Навіщо застосовується метод тріангуляції в трубопровід. Методи тріангуляції, прямі методи - тривимірна тріангуляція

Тріангуляційну схему (рис. 1) умовно можна розділити на три частини: випромінювальний (або освітлювальний) канал, контрольована поверхня, приймальний канал.

Рис. 1. Принципова схематріангуляційного вимірювача: 1 - випромінювальний канал,
2 - контрольована поверхня; 3 - приймальний канал.

Перша частина схеми – випромінювальний канал, що складається з джерела випромінювання та об'єктива, який формує зондуючий пучок на контрольованій поверхні. Як джерело випромінювання, зазвичай, використовується лазерний діод. Розподіл світла, що створюється такими джерелами, називається гаусовим (рис. 2, а).

Шириною d зондуючого пучка називається відстань між точками профілю інтенсивності лише на рівні Imax/e.

Перетяжкою гаусового пучка називається мінімальна ширина пучка вздовж напряму розповсюдження. На малюнку 2 б перетяжка розташована в площині А. Очевидно, в цій площині інтенсивність зондуючого пучка досягає максимального значення.

Рис. 2. а - розподіл Гауса (I - інтенсивність, y - напрямок перпендикулярне поширенню випромінювання), б - гаусовий пучок у поздовжньому розрізі (z - напрямок поширення випромінювання).

Об'єктив складається з однієї або кількох оптичних лінз. Відносне положення об'єктива та лазерного діодавизначає налаштування випромінювального каналу. Щоб налаштувати лазерний модуль, необхідно виставити перетяжку в центр діапазону вимірювання і відцентрувати зондуючий пучок.

Результатом хорошого налаштування є відцентрований пучок, ширина та інтенсивність якого симетрично змінюються щодо центру діапазону вимірювання.

Друга невід'ємна частина тріангуляційної вимірювальної схеми – контрольована поверхня. Кожна поверхня має властивість відбивати або розсіювати падаюче випромінювання. Розсіювання випромінювання поверхнею контрольованого об'єкта використовується в тріангуляції як фізична основадля отримання інформації про відстань до цієї поверхні.

Завдання тріангуляційного датчика – виміряти відстань від обраної точки на осі пучка, що зондує, до фізичної точки поверхні з високою точністю. Будь-яка контрольована поверхня характеризується нерівністю чи ступенем своєї гладкості – шорсткістю Rz. Як правило, необхідна точність вимірювання обернено пропорційна шорсткості контрольованої поверхні. Так, шорсткість поверхні кристалів мікроелектроніки, а значить і відстань, що вимірюється до них, мають масштаб від декількох мікрометрів. А, наприклад, у геодезичній галузі необхідно визначати відстані з точністю до сотень та тисяч метрів.

Основу промислового розмірного контролю становить визначення параметрів металевих поверхонь. Потрібна при цьому точність контролю становить від декількох (атомна промисловість) до сотень мкм (залізнична галузь).

Кожна поверхня має також властивість відбивати або розсіювати падаюче випромінювання. Розсіювання випромінювання поверхнею об'єкта, що контролюється, використовується в тріангуляції як фізична основа для отримання інформації про відстань до цієї поверхні. Тому контрольована поверхня є невід'ємною частиною тріангуляційної вимірювальної схеми.

Третя частина схеми тріангуляційного вимірювача – приймальний канал, що складається з проецірующего об'єктиву та фотоприймача.

Об'єктив, що проектує, формує зображення зондувальної плями в площині фотоприймача. Чим більший діаметр D об'єктива, тим вище його світлосила. Інакше кажучи, тим інтенсивніше та якісніше будується зображення плями.

Залежно від конкретної реалізаціїДля реєстрації сформованого зображення як приймач використовують або фотодіодну лінійку, або позиційно-чутливий приймач.

