Рівняння ейн штей на. Теорія фотоефекту

Термін використовується і в однині: « рівняння Ейнштейна», оскільки в тензорному записі це одне рівняння, хоча в компонентах є системою рівнянь у приватних похідних.

Виглядають рівняння так:

де R μ ν (\displaystyle R_(\mu \nu ))- тензор Річчі, що виходить з тензора кривизни простору-часу R a b c d (\displaystyle R_(abcd))за допомогою згортки його за парою індексів , R- скалярна кривизна, тобто згорнутий тензор Річчі, g μ ν (\displaystyle g_(\mu \nu ))- метричний тензор, Λ (\displaystyle \Lambda )- космологічна постійна, а T μ ν (\displaystyle T_(\mu \nu ))являє собою тензор енергії-імпульсу матерії, (π - число пі, c- швидкість світла у вакуумі, G- гравітаційна стала Ньютона).

Рівняння пов'язує між собою тензори 4×4, тобто формально кажучи, містить 16 рівнянь. Однак, оскільки всі тензори, що входять у рівняння, симетричні , то в чотиривимірному просторі-часі ці рівняння рівносильні 4 · (4 +1) / 2 = 10 скалярним рівнянням. Тотожності Б'янки призводять до зменшення числа незалежних рівнянь із 10 до 6.

У більш короткого записувид рівнянь такий:

де G μ ν = R μ ν − R 2 g μ ν (\displaystyle G_(\mu \nu )=R_(\mu \nu )-(R \over 2)g_(\mu \nu ))- тензор Ейнштейна, який поєднує тензор Річчі, скалярну кривизну та метричний тензор. Тензор Ейнштейна може бути представлений як функція метричного тензора та його приватних похідних.

Часто лямбда-член Λ gμν у записі рівнянь Ейнштейна приймається рівним нулю, Оскільки завдання локальних масштабів, далеких від космологічних, він, зазвичай, малий. Тоді запис ще спрощується:

Нарешті, при виборі одиниць, що часто використовується фізичних величинтаким чином, щоб швидкість світла і постійна гравітаційна дорівнювали безрозмірної одиниці, c = G= 1 (т.зв. геометризованасистема одиниць), запис рівнянь Ейнштейна стає найпростішим; у безкомпонентній формі:

Таким чином, рівняння Ейнштейна пов'язує геометрію простору-часу ( ліва частинарівняння) з матерією та її рухом (права частина).

Однією з суттєвих властивостей рівнянь Ейнштейна є їхня нелінійність, що призводить до неможливості використання при їх вирішенні принципу суперпозиції.

Історичний нарис

Робота Ейнштейна над теорією гравітації (загальною теорією відносності), поодинці і в співавторстві з низкою людей, тривала з 1907 по 1917 рік. В середині цих зусиль Ейнштейн розуміє, що роль гравітаційного потенціалу повинен відігравати псевдо-риманів метричний тензор на чотиривимірному просторі-часі, а рівняння гравітаційного полямає бути тензорним, що включає тензор риманової кривизни і тензор енергії-імпульсу як джерело поля, зводячись у межі малих енергій та стаціонарних полів до рівняння Пуассона ньютонівської теоріїгравітації. Потім, в 1913 разом з Гроссманом отримує перший варіант таких рівнянь (рівняння Ейнштейна - Гроссмана), що збігається з правильним тільки для відсутності речовини (або для речовини з безслідним тензором енергії-імпульсу).

Влітку 1915 року Ейнштейн приїхав до Геттінгенського університету, де прочитав провідним математикам того часу, серед яких був і Гільберт, лекції про важливість побудови фізичної теоріїгравітації та наявних на той час у нього найбільш перспективних підходах до вирішення проблеми та її труднощів. Між Ейнштейном і Гільбертом почалося листування з обговоренням цієї теми, що значно прискорило завершення роботи з висновку остаточних рівнянь поля. Донедавна вважалося, що Гільберт отримав ці рівняння на 5 днів раніше, але опублікував пізніше: Ейнштейн представив до Берлінської академії свою роботу, що містить правильний варіантрівнянь, 25 листопада, а замітку Гільберта «Підстави фізики» було озвучено 20 листопада 1915 року на доповіді в Геттінгенському математичному товаристві та передано Королевському науковому суспільствуу Геттінгені, за 5 днів до Ейнштейна (опубліковано в

