Словесно задана функція. Функція та способи її завдання

Наводяться основні способи завдання функцій: явний аналітичний; інтервальний; параметричний; неявний; завдання функції з допомогою низки; табличний; графічний. Приклади застосування цих способів

Існують такі способи завдання функції y = f (x):

1. Явний аналітичний спосіб за формулою виду y = f (x).
2. Інтервальний.
3. Параметричний: x = x (t) , y = y(t).
4. Неявний, як рішення рівняння F (x, y) = 0.
5. У вигляді ряду, складеного з відомих функцій.
6. Табличний.
7. графічний.

Явний спосіб завдання функції

При явному способізначення функції визначається за формулою, що являє собою рівняння y = f (x). У лівій частині цього рівняння стоїть залежна змінна y, а в правій - вираз, складений із незалежної змінної x, постійних, відомих функцій і операцій складання, віднімання, множення та поділу. Відомими функціями є елементарні функції та спеціальні функції, значення яких можна обчислити, використовуючи засоби обчислювальної техніки.

Ось кілька прикладів явного завдання функції із незалежною змінною x та залежною змінною y :
;
;
.

Інтервальний спосіб завдання функції

При інтервальному способі завдання функції, область визначення розбивається на кілька інтервалів, і функція визначається окремо для кожного інтервалу.

Ось кілька прикладів інтервального способу завдання функції:

Параметричний спосіб завдання функції

При параметричному способі, вводиться нова змінна, яку називають параметром. Далі задають значення x та y як функції від параметра, використовуючи явний спосіб завдання:
(1)

Ось приклади параметричного способу завдання функції, використовуючи параметр t:

Перевага параметричного способу полягає в тому, що ту саму функцію можна задати нескінченним числомметодів. Наприклад, функцію можна задати так:

А можна й так:

Така свобода вибору, в деяких випадках, дозволяє застосовувати цей спосіб для вирішення рівнянь (див. Диференційні рівняння, що не містять одну зі змінних). Суть застосування полягає в тому, що ми підставляємо в рівняння замість змінних x та y дві функції і . Потім задаємо одну з них за на власний розсуд, щоб з рівняння, що вийшло, можна було визначити іншу.

Також цей спосіб застосовується спрощення розрахунків. Наприклад, залежність координат точок еліпса з півосями a і b можна так:
.
У параметричному виглядіцій залежності можна надати простішу форму:
.

Рівняння (1) – це не єдиний спосібпараметричне завдання функції. Можна вводити не один, а кілька параметрів, зв'язавши їх додатковими рівняннями. Наприклад, можна ввести два параметри та . Тоді завдання функції виглядатиме так:

Тут з'являється додаткове рівняння, яке зв'язує параметри. Якщо число параметрів дорівнює n, то має бути n - 1 додаткових рівнянь.

Приклад застосування кількох параметрів викладено на сторінці «Диференціальне рівняння Якобі». Там рішення шукається у такому вигляді:
(2) .
В результаті виходить система рівнянь. Щоб вирішити її, вводять четвертий параметр t . Після розв'язання системи виходить три рівняння, що зв'язують чотири параметри та .

Неявний спосіб завдання функції

При неявному способі, значення функції визначається рішенням рівняння .

Наприклад, рівняння еліпса має вигляд:
(3) .
Це звичайне рівняння. Якщо ми розглядаємо тільки верхню частинуеліпса, , можна виразити змінну y як функцію від x явним способом:
(4) .
Але навіть якщо можна звести (3) до явного способу завдання функції (4), останньою формулою не завжди зручно користуватися. Наприклад, щоб знайти похідну , зручно диференціювати рівняння (3), а не (4):
;
.

Завдання функції поруч

Винятково важливим способомзавдання функції є її подання у вигляді ряду, Складеного з відомих функцій. Цей спосіб дозволяє досліджувати функцію математичними методамиі обчислювати її значення для прикладних завдань.

Найпоширенішим уявленням є завдання функції за допомогою статечного ряду. При цьому використовується ряд статечних функцій:
.
Також застосовується ряд і з негативними ступенями:
.
Наприклад, функція синус має таке розкладання:
(5) .
Подібні розкладання широко застосовують у обчислювальної техніки для обчислення значень функцій, оскільки вони дозволяють звести обчислення до арифметичних операцій.

