цієї поверхні.

Завдання тріангуляційного датчика – виміряти відстань від обраної точки на осі пучка, що зондує, до фізичної точки поверхні з високою точністю. Будь-яка контрольована поверхня характеризується нерівністю чи ступенем своєї гладкості – шорсткістю Rz. Як правило, необхідна точність вимірювання обернено пропорційна шорсткості контрольованої поверхні. Так, шорсткість поверхні кристалів мікроелектроніки, а значить і відстань, що вимірюється до них, мають масштаб від декількох мікрометрів. А, наприклад, у геодезичній галузі необхідно визначати відстані з точністю до сотень та тисяч метрів.

Основу промислового розмірного контролю становить визначення параметрів металевих поверхонь. Потрібна при цьому точність контролю становить від декількох (атомна промисловість) до сотень мкм (залізнична галузь).

Кожна поверхня має також властивість відбивати або розсіювати падаюче випромінювання. Розсіювання випромінювання поверхнею об'єкта, що контролюється, використовується в тріангуляції як фізична основа для отримання інформації про відстань до цієї поверхні. Тому контрольована поверхня є невід'ємною частиною тріангуляційної вимірювальної схеми.

Третя частина схеми тріангуляційного вимірювача – приймальний канал, що складається з проецірующего об'єктиву та фотоприймача.

Об'єктив, що проектує, формує зображення зондувальної плями в площині фотоприймача. Чим більший діаметр D об'єктива, тим вище його світлосила. Інакше кажучи, тим інтенсивніше та якісніше будується зображення плями.

Залежно від конкретної реалізаціїДля реєстрації сформованого зображення як приймач використовують або фотодіодну лінійку, або позиційно-чутливий приймач.

Схема тріангуляційного вимірювача, наведена малюнку 1, працює в такий спосіб. Випромінювальний канал 1 формує зображення світлової плями на контрольованій поверхні 2. Далі розсіяний контрольованої поверхнею світло потрапляє в приймальний канал 3. Таким чином, у площині фотоприймача створюється зображення освітленої ділянки контрольованої поверхні (світлова пляма). При зміщенні контрольованої поверхні на величину z (рис. 1), світлова пляма в площині фотоприймача зміщується на величину x. Залежність зсуву контрольованої поверхні?z від зміщення світлової плями в площині фотоприймача?x має такий вигляд:

де - це відстані від контрольованої поверхні 2 до проецірующего об'єктиву приймального каналу 3, і від проецірующего об'єктиву до фотоприймача, при тому, що контрольована поверхня знаходиться в центрі діапазону вимірювань зсувів відповідно.