У яких випадках використається теорема штейнера. Теорема Штейнера

У наведених прикладах осі проходять через центр інерції тіла. Момент інерції щодо інших осей обертання визначається за допомогою теореми Штейнера: момент інерції тіла щодо довільної осі обертання дорівнює сумімоменту інерціїJcщодо паралельної осі, що проходить через центр інерції тіла, та величини добутку маси тіла на квадрат відстані між ними. деmмаса тіла, а - відстань від центру інерції тіла до обраної осі обертання,тобто.

,деm- маса тіла, а - відстань від центру

інерції тіла до вибраної осі обертання.

Покажемо одному прикладі застосування теореми Штейнера. Обчислимо момент інерції тонкого стрижня щодо осі, що проходить через край перпендикулярно стрижню. Пряме обчисленнязводиться до того ж інтегралу (*), але взятому в інших межах:

Відстань до осі, що проходить через центр мас, дорівнює а = ℓ/2. По теоремі Штейнера отримуємо той самий результат.

.

§22.Основний закон динаміки обертального руху.

Формулювання закону: Швидкість зміни моменту імпульсу щодо полюса дорівнює головному моменту сили щодо того ж полюса,тобто.

.

У проекціях на осі координат:
.

Якщо обертання тіла відбувається щодо нерухомої осі, то основний закон динаміки обертального рухунабуде вигляду: . У даному випадкумомент імпульсу легко виразити через кутову швидкість і момент інерції тіла щодо осі, що розглядається:
. Тоді основний закон динаміки обертального руху набуде вигляду:
. Якщо тіло не розсипається та не деформується, то

, внаслідок чого
. Якщо до всього
, то
і, воно одно:
.

Елементарна робота, що здійснюється моментом сили, при обертальному русі щодо нерухомої осі обчислюється за формулою:
(*). Повна робота
. Якщо
, то
.

На підставі формули (*), отримаємо вираз для кінетичної енергіїобертального руху твердого тіла щодо нерухомої осі. Т.к.
, те. Після інтегрування отримаємо остаточний результат для кінетичної енергії обертального руху щодо нерухомої осі
.

§23.Закон збереження моменту імпульсу.

Як зазначалося, закони збереження енергії та імпульсу пов'язані з однорідністю часу та простору, відповідно. Але тривимірний простір, на відміну одномірного часу, має ще одну симетрію. Простір сам по собі ізотропно,у ньому немає виділених напрямів. З цією симетрією пов'язаний закон збереженнямоменту імпульсу.Цей зв'язок проявляється в тому, що момент кількості руху є однією з основних величин, що описують обертальний рух.

За визначенням момент імпульсу окремої частки дорівнює .

Напрямок вектора Lвизначається за правилом свердла (штопора), а його величина дорівнює L = r p sin , де

 кут між напрямками радіус-вектора частинки та її імпульсу. Величина ℓ = r sin дорівнює відстані від початку координат Продо прямої, вздовж якої спрямований імпульс частки. Ця величина називається плечем імпульсу.Вектор Lзалежить від вибору початку координат, тому говорячи про нього, зазвичай вказують: "Момент імпульсу щодо точки Про".

Розглянемо похідну за часом від моменту імпульсу:

.

Перше доданок дорівнює нулю, т.к. . У другому доданку, згідно з другим законом Ньютона, похідну за імпульсом можна замінити на силу, що діє на тіло. Векторний витвіррадіус-вектор на силу називається моментом силищодо точки В:.

Напрямок моменту сили визначається тим самим правилом свердла. Його величина М = r F sin , де

 кут між радіус-вектором та силою. Аналогічно тому, як це було зроблено вище, визначається і плече сили

ℓ = r sin - Відстань від точки Продо лінії дії сили. У результаті отримуємо рівняння руху на момент імпульсу частки: .

За формою рівняння аналогічне другому закону Ньютона: замість імпульсу частки стоїть момент імпульсу, а замість сили - момент сили. Якщо
,то
, тобто. момент імпульсу постійний відсутність зовнішніх моментів сил.

