Алгоритм отримання числа гриму. Великі числа: за межею розуму - Перезавантаження

Найбільша математична константа
Важко уявити Нескінченність правильно, не представивши на початку справді великі числа. Я говорю не про крихітні числа, що мало відрізняються від нуля, такі як число атомів у Всесвіті або кількість років, які знадобляться мавпці, щоб повністю скопіювати твори Шекспіра. Я пропоную вам розглянути, як було, в районі 1977, найбільше число, коли-небудь використане в серйозному математичному доказі. Цей доказ, виконаний Рональдом Грахамом, дає верхню межу відповіді певне питання теорії Рамзея. Для того, щоб зрозуміти доказ, потрібно запровадити нове поняття з роботи Дональда Кнута «Дослідження кінцевих чисел». Це поняття зазвичай позначається маленькою стрілочкою, що вказує нагору, яку ми тут позначимо як ^

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. Це число досить мало, щоб його собі уявити.

3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7,625,597,484,987. Більше 27, але досить мало, щоб я міг його надрукувати. Ніхто не може уявити сім трильйонів, але ми легко можемо зрозуміти це число, яке по порядку приблизно відповідає обсягу ВВП.

3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^(3^(3^(3^...^(3^3)...)))). Проміжок "..." складається з 7,625,597,484,987 трійок. Іншими словами, 3^^^3 або стрілка (3, 3, 3) є експоненційною вежею трійок висотою в 7,625,597,484,987 рівнів. Це число знаходиться поза людськими уявленнями, але процедура його створення може бути візуалізована. Візьмемо x=1. Дайте х значення 3^x. Повторіть це сім трильйонів разів. Хоча самі ранні стадіїцього числа занадто великі, щоб утримуватися в цілому всесвіті, сама експоненційна вежа, записана у вигляді «3^3^3^3...^3» досить мала, щоб утримуватися в сучасному суперкомп'ютері.

3^^^^3 = 3^^^(3^^^3) = 3^^(3^^(3^^...^^(3^^3)...)). Тепер і число, і процедура його створення знаходяться за межами людської здібностідо уявлення, хоча процедура можна зрозуміти. Візьміть x=1. Призначте х значення експоненційної вежі довжиною x. Повторіть це 3^^^3раз, що дорівнює експоненційній вежі сім трильйонів трійок.

І в результаті, кажучи словами Мартіна Гарднера, «3^^^^3 непредставно більше, ніж 3^^^3, але воно все ще мало, тому що більшість кінцевих чисел більше».

І потім — число Грехема. Нехай х дорівнює 3^^^^3, тому неможливо великому числу, яке описано вище. Потім надайте x значення 3^^^^^^^^(x arrow)^^^^^^^3. Знову проробіть те саме замість х підставте (3^^^^^^^(x arrow)^^^^^^^3) Повторіть це 63 рази або 64 рази з урахуванням початкової послідовності 3^^^^3.

Число Грехема знаходиться далеко за межами моєї здатності до розуміння. Я можу його описати, але не можу його правильно сприйняти. (Можливо, Грехем може його сприйняти, оскільки він написав математичний доказ, який використовує його). Це число набагато більше, ніж концепція більшості людей про нескінченність. Я знаю, що воно було більше, ніж моя вистава.

Реальною відповіддю на проблему Рамзея, яка породила це число як верхній кордон – було, ймовірно, число 6.

P.s Крім забобонного жаху у мене це число породило маленький жарт: Онотоле Вассерман легко зводить число Грехема в квадрат за пару секунд.

Все астрономічні числа, що збільшуються, і зіставляти їх з фізичними явищами. Можна, можливо вдивлятисяв обрану точку фрактала Мандельброта, плавно збільшуючи масштаб в 10 198 разів (можна й більше, але для швидкості страждає наочність). Фрактал, наскільки малу частину його не бери, залишається самоподібним і зберігає дробову структуру.

А можна уявляти число Грема так, як його представляє автор статті «Число Грема на пальцях». Число Грема настільки велике, що навіть якщо ви уявите собі якесь жахливо велике астрономічне число, а потім зведете його в такий же жахливий ступінь, а потім повторіть все це жахливе число разів - то ви навіть не рушаєте з місця на шкалі того шляху, що веде до Грема. Щоб порахувати до числа Грема, доведеться навчитися вважати зовсім інакше, ніж ми звикли - уявляючи, що шлях у нескінченність лежить через дописування нулів до відомих нам астрономічних чисел. У цій системі рахунки загинання пальця на руці буде відповідати не додавання до одиниці або мільйона, не дописування нуля або сотень нулів разом, але крок від складання до множення, від множення до зведення в ступінь і далі в неймовірні дали.

Відразу попереджаю, що всі ці вправи досить нестримні - не захоплюйтеся, бережіть своє душевне здоров'я. Однак іноді корисно вдивитись у нескінченність, щоб зрозуміти, де ти і що ти їй, як людина, можеш протиставити.

Для мене свого часу погляд нескінченність, подібний до описаного «на пальцях» числу Грема, дала функція Аккермана (яку наводять як приклад складної рекурсивної функції в теорії алгоритмів). Вона тісно пов'язана зі стрілочним записом Батіга, що використовується в статті про число Грема.

Ідея дуже проста. Візьмемо як нульовий крок операцію збільшення на 1, інкремент. Тобто. X + 1. Як перший крок візьмемо інкремент, повторений Y раз. Отримаємо X + Y, тобто. операцію складання. Як другий крок візьмемо додавання X із самим собою, повторене Y разів. Отримаємо X · Y, тобто. операцію множення. На третьому кроці отримуємо операцію зведення в ступінь X Y . На четвертому отримуємо «вежу» ступенів X X X довжиною Y. На п'ятому - «вежу башенок» (те, що автор статті про число Грема на пальцях, назвав «безвежею»). Ну і таке інше.

Якщо ми візьмемо натуральне (тобто невід'ємне ціле) число і застосуємо до нього операцію порядку, що дорівнює цьому числу, то в нас вийде приблизно функція Аккермана (насправді, вона визначається складніше і від трьох чи двох аргументів, але не суть) .

Функція Аккермана росте дуже швидко, вона росте невимовно швидко, вона росте швидше за що завгодно, що ви можете собі уявити. Вже на п'ятому кроці вона виходить за межі Всесвіту. Але щоб дорахувати до числа Грема за доступну кількість кроків, навіть її недостатньо. Потрібно взяти функцію Аккермана другого порядку. Тобто. функцію акермана від функції акермана від функції акермана - і так Y раз. Вийде така собі «вежа» функцій Аккермана. Ось така «вежа» заввишки 64 поверхи якраз до числа Грема і дорахує.

Здається, що усвідомлення невимовної величини цього може розчавити людини. Але не поспішайте з висновками. Автор згаданої статті, намагаючись оцінити підступи до цього числа, порівнює його елементи з числом частинок у Всесвіті, порівнює висоту башт з відстанню між планетами. Але вся ця уявна на вигляд невимовність зводиться до «півтора». Гаразд, нехай «два з половиною».

Поясню. Вважати «нескінченність» (у лапках - бо будь-яке число все ж таки звичайно) потрібно не тим, скільки піщинок вона в собі містить, а тим, скільки разів кількість переходить у якість, скільки в ній нетривіальних ідей. Порахуємо, скільки нетривіальних ідей у числі Грема. Функція Аккермана з її порядком арифметичної операції як аргументом функції – ідея вкотре. Застосування функції Акермана до самої себе - навіть на повноцінну ідею не тягне, так, на половинку (адже можна уявити і функцію Акермана третього порядку, щоб ще більше отримати - але тим виразніше виродженість ідеї). Додамо ще, власне, опис завдання, в рамках якого з'явилося число Грема (фарбування у випадкову комбінацію двох кольорів діагоналей багатовимірних гіперкубів), щоб мати уявлення, де зупинитися в нашому рахунку - і отримаємо дві з половиною ідеї.

