Обчислення інтегралів за допомогою вирахувань онлайн калькулятор. Відрахування Основна теорема про відрахування Застосування відрахувань до обчислення інтегралів

1. Обчислення інтегралів з замкнутому контуру. Нехай функція f(z)має всередині замкнутого контуру Г тільки ізольовані особливі точки. Тоді інтеграл від f(z)по контуру Р можна визначити, застосовуючи теорему 27.1 про відрахування: обчислюючи відрахування у спеціальних точках, що усередині контуру Р, складаючи ці відрахування і множачи суму на 2тгг, ми отримаємо шуканий інтеграл.

Г1 р і м е р 28.1. Обчислити інтеграл

Рішення. Усередині кола z = 2 знаходяться дві спеціальні точки функції f(z) = ( 2 2+ i)(^+ 3) 2 ’ а саме z i = Uz 2= -Цтретя особлива точка z%= - 3 лежить поза цим колом. Відрахування у точках ±г були знайдені у прикладі 27.5: res*/ = 0,01(7-N), res_*/ = 0,01(7- г).Застосовуючи формулу (27.2), маємо:

Якщо функція f(z)має у розширеній комплексної площиниЗ тільки ізольовані особливі точки, то замість обчислення суми відрахувань у кінцевих особливих точках буває простіше знайти відрахування у нескінченно віддаленій точці та скористатися теоремою 27.10 про суму відрахувань.

Приклад 28.2. Обчислити інтеграл

Рішення. Функція f(z)= має вісім особливих точок

Рішень рівняння z s 4- 1 = 0. Кожна з цих точок Zkє полюсом другого порядку, оскільки в околиці точки Zkфункція f(z)має вигляд f(z)= , де h(z)аналітична на околиці

крапки Zkі h(zk) ф 0. Усі особливі точки лежать усередині кола z= 2. Обчислення відрахувань переважають у всіх цих точках дуже трудомістко. До цієї функції застосовна теорема 27.10, яка дає

Тому достатньо знайти вичег у точці zq = ео. Скористаємося формулою (27.13). Тут

Функція g(w)представима у вигляді = - 1 ^ ^. де h(w) = --

W(1 + W b)

Оскільки hi(w)аналітична на околиці точки wq = 0 і h(0) Ф 0, то відрахування reso$ легко знайти за формулою (27.6/): reso# = h(0) = 1. З (27.2), (28.1) та (27.13) отримуємо:

• 2. Обчислення інтегралів виду / R(cos ip, sin dp,де R -

раціональна функція від cos р, sin нар.Такі інтеграли виникають у ряді додатків (наприклад, при вирішенні крайових задач). Вони зводяться до інтегралів, розглянутих у попередньому пункті за допомогою заміни змінного 2 = е г Тоді dz = e tip idp = zidp, звідки

(Див. формули (12.2)). При зміні рвід 0 до 2тг точка г описує коло z= 1. Тому після переходу до змінного 2 ми отримаємо інтеграл по одиничного колавід функції, що у вигляді відносини двох многочленов; такі функції називаються раціональними дробамиабо дробово-раціональними функціями.

Приклад 28.3. Обчислити інтеграл

Вирішуючи і е. Виконуючи зазначені вище підстановки, отримаємо, що даний інтеграл дорівнює

Розкладемо знаменник на множники, для чого знайдемо коріння рівняння az 2 - (а 2 + )z + а= 0. Дискримінант

Отже, підінтегральна функція f(z)має дві особливі точки z - ата 22 = 1/а, кожна з яких є полюсом першого порядку. Оскільки за умовою |а| Z лежить усередині кола z= 1, а г?поза нею. За теоремою 27.1

Для обчислення відрахування в точці Z = аможна скористатися будь-якою з формул (27.5), (27.6), (27.6"). Застосуємо, наприклад, формулу (27.6).

3. Обчислення невласних інтегралів. Нехай f(x)

функція, задана на всій осі ОХ.Розглянемо обчислення несоб-

ственных інтегралів f f(x) dx,що визначаються таким чином:

Інтеграл, визначений рівністю (28.2), називається невласним інтегралом у сенсі головного значення.Якщо зрадять (28.2)

існує, то інтеграл J f(x) dxназивається схожим; якщо пре-

справ не існує, то розбіжним.

