Що таке інтеграл миттєва швидкість? Що таке інтеграл, і який його фізичний зміст

Ми ходимо навколо і біля "застосування" одного числа до іншого, і дії, які ми використовуємо (повторне підсумовування, масштабування, дзеркальне відображенняабо обертання), можуть бути різними. Інтегрування - це лише один крок у цьому напрямі.

Концепція площі

Площа – дуже тонке поняття. на Наразі, представимо площу як візуальну інтерпретацію множення:

Ми можемо “застосовувати” числа на різних осях один до одного (3 застосовується до 4) та отримати результат (12 одиниць площі). Властивості кожного вступного значення(довжина та довжина) перетворилися на результат (одиниці площі).

Чи легко, правда? Не так, як здається на перший погляд. Множення може призвести до “ негативного результату” (3×(-4) = -12), якого немає.

Ми розуміємо графік як подання множення, і використовуємо цю аналогію через зручність. Якби всі були сліпими, і у світі не існувало діаграм, ми все одно добре справлялися б з множенням. Площа - це лише інтерпретація.

Розмноження частинами

А тепер давайте помножимо 3×4.5:



Що відбувається? Ну, 4.5 - це ціле число, але ми можемо скористатися “частковим” множенням. Якщо 3×4 = 3+3+3+3, то

3 × 4.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 × 0.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1.5 = 13.5

Ми беремо 3 (значення) 4.5 рази. Таким чином, ми об'єднали 3 із 4 повними сегментами (3×4=12), а також одним частковим сегментом (3×0.5=1.5).

Ми так звикли до множення, що навіть забуваємо, як чудово воно працює. Ми можемо розбити число на одиниці (цілі чи часткові), множити кожен шматочок і складати результати. Зверніть увагу, як ми легко розправилися з дрібною частиною? Це і є початок інтегрування.

Проблема з числами

Числа не завжди поводяться постійно для наших розрахунків. Сценарії типу "Ви їхали 3 години зі швидкістю 30 км/год" не мають нічого спільного з реальністю. Так умови описуються просто зручності.

Формули на кшталт “відстань = швидкість × час” лише маскують проблему; нам все ще потрібно брати постійні числаі множити. А як дізнатись пройдену відстань, якщо наша швидкість постійно змінювалася у часі?

Описуємо зміну

Першим випробуванням для нас буде опис числа, що змінюється. Ми можемо сказати: “Моя швидкість змінювалася з 0 до 30 км/ч”. Це не зовсім точно: як швидко вона змінювалася? Чи зміни були плавними?

Давайте будемо точні: моя швидкість у кожний момент часу дорівнювала подвоєній кількості секунд. За 1 секунду я рухався зі швидкістю 2 км/год. У 2 секунду швидкість вже була 4 км/год, у 3 секунду - вже 6 км/год, і так далі:



Ось тепер у нас є гарний описдосить докладний, щоб знати свою швидкість в кожний момент часу. Формальний опис звучить як "швидкість - це функція часу", і він означає, що ми можемо взяти будь-який момент часу (t) і дізнатися про нашу швидкість в той момент ("2t" км/год).

(Це, звичайно, не дає відповіді на питання, чому швидкість і час пов'язані. Я можу прискорюватися за рахунок гравітації, або ослик може штовхати мене ззаду. Ми лише встановили, що зі зміною часу змінюється і швидкість).

Наш твір "відстань = швидкість × час", можливо, краще написати так:

відстань = швидкість(t) × t

де швидкість (t) – це швидкість у будь-який момент часу. У нашому випадку швидкість (t) = 2t, тому ми пишемо:

відстань = 2t × t

Але це рівняння виглядає дивним! "t" як і виглядає як одиничний момент, який потрібно вибирати (наприклад, t = 3 секунди), а значить і швидкість (t) набуде одиничного значення (6 км/год). А це недобре.

При звичайному множенні ми можемо взяти одну швидкість і припустити, що вона однакова у всьому прямокутнику. Але змінна швидкість вимагає суміщення швидкості і часу частинами (секунда за секундою). Кожного моменту ситуація може бути різною.

Ось як це виглядає у великій перспективі:

• Звичайне множення (прямокутник): беремо відстань, на яку ми просунулися за секунду, припускаючи, що ця величина була постійною в наступні секунди руху, і "масштабуємо її".
• Інтегрування (частинами): розглядаємо час як ряд миттєвостей, у кожну з яких швидкість різна. Підсумовуємо відстані, пройдені посекундно.

Ми бачимо, що звичайне множення- це окремий випадокінтегрування, коли кількість пройдених метрів не змінюється.

Наскільки велика ця "частина"?

Наскільки велика "частина", при проходженні дистанції частинами? Секунда? Міллісекунда? Наносекунда?

Відповідь навскідку: досить мала, щоб значення було постійним весь час. Нам не потрібна ідеальна точність.

Довша відповідь: такі поняття, як межі, були придумані, щоб допомогти у множині покуски. Приносячи користь, вони вирішують проблему і відволікають від суті “об'єднання величин”. Мені дуже не подобається, що межі проходять на початку матаналізу, ще перед тим, як студенти вникнуть у проблему, яку вони вирішують.

А що з приводу початку та кінця?

Скажімо, ми досліджуємо інтервал від 3 до 4 секунд.

Швидкість спочатку (3×2 = 6 км/год) відрізняється від швидкості наприкінці (4×2 = 8 км/год). То яке значення мені брати при обчисленні "швидкості × час"?

Рішенням буде розбити наші шматочки часу на досить дрібні відрізки (від 3.00000 до 3.00001 секунд), поки різниця швидкостей від початку до кінця інтервалу буде для нас незначною. Знову ж таки, це довша розмова, але “повірте мені”, що це тимчасовий відрізок, який робить різницю незначною.

