Рівняння менделєєвого клапейрону газові закони. Газові закони

Якщо розглядати деяку кількість газу, то емпірично отримано, що тиск (), обсяг () та температура () повністю характеризують цю масу газу як термодинамічну систему, якщо цей газ можна подати у вигляді сукупності нейтральних молекул, які не мають дипольних моментів. У стані термодинамічної рівноваги пов'язані між собою рівняння стану.

ВИЗНАЧЕННЯ

Рівняння стану газу у вигляді:

(де - газу; - молярна масагазу; Дж/Моль К - універсальна газова стала; температура повітря в Кельвінах:) було вперше отримано Менделєєвим.

Його легко отримати з рівняння Клапейpона:

враховуючи, що відповідно до закону Авогадро одна моль будь-якого газу при нормальних умовахзаймає об'єм л. При цьому виходить, що:

Рівняння (1) називають рівнянням Менделєєва-Клапейpона. Іноді його записують як:

де - кількість речовини (кількість молей газу).

Рівняння Менделєєва-Клапейpона отримано на основі встановлених емпірично газових законів. Як і газові закони, рівняння Менделєєва-Клапейpона є наближеним. Для різних газів межі застосування даного рівняннярізні. Наприклад, для гелію рівняння (1) справедливе в ширшому діапазоні температур, ніж для Вуглекислий газ. Абсолютно точним рівнянняМенделєєва-Клапейpона є для ідеального газу. Особливістю якого є те, що його внутрішня енергіяпропорційна абсолютної температуриі не залежить від обсягу, який займає газ.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва – Клапейрона).

До цього розглядалися газові процеси, при яких один із параметрів стану газу залишався незмінним, а два інших змінювалися. Тепер розглянемо загальний випадокколи змінюються всі три параметри стану газу і отримаємо рівняння, що зв'язує всі ці параметри. Закон, що описує такі процеси, було встановлено 1834г. Клапейрон (французький фізик, з 183г. працював у Петербурзькому інституті шляхів сполучення) шляхом об'єднання розглянутих вище законів.

Нехай є деякий газ масою "m". На діаграмі (P, V) розглянемо два його довільні стани, що визначаються значеннями параметрів P 1 , V 1 , T 1 і P 2 , V 2 , T 2 . Зі стану 1 у стан 2 будемо переводити газ двома процесами:

1. ізотермічного розширення (1®1¢);

2. ізохоричного охолодження (1¢®2).

Перший етап процесу описується законом Бойля-Маріотта, тому

Другий етап процесу описується законом Гей-Люссака:

Виключаючи з цих рівнянь, отримаємо:

Оскільки стани 1 і 2 були взяті абсолютно довільно, то можна стверджувати, що для будь-якого стану:

де З – стала для цієї маси газу величина.

Недоліком цього рівняння і те, що величина “C” різна для різних газів, Для усунення цього недоліку Менделєєв у 1875р. дещо видозмінив закон Клапейрона, об'єднавши його із законом Авогадро.

Запишемо отримане рівняння обсягу V км. одного 1 кіломолю газу, позначивши постійну буквою "R":

Відповідно до закону Авогадро при однакових значеннях P і T кіломоли всіх газів матимуть однакові обсяги V км. і, отже, постійна “R” однакова всім газів.

Постійна "R" називається універсальною газовою постійною. Отримане рівняння пов'язує параметри кіломолюідеального газу і, отже, становить рівняння стану ідеального газу.

Значення постійної "R" можна обчислити:

Від рівняння для 1кмоль легко перейти до рівняння для будь-якої маси газу “m”, врахувавши, що при однакових тисках та температурі “z” кіломолей газу займатимуть у ”z” раз більший об'єм, ніж 1 кмоль. (V=z×V км).

З іншого боку, відношення , де m – маса газу, m – маса 1 кмоля, визначатиме кількість молей газу.

Помножимо обидві частини рівняння Клапейрона на величину, отримаємо

Це і є рівняння стану ідеального газу, записане для будь-якої маси газу.

Рівнянню можна надати інший вигляд. Для цього введемо величину

де R- Універсальна газова постійна;

N A- Число Авогадро;

Підстановка числових значень Rі N Aдає наступне значення:

Помножимо та розділимо праву частинурівняння на N A, Тоді , тут - число молекул у масі газу "m".

З урахуванням цього

Вводячи величину – число молекул в одиниці об'єму, приходимо до формули: ідеальною газовою шкалою температур.

Практично, за міжнародною угодою, як термометричне тіло беруть водень. Встановлена ​​водню з використанням рівняння стану ідеального газу шкала називається емпіричною шкалою температур.

Як уже зазначалося, стан деякої маси газу визначається трьома термодинамічні параметри: тиском р,обсягом Vта температурою Т.

Між цими параметрами існує певний зв'язок рівнянням стану,яке в загальному виглядідається виразом

f(Р,V,Т)=0,

де кожна із змінних є функцією двох інших.

Французький фізик та інженер Б. Клапейрон (1799-1864) вивів рівняння стану ідеального газу, об'єднавши закони Бойля – Маріотта та Гей-Люссака. Нехай деяка маса газу займає обсяг V 1 , має тиск р 1 і знаходиться при температурі Т 1 . Ця ж маса газу в іншому довільному стані характеризується параметрами р 2 , V 2 , Т 2 (рис.63). Перехід із стану 1 у стан 2 здійснюється у вигляді двох процесів: 1) ізотермічного (ізотерму 1 -1 "), 2) ізохорного (ізохора 1 "-2).

Відповідно до законів Бойля - Маріотта (41.1) та Гей-Люссака (41.5) запишемо:

p 1 V 1 =p" 1 V 2 , (42.1)

p" 1 /p" 2 = T 1 / T 2. (42.2)

Виключивши з рівнянь (42.1) та (42.2) р" 1 , отримаємо

p 1 V 1 /T 1 =p 2 V 2 / Т 2 .

Бо стану 1 і 2 були обрані довільно, то для даної маси газу

величина pV/Tзалишається постійною,

pV/T = B=const.(42.3)

Вираз (42.3) є рівнянням Клапейрона,в котрому У- газова постійна, різна для різних газів.

Російський вчений Д. І. Менделєєв (1834-1907) об'єднав рівняння Клапейрона із законом Авогадро, віднісши рівняння (42.3) до одного молю, використавши молярний об'єм V т . Відповідно до закону Авогадро, за однакових рі Тмолі всіх газів займають однаковий молярний об'єм V m , тому постійна Убуде однаковою всім газів.Ця загальна для всіх газів постійна позначається Rі називається молярної газової постійної.Рівнянню

pV m = RT(42.4)

задовольняє лише ідеальний газ, і воно є рівнянням стану ідеального газу,званим також рівнянням Клапейрона – Менделєєва.

Числове значення молярної газової постійної визначимо з формули (42.4), вважаючи, що моль газу знаходиться за нормальних умов (р 0 = 1,013 10 5 Па, T 0 =273,15 K:, V m = 22,41 10 -3 м 3 /моль): R = 8,31 Дж/(моль К).

Від рівняння (42.4) для моляться газу можна перейти до рівняння Клапейрона - Менделєєва для довільної маси газу. Якщо за деяких заданих тисків і температури один моль газу займає молярний об'єм l/m, то при тих же умовах маса т газузайме обсяг V = (m/M) V m , де М- молярна маса(Маса одного молячи речовини). Одиниця молярної маси – кілограм на моль (кг/моль). Рівняння Клапейрона – Менделєєва для маси т газу

де v = m/M- кількість речовини.

Часто користуються дещо іншою формою рівняння стану ідеального газу, вводячи постійну Больцмана:

k=R/N А =1,38 10 -2 3 Дж/К.

Виходячи з цього, рівняння стану (42.4) запишемо у вигляді

p = RT/V m = kN A T/V m = nkT,

де N A / V m = n-Концентрація молекул (число молекул в одиниці об'єму). Таким чином, із рівняння

p = nkT(42.6)

слід, що тиск ідеального газу за даної температури прямо пропорційно концентрації його молекул (або щільності газу). При однакових температурах і тиску всі гази містять в одиниці об'єму однакове числомолекул. Число молекул, що містяться в 1 м 3 газу при нормальних умов,називається числомЛошмідта :

N L = P0 /(kT 0 ) = 2,68 10 25 м-3.