Якщо сходиться кожен із інтегралів

(тобто існують обидві відповідні межі), то невласний інтеграл у (28.2) також сходиться і дорівнює суміцих інтегралів.

Але протилежне неправильно: зі збіжності інтеграла / f(x)dxв сенсі

головного значення (тобто з існування межі в (28.2)) не слід-

дме збіжність інтегралів / f(x)dxта / f(x)dx.Наприклад, інте-

• -оо о

/ xdx

• --^ сходиться в сенсі головного значення і дорівнює нулю,
• 1 + х*

оскільки

Водночас кожен із інтегралів розходиться.

Обчислення багатьох невласних інтегралів

(У сенсі головного значення) ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема 28.4. Нехай функція f(x), x 6 (-оо, +ос), задовольняє наступним двом умовам:

• 1) функція f(z), одержувана заміною х комплексним: змінним z, має в комплексній площиніЗ лише ізольовані спеціальні точки, причому жодна з них не лежить на осі ОХ;
• 2) якщо 7(Я) - півколо радіуса R з центром на початку координат, лежача у верхній (або нижній) напівплощині, то

в осо-

Тоді інтеграл. J f(x)dxдорівнює сум.ме відрахувань функції f(z)

бих точках, що лежать у верхній півхрхлоскеті, помноженої на 2/П (відповідно ]твен сумі відрахувань в особливих точках з нижньої напівплощини, помноженої па -2 лг).

Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли півколо 7(Я) лежить у верхній напівплощині. Візьмемо замкнутий контур Р, що складається з відрізка [-Я, Я] і півкола 7(Я), з обходом проти годинникової стрілки (рис. 49). За теоремою 27.1

де сума поширюється на всі спеціальні точки Zk, що лежать усередині контуру Г. Перейдемо до межі при Я -> оо.Користуючись співвідношеннями (28.2) та (28.3), отримаємо потрібну рівність:

де сума береться за всіма особливими точками з верхньої півплощини.

Біли півколо 7(Я) лежить у нижній напівплощині, то відповідний контур Г“ буде обходитися за годинниковою стрілкою (такий напрямок виникає від того, що відрізок [-Я, Я] у будь-якому випадку повинен проходити зліва направо, тобто у напрямку зростання х).Тому до правої частини (28.4) додасться знак мінус. Теорему 28.4 доведено.

Приклад 28.5. Обчислити інтеграл

Рішення. У даному випадку f(z) = ^+ уу Перевіримо справедливість умови (28.3):

де h(z) = --§- ту.Так як lim h(z)= 1, то при досить болю-

ших значеннях zбуде h(z)

Відтак.

(тут f dz= тг R- Довжина півкола у (R)).Переходячи до пре-7(«)

справі при R-> оо. отримаємо (28.3). Проведені оцінки справедливі як для верхньої, так і для нижньої півкола. Тому як 7(Л) можна вибрати будь-яку з них. Нехай у (R) -верхня півкола. Так як

то f(z)має дві особливі точки z - 3г, zo= -Зг, є полюсами другого порядку. З них у верхній напівплощині знаходиться тільки z= Зг. Вирахування у цій точці знайдемо за формулою (27.7) з тг = 2:

Зауважимо, що обчислити даний інтеграл можна було і не вдаючись до методів комплексного аналізу, А знаходячи первинну підінтегральну функцію. Але наведене обчислення значно простіше.

Розмір, проведений нами в прикладі 28.5 для перевірки умови (28.3), без зміни підходить до будь-якої функції f(z),у вигляді відносини двох многочленів (тобто. раціонального дробу), якщо ступінь многочлена у знаменнику на дві і більше одиниці перевищує ступінь багаточлена у чисельнику. (У прикладі 28.5 ступінь многочлена в чисельнику дорівнює 2, а в знаменнику - 4.) Наступна теорема показує, що умові (28.3) задовольняє і інший важливий клас функцій, інтеграли від яких виникають, наприклад, операційному обчисленні(Див. гл. VIII).

Теорема 28.6 (лема Жордана). Нехай функція F(z) аполітична в напівплощині lm z ^-а, за винятком кінцевого числаізольованих особливих точок, і lim F(z) = 0. Якщо 7(R) - дуга

кола z = 7?, розташована в напівплощині Ini 2 ^ -а, то

Рис. 50

Доведення. Розглянемо спочатку випадок а > 0. Позначимо через М(7?) максимум модуля F(z)на дузі 7(7?). Оскільки lira F(z) = 0, то

lim M(R) = 0.

