Найменшої дії. "найменшого дії принцип" у книгах
Ми коротко розглянули один з найбільш чудових фізичних принципів- принцип найменшого дії, і зупинилися з прикладу, який, начебто, йому суперечить. У цій статті ми розберемося з цим принципом трохи докладніше і подивимося, що відбувається в даному прикладі.
На цей раз нам знадобиться трохи більше математики. Однак основну частину статті я знову постараюсь викласти на елементарному рівні. Трохи суворіші та складніші моменти я виділятиму кольором, їх можна пропустити без шкоди для основного розуміння статті.
Граничні умови
Почнемо ми з найпростішого об'єкта – кулі, що вільно рухається в просторі, на яку не діють жодні сили. Така куля, як відомо, рухається рівномірно та прямолінійно. Для простоти, припустимо, що він рухається вздовж осі
Щоб точно описати його рух, зазвичай задаються початкові умови. Наприклад задається, що в початковий моментчасу
куля знаходилася в точці
з координатою
і мав швидкість
Задавши початкові умови у такому вигляді, ми однозначно визначаємо подальший рухкулі - він буде рухатися з постійною швидкістю, та його становище в момент часу
дорівнюватиме початковому положенню плюс швидкість, помножена на час:
Такий спосіб завдання початкових умовдуже природний та інтуїтивно звичний. Ми поставили всю необхідну інформаціюпро рух кулі у початковий час, і далі його рух визначається законами Ньютона.
Однак це не єдиний спосібзавдання руху кулі. Інший альтернативний спосіб - це задати положення кулі в два різні моменти часу
Тобто. поставити, що:
1) у момент часу
куля знаходилася в точці
(З координатою
);
2) у момент часу
куля знаходилася в точці
(З координатою
Вираз «перебував у точці
» не означає, що куля спочивала в точці
У момент часу
він міг пролітати через крапку
Мається на увазі, що його становище в момент часу
збігалося з точкою
Те саме стосується і точки
Ці дві умови також однозначно визначають рух кулі. Його рух легко вирахувати. Щоб задовольнити обох умов, швидкість кулі, очевидно, повинна бути
Положення кулі в момент часу
буде знову дорівнює початковому становищу плюс швидкість, помножена на час:
Зауважте, що в умовах завдання нам не потрібно було задавати початкову швидкість. Вона однозначно визначилася з умов 1) та 2).
Завдання умов другим способом виглядає незвично. Можливо, незрозуміло навіщо взагалі може знадобитися задавати їх у такому вигляді. Однак, у принципі найменшої дії використовуються саме умови у вигляді 1) та 2), а не у вигляді завдання початкового стану та початкової швидкості.
Траєкторія з найменшою дією.
Тепер трохи відвернемося від реального вільного рухукулі і розглянемо наступне суто математичне завдання. Припустимо, у нас є куля, яку ми можемо вручну переміщати будь-яким способом. При цьому нам потрібно виконати умови 1) та 2). Тобто. у проміжок часу між
ми повинні перемістити його з точки
Це можна зробити абсолютно різними способами. Кожен такий спосіб ми будемо називати траєкторією руху кулі і він може бути описаний функцією положення кулі від часу
Відкладемо кілька таких траєкторій на графіку залежності положення кульки від часу:
Наприклад, ми можемо переміщати кульку з тією самою швидкістю, що дорівнює
(зелена траєкторія). Або ми можемо половину часу тримати його у точці
А потім з подвійною швидкістюперемістити в крапку
(Синя траєкторія). Можна спершу рухати його в протилежну від
бік, а потім вже перемістити в
(коричнева траєкторія). Можна рухати його взад і вперед (червона траєкторія). Загалом, можна пересувати його як завгодно, аби дотримувалися умови 1) та 2).
Для кожної такої траєкторії ми можемо порівняти число. У прикладі, тобто. без будь-яких сил, що діють на кулю, це число дорівнює загальної накопиченої кінетичної енергії за весь час його руху в проміжок часу між
і називається дією.
У даному випадкуслово "накопичена" кінетична енергія не дуже точно передає сенс. Реально кінетична енергія ніде не накопичується, накопичення використовується лише обчислення дії для траєкторії. У математиці для такого накопичення є дуже хороше поняття – інтеграл:
Дія зазвичай позначається буквою
означає кінетичну енергію. Цей інтеграл означає, що дія дорівнює накопиченій кінетичній енергії кулі за проміжок часу від
Як приклад, давайте візьмемо кулю масою 1 кг., задамо якісь граничні умови і обчислимо дію для двох різних траєкторій. Нехай крапка
знаходиться на відстані 1 метр від точки
відстоїть від часу
на секунду. Тобто. ми повинні перемістити кулю, яка в початковий момент часу була в точці
За одну секунду на відстань 1 м. вздовж осі
У першому прикладі (зелена траєкторія) ми переміщали кулю поступово, тобто. з однаковою швидкістю, яка, очевидно, повинна дорівнювати:
м/с. Кінетична енергія кулі в кожний момент часу дорівнює:
1/2 Дж. За одну секунду накопичиться 1/2 Дж
з кінетичної енергії. Тобто. дійство для такої траєкторії дорівнює:
Тепер давайте кулю не відразу переноситимемо з точки
А півсекунди притримаємо його у точці
А потім, за час, що залишився, рівномірно перенесемо його в точку
У перші півсекунди куля спочиває і її кінетична енергія дорівнює нулю. Тому внесок у дію цієї частини траєкторії також дорівнює нулю. Другі півсекунди ми переносимо кулю з подвійною швидкістю:
м/с. Кінетична енергія при цьому дорівнюватиме
2 Дж. Вклад цього проміжку часу на дію дорівнюватиме 2 Дж помножити на півсекунди, тобто. 1 Дж
с. Тому спільна діядля такої траєкторії виходить одно
Аналогічно, будь-який інший траєкторії із заданими нами крайовими умовами 1) і 2) відповідає деяке число, що дорівнює дії для даної траєкторії. Серед усіх таких траєкторій є траєкторія, у якої найменша дія. Можна довести, що траєкторією є зелена траєкторія, тобто. рівномірний рухкулі. Для будь-якої іншої траєкторії, якою б хитрою вона не була, дія буде більшою за 1/2.
У математиці таке зіставлення кожної функції певного числа називається функціоналом. Досить часто у фізиці та математиці виникають завдання подібні до нашої, тобто. на відшукання такої функції, на яку значення певного функціонала мінімально. Наприклад, одне із завдань, які мали велике історичне значеннядля розвитку математики – це завдання про бахістохроні. Тобто. знаходження такої кривої, по якій кулька скочується найшвидше. Знову, кожну криву можна уявити функцією h(x), і кожної функції зіставити число, у разі час скочування кульки. Знову завдання зводиться до знаходження такої функції, котрій значення функціонала мінімально. Область математики, яка займається такими завданнями, називається варіаційним обчисленням.
Принцип найменшого впливу.
У розібраних вище прикладах ми з'явилися дві спеціальні траєкторії, отримані двома різними способами.
Перша траєкторія отримана із законів фізики і відповідає реальній траєкторії вільної кулі, на яку не діють жодні сили і для якої задані граничні умови у вигляді 1) та 2).
Друга траєкторія отримана з математичної задачі знаходження траєкторії із заданими граничними умовами 1) та 2), для якої дія мінімальна.
Принцип найменшої дії стверджує, що ці дві траєкторії мають співпадати. Іншими словами, якщо відомо, що кулька рухалася так, що виконувались граничні умови 1) і 2), то вона обов'язково рухалася по траєкторії, для якої дія мінімальна порівняно з будь-якою іншою траєкторією з тими самими граничними умовами.
Можна було б вважати це простим збігом. Чи мало завдань, у яких з'являються рівномірні траєкторіїта прямі лінії. Однак принцип найменшої дії виявляється дуже загальним принципом, справедливим та інших ситуаціях, наприклад, для руху кулі в рівномірному полі тяжкості. Для цього тільки потрібно замінити кінетичну енергію на різницю кінетичної та потенційної енергії. Цю різницю називають Лагранжіаном або функцією Лагранжа і дія тепер стає рівною загальному накопиченому Лагранжіану. Фактично, функція Лагранжа містить усю необхідну інформацію про динамічні властивості системи.
Якщо ми запустимо кулю в рівномірному полі тяжкості таким чином, щоб вона пролетіла крапку
у момент часу
і прилетів у крапку
у момент часу
То він, згідно із законами Ньютона, полетить по параболі. Саме ця парабола збігатиметься з траєкторій, для якої дія буде мінімальною.