Як ілюстрацію, обчислимо значення синуса від 30°, використовуючи розкладання (5).
Перекладаємо градуси в радіани:
.
Підставляємо у (5):



.

В математиці, на ряду зі статечними рядами, широко застосовуються розкладання в тригонометричні ряди за функціями та , а також за іншими спеціальним функціям. За допомогою рядів можна проводити наближені обчислення інтегралів, рівнянь (диференціальних, інтегральних, приватних похідних) і досліджувати їх рішення.

Табличний спосіб завдання функції

При табличному способі завдання функціїми маємо таблицю, яка містить значення незалежної змінної x та відповідні їм значення залежної змінної y . Незалежна та залежна змінні можуть мати різні позначення, але ми тут використовуємо x та y . Щоб визначити значення функції при даному значенні x , ми по таблиці, знаходимо значення x найбільш близьке до нашого значення. Після цього визначаємо відповідне значення залежної змінної y.

Для більш точного визначеннязначення функції, ми вважаємо, що функція між двома сусідніми значеннями x лінійна, тобто має такий вигляд:
.
Тут - значення функції, знайдені з таблиці, при відповідних значеннях аргументів .
Розглянемо приклад. Нехай нам потрібно знайти значення функції при . З таблиці знаходимо:
.
Тоді

.
Точне значення:
.
З цього прикладу видно, що застосування лінійної апроксимації призвело до підвищення точності визначення значення функції.

Табличний спосіб застосовується в прикладних науках. До розвитку обчислювальної техніки він широко застосовувався в інженерних та інших розрахунках. Зараз табличний метод застосовується у статистиці та експериментальних науках для збирання та аналізу експериментальних даних.

Графічний спосіб завдання функції

При графічному способізначення функції визначається з графіка, по осі абсцис якого відкладаються значення незалежної змінної, а по осі ординат - залежної.

Графічний метод дає наочне уявлення про поведінку функції. Результати дослідження функції нерідко ілюструють її графіком. З графіка можна визначити наближене значення функції. Це дозволяє використовувати графічний спосібу прикладних та інженерних науках.

Одними з класичних визначеньПоняття «функція» вважаються визначення з урахуванням відповідностей. Наведемо низку таких визначень.

Визначення 1

Залежність, за якої кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значеннязалежною змінною, називається функцією.

Визначення 2

Нехай дані дві непусті множини $X$ і $Y$. Відповідність $f$, яка кожному $x\in X$ зіставляє один і тільки один $y\in Y$ Називається функцією($ f: X → Y $).

Визначення 3

Нехай $M$ і $N$ - дві довільні числові множини. Кажуть, що на $M$ визначено функцію $f$, що приймає значення з $N$, якщо кожному елементу $x\in X$ поставлений у відповідність один і лише один елемент із $N$.

Наступне визначення дається через поняття змінної величини. Змінною величиною називається величина, яка в даному дослідженніприймає різні числові значення.

Визначення 4

Нехай $M$ - безліч значень змінної величини $x$. Тоді, сіли кожному значення $x\in M$ відповідає одне певне значення іншої змінної величини $y$ є функція величини $x$, визначеної на множині $M$.

Визначення 5

Нехай $X$ і $Y$ - деякі числові множини. Функцією називається безліч $f$ упорядкованих пар чисел $(x,\y)$ таких, що $x\in X$, $y\in Y$ і кожне $x$ входить в одну і лише одну пару цієї множини, а кожне $y$ входить принаймні в одну пару .

Визначення 6

Усяка безліч $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ впорядкованих пар $\left(x,\ y\right)$ таких, що для будь-яких пар $\left(x",\ y" \right)\in f$ і $\left(x"",\ y""\right)\in f$ з умови $y"≠ y""$ слід, що $x"≠x""$ називається функцією або відображенням.

Визначення 7

Функція $f:X → Y$ - це безліч $f$ упорядкованих пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, що для будь-якого елемента $x\in X$ існує єдиний елемент $y\in Y$ такий, що $\left(x,\ y\right)\in f$, тобто функція - кортеж об'єктів $\left(f,\ X,\ Y\right)$.

У цих визначеннях

$x$ - незалежна змінна.

$y$ - залежна змінна.

Усі можливі значення змінної $x$ називається областю визначення функції , проте можливі значення змінної $y$ називається областю значення функції.