Розіб'ємо 7(7?) на три частини 7i (Л), 72(7?) та 7з(Т?) (рис. 50): дуги 7 i(R)і 72(Я) укладені між прямою у = -аі віссю ОА", а 7з(Т?) є півколом, що лежить в напівплощині Im z^ 0. Очевидно, що інтеграл по 7(7?) дорівнює сумі інтегралів за цими трьома дугами. Оцінимо кожен із них окремо.

У точках z = х + iyдуг 71 (7?) та 72 (7?) буде -у Тому

Позначимо через /(7?) довжини, а через у?(7?) - центральні кутидуг 7i(T?) та 72(7?) (у радіанах). Чи легко бачити (див. рис. 50), що siny? =

звідки?> (7?) = arcsin -. Тому /(7?) = R

7?arcsin -. Звідси отримуємо

Таким чином, у випадку а>0 теорема доведена. Якщо а^ 0, то дуга "y(R)лежить у напівплощині Im z^ 0 і є частиною дуги 73 (R);частини 7i (R)і 7г(Я) у разі відсутні. Для 7 (R)справедливі міркування, проведені вище для 73(7?), та теорема 28.G повністю доведена.

Сенс теореми 28.6 у тому. що функція F(z)може прагнути до нуля як завгодно повільно (зауважимо, що в прикладі 28.5 спад функції f(z)при z-? оо було досить швидко як |z|“ 2). Але множення на e ltzзабезпечує прагнення інтеграла по 7 (R)нанівець.

Зауваження. Для випадку t z = /?, що лежить у напівплощині Im z ^ -а(На рис. 50 показано пунктиром). Доказ у цьому випадку аналогічно наведеному вище для t > 0. У разі t - 0 теорема 28.6 неправильна.

П р і м е р 28.7. Обчислити інтеграли

Таким чином, дійсна та уявна частини функції f(x)і є тими функціями, інтеграли яких потрібно знайти. Тому

ються тими функціями, інтеграли яких потрібно знайти. Тому

/ Х€*^ х

• --- dxта візьмемо від нього діям + 9

ну і уявну частини, то отримаємо шукані величини.

Функція F(z) = .Д задовольняє умовам теореми 28.6: вона z"f 9

має лише дві особливі точки z> = ±3t і lim - = 0. Ес-

z->oо Z z + 9

чи 7(/?) дуга кола z = R,розташована в напівплощині Im z > 0. то згідно tcodcmc 28.6

(ми взяли у (28.5) t= 2). Отже, можна застосувати теорему 28.4,

згідно з якою інтеграл / --- dxдорівнює сумі відрахувань функці-

J x z 4- 9

ції f(z) = --- в особливих точках із верхньої напівплощини 1 т z > z I J

О, помноженої на 2т.У напівплощині Im z > 0лежить єдина

Z e i2z

особлива точка Z= Зг функції f(z).Так як f(z) = ------,

(z - oi) (z+ Зг)

то z= Зг – полюс першого порядку. Відрахування в цій точці можна знайти за будь-яким сЬоомул (27.,"В. (27.6L (27.63. Ппіменім (27.63. Злісь)

Дійсна та уявна частини отриманого числа і будуть шуканими і I рєгралам:

(Зауважимо, що рівність нуля першого з цих інтегралів безпосередньо випливає з того, що він є інтегралом від непарної функції за інтервалом, симетричним щодо початку координат.)

Визначення. Точки комплексної площини, у яких однозначна функція f(z) є аналітичною, називають правильнимиточками цієї функції, а точки, у яких f(z) не є аналітичною, називають особливимиточками (зокрема, точки, у яких f(z) не визначено).

Визначення. Крапка z 0 називається нулем (корінням) порядку (кратності)аналітичної функції f(z),якщо:

б) існує, кінцевий і не дорівнює нулю.

Якщо цілі позитивні числа), тоді – нулі (коріння) цього багаточлена, які мають відповідно порядки (кратності).

Визначення. Нехай f(z) аналітична функція в околиці точки z 0 , за винятком самої точки z 0 . У цьому випадку точка z 0 називається ізольованою особливою точкоюфункції f(z).

Розрізняють ізольовані спеціальні точки однозначної функції трьох типів :

1) усунути особливу точку - ізольовану особливу точку z 0 , в якій існує кінцева межа:

2) полюс k-го порядку – ізольовану особливу точку z 0 , в якій існує кінцева межа, яка не дорівнює нулю:

(2.41)

якщо , то z0 - полюс першого порядку (простий полюс);

3) суттєво особливу точку – ізольовану особливу точку z 0 , яка є ні усунутим, ні полюсом. Тобто немає, ні кінцевий, ні нескінченний.

Теорема (про зв'язок між нулем та полюсом). Якщо точка z 0 – нуль порядку до функції f(z), то функції 1/f(z) ця точка є полюсом порядку до.

Нехай f(z) – функція, аналітична у кожній точці області D, крім кінцевого числа ізольованих спеціальних точок, і L — кусочно-гладкий замкнутий контур, що повністю лежить у сфері D і проходить через спеціальні точки функції f(z).

Якщо в області, обмеженій контуром L, не міститься особливих точок функції f(z), то за основною теоремою Коші

.

Якщо ж області, обмеженої контуром L, є спеціальні точки функції f(z), то значення цього інтеграла, взагалі кажучи, на відміну від нуля.

Визначення. Вирахуванням аналітичної функції f(z) щодо ізольованої особливої ​​точки z 0 (або в точці z 0) називається комплексне число, рівне значеннямінтеграла , де L - будь-який кусочно-гладкий замкнутий контур, що лежить в області аналітичності функції f(z) і містить єдину особливу точку z 0 функції f(z).

Відрахування f(z) щодо точки z 0 позначається символом resf(z 0)(Resf(z 0)) або так, що маємо:

. (2.42)

Відрахування функції щодо особливої ​​точки, що усувається, дорівнює нулю:

Відрахування f(z) щодо простого полюса можна знайти за формулою:

Відрахування f(z) щодо полюса порядку знаходять за формулою:

Якщо причому точка є простим нулем і не є нулем для , то:

. (2.46)

Основна теорема Коші про відрахування. Якщо функція f(z) аналітична замкнутої області, обмеженою контуром L, за винятком кінцевого числа особливих точок , що лежать усередині ,то:

Ця теорема має велике значеннядля додатків.

Зауваження. У попередніх міркуваннях про відрахування неявно передбачалося, що розглядаються кінцеві ізольовані особливі точки (це ясно з того, що інтеграл по замкнутому контуру за умовчанням брався в позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки, а особлива точка при цьому потрапляє всередину контуру тільки в випадку, коли вона кінцева). У разі ж, коли розглядається нескінченно віддалена точка, Ситуація дещо інша. Точніше, сформулюємо це так.

Визначення.Вирахуванням функції f(z) щодо нескінченно віддаленої точки називають інтеграл:

де L – замкнутий шматково-гладкий контур, що повністю лежить в тій околиці точки, в якій функція f(z) є аналітичною. Інтегрування по L відбувається у негативному напрямі цього контуру, тобто. так, щоб при обході контуру нескінченно віддалена точка залишалася зліва. Таким чином:

Приклад 1

Знайти інтеграл від функції комплексного змінного, використовуючи основну теорему Коші про відрахування:

.

Рішення

1) Визначимо ізольовані особливі точки підінтегральної функції відповідно до теореми (2.47):

Особливі точки: .

2) Визначимо точки, що лежать усередині області інтегрування, зобразимо область графічно (рис. 2.7).

Точку z = 1 не розглядаємо, оскільки вона лежить усередині області .

3) Визначимо тип розглянутої ізольованої особливої ​​точки z = 0. Знайдемо межу за формулою (2.41):

Оскільки межа існує, то z = 0 – полюс першого порядку (простий полюс).

4) Знайдемо відрахування функції щодо простого полюса z = 0, використовуючи формулу (2.44):

5) Визначимо значення інтеграла за основною теоремою Коші про відрахування (2.47):

Відповідь

Приклад 2

Знайти інтеграл від функції комплексного змінного, використовуючи основну теорему Коші про відрахування.

Калькулятор вирішує інтеграли з описом дій ДЕТАЛЬНО російською мовою та безкоштовно!