На графіці уявіть, кожен інтервал - це одна точка на прямий. Ви можете намалювати рівну лінію до кожної швидкості, і ваша “площа” буде множиною відрізків, яка і вимірюватиме множення.

Де ж “частина” і яке її значення?

Поділ частини та її значення далося мені нелегко.

"Частина" - це інтервал, який ми розглядаємо (1 секунда, 1 мілісекунд, 1 наносекунд). “Позиція” – це те, де починається секундний, мілісекундний чи наносекундний інтервал. Значення – це наша швидкість у тій позиції.

Наприклад, розглянемо інтервал від 3.0 до 4.0 секунд:

• "Ширина" відрізка часу складає 1.0 секунду
• Позиція ( початковий час) дорівнює 3.0
• Значення (швидкість (t)) – це швидкість (3.0) = 6.0 км/год

Знову ж таки, матаналіз вчить нас скорочувати інтервал до тих пір, поки різниця між значеннями на початку і наприкінці інтервалу буде настільки мала, що нею можна знехтувати, вважаючи цей інтервал "точкою". Не випускайте з уваги велику картинку: ми множимо набір частин.

Розуміння запису інтеграла

Ми маємо здорову ідею “покусочного множення”, але ми ніяк не можемо її висловити. “Відстань = швидкість(t) × t” все ще виглядає як звичайне рівняння, де t і швидкість(t) набувають єдиного значення.

У матаналізі ми пишемо це співвідношення як

відстань = ∫ швидкість(t)dt

• знак інтеграла (s-подібна крива) означає, що ми множимо покусочно і підсумовуємо значення одне.
• dt являє собою тимчасовий “інтервал”, який ми розглядаємо. Його називають "дельта t" а не "d разів по t".
• t є положення dt (якщо dt - це проміжок від 3.0 до 4.0, то t дорівнює 3.0)
• швидкість(t) - це значення, на яке ми множимо (швидкість(3.0) = 6.0))

У мене є кілька претензій до цього запису:

• Те, як тут використовуються літери, трохи бентежить. "dt" виглядає як "d разів по t" на відміну від будь-якого рівняння, яке ви раніше бачили.
• Ми пишемо швидкість (t) x dt, замість швидкість (t_dt) x dt. Останній варіантчітко вказує, що ми досліджуємо "t" на конкретній ділянці "dt", а не якесь глобальне "t"
• Ви часто зустрінете∫ швидкість(t), без dt. Це взагалі допомагає легко забути, що ми виконуємо помноження двох елементів.

Схоже, пізно змінювати форму запису інтегралів. Просто запам'ятайте цю ідею щодо “множення” чогось, що змінюється.

Як це розуміти

Коли я бачу ось це:

відстань = ∫ швидкість(t)dt

Я думаю “Відстань дорівнює швидкості t разів (читаючи ліву частинупершою) або "сумісіть швидкість і час, щоб отримати відстань" (читаючи праву частинупершою).

В умі я перекладаю швидкість (t) як швидкість і dt, і це перетворюється на множення, за умови, що швидкості дозволено змінюватися. Подання інтегрування подібним чином допомагає мені сконцентруватися на тому, що насправді відбувається (“Ми поєднуємо швидкість та час, щоб отримати відстань!”) замість зациклювання на деталях дії.

Безкоштовний сюрприз: нові ідеї

Інтеграли - це дуже глибока ідея, як і множення. У вас могло виникнути багато питань, заснованих на цій аналогії:

• Якщо інтеграли множать величини, що змінюються, чи є щось, що ділить їх? (ТАК - похідні).
• Чи є інтеграли (множення) та похідні (розподіл) взаємозворотними? (Так, з деякими тонкощами).
• Чи можемо ми перетворити рівняння "відстань = швидкість × час" на "швидкість = відстань / час"? (Так).
• Чи можемо ми поєднувати кілька величин одночасно? (Так – це називається багаторазове інтегрування).
• Чи впливає якось поєднання на результат? (Зазвичай ні).

Як тільки ви почнете сприймати інтеграли як "покращене множення", ви відразу почнете замислюватися про такі речі, як "покращене поділ", "повторне інтегрування" і таке інше. Застрягши на "площі під кривою", ви не вловите зв'язку між цими темами. (Математичних заучок бачення "площі під кривою" та "кута нахилу кривої" зворотними поняттямиставить у глухий кут).

Як читати інтеграли

У інтегралів маса застосувань. Одним із них є пояснення того, що дві величини були “помножені” для отримання результату.

Ось як ми представляємо площу кола за допомогою інтегралів:

Площа = ∫ Довжина кола (r) · dr = ∫ 2πr · dr = π · r 2

Нам би дуже хотілося взяти площу кривою множенням. Але ми не можемо - висота змінюється у кожній її точці. Якщо ми "розгорнемо" коло, ми побачимо, що частинка площі під кожною порцією радіуса дорівнюватиме "радіус × відрізок кола". Ми можемо описати цей зв'язок за допомогою інтегралу (як описано вище).

А ось як інтеграл описує ідею, що "маса = щільність × об'єм":

маса = ∫ V ρ(r) ∙ dv

Що тут сказано? Грецька літера"ро" ("ρ") - це функція густини, яка говорить нам, наскільки щільний матеріал у певному положенні. Так, r∙dv – це частка обсягу, який ми розглядаємо. Так що ми множимо маленький шматочокобсягу (dv) на щільність у тому інтервалі ρ(r), і потім складаємо всі ці частини, щоб одержати масу.

Ми звикли просто множити густину на об'єм, але якщо густина змінюється, то потрібно інтегрувати. Індекс V просто означає "інтеграл обсягу", що по суті є потрійним інтеграломдовжини, ширини та висоти! Інтеграл передбачає чотири “множення”: 3 пошуку обсягу, і ще одне множення на щільність.

Що нам це дало?