Таким чином, для тіла, що рухається в потенційному полі, наприклад, гравітаційному полі Землі, функція Лагранжа дорівнює:
Кінетична енергія
залежить від швидкості тіла, а потенційна - з його становища, тобто. координат
У аналітичної механікивсю сукупність координат, що визначають положення системи, зазвичай позначають однією літерою
Для кулі, що вільно рухається в полі тяжкості,
означає координати
Для позначення швидкості зміни будь-якої величини у фізиці дуже часто просто ставлять крапку над цією величиною. Наприклад,
позначає швидкість зміни координати
Або, іншими словами, швидкість тіла у напрямку
Використовуючи ці угоди, швидкість нашої кулі в аналітичній механіці позначається як
означає компоненти швидкості
Оскільки функція Лагранжа залежить від швидкості і координат, а також може явно залежати від часу (явно залежить від часу означає, що значення
в різні моментичасу різне, при однакових швидкостях і положеннях кулі) то дія у загальному вигляді записується як
Не завжди мінімальне
Однак наприкінці попередньої частини ми розглянули приклад, коли принцип найменшої дії явно не працює. Для цього ми знову взяли вільну кульку, на яку не діють жодні сили і помістили поряд з нею пружну стінку.
Граничні умови ми поставили такими, що точки
збігаються. Тобто. і в момент часу
і в момент часу
куля повинна опинитися в одній і тій же точці
Однією з можливих траєкторій буде стояння кулі на місці. Тобто. весь проміжок часу між
він простоїть у точці
Кінетична і потенційна енергія в цьому випадку дорівнюватимуть нулю, тому дія для такої траєкторії також дорівнюватиме нулю.
Суворо кажучи, потенційну енергіюможна взяти рівною не нулю, а будь-якому числу, оскільки важлива різниця потенційної енергії в різних точкахпростору. Однак зміна значення потенційної енергії не впливає на пошук траєкторії з мінімальною дією. Просто для всіх траєкторій значення дії зміниться на те саме число, і траєкторія з мінімальною дією так і залишиться траєкторією з мінімальною дією. Для зручності, для нашої кулі ми виберемо потенційну енергію, що дорівнює нулю.
Іншою можливою фізичною траєкторією з тими ж граничними умовами буде траєкторія, при якій кулька спочатку летить вправо, пролітаючи крапку.
у момент часу
Потім він стикається з пружиною, стискає її, пружина, розпрямляючись, відштовхує кульку назад, і він знову пролітає повз крапку
Можна підібрати швидкість руху кулі такою, щоб вона, відскочивши від стінки, пролетіла крапку
точно в момент
Дія за такої траєкторії буде в основному рівно накопиченої кінетичної енергії під час польоту між точкою
і стінкою та назад. Буде якийсь проміжок часу, коли кулька стисне пружину і її потенційна енергія збільшиться, і в цей проміжок часу потенційна енергія зробить негативний внесок у дію. Але такий проміжок часу буде не дуже великим і сильно не зменшить дію. 
На малюнку намальовані обидві фізично можливі траєкторії руху кулі. Зелена траєкторія відповідає кулі, що покоїться, у той час як синя відповідає кулі, що відскочила від пружинної стінки.
Однак мінімальну дію має тільки одна з них, а саме перша! У другій траєкторії дія більша. Виходить, що в цьому завданні є дві фізично можливі траєкторії і всього одна з мінімальною дією. Тобто. у разі принцип найменшого дії не працює.
Стаціонарні точки.
Щоб зрозуміти в чому тут справа, давайте відвернемося поки що від принципу найменшої дії і займемося звичайними функціями. Давайте візьмемо якусь функцію
та намалюємо її графік:
На графіку я відзначив зеленим кольоромчотири особливі точки. Що загальне для цих точок? Уявимо, що графік функції – це реальна гірка, якою може котитися кулька. Чотири позначені точки особливі тим, що якщо встановити кульку точно в дану точку, то він нікуди не покотиться. В інших точках, наприклад, точці E він не зможе встояти на місці і почне скочуватися вниз. Такі точки називають стаціонарними. Знаходження таких точок є корисним завданням, оскільки будь-який максимум або мінімум функції, якщо вона не має різких зламів, обов'язково має бути стаціонарною точкою.
Якщо точніше класифікувати ці точки, то точка A є абсолютним мінімумом функції, тобто. її значення менше, ніж будь-яке інше значення функції. Точка B - не є ні максимумом, ні мінімумом і називається сідловою точкою. Точка С називається локальним максимумом, тобто. значення в ній більше, ніж у сусідніх точкахфункції. А точка D – локальним мінімумом, тобто. значення у ній менше, ніж у сусідніх точках функції.
Пошуком таких точок займається розділ математики, який називається математичним аналізом. Інакше його іноді називають аналізом нескінченно малих, оскільки він вміє працювати з нескінченно малими величинами. З точки зору математичного аналізустаціонарні точки мають одну особливу властивість, завдяки якій їх і знаходять. Щоб зрозуміти, що це за властивість, нам потрібно зрозуміти, як виглядає функція дуже малих відстанях від цих точок. Для цього ми візьмемо мікроскоп і подивимося на наші точки. На малюнку показано як виглядає функція в околиці різних точокпри різному збільшенні.
Видно, що при дуже великому збільшенні (тобто при дуже малих відхиленнях x) стаціонарні точки виглядають абсолютно однаково та сильно відрізняються від нестаціонарної точки. Легко зрозуміти у чому полягає ця відмінність – графік функції у стаціонарній точці зі збільшенням стає строго горизонтальної лінією, а нестаціонарної – похилої. Саме тому кулька, встановлена в стаціонарній точці, не скочуватиметься.
Горизонтальність функції в стаціонарній точці можна виразити інакше: функція в стаціонарній точці практично не змінюється при дуже малій зміні свого аргументу
Навіть порівняно із самою зміною аргументу. Функція ж у нестаціонарній точці при малій зміні
змінюється пропорційно до зміни
І чим більше кутнахилу функції, тим сильніше змінюється функція при зміні
Насправді, функція зі збільшенням стає дедалі більше схожа дотичну до графіку в точці.
На суворому математичною мовоювираз «функція практично не змінюється в точці
при дуже малій зміні
» означає, що відношення зміни функції та зміни її аргументу
прагне до 0 при
що прагне до 0:
$$display$$lim_(∆x to 0) frac (∆y(x_0))(∆x) = lim_(x to 0) frac (y(x_0+∆x)-y(x_0))(∆x) = 0$$display$$
Для нестаціонарної точки це ставлення прагне ненульовому числу, яке дорівнює тангенсу кута нахилу функції у цій точці. Це число називають похідної функції у цій точці. Похідна функції показує, наскільки швидко змінюється функція біля цієї точки при невеликій змініїї аргументу
Отже, стаціонарні точки – це точки, у яких похідна функції дорівнює 0.
Стаціонарні траєкторії.
За аналогією зі стаціонарними точками можна запровадити поняття стаціонарних траєкторій. Згадаймо, що з кожної траєкторії відповідає певне значення дії, тобто. якесь число. Тоді може бути така траєкторія, що з близьких до неї траєкторій із тими самими граничними умовами, відповідні їм значення дії мало відрізнятимуться від дії для самої стаціонарної траєкторії. Така траєкторія називається стаціонарною. Іншими словами, будь-яка траєкторія близька до стаціонарної мати значення дії, дуже мало відрізняється від дії для цієї стаціонарної траєкторії.
Знову, математичною мовою «мало відрізняється» має наступний точний зміст. Припустимо, що у нас заданий функціонал
для функцій із необхідними граничними умовами 1) та 2), тобто.
Припустимо, що траєкторія
- Стаціонарна.
Ми можемо взяти будь-яку іншу функцію
Таку, що у кінцях вона приймає нульові значення, тобто.
0. Також візьмемо змінну
Яку ми робитимемо все менше і менше. З цих двох функцій та змінної
ми можемо скласти третю функцію
Яка також задовольнятиме граничним умовам
При зменшенні
траєкторія, що відповідає функції
Буде все сильніше наближатися до траєкторії
При цьому для стаціонарних траєкторій при малих
значення функціоналу у траєкторій
буде відрізнятися дуже мало від значення функціоналу для
навіть у порівнянні з
$$display$$lim_(ε to 0) frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=lim_(ε to 0) frac (S(x(t)+εg(t) ))-S(x(t)))ε = 0$$display$$
До чого це має бути справедливо для будь-якої траєкторії
Задовольняє граничним умовам
Зміна функціоналу при малій зміні функції (точніше, лінійна частина зміни функціоналу, пропорційна до зміни функції) називається варіацією функціоналу і позначається
Від терміна «варіація» і походить назва «варіаційне обчислення».
Для стаціонарних траєкторій варіація функціоналу
Метод знаходження стаціонарних функцій (як для принципу найменшого дії, а й багатьох інших завдань) знайшли два математика - Ейлер і Лагранж. Виявляється, що стаціонарна функція, чий функціонал виражається інтегралом, подібним до інтегралу дії, повинна задовольняти певному рівнянню, яке тепер називається рівнянням Ейлера-Лагранжа.
Принцип стаціонарного впливу.
Ситуація з мінімумом дії для траєкторій аналогічна ситуації з мінімумом функцій. Щоб траєкторія мала найменшою дією, вона повинна бути стаціонарною траєкторією. Проте чи всі стаціонарні траєкторії – це траєкторії з мінімальною дією. Наприклад, стаціонарна траєкторія може мати мінімальну дію локально. Тобто. у неї дія буде меншою, ніж у будь-якої іншої сусідньої траєкторії. Однак десь далеко можуть бути інші траєкторії, для яких дія буде ще меншою.