Рішення невизначених інтегралів

Це онлайн сервісв один крок:

Рішення певних інтегралів

Це онлайн сервіс у один крок:

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
• Ввести нижню межу для інтегралу
• Ввести верхня межадля інтегралу

Рішення подвійних інтегралів

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)

Рішення невласних інтегралів

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
• Введіть верхню область інтегрування (або нескінченність)
• Ввести нижню область інтегрування (або - нескінченність)

Рішення потрійних інтегралів

• Ввести підінтегральний вираз (підінтегральну функцію)
• Ввести нижню та верхню межі для першої області інтегрування
• Ввести нижню та верхню межу для другої області інтегрування
• Ввести нижню та верхню межу для третьої області інтегрування

Даний сервіс дозволяє перевірити свої обчисленняна правильність

Можливості

• Підтримка всіх можливих математичних функцій: синус, косинус, експонента, тангенс, котангенс, корінь квадратний та кубічний, ступеня, показові та інші.
• Є приклади для введення, як для не певних інтегралів, і для невласних і певних.
• Виправляє помилки у ведених виразах і пропонує свої варіанти для введення.
• Чисельне рішення для певних та невласних інтегралів (у тому числі для подвійних та потрійних інтегралів).
• Підтримка комплексних чисел, а також різних параметрів (ви можете вказувати в підінтегральному вираженні не тільки змінну інтеграцію, але й інші змінні параметри)

Теоретичний мінімум

Часто трапляються випадки, коли обчислення певних інтегралів методами комплексного аналізу краще, ніж методами
речового аналізу. Причини можуть бути різними. Методи ТФКП можуть дозволяти окремих випадках сильно скоротити обчислення.
Іноді формулу Ньютона-Лейбніца не можна використовувати, оскільки невизначений інтегралне виявляється у елементарних функціях.
Методи диференціювання та інтегрування за параметром вимагають дуже акуратного обґрунтування своєї застосовності, та й параметр іноді
доводиться вводити штучно.

Зазвичай методами комплексного аналізу обчислюються невласні інтеграли- за нескінченним проміжком або від необмежених на відрізку
інтегрування функцій. Загальна ідеяполягає в наступному. Складається контурний інтеграл. Інтеграл за деякими ділянками контуру повинен
збігатися з шуканим певним інтегралом - принаймні з точністю до постійного множника. Інтеграли по інших ділянках контуру
мають обчислюватися. Потім застосовується основна теорема про відрахування, згідно з якою
,
де - це особливі точки функції, що знаходяться всередині контуру інтегрування. Таким чином, контурний інтеграл з однією
боку виявляється вираженим через шуканий певний інтеграл, з другого боку обчислюється з допомогою відрахувань (що зазвичай
серйозних складнощів не представляє).

Основна складність – вибір контуру інтегрування. Його підказує, в принципі, підінтегральна функція. Однак без достатньої
практики опанувати даним методом складно, тому прикладів буде наведено досить багато. Найчастіше використовуються контури, складені з
елементів, якими зручно проводити інтегрування (прямі, дуги окружностей).

інтегрування у комплексній площині

приклад 1. Інтеграли Френеля.
Обчислимо інтеграли , .
Неважко здогадатися, що першим кроком є ​​перехід до експоненційної форми, що передбачає розгляд інтегралу.
Потрібно лише підібрати контур інтегрування. Зрозуміло, що в контур має увійти піввісь. Речовина та
уявні частини інтеграла по цій частині контуру являють собою інтеграли Френеля. Далі обчислюваний контурний інтеграл за структурою
Підінтегральний вираз нагадує інтеграл Ейлера-Пуассона, значення якого відомо. Але, щоб отримати цей інтеграл, потрібно покласти
тоді. А таке уявлення змінної – це інтегрування по прямій, яка проходить через точку.
під кутом до речової осі.
Отже, два елементи контуру є. Щоб контур замкнувся, будемо вважати, що вибрані дві ділянки контуру мають кінцеву довжину і замкнемо
контур дугого кола радіуса. Пізніше ми спрямуємо цей радіус до нескінченності. В результаті виходить зображений на рис. 1 контур.

(1)
Усередині контуру інтегрування підінтегральна функція спеціальних точок немає, тому інтеграл у всьому контурі дорівнює нулю.