Формулювання закону: Момент імпульсу замкнутої системищодо полюса не змінюється з часом.

У окремому випадку обертання щодо нерухомої осі, маємо:
, де

 початкові момент інерції та кутова швидкістьтіла щодо осі, що розглядається, а

кінцеві момент інерції і кутова швидкість тіла щодо осі, що розглядається.

Закон збереження повної механічної енергії з урахуванням обертального руху: Повна механічна енергія консервативної системи стала: .

Приклад: Знайти швидкість системи під час проходження відстані h.

Дано: m, M, h. Знайти: V -?

тобто. момент інерції тіла щодо
довільної осі OZ дорівнює моменту інерції
тіла щодо осі OZq, що проходить через
центр мас тіла паралельно осі OZ, плюс
добуток маси тіла на квадрат відстані
між осями OZ та OZq. Це твердження іноді
називають теорема про паралельні осіабо
теорема Штейнера.Саме тому дуже
важливо знати (або вміти обчислювати) моменти
інерції різних тілщодо осей OZq,
проходять через центр мас тіла.
Розрахунок моменту інерції

проводиться на практиці таким чином:
якщо тверде тіло суцільне, його можна
розбити на нескінченно велику кількість
нескінченно малих частин маси dm = pdV, де

р - густина тіла в даному місці, a dV - об'єм
шматочка dm, і сумування замінити на
інтегрування обсягом тіла V, тобто.

де Rq – відстань від шматочка dm до осі OZo.

Як приклад обчислимо момент інерції
тонкого однорідного стрижня (довжиною L та масою
М) щодо перпендикулярної йому осі,
проходить через його середину (центр мас

тонкого однорідного стрижня знаходиться в його
середині). Направимо вісь ОХ вздовж стрижня і
помістимо початок координат у середині стрижня

Вкажемо ще для прикладу, що момент інерції
порожнистого циліндра масою М і радіусом R
щодо осі циліндра дорівнює MR 2 . Якщо ж
циліндр суцільний, то його момент інерції

Розглянуті вище найпростіші види
руху твердого тіла- поступальне
рух і обертання - особливо важливі тому,
що будь-який довільний рух твердого тіла
зводиться до них. Можна суворо довести, що
довільний рух твердого тіла можна
подати у вигляді сукупності поступального
руху всього тіла зі швидкістю будь-якої
його точки О та обертання навколо осі, що проходить
через цю точку. При цьому швидкість
поступального руху v 0 залежить від того,
яку саме точку ми вибрали.

сказати, що кутова швидкість має "абсолютний"
характер, тобто можна говорити про кутовий
швидкості обертання твердого тіла, не вказуючи
при цьому через яку саме точку проходить вісь
обертання. А поступальна швидкість v 0 такого
"абсолютного" характеру немає. Зазвичай у
як точку О вибирають центр мас тіла.
Переваги такого вибору з'ясуються нижче.

5. Плоский рух

Розглянемо найпростіший вид
довільного рухутвердого тіла, так
зване плоский рух,коли всі крапки
тіла рухаються в паралельних площинах,
орієнтація яких у просторі залишається
незмінною, а тіло обертається навколо осі,
перпендикулярною до цих площин.

Розглянемо плоский рух у
нерухомий ISO XYZ, причому площина XOY
сумісний з площиною руху частинок,
якої знаходиться центр мас тіла, швидкість
якого v 0 = у цм щодо нерухомої
системи вважатимемо швидкістю

поступального руху тіла (швидкість v 0 ,
природно, розташована у площині XOY).
Далі вважатимемо, що всі сили f k ,

діють на тіло, паралельні площині
XOY. Тоді рівняння поступального руху
тіла можна записати у вигляді:

центру мас тіла. Рівняння (3.12) проектується
на осі ОХ та OY.

