Х вершини параболи. Як знайти вершину параболи: три формули

Параболою є графік квадратичної функції. Ця лініямає вагомий фізичним значенням. Для того, щоб легше було знайти вершину параболи, потрібно її намалювати. Тоді на графіці легко можна буде побачити її вершину. Але щоб побудувати параболу, необхідно знати, як знайти точки параболи та як знайти координати параболи.

Знаходимо точки та вершину параболи

У загальному поданніквадратична функція має такий вигляд: y = ax 2 + bx + c. Графіком даного рівнянняє парабола. При значенні а › 0 її гілки спрямовані вгору, а при значенні а ‹ 0 – вниз. Для побудови параболи на графіку необхідно знати три точки, якщо вона проходить вздовж осі ординат. Інакше повинно бути відомо чотири точки побудови.

При знаходженні абсциси (х) необхідно взяти коефіцієнт при (х) з заданої формулибагаточлена, а потім розділити на подвоєний коефіцієнт (x 2), після чого помножити на число – 1.

Для того щоб знайти ординату необхідно знайти дискримінант, потім помножити його на - 1, після чого розділити на коефіцієнт (x 2), попередньо помноживши його на 4.

Далі, підставляючи чисельні значення, обчислюється вершина параболи. Для всіх розрахунків бажано використовувати інженерний калькулятор, а при кресленні графіків та парабол користуватися лінійкою та люмографом, це дозволить значно підвищити точність ваших розрахунків.

Розглянемо наступний приклад, Який допоможе нам зрозуміти, як знайти вершину параболи.

x 2 -9 = 0. У даному випадкукоординати вершини розраховуються так: точка 1 (-0/(2*1); точка 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Таким чином, координатами вершини є значення (0; 9).

Знаходимо абсцису вершини

Після того, як ви дізналися, як знайти параболу, і можете розрахувати точки її перетину з віссю координат (х), можна легко обчислити абсцис вершини.

Нехай (x1) і (х2) є корінням параболи. Коріння параболи – це точки її перетину з віссю абсцис. Дані значення перетворюють на нуль квадратне рівняння наступного виду: ax 2 + bx + c.

У цьому |х 2 | > |x 1 |, отже вершина параболи розташована посередині з-поміж них. Таким чином, її можна знайти за таким виразом: x 0 = ½ (| x 2 | - | x 1 |).

Знаходимо площу фігури

Для знаходження площі фігури на координатної площинитреба знати інтеграл. А щоб застосувати його, достатньо знати певні алгоритми. Для того щоб знайти площу, обмежену параболами, необхідно зробити її зображення в декартовій системікоординат.

Спочатку, за описаним вище методом, визначається координата вершини осі (х), потім осі (у), після чого знаходиться вершина параболи. Тепер слід визначити межі інтегрування. Зазвичай, вони вказуються за умови завдання з допомогою змінних (а) і (b). Дані значення слід помістити у верхню та нижню частини інтеграла відповідно. Далі слід вписати в загальному виглядізначення функції та помножити його на (dx). Що стосується параболою: (x 2)dx.

Потім потрібно обчислити у загальному вигляді первісне значенняфункції. Для цього слід скористатися спеціальною таблицею значень. Підставляючи туди межі інтегрування, є різниця. Ця різниця і буде площею.

Як приклад розглянемо систему рівнянь: у = x 2 +1 і x + y = 3.

Розташовуються абсциси точок перетину: х 1 =-2 і х 2 =1.

Вважаємо, що у 2 =3, а у 1 =x 2 + 1, підставляємо значення вищенаведену формулу і отримуємо значення рівне 4,5.

Тепер ми дізналися як знайти параболу, а також, ґрунтуючись на цих даних, розрахувати площу фігури, яку вона обмежує.

Парабола – одна з кривих другого порядку, її точки побудовані відповідно до квадратного рівняння. Головне у побудові цієї кривої – знайти вершину параболи. Це можна зробити кількома способами.