.
У межі цей інтеграл дорівнює нулю.
На ділянці можна записати, тоді
.
Підставляємо отримані результати в (1) і переходимо до межі:

Відокремлюючи речову та уявну частини, знаходимо, враховуючи значення інтеграла Ейлера-Пуассона
,
.

приклад 2. Вибір контуру інтегрування, що містить всередині особливу точку підінтегральної функції.
Обчислимо інтеграл, схожий на розглянутий у першому прикладі: , де .
Обчислюватимемо інтеграл. Контур виберемо аналогічний тому, який використовувався першому прикладі. Тільки тепер немає мети
звести обчислення до інтеграла Ейлера-Пуассона. Тут зауважимо, що при заміні підінтегральна функція не зміниться.
Це міркування підказує вибрати похилу пряму контуру інтегрування так, щоб вона становила з віссю речової кут .

При записі контурного інтегралу
(2)
інтеграл по дузі кола межі прагне нулю. На ділянці можна записати :
.
Таким чином, з (2) при переході до межі знаходимо
.
Тут враховано, що всередині контуру інтегрування підінтегральна функція має простий полюс.

Звідси знаходимо шуканий інтеграл:
.

приклад 3. Через верхню або нижню напівплощину замкнути контур інтегрування?
На наступному достатньо простому інтеграліпродемонструємо характерну деталь вибору контуру інтегрування. Обчислимо
інтеграл.
Фактично шуканий інтеграл функції обчислюється вздовж речової осі, на якій підінтегральна функція не має
особливостей. Залишається лише замкнути контур інтегрування. Так як у функції під інтегралом всього дві кінцеві спеціальні точки, то
замкнути контур можна півколо, радіус якого слід спрямувати до нескінченності. І тут постає питання про те, як має
бути обрана півкола: у верхній або нижній напівплощині (див. рис. 3 а, б). Щоб зрозуміти це, запишемо інтеграл по півколу
в обох випадках:


а)
б)
Як бачимо, поведінка інтеграла межі визначається множником .
У разі "а" , а тому межа буде закінчена за умови .
У випадку "б" - навпаки - , а тому межа буде закінчена за умови .
Це наводить на думку, що спосіб замикання контуру визначається знаком параметра . Якщо він позитивний, то
контур замикається через верхню напівплощину, інакше - через нижню. Розглянемо ці випадки окремо.
а)
Інтеграл по півколу в межі, як ми бачили, обернеться в нуль. Усередині контуру (див. рис. 3а) знаходиться
особлива точка , тому

б)
Аналогічно знаходимо за допомогою інтегрування за контуром, зображеним на рис. 3б,

Зауваження. Може здатися дивним, що інтеграл від комплексної функціївийшов речовим. Однак це легко зрозуміти, якщо у вихідному
інтегралі виділити речову та уявну частину. У уявній частині під інтегралом виявиться непарна функція, а інтеграл обчислюється в симетричних
межах. Тобто. уявна частина обернеться в нуль, що і вийшло в нашому розрахунку.

приклад 4. Обхід спеціальних точок підінтегральної функції при побудові контуру інтегрування.
У розглянутих прикладах підінтегральна функція або мала особливих точок, або вони були всередині контуру інтегрування. Однак
буває зручно вибрати контур так, що на нього потрапляють спеціальні точки функції. Такі точки доводиться оминати. Обхід здійснюється
по колу малого радіусу, який надалі просто прямує до нуля. Як приклад обчислимо інтеграл .
Може здатися, що підінтегральна функція не має кінцевих особливих точок, так як точка є особливістю, що усувається.
Але для обчислення інтеграла доводиться складати контурний інтеграл від іншої функції (щоб забезпечити обіг інтеграла в нуль на
замикаючої півкола в межі нескінченного радіусу): . Тут підінтегральна функція має полюсну особливість
у точці.

Отже, потрібен інший контур інтегрування (див. рис. 4). Він відрізняється від рис. 3а тільки тим, що особлива точка обходиться по півколу,
радіус якої передбачається надалі спрямувати до нуля.
. (3)
Відразу зауважимо, що інтеграл з великого півкола в межі її нескінченно великого радіусупрагне нуля, а всередині контуру
особливих точок немає, тому весь інтеграл по контуру дорівнює нулю. Далі розглянемо перший і третій доданки (3):

.
Тепер запишемо інтеграл малого півкола, враховуючи, що у ньому . Також відразу будемо враховувати трохи радіусу півкола:


Не виписані доданки, які прагнуть нуля межі .
Збираємо доданки в (3) - крім того, що відноситься до великого півкола складового.