Рівняння обертального руху тіла
навколо осі OZq,проходить через центр мас
тіла перпендикулярно до нерухомої площини

XOY, збігається формою з рівнянням
обертального руху тіла навколо
закріпленої осі (3.9):

Останнє твердження (його можна суворо
довести!) виглядає досить дивним, оскільки
рівняння (3.9) було написано щодо ІСО,
система ж відліку (вісь OZo), в якій
відбувається обертання тіла, не є
інерційною, оскільки центр мас тіла рухається з
прискоренням а 0 . Проте це так, і пов'язаний

цей факт саме з тим, що ми вибрали в
як точка О при розгляді
поступального руху центр ваги тіла. При
рішенні конкретних завданьрівняння (3.12) та
(3.13) слід ще доповнити кінематичними

Момент інерції визначається як , якщо розподіл маси рівномірно, то замінюється на – елементарний обсяг – щільність речовини. .

Теорема Штейнера: момент інерції щодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції щодо осі, паралельної даної і проходить через центр інерції тіла, і добутку маси тала на квадрат відстані між осями: .

Момент інерції:

1) однорідного тонкого стрижня маси, довжини щодо осі, що проходить через центр мас і перпендикулярну до стрижня:

2) однорідного тонкого стрижня маси довжини щодо осі, що проходить через один з кінців стрижня:

3) тонкого кільця маси радіуса R щодо осі симетрії, перпендикулярній площинікільця:

4) однорідного диска (циліндра) маси, радіуса R, висоти h щодо осі симетрії, перпендикулярної основи: .

21. Кінетична енергія твердого тіла, що обертається.

При обертанні тіла з кутовою швидкістю все його елементарні масирухаються зі швидкістю вони володіють кінетичною енергією, - Для тіла, що обертається навколо нерухомої осі. При обертанні на матеріальні точки маси, що утворюють тверде тіло, діють як зовнішні, і внутрішні сили. За проміжок часу зазнає переміщення, при цьому сили виконують роботу. Робота всіх сил дорівнюватиме. При складанні з урахуванням 3 закону Ньютона сума робіт внутрішніх сил= 0. Отже, . Відповідно до теореми про кінетичну енергію, збільшення кінетичної енергії = роботі всіх сил, що діють на тіло .

Обчислимо кінетичну енергію твердого тіла, що здійснює довільний плоский рух. всі точки рухаються у паралельних площинах. Обертання відбувається навколо осі, перпендикулярно до площин, і рухається разом з деякою точкою О. Швидкість матеріальної точкимаси представимо у вигляді. Тіло переміщається поступально, отже, - вираз кінетичної енергії тіла, що здійснює довільний плоский рух. Якщо в якості точки вибрати центр мас, тоді і .

Гіроскопи.

Гіроскоп(або дзига) – масивне тверде тіло, симетричне деякої осі, що здійснює обертання навколо неї з великою кутовою швидкістю. У силу симетрії гіроскопа виконується. При спробі повернути гіроскоп, що обертається, навколо деякої осі спостерігається гіроскопічний ефект- під дією сил, які, здавалося б, повинні були викликати поворот осі гіроскопа ГО навколо прямої О'O', вісь гіроскопа повертається навколо прямої О''О'' а пряма О''О'' і сили f1 і f2 перпендикулярними до цієї площини). Пояснення ефекту грунтується використання рівняння моменту . Момент імпульсу повертається навколо осі ОХ через співвідношення . Разом із навколо ОХ повертається і гіроскоп. Внаслідок гіроскопічного ефекту на підшипнику, на якому обертається гіроскоп, починають діяти гіроскопічні сили. Під впливом гіроскопічних сил вісь гіроскопа прагнути зайняти становище, паралельне кутовий швидкості обертання Землі.

Описана поведінка гіроскопа покладена в основу гіроскопічного компасу. Переваги гіроскопа: вказує точний напрямок на географічний північний полюс, його робота не схильна до впливу металевих предметів.