Начебто, з одного боку, майже неосяжна нескінченність - з другого боку, тривіальність. Поставте два дзеркала один навпроти одного, встаньте між ними - і ви побачите нескінченну кількість дедалі більш тьмяних відбитків. Відбитків нескінченна кількість, але оригінал у них один - відбиваєтеся лише ви самі.

Якщо в якомусь явищі ви помічаєте, що з якогось моменту починають повторюватися лише ті, що погіршуються (у найкращому випадку, такі ж) копії того, що вже було раніше - це погана нескінченність, хибна. Рух за її шкалою - лише видимість життя, але насправді це пастка для вашої свідомості.

Наприклад, знайомитеся ви з якимось твором – книгою, фільмом, відеогрою – і помічаєте, що з якогось моменту твір починає повторювати саму себе. Мабуть, найбільше цим грішать відеоігри - нескінченні квести «убий стільки таких монстрів», «принеси туди-то», експоненційно зростаюча вартість все більш химерної зброї і обладунків для боротьби з все більш живучими ворогами, що дають все більше ігрових грошей. Якщо повторення перестало розкривати вихідну ідею і стало самоціллю, то залиште цей твір - воно впало в погану нескінченність і лише витягне вас від істинного шляху.

Або ось був хороший оригінал – і зробили йому сіквел, приквел чи відгалуження сюжету. Чим заповнити? Відомо чим - взяти все те, що в оригіналі, але в більших кількостяхта інакше скомбіноване. Була одна ідея, стало півтори. Цих сіквелів можна тепер нескінченне числоробити, заробляючи гроші на тих, кому сподобався оригінал. І знову перед нами погана нескінченність.

Взагалі, візьми будь-який жанр - і велику частинуйого становитимуть повторення, погіршені копії родоначальника жанру. Якщо ви відчуваєте, що задихаєтесь у засиллі цих схожих друзівна друга відбитків - пливіть проти течії, шукайте джерело відбитків. Лише так ви можете в лабіринті поганої нескінченності знайти справжній шлях.

Є числа, які так неймовірно, неймовірно великі, що навіть для того, щоб записати їх, знадобиться весь всесвіт цілком. Але ось що справді зводить з розуму ... деякі з цих незбагненно великих чисел вкрай важливі для розуміння світу.

Коли я говорю “найбільше у Всесвіті”, насправді я маю на увазі найбільше значущечисло, максимально можливе число, яке до певної міри корисне. Є багато претендентів на цей титул, але я відразу ж попереджаю вас: дійсно існує ризик того, що спроба зрозуміти все це підірве ваш мозок. І, крім того, з надлишком математики, ви отримаєте мало задоволення.

Гугол та гуголплекс

Едвард Каснер

Ми могли б почати з двох, ймовірно, найбільших чисел, про які ви коли-небудь чули, і це дійсно два найбільші числа, які мають загальноприйняті визначення в англійській мові. (Є досить точна номенклатура, що використовується для позначення чисел настільки великих, як вам хотілося б, але ці два числа в даний час ви не знайдете в словниках.) Гугол, відколи він став всесвітньо відомим (хоча і з помилками, прямуючи. насправді це googol) у вигляді Google, народився 1920 року як спосіб зацікавити дітей великими числами.

З цією метою Едвард Каснер (на фото), взяв двох своїх племінників, Мільтона та Едвіна Сіротт, на прогулянку Нью-Джерсі Palisades. Він запропонував їм висувати будь-які ідеї, і тоді дев'ятирічний Мільтон запропонував “гугол”. Звідки він узяв це слово, невідомо, але Каснер вирішив, що або число, в якому за одиницею стоять сто нулів відтепер називатиметься гугол.

Але молодий Мільтон на цьому не зупинився, він запропонував ще більше, гуголплекс. Це число, на думку Мільтона, в якому на першому місці стоїть 1, а потім стільки нулів, скільки ви могли б написати до того, як втомитесь. Хоча ця ідея чарівна, Каснер вирішив, що необхідне формальне визначення. Як він пояснив у своїй книзі 1940 року видання “Математика і уява”, визначення Мільтона залишає відкритою ризиковану можливість того, що випадковий блазень може стати математиком, який перевершує Альберта Ейнштейна просто тому, що він має більшу витривалість.

Таким чином, Каснер вирішив, що гуголплекс дорівнюватиме , або 1, а потім гугол нулів. Інакше, і в позначеннях, аналогічних тим, з якими ми матимемо справу для інших чисел, говоритимемо, що гуголплекс — це . Щоб показати, наскільки це заворожує, Карл Саган якось зауважив, що фізично неможливо записати всі нулі гуголплексу, бо просто не вистачить місця у Всесвіті. Якщо заповнити весь обсяг Всесвіту, що спостерігається дрібними частинкамипилу розміром приблизно 1,5 мікрона, то число різних способіврозташування цих частинок приблизно дорівнює одному гуголплексу.

Лінгвістично кажучи, гугол і гуголплекс, ймовірно, два найбільших значущих числа (принаймні в англійській мові), але, як ми зараз встановимо, способів визначення “значущості” нескінченно багато.

Реальний світ

Якщо ми говоритимемо про найбільшу значну кількість, існує розумний аргумент, що це дійсно означає, що потрібно знайти найбільше число з реально існуючим у світі значенням. Ми можемо почати з поточної людської популяції, яка в даний час складає близько 6920 мільйонів. Світовий ВВП у 2010 році, за оцінками, становив близько 61960 мільярдів доларів, але обидва ці числа незначні порівняно з приблизно 100 трильйонами клітин, що становлять організм людини. Звичайно, жодне з цих чисел не може зрівнятися з повним числом частинок у Всесвіті, яке, як правило, вважається рівним приблизно і це число настільки велике, що наша мова не має відповідного йому слова.

Ми можемо пограти трохи з системами заходів, роблячи числа більше та більше. Так, маса Сонця в тоннах буде меншою, ніж у фунтах. Прекрасний спосіб зробити це полягає у використанні системи одиниць Планка, які є найменшими можливими заходами, для яких залишаються чинними закони фізики. Наприклад, вік Всесвіту в часі Планка становить близько . Якщо ми повернемося в першу одиницю часу Планка після Великого Вибуху, то побачимо, що щільність Всесвіту була тоді. Ми отримуємо все більше, але ми ще не досягли навіть гугола.

Найбільше з будь-яким реальним додатком світі - або, в даному випадкуреальним застосуванням у світах — мабуть, — одна з останніх оцінокчисла всесвітів у мультивсесвіті. Це число настільки велике, що людський мозокбуде буквально не в змозі сприйняти всі ці різні всесвітиоскільки мозок здатний тільки приблизно на конфігурації. Насправді це число, ймовірно, найбільше число з будь-яким практичним змістом, якщо ви не берете до уваги ідею мультивсесвіту в цілому. Однак є ще набагато більші числа, які там ховаються. Але для того, щоб знайти їх, ми повинні вирушити в область чистої математики, і немає кращого початкуніж прості числа.

Прості числа Мерсенна

Частина труднощів полягає у тому, щоб придумати гарне визначеннятого, що таке “значне” число. Один із способів полягає в тому, щоб міркувати у термінах простих та складових чисел. Просте число, як ви, напевно, пам'ятаєте з шкільної математики, - це будь-яке натуральне число(Прим. рівну одиниці), яке ділиться тільки на себе і самого себе. Отже, і прості числа, а і складові числа. Це означає, що будь-яке складова кількістьможе в кінцевому рахунку бути представлено своїми простими дільниками. У певному сенсі число є більш важливим, ніж, скажімо, тому, що немає ніякого способу висловити його через добуток менших чисел.

Очевидно, ми можемо піти трохи далі. Наприклад, насправді просто , що означає, що в гіпотетичному світі, де наші знання чисел обмежені числом , математик ще може висловити число . Але вже наступна кількість проста, і це означає, що єдиним способомйого висловити - безпосередньо знати про його існування. Це означає, що найбільші відомі прості числа відіграють важливу роль, а, скажімо, гугол – який, зрештою, просто набір з чисел і перемножених між собою взагалі-то й немає. І оскільки прості числа переважно випадкові, невідомо ніяких способів передбачити, що неймовірно велике число насправді буде простим. Досі відкриття нових простих чисел — це важка справа.

Математики Стародавню Греціюмали поняття про простих числах, принаймні, вже в 500 році до нашої ери, а через 2000 років люди все ще знали, які числа прості лише приблизно до 750. Мислители часів Евкліда побачили можливість спрощення, але аж до епохи Відродження математики не могли дійсно використовувати це на практиці . Ці числа відомі як числа Мерсенна, вони названі на честь французького вченого XVII століття Марина Мерсенна. Ідея досить проста: число Мерсенна - це будь-яке число виду. Так, наприклад, , і це число просте, те саме вірно і для .

Набагато швидше і легше визначити прості числа Мерсенна, ніж будь-який інший вид простих чисел, і комп'ютери напружено працюють у пошуках протягом останніх шести десятиліть. До 1952 найбільшим відомим простим числом було число - число з цифрами. У тому ж році на комп'ютері вирахували, що число просте, і це число складається з цифр, що робить його вже набагато більше, ніж гугол.

Комп'ютери з тих пір були на полюванні, і в даний час число Мерсенна є найбільшим простим числом, відомим людству. Виявлене у 2008 році, воно становить число з майже мільйонами цифр. Це найбільше відома кількість, яка не може бути виражена через будь-які менші числа, і якщо ви хочете допомогти знайти ще більше Мерсенна, ви (і ваш комп'ютер) завжди можете приєднатися до пошуку на сайті http://www.mersenne.org/.

Число Скьюза

Стенлі Скьюз

Знову звернемося до простих чисел. Як я вже казав, вони поводяться докорінно неправильно, це означає, що немає ніякого способу передбачити, яким буде таке просте число. Математики були змушені звернутися до деяких досить фантастичних вимірів, щоб придумати якийсь спосіб передбачити майбутні прості числа навіть у якийсь туманний спосіб. Найбільш успішною з цих спроб, ймовірно, є функція, що вважає прості числа, яку придумав у кінці XVIIIстоліття легендарний математик Карл Фрідріх Гаус.

Я позбавлю вас від більш складної математики— так чи інакше, у нас ще багато попереду — але суть функції полягає в наступному: для будь-якого цілого можна оцінити, скільки існує простих чисел, менших . Наприклад, якщо , функція передбачає, що має бути простих чисел, якщо простих числа, менших , і якщо , то існує менших чисел, які є простими.

Розташування простих чисел справді має нерегулярний характер, і це лише наближення фактичного числа простих чисел. Насправді ми знаємо, що простих чисел, менших , простих чисел менших , і простих чисел менших . Це відмінна оцінка, що й казати, але це завжди лише оцінка… і, конкретніше, оцінка зверху.

У всіх відомих випадкахдо , функція, яка знаходить кількість простих чисел, трохи перебільшує фактичну кількість простих чисел менших . Математики колись думали, що так буде завжди, до нескінченності, що це, безумовно, відноситься і до деяких неймовірно величезних чисел, але в 1914 Джон Ідензор Літтлвуд довів, що для якогось невідомого, неймовірно величезного числа ця функція почне видавати менше простих чисел, а потім вона буде перемикатися між оцінкою зверху та оцінкою знизу нескінченне число разів.

Полювання було на точку початку стрибків, і тут з'явився Стенлі Скьюз (див. фото). 1933 року він довів, що верхня межаколи функція, що наближає кількість простих чисел вперше дає менше значення- Це число. Важко по-справжньому зрозуміти навіть у найбільш абстрактному сенсі, що насправді це число, і з цієї точки зору це було найбільше число, коли-небудь використане в серйозному математичному доказі. З того часу математики змогли зменшити верхню межу до відносно невеликого числа, але вихідне число залишилося відоме як число Скьюза.

Отже, наскільки велике число, яке робить карликом навіть могутній гуголплекс? У словнику The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Девід Уеллс розповідає один спосіб, з допомогою якого математику Харді вдалося осмислити розмір числа Скьюза:

"Харді думав, що це "найбільше число, що коли-небудь служило будь-якої певної мети в математиці'', і припустив, що якщо грати в шахи з усіма частинками Всесвіту як фігурами, один хід полягав у перестановці місцями двох частинок, і гра припинялася б, коли одна й та сама позиція повторювалася б втретє, то число всіх можливих партій дорівнювало б приблизно числу Скьюза''.

І останнє перед тим, як рухатися далі: ми говорили про менше з двох чисел Ск'юза. Існує інше число Скьюза, який математик знайшов у 1955 році. Перше число отримано на тій підставі, що так звана гіпотеза Рімана істинна - це особливо складна гіпотеза математики, яка залишається недоведеною, дуже корисна, коли йдеться про прості числа. Тим не менш, якщо гіпотеза Рімана є хибною, Ск'юз виявив, що точка початку стрибків збільшується до .

Проблема величини

Перш ніж ми перейдемо до числа, поряд з яким навіть число Скьюза виглядає крихітним, нам потрібно трохи поговорити про масштаб, тому що інакше ми не маємо можливості оцінити, куди ми збираємося йти. Спочатку давайте візьмемо число - це крихітне число, настільки мале, що люди можуть справді мати інтуїтивне розуміння того, що воно означає. Є дуже мало чисел, які відповідають цьому опису, тому що числа більше шести перестають бути окремими числамиі стають “кілька”, “багато” тощо.

Тепер давайте візьмемо, тобто. . Хоча ми насправді не можемо інтуїтивно, як це було для числа, зрозуміти, що таке, уявити те, чим є дуже легко. Поки що все йде добре. Але що станеться, якщо ми перейдемо до ? Це одно, або. Ми дуже далекі від здатності уявити собі цю величину, як і будь-яку іншу, дуже велику — ми втрачаємо здатність осягати окремі частини близько мільйона. (Правда, шалено велика кількістьчасу зайняло б, щоб дійсно дорахувати до мільйона будь-чого, але справа в тому, що ми все ще здатні сприймати це число.)

Тим не менш, хоча ми не можемо уявити , ми принаймні в змозі зрозуміти в загальних рисах, Що таке 7600 млрд, можливо, порівнюючи його з чимось таким, як ВВП США. Ми перейшли від інтуїції до уявлення і до простого розуміння, але принаймні ми ще маємо певну прогалину в розумінні того, що таке число. Це ось-ось зміниться, у міру нашого просування на ще один щабель вгору сходами.

Для цього нам потрібно перейти до позначення, введеного Дональдом Кнутом, відомого як стрілочна нотація. У цих позначеннях можна записати як . Коли ми потім перейдемо до , число, яке ми отримаємо, буде рівним . Це одно де в загальної складностітрійок. Ми тепер значно і по-справжньому перевершили всі інші числа, про які ми вже говорили. Зрештою, навіть у найбільших з них було лише три чи чотири члени у ряді показників. Наприклад, навіть супер-число Скьюза — це “тільки” навіть з поправкою на те, що і основа, і показники набагато більші, ніж воно, як і раніше, абсолютно ніщо в порівнянні з величиною числової вежі з млрд членів.

Очевидно, що немає ніякого способу для осягнення настільки величезних чисел… і тим не менше, процес, з якого вони створені, ще можна зрозуміти. Ми не могли б зрозуміти реальну кількість, яка задається вежею ступенів, в якій мільярд трійок, але ми можемо в основному уявити таку вежу з багатьма членами, і справді пристойний суперкомп'ютер зможе зберігати в пам'яті такі вежі, навіть якщо він не зможе обчислити їх дійсні значення .

Це стає все абстрактнішим, але далі буде тільки гірше. Ви можете подумати, що вежа ступенів довжина показника якої дорівнює (більше того, в попередній версії цього посту я зробив саме цю помилку), але це просто. Іншими словами, уявіть, що у вас є можливість обчислити точне значеннястепеневої вежі з трійок, яка складається з елементів, а потім ви взяли це значення і створили нову вежуз такою кількістю в ньому, що дає .

Повторіть цей процес з кожним наступним числом ( прямуючи.починаючи праворуч), поки ви не зробите цього разу, і тоді нарешті ви отримаєте . Це число, яке просто неймовірно велике, але принаймні кроки його отримання начебто зрозумілі, якщо робити дуже повільно. Ми більше не можемо зрозуміти числа або уявити процедуру, завдяки якій воно виходить, але, принаймні, ми можемо зрозуміти основний алгоритм лише у досить великий термін.

Тепер підготуємо розум до того, щоб його справді підірвати.

Число Грема (Грехема)

Рональд Грем

Ось як ви отримаєте число Грема, яке займає місце в Книзі рекордів Гіннеса як найбільше число, яке коли-небудь використовували в математичному доказі. Цілком неможливо уявити, наскільки воно велике, і так само важко точно пояснити, що це таке. У принципі, число Грема з'являється, коли мають справу з гіперкубами, які є теоретичними. геометричними формамиз більш ніж трьома вимірами. Математик Рональд Грем (див. фото) хотів з'ясувати, за якого найменшого числа вимірювань певні властивості гіперкуба залишатимуться стійкими. (Вибачте за таке розпливчасте пояснення, але я впевнений, що нам усім потрібно отримати принаймні дві вчені ступеніз математики, щоб зробити його більш точним.)

У будь-якому випадку число Ґрема є оцінкою зверху цього мінімального числа вимірювань. Отже, наскільки великий цей верхній кордон? Давайте повернемося до такого великого, що алгоритм його отримання ми можемо зрозуміти досить неясно. Тепер, замість того, щоб просто стрибати вгору ще на один рівень до , ми будемо рахувати число , в якому є стрілки між першою та останньою трійками. Тепер ми далеко за межами навіть найменшого розуміння того, що таке це число або навіть від того, що потрібно робити, щоб його обчислити.

Тепер повторимо цей процес рази ( прямуючи.на кожному наступному кроці ми пишемо число стрілок, рівну числуотриманому на попередньому кроці).

Це, пані та панове, число Грема, яке приблизно на порядку стоїть вище за точку людського розуміння. Це число, яке настільки більше, ніж будь-яке число, яке можна собі уявити - це набагато більше, ніж будь-яка нескінченність, яку ви могли б коли-небудь сподіватися собі уявити - воно просто не піддається навіть абстрактним описом.

Але дивна річ. Оскільки число Грема переважно — це просто трійки, перемножені між собою, ми знаємо деякі його властивості без фактичного його обчислення. Ми не можемо уявити число Грема за допомогою будь-яких знайомих нам позначень, навіть якби ми використали весь Всесвіт, щоб записати його, але я можу назвати вам прямо зараз останні дванадцять цифр числа Грема: . І це ще не все: ми знаємо принаймні останні цифри Грема.

Звичайно, варто пам'ятати, що це число лише верхня межа у вихідному завданні Грема. Цілком можливо, що фактичне число вимірювань, необхідних для виконання потрібної властивості набагато менше. Насправді ще з 1980-х років вважалося, на думку більшості фахівців у цій галузі, що фактично кількість вимірів лише шість — число настільки мале, що ми можемо зрозуміти його на інтуїтивному рівні. З того часу нижня межа була збільшена до , але є ще дуже великий шанс, Що розв'язання задачі Грема не лежить поряд з числом настільки ж великим, як число Грема.

До нескінченності

То чи є числа більше, ніж число Грема? Є, звичайно, для початку є число Грема. Що стосується значущої кількості… добре, є деякі диявольськи складні областіматематики (зокрема області, відомої як комбінаторика) та інформатики, в яких зустрічаються числа навіть більші, ніж число Грема. Але ми майже досягли межі того, що, як я можу сподіватися, будь-коли зможуть розумно пояснити. Для тих, хто досить нерозважливий достатньо, щоб піти ще далі, пропонується література для додаткового читанняна свій страх і ризик.

Ну а зараз дивовижна цитата, яка приписується Дугласу Рею ( прямуючи.Чесно кажучи, звучить досить смішно):

“Я бачу скупчення невиразних чисел, які ховаються там, у темряві, за невеликою плямою світла, що дає свічка розуму. Вони шепочуться один з одним; змовляючись хто знає про що. Можливо, вони нас не дуже люблять за захоплення їхніх менших братиків нашими умами. Або, можливо, вони просто ведуть однозначний числовий спосіб життя, там, за межами нашого розуміння”.

епіграф
Якщо довго вдивлятися у прірву,
можна непогано провести час.
Інженер Механічних Душ

Як тільки дитина (а це відбувається десь року в три-чотири) розуміє, що всі числа діляться на три групи "один, два і багато", він відразу намагається з'ясувати: наскільки багато буває багато, чим багато відрізняється від дуже багато і може виявитися так багато, що більше не буває. Напевно ви грали з батьками в цікаву (для того віку) гру, хто назве найбільше число, і якщо предок був не дурнішим за п'ятикласника, то він завжди вигравав, на кожен "мільйон" відповідаючи "два мільйони", а на "мільярд" - "два мільярди" або "мільярд плюс один".

Вже до першого класу школи кожен знає — чисел безліч, вони ніколи не закінчуються і найбільшого числа не буває. До будь-якого мільйона трильйонів мільярдів завжди можна сказати "плюс один" і залишитися у виграші. А трішки пізніше приходить (має прийти!) розуміння, що довгі рядки цифр самі собою нічого не означають. Всі ці трильйони мільярдів тільки тоді мають сенс, коли є уявленням якоїсь кількості предметів або ж описують якесь явище. Вигадати довжелезне число, яке нічого не представляє, крім набору довгозвучних цифр, немає ніякої праці, їх отже нескінченна кількість. Наука, якоюсь образною мірою, займається тим, що вишукує в цій неосяжній безодні абсолютно конкретні комбінації цифр, долучаючи до когось фізичному явищу, наприклад швидкості світла, числу Авогадро або постійної Планка.

І відразу ж виникає питання, а яке на світі найбільше число, яке щось означає? У цій статті я спробую розповісти про цифровий монстр, званий число Грема, хоча строго кажучи, науці відомі числа і більше. Число Грема найрозпіарене, можна сказати "на слуху" у широкої публіки, тому що воно досить просто в поясненні і все ж таки досить велике, щоб запаморочити голову. Взагалі, тут потрібно оголосити маленький disclaimer (рус. застереження). Нехай прозвучить як жарт, але я ніфігу не жартую. Кажу цілком серйозно — прискіпливе колупання в подібних математичних глибинах у сукупності з нестримним розширенням меж сприйняття може вплинути на світовідчуття, на позиціонування особистості в суспільстві, і, зрештою, на загальне. психологічний станколупає, або, називатимемо речі своїми іменами — відкриває дорогу до шизи. Не потрібно надто уважно вчитуватися в наступний текст, не варто занадто яскраво і жваво представляти описувані в ньому речі. І не говоріть потім, що вас не попереджали!

Пальці:

Перш ніж переходити до числа-монстрів, потренуємося для початку на кішках. Нагадаю, що для опису великих чисел (не монстрів, а просто великих чисел) зручно користуватися науковим чи т.зв. експонентним способом запису.

Коли кажуть, скажімо, про кількість зірок у Всесвіті (у Оглядовому Всесвіті), ніякий ідіот не лізе обчислювати скільки їх там у буквальному значенніз точністю до останньої зірки. Вважається, що приблизно 10-21 штук. І це оцінка знизу. Значить Загальна кількістьзірок можна виразити числом, у якого після одиниці стоїть 21 нуль, тобто. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Так виглядає невелика частина (близько 100 000) у кульовому скупченні Омега Центавра.

Природно, коли йдеться про подібні масштаби, дійсні цифри в числі суттєвого значення не відіграють, адже все дуже умовно і приблизно. Може бути насправді число зірок у Всесвіті "1564861615140168357973", а може "9384684643798468483745". А то і "3 333 333 333 333 333 333 333" чому немає, хоча малоймовірно, звичайно. У космології, науці про властивості Всесвіту загалом такими дрібницями не морочаться. Головне уявляти, що це число складається з 22 цифр, від чого зручніше вважати його одиницею з 21 нулем, і записувати як 10 21 . Правило загальне та дуже просте. Яка цифра чи число стоять на місці ступеня (надруковано дрібним шрифтомзверху над 10 ось тут), стільки нулів після одиниці буде в тому числі, якщо розписати його по-простецьки, знаками поспіль, а не по-науковому. У деяких чисел існують "людські назви", наприклад 103 ми називаємо "тисяча", 106 - "мільйон", а 109 - "мільярд", а в деяких немає. Скажімо, у 10 59 немає загальноприйнятої назви. А у 10 21 , до речі, є – це "секстильйон".

Все, що йде до мільйона, практично будь-якій людині зрозуміло інтуїтивно, адже хто не хоче стати мільйонером? Далі у деяких починаються проблеми. Хоча мільярд (109) теж знають майже всі. До мільярда навіть можна дорахувати. Якщо тільки народившись, буквально в момент появи на світ почати рахувати раз на секунду "один, два, три, чотири..." і не спати, не пити, не їсти, а тільки рахувати-рахувати невтомно вдень і вночі, то коли стукне 32 роки можна дорахувати до мільярда, тому що 32 обороти Землі навколо Сонця займають приблизно мільярд секунд.

7 мільярдів - кількість людей планети. Виходячи з вищевикладеного, порахувати їх усіх по порядку на протязі людського життязовсім неможливо, доведеться прожити понад двісті років.

100 мільярдів (10 11) — стільки чи близько того людей мешкало на планеті за всю її історію. 100 мільярдів гамбургерів продав Макдональдс до 1998 року за 50 років свого існування. 100 мільярдів зірок (ну, трохи більше) знаходиться у нашій галактиці Чумацький шлях, і Сонце одна з них. Така ж кількість галактик міститься в найближчому Всесвіті. 100 мільярдів нейронів перебуває у головному мозку людини. І стільки ж анаеробних бактерій проживають у кожного, хто читає ці рядки в сліпій кишці.
Трильйон (1012) — число, яким рідко користуються. До трильйона дорахувати неможливо, на це піде 32 тисячі років. Трильйон секунд тому люди жили в печерах і полювали зі списами на мамонтів. Так, трильйон секунд тому на Землі жили мамонти. В океанах планети приблизно трильйон риб. У сусідній з нами галактиці Андромеди близько трильйона зірок. Людина складається з 10 трлн клітин. ВВП Росії у 2013 році склав 66 трильйонів рублів (у рублях 2013 року). Від Землі до Сатурна 100 трильйонів сантиметрів і стільки ж букв загалом було надруковано у всіх будь-коли опублікованих книгах.

Квадрильйон (10 15 мільйон мільярдів) — стільки всього мурах на планеті. Це слово нормальні людивголос не вимовляють, ну, зізнайтеся, коли ви останній разу розмові чули "квадрильйон чогось"?

Квінтильйон (10 18 мільярд мільярдів) - стільки існує можливих конфігурацій при складанні кубика Рубіка 3х3х3. Також кількість кубометрів води у світовому океані.
Секстильйон (10 21) це число нам вже зустрічалося. Кількість зірок у Оглядовому Всесвіті. Кількість піщин всіх пустель Землі. Кількість транзисторів у всіх існуючих електронних пристроївлюдства, якщо Intel нам не брехав.

10 секстильйонів (10 22) - кількість молекул у грамі води.

10 24 - маса Землі в кілограмах.

10 26 — діаметр Оглядового Всесвіту в метрах, але в метрах вважати не дуже зручно, загальноприйняті межі Оглядового Всесвіту 93 мільярди світлових років.
Розмірами, більшими за Оглядовий Всесвіт, наука не оперує. Ми знаємо напевно, що Оглядовий Всесвіт це не вся-вся-вся Всесвіт. Це та частина, що ми, хоч би теоретично, можемо бачити і спостерігати. Або могли бачити у минулому. Або зможемо побачити колись у віддаленому майбутньому, залишаючись у рамках сучасної науки. Від інших частин Всесвіту навіть зі швидкістю світла сигнали не зможуть до нас дістатися, від чого цих місць на наш погляд як би не існує. Наскільки велика та великий Всесвітнасправді ніхто не знає. Може бути в мільйон разів більше, ніж Огляд. А може, в мільярд. А може, і взагалі нескінченна. Кажу ж, це вже не наука, а ворожіння на кавовій гущі. У вчених є деякі припущення, але це більше фантазії, ніж реальність.

Для візуалізації космічних масштабівкорисно вивчити цю картинку, розкривши її на весь екран.

Однак навіть у Оглядовий Всесвіт можна напхати набагато більше чогось іншого, ніж метри.

10 51 атомів становлять планету Земля.

10 80 приблизна кількість елементарних частинокв Оглядом Всесвіті.

10 90 приблизну кількість фотонів у Оглядовому Всесвіті. Їх майже в 10 мільярдів разів більше, ніж елементарних частинок, електронів та протонів.
10100 - гугол. Це число нічого фізично не означає просто кругле і красиве. Компанія, яка поставила собі за мету індексувати гугол посилань (жарт, звичайно, це ж більше, ніж число елементарних частинок у Всесвіті!) в 1998 році взяла собі назву Google.

10 122 протонів знадобиться, щоб набити Оглядовий Всесвіт під зав'язку, щільно так, протончик до протончика, впритул.

10 185 планківських обсягів займає Оглядовий Всесвіт. Менших величин, ніж планківський обсяг (кубик розмірів планківської довжини 10-35 метрів), наша наука не знає. Напевно, як і з Всесвіту, там є щось ще дрібніше, але осудних формул для подібних дрібниць вчені ще не придумали, одні суцільні спекуляції.

Виходить, що 10 185 або близько того — найбільше число, яке в принципі може щось означати сучасній науці. У науці, яка може помацати та виміряти. Це те, що існує чи могло б існувати, якщо так сталося, що ми дізналися про Всесвіт все, що можна було дізнатися. Число складається з 186 цифр, ось воно:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Наука тут, звичайно ж, не закінчується, але далі вже йдуть вільні теорії, здогади, а то й просто навчений чес і гон. Наприклад, ви напевно чули про інфляційну теорію, згідно з якою, можливо, наш Всесвіт лише частина більш загального Мультивселена, в якому цих всесвітів як бульбашок в океані шампанського.

Або чули про теорію струн, згідно з якою може існувати близько 10 500 конфігурацій коливань струн, а значить така ж кількість потенційних всесвітів, кожна зі своїми законами.
Що далі в ліс, то менше теоретичної фізикиі взагалі науки залишається в числах, що набирають обсяги, і за колонками нулів починає проглядати дедалі чистіша, нічим не замутнена цариця наук. Математика це ж не фізика, тут обмежень немає і соромитися нічого, гуляй душа, пиши нули у формулах хоч до упаду.
Згадаю лише відомий багатьом гуголплекс. Число у якого гугол цифр, десять у ступеню гугол (10 гугол), або десять у ступеню десять у ступеню сто (10 10 100 (редактор не дозволяє зробити ще одну ітерацію ступеня, доведеться картинкою, або ставитиму слеш (/)

.
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Не записуватиму його цифрами. Гуголплекс не означає абсолютно нічого. Людина не може уявити собі гуголплекс будь-чого, це фізично неможливо. Щоб записати таке число знадобиться весь Оглядовий Всесвіт, якщо писати "нано-ручкою" прямо по вакууму фактично в планківські осередки космосу. Перекладемо всю матерію на чорнило і заповнимо Всесвіт одними суцільними цифрами, тоді отримаємо гуголплекс. Але математики ( страшні люди!) гуголпрекс тільки розминаються, це найнижча планка, з якої для них стартують справжні ніщоки. І якщо ви думаєте, що гуголплекс у ступеня гуголплекс це те, про що піде мова, ви навіть не уявляєте, наскільки помиляєтеся.
За гуголплексом йдуть багато цікавих чисел, що мають ту чи іншу роль в математичних доказах, чи довго коротко, перейдемо відразу до Грема, названому так на честь (ну, природно) математика Рональда Грема. Спочатку розповім, що це таке і для чого потрібно, після чого образно і на пальцях опишу, яке воно за величиною, а потім вже напишу саме число. Точніше спробую пояснити, що я написав.
Число Грема з'явилося в роботі, присвяченій вирішенню одного із завдань в теорії Рамсея, причому "рамсея" тут не дієприслівник недосконалого видуа прізвище іншого математика, Франка Рамсея. Завдання, звичайно ж, досить надумане з обивательської точки зору, хоч і не сильно заморочене, навіть легко зрозуміле.
Уявіть куб, всі вершини якого з'єднані лініями-відрізками двох кольорів, червоного або синього. З'єднані та розфарбовані в випадковому порядку. Дехто вже здогадався, що мова підепро розділ математики під назвою комбінаторика.
6

Чи зможемо ми схитруватися і так підібрати конфігурацію кольорів (а їх всього два — червоний і синій), щоб при розмальовці цих відрізків у нас не вийшло, що всі відрізки одного кольору, що з'єднують чотири вершини, лежать в одній площині? В даному випадку, НЕ являють собою таку фігуру:
7

Можете самі подумати, покрутити куб в уяві перед очима, зробити подібне не так вже й складно. Кольори два, вершин (кутів) у куба 8, значить відрізків їх з'єднують - 28. Можна так підібрати конфігурацію забарвлення, що ми ніде не отримаємо вищевказаної фігури, у всіх можливих площинах будуть різнокольорові лінії.
А що, як у нас більше вимірів? Що, коли ми візьмемо не куб, а чотиривимірний куб, тобто. тесеракт? Чи зможемо ми провернути той самий фокус, що і з тривимірним?
8

Навіть не поясню, що таке чотиривимірний куб, всі знають? У чотиривимірного куба 16 вершин. І не потрібно пижити мозок і намагатися уявити чотиривимірний куб. Це чиста математика. Подивився на кількість вимірів, підставив у формулу, отримав кількість вершин, ребер, граней тощо. Отже у чотиривимірного куба 16 вершин і 120 відрізків, що їх з'єднують. Кількість комбінацій розмальовки у чотиривимірному випадку набагато більша, ніж у тривимірному, але й тут не дуже складно порахувати, розділити, скоротити тощо. Коротше з'ясувати, що в чотиривимірному просторі теж можна так зхитритися з розфарбуванням відрізків у гіперкуба, що всі лінії одного кольору, що з'єднують чотири вершини, не лежатимуть в одній площині.
У п'ятивимірному? І в п'ятивимірному, де куб називається пентерактом або пентакубом, теж можна.
І в шестивимірному.
А далі вже складнощі. Грем не зміг математично довести, що у семимірного гіперкуба вдасться провернути таку операцію. І у восьмивимірного і у дев'ятивимірного і так далі. Але це "і так далі", виявилося, не йде в нескінченність, а закінчується якимось дуже великим числом, яке і назвали "числом Грема".
Тобто існує якась мінімальна розмірність гіперкуба, за якого умова порушується, і вже неможливо уникнути комбінації забарвлення відрізків, що чотири точки одного кольору лежатимуть в одній площині. І ця мінімальна розмірність точно більше шести і точно менше числаГрема, у цьому полягає математичний доказ вченого.
А тепер визначення того, що я вище розписав на кілька абзаців, сухим та нудним (зате ємним) мовою математики. Розуміти не треба, але не навести його я не можу.
Розглянемо n-вимірний гіперкуб і з'єднаємо всі пари вершин для отримання повного графа з 2 n вершинами. Розфарбуємо кожне ребро цього графа або у червоний, або у синій колір. При якому найменшому значенні n кожне таке розмальовка обов'язково містить розфарбований в один колір повний підграф із чотирма вершинами, всі з яких лежать в одній площині?
У 1971 році Грем довів, що зазначена проблема має рішення, і що це рішення (кількість розмірності) лежить між числом 6 і якимось великим числом, яке пізніше (не самим автором) було названо на його честь. У 2008 році доказ покращили, нижній кордонпідняли, тепер кількість розмірностей, що шукається, лежить вже між числом 13 і числом Грема. Математики не сплять, робота йде, приціл звужується.
З 70х років минуло чимало років, були знайдені математичні завдання в яких проявляються числа і більше гремова, але це перше число-монстр так вразило сучасників, які розуміли про які масштаби йдеться, Що в 1980-му році його включили в книгу рекордів Гіннесса, як "найбільше число, яке коли-небудь брало участь у суворому математичному доказі" на той момент.
Спробуймо розібратися, наскільки воно велике. Найбільше число, що може мати якийсь фізичний сенс 10 185 , а якщо весь Оглядовий Всесвіт заповнити нескінченним набором мізерних циферок, що здається, отримаємо щось порівнянне з гуголплексом.
9