Інструкція

Щоб знайти координати вершини параболи, скористайтеся наступною формулою: х=-b/2а, де а коефіцієнт перед х у квадраті, а b коефіцієнт перед х. Підставте ваші значення та розрахуйте його значення. Потім підставте отримане значення замість х рівняння і порахуйте ординату вершини. Наприклад, якщо вам дано рівняння у=2х^2-4х+5, то абсцис знайдіть наступним чином: х=-(-4)/2*2=1. Підставивши х=1 у рівняння, розрахуйте значення для вершини параболи: у=2*1^2-4*1+5=3. Таким чином, вершина параболимає координати (1-3).

Значення ординати параболиможна знайти без попереднього розрахунку абсциссы. Для цього скористайтеся формулою =-b^2/4ас+с.

Якщо ви знайомі з поняттям похідної, знайдіть вершину параболиза допомогою похідних, скориставшись наступною властивістю будь-якої функції: перша похідна функції, прирівняна до нуля, вказує на точки екстремуму. Так як вершина параболи, незалежно від того, спрямовані її гілки вгору або вниз, є точкою екстремуму, обчисліть похідну для вашої функції. Загалом вона матиме вигляд f(х)=2ах+b. Прирівняйте її до нуля та отримайте координати вершини параболи, що відповідає вашій функції.

Спробуйте знайти вершину параболи, скориставшись такою її властивістю, як симетричність Для цього знайдіть точки перетину параболиз віссю ох, прирівнявши функцію до нуля (підставивши у = 0). Вирішивши квадратне рівняння, ви знайдете х1 та х2. Так як парабола симетрична щодо директриси, що проходить через вершинуці точки будуть рівновіддалені від абсциси вершини. Щоб її знайти, розділимо відстань між точками навпіл: х=(Iх1-х2I)/2.

Якщо якийсь із коефіцієнтів дорівнює нулю(крім а), розрахуйте координати вершини параболиза полегшеними формулами. Наприклад, якщо b=0, тобто рівняння має вигляд у=ах^2+с, то вершина лежатиме на осі оу та її координати дорівнюватимуть (0-с). Якщо ж як коефіцієнт b=0, а й с=0, то вершина параболизнаходиться на початку координат, точці (0-0).

Інструкція

Квадратична функціязагалом записується рівнянням: y = ax² + bx + c. Графіком цього рівняння є , гілки якої спрямовані вгору (при a > 0) або вниз (при a< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Людям, знайомим із поняттям похідної, легко знайти вершину параболи. Незалежно від положення гілок параболи її вершина є точкою (мінімуму, якщо гілки спрямовані вгору, або коли гілки спрямовані вниз). Щоб знайти точки передбачуваного екстремуму будь-якої , треба обчислити її першу похідну і прирівняти до нуля. У загальному вигляді похідна дорівнює f"(x) = (ax + bx + c)" = 2ax + b. Прирівнявши до нуля ви отримаєте 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

Парабола – симетрична лінія. Вісь проходить через вершину параболи. Знаючи точки параболи з віссю координат X, можна легко знайти абсцис вершини x0. Нехай x1 і x2 - корені параболи (так називають точки перетину параболи з віссю абсцис, оскільки ці значення обертають квадратне рівняння ax² + bx + c нуль). У цьому хай |x2| > |x1|, тоді вершина параболи лежить посередині з-поміж них і може бути знайдено з наступного виразу: x0 = ½(|x2| - |x1|).

Відео на тему

Джерела:

Квадратична функція
формула знаходження вершини параболи

Парабола – це графік квадратичної функції, у загальному вигляді рівняння параболи записується y=aх^2+bх+с де а≠0. Це універсальна крива другого порядку, яка описує багато явищ у житті, наприклад, рух підкидається і потім падаючого тіла, форму веселки, тому вміння знайти параболуможе дуже стати в нагоді в житті.

Вам знадобиться

- Формула квадратичного рівняння;
- аркуш паперу з координатною сіткою;
- олівець, гумка;
- комп'ютер та програма Excel.

