Коливання нескінченної струни - формула даламбера. Метод хвиль, що розповсюджуються

Розглянемо рівняння

Де функція визначена на .

Це рівняння визначає поширення хвилі, що біжить, в n-мірній однорідному середовищізі швидкістю aу моменти часу t > 0 .

Для того щоб рішення було однозначним, необхідно визначити початкові умови. Початкові умови визначають стан простору (чи, кажуть, «початкове обурення») на момент часу t = 0 :

Тоді узагальнена формулаКірхгофа дає вирішення цього завдання.

Сам Кірхгоф розглядав лише тривимірний випадок.

Ідея отримання рішення

Просте рішення рішення основного завдання використовує перетворення Фур'є. Узагальнена формула Кірхгофа має наступний вигляд:

.

У разі, якщо у хвильовому рівнянні є права частина f, у правій частині формули з'явиться доданок:

Фізичні наслідки

Передній та задній хвильові фронти від локалізованого у просторі обурення діють на спостерігача протягом обмеженого відрізку часу

Нехай у початковий моментчасу t= 0 на деякому компакт-диску Mє локальне обурення (і/або). Якщо ми знаходимося в деякій точці, то, як видно з формули (область інтегрування), обурення ми відчуємо через час .

Поза відрізком часу , де , функція u(x 0 , t) дорівнює нулю.

Отже, початкове обурення, локалізоване у просторі, викликає у кожному точці простору дію, локалізоване у часі, тобто обурення поширюється як хвилі, має передній і задній фронти, що виражає принцип Гюйгенса). На площині цей принцип порушується. Обгрунтуванням цього є те що, що носій обурення, компактний в , не буде компактним в , а утворюватиме нескінченний циліндр, отже, обурення буде необмежено у часі (у циліндричних хвиль відсутня задній фронт).

Формула Пуассона-Парсеваля

Рішення рівняння коливань мембрани

з початковими умовими

задається формулою:

.

Формула Д"Аламбера

Розв'язання одновимірного хвильового рівняння

(функція f(x,t) відповідає примушує зовнішній силі)

з початковими умовами

має вигляд

В область IIприходять характеристики лише з одного сімейства

При користуванні формулою Д "Аламбера слід врахувати, що іноді рішення може не бути єдиним у всій області, що розглядається. Рішення хвильового рівняння подається у вигляді суми двох функцій: u(x,t) = f(x + at) + g(x − at) , тобто воно визначається двома сімействами показників: . Приклад, показаний на малюнку праворуч, ілюструє хвильове рівняння для напівнескінченної струни, і початкові умови в ньому задані лише на зеленій лінії x≥0. Видно, що в область Iприходять як ξ-характеристики, так і η-характеристики, у той час як в області IIє тільки ξ-характеристики. Тобто в області IIФормула Д "Аламбера не працює.

Застосування формул

У загальному виглядіформула Кірхгофа досить громіздка, а тому вирішення завдань математичної фізикиз її допомогою зазвичай є скрутним. Однак, можна скористатися лінійністю хвильового рівняння з початковими умовами та шукати рішення у вигляді суми трьох функцій: u(x,t) = A(x,t) + B(x,t) + C(x,t) , які задовольняють наступним умовам:

Сама по собі така операція не спрощує користування формулою Кірхгофа, але для деяких завдань виявляється можливим підбір рішення, або зведення багатовимірного завдання до одновимірного шляхом заміни змінних. Наприклад, нехай . Тоді, зробивши заміну ξ = x + 3y − 2z , рівняння для завдання "С" набуде вигляду:

Таким чином, дійшли до одновимірного рівняння, а отже, можна скористатися формулою Д"Аламбера:

Через парність початкової умови, рішення збереже свій вигляд у всій області t > 0 .

Література

Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунін М.І.Збірник типових завданьза курсом рівняння математичної фізики. – М.: МФТІ, 2007. – ISBN 5-7417-0206-6

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

Формула Пуассона- Формула Кірхгофа аналітичний вираз для вирішення гіперболічного рівняння у приватних похідних (т.з. «хвильового рівняння») у всьому просторі. Методом спуску (тобто зменшенням розмірності) з нього можна отримати рішення двовимірного.