Схема тріангуляційного вимірювача, наведена малюнку 1, працює наступним чином. Випромінювальний канал 1 формує зображення світлової плями на контрольованій поверхні 2. Далі розсіяний контрольованої поверхнею світло потрапляє в приймальний канал 3. Таким чином, у площині фотоприймача створюється зображення освітленої ділянки контрольованої поверхні (світлова пляма). При зміщенні контрольованої поверхні на величину z (рис. 1), світлова пляма в площині фотоприймача зміщується на величину x. Залежність зсуву контрольованої поверхні?z від зміщення світлової плями в площині фотоприймача?x має такий вигляд:

де - це відстані від контрольованої поверхні 2 до проецірующего об'єктиву приймального каналу 3, і від проецірующего об'єктиву до фотоприймача, при тому, що контрольована поверхня знаходиться в центрі діапазону вимірювань зсувів відповідно.

Відомо, що тріангуляція як геодезичний термін означає спосіб створення геодезичних мереж. Так це так. Але слід розпочати з іншого.

Спочатку з виникненням потреби людини в пізнанні, звичайне мислення призводить її до накопичення певного багажу знань. З розвитком наукового мисленнявсі ці знання систематизуються, зокрема пояснюються з урахуванням фактів, явищ і доказів. Застосовуючи теоретичні припущення практично, виникають свого роду критерії істини. Тобто, чи мають підтвердження практичним шляхомвсі припущення, які з допомогою певних способів дають конкретний результат. Мабуть, одним із таких наукових методів, вирішальних задачпо високоточному виміру великих відстанейміж пунктами на земної поверхніз побудовою трикутників, що примикають один до одного, і вимірювань усередині них став спосіб тріангуляції.

Першим, хто винайшов і застосував метод тріангуляції (1614-1616), був великий голландський учений Віллеброрд Снелл (Снелліус). У ті роки вже були припущення про те, що Земля є планетою космічному просторіта має форму сфери (з космології Джордано Бруно 1548-1600). Встановлення точних розмірівпланети мало велике практичне значеннящодо її освоєння надалі. Ось для цього в Нідерландах через будівництво ряду трикутників були вперше виконані градусні виміри дуги меридіана способом тріангуляції. Що мається на увазі. Виконавши вимірювання між жорсткими геодезичними пунктами з різницею широт між ними в один градус (у Снелліуса 1º11'30") способом тріангуляції і отримавши конкретну відстань дуги, голландський математик звичайним розрахунком міг отримати довжину всього кола меридіана. Очевидно, що вирахувати радіус Землі. фігуру за форму кулі (еліпса) залишалося справою техніки.

На завершення історичного екскурсу можна виділити взаємопов'язаність та виборність наукових знаньдля майбутнього практичного застосуваннялюдиною. І не дивно, що винахід способу тріангуляції відбувся саме в Нідерландах, які на той момент вважалися провідною. морською державоюз потребою нових знань у навігації, географії, астрономії та звісно геодезії.

Сутність методу

Тріангуляція полягає у визначенні просторового розташування спеціально закріплених на території геодезичних пунктів у вершинах цілого ряду трикутників. Спочатку, з високим ступенемточності (до часток секунд) визначають азимути вихідних напрямків ab, ba, mn, nm(Рис.1.Тріангуляційний ряд трикутників по меридіану). Наступним етапом буде визначення астрономічних координат (широти та довготи) у пунктах вимірювань азимутів двох вихідних базисів. У кожній парі жорстких сторін ( ab, mn) координати вимірюються тільки в одній точці, наприклад a, m(Рис.1). При цьому слід звернути особливу увагувизначення астрономічних широт у ряді трикутників, розташованих у напрямку меридіанів. При вимірах у трикутниках, сформованих уздовж паралелей, необхідно приділити належну увагу визначенню астрономічних довгот. Далі проводять вимірювання довжин двох базисних сторін ( ab, mn). Ці сторони мають порівняно не великі довжини(близько 8-10 км). Тому їх виміри більш економічні та точні щодо сторін cd, tq, Що становлять відстані від 30 до 40 км. У наступну чергу виконується перехід від базисів ab, mnчерез кутові виміриу ромбах abcdі mntqдо сторін cd, tq. А потім послідовно практично у кожній вершині трикутників cde, def, efgта інших вимірюються горизонтальні кути до примикання до наступної основної сторони tqвсього ряду трикутників. Через виміряні кути трикутника з виміряною базисною або обчисленою основною стороною послідовно обчислюються всі інші сторони, азимути і координати вершин трикутників.