Прецесія гіроскопа – особливий виглядруху гіроскопа має місце в тому випадку, якщо момент, що діє на гіроскоп зовнішніх сил, Залишаючись постійним за величиною, повертається одночасно з віссю гіроскопа, утворюючи з нею весь час прямий кут. Розглянемо рух гіроскопа з однією закріпленою точкою на осі під дією сили тяжіння - відстань від закріпленої точки до центру інерції гіроскопа - кут між гіроскопом і вертикаллю. спрямований момент перпендикулярно вертикальній площині, що проходить через вісь гіроскопа. Рівняння руху: збільшення імпульсу = Отже, змінює своє положення в просторі таким чином, що його кінець описує коло в горизонтальній площині. За проміжок часу гіроскоп повернувся на ріг вісь гіроскопа описує конус навколо вертикальної осіз кутовою швидкістю - Кутова швидкість прецесії.

Існує ряд геометричних завдань, які зачаровують кожного, хто з волі випадку стикається з ними. Очевидно, це було характерно для геометрії навіть у давній час. Варто лише згадати три знамениті завданнядавнину - подвоєння куба, трисекцію кута і квадратуру кола. Спроби вирішити ці завдання сприяли розвитку нових гілок математики. Навіть зараз існують псевдоматематики, які надсилають у редакції «вирішення» цих завдань та вимагають публікації чи доказу хибності своїх «рішень».

Одна теорема, що завжди збуджувала інтерес, може бути сформульована наступним чином:

Якщо трикутнику дві бісектриси рівні, цей трикутник є равнобедренным.

Це на вигляд просте твердження не має простого класичного доказу. Цей факт тим більше дивний, що замінивши слово "бісектриси" на "медіани" або "висоти", отримуємо твердження, докази яких є елементарними.

Ця теорема була надіслана великому шведському геометру, члену Берлінської академії наук, Якобу Штейнеру в 1840 Крістіаном Лудольфом Лемусом, німецьким математиком, професором Берлінського університету, з проханням дати суто геометричний доказ.

Якоб Штейнер

(1796-1863 )

Штейнер дав досить складний доказ, яка надихнула багатьох інших на пошуки більше простих методів. Роботи з теореми Штейнера - Лемуса з'являлися у різних журналах у 1842, 1844, 1848 роках і майже щороку з 1854 по 1864 рік, а також у велику кількістьта протягом наступного століття.

Доказ теореми Штейнера – Лемуса

Один із найпростіших доказів спирається на дві леми:

Лемма 1.

Якщо дві хорди кола стягують різні гострі кути з вершинами цього кола, то меншому куту відповідає менша хорда.

Доведення.

Дві рівні хорди стягують рівні кути з вершиною в центрі кола і рівні кути (як їх половини) з вершинами відповідних точкахна колі. З двох нерівних хорд коротша, перебуваючи далі від центру, стягує менший кут з вершиною в центрі і, отже, менший гострий кутз вершиною на колі.

Лемма 2.

У трикутнику з двома різними кутами менший кут має більшу бісектрису.

Доведення.

Нехай ABC — трикутник, у якому кут B менший за кут C , як на малюнку вище; нехай відрізки BM і CN ділять навпіл кути B і C. Ми хочемо довести, що BM< CN . Возьмем точку M′ на отрезке BM так, чтобы

∠M′CN = 1/2 ∠B.

Тому що цей кут дорівнює куту M′BN , то чотири точки N, B, C, М′ лежать на одному колі. Оскільки

∠B< 1 / 2 (∠B + ∠C) < 1 / 2 (∠A + ∠B + ∠C) ,

то

∠CBN< ∠M′CB < 90° .

По лемі 1: CN< M′B . Следовательно, BM >BM '> CN.

Повернемося тепер безпосередньо до підтвердження теореми Штейнера – Лемуса.Часто трапляється, що теорема може бути виражена у формі протилежної до зворотної - еквівалентної початкової. Наприклад, замість того, щоб сказати: "Усі люди смертні", ми можемо також сказатиБезсмертні не є люди". Замість доказу самої теореми Штейнера - Лемуса нам буде достатньо довести, що

якщо у трикутнику ABC ∠B ≠ ∠C , то BM ≠ CN.