Д"АЛАМБЕРА ФОРМУЛА- Формула, що виражає розв'язання задачі Коші для хвильового рівняння з однією просторовою змінною. Нехай задані функції j(х), y(х)належать відповідно до просторів і, a f(t, х)безперервна разом з першою похідною по хв. Математична енциклопедія

Принцип Д'Аламбера- Д'Аламбера принцип у механіці: один із основних принципів динаміки, згідно з яким, якщо до заданих (активних) сил, що діють на точки механічної системи, і реакціям накладених зв'язків приєднати сили інерції, то вийде…

Пуассон Формула- 1) Те, що Пуассона інтеграл.2) Формула, що дає інтегральне уявленнярозв'язання задачі Коші для хвильового рівняння у просторі: і має вигляд (1) де середнє значення функції j на сфері Sat у просторі (х, у, z) радіусу at з… … Математична енциклопедія

КІРХГОФУ ФОРМУЛА- ф ла, що виражає регулярне рішення і (х, t) неоднорідного хвильового рівняння тривимірному просторічерез поч. дані завдання Коші і (х, 0) = (х), ut (х, 0) = = (ас) і об'ємний потенціал, що запізнюється (х, t) з щільністю f (y, t) ... Фізична енциклопедія

Хвильове рівняння- у математиці лінійне гіперболічне диференціальне рівняння у приватних похідних, що задає малі поперечні коливаннятонкої мембрани або струни, а також інші коливальні процеси в суцільних середовищах(акустика, переважно… … Вікіпедія

Рівняння коливань струни

Рівняння коливання струни - Хвильове рівнянняв математиці лінійне гіперболічне диференціальне рівняння у приватних похідних, що задає малі поперечні коливання тонкої мембрани або струни, а також інші коливальні процеси в суцільних середовищах (… Вікіпедія

Перш ніж вирішувати завдання про коливання закріпленої струни, ми розглянемо більше просте завдання- про коливання нескінченної струни. Якщо уявити дуже довгу струну, то ясно, що на коливання, що виникли в її середній частині, кінці струни не матимуть помітного впливу. Так, якщо взяти довгу натягнуту мотузку і злегка хитнути її в середині, то по мотузці вліво і вправо побіжать хвилі. Картина почне спотворюватися лише тоді, коли хвилі дійдуть до кінців мотузки і, відбившись, підуть назад. Отже, не враховуючи впливу кінців струни, ми цим не враховуватимемо впливу відбитих хвиль.

Розглядаючи вільні коливання, ми повинні таким чином вирішити однорідне рівняння

за початкових умов

де функції задані по всій числовій осі. Жодні крайові умови на потрібну функцію не накладаються. Таке завдання називається завданням із початковими умовами чи завданням Коші. Метод вирішення її, який ми зараз викладемо, називається методом Даламбера або методом хвиль, що біжать.

Насамперед покажемо, що загальне рішення рівняння (2.1), тобто рішення, що залежить від двох довільних функцій (див. вступ), має вигляд

де функції передбачаються двічі диференційованими.

Дійсно, послідовно диференціюючи, знаходимо:

Звідси зрозуміло, що

т. е. що рівність (2.1) дотримується.

Наше завдання полягає в тому, щоб, використовуючи початкові умови (2.2), визначити невідомі функції . Вважаючи в (2.3) і підсгавлюючи вираз для першої з умов (2.2), отримаємо

Вважаючи тепер у виразі і користуючись другою умовою (2.2), прийдемо до рівняння

Інтегруючи цю рівність у межах від 0 до отримаємо співвідношення

яке приведемо до вигляду

де - деяка стала величина.

З системи рівнянь (2.4) та (2.6) знаходимо шукані функції

Замінюючи у формулах (2.7) аргумент відповідно на і підставляючи отримані вирази у формулу (2.3), знайдемо функцію

Помічаючи, що

надамо рішення наступний вид:

Формула (2.8) називається рішенням Даламбера задачі Коші для рівняння коливань струни.

Надаємо читачеві самостійно перевірити, що знайдена функція справді задовольняє як рівняння (2.1), так і умови (2.2).