Спробуємо пояснити експериментальні закони фотоефекту, використовуючи електромагнітну теорію Максвелла. Електромагнітна хвиля змушує електрони здійснювати електромагнітні коливання. При постійній амплітуді вектора напруженості електричного полякількість енергії, отриманої в цьому процесі електроном, пропорційно частоті хвилі та часу "розгойдування". У цьому випадку енергію, рівну роботівиходу, електрон повинен отримати за будь-якої частоти хвилі, але це суперечить третьому експериментальному закону фотоефекту. При збільшенні частоти електромагнітної хвилі більше енергії за одиницю часу передається електронам, і фотоелектрони повинні вилітати в більшій кількості, а це суперечить першому експериментальному закону. Таким чином, ці факти пояснити в рамках електромагнітної теоріїМаксвелла було неможливо.

У 1905 р. пояснення явища фотоефекту А. Ейнштейн використовував квантові ставлення до світлі, запроваджені 1900 р. Планком, і застосував їх до поглинання світла речовиною. Монохроматичне світлове випромінювання, що падає на метал, складається з фотонів. Фотон - це елементарна частка, Що Має енергією \(~W_0=h \nu.\) Електрони поверхневого шару металу поглинають енергію цих фотонів, при цьому один електрон поглинає повністю енергію одного або декількох фотонів.

Якщо енергія фотона W 0дорівнює або перевищує роботу виходу, то електрон вилітає із металу. При цьому частина енергії фотона витрачається на виконання виходу А в, а решта переходить у кінетичну енергію фотоелектрона:

\(~W_0 = A_B + \frac(m \upsilon^2_(max))(2),\)

\(h \nu = A_B + \frac(m \upsilon^2_(max))(2)\) - рівняння Ейнштейна для фотоефекту.

Воно є законом збереження енергії у застосуванні до фотоефекту. Це рівняння записано для однофотонного фотоефекту, коли мова йдепро вирив електрона, не пов'язаного з атомом (молекулою).

На основі квантових уявлень про світло можна пояснити закони фотоефекту.

Відомо, що інтенсивність світла (I = \frac(W)(St),\) де W- енергія падаючого світла, S- площа поверхні, на яку падає світло, t- Час. Згідно квантової теорії, Ця енергія переноситься фотонами. Отже, \(~W=N_f h \nu,\) де N f- Число фотонів, що падають на речовину. Очевидно, що кількість електронів N e, Вирваних з речовини, пропорційно числу фотонів, що падають на речовину, тобто. Отже, ми пояснили перший закон фотоефекту.

З рівняння Ейнштейна випливає, що

\(\frac(m \upsilon^2_(max) )(2) = h \nu - A_B \) і \(~A_B = h \nu_0.\)

Звідси видно, що максимальна кінетична енергіяфотоелектрони лінійно залежить від частоти падаючого світла, а червона межа фотоефекту - від роду речовини катода (другий і третій закони фотоефекту).

Література

Аксенович Л. А. Фізика в середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 560-561.

Ми можемо перейти до висновку рівнянь гравітаційного поля. Ці рівняння виходять із принципу найменшої дії, де - дії відповідно для гравітаційного поля та матерії 2). Варіювання піддається тепер гравітаційне поле, тобто величини

Обчислимо варіацію. Маємо:

Підставляючи сюди, згідно (86,4),

Для обчислення зауважимо, що хоч величини і не становлять тензора, але їх варіації утворюють тензор. Дійсно, є зміна вектора при паралельному перенесенні (див. (85,5)) з деякої точки Р в нескінченно близьку до неї Р. Тому є різниця двох векторів, що виходять відповідно при двох паралельних перенесеннях(з неварійованими і варійованими Ти) з точки Р в одну і ту ж точку Р. Різниця двох векторів в одній і тій же точці є вектором, а тому є тензор.