Як видно, ті, що звертаються в нескінченність при складові, взаємно знищилися. Спрямовуючи і маємо
.
Зауваження. Абсолютно аналогічно обчислюється, наприклад, інтеграл Діріхле (нагадаємо, він відрізняється від щойно розглянутого відсутністю
квадратів у чисельнику та знаменнику).

Приклади обчислення певних інтегралів за допомогою контурного
інтегрування у комплексній площині (продовження)

Приклад 5. Підінтегральна функція має безліч особливих точок.
У багатьох випадках вибір контуру ускладнений тим, що у підінтегральної функції безліч особливих точок. В цьому випадку може
виявитися так, що сума відрахувань насправді буде поруч, збіжність якого ще доведеться доводити, якщо підсумовувати його
не виходить (а підсумовування рядів - взагалі окрема досить складна задача). Як приклад обчислимо інтеграл.
Зрозуміло, що частина контуру – речова вісь. На ній функції особливостей немає. Обговоримо, як замкнути контур. Вибирати півколо не слід.
Справа в тому, що гіперболічний косинус має сімейство простих нулів. . Тому всередину контуру, замкнутого півколо
в межі нескінченно великого радіусу, потрапить безліч особливих точок. Як ще можна замкнути контур? Зауважимо, що .
Звідси випливає, що можна спробувати включити в контур інтегрування відрізок, паралельний речовій осі. Контур замкнеться двома
вертикальними відрізками, що межі знаходяться нескінченно далеко від уявної осі (див. рис. 5).


На вертикальних ділянках контуру . Гіперболічний косинус із зростанням аргументу (за модулем) зростає експоненційно, тому
у межі інтеграли по вертикальним ділянкампрагнуть нуля.

Отже, у межі
.
З іншого боку, всередині контуру інтегрування знаходяться дві спеціальні точки підінтегральної функції. Відрахування в них
,
.
Отже,
.

Приклад 6. Підінтегральна функція певного та контурного інтегралів різні.
Існує дуже важливий випадокобчислення певних інтегралів шляхом контурного інтегрування. Досі підінтегральна
функція контурного інтеграла або просто збігалася з підінтегральною функцією певного інтеграла, або переходила до неї відділенням
речової або уявної частини. Але не завжди все виявляється так просто. Обчислимо інтеграл.
У сенсі вибору контуру особливої ​​проблеми немає. Хоча у функції під інтегралом нескінченно багато простих полюсів, ми вже знаємо
з досвіду попереднього прикладу, що необхідний прямокутний контур, оскільки . Єдина відмінність від прикладу 5 полягає в тому,
що на пряму попадає полюс підінтегральної функції, який потрібно обійти. Тому вибираємо зображений
на рис. 6 контур.

Розглянемо контурний інтеграл. Ми не розписуватимемо його на кожній ділянці контуру, обмежившись горизонтальними
дільницями. Інтеграл по речовій осі межі прагне шуканого. Запишемо інтеграли з інших ділянок:
.
У межі і перші два інтеграли дадуть, потім вони увійдуть у контурний інтеграл у сумі
з шуканим, що відрізняється знаком. В результаті з контурного інтеграла шуканий певний інтеграл випаде. Це означає, що
підінтегральна функція була обрана неправильно. Розглянемо інший інтеграл: . Контур залишаємо тим самим.

Для початку знову розглянемо інтеграли горизонтальними ділянками. Інтеграл уздовж речової осі перейде до .
Цей інтеграл дорівнює нулю як інтеграл непарної функціїу симетричних межах.

У межі та перші дві дужки звернуться в нуль, знову утворивши інтеграли від непарних функцій
у симетричних межах. А ось остання дужка з точністю до множника дасть шуканий інтеграл. Має сенс продовжувати обчислення.
Аналогічно прикладу 5 до нуля прагнуть інтеграли по вертикальних ділянках контуру при . Залишається знайти інтеграл
по півколу, де . Як у прикладі 4, обчислюємо інтеграл, враховуючи трохи :
.
Отже, ми маємо все, щоб записати в межі і контурний інтеграл:

А з іншого боку, всередині контуру інтегрування виявився полюс підінтегральної функції