Рис.1. Тріангуляційний ряд трикутників за меридіаном.

Тріангуляційні мережі

Після першого застосування градусного виміру дуги Снелліусом тріангуляційний метод стає основним способом геодезичних високоточних вимірах. З XIX століття, коли тріангуляційні роботи стали більш досконалими з його допомогою стали формуватися цілі геодезичні мережі, що будуються вздовж паралелей та меридіанів. Найвідоміша з усіх відома під найменуванням геодезичної меридіанної дуги Струве і Теннера (1816-1852). світова спадщиназ ЮНЕСКО. Її тріангуляційний ряд простягся Норвегією, Швецією, Фінляндією та Росією від Північного. Льодовитого океанудо Чорного моря в гирлі Дунаю і становив дугу в 25º20'(рис.2).

Рис.2.

За основу геодезичних мереж тріангуляції нашій країні прийнято схему професора Ф.Н.Красовского (рис.3). Її суть полягає у застосуванні принципу побудов від загального до часткового. Спочатку закладаються вздовж меридіанів та паралелей пункти, що утворюють ряди трикутників довжиною в межах 200-240 км. Довжини сторін у самих трикутниках становлять 25-40 км. всі астрономічні виміриазимутів, координат (широт і довгот) вихідних точок на пунктах Лапласа (1) та проміжних астрономічних точках (2), високоточні базисні (3) геодезичні вимірювання та в кожній точці цього ланцюга має відповідати встановленим вимогам I класу точності (рис.3). Замкнений полігон з чотирьох тріангуляційних рядів є фігурою, що нагадує квадрат з периметром рівним орієнтовно близько 800 км. Через центральні частини першокласних рядів тріангуляції влаштовуються у бік один до одного основні ряди тріангуляційної мережі II класу (рис.3) відповідної точності. Базисні довжини сторін у цих рядах не вимірюються, а приймаються базиси зі сторін тріангуляції І класу. Аналогічно відсутні та астрономічні пункти. Чотири простори, що виникли, заповнюються суцільними тріангуляційними мережами і II, і III класів.

Рис.3.Державні мережі тріангуляції.

Безумовно описана схема розвитку мереж тріангуляції Красовським не може закрити всю територію країни через зрозумілих причинвеликих лісових і незаселених територій країни. Тому із заходу на схід уздовж паралелей були прокладені окремі ряди першокласної тріангуляції та полігонометрії, а не суцільна тріангуляційна мережа.

Переваги тріангуляції

У розвитку геодезичної науки та її практичного застосування очевидні переваги тріангуляційного способу вимірів. За допомогою цього універсального методуможливо:

• визначення положення геодезичних точок на віддалених відстанях;
• виконання основних робіт з будівництва геодезичних мереж по всій території країни;
• забезпечення основою всіх топографічних зйомок;
• вибудовування через основні геодезичні роботи різних систем координат;
• виробництво інженерних та пошукових робіт;
• періодичне визначеннярозмірів Землі;
• вивчення переміщень земної поверхні

Що являє собою тріангуляція? Слід зазначити, що це слово має кілька значень. Так, воно використовується в геометрії, геодезії та інформаційних технологій. У рамках статті увага буде приділена всім темам, але найбільше отримає найпопулярніший напрямок – використання у технічній апаратурі.

У геометрії

Отже, починаємо розбирати, що являє собою тріангуляція. Що це таке у геометрії? Припустимо, у нас є поверхня, що не розгортається. Але при цьому необхідно мати уявлення про її будову. А для цього треба розгорнути її. Звучить неможливо? А ось і ні! І в цьому нам допоможе метод тріангуляції. Слід зазначити, що його використання дозволяє побудувати тільки наближену розгортку. Метод тріангуляції передбачає використання трикутників, що примикають один до другого, де можна виміряти всі три кути. При цьому мають бути відомі координати як мінімум двох пунктів. Інші підлягають визначенню. При цьому створюється або суцільна мережа, або ланцюжок трикутників.

Для отримання точніших даних використовують електронно-обчислювальні машини. Окремо слід згадати про такий момент, як тріангуляція Делоне. Її суть у тому, що при множині точок, за винятком вершин, всі вони лежать поза колом, що описується навколо трикутника. Вперше це описав радянський математик Борис Делоне у 1934 році. Його розробки використовуються в евклідовій задачі про комівояжера, білінійну інтерполяцію і ось що собою являє тріангуляція Делоне.

У геодезії

У даному випадкупередбачається, що створюється пункт тріангуляції, який у подальшому входить у мережу. Причому остання будується в такий спосіб, що нагадує групу трикутників біля. У отриманих фігур вимірюють всі кути, і навіть деякі базисні сторони. Те, як буде проведено тріангуляцію поверхні, залежить від геометрії об'єкта, кваліфікації виконавця, доступного парку приладів та техніко-економічних умов. Все це і вирішує рівень складності робіт, що можуть бути здійснені, а також якість їхнього проведення.

В інформаційних мережах

І поступово підходимо до найцікавішого тлумачення слова «тріангуляція». Що це таке в інформаційних мережах? Слід зазначити, що тут існує велика кількість різних варіантівтрактування та використання. Але в рамках статті через обмеження її розміру увагу отримає лише GPS (глобальна система позиціонування) і, незважаючи на певну схожість, вони досить сильно різняться. І ми зараз з'ясуємо, чим саме.

Глобальна система позиціонування

Вже минуло не одне десятиліття з того часу, як GPS був запущений і успішно функціонує. Глобальна система позиціонування складається з центральної станції управління, розташованої в Колорадо, та спостережних пунктів по всьому світу. За її роботи встигло змінитися вже кілька поколінь супутників.

Зараз GPS є світовою радіонавігаційною системою, яка базується на ряді супутників і земних станцій. Її перевагою є можливість розрахунку координати об'єкта з точністю до лічених метрів. Як може бути представлена ​​тріангуляція? Що це та як працює? Уявіть, що кожен метр на планеті має свою унікальну адресу. І якщо є приймач користувача, то можна запросити координати свого місцезнаходження.

Як це працює на практиці?

Умовно тут можна виділити чотири основні етапи. Спочатку здійснюється тріангуляція супутників. Потім вимірюється відстань від них. Проводиться абсолютний вимірчасу та визначення супутників у космосі. І насамкінець проводиться диференційна корекція. Це якщо стисло. Але не зовсім зрозуміло, як у цьому випадку працює тріангуляція. Що це не добре, зрозуміло. Давайте деталізуємо.

Отже, спочатку до супутника. Встановили, що воно складає 17 тисяч кілометрів. І пошуки нашого місцезнаходження суттєво звужуються. Достеменно відомо, що ми знаходимося на конкретній відстані, і нас необхідно шукати в тій частині земної сфери, яка знаходиться за 17 тисяч кілометрів від засіченого супутника. Але це ще не все. Ми вимірюємо відстань до другого супутника. І виявляється, що ми від нього віддалено на 18 тисяч кілометрів. Отже, нас слід шукати у місці, де перетинаються сфери цих супутників на встановленій відстані.

Звернення до третього супутника дозволить додатково зменшити територію пошуку. І так далі. Місцезнаходження визначається як мінімум за трьома супутниками. Визначення точних параметрів іде згідно з закладеними даними. Припустимо, що радіосигнал рухається зі швидкістю близькою до світлової (тобто трохи менше 300 тисяч кілометрів на секунду). Визначається час, протягом якого він проходить від супутника до приймача. Якщо об'єкт знаходиться на висоті 17 тисяч кілометрів, то це буде близько 0,06 секунди. Потім встановлюється позиція у просторово-часовій системі координат. Так кожен супутник має чітко задану орбіту обертання. І знаючи всі ці дані, техніка та здійснює розрахунок місцезнаходження людини.