Інструкція

Насамперед знайдіть вершину параболи. Щоб знайти абсцис цієї точки, візьміть коефіцієнт перед х, розділіть його на подвоєний коефіцієнт перед х^2 і помножте на -1 (х = -b/2a). Ординату знайдіть, підставивши отримане значення рівняння чи за формулою у=(b^2-4ac)/4a. Ви отримали координати точки вершини параболи.

Вершину параболи можна знайти й іншим способом. Оскільки є екстремумом функції, то її обчислення обчисліть першу похідну і прирівняйте її до нуля. У загальному вигляді ви отримаєте формулу f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. А прирівнявши її до нуля, ви прийдете до тієї ж формули - х=-b/2a.

Дізнайтеся, чи гілки параболи спрямовані вгору або вниз. Для цього подивіться коефіцієнт перед х^2, тобто на а. Якщо а>0, то гілки спрямовані нагору, якщо а

Координати вершинипараболи знайдені. Запишіть їх як координат однієї точки (x0,y0).

Відео на тему

Для функцій (точніше їх графіків) використовується поняття найбільшого значення, у тому числі і локального максимуму. Поняття ж «вершина» швидше пов'язане з геометричними фігурами. Точки максимумів гладких функцій (що мають похідну) легко визначити за допомогою нулів першої похідної.

Інструкція

Для точок, у яких функція не диференційована, але безперервна, найбільше проміжку значення може мати вигляд вістря (на y=-|x|). У таких точках до функціїможна провести скільки завгодно дотичних для неї просто не існує. Самі функціїтакого типу зазвичай задаються на відрізках. Крапки, в яких похідна функціїдорівнює нулю чи немає, називаються критичними.

Рієння. y=x+3 при x≤-1 та y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1. Функція задана на відрізках навмисне, оскільки в даному випадку має на меті відобразити все в одному прикладі. Легко , що за х=-1 функція залишається безперервною.y'=1 при x≤-1 і y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3(x^ (1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. y'=0 при x=8/27. y' не існує при x=-1 і x=0. '>0 якщо x

Відео на тему

Інструкція

Щоб знайти координати вершини параболи, скористайтеся наступною формулою: х=-b/2а, де а коефіцієнт перед х в , а b коефіцієнт перед х. Підставте ваші значення та розрахуйте його. Потім підставте отримане значення замість х рівняння і порахуйте ординату вершини. Наприклад, якщо вам дано рівняння у=2х^2-4х+5, то абсцис знайдіть наступним чином: х=-(-4)/2*2=1. Підставивши х=1 у рівняння, розрахуйте значення для вершини параболи: у=2*1^2-4*1+5=3. Таким чином, вершина параболимає координати (1; 3).

Якщо ви знайомі з поняттям похідної, знайдіть вершину параболиза допомогою похідних, скориставшись наступною властивістю будь-якої: перша похідна функції, прирівняна до нуля, вказує на . Так як вершина параболи, незалежно від того, спрямовані її гілки вгору або вниз, точкою , обчисліть похідну для вашої функції. Загалом вона матиме вигляд f(х)=2ах+b. Прирівняйте її до нуля та отримайте координати вершини параболи, що відповідає вашій функції.

Що таке парабола знають, мабуть, усі. А ось як її правильно, грамотно використовувати при вирішенні різних практичних завдань, Розберемося нижче.

Спочатку позначимо основні поняття, що дає цьому терміну алгебра та геометрія. Розглянемо все можливі видицього графіка.

Дізнаємося всі основні характеристики цієї функції. Зрозуміємо основипобудови кривої (геометрія). Навчимося знаходити вершину, інші основні величини графіка цього типу.

Дізнаємося: як правильно будується крива за рівнянням, на що треба звернути увагу. Подивимося головне практичне застосуванняцієї унікальної величини у житті людини.

Що таке парабола і як вона виглядає

Алгебра: під цим терміном розуміється графік квадратичної функції.

Геометрія: це крива другого порядку, що має низку певних особливостей:

Канонічне рівняння параболи

На малюнку зображено прямокутна системакоординат (XOY), екстремум, напрямок гілок креслення функції вздовж осі абсцис.