Для того щоб з'ясувати фізичний зміст отриманого рішення, розглянемо насамперед окремо функції, що входять до загальний вираз(2.3) для . Почнемо з функції та побудуємо графіки цієї функції при зростаючих значеннях тощо (на рис. 5 вони розташовані зверху вниз).

Другий графік буде зрушений щодо першого на величину третій - на величину і т. д. Якщо по черзі проектувати ці малюнки на нерухомий екран, то глядач побачить, що графік, зображений на верхньому малюнку, побіжить праворуч. (Цей спосіб зображення руху покладено, між іншим, в основу зйомки мультиплікаційних фільмів.) При цьому, якщо подумки переміщатися вправо вздовж струни з постійною швидкістюа то відхилення струни здаватиметься весь час постійним.

Справді, почавши рух, скажімо, у точці і перемістившись за час t у точку х, матимемо

У цій лекції розв'язання задачі Коші для хвильового рівняння

Крок 1.Замінимо змінні (x, t)новими змінними (ξ,η) , в яких хвильове рівняння набуде іншого вигляду: Така заміна виконується за формулами

Перевіримо це:

Після підстановки цих похідних у хвильове рівняння отримаємо:

Що й потрібно було довести.

Крок 2Перетворене рівняння легко вирішується двома послідовними інтегруваннями (спочатку змінною η , а потім по ξ ):

де C 1 (?)- довільна функція від η . Так як C(ξ)- довільна функція, то й - Також довільна функція.

Остаточно, загальне рішення U(ξ,η)має вигляд

Крок 3Для знаходження загального рішення початкового рівняння підставимо у (25) замість ξ і η вирази (24):

Крок 4.Визначимо функції C 1і C 2, використовуючи початкові умови (23). Після підстановки першої умови отримаємо

Знайдемо похідну функції Uв (26) за змінною tі підставимо другу умову:

В результаті матимемо систему рівнянь

Якщо проінтегрувати друге рівняння системи (27) xв межах від x oдо х, то отримаємо таку систему:

При додаванні цих рівнянь отримаємо

Якщо з першого рівняння системи відняти друге рівняння, то матимемо

Підставимо тепер отримані функції у загальне рішення (26):

Поміняємо місцями межі інтегрування у другому інтегралі, що стоїть у дужках (28). В результаті отримаємо вирішення вихідного завдання Коші

Формула (29) називається формулою Даламбер.

Просторово-часова інтерпретація формули Даламбера

При дослідженні формули Даламбера виходитимемо з фізичного сенсухвильового рівняння. Розглянемо рівняння вільних коливаньнескінченної струни

І початкові умови

Таке завдання Коші за допомогою заміни незалежної змінної зводиться до завдання (23):

Розв'язання перетвореної задачі має вигляд (див. формулу Даламбера (29):

Якщо тепер у цю формулу замість τ підставити at, то вийде вирішення вихідного завдання

Перш ніж перейти до фізичної інтерпретації цієї формули, зробимо таке зауваження.

Зауваження.Розглянемо окремо функції C 1 (x-at)і C 2 (x-at), що входять до загального рішення (26) (коефіцієнт ау них з'явився тому, що нас зараз цікавить більше загальне рівняння(30)). Почнемо з функції C 1 (x-at)та побудуємо графіки цієї функції при зростаючих значеннях t: t=t o, t=t 1, t=t 2і т.д. (Див. рис. 8).

Мал. 8

Якщо по черзі проектувати ці малюнки на екран (як у мультфільмах), то вони «втечуть» праворуч. Процес пересування відхилення по струні називається хвилею.При цьому коефіцієнт ає швидкістю поширення хвилі.Справді, припустимо, що паралельно осі хрухається спостерігач зі швидкістю а. Нехай у якийсь момент t oвін був у точці x o. Тоді за проміжок спостерігач зміститься праворуч на величину і опиниться у точці Якщо у точці x oспостерігач бачив відхилення струни на величину, то в момент tвеличина відхилення – буде такий самий! Тобто спостерігач бачитиме форму струни, що не змінюється.

Друга функція C 2 (x-at)теж є хвилею, але тільки вона буде поширюватися зі швидкістю аліворуч. Часто функції C 1 (x-at)і C 2 (x-at)називають, відповідно, прямою та зворотною хвилею.Таким чином, загальне рішення U(x,t)(формула (26)) хвильового рівняння є суперпозицією прямої та зворотної хвилі.