Як уже вказувалося, стан деякої маси визначається трьома термодинамічних параметрів: тиском р, об'ємом V і температурою Т. Між цими параметрами існує певний зв'язок, званий рівнянням стану.

Французький фізик Б.Клапейрон вивів рівняння стану ідеального газу, об'єднавши закони Бойля-Маріотта та Гей-Люссака.

1) ізотермічного (ізотерму 1-1¢),

2) ізохорного (ізохора 1¢-2).

Відповідно до законів Бойля-Маріотта (1.1) та Гей-Люссака (1.4) запишемо:

Виключивши з рівнянь (1.5) і (1.6) p 1 ", отримаємо

Оскільки стану 1 і 2 було обрано довільно, то цієї маси газу величина залишається постійної, тобто.

. (1.7)
Вираз (1.7) є рівнянням Клапейрона, в якому В - постійна газова, різна для різних газів.

Російський учений Д. І. Менделєєв об'єднав рівняння Клапейрона із законом Авогадро, віднісши рівняння (1.7) до одного молю, використавши молярний об'єм V m . Відповідно до закону Авогадро, при однакових р і Т молі всіх газів займають однаковий молярний обсяг V m , тому постійна буде однакова для всіх газів. Ця загальна для всіх газів постійна позначається R і називається молярної газової постійної. Рівнянню

задовольняє лише ідеальний газ, і воно є рівнянням стану ідеального газу, званим також рівнянням Менделєєва-Клапейрона.

Числове значеннямолярної газової постійної визначимо з формули (1.8), вважаючи, що моль газу знаходиться за нормальних умов (р 0 =1,013×10 5 Па, Т 0 =273,15 К, V m =22,41×10 -3 м 3 / моль): R=8,31 Дж/(моль К).

Від рівняння (1.8) для моля газу можна перейти до рівняння Клапейрона-Менделєєва для довільної маси газу. Якщо за деякому заданому тиску і температурі один моль газу займає об'єм V m , то за тих самих умов маса m газу займе об'єм , де М - молярна маса(Маса одного молячи речовини). Одиниця молярної маси – кілограм на моль (кг/моль). Рівняння Клапейрона-Менделєєва для маси m газу

де – кількість речовини.

Часто користуються дещо іншою формою рівняння стану ідеального газу, вводячи постійну Больцмана :

Виходячи з цього, рівняння стану (1.8) запишемо у вигляді

де - Концентрація молекул (число молекул в одиниці об'єму). Таким чином, із рівняння

р = nkT (1.10)
слід, що тиск ідеального газу при даній температурі прямо пропорційно концентрації його молекул (або щільності газу). За однакових температур і тиску всі гази містять в одиниці об'єму однакове число молекул. Число молекул, що містяться в 1 м 3 газу за нормальних умов, називається числом Лошмідта:

Основне рівняння молекулярно-кінетичної

Теорії ідеальних газів

Для виведення основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії розглянемо ідеальний одноатомний газ. Припустимо, що молекули газу рухаються хаотично, число взаємних зіткнень між ними зневажливо мало в порівнянні з числом ударів об стінки судини, а зіткнення молекул зі стінками судини абсолютно пружні. Виділимо на стінці судини деяку елементарний майданчик DS (рис.50) і обчислимо тиск, що чиниться на цей майданчик.

За час Dt майданчика DS досягнуто лише ті молекули, які укладені в об'ємі циліндра з основою DS та висотою Dt (рис. 50).

Число цих молекул дорівнює nDSDt (n-концентрація молекул). Необхідно, однак, враховувати, що реально молекули рухаються до майданчика DS під різними кутамиі мають різні швидкості, причому швидкість молекул при кожному зіткненні змінюється. Для спрощення розрахунків хаотичний рух молекул замінюють рухом вздовж трьох взаємно перпендикулярних напрямків, так що у будь-який момент часу вздовж кожного з них рухається 1/3 молекул, причому половина (1/6) рухається вздовж даного напрямув один бік, половина-в протилежну. Тоді число ударів молекул, що рухаються в заданому напрямку, площа DS буде 1/6nDS Dt. При зіткненні з майданчиком ці молекули передадуть їй імпульс

Газ - один із чотирьох агрегатних станів, у яких може бути речовина.