Сьогоднішньою метою було не наукове розумінняінтегральних обчислень. Наша мета - розширити модель мислення, і отримати уявлення про інтеграл як надбудову над такими низькорівневими операціями як додавання, віднімання, множення і поділ.

Розглядайте інтеграли як покращений спосіб множення: обчислення стануть простішими, і вам під силу стануть поняття типу кратного інтегрального і похідного. Приємних обчислень!

Слово «інтеграл» походить від латинського integralis – цілісний. Цю назву запропонував у 17 ст. учень великого Лейбніца (а також видатний математик) І. Бернуллі. А що таке інтеграл у сучасному розумінні? Нижче ми намагатимемося дати всебічну відповідь на це питання.

Історичні причини виникнення поняття інтеграла

На початку 17 ст. у розгляді провідних учених перебувало велике числофізичних (насамперед механічних) завдань, у яких треба було досліджувати залежності одних величин від інших. Найбільш наочними та нагальними проблемамибули визначення миттєвої швидкості нерівномірного руху тіла в будь-який момент часу і зворотне завдання знаходження величини шляху, пройденого тілом за певний проміжок часу при такому русі. Сьогодні ми вже знаємо, що таке інтеграл від швидкості руху – це і є пройдений шлях. Але розуміння того, як його обчислювати, знаючи швидкість у кожний момент часу, з'явилося не одразу.

Спочатку з розгляду таких залежностей фізичних величин, наприклад, шляхи від швидкості, було сформовано математичне поняттяфункції y = f(x). Дослідження властивостей різних функцій спричинило зародження математичного аналізу. Вчені активно шукали способи вивчення властивостей різних функцій.

Як виникло обчислення інтегралів та похідних?

Після створення Декартом основ аналітичної геометріїта появи можливості зображати функціональні залежностіграфічно в осях декартової системикоординат, перед дослідниками стали дві великі нові завдання: як провести дотичну до кривої лінії в будь-якій її точці і як знайти площу фігури, обмеженої зверху цієї кривої і прямими, паралельними осямкоординат. Несподіваним чином виявилося, що перша з них еквівалентна знаходженню миттєвої швидкості, а друга – знаходженню пройденого шляху. Адже він при нерівномірному русізображався в декартових осях координат «відстань» та «час» деякою кривою лінією.

Генієм Лейбніца та Ньютона в середині 17 ст. були створені методи, що дозволили вирішувати обидві ці завдання. Виявилося, що для проведення дотичної до кривої в точці потрібно знайти величину так званої похідної від функції, що описує цю криву, в точці, що розглядається, і ця величина виявляється рівної швидкостізміни функції, тобто стосовно залежності «шлях від швидкості» власне миттєвою швидкістютіла.

Для знаходження ж площі, обмеженої кривою лінією, слід було обчислити визначений інтегралщо давав її точну величину. Похідна та інтеграл - основні поняття диференціального та інтегрального обчислення, що є базисом сучасного матаналізу - найважливішого розділувищої математики

Площа під кривою лінією

Отже, як же визначити її точну величину? Спробуємо розкрити процес її обчислення через інтеграл докладно, із самих азів.

Нехай f є безперервною на відрізку функцією. Розглянемо криву у = f(x), зображену малюнку нижче. Як знайти площу області, обмеженою кривою), віссю х, і лініями х = а та х = b? Тобто площа заштрихованої фігури малюнку.

Найпростіший випадок, коли f є постійною функцією; тобто, крива є горизонтальною лінією f(X) = k, де k постійна і k ≥ 0, як показано на малюнку нижче.

У цьому випадку область під кривою - лише прямокутник з висотою k і шириною (b - a), так що площа визначається як: k · (b - а).

Області деяких інших простих фігур, таких як трикутник, трапеція та півколо, даються формулами з планіметрії.

Площа під будь-якою безперервною кривою у = f(х) дається певним інтегралом, який записується так само, як звичайний інтеграл.

Риманова сума

Перш ніж поринути у докладну відповідь на питання, що таке інтеграл, виділимо деякі основні ідеї.

По-перше, область під кривою ділиться на деяке число вертикальних смуг n досить малої ширини Δx. Далі кожна вертикальна смуга замінюється вертикальним прямокутником заввишки f(х), шириною Δx, і площею f(х)dx. Наступним кроком є ​​формування суми площ усіх цих прямокутників, званої Римановою сумою (дивіться малюнки нижче).

Малюючи наші прямокутники шириною Δx, ми можемо брати їх висоту, рівну значеннюфункції на лівому краю кожної смужки, тобто на кривій лежатимуть крайні ліві точки їх верхніх коротких сторін шириною x. При цьому на ділянці, де функція зростає, і її крива є опуклою, всі прямокутники виявляються нижчими за цю криву, тобто їх сума буде свідомо меншою точної величини площі під кривою на цій ділянці (див. малюнок нижче). Такий спосіб апроксимації називається лівостороннім.

В принципі можна намалювати апроксимуючі прямокутники таким чином, щоб на кривій лежали крайні праві точки їх верхніх коротких сторін шириною Δx. Тоді вони будуть вищими за криву, і наближення площі на цій ділянці виявиться більше її точної величини, як показано на малюнку нижче. Цей спосіб називається правостороннього.

Але ми можемо також взяти висоту кожного з апроксимуючих прямокутників, що дорівнює просто деякому значенню функції в довільній точці x* i всередині відповідної смужки Δx i (див. рис. нижче). При цьому ми навіть не можемо брати однакову ширину всіх смужок.

Складемо Риманова суму:

Перехід від риманової суми до певного інтегралу

У вищої математикидоводиться теорема, яка свідчить, що й за необмеженому зростанні числа n апроксимуючих прямокутників максимальна їх ширина прагне нулю, то Риманова сума A n прагне до певної межі A. Число A - те саме за будь-якому способі утворення апроксимуючих прямокутників і за будь-якому виборі точок x * i.