Скористаємося локально-геодезичною системою координат. Тоді в цій точці все. За допомогою виразу (92,7) маємо (пам'ятаючи, що перші похідні від рівні тепер нулю):

Оскільки є вектор, то ми можемо написати отримане співвідношення у довільній системікоординат у вигляді

(Замінюючи на і користуючись (86,9)). Отже, другий інтеграл праворуч (95,1) дорівнює

і по теоремі Гауса може бути перетворений в інтеграл від гіперповерхні, що охоплює весь -обсяг.

Оскільки в межах інтегрування варіація поля дорівнює нулю, цей член зникає. Таким чином, варіація дорівнює

Зауважимо, що якби ми виходили з виразу

для дії поля, ми отримали б, як легко переконатися,

Порівнюючи це з (95,2), знаходимо таке співвідношення:

Для варіації дії матерії можна написати згідно (94,5)

де – тензор енергії-імпульсу матерії (включаючи електромагнітне поле). Гравітаційна взаємодія відіграє роль тільки для тіл із достатньо великою масою(завдяки дещиці гравітаційної постійної). Тому для дослідження гравітаційного поля нам доводиться зазвичай мати справу з макроскопічними тілами. Відповідно до цього треба зазвичай писати вираз (94,9).

Таким чином, із принципу найменшої дії знаходимо:

звідки через довільність

або у змішаних компонентах

Це і є шукані рівняння гравітаційного поля. загальної теоріївідносності. Їх називають рівняннями Ейнштейна.

Спрощуючи (95,6) за індексами i та k, знаходимо:

Тому рівняння поля можна написати також у вигляді

Рівняння Ейнштейна нелінійні. Тому для гравітаційних полів несправедливий принцип суперпозиції. Цей принцип справедливий лише наближено для слабких полів, що допускають лінеаризацію рівнянь Ейнштейна (до них відносяться, зокрема, гравітаційні поля в класичній межі ньютонів див. § 99).

У порожньому просторі та рівняння гравітаційного поля зводяться до рівнянь

Нагадаємо, що це аж ніяк не означає, що порожній простір час є плоским, - для цього потрібно було б виконання більш сильних умов

Тензор енергії-імпульсу електромагнітного полямає ту властивість, що (див. (33,2)). Зважаючи (95,7) звідси випливає, що за наявності одного тільки електромагнітного поля без будь-яких мас скалярна кривизна простору-часу дорівнює нулю.

Як ми знаємо, дивергенція тензора енергії-імпульсу дорівнює нулю:

Тому повинна дорівнювати нулю також і дивергенція ліво частини рівняння (95,6). Це справді так через тотожність (92,10).

Отже, рівняння (95,10) сутнісно містяться у рівняннях поля (95,6). З іншого боку, рівняння (95,10), виражаючи собою закони збереження енергії та імпульсу, містять у собі рівняння руху тієї фізичної системи, До якої відноситься аналізований тензор енергії-імпульсу (тобто рівняння руху матеріальних частинок або другу пару рівнянь Максвелла).

Таким чином, рівняння гравітаційного поля містять у собі також рівняння для самої матерії, яка створює це поле. Тому розподіл і рух матерії, що створює гравітаційне поле, не можуть бути задані довільним чином. Навпаки, вони мають бути визначені (за допомогою вирішення рівнянь поля за заданих початкових умовах) одночасно з самим створюваним цією матерією полем.

Звернімо увагу на принципова відмінністьцієї ситуації від того, що ми мали у разі електромагнітного поля. Рівняння цього поля (рівняння Максвелла) містять лише рівняння збереження повного заряду (рівняння безперервності), але з рівняння руху самих зарядів. Тому розподіл та рух зарядів можуть бути задані довільним чином, аби повний заряд був постійним. Завданням цього розподілу зарядів визначається тоді у вигляді рівнянь Максвелла створюване ними електромагнітне поле.

Треба, однак, уточнити, що для повного визначеннярозподілу та руху матерії у разі гравітаційного поля до рівнянь Ейнштейна треба приєднати ще (що не міститься, звичайно, у них) рівняння стану речовини, тобто рівняння, що зв'язує між собою тиск і щільність. Це рівняння має бути встановлене поряд із рівняннями поля.