Специфіка глобальної системи позиціонування

За документацією, її точність коливається в діапазоні від 30 до 100 метрів. На практиці використання диференціальної корекції дозволяє отримувати деталізацію даних до сантиметрів. Тому сфера застосування глобальної системипозиціонування просто величезна. Вона використовується для відстеження транспортування дорогих вантажів, допомагає посадити літаки, вести судна в туманну погоду. Ну і найвідоміше - це застосування в автомобільних

Алгоритми тріангуляції завдяки своїй універсальності та охопленню всієї планети дозволяє вільно подорожувати навіть незнайомими місцями. При цьому система сама прокладає шлях, вказує, де необхідно згорнути, щоб дістатися встановленої кінцевої мети. Завдяки поступовому здешевленню GPS, навіть є автомобільні сигналізації на основі цієї технології, і зараз якщо машину викрадуть, знайти і повернути її не важко.

А що там із мобільним зв'язком?

Тут, на жаль, не все так гладко. Якщо GPS може визначити координати з точністю до метра, то тріангуляція в стільниковому зв'язку такої якості не може забезпечити. Чому? Справа в тому, що в даному випадку як опорного пунктувиступає базова станція. Вважається, що якщо є дві БС, можна отримати одну з координат телефону. А якщо їх три, то точне місце - це не проблема. Частково це правильно. Але тріангуляція мобільного телефонумає свої особливості. Але тут постає питання точності. Перед цим нами було розглянуто систему глобального позиціонування, яка може досягати феноменальної точності. А ось, незважаючи на те, що мобільний зв'язокмає значно більше апаратури, говорити про якусь якісну відповідність не доводиться. Але про все по порядку.

Шукаємо відповіді

Але спочатку давайте сформуємо питання. Чи піддається визначенню відстань від базової станції до телефону під час використання стандартних засобів. Так. Але чи буде це найкоротша відстань? Хто займається вимірами – телефон чи базова станція? Яка точність даних? Під час обслуговування розмови базова станція вимірює час проходження сигналу від неї до телефону. Ось тільки при цьому він може відбиватися, скажімо, будівель. Слід розуміти, що відстань вважається прямою. І пам'ятайте – лише під час процесу обслуговування дзвінка.

Ще один суттєвий мінус – це досить значний рівень похибки. Так, вона може досягати значення п'ятсот метрів. Тріангуляція мобільного телефону ускладнюється ще й тим, що базові станції не знають, які пристрої є на підконтрольній території. Апарат ловить їхні сигнали, але не інформує про себе. До того ж телефону під силу виміряти сигнал базової станції (що він, втім, постійно робить), але величина згасання йому невідома. І тут постає ідея!

Базові станції знають свої координати та потужність передавачів. Телефон може визначити, наскільки добре він чує їх. У такому разі необхідно засікати всі станції, які працюють, обмінюватися даними (для цього знадобиться спеціальна програма, що розсилає перевірочні пакети), збирати координати і при необхідності передавати їх іншим системам. Здавалося б, справа в капелюсі. Але, на жаль, для цього необхідно здійснити низку модифікацій, у тому числі сім-карти, доступ до якої зовсім не гарантований. І для того, щоб теоретичну можливість перетворити на практичну, необхідно суттєво попрацювати.

Висновок

Незважаючи на те, що телефони є практично у всіх людей, стверджувати, що людину можна запросто відстежити, все ж таки не слід. Адже це не така легка справа, як здається на перший погляд. Більш-менш впевнено можна говорити про успіх лише при використанні глобальної системи позиціонування, але для неї необхідний спеціальний передавач. Загалом, після прочитання цієї статті, сподіваємося, що у читача більше не залишилося питань щодо того, що ж собою являє тріангуляція.