Виявляється, реальні тіла можуть рухатися не обов'язково траєкторіями з найменшою дією. Вони можуть рухатися ширшим набором спеціальних траєкторій, а саме - стаціонарним траєкторіям. Тобто. реальна траєкторія тіла завжди буде стаціонарною. Тому принцип найменшого впливу правильніше назвати принципом стаціонарного впливу. Однак за традицією, що склалася, його часто називають принципом найменшої дії, маючи на увазі за цим не тільки мінімальність, а й стаціонарність траєкторій.
Тепер ми можемо записати принцип стаціонарної дії математичною мовою, як її зазвичай записують у підручниках:
Це узагальнені координати, тобто. набір чисел, що однозначно задає положення системи.
Швидкість зміни узагальнених координат.
Функція Лагранжа, яка залежить від узагальнених координат, їх швидкостей та, можливо, часу.
Дія, яка залежить від конкретної траєкторії руху системи (тобто від
Реальні траєкторії системи стаціонарні, тобто. для них варіація дії
Якщо повернутись наприклад з кулею і пружною стінкою, то пояснення цієї ситуації тепер стає дуже простим. За заданих граничних умов, що куля повинна і під час
і під час
опинитися в точці
існують дві стаціонарні траєкторії. І за будь-якою з цих траєкторій може реально рухатися куля. Щоб явно вибрати одну із траєкторій, можна на рух кулі накласти додаткова умова. Наприклад, сказати, що куля має відскочити від стінки. Тоді траєкторія визначиться однозначно.
З принципу найменшої (точніше стаціонарної) дії випливають деякі чудові наслідки, про які ми поговоримо у наступній частині.
Йому підкоряються, у зв'язку з чим цей принцип є одним із ключових положень сучасної фізики. Одержувані з його допомогою рівняння руху мають назву рівнянь Ейлера-Лагранжа.
Перше формулювання принципу дав П. Мопертюї (P. Maupertuis) у році, відразу ж вказавши на його універсальну природу, вважаючи його придатним до оптики та механіки. З даного принципувін вивів закони відображення та заломлення світла.
Історія
Мопертюї прийшов до цього принципу з відчуття, що досконалість Всесвіту потребує певної економії в природі та суперечить будь-яким марним витратам енергії. Природний рухмає бути таким, щоб зробити деяку величину мінімальною. Треба було тільки знайти цю величину, що він і продовжував робити. Вона була добутком тривалості (час) руху в межах системи на подвоєну величину, яку ми тепер називаємо кінетичною енергією системи.
Ейлер (в «Reflexions sur quelques loix générales de la nature», 1748) приймає принцип найменшої кількостідії, називаючи дію "зусиллям". Його вираз у статиці відповідає тому, що ми тепер назвали б потенційною енергією, так що його затвердження найменшої дії у статиці еквівалентне умові мінімуму потенційної енергії для конфігурації рівноваги.
У класичній механіці
Принцип найменшої дії служить фундаментальною та стандартною основою лагранжевої та гамільтонової формулювань механіки.
Спочатку розглянемо побудову таким чином лагранжової механіки. На прикладі фізичної системиз одним ступенем свободи , нагадаємо, що дія - це функціонал щодо (узагальнених) координат (у разі одного ступеня свободи - однієї координати ), тобто виражається через так, що кожному можливим варіантом функції зіставляється деяка кількість - дія (у цьому сенсі можна сказати , що дія як функціонал є правило, що дозволяє для будь-якої заданої функціїобчислити цілком певної кількість- також називається дією). Дія має вигляд:
де є лагранжіан системи, що залежить від узагальненої координати, її першої похідної за часом, а також, можливо, і явно від часу. Якщо система має більшу кількість ступенів свободи, то лагранжіан залежить від більшого числаузагальнених координат та їх перших похідних за часом. Таким чином, дія є скалярним функціоналом, що залежить від траєкторії тіла.
Те, що дія є скаляром, дозволяє легко записати його в будь-яких узагальнених координатах, головне тільки, щоб положення (конфігурація) системи однозначно ними характеризувалося (наприклад, замість декартових це можуть бути полярні координати, відстані між точками системи, кути або їх функції тощо) д.).
Дію можна обчислити для абсолютно довільної траєкторії, якою б «дикою» та «неприродною» вона не була б. Однак у класичній механіці серед усього набору можливих траєкторій існує одна-єдина, якою тіло дійсно піде. Принцип стаціонарності дії якраз і дає відповідь на питання, як дійсно рухатиметься тіло:
Це означає, що якщо заданий лагранжіан системи, то ми за допомогою варіаційного обчислення можемо встановити, як саме рухатиметься тіло, спочатку отримавши рівняння руху – рівняння Ейлера – Лагранжа, а потім вирішивши їх. Це дозволяє не тільки серйозно узагальнити формулювання механіки, але й вибирати найбільш зручні координати для кожної певної задачі, не обмежуючись декартовими, що може бути дуже корисно для отримання найпростіших рівнянь, що легко вирішуються.
де – функція Гамільтона даної системи; - (узагальнені) координати, - пов'язані їм (узагальнені) імпульси, що характеризують разом у кожен Наразідинамічний стан системи і, будучи кожною функцією часу, характеризуючи, таким чином, еволюцію (рух) системи. У цьому випадку для отримання рівнянь руху системи у формі канонічних рівнянь Гамільтона треба проваріювати записану так дію незалежно по всіх і .
Слід зазначити, що з умов завдання принципово можна знайти закон руху, це автоматично неозначає, що можна побудувати функціонал, що набуває стаціонарного значення при істинному русі. Прикладом може бути спільний рух електричних зарядівта монополів - магнітних зарядів- В електромагнітному полі. Їхні рівняння руху неможливо вивести з принципу стаціонарності дії. Аналогічно деякі гамільтонові системи мають рівняння руху, які не виводяться з цього принципу.
Приклади
Тривіальні приклади допомагають оцінювати використання принципу дії через рівняння Ейлера-Лагранжа. Вільна частка (маса mта швидкість v) в Евклідовому просторі переміщається прямою лінією. Використовуючи рівняння Ейлера Лагранжа, це можна показати в полярних координатах наступним чином. За відсутності потенціалу функція Лагранжа просто дорівнює кінетичній енергії
в ортогональній системікоординат.
У полярних координатахкінетична енергія, а отже, функція Лагранжа стає
Радіальна та кутова компонента рівнянь стають, відповідно:
Розв'язання цих двох рівнянь
Тут - це умовний запис нескінченно функціонального інтегрування по всіх траєкторіях x(t), а - постійна Планка. Підкреслимо, що в принципі дія в експоненті з'являється (або може з'являтися) сама, при вивченні оператора еволюції в квантовій механіці, проте для систем, що мають точний класичний (неквантовий) аналог, воно точно дорівнює звичайному класичному дії.
Математичний аналіз цього висловлювання у класичному межі - за досить великих , тобто за дуже швидких осциляціях уявної експоненти - показує, що переважна більшість усіляких траєкторій у тому інтегралі взаємозменшуються у своїй межі (формально при ). Для майже будь-якого шляху знайдеться такий шлях, на якому набіг фази буде протилежним, і вони в сумі дадуть нульовий внесок. Не скорочуються ті траєкторії, котрим дія близька до екстремального значення (для більшості систем - мінімуму). Це – чисто математичний фактз теорії функцій комплексного змінного; на ньому, наприклад, заснований метод стаціонарної фази.
В результаті частка в повній згоді із законами квантової механіки рухається одночасно по всіх траєкторіях, але в звичайних умоваху значення, що спостерігаються, дають вклад тільки траєкторії, близькі до стаціонарних (тобто класичних). Оскільки квантова механікапереходить у класичну межі великих енергій, можна вважати, що це - квантовомеханічний висновок класичного принципустаціонарності дії.
У квантовій теорії поля
У квантової теоріїПоля принцип стаціонарності дії також успішно застосовується. У лагранжеву густину тут входять оператори відповідних квантових полів. Хоча правильніше тут по суті (за винятком класичної межі і частково квазікласики) говорити не про принцип стаціонарності дії, а про фейнманівське інтегрування по траєкторіях у конфігураційному або фазовому просторі цих полів - з використанням згаданої щойно лагранжової щільності.
Подальші узагальнення
Ширше, під впливом розуміють функціонал, що задає відображення з конфігураційного простору на безліч дійсних чиселі, загалом, не повинен бути інтегралом, оскільки нелокальні події у принципі можливі, по крайнього заходу, теоретично. Понад те, конфігураційний простір необов'язково є функціональним простором, оскільки може мати некомутативну геометрію.
Примітки
Література
- Варіаційні засади механіки. Зб. статей класиків науки. За редакцією Полака Л.С. М.: Фізматгіз. 1959.
- Ланцош До.Варіаційні засади механіки. – М.: Фізматгіз. 1965.