Канонічне рівняннямає вигляд:

y 2 = 2 * p * x,

де коефіцієнт p – фокальний параметр параболи (AF).

В алгебрі воно запишеться інакше:

y = a x 2 + b x + c (відомий шаблон: y = x 2).

Властивості та графік квадратичної функції

Функція має віссю симетрії та центром (екстремум). Область визначення – всі значення осі абсцис.

Область значень функції – (-∞, М) або (М, +∞) залежить від напрямку гілок кривої. Параметр М тут означає величину функції вершині лінії.

Як визначити, куди спрямовані гілки параболи

Щоб знайти напрямок кривої такого типу із виразу, потрібно визначити знак перед першим параметром алгебраїчного виразу. Якщо а 0 0, то вони спрямовані вгору. Якщо навпаки – вниз.

Як знайти вершину параболи за формулою

Знаходження екстремуму є основним етапом під час вирішення безлічі практичних завдань. Звичайно, можна відкрити спеціальні онлайн калькуляториАле краще це вміти робити самому.

Як її визначити? Є спеціальна формула. Коли b дорівнює 0, треба шукати координати цієї точки.

Формули знаходження вершини:

x 0 = -b/(2*a);
y0 = y(x0).

приклад.

Є функція у = 4 * x 2 + 16 * x - 25. Знайдемо вершини цієї функції.

Для такої лінії:

х = -16/(2*4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Отримуємо координати вершини (-2, -41).

Зміщення параболи

Класичний випадок, коли у квадратичній функції y = a x 2 + b x + c, другий та третій параметри дорівнюють 0, а = 1 – вершина знаходиться в точці (0; 0).

Рух осями абсцис або ординат обумовлено зміною параметрів b і c відповідно.Зсув лінії на площині буде здійснюватися рівно на кількість одиниць, чому дорівнює значення параметра.

приклад.

Маємо: b=2, c=3.

Це означає, що класичний вид кривої зрушить на 2 одиничних відрізкапо осі абсцис і на 3 - по осі ординат.

Як будувати параболу за квадратним рівнянням

Школярам важливо засвоїти, як правильно накреслити параболу за заданими параметрами.

Аналізуючи вирази та рівняння, можна побачити наступне:

Точка перетину шуканої лінії з вектором ординат матиме значення, рівну величиніс.
Всі точки графіка (осі абсцис) будуть симетричні щодо основного екстремуму функції.

Крім того, місця перетину з ОХ можна знайти, знаючи дискримінант (D) такої функції:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Для цього потрібно прирівняти вираз до нуля.

Наявність коренів параболи залежить від результату:

D 0 , то х 1,2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, то х 1, 2 = -b/(2*a);
D 0 0, то немає точок перетину з вектором ОХ.

Отримуємо алгоритм побудови параболи:

визначити напрямок гілок;
знайти координати вершини;
знайти перетин з віссю ординат;
знайти перетин з віссю абсцис.

приклад 1.

Дана функція у = х 2 - 5 * х + 4. Необхідно побудувати параболу. Діємо за алгоритмом:

а = 1, отже, гілки спрямовані нагору;
координати екстремуму: х = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
з віссю ординат перетинається у значенні у = 4;
знайдемо дискримінант: D = 25 – 16 = 9;
шукаємо коріння:

Х 1 = (5 + 3)/2 = 4; (4, 0);
Х 2 = (5 – 3) / 2 = 1; (1, 0).

приклад 2.

Для функції у = 3 * х 2 - 2 * х - 1 потрібно побудувати параболу. Діємо за наведеним алгоритмом:

а = 3, отже, гілки спрямовані нагору;
координати екстремуму: х = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
з віссю у перетинатиметься у значенні у = -1;
знайдемо дискримінант: D = 4 + 12 = 16. Значить коріння:

Х 1 = (2 + 4)/6 = 1; (1; 0);
Х 2 = (2 – 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

За отриманими точками можна побудувати параболу.