Чотири координати можуть бути піддані довільному перетворенню. За допомогою цього перетворення можна довільним чином вибрати чотири з десяти компонентів тензора. Тому незалежними невідомими функціями є лише шість із величин Далі, чотири компоненти входить у тензор енергії-імпульсу матерії 4-швидкості пов'язані один з одним співвідношенням , так що незалежними є лише три з них. Таким чином, ми маємо, як і слід, десять рівнянь поля (95,5) для десяти невідомих величин: шести компонентів, трьох компонентів і щільності матерії (або її тиску). Для гравітаційного поля в порожнечі залишається лише шість невідомих величин (компонент ) і знижується число незалежних рівнянь поля: десять рівнянь пов'язані чотирма тотожностями (92,10).

Зазначимо деякі особливості структури рівнянь Ейнштейна. Вони є системою диференціальних рівняньу приватних похідних другого порядку. Однак у рівняння входять другі похідні за часом не від усіх 10 компонентів. Дійсно, з (92,1) видно, що другі похідні за часом містяться тільки в компонентах тензора кривизни, куди вони входять у вигляді члена (позначаємо крапкою диференціювання по ); другі ж похідні від компонентів метричного тензора взагалі відсутні. Ясно тому, що і тензор, що виходить шляхом спрощення з тензора кривизни, а з ним і рівняння (95,5) теж містять другі похідні за часом лише від шести просторових компонент

Легко також бачити, що ці похідні входять лише до рівнянь (95,6), тобто до рівнянь

(95,11)

Рівняння ж і т. е. рівняння

містять похідні за часом лише першого порядку. У цьому вся можна переконатися, перевіривши, що з освіті шляхом згортання величин компоненти виду дійсно випадають. Ще простіше побачити це з тотожності (92,10), записавши його у вигляді

Старші похідні за часом, що входять до праву частинуцієї рівності, - другі похідні (що фігурують у самих величинах). Оскільки (95,13) - тотожність, то його ліва сторонаповинна, отже, містити похідні за часом не вище за другий порядок. Але одне диференціювання. за часом фігурує вже у ньому явно; тому самі висловлювання можуть містити похідні за часом не вище за перший порядок.

Більше того, ліві сторони рівнянь (95,12) не містять також перших похідних (а лише похідні). Дійсно, з усіх ці похідні містять тільки , а ці величини в свою чергу входять тільки до компонентів тензора кривизни виду , які, як ми знаємо, випадають при освіті лівих сторін рівнянь (95,12).

Якщо цікавитися рішенням рівнянь Ейнштейна при заданих початкових (за часом) умовах, виникає запитання у тому, для скільки величин можуть бути довільно задані початкові просторові розподіли.

Початкові умови рівнянь другого порядку повинні включати початкові розподілу як самих диференційованих величин, і їх перших похідних за часом. Однак оскільки в даному випадкурівняння містять другі похідні лише від шести, то початкових умовах неможливо знайти довільно задані все. Так, можна задати (поряд зі швидкістю і щільністю матерії) початкові значення функцій і після чого з 4 рівнянь (95,12) визначаться допустимі початкові значення ; в рівняннях (95,11) залишаться ще довільними початкові значення

Проблеми класичного пояснення фотоефекту

Як можна було б пояснити фотоефект з погляду класичної електродинаміки та хвильових уявлень про світло?

Відомо, що з виривання електрона з речовини потрібно повідомити йому деяку енергію A , що називається роботою виходу електрона. В разі вільного електронау металі це робота з подолання поля позитивних іонів кристалічних ґрат, що утримує електрон на межі металу. Що стосується електрона, що у атомі, робота виходу є робота з розриву зв'язку електрона з ядром.

У змінному електричному полі світлової хвилі електрон починає робити коливання.

А якщо енергія коливань перевищить роботу виходу, то електрон буде вирваний із речовини.

Однак у рамках таких уявлень неможливо зрозуміти другий та третій закони фотоефекту. Чому кінетична енергія вибитих електронів залежить від інтенсивності випромінювання? Адже чим більша інтенсивність, тим більша напруженість електричного поля в електромагнітній хвилі, тим більша сила, що діє на електрон, тим більша енергія його коливань і з тим більшою кінетичною енергією електрон вилетить з катода. Але експеримент свідчить інше.

Звідки береться червона межа фотоефекту? чим «завинили» низькі частоти? Здавалося б, зі зростанням інтенсивності світла зростає і сила, що діє електрони; тому навіть при низькій частоті світла електрон рано чи пізно буде вирваний із речовини коли інтенсивність досягне достатньо великого значення. Однак червоний кордон ставить жорстку заборону на виліт електронів при низьких частотах падаючого випромінювання.

Крім того, при освітленні катода випромінюванням як завгодно слабкої інтенсивності (з частотою вище червоної межі) фотоефект починається миттєво в момент включення освітлення. Тим часом, електронам потрібен деякий час для «розхитування» зв'язків, що утримують їх у речовині, і цей час «розгойдування» має бути тим більше, чим слабше падаюче світло. Аналогія така: чим слабше ви штовхаєте гойдалку, тим довше доведеться їх розгойдувати до заданої амплітуди. Виглядає знову ж таки логічно, але досвід єдиний критерій істини у фізиці! цим аргументам суперечить.

Так на рубежі XIX та XX століть у фізиці виникла тупикова ситуація: електродинаміка, що передбачила існування електромагнітних хвильі чудово працююча в діапазоні радіохвиль, відмовилася пояснювати явище фотоефекту.

Вихід із цього глухого кута був знайдений Альбертом Ейнштейном в 1905 році. Він знайшов просте рівняння, що описує фотоефект. Усі три закони фотоефекту виявилися наслідками рівняння Ейнштейна.

Головна заслуга Ейнштейна полягала у відмові спроб спробувати витлумачити фотоефект з позицій класичної електродинаміки. Ейнштейн привернув до справи сміливу гіпотезу про кванти, висловлену Максом Планком п'ятьма роками раніше.

Ейнштейн для фотоефекту

Гіпотеза Планка говорила про дискретність випромінювання та поглинання електромагнітних хвиль, тобто про уривчастий характер взаємодії світла з речовиною. При цьому Планк вважав, що поширення світла це безперервний процес, що відбувається у повній відповідності до законів класичної електродинаміки.

Ейнштейн пішов ще далі: він припустив, що світло в принципі має переривчасту структуру: не тільки випромінювання і поглинання, але також і поширення світла відбувається окремими порціями квантами, що мають енергію. E = h ν .

Планк розглядав свою гіпотезу лише як математичний трюк і не наважився спростувати електродинаміку стосовно мікросвіту. Фізичною реальністю кванти стали завдяки Ейнштейну.

Кванти електромагнітного випромінювання(зокрема, кванти світла) стали згодом називатися фотонами. Таким чином, світло складається з особливих частинокфотонів, що рухаються у вакуумі зі швидкістю c . Кожен фотон монохроматичного світла, що має частоту, несе енергію h ν .

Фотони можуть обмінюватися енергією та імпульсом з частинками речовини; у такому разі ми говоримо про зіткнення фотона та частки. Зокрема відбувається зіткнення фотонів з електронами металу катода.

Поглинання світла - це поглинання фотонів, тобто непружне зіткнення фотонів з частинками (атомами, електронами). Поглинаючись під час зіткнення з електроном, фотон передає йому свою енергію. В результаті електрон отримує кінетичну енергію миттєво, а не поступово, і саме цим пояснюється безінерційність фотоефекту.

Рівняння Ейнштейна для фотоефекту є нічим іншим, як закон збереження енергії. На що йде енергія фотона h ν при його непружному зіткненніз електроном? Вона витрачається на виконання виходу A щодо вилучення електрона з речовини та на надання електрону кінетичної енергії mv 2/2: h ν = A + mv 2/2 (4)

Доданок mv 2 /2 виявляється максимальною кінетичною енергією фотоелектронів. Чому максимальною? Це питання потребує невеликого пояснення.

Електрони в металі можуть бути вільними та пов'язаними. Вільні електрони гуляють по всьому металу, пов'язані електрони сидять всередині своїх атомів. Крім того, електрон може бути як поблизу поверхні металу, так і в його глибині.

Зрозуміло, що максимальна кінетична енергія фотоелектрона вийде у тому випадку, коли фотон потрапить на вільний електрон у поверхневому шарі металу тоді для вибивання електрона достатньо лише роботи виходу.

У всіх інших випадках доведеться витрачати додаткову енергію на виривання зв'язаного електрона з атома або на протягування глибинного електрона до поверхні. Ці зайві витрати призведуть до того, що кінетична енергія електрона, що вилетіла, виявиться меншою.

Чудове за простотою та фізичною ясністю рівняння (4) містить у собі всю теорію фотоефекту:

1. число електронів, що вибиваються, пропорційно числу поглинених фотонів. Зі збільшенням інтенсивності світла кількість фотонів, що падають на катод за секунду, зростає. Отже, пропорційно зростає кількість поглинених фотонів і, відповідно, кількість вибитих за секунду електронів.

2. Виразимо з формули (4) кінетичну енергію: mv 2 /2 = h ν - A

Справді, кінетична енергія вибитих електронів лінійно зростає із частотою і залежить від інтенсивності світла.

Залежність кінетичної енергії від частоти має вигляд рівняння прямої, що проходить через точку ( A/h ; 0). Цим повністю пояснюється перебіг графіка на рис. 3.

3. Для того, щоб почався фотоефект, енергії фотона має вистачити як мінімум на виконання виходу: h ν > A . Найменша частота ν 0 , що визначається рівністю

h ν про = A;

Саме і буде червоною межею фотоефекту. Як бачимо, червона межа фотоефекту ν 0 = A/h визначається лише роботою виходу, т. е. залежить лише від речовини опромінюваної поверхні катода.

Якщо ν < ν 0 , то фотоефекту не буде скільки фотонів за секунду не падало на катод. Отже, інтенсивність світла ролі не грає; головне вистачає чи окремому фотону енергії, щоб вибити електрон.

Рівняння Ейнштейна (4) дає можливість експериментального знаходження постійної планки. Для цього треба заздалегідь визначити частоту випромінювання та роботу виходу матеріалу катода, а також виміряти кінетичну енергію фотоелектронів.

У ході таких дослідів було набуто значення h , точно збігається з (2). Такий збіг результатів двох незалежних експериментів на основі спектрів теплового випромінювання та рівняння Ейнштейна для фотоефекту означало, що виявлено абсолютно нові «правила гри», за якими відбувається взаємодія світла та речовини. У цій галузі класична фізика в особі механіки Ньютона та електродинаміки Максвелла поступається місцем квантовій фізиці теорії мікросвіту, побудова якої триває і сьогодні.

У попередньому розділі локальні властивості однорідної ізотропної космологічної моделі були отримані в рамках ньютонівської теорії. Зрозуміло, для послідовного розгляду космологічної проблеми ньютонівської теорії недостатньо. Справді, § 1 гол. 1 нам доводилося припускати, що в рамках ОТО, так само як і в класичній ньютонівській теорії, всередині сферичної порожнини, виділеної у Всесвіті, однорідна зовнішня речовина, що ізотропно розширюється, ніякого гравітаційного поля не створює. Для підтвердження, зрозуміло, треба звернутися до ОТО. Крім того, рівняння ОТО абсолютно необхідні, коли від локальної проблеми переходимо до вивчення великих областей простору, в яких власне тяжіння речовини вже не мало і не мала швидкість розширення. Розгляд таких областей абсолютно необхідний під час аналізу поширення світла від далеких галактик, підрахунку слабких галактик тощо.

Отже, після елементарного роз'яснення суті законів розширення Всесвіту звернемося до їх послідовного висновку з рівнянь Ейнштейна. Ми припускаємо, що читач знайомий хоча б з елементарними засадами ОТО. Для розуміння подальшого достатньо відомостей про ВТО, викладених у гол. 1 ТТ та ЕС. Неперевершеним за чіткістю та економністю залишається виклад ЗТО в останніх розділах «Теорії поля» Ландау та Ліфшиця.

Ми будуватимемо однорідну ізотропну модель Всесвіту, тобто модель, в якій всі точки рівноцінні і всі напрямки еквівалентні, нічим не виділені. У такій моделі тривимірний простір має бути однорідним та ізотропним. Звичайно, це тривимірне простір зовсім не повинно бути евклідовим простором, оскільки згідно з ВТО геометричні властивості простору залежать від матерії, її щільності та руху. Це може бути будь-який однорідний ізотропний тривимірний простір. З математики відомо, що таким простіром є простір постійної кривизни (що не залежить від напрямку та від

просторових координат). Квадрат елемента довжини у такому просторі записується у вигляді

де величина а - постійна, що має розмірність довжини. Якщо ми маємо справу зі звичайним евклідовим простором (іноді його називають «плоським» простором) і звичайні декартові координати. При просторі називають простором постійної позитивної кривизни, при простором постійної негативної кривизни. Величину називають радіусом кривизни простору, а величину (гаусової) кривизною простору. Ми відкладемо розгляд геометричних властивостей цих просторів до наступних параграфів.

Радіус кривизни а є природною одиницею довжини для вимірювання відстаней у разі. Тому перейдемо до нових безрозмірних координат:

Тепер (2.1.1) перепишеться у вигляді

Вираз (2.1.3) формально справедливо і тільки в цьому випадку а - довільний масштабний множник. Для евклідового простору масштаб нічим не виділений і може бути обраний довільно. Розглядаючи як змінну величину (функцію часу), можна описати деформацію системи отсчета.

Тепер нашим завданням є написати вираз для чотиривимірного інтервалу. Просторову частину інтервалу ми вже виписали [див. (2.1.3)].

У системі відліку, в якій тривимірний простір однорідний і ізотропний і метрика якого має вигляд (2.1.3), матерія не може рухатися щодо системи відліку. Справді, швидкість руху виділяла певний напрям у кожній точці і, отже, порушувала б ізотропію. Таким чином, система

відліку (2.1.3) є супутньою. Виберемо як координати часу свій час кожної частки. Тоді, нарешті, всі компоненти повинні бути тотожними нулю. Інакше вони становили б тривимірний вектор, який також порушує ізотропію.

Отже, вираз може бути записано у вигляді

У виразі (2.1.4) координати х, у, z є лагранжовими координатами частинок матерії, оскільки матерія не рухається щодо системи відліку. Весь рух матерії описується деформацією самої системи відліку. Масштабний множник у вираженні (2.1.4) залежить від часу, Його зростання з часом описує розширення системи відліку, збільшення всіх відстаней у системі відліку, отже, і розширення всієї речовини, оскільки система відліку є супутньою. Нагадаємо, що фізична відстань між будь-якими близькими частинками в нашій моделі є згідно (2.1.3), оскільки постійні. З рівнянь Ейнштейна нам залишається знайти єдину невідому функцію

Рівняння Ейнштейна записуються у такому вигляді:

Тут тензор Річчі, його слід; обидва є функціями від своїх перших і других похідних, - символи Кронекера, тензор енергії-імпульсу матерії. У космології як матерія найчастіше розглядається газ. Це може бути і "звичайний" газ, і газ, "молекулами" якого є галактики, і ультрарелятивістський газ фотонів і т. д. У цьому випадку компоненти тензора енергії-імпульсу записуються у вигляді

де чотиривимірна швидкість матерії. У супутній системі відліку [як у нашому випадку (2.1.4)] компоненти, відмінні від нуля, суть

У однорідному ізотропному Всесвіті можуть залежати тільки від часу, але не від просторових координат. Нашим завданням є підставити компоненти з (2.1.4) у рівняння Ейнштейна (2.1.5), підставити туди ж (2.1.7) і визначити три невідомі функції від часу: По суті, невідомих функцій тільки дві: оскільки пов'язані рівнянням стану речовини.