Потреба у вимірі величезних, сотні кілометрів, відстаней – як у суші, і на море – з'явилася ще за давніх часів. Метод тріангуляції дозволив розрахувати величезні відстаніта визначити фігуру Землі.

Поняття тріангуляції

Перш ніж говорити про метод триангуляції, розглянемо суть терміна. Тріангуляція - це мережа прилеглих один до одного трикутників різного виду, Можна порівняти з примиканням паркетин; водночас істотно, що примикають лише цілі сторони, отже вершина одного трикутника неспроможна лежати всередині боку іншого. Тріангуляції відіграли найбільш значну роль у вимірі відстаней на земній поверхні, і тим самим – і у визначенні фігури Землі.

Історія виміру земних відстаней

Капітани суден, як відомо з дитячих книжок, міряють відстані числом викурених трубок. Близький до цього метод, який використовувався у ІІ. до зв. е. відомим давньогрецьким філософом, математиком і астрономом Посідоній, учителем Цицерона: морські відстані Посідоній вимірював тривалістю плавання (з урахуванням, очевидно, швидкості судна).
Але ще раніше, у III столітті до зв. е., інший відомий древній грек, який керував бібліотекою в Олександрії математик і астроном Ератосфен, міряв сухопутні відстані за часом і швидкістю руху торгових караванів. Можливо припустити, що саме так Ератосфен заміряв відстань між Сієною та Олександрією, яка в даний час називається Асуаном (якщо спостерігати за сучасної карти, Виходить приблизно 850 км). Ця відстань була для нього дуже серйозною. Ератосфен хотів виміряти довжину меридіана і думав, що ці два єгипетські міста лежать на тому самому меридіані; Не дивлячись на те, що це зрештою не зовсім так, але близько до істини. Знайдену відстань він прийняв за довжину дуги меридіана. Об'єднавши цю довжину зі спостереженням полуденних висот Сонця над горизонтом у Сієні та Олександрії, він потім шляхом красивих геометричних міркувань обчислив довжину всього меридіана і, як наслідок, радіус земної кулі. Ще в XVI столітті відстань (приблизно 100 км) між Ам'єном та Парижем визначили підрахувавши оберти колеса екіпажу. Неточність результатів аналогічних вимірів очевидна і зрозуміла. Але вже в наступному столітті голландський математик, астроном і оптик Снелліус зміг винайти принципово новий метод триангуляції, що викладається нижче, і з його допомогою в 1615-1617 рр. . виміряв дугу меридіана, що має кутовий розмір 1° 11′ 30″.

Суть методу тріангуляції при вимірі відстаней

Подивимося, як тріангуляція дає змогу визначати відстані. Спочатку вибирають якийсь фрагмент чи ділянку земної площини, що включає обидва пункти, відстань між якими прагнуть знайти, і доступний для проведення вимірювальних робітбіля. Дану ділянку покривають мережею безлічі трикутників, що утворюють тріангуляцію, тобто тріангулюють. Після цього вибирають один із трикутників тріангуляції; називатимемо його початковим. Потім вибирають одну із сторін початкового трикутника. Вона є базою, і її довжину ретельно вимірюють. У вершинах початкового трикутника будують вежі (або вежі) - з таким розрахунком, щоб кожна була видна з інших веж. Піднявшись на вежу, розташовану в одній з вершин бази, вимірюють кут, під яким видно дві інші вежі. Потім піднімаються на вежу, розташовану в іншій вершині бази, і роблять те саме. Так, шляхом безпосереднього виміру, одержують відомості про довжину однієї зі сторін початкового трикутника (зокрема: про довжину бази) та про величину прилеглих до неї кутів. За відомими і простим формуламтригонометрії (із застосуванням косинуса, синуса, тангенсу та катангенсу) обчислюють довжини 2-х інших сторін цього трикутника. Кожну з них можна прийняти за нову базу, причому вимірювати її довжину не потрібно. Використовуючи ту саму процедуру, можливо тепер визначити довжини сторін і кути будь-якого з трикутників, що примикають до початкового, і т.д. що незрівнянно легше і може бути зроблено з високою точністю. Після завершення процесу виявляються встановленими величинивсіх що беруть участь у тріангуляції відрізків і кутів. А це, у свою чергу, дозволяє знаходити будь-які відстані в межах ділянки поверхні, покритої тріангуляцією.