Наочне пояснення теореми дає рисунок нижче.

З нього видно, що, що вже прямокутники, то ближче площа ступінчастої фігури до площі під кривою. При числі прямокутників n→∞ їх ширина Δx i →0, а межа A суми A n чисельно дорівнює площі, яку шукає. Ця межа і є певний інтеграл функції f(х):

Символ інтеграла, що є видозміненою курсивною літерою S, був введений Лейбніцем. Ставити згори і знизу позначення інтеграла його межі запропонував Ж. Б. Фур'є. При цьому ясно вказується початкове та кінцеве значення x.

Геометричне та механічне тлумачення певного інтегралу

Спробуємо дати розгорнуту відповідь на питання про те, що таке інтеграл? Розглянемо інтеграл на відрізку від позитивної всередині нього функції f(х), причому вважаємо, що верхня межабільше нижнього a

Якщо ординати функції f(х) негативні всередині, то абсолютне значення інтеграла дорівнює площі між віссю абсцис і графіком y=f(х), сам інтеграл негативний.

У разі одноразового або неодноразового перетину графіком y=f(х) осі абсцис на відрізку , як показано на малюнку нижче, для обчислення інтеграла потрібно визначити різницю, в якій зменшуване буде дорівнює сумарній площі ділянок, що знаходяться над віссю абсцис, а віднімається - сумарною площі ділянок, що під нею.

Так, для функції, показаної на малюнку вище, певний інтеграл від a до b дорівнюватиме (S1 + S3) - (S2+S4).

Механічне тлумачення певного інтеграла тісно пов'язане із геометричним. Повернемося до розділу «Риманова сума» і припустимо, що наведений на малюнках графік висловлює функцію швидкості v=f(t) при нерівномірному русі матеріальної точки (вісь абсцис є віссю часу). Тоді площа будь-якого апроксимуючого прямокутника шириною Δt, який ми будували при формуванні риманової суми, наближено виражатиме шлях точки за час Δt, а саме v(t*)Δt.

Повна сума площ прямокутників на відрізку від t 1 =a до t 2 =b виразить приблизно шлях s за час t 2 - t 1 , а межа її, тобто інтеграл (визначений) від a до b функції v = f(t ) по dt дасть точне значення шляху s.

Диференціал певного інтегралу

Якщо повернутися до його позначення, цілком можна припустити, що a = const, а b є конкретним значенням деякої незалежної змінної x. Тоді певний інтеграл з верхньою межею x з конкретного числа перетворюється на функцію від x. Такий інтеграл дорівнює площі фігури під кривою, позначеною точками aABb малюнку нижче.

При нерухомій лінії aA та рухомий Bb ця площа стає функцією f(x̃), причому прирощення Δx̃ як і раніше відкладаються вздовж осі х, а прирощенням функції f(x̃) є прирощення площі під кривою.

Припустимо, що ми дали змінній x = b деяке мале збільшення Δx. Тоді збільшення площі фігури aABb складається з площі прямокутника (заштрихований на малюнку) Bb x x і площі фігури BDC під кривою. Площа прямокутника дорівнює Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, тобто вона є лінійною функцією збільшення незалежної змінної. Площа ж фігури BDC явно менша, ніж площа прямокутника BDCK = Δx̃∙Δy, і при прагненні Δx̃ →0 вона зменшується ще швидше за нього. Отже, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ є диференціал змінної площі aABb, тобто диференціал певного інтегралу

Звідси можна зробити висновок, що обчислення інтегралів полягає у розшуканні функцій по заданим виразам їх диференціалів. Інтегральне обчислення якраз і є системою способів розшуку таких функцій за відомими їх диференціалами.

Фундаментальне співвідношення інтегрального обчислення

Воно пов'язує відносини між диференціюванням та інтегруванням і показує, що існує операція, обернена до диференціювання функції, - її інтегрування. Воно також показує, що й будь-яка функція f(х) безперервна, то застосуванням до неї цієї математичної операції можна знайти цілий ансамбль (сукупність, безліч) функцій, первісних нею (чи інакше, знайти невизначений інтеграл від неї).

Нехай функція F(x) є позначення результату інтегрування функції f(х). Відповідність між цими двома функціями в результаті інтегрування другої з них позначається так:

Як бачимо, при символі інтеграла відсутні межі інтегрування. Це означає, що з певного він перетворений на невизначений інтеграл. Слово "невизначений" означає, що результатом операції інтегрування в даному випадку є не одна, а безліч функцій. Адже, крім власне функції F(x), останнім виразам задовольняє будь-яка функція F(x)+С, де З = const. При цьому мається на увазі, що постійний член в ансамблі первісних можна задавати свавілля.

Слід підкреслити, що якщо інтеграл, визначений від функції, є числом, то невизначений є функція, точніше, їх безліч. Термін «інтегрування» застосовується визначення операції розшуку обох видів інтегралів.

Основне правило інтегрування

Воно є повною протилежністю відповідному правилу для диференціювання. Які ж беруться невизначені інтеграли? Приклади цієї процедури розглянемо на конкретних функціях.

Давайте подивимося на статечну функцію загального вигляду:

Після того як ми зробили це з кожним доданком у виразі інтегрованої функції (якщо їх декілька), ми додаємо постійну наприкінці. Нагадаємо, що взяття похідної від постійної величини знищує її, тому взяття інтеграла від будь-якої функції дасть нам відновлення цієї постійної. Ми позначаємо її, оскільки постійна невідома - це може бути будь-яке число! Тому ми можемо мати безліч виразів для невизначеного інтеграла.

Давайте розглянемо прості невизначені інтеграли, приклади взяття яких наведено нижче.

Нехай потрібно знайти інтеграл від функції:

f(х) = 4x2 + 2x - 3.

Почнемо з першого доданку. Ми дивимося на показник ступеня 2 і збільшуємо його на 1, потім ділимо перший член на результат 3. Отримуємо: 4(x 3) / 3.

Потім ми дивимося на наступний член і робимо те саме. Так як він має показник ступеня 1, то результуючий показник буде 2. Таким чином ми розділимо це доданок на 2: 2(x 2) / 2 = x 2 .

Останній член має множник x, але ми просто не бачимо його. Ми можемо уявити останнє доданок як (-3x 0). Це еквівалентно (-3)∙(1). Якщо ми використовуємо правило інтегрування, ми додамо до показника 1, щоб підняти його до першого ступеня, а потім розділимо останній член на 1. Отримаємо 3x.

Це правило інтегрування працює всім значень n, крім n = - 1 (бо ми можемо розділити на 0).

Ми розглянули найпростіший приклад знаходження інтегралу. Взагалі ж рішення інтегралів є справою непростою, і в ній гарною підмогою вже є накопичений в математиці досвід.

Таблиці інтегралів

У розділі вище бачили, що з кожної формули диференціювання виходить відповідна формула інтегрування. Тому всі можливі їх варіанти вже давно отримані та зведені у відповідні таблиці. Нижченаведена таблиця інтегралів містить формули інтегрування основних функцій алгебри. Ці формули потрібно знати на згадку, заучуючи їх поступово, у міру їхнього закріплення вправами.

Ще одна таблиця інтегралів містить основні тригонометричні функції:

Як же визначити певний інтеграл

Виявляється, зробити це, вміючи інтегрувати, тобто знаходити невизначені інтеграли дуже просто. І допомагає у цьому формула засновників інтегро-диференціального обчислення Ньютона та Лейбниця.

Згідно з нею, обчислення шуканого інтеграла полягає на першому етапі у знаходженні невизначеного, наступному обчисленні значення знайденої первісної F(x) при підстановці x, рівного спочатку верхній межі, потім нижній і, нарешті, у визначенні різниці цих значень. При цьому константу можна не записувати. т.к. вона пропадає під час виконання віднімання.

Розглянемо деякі інтеграли із докладним рішенням.

Знайдемо площу ділянки під однією напівхвильовою синусоїдою.

Обчислимо заштриховану площу під гіперболою.

Розглянемо тепер інтеграли із докладним рішенням , використовує у першому прикладі властивість адитивності, тоді як у другому - підстановку проміжної змінної інтегрування. Обчислимо певний інтеграл від дробової раціональної функції:

y=(1+t)/t 3 від t=1 до t=2.

Тепер покажемо, як можна спростити взяття інтеграла запровадженням проміжної змінної. Нехай необхідно обчислити інтеграл від (x+1) 2 .

Про невласні інтеграли

Ми говорили про певний інтеграл для кінцевого проміжку від безперервної на ньому функції f(х). Але ряд конкретних завдань призводить до необхідності розширити поняття інтеграла на випадок, коли межі (один або обидва) дорівнюють нескінченності або при розривній функції. Наприклад, при обчисленні площ під кривими, що асимптотично наближаються до осей координат. Для поширення поняття інтеграла на цей випадок, крім граничного переходу при обчисленні риманової суми апроксимуючих прямокутників, виконується ще один. За такого дворазового переходу до межі виходить невласний інтеграл. На противагу йому всі інтеграли, про які йшлося вище, називаються власними.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку:

• узагальнити та закріпити ключові завдання по темі;
• навчитися працювати з теоретичними питаннями теми;
• навчитися застосовувати інтеграл для вирішення фізичних завдань.

План уроку:

1. Схема розв'язання задач на додатки певного інтегралу
2. Знаходження шляху, пройденого тілом під час прямолінійного руху
3. Обчислення роботи сили, виконаної при прямолінійному русі тіла
4. Обчислення роботи, витраченої на розтягування чи стиснення пружини
5. Визначення сили тиску рідини на вертикально розташовану пластинку

Тип уроку:інтегрований.

Виховательна робота:розширення кругозору та пізнавальної діяльності учнів, розвиток логічного мислення та вміння застосовувати свої знання.

Технічне забезпечення:Інтерактивна дошка. Комп'ютер та диск.

Додаток :«Ріпсодія природи».

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

ІІ. Постановка мети уроку

- Урок хотілося б провести під девізом Готфріда Вільгельма Лейбніца - німецького філософа, логіка, математика, фізика: «Спільне мистецтво знаків представляє чудовий посібник, оскільки воно розвантажує уяву ... Слід піклуватися про те, щоб позначення були зручні для відкриттів. Позначення коротко виражають та відображають сутність речей. Тоді разючим чином скорочується робота думки».

ІІІ.Повторимо основні поняття та відповімо на запитання:

– Скажіть основне визначення інтегралу?
– Що ви знаєте про інтеграл (властивості, теореми)?
– Чи знаєте ви якісь приклади завдань із застосуванням інтегралу?

IV. Пояснення нового матеріалу (розгляд теорії):

1. Схема розв'язання задач на додатки певного інтегралу

За допомогою певного інтеграла можна вирішувати різні завдання фізики, механіки тощо, які важко чи неможливо вирішити методами елементарної математики.

Так, поняття певного інтеграла застосовується при вирішенні завдань на обчислення роботи змінної сили, тиску рідини на вертикальну поверхню, шляху, пройденого тілом, що має змінну швидкість, та інших.

Незважаючи на різноманітність цих завдань, вони поєднуються однією і тією ж схемою міркувань при їх вирішенні. Шукана величина (шлях, робота, тиск і т. д.) відповідає деякому проміжку зміни змінної величини, яка є змінною інтеграцією. Цю змінну величину позначають через Х, а проміжок її зміни через [а, b].

Відрізок розбивають на n рівних частин, у кожній з яких можна знехтувати зміною змінної величини. Цього можна досягти зі збільшенням кількості розбиття відрізка. На кожній такій частині задачу вирішують за формулами для постійних величин.

I = , де f(x) – дана за умовами завдання функція (сила, швидкість тощо).

2. Знаходження шляху, пройденого тілом під час прямолінійного руху

Як відомо, шлях, пройдений тілом за рівномірного руху за час t, обчислюється за формулою S = vt.

Якщо тіло рухається нерівномірно в одному напрямку і швидкість його змінюється в залежності від часу t, тобто v = f(t), то для знаходження шляху, пройденого тілом за час від до, розділимо цей проміжок часу на n рівних частин Δt. У кожній з таких частин швидкість можна вважати постійною та рівною значенню швидкості в кінці цього проміжку. Тоді пройдений тілом шлях приблизно дорівнює сумі , тобто .

Якщо функція v(t) безперервна, то

Отже,

3. Обчислення роботи сили, виконаної при прямолінійному русі тіла

Нехай тіло під дією сили F рухається прямою s, а напрям сили збігається з напрямом руху. Необхідно знайти роботу, зроблену силою F при переміщенні тіла з положення aу становище b.

Якщо сила F стала, то робота перебуває за формулою (добуток сили на довжину шляху).

Нехай на тіло, що рухається прямою Ох, діє сила F, яка змінюється в залежності від пройденого шляху, тобто . Для того щоб знайти роботу, що здійснюється силою F на відрізку шляху від адо bрозділимо цей відрізок на n рівних частин . Припустимо, що з кожної частини сила зберігає постійне значення

Складемо інтегральну суму, яка приблизно дорівнює значенню виконаної роботи:

тобто. робота, виконана цією силою на ділянці від а до b, приблизно мала сумі:

Отже, робота змінної сили обчислюється за такою формулою:

4. Обчислення роботи, витраченої на розтягування чи стиснення пружини

Відповідно до закону Гука, сила F, необхідна для розтягування чи стиснення пружини, пропорційна величині розтягування чи стискування.

Нехай х – величина розтягування чи стискування пружини. Тоді , де k - Коефіцієнт пропорційності, що залежить від якості пружини.

Робота дільниці висловиться формулою , а вся витрачена робота чи . Якщо похибка величини роботи прагне до нуля.

Для знаходження справжньої величини роботи слід перейти до межі

5. Визначення сили тиску рідини на вертикально розташовану пластинку

З фізики відомо, що сила Р тиску рідини на горизонтально розташований майданчик S, глибина занурення якого дорівнює h визначається за формулою:

де - щільність рідини.

Виведемо формулу для обчислення сили тиску рідини на вертикально розташовану пластинку довільної форми, якщо верхній край занурений на глибину a, а нижній – на глибину b.

Так як різні частини вертикальної пластинки знаходяться на різній глибині, то сила тиску рідини на них неоднакова. Для виведення формули потрібно розділити платівку на горизонтальних смуг однакової висоти. Кожну смугу приблизно можна вважати прямокутником (рис.199).

За законом Паскаля сила тиску рідини на таку смугу дорівнює силі руху рідини на горизонтальну пластинку тієї ж площі, зануреної на ту ж глибину.

Тоді згідно з формулою (4) сила тиску на смугу, що знаходиться на відстані х від поверхні, складе , де - Площа смуги.

Складемо інтегральну суму і знайдемо її межу, що дорівнює силі тиску рідини на всю платівку:

Якщо верхній край пластинки збігається з поверхнею рідини, то а=0 і формула (5) набуде вигляду

Ширина кожної смуги залежить від форми платівки і є функцією глибини занурення даної смуги.

Для платівки постійної ширини формула (5) полегшується, т.к. цю постійну можна винести за знак інтеграла:

V. Розбір завдань на тему

1) Швидкість руху матеріальної точки задається формулою = (4 м / с. Знайти шлях, пройдений точкою за перші 4с від початку руху.

2) Швидкість руху змінюється згідно із законом м/с. Знайти довжину шляху, пройденого тілом за 3 секунду його руху.

3) Швидкість руху тіла задана рівнянням м/с. Визначити шлях, пройдений тілом від початку руху до зупинки.

Швидкість руху тіла дорівнює нулю в момент початку його руху та зупинки. Знайдемо момент зупинки тіла, навіщо прирівняємо швидкість нулю і розв'яжемо рівняння щодо t; отримаємо

Отже,

4) Тіло кинуто вертикально вгору зі швидкістю, що змінюється згідно із законом м/с. Знайти найбільшу висоту підйому.

Знайдемо час, протягом якого тіло піднімалося вгору: 29,4–9,8t=0 (у момент найбільшого підйому швидкість дорівнює нулю); t = 3 с. Тому

5) Яку роботу здійснює сила в 10Н при розтягуванні пружини на 2 см?

За законом Гука сила F, розтягує пружину, пропорційна розтягуванню пружини, тобто. F = kx. Використовуючи умову, знаходимо (Н/м), тобто. F = 500x. Отримуємо

6) Сила в 60Н розтягує пружину на 2 см. Початкова довжина пружини дорівнює 14 см. Яку роботу потрібно здійснити, щоб розтягнути її до 20 см?

Інтеграл одна із найважливіших понять математики. Поняття «інтеграл» виникло у зв'язку з такими потребами:

• відшукання функції за її похідною (наприклад, знаходження функції шляху відомої функції швидкості);
• вимір різних характеристик об'єктів (наприклад, площі плоскої фігури тощо).

Розрізняють кілька видів інтегралів: невизначений, певний та невласний інтеграли.

Інтеграл: як визначити?

Для обчислення більшості інтегралів досить пам'ятати таблицю інтегралів, і навіть знати основні правила інтегрування. Основна частина таблиці, яка використовується найчастіше, містить близько 15 формул, правил інтегрування теж не так багато. Але якщо вже зовсім погано запам'ятовується, то знайти таблицю та правила можна у будь-якому підручнику, в якому розглядається дана тема.

Обчислення інтеграла складається з кількох етапів:

1. приведення підінтегральної функції до суми табличних функцій;
2. розкладання інтеграла у сумі табличних інтегралів;
3. обчислення кожного інтеграла окремо;
4. формування остаточного рішення.

Це лише спочатку здається складним, проте за наявності деякого досвіду з обчислення інтегралів кожна пара етапів (1 та 2; 3 та 4) інтуїтивно поєднуються в один етап.

При обчисленні певних інтегралів основною є формула Ньютона-Лейбніца, яку обов'язково (!) слід запам'ятати:

Між похідним та невизначеним інтегралом існує взаємозв'язок, який можна виразити такими рівностями:

Отже, за вміння знаходити похідну функції завжди можна перевірити правильність обчислення інтеграла.

Додаток інтеграла до вирішення завдань

Область застосування інтегралів є досить широкою. Дуже часто інтеграли використовуються при вирішенні задач з геометрії, біології, механіки, економіки тощо.
Залежно від цього, яке завдання вирішується, потрібно обчислити або певний, або невизначений інтеграл.
Найпростіше завдання на інтеграли формулюється так: обчислити невизначений (певний) інтеграл.

приклад. Обчислити певний інтеграл

Як правило, розв'язання задач з інтегралами виконується з використанням деякої формули, чи це формула обчислення площі плоскої фігури, довжини дуги або якась інша формула. Тому вирішення будь-якого завдання з інтегралами можна виконати у три етапи:

• вибір формули;
• визначення меж інтегрування (якщо використовується певний інтеграл);
• безпосереднє обчислення інтеграла.

Додаток інтеграла до розв'язання задач у геометрії

Основними формулами при вирішенні задач з інтегралами з геометрії є:

приклад. Обчислити об'єм тіла обертання, утвореного обертанням кривої y = x2 навколо осі ОХ, x ∈ .

Рішення. У першому етапі визначається використовувана на вирішення завдання формула. У розглянутій задачі все сказано за умови «обчислити об'єм тіла обертання». Отже, використовуємо формулу .

Переходимо до другого етапу розв'язання задачі. Межі інтегрування також задані умовою завдання (x ∈ ), отже, залишається лише підставити все необхідне формулу.

На етапі необхідно обчислити отриманий інтеграл, який, до речі, є табличним інтегралом.

Додаток інтеграла до вирішення завдань у механіці

Основними формулами під час вирішення завдань з інтегралами з механіки є:

шлях, пройдений тілом

приклад. Тіло рухається зі швидкістю v(t) = t+ 2 (м/с). Знайти шлях, який пройде тіло через 2 секунди після початку руху.

Рішення. У першому етапі визначається необхідна вирішення завдання формула. З умови завдання видно, що використовується формула

Межі інтегрування також задані умовою задачі ( t 1= 0 - час початку руху; t 2= 2 - час завершення руху), отже, залишається тільки підставити все необхідне формулу і обчислити отриманий інтеграл.

Примітка: при обчисленні інтеграл було приведено до суми табличних інтегралів.

приклад. Тіло рухається із прискоренням 2 м/с 2 . Знайти у загальному вигляді функції, що задають зміну швидкості та пройдений шлях.

Рішення. У першому етапі визначається використовувана на вирішення завдання формула. Взаємозв'язок між прискоренням та швидкістю аналогічна взаємозв'язку між швидкістю та шляхом. Для визначення залежності шляху від часу використовується формула Для визначення залежності швидкості від часу формула .

У даній задачі немає додаткових умов, тому застосовується невизначений інтеграл і межі інтегрування не потрібні.
Отже, розв'язання задачі зводиться до послідовного обчислення двох невизначених інтегралів:

Висновок

Як правило, завдання з інтегралами в шкільному курсі математики і навіть в університеті мають цілком стандартне формулювання, а їхнє рішення зводиться до вибору формули, визначення меж інтегрування та обчислення складеного інтеграла.

Вчіть теорію та вирішуйте завдання! І пам'ятайте, що ми завжди готові допомогти Вам.

Рухи являють собою перетин із поверхонь відповідних інтегралів руху. Наприклад, побудова Пуансо показує, що без крутного моменту обертання твердого тіла є перетином сфери (збереження повного кутового моменту) і еліпсоїда (збереження енергії), траєкторію, яку важко вивести і візуалізувати. Тому, знаходження інтегралів руху – важлива мета у механіці.

Методи знаходження інтегралів руху

Існує кілька методів знаходження інтегралів руху:

• Найбільш простий, але й найменш суворий метод полягає в інтуїтивному підході, часто заснованому на експериментальних даних та подальшого математичного доказу збереження величини.

• Рівняння Гамільтона-Якобі пропонує строгий і прямий метод знаходження інтегралів руху, особливо якщо гамільтоніан набуває знайомої функціональної форми в ортогональних координатах.

• Інший підхід полягає в зіставленні збереженої величини і будь-якої симетрії Лагранжіана. Теорема Нетер дає систематичний спосіб виведення таких величин із симетрій. Наприклад, закон збереження енергії є результатом того, що лагранжіан не змінюється щодо зсуву за часом, закон збереження імпульсу еквівалентний інваріантності лагранжіана щодо зсуву початку координат у просторі ( трансляційна симетрія) та закон збереження моменту імпульсу випливає з ізотропності простору (лагранжіан не змінюється при поворотах системи координат). Назад теж вірно: кожна симетрія лагранжіана відповідає інтегралу руху.

• Величина Aзберігається якщо вона не залежить явним чином від часу і її дужки Пуассона з гамільтоніаном системи дорівнюють нулю

Інший корисний результат відомий як теорема Пуассона, в якій стверджується, що якщо є два інтеграли руху Aі Bто дужки Пуассона ( A,B) цих двох величин також є інтегралом руху.

Система з nступенями свободи та nінтегралами руху, такими, що дужки Пуассона будь-якої пари інтегралів дорівнюють нулю відома як система, що повністю інтегрується. Такий набір інтегралів руху, як то кажуть, перебуває в інволюції один з одним.

У квантовій механіці

Спостережувана величина Qзберігається, якщо вона комутує з гамільтоніаном Hщо не залежить явним чином від часу. Тому

де використовується комутаційне співвідношення

Висновок

Нехай є деяка спостерігається Q, яка залежить від координати, імпульсу та часу

Для обчислення похідної за часом від середнього значення Qвикористовується правило диференціювання твору, і результат після деяких маніпуляцій наведено нижче

У результаті отримаємо

Ставлення до квантового хаосу та квантової інтегрованості

У класичній механіці є теорема Ліувілля, згідно з якою система, в якій число інтегралів руху в інволюції збігається з числом ступенів свободи n, може бути повністю проінтегрована (вирішена) методом поділу змінних у рівнянні Гамільтона-Якобі. Така система є системою, що інтегрується. Траєкторія такої системи в 2 n-мірному фазовому просторі може бути представлена ​​в відповідних змінних (змінних дію-кут) як намотування на n-мірному торі. Системи, кількість інтегралів у якій менше числа ступенів свободи, виявляє хаотичну поведінку, тобто траєкторії у фазовому просторі з близькими початковими умовами можуть експоненційно розходитися. При невеликій деформації інтегрованої системи в неінтегровану n-мірний тор 2 n-мірному фазовому просторі руйнується («розмивається»), перетворюючись, наприклад на дивний атрактор .

Квантовий аналог теореми Ліувіля невідомий, однак і в квантовому випадку системи можна розділити на інтегровані та неінтегровані. Під інтегрованими у разі мають на увазі системи, які допускають точне рішення, у сенсі можливості знайти всі власні значення і власні функції гамільтоніана в розумному вигляді. Відомий квантовий аналог методу поділу змінних, проте його застосування не таке універсальне в класичних випадках. Відомі приклади показують, що в квантових інтегрованих системах, як і в класичних, є nінтегралів руху, що комутують між собою. Однак наявність nінтегралів руху, мабуть, ще гарантує квантової інтегрованості. Завдання квантування інтегрованих систем є пошуком такої квантової системи, яка допускала б точне рішення і давала б цю класичну систему в класичній межі. Є також приклади квантових систем, що інтегруються, не мають інтегрованих класичних аналогів. Це відбувається в тому випадку, якщо система може бути вирішена при спеціальних значеннях параметрів квантового гамільтоніана або коли система не допускає класичного опису (як, наприклад, система спинів).

Всі інші квантові системи виявляють тією чи іншою мірою ознаки квантового хаосу. Класичні хаотичні системи допускають квантування тому, що може бути коректно визначено їх простір станів і гамільтоніан, проте як і класичні хаотичні системи, і квантові, очевидно, не допускають точного рішення. Їх можна досліджувати наближеними методами, такими як теорія збурень та варіаційний метод, а також досліджені чисельно методами молекулярної динаміки у класичному випадку чи чисельної діагоналізації гамільтоніану у квантовому випадку.

Див. також

Література

• Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). - Prentice Hall, 2004. - ISBN ISBN 0-13-805326-X
• Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Е. М.Механіка. - Видання 4-те, виправлене. – М.: Наука, 1988. – 215 с. - («Теоретична фізика», тому I). - ISBN 5-02-013850-9
• Арнольд В. І. «Математичні методи класичної механіки»,. 5-е, М.: Едиторіал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Інтеграл руху" в інших словниках:

інтеграл руху- judėjimo integralas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integral of motion vok. Bewegungsintegral, n rus. інтеграл руху, m pranc. intégrale de mouvement, f … Fizikos terminų žodynas

Інтеграл (див. також Первісна, Чисельне інтегрування, Інтегрування частинами) математичний оператор: Певний інтеграл Невизначений інтеграл різні визначення інтегралів: Інтеграл розширення поняття суми Інтеграл Іто… Вікіпедія

Інтеграл Коші Лагранжа інтеграл рівнянь руху ідеальної рідини (рівнянь Ейлера) у разі потенційних течій. Зміст 1 Варіанти назви 2 Вікіпедія

Член у кінетичному рівнянні Бол'цмана, рівний зміні фції розподілу частинок (або квазічастинок) за одиницю часу в елементі фазового обсягу внаслідок зіткнень між ними; його зв. також оператором зіткнень. І. с. дорівнює (з… … Фізична енциклопедія

Одне із центральних понять математич. аналізу і всієї математики, виникнення до рого пов'язані з двома завданнями: про відновлення функції з її похідної (напр., із завданням знайти закону руху матеріальної точки вздовж прямої по… Математична енциклопедія

Імпульс (кількість руху) адитивний інтеграл руху механічної системи; відповідний закон збереження пов'язаний із фундаментальною симетрією однорідністю простору. Зміст 1 Історія появи терміна 2 «Шкільне» визначення… … Вікіпедія

Формулювання через інтеграл по траєторіях квантової механіки - це опис квантової теорії, що узагальнює принцип дії класичної механіки. Воно заміняє класичне позначення одиночної, унікальної траєкторії для системи сумою, або ... Вікіпедія

- (континуальний інтеграл, інтеграл з траєкторій, фейнманівський інтеграл з траєкторій) запис або результат функціонального інтегрування (інтегрування з траєкторій). Знаходить найбільше застосування у квантовій фізиці (квантовій теорії … Вікіпедія