Уявляєте цю громаду? Вперед, назад, вгору, вниз, наскільки вистачає око і наскільки вистачає телескопа Хаббл, і навіть наскільки не вистачає, до найдальших галактик і заглядаючи за них — цифри, цифри, цифри розміром набагато менші за протон. Існувати такий Всесвіт, звичайно, довго не зможе, тут же в чорну дірку зникне. Пригадуєте, скільки інформації можна теоретично помістити у Всесвіт? Адже я розповідав.
Число справді величезне, рве мозок. Воно не зовсім точно дорівнює гуголплексу, і в нього немає назви, тому називатиму його "дохуліон". Щойно придумав, чому б і ні. Кількість планківських осередків у Оглядовому Всесвіті, і в кожному осередку записана цифра. Число містить 10185 цифр, його можна зобразити як 1010185 .
дохуліон = 10 10 185
Розкриємо двері сприйняття трохи ширше. Пам'ятаєте інфляційну теорію? Що наш Всесвіт лише одна з багатьох бульбашок Мультивсесвіту. А якщо уявити дохуліон таких бульбашок? Візьмемо число, довжиною з усе, що існує, і уявимо собі Мультивселенну з такою кількістю всесвітів, кожна з яких під зав'язку списана цифрами — отримаємо дохуліон. Уявляєте таке? Як пливеш у небутті скалярного поля, а навколо всесвіт-всесвіт і в них цифри-цифри-цифри... Сподіваюся, подібний кошмар (хоча чому кошмар?) не мучитиме (і чому мучити?) надміру вразливого читача ночами.
Для зручності назвемо подібну операцію "фліп". Таке несерйозне вигук, ніби взяли Всесвіт і вивернули навиворіт, то він був усередині в цифрах, а тепер навпаки у нас зовні стільки всесвітів, скільки було цифр, і кожна повна-повна коробочка, сама вся в цифрах. Як гранат чистиш, скоринку так відгинаєш, зсередини вивертаються зернятка, а в зернятках знову гранати. Теж на ходу придумалося, чому б і ні, адже з дохуліоном прокотило.
Навіщо я хилю? Чи варто гальмувати? Давайте, хоба, та ще один фліп! І ось у нас стільки всесвітів, скільки було цифр у всесвітах, кількість яких дорівнювала дохуліону цифр, що заповнювали наш Всесвіт. І одразу, не зупиняючись, ще раз фліп. І четвертий, і п'ятий. Десятий, тисячний. Встигаєте за думкою, все ще уявляєте собі картину?
Не будемо дріб'язуватися, розпускаємо крила уяви, розганяємося на повну і фліпаємо фліп фліпів. Стільки разів вивертаємо кожну всесвіт навиворіт, скільки дохуліонів всесвітів було в попередньому фліпі, який фліпав з позаминулого, який... еее... ну, ви стежите? Десь так. Нехай тепер наше число стане, припустимо, "дохуліярд".
дохуліард = фліп фліпів
Не зупиняємось і продовжуємо фліпати дохуліони дохуліардів доти, доки є сили. Поки в очах не темніє, доки не захочеться кричати. Тут кожен сам собі відважний Буратіно, стоп-слово буде "бринза".
Так ось. Це все про що? Величезні та нескінченні дохуліони фліпів та дохуліарди всесвітів повних цифрне йдуть у жодне порівняння з числом Грема. Навіть не шкребуть по поверхні. Якщо число Грема уявити у вигляді палиці, розтягнутої за традицією на весь Оглядовий Всесвіт, то, що ми тут з вами нафліпали виявиться засічкою товщини... ну... як би це так, пом'якше висловити... негідної згадки. Ось, пом'якшав, як міг.
Тепер давайте трохи відвернемося, перепочинемо. Ми читали, ми рахували, наші очко втомилися. Забудемо про число Грема, до нього ще повзти і повзти, розфокусуємо погляд, розслабимося, помедитуємо на набагато менше, мініатюрне число, яке назвемо g 1 і запишемо всього шістьма знаками:
g 1 = 33
Число g 1 дорівнює "три, чотири стрілочки, три". Що це означає? Такий спосіб запису, званий стрілочна нотація Кнута.
Для подробиць і деталей можна почитати статтю у Вікіпедії, але там формули, я коротенько перекажу її простими словами.
Одна стрілочка означає звичайне зведенняу ступінь.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000
Дві стрілочки означають, що зрозуміло, зведення в міру ступеня.
23 = 222 = 2 2/ 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3/3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (більше 7 трильйонів)
34 = 3333 = 3 3/3/3 = 3 7625597484987 = число, в якому близько 3 трильйонів цифр
35 = 33333 = 3 3/ 3/ 3/ 3 = 3 3/ 7 625 597 484 987 = 3 у ступені числа, в якому 3 трильйони цифр - гуголплекс вже смокче
Коротше кажучи, "число стрілочка стрілочка інше число" показує, яка висота ступенів (математики говорять "б ашня") вишиковується з першого числа. Наприклад 58 означає вежу з восьми п'ятірок і настільки велике, що не може бути розраховано ні на якому суперкомп'ютері, навіть на всіх комп'ютерах планети одночасно.
Коротше кажучи, "число стрілочка стрілочка інше число" показує, яка висота ступенів (математики кажуть "вежа") вибудовується з першого числа. Наприклад 58 означає вежу з восьми п'ятірок і настільки велике, що не може бути розраховано на жодному суперкомп'ютері, навіть на всіх комп'ютерах планети одночасно.

Переходимо до трьох стрілочок. Якщо подвійна стрілочка показувала висоту вежі ступенів, то потрійна, здавалося б, вкаже "висота вежі висоти вежі"? Якийсь там! У випадку трійки ми маємо висоту вежі висоти вежі висоти вежі (у математиці такого поняття немає, я вирішив назвати його "безбашнею"). Якось так: 11

Тобто 33 утворює безбашню з трійок, заввишки 7 трильйонів штук. Що таке 7 трильйонів трійок, поставлені один на одного і звані "безбашнею"? Якщо ви уважно читали цей текст і не заснули на самому початку, мабуть, пам'ятайте, що від Землі до Сатурна 100 трильйонів сантиметрів. Трійка, показана на екрані дванадцятим шрифтом, ось ця – 3 – заввишки міліметрів п'ять. Значить безбашня з трійок простягнеться від вашого екрану... ну, не до Сатурна, звісно. Навіть до Сонця не дотягнеться, лише чверть астрономічної одиниці, приблизно як від Землі до Марса в гарну погоду. Звертаю увагу (не спати!), що безбашня не число довжиною від Землі до Марса, це вежа ступенів такої висоти. Ми пам'ятаємо, що п'ять трійок у цій вежі покривають гуголплекс, обчислення першого дециметра трійок спалює всі запобіжники комп'ютерів планети, а решта мільйонів кілометрів ступенів ніби й до чого, вони просто відкрито глузують з читача, вважати їх марно і неможливо.
12

Тепер зрозуміло, що 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 у ступені безбашні, а "три стрілочка стрілочка безбашня"(!)), вона ж безбашня безбашні не влізе ні по довжині ні по висоті в Обозрим , і навіть не поміститься в передбачувану мультиселенну.
На 35 = 33333 закінчуються слова, а на 36 = 333333 закінчуються вигуки, але можете потренуватися, якщо є інтерес.
Переходимо до чотирьох стрілочок. Як ви вже здогадалися, тут безбашня на безвежі сидить, безбашнею поганяє, і хоч із баштою, що без башти — все одно. Просто мовчки наведу картинку, що розкриває схему обчислення чотирьох стрілочок, коли кожне наступне число вежі ступенів визначає висоту вежі ступенів, визначальну висоту вежі ступенів, визначальну висоту вежі ступенів... і так до самозабуття.

Розраховувати його марно, та й не вдасться. Кількість ступенів тут не піддається осмисленому обліку. Це число неможливо уявити, його неможливо описати. Ніякі аналогії на пальцях™ не застосовні, число просто нема з чим порівнювати. Можна говорити, що воно величезне, що грандіозне, що монументальне і заглядає за обрій подій. Тобто надати йому якісь словесні епітети. Але візуалізація, навіть вільна та образна — неможлива. Якщо з трьома стрілочками ще хоч щось вдавалося сказати, намалювати безбашню від Землі до Марса, якось із чимось зіставити, то аналогій бути просто не може. Спробуйте уявити собі тонку вежу з трійок від Землі до Марса, поряд ще одну майже таку ж і ще одну, і ще... Безкрайнє поле веж йде в далечінь, у нескінченність, вежі всюди, вежі скрізь. І, що найприкріше, ці вежі навіть відношення до числа не мають, вони лише визначають висоту інших веж, які потрібно побудувати, щоб отримати висоту веж, щоб отримати висоту веж... щоб через неймовірну кількість часу та ітерацій отримати саме число.
Ось, що таке g1, ось що таке 33.
Перепочили? Тепер з g 1 з новими силами повертаємося до штурму числа Грема. Помітили, як наростає ескалація від стрілочки до стрілочки?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = вежа, заввишки від Землі до Марса.
33 = число, яке неможливо уявити ні описати.
А уявіть який цифровий кошмар твориться, коли стрілок виявиться п'ять? Коли їх шість? Чи можете уявити число, коли стрілок буде сто? Якщо можете, дозвольте запропонувати вашій увазі число g 2 , в якому кількість цих стрілок дорівнює g 1 . Пам'ятаєте, що таке g 1 так?