Тепер дамо інтерпретацію формули Даламбера для двох окремих випадків.

ВИПАДК 1. Припустимо, що початкове відхилення відмінно від нуля, а початкова швидкістьдорівнює нулю. Це означає, що початкові умови мають вигляд

За таких початкових умов виходить вирішення завдання Коші, яке називається хвилею відхилення.Рівняння хвилі відхилення визначається формулою Даламбера

тобто рішення Uв деякій точці x oу момент часу t oзалежить від значень початкової функції φ у двох точках на осі х: у точці (x o - at o)і в точці (x o + at o)(Див. рис. 9).

Мал. 9

Значення Uодно середньому арифметичних значеньпочаткової функції φ у точках (x o - at o)і (x o + at o). На рис. 9 зображено площину xOtяка називається фазовою площиною. На осі хвказані точки (x o - at o , 0)і (x o + at o , 0), В яких початкові відхилення струни визначають величину відхилення струни в точці x oу момент часу t o. Ці точки є точками перетину прямих x - at = x o - at oі x + at = x o + at oз віссю х. Вказані прямі називаються характеристиками хвильового рівнянняТрикутник з вершиною в точці (х o , t o)та основою, яка виходить при перетині характеристик з віссю х(див. рис. 9), називається характеристичний трикутник.

Використовуючи таку інтерпретацію формули Даламбера, зобразимо фазову картину вирішення наступного завдання:

Зауваження. Насправді, початкові відхилення струни не можуть бути розривними в точках. х = -1і х = 1адже струна не розривається. Однак ми не надто сильно погрішимо проти істинної картини поширення коливань, якщо вважатимемо їх шматково постійними. Справа в тому, що, по-перше, розглядаються дуже малі коливання струни, і, по-друге, малі зміни початкових значень незначно впливають на вирішення задачі.

На малюнку 10 зображено фазову площину x0t. Рішення U(x,t)завдання відмінно від нуля тільки в заштрихованих областях, причому початкове відхилення поширюється з однаковою швидкістю у два протилежних напрямках- Виникає пряма і зворотна хвилі. Межі цих областей – це показники хвильового рівняння: x - at = -1, x - at = 1, x + at = -1, x+at=1.

Мал. 10

Якщо розглянути процес коливання деякої фіксованої точки струни x = x o, то неважко помітити, що вона коливається тільки в кінцевий проміжок часу: від моменту до моменту, тобто В решту часу точка x oперебуває у спокої. Говорять, що в момент t 1через точку x = x oпроходить передній фронт хвилі, а момент t 2- Задній фронт хвилі. Взагалі, фронтом хвиліназивається межа між обуреною (що коливається) і необуреною областями середовища (точками струни). Для прямої хвилі рівняння переднього фронту x - at = 1, а заднього фронту x - at = -1. Для зворотної хвилі, відповідно, x + at = -1- Рівняння переднього фронту, а x + at = 1- Заднього фронту.

Розглянемо тепер

ВИПАДК 2. Нехай початкове відхилення дорівнює нулю, а початкова швидкість відмінна від нуля. Це означає, що початкові умови мають вигляд

У цьому випадку рішення задачі Коші називають хвилею імпульсу.Воно має вигляд (див. формулу Даламбера)

тобто рішення Uв деякій точці x oу момент часу t oзалежить від початкових швидкостей ψ у всіх точках відрізка [ x o - at o , x o + at o] (Див. рис 11). Значення Uдорівнює (інтегральному) середньому значенню початкової швидкості на відрізку [ x o - at o , x o + at o], помноженому на проміжок часу t.

Мал. 11

На рис. 11 зображена фазова площина x0t. Крапки (x o - at o , 0)і (x o + at o , 0)є точками перетину характеристик x - at = x o - at oі x + at = x o + at oз віссю х. Як приклад наведемо фазову картину розв'язання наступного завдання:

Мал. 12 описує процес коливання струни, якій повідомляється початкова поодинока швидкість на відрізку -1. І тут вся верхня половина фазової площини характеристиками розбивається шість областей. У кожній із цих областей рішення U(x,t)легко знаходиться за формулою Даламбера: