Правила диференціювання похідної приклади. Формула похідної приватної функції

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завданнята теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Якщо слідувати визначенню, то похідна функції у точці — це межа відношення збільшення функції Δ yдо збільшення аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x· sin x. Якщо все робити за визначенням, то через кілька сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші та ефективніші способи.

Спочатку зазначимо, що з усього різноманіття функцій можна назвати звані елементарні функції. Це щодо прості вирази, похідні яких давно обчислені та занесені до таблиці. Такі функції досить просто запам'ятати — разом із їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції – це все, що наведено нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше, що завчити їх зовсім нескладно — на те вони й елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Назва	Функція	Похідна
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (так-так, нуль!)
Ступінь із раціональним показником	f(x) = x n	n · x n − 1
Сінус	f(x) = sin x	cos x
Косінус	f(x) = cos x	− sin x(мінус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Натуральний логарифм	f(x) = ln x	1/x
Довільний логарифм	f(x) = log a x	1/(x· ln a)
Показова функція	f(x) = e x	e x(нічого не змінилося)

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції також легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом константи можна виносити за знак похідної. Наприклад:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати одна з одною, множити, ділити і багато іншого. Так з'являться нові функції, вже не особливо елементарні, але також диференційовані по певним правилам. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми та різниці

Нехай дані функції f(x) та g(x), похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми та різниці цих функцій:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі немає поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − gможна переписати як суму f+ (−1) · gі тоді залишиться лише одна формула — похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cos x;

Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там уже три доданки (з погляду алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Відповідь:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Похідна робота

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"> дорівнює твору похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула проста, але її часто забувають. І не лише школярі, а й студенти. Результат – неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Функція f(x) є твір двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)' · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos x − x· sin x)

У функції g(x) перший множник трохи складніший, але загальна схемавід цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) є багаточлен, і його похідна - це похідна суми. Маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x· sin x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому етапі похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, проте більшість похідних обчислюються не власними силами, а щоб дослідити функцію. А значить, далі похідна прирівнюватиметься до нуля, з'ясовуватимуться її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладений на множники.

Якщо є дві функції f(x) та g(x), причому g(x) ≠ 0 на цікавій для нас безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції також можна знайти похідну:

Неслабо, так? Звідки взявся мінус? Чому g 2? А ось так! Це одна з самих складних формул- Без пляшки не розберешся. Тому краще вивчати її на конкретні приклади.

Завдання. Знайти похідні функції:

У чисельнику та знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно – це формула похідної частки:

За традицією, розкладемо чисельник на множники — це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула завдовжки півкілометра. Наприклад, достатньо взяти функцію f(x) = sin xта замінити змінну x, скажімо, на x 2 + ln x. Вийде f(x) = sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. Вона теж має похідну, проте знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t', якщо xзамінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справа ще сумніше, ніж з похідною приватного. Тому її теж краще пояснити на конкретних прикладах, докладним описомкожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо у функції f(x) замість виразу 2 x+ 3 буде просто x, то вийде елементарна функція f(x) = e x. Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер – увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x+ 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 · (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося із функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. Маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Зворотна заміна: t = x 2 + ln x. Тоді:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як очевидно з останнього висловлювання, все завдання звелося до обчислення похідної суми.

Відповідь:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміну "похідна" я використовую слово "штрих". Наприклад, штрих від суми дорівнює суміштрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення цих самих штрихів за правилами, розглянутими вище. В якості останнього прикладуповернемося до похідного ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі nцілком може виступати дробове число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, коли під корінням стоятиме щось наворочене? Знову вийде складна функція – такі конструкції люблять давати на контрольні роботита екзаменах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x− 7. Маємо:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємось до коріння:

Визначення похідних та диференціалів усіх порядків від функції однієї змінної та приватних похідних та диференціалів, крім того, повних диференціаліввід функцій більшості змінних.