Аналітичний спосіб завдання функції

Для цього методу нам знадобиться поняття аналітичного виразу.

Визначення 8

Аналітичним виразом називається твір усіх можливих математичних операційнад будь-якими числами та змінними.

Аналітичним способом завдання функції є її завдання з допомогою аналітичного висловлювання.

Приклад 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Плюси:

1. За допомогою формул ми можемо визначити значення функції для будь-якого певного значеннязмінною $x$;
2. Функції, задані в такий спосіб, можна вивчати за допомогою апарата математичного аналізу.

Мінуси:

1. Мала наочність.
2. Іноді доводиться робити дуже громіздкі обчислення.

Табличний спосіб завдання функції

Цей спосіб завдання у тому, що з кількох значень незалежної змінної виписуються значення залежної змінної. Все це вноситься до таблиці.

Приклад 2

Малюнок 1.

Плюс:Для будь-якого значення незалежної змінної $x$, яка внесена до таблиці, відразу дізнається відповідне значення функції $y$.

Мінуси:

1. Найчастіше ні повного завданняфункції;
2. Мала наочність.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Аналітичне завдання функції

Функція %%y = f(x), x \in X%% задана явним аналітичним способомякщо дана формула, що вказує послідовність математичних дій, які потрібно виконати з аргументом %%x%%, щоб отримати значення %%f(x)%% цієї функції.

приклад

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = sqrt(x), x \geq 0%%.

Так, наприклад, у фізиці при рівноприскореному прямолінійному русішвидкість тіла визначається формулою %%v = v_0 + a t%%, а формула для переміщення %%s%% тіла при рівномірно прискореному русіна проміжку часу від %%0%% до %%t%% записується у вигляді: %% s = s_0 + v_0 t + frac(a t^2)(2) %%.

Шматково-задані функції

Іноді функція, що розглядається, може бути задана декількома формулами, що діють на різних ділянках області її визначення, в якій змінюється аргумент функції. Наприклад: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ якщо~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Функції такого виду іноді називають складовимиабо шматково-заданими. Прикладом такої функції є %%y = |x|%%

Область визначення функції

Якщо функція задана явним аналітичним способом за допомогою формули, але область визначення функції у вигляді множини %%D%% не вказана, то під %%D%% завжди матимемо на увазі безліч значень аргументу %%x%%, при яких дана формуламає сенс. Так для функції %%y = x^2%% областю визначення служить безліч %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, оскільки аргумент %%x%% може приймати будь-які значення на числовий прямий. А для функції %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% областю визначення буде безліч значень %%x%%, що задовольняють нерівності %%1 - x^2 > 0%%, т .е. %%D = (-1, 1)%%.

Переваги явного аналітичного завдання функції

Зазначимо, що явний аналітичний спосіб завдання функції досить компактний (формула, як правило, займає трохи місця), легко відтворюємо (формулу неважко записати) і найбільш пристосований до виконання над функціями математичних дій та перетворень.

Деякі з цих дій - алгебраїчні (додавання, множення та ін) - добре відомі з шкільного курсуматематики, інші (диференціювання, інтегрування) вивчатимемо надалі. Однак цей спосіб не завжди наочний, тому що не завжди чіткий характер залежності функції від аргументу, а для знаходження значень функції (якщо вони необхідні) потрібні іноді громіздкі обчислення.

Неявне завдання функції

Функція %%y = f(x)%% задана неявним аналітичним способом, якщо дано співвідношення $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ зв'язуюче значення функції %%y%% та аргументу %%x%%. Якщо задавати значення аргументу, то для знаходження значення %%y%%, що відповідає конкретному значенню %%x%%, необхідно вирішити рівняння %%(1)%% щодо %%y%% при цьому конкретному значенні%%x%%.

При заданому значенні %%x%% рівняння %%(1)%% може не мати рішення або мати більше одного рішення. В першому випадку задане значення%%x%% не належить області визначення неявно заданої функції, а в другому випадку задає багатозначну функцію, що має при даному значенні аргументу більше одного значення.

Зазначимо, що якщо рівняння %%(1)%% вдається явно дозволити щодо %%y = f(x)%%, то отримуємо ту саму функцію, але вже задану явним аналітичним способом. Так, рівняння %%x + y^5 - 1 = 0%%

і рівність %%y = \sqrt(1 - x)%% визначають одну й ту саму функцію.