Директриса, ексцентриситет, фокус параболи

З канонічного рівняння, фокус F має координати (p/2, 0).

Пряма АВ – директриса (свого роду хорда параболи певної довжини). Її рівняння: х = -р/2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Висновок

Ми розглянули тему, яку вивчають школярі у середній школі. Тепер ви знаєте, дивлячись на квадратичну функцію параболи, як знайти її вершину, в яку сторону будуть направлені гілки, чи є зміщення по осях, і, маючи алгоритм побудови, зможете накреслити її графік.

У математиці є цілий цикл тотожностей, серед яких значуще місцезаймають квадратичні рівняння. Подібні рівності можуть вирішуватись як окремо, так і для побудови графіків на осі координат. рівнянь є точками перетину параболи та прямий ох.

Загальний вигляд

У загальному вигляді має таку структуру:

У ролі "ікса" можуть розглядатися як окремі змінні, і цілі висловлювання. Наприклад:

(x+7) 2+3(x+7)+2=0.

У тому випадку, коли в ролі х виступає вираз, необхідно уявити його як змінну і знайти. Після цього до них прирівняти багаточлен і знайти х.

Так, якщо (х+7)=а, то рівняння набуває вигляду а 2 +3а+2=0.

Д=3 2 -4*1*2=1;

а 1 = (-3-1) / 2 * 1 = -2;

а 2 = (-3 +1) / 2 * 1 = -1.

При коренях, рівних -2 і -1, отримаємо наступне:

x+7=-2 та x+7=-1;

Коріння є значенням х-координати точки перетину параболи з віссю абсцис. В принципі, їх значення не так вже й важливо, якщо поставлене завдання лише знайти вершину параболи. Але для побудови графіка коріння відіграє важливу роль.

Повернемося до початковому рівнянню. Для відповіді на питання про те, як знайти вершину параболи, необхідно знати таку формулу:

де х вп – це значення х-координати шуканої точки.

Але як знайти вершину параболи без значення укоординати? Підставляємо отримане значення х рівняння і знаходимо шукану змінну. Наприклад, розв'яжемо наступне рівняння:

Знаходимо значення х-координати для вершини параболи:

х вп =-b/2a=-3/2*1;

Знаходимо значення у-координати для вершини параболи:

у=2х 2+4х-3=(-1,5) 2+3*(-1,5)-5;

В результаті отримуємо, що вершина параболи знаходиться у точці з координатами (-1,5; -7,25).

Парабола являє собою з'єднання точок, що має вертикальну З цієї причини сама її побудова не становить особливих труднощів. Найскладніше - це зробити правильні розрахункикоординат точок.

Варто звернути особливу увагуна коефіцієнти квадратного рівняння.

Коефіцієнт впливає на напрям параболи. У тому випадку, коли він має від'ємне значення, гілки будуть спрямовані вниз, а при позитивний знак- Вгору.

Коефіцієнт b показує, наскільки широким буде рукав параболи. Чим більше його значення, тим він буде ширшим.

Коефіцієнт вказує на зміщення параболи по осі ОУ щодо початку координат.

Як знайти вершину параболи, ми вже дізналися, а щоб знайти коріння, слід керуватися такими формулами:

де Д - це дискримінант, необхідний знаходження коренів рівняння.

x 1 =(-b+V - Д)/2a

x 2 =(-b-V - Д)/2a

Отримані значення х будуть відповідати нульовим значенням, т.к. вони є точками перетину з віссю ОХ.

Після цього відзначаємо на вершину параболи та отримані значення. Для детальнішого графіка необхідно знайти ще кілька точок. Для цього вибираємо будь-яке значення х, допустиме областю визначення, і підставляємо його на рівняння функції. Результатом обчислень буде координата точки осі ОУ.

Щоб спростити процес побудови графіка, можна провести вертикальну лініючерез вершину параболи та перпендикулярно осі ОХ. Це буде за допомогою якої, маючи одну точку, можна позначити і другу, рівновіддалену від проведеної лінії.