Доведемо формулу. З визначення похідної одержуємо:

Довільний множник виносять за знак граничного переходу(властивості межі), значить отримуємо:

Що й потрібно було довести.

Тепер розглянемо на кількох прикладах вище зазначене правило.

приклад 1.

Знайдемо похідну функції.

Використовуючи таблицю похідних для тригонометричних функцій знаходимо . Користуємося правилом винесення множника за знак похідної та знаходимо:

Дуже часто потрібно спершу спростити вид функції, яку диференціюємо, для того, щоб можна було скористатися таблицею похідних та правил визначення похідних. Це добре показано в таких прикладах:

приклад 2.

Продиференціюємо функцію .

З властивостей логарифмічної функціїлегко переходимо до вигляду. Далі виносимо постійний множник, згадуючи похідні логарифмічних функцій:

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті вирішення завдань про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до прирощення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правиладиференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функції та визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твору, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних та найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у виразі функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто
2. Похідна незалежною змінною. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної у ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенсу
10. Похідна арксинуса
11. Похідна арккосинусу
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифму
15. Похідна логарифмічна функція
16. Похідна експоненти
17. Похідна показової функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми чи різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1.Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції

причому

тобто. похідна алгебраїчної сумифункцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, тобто.

Правило 2Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток

причому

тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Наслідок 2. Похідна твори декількох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3Якщо функції

диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому

тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної твору та приватного реальних задачахзавжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладівна ці похідні – у статті"Виробничі твори та приватні функції".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У випадку доданку її похідна дорівнює нулю, а у випадку постійного множникавона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапівивчення похідних, але в міру вирішення вже кількох одно-двоскладових прикладів середній студентцю помилку вже не робить.

А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в якому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).

Інша часта помилка- механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , то слідуйте на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями та корінням".

Якщо ж перед Вами завдання начебто , то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо наступні значенняпохідних:

Підставляємо знайдені похідні у суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

приклад 4.Знайти похідну функції

Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:

Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, , то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомились у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значенняпохідної квадратного кореня отримуємо:

Приклад 6.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті вирішення завдань про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до прирощення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно визначені правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твору, суми та частки — у правилах диференціювання.Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна «ікса» дорівнює одиниці, а похідна синусу — косинусу. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

приклад 2.Знайти похідну функції

Таблиця похідних простих функцій

Правило 1. Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції

тобто. похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.

Правило 2 Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток

тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3 Якщо функції

диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватне u/v , причому

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної твору та приватного в реальних завданнях завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні у статті «Виробна твори та приватного функцій».

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У разі доданку її похідна дорівнює нулю, а разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру вирішення вже кількох одно-двоскладових прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.

А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u‘v, в якому u— число, наприклад, 2 чи 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок дорівнюватиме нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).

Інша часта помилка - механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , то слідуйте на заняття «Похідна суми дробів зі ступенями та корінням».

Якщо ж перед Вами завдання начебто , то Вам на заняття «Виробні простих тригонометричних функцій».

Покрокові приклади - як знайти похідну

приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники — суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, «ікс» у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 — на нуль. У другому виразі "ікс" помножений на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо такі значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні у суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

приклад 4.Знайти похідну функції

Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, , то ласкаво просимо на заняття «Виробна суми дробів зі ступенями та корінням».

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричні функції, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок «Виробні простих тригонометричних функцій».

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомилися в таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:

Приклад 6.Знайти похідну функції

Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на :

Знайти похідні самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 7.Знайти похідну функції

Приклад 8.Знайти похідну функції

Продовжуємо шукати похідні разом

Приклад 9.Знайти похідну функції

Рішення. Застосовуючи правила обчислення похідної алгебраїчної суми функцій, винесення постійного множника за знак похідного та формулу похідного ступеня (у таблиці похідних – під номером 3) отримаємо

приклад 10.Знайти похідну функції

Рішення. Застосуємо правило диференціювання твору, а потім знайдемо похідні співмножників, так само, як у попередній задачі, користуючись формулою 3 таблиці похідних. Тоді отримаємо