Довжина дуги меридіана від широти Північного Льодовитого океану до широти Чорного моря.

Зокрема, саме так у XIX столітті знайшлася довжина дуги меридіана від широти Північного Льодовитого океану (у районі Хаммерфесту на острові Квале – Норвегія) до широти Чорного моря (в районі низов'я Дунаю). Вона була сформована із довжин 12 окремих дуг. Процедура спрощувалась тим, що для знаходження довжини дуги меридіана зовсім не потрібно, щоб складові дуги примикали один до одного кінцями; достатньо, щоб кінці сусідніх дуг знаходилися на одній широті. (Наприклад, якщо необхідно визначити відстань між сімдесятою та сороковою паралелями, то можливо на одному меридіані заміряти відстань між 70-ю та 50-ю паралелями, на іншому меридіані - відстань між 50-ю та 40-ю паралелями, а після цього скласти отримані відстані.) Загальне числотрикутників тріангуляції становило 258, довжина дуги дорівнювала 2800 км. Щоб виключити помилки та неточності, неминучі при вимірах, а при обчисленнях ймовірні, 10 зазнали прямому вимірубіля. Вимірювання були проведені в період з 1816 по 1855 р.р., а підсумки були викладені у двох томах «Дуга меридіана в 25° 20′ між Дунаєм та Льодовитим морем»(СПб., 1856–1861), написаним чудовим російським геодезистом та астрономом Василем Яковичем Струве (1793–1864), який здійснив російську частинувимірів.

Методи тріангуляції

Усі методи тріангуляції за принципом побудови можна розбити на дві великі групи: прямі методи та ітераційні методи (рисунок 2.5). У прямих методах сітка будується за один етап, причому її топологія (інакше кажучи, граф зв'язків між вузлами) та координати всіх вузлів відомі спочатку. В ітераційних методах сітка будується послідовно; на кожному кроці додається один або кілька елементів, причому спочатку не відомі координати вузлів, ні топологія сітки. З іншого боку, координати вузлів і топологія можуть змінюватися у процесі побудови .

Сітки, побудовані з допомогою прямих методів, можна використовувати й у итерационных методах. Насамперед це стосується методів граничної корекції. Розміщення вузлів у методах з урахуванням критерію Делоне нерідко здійснюється з допомогою однієї з прямих алгоритмів (з наступною корекцією) .

Рисунок 2.5 – Класифікація методів дискретизації

Прямі методи

Головними перевагами прямих методів є висока швидкість роботи, надійність та простота реалізації; основним недоліком - обмежена сфера застосування. Фактично ефективно використовувати прямі методи можна тільки для тріангуляції найпростіших областей - кулі, паралелепіпеда, циліндра і т.п. Втім, нерідко такі області є частиною деяких складних областейі використання прямих методів замість ітераційних у цьому випадку дозволяє суттєво економити машинні ресурси та час.

Розглянемо, наприклад, так звану "кубічну сітку" (рисунок 2.6), тобто сітку, отриману розбиттям вихідного паралелепіпеда на рівні "куби". Якщо розміри куба - hx, hy, hz і він орієнтований по осях координат, то вузол з індексами i,j,kмає координати (Ox + i * hx, Oy + j * hy, Oz + k * hz), а його сусідами є вузли з індексами (i ± 1, i, k), (i, j ± 1, k) та ( i, j, k±1).

Малюнок 2.6 – Кубічна сітка

Методи на основі шаблонів

Шаблоном називають певний принцип розміщення вузлів та встановлення зв'язків між ними. Кожен шаблон застосовується лише до областей заданого виду. Завдяки такій вузької спеціалізації, сітки, побудовані на шаблонах, часто можуть бути високої якості.