Але це є прямий слідстволеми 2.

Лірико-математичний відступ

Наведений вище доказ цієї леми має цікаву історію. Воно було придумано двома англійськими інженерамиГ. Джильбертом і Д. Мак-Доннеллом і опубліковано 1963 року в журналі American Mathematical Monthlyз наступною редакційною приміткою:

Мартін Гарднер у своєму огляді книги Коксетера "Вступ до геометрії" описав цю знамениту теорему настільки цікаво, що сотні читачів надіслали йому свої докази. Він узяв на себе працю з обробки цього величезного матеріалу і вдосконалював його доти, доки не заблищала, очищена від нашарування, перлина, яку ми наводимо тут.

Деякі читачі можуть відчути незадоволеність тому, що "повітряний" доказ Джильберта і Мак-Доннелла є непрямим: замість самої теореми Штейнера - Лемуса вони доводять теорему, протилежну до зворотної (лема 2).

Було запропоновано кілька нібито прямих доказів; але кожне з них насправді є у прихованій формі непрямим. Це неважко зрозуміти, якщо згадати, що практично лише елементарні теореми доводяться повністю. Всі інші доводяться за допомогою інших, вже відомих теорем, які вишиковуються в ряд, що веде до аксіом. Не можна, строго кажучи, стверджувати, що якийсь доказ - прямий, якщо хоч одна з цих допоміжних теорем має опосередкований доказ. Більше того, деякі з найпростіших і основних теорем мають непрямі докази; отже, якби ми наполягали на абсолютно прямому доказі, то існуюче безліч теорем звелося б до невеликої кількості тривіальних.

Чи варто про це жалкувати? Великий англійський математик Годфрі Харольд Харді (1877-1947) говорив із цього приводу:

Reductio ad absurdum (лат. приведення до абсурду), таке улюблене Евклідом, є найтоншим інструментом математика. Воно є набагато тоншим гамбітом, ніж будь-який шаховий гамбіт: шахіст може запропонувати в жертву пішака або іншу фігуру, а математик пропонує в жертву всю гру.

Алгебраїчний доказ теореми Штейнера – Лемуса

Наведемо повне пряме, хоч і дещо важке, доказ теореми Штейнера - Лемуса. Для цього скористаємося наступною теоремою:

НехайХ - точка на стороніАС трикутникаАВС, причому АВ = з, НД = а, АС = b, ВХ = р, АХ = m, XC = n. Тоді

b (p 2 + mn) = a 2 m + c 2n.

Цей результат називається теорема Стюарта на честь англійського математика М. Стюарта, який сформулював її у праці «Деякі загальні теореми»(1746, Едінбург). Теорему повідомив Стюарт його вчитель Роберт Сімсон (1687-1768) який опублікував і довів цю теорему лише в 1749 році (за іншими відомостями, - в 1751 році).

Доведення.

За теоремою косінусів із трикутників АВХ та ВСХ маємо:

c 2 = р 2 + m 2 - 2рm · cos α,

а 2 = р 2 + n 2 - 2рn · cos (π - α ) = р 2 + n 2 + 2рn · cos α .

Тоді

c 2 n = р 2 n + m 2 n - 2рmn · cos α ,

а 2 m = р 2 m + n 2 m + 2 рmn · cos α

c 2 n + а 2 m = р 2 (m + n) + mn (m + n),

c 2 n + а 2 m = (m + n) (р 2 + mn) ,

c 2 n + а 2 m = b (р 2 + mn),

що й потрібно було довести.

Продовжимо міркування. Якщо р- бісектриса, то легко отримати, що

Тоді за теоремою Стюарта

Приступимо до безпосереднього доказу теореми Штейнера – Лемуса.

Нехай k та l - рівні бісектриси трикутника АВС, проведені до сторін АВ = з та НД = а . Тоді

k 2 = l 2

і, відповідно до отриманої вище рівності (*), маємо:

a((a - c)+ b) (b + c)2 + c((a - c)- b) (a + b) 2 = 0 ,

a(a - c) (b + c)2 + ab(b + c)2 + c(a - c) (a + b)2 - bc(a + b) 2 = 0 ,

(a - c) (a(b + c)2 + c(a + b) 2 ) + (ab(b + c)2 - bc(a + b) 2 ) = 0 ,

(a - c) (b 2(a + c)+ ac(a + c)+ 4abc) + b 3(a - c)- abc(a - c) = 0 ,

(a - c) ((a + c) (b 2 + ab)+ 3abc + b 3) = 0 ,

звідки

a - c = 0

і, отже,

а = с ,

що й потрібно було довести.

PS.

1. Ще з одним прямим доказом теореми Штейнера-Лемуса можна познайомитися на сайті Математика, яка мені подобається.

2. У радянській та російській літературіпоширений доказ, заснований на наступною ознакоюрівності трикутників:

якщо сторона, що протилежить цій стороні кут і бісектриса цього кута одного трикутника дорівнюють відповідним елементам іншого трикутника, то такі трикутники рівні .

Використані джерела: Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер "Нові зустрічі з геометрією" (Москва, "Наука" ДРФМЛ, 1978) та Вікіпедія.

Шановні відвідувачі сайту пропонує Вашій увазі роботу з математики на тему , де представлені матеріали теоретичного та практичного характеру, рекомендації щодо вирішення завдань з використанням зазначеної теореми.

Теорема Штейнера, або, як називається вона в інших джерелах, теорема Гюйгенса-Штейнера, отримала свою назву на честь її автора – Якоба Штейнера (швейцарського математика), а також завдяки доповненням – Християна Гюйгенса (голландського фізика, астронома та математика). Розглянемо коротко їх внесок у та інших наук.

Теорема Штейнера - про авторів теореми

Якоб Штейнер
(1796—1863)

Якоб Штейнер (1796—1863) — одне із , який вважається засновником, як синтетичної геометрії кривих ліній, і поверхонь другого і вищих порядків.

Що стосується Християна Гюйгенса, то його внесок у різні наукитеж малий. Він значно удосконалив (до 92-кратного збільшення зображення), відкрив кільця Сатурна і супутник його — Титан, а в 1673 році у своїй досить змістовній праці. Маятниковий годинник», Представив роботи з кінематики прискореного .

Теорема Штейнера - формулювання

Відповідно до теореми Штейнера встановлено, що момент інерції тіла при розрахунку відносно довільно осі відповідає сумі моменту інерції тіла щодо такої осі, яка проходить через центр мас і є паралельною даній осі, а також плюс добуток квадрата відстані між осями та маси тіла, за такою формулою (1):

J=J 0 +md 2 (1)

Де у формулі приймаємо відповідно величини: d - Відстань між осями ГО 1 ║О'O 1 ';
J 0 – момент інерції тіла, розрахований щодо осі, що проходить крізь центр мас і визначатиметься співвідношенням (2):

J 0 =J d =mR 2 /2(2)

Так як d = R, тоді і момент інерції щодо осі, яка проходить через вказану на малюнку точку А визначається формулою (3):

J =mR 2 +mR 2 /2 = 3 / 2mR 2(3)

Більше Детальна інформаціяпро теорему представлена ​​у рефераті та презентації, які можна завантажити за посиланнями перед статтею.

Теорема Штейнер. Момент інерції – зміст роботи

Вступ

Частина 1. Динаміка обертання твердого тіла
1.1. Моменти інерції кулі та диска
1.2. Теорема Гюйгенса-Штейнера
1.3. Динаміка обертального руху твердого тіла – теоретичні основи
Момент імпульсу
Момент сили
Момент інерції щодо осі обертання
Головний закон динаміки обертального руху твердого тіла щодо нерухомої осі