Приклад 11.Знайти похідну функції

Рішення. Як і в прикладах 4 і 6, застосуємо правило диференціювання приватного:

Тепер обчислимо похідні в чисельнику і перед нами вже потрібний результат:

приклад 12.Знайти похідну функції

Крок 1. Застосовуємо правило диференціювання суми:

Крок2. Знайдемо похідну першого доданку. Це табличний похідний квадратного кореня (у таблиці похідних — номер 5):

Крок3. У приватному знаменнику — також корінь, тільки не квадратний. Тому перетворимо цей корінь на ступінь:

Корінь із константи, як не важко здогадатися, є також константою, а похідна константи, як ми знаємо з таблиці похідних, дорівнює нулю:

а похідна, необхідна за умови завдання:

Отримати у PDF методичку-грашник з 33 прикладами рішень Знайти похідну: алгоритм на прикладі простих елементарних функцій, БЕЗКОШТОВНО

Нагадуємо, що трохи більше складні прикладина похідну твори та приватного — у статтях «Виробна твори та приватного функцій» та «Виробна суми дробів зі ступенями та корінням».

Правила диференціювання. Похідна робота функцій.

Диференціювання– визначення похідних та диференціалів усіх порядків від функції однієї змінної та приватних похідних та диференціалів, крім того, повних диференціалів від функцій більшості змінних.

Доказ правила диференціювання твору 2-х функцій:

Записуємо межу відношення збільшення твору функцій до збільшення аргументу. Враховуємо, що:

(Збільшення функції прагне до 0 при збільшенні аргументу, який прагне до 0).

Тепер розглянемо на кількох прикладах вищезазначене правило.

У цьому прикладі. Застосуємо правило похідної праці:

Дивимося таблицю похідних основних елементарних функцій та знаходимо рішення:

Знайдемо похідну функції:

У даному прикладі . Значить:

Тепер подивимося варіант визначення похідної твори 3-х функцій. За такою системою диференціюють твір 4-х, і 5-ти, і 25-ти функцій.

Виходимо із правила диференціювання твору 2-х функцій. функцією f(x)вважаємо твір (1+x)sinx, а функцією g(x)візьмемо lnx:

Щоб визначити знову застосовуємо правило похідної праці:

Скористаємося правилом похідної суми та таблицею похідних:

Підставляємо результат, який ми отримали:

З описаного вище видно, іноді потрібно застосовувати не тільки одне правило диференціювання на одному прикладі. Тут важливо робити все послідовно та уважно.

Функція є різницею виразів і означає:

У першому виразі виносимо 2-йку за знак похідної, а у 2-му виразі використовуємо правило диференціювання твору:

Що таке похідна?

Похідна - одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося із цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань та доказів.

Це знайомство дозволить:

- розуміти суть нескладних завдань із похідною;

— успішно вирішувати ці самі не складні завдання;

- підготуватися до більш серйозних уроків з похідної.

Спочатку – приємний сюрприз.)

Суворе визначення похідної ґрунтується на теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не потребує таких великих і глибоких знань!

Для успішного виконання більшості завдань у школі та ВНЗ достатньо знати всього кілька термінів- щоб зрозуміти завдання, і лише кілька правилщоб його вирішити. І все. Це радує.

Приступимо до знайомства?)

Терміни та позначення.

В елементарній математиці багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, зведення в ступінь, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математикастає вищою. Ця нова операціяназивається диференціювання.Визначення та зміст цієї операції буде розглянуто в окремих уроках.

Тут важливо зрозуміти, що диференціювання — це просто математична операція над функцією. Беремо будь-яку функцію і, за певними правилами, перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.

Диференціювання- Дія над функцією.

Похідна- Результат цієї дії.

Так само, як, наприклад, сума- Результат додавання. Або приватне- Результат поділу.

Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: знайти похідну функції; взяти похідну; продиференціювати функцію; обчислити похіднуі т.п. Це все одне і теж.Зрозуміло, бувають і складніші завдання, де перебування похідної (диференціювання) буде лише одним із кроків вирішення завдання.

Позначається похідна за допомогою штришку вгорі праворуч над функцією. Ось так: y’або f"(x)або S"(t)і так далі.

Читається ігор штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від те,Ну ви зрозуміли.)

Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х+3)’, (x 3 )’ , (sinx)’і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми не розглядатимемо.

Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого – навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної – це перетворення функції за певними правилами.Цих правил, на диво, зовсім небагато.

Щоб знайти похідну функції, треба знати лише три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:

1. Таблиця похідних (формули диференціювання).

3. Похідна складної функції.

Почнемо по порядку. У цьому вся уроці розглянемо таблицю похідних.

Таблиця похідних.

В світі - нескінченна безлічфункцій. Серед цієї множини є функції, які найбільш важливі для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як із цеглинок, можна сконструювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції.Саме ці функції вивчаються в школі — лінійна, квадратична, гіпербола тощо.

Диференціювання функцій «з нуля», тобто. виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики - теж люди, так-так!) От і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де вже готово.)

Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Зліва – елементарна функція, праворуч – її похідна.

Формули диференціювання

Таблиця похідних елементарних функцій

Обчислення похідної називають диференціюванням.

Позначають похідну $y'$ або $\frac$.

Для знаходження похідної функції її згідно з певними правилами перетворюють на іншу функцію.

Розглянемо таблицю похідних. Звернімо увагу на те, що функції після знаходження їх похідних перетворюються на інші функції.

Виняток становить лише $y=e^x$, що перетворюється сама на себе.

Правила диференціювання

Найчастіше при знаходженні похідної потрібно не просто подивитися в таблицю похідних, а спочатку застосувати правила диференціювання, а потім використовувати таблицю похідних елементарних функцій.

1. Постійна виноситься за знак похідної

Продиференціювати функцію $y=7x^4$.

Знаходимо $y'=(7x^4)'$. Виносимо число $7$ за знак похідної, отримуємо:

використовуємо таблицю і знаходимо значення похідної статечної функції:

перетворимо результат до прийнятого в математиці виду:

2. Похідна суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) похідних:

Продиференціювати функцію $y=7+x-5x^3+4 \sin ⁡x-9\sqrt +\frac -11\cot x$.

відзначимо, що з диференціювання все ступеня і коріння необхідно перетворити на вигляд $x^>$;

винесемо всі постійні за знак похідної:

розібравшись з правилами, деякі з них (наприклад, як останні два) застосовуються одночасно, щоб уникнути переписування довгого виразу;

ми отримали вираз із елементарних функцій, що стоять під знаком похідної; скористаємося таблицею похідних:

перетворимо до виду, прийнятого в математиці:

$=1-25x^4+4 \cos ⁡x-\frac >+\frac +\frac $ . Звернемо увагу, що при знаходженні результату прийнято доданки з дробовими ступенямиперетворити на коріння, і з негативними – на дроби.

Нічого не зрозуміло?

Спробуй звернутися за допомогою до викладачів

3. Формула похідної праці функцій:

Продиференціювати функцію $y=x^ \ln⁡x$.

Спочатку застосуємо правило обчислення похідної добутку функцій, а потім використовуємо таблицю похідних:

4. Формула похідної приватних функцій:

Продиференціювати функцію $y=\frac$.

за правилами пріоритету математичних операцій спочатку виконаємо поділ, а потім додавання та віднімання, тому застосуємо спочатку правило обчислення похідної частки:

застосуємо правила похідних суми та різниці, розкриємо дужки та спростимо вираз:

Продиференціюємо функцію $y=\frac$.

Функція y є окремим двох функцій, тому можна застосувати правило обчислення похідної частки, але в такому випадку отримаємо громіздку функцію. Для спрощення цієї функції можна почленно розділити чисельник на знаменник:

Застосуємо до спрощеної функції правило диференціювання суми та різниці функцій.