Параметричне завдання функції

Коли залежність %%y%% від %%x%% не задана безпосередньо, а натомість дані залежності обох змінних %%x%% і %%y%% від деякої третьої допоміжної змінної %%t%% у вигляді

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$то говорять про параметричномуспосіб завдання функції;

тоді допоміжну змінну %%t%% називають параметром.

Якщо з рівнянь %%(2)%% вдається виключити параметр %%t%%, то приходять до функції, заданої явною або неявною аналітичною залежністю %%y%% від %%x%%. Наприклад, із співвідношень $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ винятком параметра % %t%% отримаємо залежність %%y = 2 x + 2%%, яка задає в площині %%xOy%% пряму.

Графічний спосіб

приклад графічного завданняфункції

Наведені вище приклади показують, що аналітичному способузавдання функції відповідає її графічне зображення , яке можна розглядати як зручну та наочну формуопис функції. Іноді використовують графічний спосібзавдання функції, коли залежність %%y%% від %%x%% задають лінією на площині %%xOy%%. Однак при всій наочності він програє точно, оскільки значення аргументу і відповідні їм значення функції можна отримати з графіка лише приблизно. Похибка, що виникає при цьому, залежить від масштабу і точності вимірювання абсциси та ординати. окремих точокграфіка. Надалі графіку функції відведемо роль лише ілюстрації поведінки функції і тому обмежуватимемося побудовою «ескізів» графіків, що відбивають основні особливості функцій.

Табличний спосіб

Зазначимо табличний спосібзавдання функції, коли деякі значення аргументу та відповідні їм значення функції в певному порядкурозміщуються у таблиці. Так збудовано відомі таблиці тригонометричних функцій, таблиці логарифмів і т.п. У вигляді таблиці зазвичай становлять залежність між величинами, що вимірюються при експериментальних дослідженнях, спостереження, випробування.

Недолік цього способу полягає у неможливості безпосереднього визначення значень функції для значень аргументу, що не входять до таблиці. Якщо є впевненість, що непредставлені в таблиці значення аргументу належать області визначення цієї функції, відповідні їм значення функції можуть бути обчислені приблизно за допомогою інтерполяції та екстраполяції.

приклад

Алгоритмічний та словесний способи завдання функцій

Функцію можна задати алгоритмічним(або програмним) способом, який широко використовують при обчисленнях на ЕОМ.

Зрештою, можна відзначити описовий(або словесний) спосіб завдання функції, коли правило відповідності значень функції значенням аргументу виражено словами.

Наприклад, функцію %%[x] = m~\forall (x \in за допомогою трьох формул.

Якщо залежність між х і у задана формулою, дозволеної щодо, тобто. має вигляд у = f(x) , то кажуть, що функція від х задана у явному вигляді, наприклад. Якщо значення x і у пов'язані деяким рівнянням видуF(x,y) = 0, тобто. формула не дозволена щодо у, то кажуть, що функція задана неявно. Наприклад. Зауважимо, що не всяку не явну функціюможна у вигляді у =f(x), навпаки, будь-яку явну функцію завжди можна як неявної:
. Ще один різновид аналітичного завдання функції – параметричне, коли аргумент х та функція у є функціями третьої величини – параметра t:
, де
, Т – деякий проміжок. Такий спосіб широко застосовується в механіці, геометрії.

Аналітичний спосіб є найпоширенішим способом завдання функції. Компактність, можливість застосування цієї функції апарату математичного аналізу, можливість обчислення значень функції за будь-яких значеннях аргументу – його основні переваги.

4. Словесний метод.Цей спосіб у тому, що функціональна залежність виражається словами. Наприклад, функція Е(х) – ціла частина числа х, функція Діріхле, функція Рімана, n!, r(n) – число дільників натурального числа n.

5. Напівграфічний метод.Тут значення функції представляються як відрізків, а значення аргументу – як чисел, проставлених кінцях відрізків, що вказують значення функції. Так, наприклад, у термометрі є шкала з рівними поділками, у яких проставлені числа. Ці цифри є значеннями аргументу (температури). Вони стоять на тому місці, яке визначає графічне подовження стовпця ртуті (значення функції) у зв'язку з її об'ємним розширенням внаслідок температурних змін.