- Бердичевський В. Л.Варіаційні принципи механіки суцільного середовища. М.: Наука, 1983. – 448 с.
Принцип найменшої дії, вперше точно сформульований Якобі, аналогічний принципу Гамільтона, але менш загальний і важчий для доказу. Цей принцип застосовується тільки до того випадку, коли зв'язки та силова функціяне залежить від часу і коли, отже, існує інтеграл живої сили.
Цей інтеграл має вигляд:
Принцип Гамільтона, викладений вище, стверджує, що варіація інтеграла
дорівнює нулю при переході дійсного руху до будь-якого іншого нескінченно близькому руху, Що переводить систему з того самого початкового положення в той же кінцевий стан за той самий проміжок часу.
Принцип Якобі, навпаки, виражає властивість, рухи, що не залежить від часу. Якобі розглядає інтеграл
визначальний дію. Встановлений ним принцип стверджує, що варіація цього інтеграла дорівнює нулю, коли ми порівнюємо дійсний рух системи з будь-яким іншим нескінченно близьким рухом, що переводить систему з того самого початкового положення в той же кінцевий стан. При цьому ми не звертаємо уваги на проміжок часу, що витрачається, але дотримуємось рівняння (1), тобто рівняння живої сили з тим же значенням постійної h, що і в дійсному русі.
Це необхідна умоваекстремуму приводить, взагалі кажучи, до мінімуму інтеграла (2), звідки і походить назва принцип найменшої дії. Умова мінімуму є найбільш природною, оскільки величина Т істотно позитивна, і тому інтеграл (2) необхідно мати мінімум. Існування мінімуму може бути суворо доведено, якщо проміжок часу - досить малий. Доказ цього можна знайти у відомому курсі Дарбу з теорії поверхонь. Ми, однак, не наводитимемо його тут і обмежимося виведенням умови
432. Доказ принципу найменшої дії.
При дійсному обчисленні ми зустрічаємося з одним складним трудом, якого немає в доказі теореми Гамільтона. Змінна t не залишається більш незалежною від варіацій; тому варіації q i та q. пов'язані з варіацією t складним співвідношенням, яке випливає з рівняння (1). Найпростіший спосіб обійти це утруднення полягає в тому, щоб змінити незалежну змінну, вибравши таку, значення якої розташовувалися б між постійними межами, що не залежать від часу. Нехай є нова незалежна змінна, межі якої і передбачаються не залежать від t. При переміщенні системи параметри та t будуть функціями від цієї змінної
Нехай літери зі штрихами q позначатимуть похідні від параметрів q за часом.
Оскільки зв'язки, за припущенням, не залежить від часу, то декартові координатих, у, z є функціями від q, що не містять часу. Тому їх похідні будуть однорідними лінійними функціями від q і 7 буде однорідною квадратичною формою від q, коефіцієнти якої суть функції від q. Маємо
Щоб відрізняти похідні q за часом, позначимо за допомогою дужок, (q), похідні від q, взяті за і покладемо відповідно до цього
тоді матимемо
і інтеграл (2), виражений через нову незалежну змінну А, набуде вигляду;
Похідну можна виключити з допомогою теореми живої сили. Справді, інтеграл живої сили буде
Підставивши цей вираз у формулу для наведемо інтеграл (2) до виду
Інтеграл, що визначає дію, набув, таким чином, остаточного вигляду (3). Підінтегральна функція є квадратний коріньіз квадратичної форми від величин
Покажемо, що диференціальні рівняння екстремалей інтеграла (3) є точності рівняння Лагранжа. Рівняння екстремалей, на підставі загальних формулваріаційного обчислення, будуть:
Помножимо рівняння на 2 і виконаємо приватні диференціювання, зважаючи на те, що не містить тоді отримаємо, якщо не писати індексу ,
Це рівняння екстремалей, виражені через незалежну змінну Завданняполягає тепер у тому, щоб повернутися до незалежної змінної
Оскільки Г є однорідна функція другого ступеня від - однорідна функція першого ступеня, то маємо
З іншого боку, до множників при похідних у рівняннях екстремалей можна застосувати теорему живої сили, яка призводить, як ми бачили вище, до підстановки
В результаті всіх підстановок рівняння екстремалей наводяться до вигляду
Таким чином, ми прийшли до рівнянь Лагранжа.
433. Випадок, коли немає рушійних сил.
У випадку, коли рушійних сил немає, рівняння живої сили є і ми маємо
Умова, що інтеграл є мінімум, полягає в даному випадку в тому, що відповідне значення -10 має бути найменшим. Таким чином, коли рушійних сил немає, то серед усіх рухів, при яких жива силазберігає те саме дане значення, дійсний рух є те, що переводить систему з її початкового положення в кінцеве положення в найкоротший час.
Якщо система зводиться до однієї точки, що рухається нерухомою поверхнею, то дійсний рух, серед усіх рухів по поверхні, що відбуваються з тією ж швидкістю, є такий рух, при якому точка переходить зі свого початкового положення в кінцеве положення в найкоротший
проміжок часу. Інакше кажучи, точка описує на поверхні найкоротшу лініюміж двома її положеннями, тобто геодезичну лінію.
434. Зауваження.
Принцип найменшої дії передбачає, що система має кілька ступенів свободи, оскільки якби була лише одна ступінь свободи, то одного рівняння було б достатньо для визначення руху. Так як рух може бути в даному випадку цілком визначено рівнянням живої сили, то дійсний рух буде єдиним, що задовольняє цього рівняння, і тому не може бути порівнюваним з іншим рухом.
Коли я навчався в школі, наш учитель фізики, на прізвище Бадер, одного разу закликав мене до себе після уроку і сказав: «У тебе такий вигляд, ніби тобі все страшно набридло; послухай-но про одну цікаву річ». І він розповів мені щось, що мені здалося справді захоплюючим. Навіть зараз, хоча з тих пір пройшла вже безліч часу, це продовжує мене захоплювати. І щоразу, коли я згадую про сказане, я знову беруся до роботи. І цього разу, готуючись до лекції, я спіймав себе на тому, що знову аналізую те саме. І замість того, щоб готуватися до лекції, я взявся за рішення нового завдання. Предмет, про який я говорю, - це принцип найменшої дії.
Ось що сказав мені тоді мій вчитель Бадер: «Нехай, наприклад, у тебе є частка в полі тяжкості; ця частка, вийшовши звідкись, вільно кудись рухається в іншу точку. Ти підкинув її, скажімо, вгору, а вона злетіла, а потім упала.
Від вихідного місця до кінцевого часу вона пройшла за якийсь час. Спробуй тепер якийсь інший рух. Нехай для того, щоб перейти звідси сюди, вона рухалася вже не так, як раніше, а ось так:
але все одно опинилася на потрібному місців той самий момент часу, що й раніше».
«І ось, - продовжував учитель, - якщо ти підрахуєш кінетичну енергію в кожний момент часу на шляху частки, віднімаєш з неї потенційну енергію і проінтегруєш різницю по всьому тому часу, коли відбувався рух, то побачиш, що число, яке вийде, буде більшим , ніж за істинному русі частки.
Іншими словами, закони Ньютона можна сформулювати не у вигляді, а ось як: середня кінетична енергія мінус середня потенційна енергія досягає свого самого найменшого значенняна тій траєкторії, якою предмет рухається насправді від місця до іншого.
Спробую пояснити тобі трохи зрозуміліше.
Якщо взяти поле тяжіння і позначити траєкторію частки , де - висота над землею (обійдемося поки одним виміром; нехай траєкторія пролягає тільки вгору і вниз, а не в сторони), то кінетична енергія буде , а потенційна енергія у довільний момент часу дорівнюватиме .
Тепер я для якогось моменту руху траєкторією беру різницю кінетичної та потенційної енергій і інтегрую по всьому часу від початку до кінця. Нехай у початковий момент часу рух почався на якійсь висоті, а скінчився в момент на іншій висоті.
Тоді інтеграл дорівнює
.
Справжній рух відбувається за деякою кривою (як функція часу вона є параболою) і призводить до якогось певному значеннюінтеграл. Але можна уявити якийсь інший рух: спершу різке піднесення, а потім якісь химерні коливання.
Давайте перевіримо це. Спочатку розберемо такий випадок: у вільної частки зовсім немає потенційної енергії. Тоді правило говорить, що при переході від однієї точки до іншої за заданий час інтеграл від кінетичної енергії має бути найменшим. А це означає, що частка повинна рухатися поступово. (І це правильно, ми ж з тобою знаємо, що швидкість у такому русі постійна.) А чому рівномірно? Розберемося в цьому. Якби було інакше, то часом швидкість частинки перевищила б середню, а часом була б нижчою від неї, а середня швидкість була б однаковою, тому що частинці треба було б дійти «звідси сюди» за обумовлений час. Наприклад, якщо тобі потрібно потрапити з дому до школи на своїй машині за певний час, то зробити це можна по-різному: ти можеш спершу гнати, як божевільний, а в кінці пригальмувати, або їхати з однаковою швидкістю, або спочатку можеш навіть вирушити в зворотний біка вже потім повернути до школи, і т. д. У всіх випадках середня швидкість, звичайно, повинна бути однією і тією ж - приватна від розподілу відстані від будинку до школи на час. Але і за даної середньої швидкостіти іноді рухався надто швидко, а іноді надто повільно. А середній квадрат чогось, що відхиляється від середнього, як відомо, завжди більше квадратасереднього; отже, інтеграл від кінетичної енергії при коливаннях швидкості руху завжди буде більшим, ніж при русі з постійною швидкістю. Ти бачиш, що інтеграл досягне мінімуму, коли швидкість буде постійною (за відсутності сил). Правильний шляхтакий.
Предмет же, підкинутий у поле тяжкості вгору, спершу піднімається швидко, а потім дедалі повільніше. Відбувається це тому, що він має і потенційну енергію, а найменшого значення має досягати різниця між кінетичною та потенційною енергіями. Якщо потенційна енергія зростає в міру підйому, то менша різниця вийде, якщо якнайшвидше досягти тих висот, де потенційна енергія велика. Тоді, віднімаючи з кінетичної енергії цей високий потенціал, ми досягнемо зменшення середнього. Так що вигідніший такий шлях, який йде вгору і постачає добрий негативний шматок потенційної енергії.
Але, з іншого боку, не можна ні рухатися дуже швидко, ні піднятися занадто високо, тому що на це потрібно занадто багато кінетичної енергії. Потрібно рухатися досить швидко, щоб піднятися і спуститися за певний час, що є у твоєму розпорядженні. Тож не слід намагатися злетіти надто високо, а просто треба досягти якогось розумного рівня. У результаті виявляється, що рішення є своєрідною рівновагою між бажанням роздобути якнайбільше потенційної енергії та бажанням якнайсильніше зменшити кількість кінетичної енергії - це прагнення домогтися максимального зменшення різниці кінетичної та потенційної енергій».
Ось і все, що сказав мені вчитель, бо він був дуже хороший вчительі знав, коли час зупинитися. Сам я, на жаль, не такий. Мені важко вчасно зупинитися. І тому замість того, щоб просто розпалити у вас інтерес своєю розповіддю, я хочу залякати вас, хочу, щоб вам стало нудно від складності життя, - спробую довести те, про що я розповів. Математична задача, яку ми вирішуватимемо, дуже важка і своєрідна. Є певна величина, звана дією. Вона дорівнює кінетичній енергії мінус потенційна, проінтегрована за часом:
.
Не забудьте, що і п. та к. е. - Обидві функції часу. Для будь-якого нового мислимого шляху ця дія набуває свого певного значення. Математична задача полягає в тому, щоб визначити, для якої кривої це число менше, ніж для інших.
Ви скажете: «О, це просто звичайний приклад на максимум та мінімум. Треба підрахувати дію, продиференціювати її та знайти мінімум».
Але зачекайте. Зазвичай у нас буває функція якоїсь змінної і потрібно знайти значення змінної, при якому функція стає найменшою чи найбільшою. Скажімо, є стрижень, нагрітий посередині. По ньому розтікається тепло і в кожній точці стрижня встановлюється температура. Потрібно знайти точку, де вона найвища. Але в нас мова йдеЗовсім про інше - кожному шляху у просторі відповідає своє число, і передбачається знайти той шлях, для якого це число є мінімальним. Це зовсім інша область математики. Не звичайне обчислення, а варіаційне (так його називають).
У цій галузі математики є багато своїх завдань. Скажімо, коло зазвичай визначають як геометричне місце точок, відстані яких від цієї точки однакові, але коло можна визначити й інакше: це те з кривих даної довжини, яке обмежує собою найбільшу площу. Будь-яка інша крива такого ж периметра обмежує площу меншу, ніж коло. Так що якщо поставити завдання: знайти криву даного периметра, що обмежує найбільшу площу, то перед нами буде задача з варіаційного обчислення, а не з обчислення, до якого ви звикли.
Отже, ми хочемо взяти інтеграл шляхом, пройденим тілом. Зробимо так. Вся справа в тому, щоб уявити собі, що існує істинний шлях і що будь-яка інша крива, яку ми проведемо, - не справжній шлях, тому якщо підрахувати для неї дію, то вийде число, що перевищує те, яке ми отримаємо для дії, що відповідає справжньому шляху.
Отже, завдання: знайти справжній шлях. Де він пролягає? Один з способів звичайно, міг би полягати в тому, щоб підрахувати дію для мільйонів та мільйонів шляхів і потім подивитися, при якому шляху ця найменша дія. Ось той шлях, при якому дія мінімальна, і буде справжньою.
Такий спосіб цілком можливий. Однак, можна зробити простіше. Якщо є величина, що має мінімумом (із звичайних функцій, скажімо, температура), то одна з властивостей мінімуму полягає в тому, що при віддаленні від нього на відстань першого порядку малості функція відхиляється від мінімального значення тільки на величину другого порядку. А в будь-якому іншому місці кривий зрушення на малу відстань змінює значення функції теж на величину першого порядку трішки. Але в мінімумі легкі відходи у бік у першому наближенні не призводять до зміни функції.
Це властивість ми й збираємося використовувати для розрахунку справжнього шляху.
Якщо шлях правильний, то крива, трохи відмінна від нього, не приведе в першому наближенні до зміни у величині дії. Усі зміни, якщо це був справді мінімум, виникнуть лише у другому наближенні.
Це легко довести. Якщо при якомусь відхиленні від кривої виникають зміни в першому порядку, ці зміни в дії пропорційні відхилення. Вони, ймовірно, збільшать дію; інакше це не був би мінімум. Але якщо зміни пропорційні відхилення, зміна знака відхилення зменшить дію. Виходить, що при відхиленні в один бік дія зростає, а при відхиленні у зворотний бік – зменшується. Єдина можливість того, щоб це дійсно був мінімум, - щоб у першому наближенні жодних змін не відбувалося і зміни були б пропорційні квадрату відхилення від справжнього шляху.
Отже, ми підемо наступному шляху: позначимо через (з межею внизу) істинний шлях - той, який ми хочемо знайти. Візьмемо деякий пробний шлях, який відрізняється від шуканого на невелику величину, яку ми позначимо.
Ідея полягає в тому, що якщо ми підрахуємо дію на шляху, то різниця між цим і тим дією, яке ми обчислили для шляху (для простоти воно буде позначено), або різниця між і, повинна бути в першому наближенні по нулю. Вони можуть відрізнятися у другому порядку, але у першому різницю має бути банкрутом.
І це має дотримуватися для будь-якої. Втім, не зовсім для будь-якої. Метод вимагає брати до уваги тільки ті шляхи, які всі починаються і закінчуються в одній і тій же парі точок, тобто всякий шлях повинен починатися в певній точці в момент і закінчуватися в іншій точці в певній . Ці точки та моменти фіксуються. Так що наша функція (відхилення) повинна дорівнювати нулю на обох кінцях: і . При цій умові наше математичне завдання стає цілком певним.
Якби ви не знали диференціального обчислення, ви могли б зробити таку ж річ для пошуку мінімуму нормальної функції. Ви б задумалися над тим, що трапиться, якщо взяти і додати до малу величину , і доводили б, що поправка до в першому порядку повинна в мінімумі дорівнювати нулю. Ви б підставили натомість і розклали б з точністю до першого ступеня, словом, повторили б усе те, що ми маємо намір зробити з .
Отже, ідея наша полягає в тому, що ми підставляємо 
у формулу для дії
,
де через позначено потенційну енергію. Похідна - це, природно, похідна від плюс похідна від , так що для дії я отримую такий вираз:
.
Тепер це потрібно розписати детальніше. Для квадратичного доданку я отримаю
.
Але заждіть! Адже мені не потрібно дбати про порядки вище за перший. Я можу прибрати всі доданки, в яких є і вищі ступеня, і зсипати їх у ящик під назвою «другий і вищі порядки». З цього виразу туди потрапить лише один другий ступінь, але з чогось іншого можуть увійти й вищі. Отже, частина, пов'язана з кінетичною енергією, Така:
Далі нам потрібен потенціал у точках. Я вважаю малою і можу розкласти до Тейлора. Приблизно це буде; у наступному наближенні (через те, що тут стоять звичайні похідні) поправка дорівнює , помноженої на швидкість зміни стосовно і т. д.:
.
Для економії місця я позначив через похідну . Доданок з і всі, що стоять за ним, потрапляють у категорію «другий та вищі порядки». І про них більше нема чого турбуватися. Об'єднаємо все, що залишилося:
Якщо ми тепер уважно поглянемо на це, то побачимо, що два перші написані тут члени відповідають тій дії, яку я написав би для шуканого істинного шляху. Я хочу зосередити вашу увагу на зміні, тобто на різниці між тим, що вийшло б для істинного шляху. Цю різницю ми записуватимемо як і назвемо її варіацією. Відкидаючи «другий та вищі порядки», отримуємо для
.
Тепер завдання має такий вигляд. Ось переді мною якийсь інтеграл. Я не знаю ще, яке це , але я твердо знаю, що, яку я не візьму, цей інтеграл повинен дорівнювати нулю. «Ну що ж, подумаєте ви, єдинаможливість для цього - це щоб множник при дорівнював нулю». Але як бути з першим доданком, де є? Ви скажете: «Якщо звертається до ніщо, то і її похідна таке ж ніщо; значить, коефіцієнт повинен теж бути нулем ». Ну це не зовсім правильно. Це не зовсім вірно тому, що між відхиленням та його похідною є зв'язок; вони не повністю незалежні, тому що має бути банкрутом і при і при .
При вирішенні всіх завдань варіаційного обчислення завжди користуються одним і тим самим загальним принципом. Ви трохи зрушуєте те, що хочете варіювати (подібно до того, як це зробили ми, додаючи ), кидаєте погляд на члени першого порядку, потім розставляєте все так, щоб вийшов інтеграл у такому вигляді: «зсув, помножений на що вийде», але щоб у ньому був ніяких похідних від (ніяких ). Неодмінно треба так все перетворити, щоб залишилося «щось», помножене на . Тепер ви зрозумієте, чому це так важливо. (Існують формули, які підкажуть вам, як у деяких випадках можна це зробити без будь-яких викладок; але вони не такі вже спільні, щоб варто було заучувати їх; найкраще робити викладки так, як це робимо ми.)
Як я можу переробити член, щоб у ньому з'явилося? Я можу досягти цього, інтегруючи частинами. Виявляється, що в варіаційному обчисленні весь фокус у тому і полягає, щоб розписати варіацію і потім проінтегрувати частинами так, щоб похідні від зникли. У всіх завданнях, у яких з'являються похідні, проходить такий самий фокус.
Пригадайте загальний принцип інтегрування частинами. Якщо у вас є довільна функція, помножена на і проінтегрована по, то ви розписуєте похідну від:
.
У інтегралі, що вас цікавить, стоїть якраз останній доданок, так що
.
У нашій формулі за функцію приймається твір на ; тому я отримую для вираз
У перший член мають бути підставлені межі інтегрування та . Тоді я отримаю під інтегралом член від інтегрування частинами і останній член, що залишився при перетворенні незмінним.
А тепер відбувається те, що буває завжди – проінтегрована частина зникає. (А якщо не зникає, то потрібно переформулювати принцип, додавши умови, що забезпечують таке зникнення!) Ми вже говорили, що на кінцях шляху має дорівнювати нулю. Адже в чому полягає наш принцип? У тому, що дія мінімальна за умови, що крива, що варіюється, починається і закінчується в обраних точках. Це означає, що і . Тому проінтегрований член виходить рівним нулю. Ми збираємо докупи інші члени і пишемо
.
Варіація тепер набула такого вигляду, який ми хотіли їй надати: щось стоїть у дужках (позначимо його), і все це помножено на і проінтегровано від до.
У нас вийшло, що інтеграл від якогось виразу, помноженого на , завжди дорівнює нулю:
.
Варто якась функція від ; множу її на і інтегрую її від початку до кінця. І яка б не була, я отримую нуль. Це означає, що функція дорівнює нулю. Загалом це очевидно, але я про всяк випадок покажу вам один із способів доказу.
Нехай як я виберу щось, що дорівнює нулю всюди, при всіх, крім одного, заздалегідь обраного значення. Воно залишається нулем, поки я не дійду до цього, потім воно підскакує на мить і одразу ж облягає назад. Якщо ви берете інтеграл від цієї , помноженої на якусь функцію , то єдине місце, в якому ви отримаєте щось ненульове, - там, де підскакувало; і у вас вийде значення в цьому місці на інтеграл по стрибку. Сам собою інтеграл по стрибку не дорівнює нулю, але після множення він повинен дати нуль. Значить, функція там, де був стрибок, має виявитися нулем. Але стрибок можна було зробити в будь-якому місці; отже, має бути банкрутом усюди.
Ми бачимо, що якщо наш інтеграл дорівнює нулю за будь-якої , то коефіцієнт повинен звернутися в нуль. Інтеграл дії досягає мінімуму на тому шляху, який задовольнятиме такому складному диференціальному рівнянню:
.
Насправді вона не така вже й складна; ви його вже зустрічали раніше. Це просто . Перший член – це маса, помножена на прискорення; другий – це похідна від потенційної енергії, тобто сила.
Отже, ми показали (принаймні для консервативної системи), що принцип найменшої дії призводить до правильної відповіді; він стверджує, що шлях, який має мінімум дії,- це шлях, що задовольняє закону Ньютона.
Потрібно зробити ще одне зауваження. Я не довів, що це щонайменше. Можливо, це максимум. Насправді це і не обов'язково має бути мінімум. Тут так само, як у «принципі найкоротшого часу», який ми обговорювали, вивчаючи оптику. Там теж ми спершу говорили про найкоротший час. Однак з'ясувалося, що бувають положення, в яких цей час не обов'язково найкоротший. Фундаментальний принцип полягає в тому, щоб для будь-яких відхилень першого порядку від оптичного шляхузміни в часі дорівнювали б нулю; тут та сама історія. Під «мінімумом» ми насправді маємо на увазі, що в першому порядку трохи зміни величини при відхиленнях від шляху повинні дорівнювати нулю. І це не обов'язково "мінімум".
Тепер я хочу перейти до деяких узагальнень. Насамперед усю цю історію можна було б зробити й у трьох вимірах. Замість простого я тоді мав би і як функції, і дія виглядала б складніше. При тривимірному русі потрібно використовувати повну кінетичну енергію: , помножене на квадрат всієї швидкості. Інакше кажучи,
.
Крім того, потенційна енергія тепер є функцією , і . А що можна сказати про шлях? Шлях є деяка крива загального виглядув просторі; її не так легко накреслити, але ідея залишається незмінною. А як справи з ? Що ж, має три компоненти. Шлях можна зрушувати і по , і по , і по або у всіх трьох напрямках одночасно. Тож тепер вектор. Від цього сильних ускладнень не виходить. Якщо нулю повинні дорівнювати лише варіації першого порядку, можна провести розрахунок послідовно з трьома зрушеннями. Спершу можна зрушити лише у напрямку і сказати, що коефіцієнт повинен звернутися в нуль. Вийде одне рівняння. Потім ми посунемо в напрямку і отримаємо друге. Потім посунемо в напрямку і отримаємо третє. Можна все, якщо завгодно, зробити в іншому порядку. Як би там не було, виникає трійка рівнянь. Але закон Ньютона - це теж три рівняння у трьох вимірах, по одному для кожної компоненти. Вам надається самим переконатися, що це діє і в трьох вимірах (роботи тут не так багато). Між іншим, можна взяти будь-яку систему координат, полярну, будь-яку, і відразу отримати закони Ньютона стосовно цієї системи, розглядаючи, що вийде, коли відбудеться зрушення вздовж радіусу або по кутку, і т.д.
Метод може бути узагальнений і на довільне числочастинок. Якщо, скажімо, у вас є дві частинки і між ними діють якісь сили і є взаємна потенційна енергія, то ви просто складаєте їх кінетичні енергії та віднімаєте із суми потенційну енергію взаємодії. А що ви варіюєте? Шляхи обох частинок. Тоді для двох частинок, що рухаються у трьох вимірах, виникає шість рівнянь. Ви можете варіювати положення частинки 1 у напрямку , у напрямку та у напрямку , і те саме зробити з часткою 2, так що існує шість рівнянь. І так і має бути. Три рівняння визначають прискорення частки 1 через силу, що діє на неї, а три інших - прискорення частки 2 через силу, що діє на неї. Дотримуйтесь завжди тих же правил гри, і ви отримаєте закон Ньютона для довільної кількості частинок.
Я сказав, що ми отримаємо закон Ньютона. Це не зовсім правильно, тому що до закону Ньютона входять і неконсервативні сили, наприклад тертя. Ньютон стверджував, що одно всякої . Принцип найменшої дії справедливий лише для консервативних систем, таких, де всі сили можуть бути отримані з потенційної функції. Але ж ви знаєте, що на мікроскопічному рівні, тобто на глибинному фізичному рівні, неконсервативних сил не існує. Неконсервативні сили (такі, як тертя) з'являються лише від того, що ми нехтуємо складними мікроскопічними ефектами: просто занадто багато частинок доводиться аналізувати. Фундаментальні закони можуть бути виражені у вигляді принципу найменшої дії.
Дозвольте перейти до подальших узагальнень. Припустимо, нас цікавить, що буде, коли частка рухається релятивістською. Поки що ми не отримали правильного релятивістського рівняння руху; вірно лише у нерелятивістських рухах. Постає питання: чи існує у релятивістському випадку відповідний принцип найменшої дії? Так, існує. Формула у релятивістському випадку така:
Перша частина інтеграла дії - це твір маси спокою на і інтеграл від функції швидкості. Потім замість того, щоб віднімати потенційну енергію, ми маємо інтеграли від скалярного потенціалу та від векторного потенціалу, помноженого на . Звичайно, тут прийняті до уваги лише електромагнітні сили. Усі електричні та магнітні поля виражені в термінах і . Така функція дії дає повну теорію релятивістського руху окремої частки електромагнітному полі.
Звичайно, ви повинні розуміти, що всюди, де я написав , перш ніж робити викладки, слід підставити замість і т. д. Крім того, там, де я писав просто , , , Ви повинні уявити крапки в момент : , , . Власне, тільки після таких підстановок та замін у вас вийде формула для дії релятивістської частки. Нехай найуміліші з вас спробують довести, що ця формула для дії справді дає правильні рівняннярух теорії відносності. Дозвольте лише порадити для початку відкинути, тобто обійтися поки що без магнітних полів. Тоді ви повинні отримати компоненти рівняння руху , де, як ви, ймовірно, пам'ятаєте, 
.
Включити до розгляду векторний потенціал набагато складніше. Варіації тоді стають незрівнянно складнішими. Але в кінці сила виявляється рівною тому, що слід: . Але побавтеся з цим самі.
Мені хотілося б підкреслити, що в загальному випадку(наприклад, у релятивістській формулі) під інтегралом у дії не стоїть різниця кінетичної і потенційної енергій. Це годилося лише у нерелятивістському наближенні. Наприклад, член 
– це не те, що називають кінетичною енергією. Питання, яким має бути дія для довільного окремого випадку, може бути вирішено після деякої кількості проб і помилок. Це завдання того ж типу, що і визначення, якими мають бути рівняння руху. Ви просто повинні пограти з відомими вам рівняннями та подивитися, чи можна їх написати у вигляді принципу найменшої дії.
Ще одне зауваження щодо термінології. Ту функцію, яку інтегрують за часом, щоб отримати дію, називають лагранжіаном. Це функція, яка залежить тільки від швидкостей та положень частинок. Отже, принцип найменшої дії записується також у вигляді
,
де під і маються на увазі всі компоненти координат та швидкостей. Якщо ви коли-небудь почуєте, що хтось говорить про «лагранжіану», знайте, що йдеться про функцію, яка використовується для отримання . Для релятивістського руху в електромагнітному полі
.
Крім того, я повинен відзначити, що найприскіпливіші і педантичні людине називають дією. Його називають «першою основною функцією Гамільтона». Але читати лекцію про «принцип найменшої першої головної функціїГамільтона» було понад мої сили. Я назвав це «дією». До того ж все більше і більше людейназивають це «дією». Чи бачите, історично дією було названо щось інше, не таке корисне для науки, але я думаю, що розумніше змінити визначення. Тепер і ви почнете називати нову функцію дією, а незабаром і всі взагалі називатимуть її цим простим ім'ям.
Тепер я хочу повідомити вас про нашу тему дещо, схоже на ті міркування, які я вів з приводу принципу найкоротшого часу. Існує різниця в самій суті закону, який стверджує, що деякий інтеграл, взятий від однієї точки до іншої, має мінімум - закону, який повідомляє нам щось про весь шлях відразу, і закону, який говорить, що коли ви рухаєтеся, то, отже, є сила, яка веде до прискорення. Другий підхід повідомляє вам про кожен ваш крок, він простежує ваш шлях п'ядь за п'яддю, а перший видає відразу якесь загальне твердження про весь пройдений шлях. Толкуючи про світло, ми говорили про зв'язок цих двох підходів. Тепер я хочу пояснити вам, чому мають існувати диференціальні закони, якщо є такий принцип – принцип найменшої дії. Причина ось у чому: розглянемо справді пройдений у просторі та часі шлях. Як і раніше обійдемося одним виміром, так що можна буде накреслити графік залежності від . Уздовж істинного шляху сягає мінімуму. Припустимо, що ми маємо цей шлях і що він проходить через деяку точку простору і часу і через іншу сусідню точку .
Тепер, якщо весь інтеграл від до досяг мінімуму, необхідно, щоб інтеграл уздовж маленької ділянки від до теж був мінімальним. Не може бути, щоб частина до хоч трохи перевищувала мінімум. Інакше ви могли б спонукати туди-сюди криву на цій ділянці і знизити трохи значення всього інтеграла.
Отже, будь-яка частина шляху теж має давати мінімум. Та це справедливо для будь-яких малих часточок дороги. Тому той принцип, що весь шлях має давати мінімум, можна сформулювати, сказавши, що нескінченно мала часточка шляху – це теж така крива, на якій дія мінімальна. І якщо ми візьмемо досить короткий відрізок шляху - між дуже близькими один до одного точками і, - то вже неважливо, як змінюється потенціал від точки до точки вдалині від цього місця, тому що, проходячи весь ваш коротенький відрізок, ви майже не сходите з місця . Єдине, що вам потрібно враховувати, - це зміна першого порядку трішки в потенціалі. Відповідь може залежати лише від похідної потенціалу, а чи не від потенціалу інших місцях. Так, твердження про властивість всього шляху загалом стає твердженням про те, що відбувається на короткій ділянці шляху, тобто диференціальним твердженням. І це диференціальне формулювання включає похідні від потенціалу, тобто силу в даній точці. Таке якісне пояснення зв'язку між законом загалом та диференціальним законом.
Коли ми говорили про світло, то обговорювали також питання: як усе-таки частка знаходить правильний шлях? З диференціальної точки зору це легко зрозуміти. У кожен момент частка відчуває прискорення і знає тільки те, що їй належить робити цієї миті. Але всі ваші інстинкти причин і наслідків встають дибки, коли ви чуєте, що частка «вирішує», який їй вибрати шлях, прагнучи до мінімуму дії. Чи не «обнюхує» вона сусідні шляхи, прикидаючи, до чого вони приведуть - до більшої чи меншої дії? Коли ми на шляху світла ставили екран так, щоб фотони не могли перепробувати всі шляхи, ми з'ясували, що вони не можуть вирішити яким шляхом йти, і отримали явище дифракції.
Але чи це правильно і для механіки? Чи правда, що частка не просто «йде вірним шляхом», а переглядає всі інші мислимі траєкторії? І що якщо, ставлячи перепони її шляху, ми дамо їй заглядати вперед, ми отримаємо якийсь аналог явища дифракції? Найдивовижніше у всьому цьому - те, що все дійсно так. Саме це затверджують закони квантової механіки. Отже, наш принцип найменшої дії сформульований не повністю. Він полягає не в тому, що частка обирає шлях найменшої дії, а в тому, що вона «чує» всі сусідні шляхи і вибирає той, уздовж якого дія мінімальна, і спосіб цього вибору подібний до того, яким світло відбирає найкоротший час. Ви пам'ятаєте, що спосіб, яким світло забирає найкоротший час, такий: якщо світло підепо дорозі, що вимагає іншого часу, то прийде він з іншою фазою. А повна амплітуда в деякій точці є сумою вкладів амплітуд для всіх шляхів, якими світло може її досягти. Всі шляхи, у яких фази різко різняться, нічого після складання не дають. Але якщо вам удалося знайти всю послідовність шляхів, фази яких майже однакові, то дрібні вклади складуться, і в точці прибуття повна амплітуда набуде помітного значення. Найважливішим шляхомстає той, біля якого є безліч близьких шляхів, що дають ту саму фазу.
В точності те саме відбувається і в квантовій механіці. Закінчена квантова механіка (нерелятивістська і нехтує спином електрона) працює так: ймовірність того, що частка, вийшовши з точки 1 в момент, досягне точки 2 в момент, дорівнює квадрату амплітуди ймовірності. Повна амплітуда може бути записана у вигляді суми амплітуд для всіх можливих шляхів- Для будь-якого шляху прибуття. Для будь-якого, яке могло б виникнути для будь-якої уявної траєкторії, потрібно підрахувати амплітуду. Потім їх треба скласти. Що ми приймемо за амплітуду ймовірності деякого шляху? Наш інтеграл дії говорить нам, якою має бути амплітуда окремого шляху. Амплітуда пропорційна, де - дія на цьому шляху. Це означає, що якщо ми представимо фазу амплітуди у вигляді комплексного числа, то фазовий кут дорівнюватиме . Дія має розмірність енергії на якийсь час, і у постійної Планка розмірність така ж. Це стала, яка визначає, коли потрібна квантова механіка.
І ось як усе це спрацьовує. Нехай для всіх шляхів дія буде дуже великою в порівнянні з числом. Нехай якийсь шлях призвів до певної величини амплітуди. Фаза поруч прокладеного шляху виявиться зовсім іншою, тому що при величезному навіть незначні зміни різко змінюють фазу (адже надзвичайно мало). Значить, поруч шляхи, що лежать, при складанні зазвичай гасять свої вклади. І тільки в одній області це не так - в тій, де і шлях і його сусід - обидва в першому наближенні мають одну і ту ж фазу (або, точніше, майже однією і тією ж дією, що змінюється в межах). Тільки такі шляхи і беруться до уваги. А в граничному випадку, коли постійна Планкапрагне до нуля, правильні квантовомеханічні закони можна підсумувати, сказавши: «Забудьте про всі ці амплітуди ймовірностей. Частка і справді рухається по особливим шляхом- саме за тим, яким у першому наближенні не змінюється». Такий зв'язок між принципом найменшої дії та квантовою механікою. Та обставина, що у такий спосіб можна сформулювати квантову механіку, було відкрито 1942 р. учнем того самого вчителя, містера Бадера, про якого я вам розповідав. [Спочатку квантова механіка була сформульована за допомогою диференціального рівняннядля амплітуди (Шредінгер), а також за допомогою деякої матричної математики (Гейзенберг).
Тепер я хочу поговорити про інші принципи мінімуму у фізиці. Є багато цікавих принципів такого роду. Я не буду їх все перераховувати, а назву ще один. Пізніше, коли ми дістанемося до одного фізичного явища, Для якого існує чудовий принцип мінімуму, я розповім вам про нього. А зараз хочу показати, що необов'язково описувати електростатику за допомогою диференціального рівняння для поля; можна замість цього вимагати, щоб деякий інтеграл мав максимум або мінімум. Спочатку візьмемо випадок, коли щільність зарядів відома всюди, а потрібно знайти потенціал у будь-якій точці простору. Ви вже знаєте, що відповідь має бути такою:
Інший спосіб стверджувати те саме полягає в наступному: треба обчислити інтеграл
;
це об'ємний інтеграл. Він береться у всьому просторі. При правильному розподілі потенціалу цей вираз сягає мінімуму.
Ми можемо показати, що ці твердження щодо електростатики еквівалентні. Припустимо, що ми вибрали довільну функцію . Ми хочемо показати, що коли ми візьмемо правильне значення потенціалу плюс мале відхилення , то першому порядку малості зміна буде дорівнює нулю. Тож ми пишемо
тут це те, що ми шукаємо; але ми проварюємо , щоб побачити, яким він має бути для того, щоб варіація виявилася першим порядком малості. У першому члені нам потрібно написати
Єдиний член першого порядку, який змінюватиметься, такий:
У другому члені підінтегральний вираз набуде вигляду
змінна частина тут дорівнює. Залишаючи тільки члени, що міняються, отримаємо інтеграл
.
Це потрібно проінтегрувати по , і . І тут напрошується той же фокус: щоб позбавитися від , ми проінтегруємо вроздріб. Це призведе до додаткового диференціювання з . Це та сама основна ідея, за допомогою якої ми позбулися похідних по . Ми користуємось рівністю
.
Проінтегрований член дорівнює нулю, оскільки вважаємо рівним нулю на нескінченності. (Це відповідає обігу в нуль при і . Так що наш принцип більш точно формулюється наступним чином: для правильного менше, ніж для будь-якого іншого , що володіє тими ж значеннями на нескінченності.) Потім ми зробимо те саме з і з . Наш інтеграл звернеться до
.
Щоб ця варіація дорівнювала нулю при будь-якому довільному , коефіцієнт повинен дорівнювати нулю. Значить,
Ми повернулися до нашого старого рівняння. Отже, наша «мінімальна» пропозиція вірна. Його можна узагальнити, якщо трохи змінити викладки. Повернемося назад і проінтегруємо частинами, але розписуючи все покомпонентно. Почнемо з того, що напишемо таку рівність:
Продиференціювавши ліву частину, я можу показати, що вона точно дорівнює правій. Це рівняння підходить для того, щоб провести інтегрування частинами. У нашому інтегралі ми замінюємо на 
і потім інтегруємо це за обсягом. Член із дивергенцією після інтегрування за обсягом замінюється інтегралом по поверхні:
А оскільки ми інтегруємо по всьому простору, то поверхня у цьому інтегралі лежить на нескінченності. Значить, і ми отримуємо колишній результат.
Тільки тепер ми починаємо розуміти, як вирішувати завдання, у яких ми не знаємо, де розташовані всі заряди. Нехай ми маємо провідники, на яких якось розподілено заряди. Якщо потенціали на всіх провідниках зафіксовані, наш принцип мінімуму все ще дозволяється застосовувати. Інтегрування в ми проведемо тільки по області, що лежить зовні всіх провідників. Але якщо ми не можемо на провідниках змінювати, то на їх поверхні, і поверхневий інтеграл.
теж дорівнює нулю. Об'ємне інтегрування, що залишається
потрібно робити лише у проміжках між провідниками. І ми, звичайно, знову отримуємо рівняння Пуассона
Ми показали, що наш початковий інтеграл досягає мінімуму і тоді, коли він обчислюється в просторі між провідниками, кожен з яких знаходиться при фіксованому потенціалі [це означає, що кожна пробна функція повинна дорівнювати заданому потенціалу провідника, коли - точки поверхні провідника ].
Існує цікавий окремий випадокколи заряди розташовані тільки на провідниках. Тоді
і наш принцип мінімуму говорить нам, що у випадку, коли кожен провідник має свій заздалегідь заданий потенціал, потенціали в проміжках між ними приганяються так, що інтеграл виявляється якнайменше. А що то за інтеграл? Член – це електричне поле. Отже, інтеграл – це електростатична енергія. Правильне поло і є єдине, яке з усіх полів, одержуваних як градієнт потенціалу, відрізняється найменшою повною енергією.
Я хотів би скористатися цим результатом, щоб вирішити якесь приватне завдання і показати вам, що всі ці речі мають реальне практичне значення. Припустимо, що я взяв два провідники у формі циліндричного конденсатора.
У внутрішнього провідника потенціал дорівнює, скажімо, а у зовнішнього - нулю. Нехай радіус внутрішнього провідника дорівнюватиме, а зовнішнього -. Тепер ми можемо припустити, що розподіл потенціалів між ними – будь-який. Але якщо ми візьмемо правильне значення та обчислимо 
, то має вийти енергія системи. Тож за допомогою нашого принципу можна підрахувати і ємність. Якщо ж ми візьмемо неправильне розподілення потенціалу і спробуємо цим методом прикинути ємність конденсатора, то прийдемо до занадто великому значеннюємності при фіксованому. Будь-який гаданий потенціал, не точно збігається з істинним його значенням, призведе і до невірної величини, більшої, ніж потрібно. Але якщо невірно обраний потенціал є ще грубим наближенням, то ємність вийде вже з хорошою точністю, тому що похибка - величина другого порядку в порівнянні з похибкою в .
Припустимо, що мені невідома ємність циліндричного конденсатора. Тоді, щоб дізнатися про неї, я можу скористатися цим принципом. Я просто відчуватиму в якості потенціалу різні функції до тих пір, поки не досягну нижчого значення. Допустимо, наприклад, що я вибрав потенціал, що відповідає постійному полю. (Ви, звичайно, знаєте, що насправді поле тут не завжди; воно змінюється як .) Якщо поле постійно, то це означає, що потенціал лінійно залежить від відстані. Щоб напруга на провідниках була якою потрібно, функція повинна мати вигляд
Навіть коли (а це призводить вже до досить великим відмінностямміж постійним та лінійним полем), я досі отримую досить стерпне наближення. Відповідь, звичайно, як і очікувалося, трохи завищена. Але якщо тонкий зволікання помістити всередині великого циліндра, то все виглядає вже набагато гірше. Тоді поле змінюється дуже сильно та заміна його постійним полемні до чого доброго не приводить. У ми завищуємо відповідь майже вдвічі. Для малих становище виглядає набагато краще. У протилежній межі, коли проміжок між провідниками не дуже широкий (скажімо, при ), постійне поле виявляється дуже хорошим наближенням, воно дає значення з точністю до десятих відсотка.
А тепер я розповім вам, як удосконалити цей розрахунок. (Відповідь для циліндра вам, зрозуміло, відома, але той самий спосіб годиться і для деяких інших незвичайних форм конденсаторів, для яких правильна відповідь вам може бути і не відома.) Наступним кроком буде пошук кращого наближення для невідомого нам істинного потенціалу. Скажімо, можна випробувати константу плюс експоненту і т. д. Але як ви дізнаєтеся, що у вас вийшло найкраще наближення, якщо ви не знаєте істинного? Відповідь: Підрахуйте; чим вона нижча, тим до істини ближче. Давайте перевіримо цю ідею. Нехай потенціал буде не лінійним, а, скажімо, квадратичним, а електричне поле не постійним, а лінійним. Найзагальніша квадратична форма, яка звертається до. Я отримаю свого мінімуму. Звертаючись до звичайного диференційного числення, я переконуюсь, що мінімум
1,1 відповідь виходить 10,492065 замість належного 10,492070. Там, де слід очікувати хорошої відповіді, він виявляється дуже хорошим.
Я навів усі ці приклади, по-перше, щоб продемонструвати теоретичну цінність принципу мінімальної діїі взагалі всяких принципів мінімуму, і, по-друге, щоб показати вам їхню практичну корисність, а зовсім не для того, щоб підрахувати ємність, яку ми й так чудово знаємо. Для будь-якої іншої форми ви можете випробувати наближене поле з кількома невідомими параметрами (на зразок) і підігнати їх під мінімум. Ви отримаєте чудові чисельні результати у завданнях, які в інший спосіб не вирішуються.