Частинки, з яких складається газ, дуже рухливі. Вони практично вільно і хаотично рухаються, періодично стикаючись один з одним подібно до більярдних куль. Таке зіткнення називають пружним зіткненням . Під час зіткнення вони різко змінюють характер свого руху.

Бо в газоподібних речовинвідстань між молекулами, атомами та іонами набагато перевищує їх розміри, то між собою ці частинки взаємодіють дуже слабо, та їх потенціальна енергіявзаємодії дуже мала порівняно з кінетичною.

Зв'язки між молекулами у реальному газі складні. Тому досить складно описувати залежність його температури, тиску, об'єму від властивостей самих молекул, їх кількості, швидкості їх руху. Але завдання значно спрощується, якщо замість реального газу розглядати його математичну модель - ідеальний газ .

Передбачається, що в моделі ідеального газу між молекулами немає сил тяжіння та відштовхування. Усі вони рухаються незалежно один від одного. І до кожної з них можна застосувати закони класичної механікиНьютон. А між собою вони взаємодіють лише під час пружних зіткнень. Час зіткнення дуже мало в порівнянні з часом між зіткненнями.

Класичний ідеальний газ

Спробуємо уявити молекули ідеального газу маленькими кульками, що знаходяться у величезному кубі великій відстаніодин від одного. Через цю відстань вони можуть одне з одним взаємодіяти. Отже, їхня потенційна енергія дорівнює нулю. Але ці кульки рухаються із величезною швидкістю. А значить, мають кінетичною енергією. Коли вони стикаються один з одним і зі стінками куба, вони поводяться як м'ячики, тобто пружно відскакують. При цьому вони змінюють напрямок свого руху, але не змінюють швидкості. Приблизно виглядає рух молекул в ідеальному газі.

1. Потенційна енергія взаємодії молекул ідеального газу настільки мала, що її нехтують порівняно з кінетичною енергією.
2. Молекули в ідеальному газі також мають настільки маленькі розміри, що їх можна вважати матеріальними точками. А це означає, що і їх сумарний обсягтакож мізерно малий порівняно з обсягом судини, в якій знаходиться газ. І цим обсягом також нехтують.
3. Середній час між зіткненнями молекул набагато перевищує час їхньої взаємодії при зіткненні. Тому часом взаємодії нехтують також.

Газ завжди набуває форми судини, в якій знаходиться. Частки, що рухаються, стикаються один з одним і зі стінками судини. Під час удару кожна молекула діє стінку з деякою силою протягом дуже короткого проміжку часу. Так виникає тиск . Сумарний тиск газу складається із тисків усіх молекул.

Рівняння стану ідеального газу

Стан ідеального газу характеризують три параметри: тиск, Об `ємі температура. Залежність з-поміж них описується рівнянням:

де р - тиск,

V M - молярний об'єм,

R - універсальна газова постійна,

T - Абсолютна температура (градуси Кельвіна).

Так як V M = V / n , де V - Об `єм, n - кількість речовини, а n = m/M , то

де m - Маса газу, М - молярна маса. Це рівняння називається рівнянням Менделєєва-Клайперона .

При постійній масі рівняння набуває вигляду:

Це рівняння називають об'єднаним газовим законом .

Використовуючи закон Менделєєва-Клайперона, можна визначити один із параметрів газу, якщо відомі два інші.

Ізопроцеси

За допомогою рівняння об'єднаного газового закону можна досліджувати процеси, в яких маса газу та один із найважливіших параметрів – тиск, температура чи обсяг – залишаються постійними. У фізиці такі процеси називаються ізопроцесами .

З об'єднаного газового закону випливають інші найважливіші газові закони: закон Бойля-Маріотта, закон Гей-Люссака, закон Шарля, чи другий закон Гей-Люссака.

Ізотермічний процес

Процес, у якому змінюються тиск чи об'єм, але температура залишається постійною, називається ізотермічним процесом .

При ізотермічному процесі T = const, m = const .

Поведінка газу в ізотермічному процесі описує закон Бойля-Маріотта . Цей закон відкрили експериментальним шляхом англійський фізик Роберт Бойльу 1662 р. та французький фізик Едм Маріоттв 1679 р. до того ж зробили вони це незалежно друг від друга. Закон Бойля-Маріотта формулюється так: В ідеальному газі при постійній температурітиск тиску газу на його обсяг також постійно.

Рівняння Бойля-Маріотта можна вивести із об'єднаного газового закону. Підставивши у формулу Т = const , отримуємо

p · V = const

Це і є закон Бойля-Маріотта . З формули видно, що тиск газу при постійній температурі обернено пропорційно його об'єму. Чим вищий тиск, тим менший обсяг, і навпаки.

Як пояснити це явище? Чому ж при збільшенні обсягу газу його тиск стає меншим?

Так як температура газу не змінюється, то не змінюється і частота ударів молекул об стінки судини. Якщо збільшується обсяг, то концентрація молекул стає меншою. Отже, на одиницю площі доведеться менше молекул, які стикаються зі стінками в одиницю часу. Тиск падає. При зменшенні обсягу кількість зіткнень, навпаки, зростає. Відповідно зростає і тиск.

Графічно ізотермічний процесвідображають на площині кривої, яку називають ізотермою . Вона має форму гіперболи.

Кожному значенню температури відповідає своя ізотерма. Чим вище температура, тим вище розташована ізотерма, що їй відповідає.

Ізобарний процес

Процеси зміни температури та об'єму газу при постійному тиску, називаються ізобарними . Для цього процесу m=const, P=const.

Залежність обсягу газу від його температури при незмінному тиску також була встановлена експериментальним шляхом французьким хімікомта фізиком Жозефом Луї Гей-Люссаком, що опублікував його в 1802 р. Тому її називають законом Гей-Люссака : " Пр та постійному тиску відношення обсягу постійної масигазу для його абсолютної температури є постійною величиною".

При Р = const рівняння об'єднаного газового закону перетворюється на рівняння Гей-Люссака .

Приклад изобарного процесу - газ, що усередині циліндра, у якому переміщається поршень. При підвищенні температури зростає частота ударів молекул об стінки. Збільшується тиск, і поршень піднімається. Через війну збільшується обсяг, зайнятий газом в циліндрі.

Графічно ізобарний процесвідображається прямою лінією, яка називається ізобарою .

Чим більший тиску газі, тим нижче розташована на графіку відповідна ізобара.

Ізохорний процес

Ізохорним, або ізохоричним, називають процес зміни тиску та температури ідеального газу при постійному обсязі.

Для ізохорного процесу m=const, V=const.

Уявити такий процес дуже просто. Він відбувається у посудині фіксованого обсягу. Наприклад, у циліндрі, поршень у якому не рухається, а жорстко закріплений.

Ізохорний процес описується законом Шарля : « Для даної маси газу при постійному обсязі його тиск пропорційно температурі». Французький винахідник і вчений Жак Олександр Сезар Шарль встановив цю залежність з допомогою експериментів 1787 р. У 1802 р. її уточнив Гей-Люссак. Тому цей закон іноді називають Другим законом Гей-Люссака.

При V = const із рівняння об'єднаного газового закону отримуємо рівняння закону Шарля, або другого закону Гей-Люссака .

При постійному обсязі тиск газу збільшується, якщо його температура збільшується .

На графіках ізохорний процесвідображається лінією, яка називається ізохорою .

Чим більший обсяг займаний газом, тим нижче розташована ізохора, що відповідає цьому обсягу.

Насправді жоден параметр газу неможливо підтримувати незмінним. Це можна зробити лише в лабораторних умовах.

Звісно, ​​у природі ідеального газу немає. Але в реальних розріджених газах за дуже низької температури та тиску не вище 200 атмосфер відстань між молекулами набагато перевищує їх розміри. Тому їх властивості наближаються до властивостей ідеального газу.