Найпростіша для тріангуляції і в той же час часто зустрічаюча область - це паралелепіпед (рисунок 2.7). Для неї запропоновано кілька різних шаблонів, і всі вони базуються на описаній вище кубічній сітці.

Малюнок 2.7 - Розбиття куба на шість (ліворуч) та п'ять (праворуч) тетраедрів

Також існують інші шаблони, що мають кращі показники за рахунок введення додаткових вузлів, кожен з яких з'єднується з вершинами куба (рисунок 2.8).

Малюнок 2.8 – Вставка всередину кубічної сітки додаткових вершин; праворуч окремо зображений ромбовидний елемент, що виходить в результаті.

Кожен із цих додаткових вузлів з'єднується ребрами з вершинами куба, у результаті вихідний паралелепіпед розбивається на два типи елементів:

1) граничні - у вигляді чотирикутної піраміди (тобто піраміди, основою якої є квадрат);

2) внутрішні - у вигляді об'ємного ромба, складеного з двох чотирикутних пірамід, з'єднаних основами.

Щоб розбити граничні пірамідальні елементи достатньо вставити діагональне ребро (причому довільно орієнтоване); при цьому виходять два однакових тетраедра з АХ порядку 0.5.

Розбити внутрішні ромбоподібні елементи можна вже кількома у різний спосіб, і саме вибраним варіантом розрізняються між собою 2 види шаблонів:

1) Шаблон 1 – вставка діагонального ребра між вузлами кубічної сітки (рисунок 2.10):

2) Шаблон 2 – вставка ребра між додатковими вузлами (рисунок 2.6):

Тріангуляцію циліндра найрозумніше проводити шляхом розбиття його на шари (рисунок 2.11).

Малюнок 2.11 - Побудова призматичної сітки у циліндрі

Малюнок 2.12 - Вставлення в призматичну сітку додаткових вузлів

Методи відображення

Методи відображення ґрунтуються на можливості побудови взаємно-однозначного відображення між областями різної геометричної форми. Таким чином, використовуючи оператор відображення, можна перенести сітку з деякої (простішої) області на задану.

Істотним недоліком цих методів є неминуче погіршення якості сітки через геометричні спотворення, що виникають при відображенні. Натомість навіть досить складні операції відображення вимагають порівняно невеликих витрат ресурсів, адже при відображенні змінюються лише координати вузлів, зв'язки залишаються незмінними.

Як правило, для відображення використовуються два типи перетворень - "найпростіші" афінні (лінійні), що дозволяють лише розтягувати/стискати сітку та більш універсальні ізопараметричні, що дозволяють відображати сітки навіть у криволінійні області (рисунок 2.13).

Малюнок 2.13 - Види перетворень

Афінним називається лінійне перетвореннякоординат:

У методах тріангуляції афінні перетворення, зазвичай, грають лише незначну допоміжну роль.

Більше значення мають ізопараметричні перетворення. Зауважимо, що вони знайшли широке застосуванняу методах відображення, а й під час вирішення завдань з урахуванням криволінійних елементів .

Сутність ізопараметричного перетворення полягає в наступному: задається деяка система внутрішніх координат (званих "барицентричними"), яка однозначним чином пов'язує положення будь-якої точки даної геометричної форми (трикутник, квадрат, тетраедр і т.д.) з певним безліччю базисних точок, що також належать даній геометричній формі(як такі точки зазвичай вибираються кути, середини сторін тощо.). Таким чином, змінивши положення базисних точок, можна легко визначити і нове положення решти всіх, використовуючи їх барицентричні координати .

Для кожної точки x=(x 1 ,x 2) невиродженого трикутника з вершинами б 1 ,б 2 ,б 3 (вершина б i має координати (б i1 , б i2)), барицентричні координати л 1 л 2 л 3 вводяться як рішення системи:

Барицентричні координати легко визначаються через відносини площ трикутників (рисунок 2.14):

Малюнок 2.14 - Барицентричні координати

Підсумовуючи, зауважимо, що зазначений метод без будь-яких особливостей переноситься у разі трьох вимірів.