Все, що було написано до цих пір, всі ці розрахунки, ступеня і вежі, що не поміщаються в мультивсесвіт, потрібні були тільки для одного. Щоб показати КІЛЬКІСТЬ СТРІЛОК у числі g 2 . Тут уже не потрібно нічого рахувати, можна просто розсміятися і махнути рукою.
Не приховуватиму, є ще g 3 , в якому міститься g 2 стрілок. До речі, все ще зрозуміло, що g 3 це не g 2 "у ступені" g 2 а кількість безбашень, що визначають висоту безбашень, що визначають висоту ... і так по всьому ланцюжку вниз до теплової смерті Всесвіту? Тут можна починати плакати.
Чому плакати? Тому що абсолютно правильно. Є ще число g 4 в якому міститься g 3 стрілочок між трійками. Є так само g 5 є g 6 і g 7 і g 17 і g 43 ...
Коротше їх 64 штуки цих g. Кожне попереднє чисельно дорівнює кількості стрілок наступного. Останнє g 64 і є число Грема, з якого все так начебто безневинно починалося. Це число розмірностей гіперкуба, якого точно буде достатньо, щоб правильно розфарбувати відрізки червоним та синім кольорами. Може, й менше, це, так би мовити, верхня межа. Його записують так:

Якщо дуже довго вдивлятися у прірву,

можна непогано провести час.
Інженер Механічних Душ

Як тільки дитина (а це відбувається десь року в три-чотири) розуміє, що всі числа діляться на три великі групи"один, два і багато", він відразу намагається з'ясувати, наскільки багато буває багаточим багатовідрізняється від дуже багато, і чи може виявитися так багато, що більше не буває. Напевно, ви грали з батьками в цікаву (для того віку) гру, хто назве найбільше число, і якщо предок був не дурніший за п'ятикласника, то він завжди вигравав, на кожен "мільйон" відповідаючи "два мільйони", а на "мільярд" - "два мільярди" або "мільярд плюс один".

Вже до першого класу школи кожен знає — чисел безліч, вони ніколи не закінчуються і найбільшого числа не буває. До будь-якого мільйону трильйонів мільярдівзавжди можна сказати "плюс один" і залишитися у виграші. А трохи пізніше приходить (має прийти!) розуміння, що довгі рядки з цифр власними силами нічого не означають. Всі ці трильйони мільярдівтільки тоді мають сенс, коли служать уявленням якоїсь кількості предметів або ж описують певне явище. Вигадати довжелезне число, яке нічого не представляє, крім набору довгозвучних цифр, немає ніякої праці, їх отже нескінченнекількість. Наука, якоюсь образною мірою, займається тим, що витягує з цієї неосяжної прірви абсолютно конкретні комбінації цифр, додаючи до якогось фізичного явища, наприклад швидкості світла, Авогадро або постійної Планка.

І відразу ж виникає питання, а яке на світі найбільше число, яке щось означає? У цій статті я спробую розповісти про цифрового монстра число Грема, хоча строго кажучи, науці відомі числа і більше. Число Грема найрозпіарене, можна сказати "на слуху" у широкої публіки, тому що воно досить просто в поясненні і все ж таки досить велике, щоб запаморочити голову. Взагалі тут необхідно оголосити невеликий disclaimer ( русявий.застереження). Нехай прозвучить як жарт, але я ніфігу не жартую. Кажу цілком серйозно — прискіпливе колупання в подібних математичних глибинах у сукупності з нестримним розширенням меж сприйняття може надати (і вплине) серйозний вплив на світовідчуття, на позиціонування особистості в суспільстві та космосі, і, зрештою, на загальний психологічний станколупає, або, називатимемо речі своїми іменами — відкриває дорогу до шизи. Не варто занадто уважно вчитуватися в наступний текст, не варто занадто яскраво і жваво представляти описувані в ньому речі. І не говоріть потім, що вас не попереджали!

Перш ніж переходити до чисел-монстрів, потренуємося для початку на кішках. Нагадаю, що для опису великих чисел (не монстрів, а просто великих чисел) зручно користуватися науковим чи т.зв. експоненційнимспособом запису.

Коли кажуть, скажімо, про кількість зірок у Всесвіті (у Оглядовому Всесвіті), ніякий ідіот не лізе рахувати скільки їх там у буквальному значенні з точністю до останньої зірки. Вважається, що приблизно 10-21 штук. І це оцінка знизу. Отже, загальна кількість зірок можна виразити числом, у якого після одиниці коштує 21 нуль, тобто. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Так виглядає невелика частина (близько 100 000) у кульовому скупченні Омега Центавра.

Природно, коли йдеться про подібні масштаби, дійсні цифри в числі великого значенняне мають, адже все дуже умовно і приблизно. Може бути насправдічисло зірок у Всесвіті "1564861615140168357973", а може "9384684643798468483745". А то і "3 333 333 333 333 333 333 333" чому немає, хоча малоймовірно, звичайно. У космології, науці про властивості Всесвіту загалом такими дрібницями не морочаться. Головне уявляти, що приблизноце число складається з 22 цифр, від чого зручніше вважати його одиницею з 21 нулем і записувати як 10 21 . Правило загальне та дуже просте. Яка цифра або число стоять на місці ступеня (надруковані дрібним шрифтом зверху над числом 10 ось тут), стільки нулів після одиниці буде в тому числі, якщо розписати його по-простецьки, знаками поспіль, а не по-науковому. У деяких чисел існують "людські назви", наприклад 103 ми називаємо "тисяча", 106 - "мільйон", а 109 - "мільярд", а в деяких немає. Скажімо, у 10 59 немає загальноприйнятої назви. А у 10 21 , до речі, є – це "секстильйон".

Все, що йде до мільйона, практично будь-якій людині зрозуміло інтуїтивно, адже хто не хоче стати мільйонером? Далі у деяких починаються проблеми. Хоча мільярд (109) теж знають майже всі. До мільярда навіть можна дорахувати. Якщо тільки народившись, буквально в той же момент, коли вибрався з... ну... звідки там люди вибираються... почати рахувати раз на секунду "один, два, три, чотири..." і не спати, не пити , не є, а тільки рахувати-рахувати-рахувати невтомно вдень і вночі, то коли стукне 32 роки можна дорахувати до мільярда, тому що мільярд секунд приблизно становлять 32 обороти Землі навколо Сонця.

7 мільярдів - кількість людей планети. Виходячи з вищевикладеного, порахувати їх усіх по порядку протягом людського життя абсолютно неможливо, доведеться прожити більше двохсот років.

100 мільярдів (10 11) — стільки чи близько того людей мешкало на планеті за всю її історію. 100 мільярдів гамбургерів продала компанія Макдональдс до 1998 року за 50 років свого існування. 100 мільярдів зірок (ну, трохи більше) знаходиться в нашій галактиці Чумацький Шлях, і Сонце одна з них. Така ж кількість галактик міститься в найближчому Всесвіті. 100 мільярдів нейтронів знаходиться у головному мозку людини. І стільки ж анаеробних бактерій проживають у кожного, хто читає ці рядки в сліпій кишці.

Трильйон (1012) — число, яким рідко користуються. До трильйона дорахувати неможливо, на це піде 32 тисячі років. Трильйон секунд тому люди жили в печерах і полювали зі списами на мамонтів. Так, трильйон секунд тому на Землі жили мамонти. У всіх океанах планети приблизно трильйон риб. У сусідній з нами галактиці Андромеди близько трильйона зірок. Людина складається з 10 трлн клітин. ВВП Росії у 2013 році склав 66 трильйонів рублів (у рублях 2013 року). Від Землі до Сатурна 100 трильйонів сантиметрів і стільки ж букв загалом було надруковано в будь-коли опублікованих книгах людства.

Квадрильйон (10 15 мільйон мільярдів) — стільки всього мурах на планеті. Це слово нормальні люди вголос не вимовляють, ну, зізнайтеся, коли ви останній раз у розмові чули "квадрільйон чогось"?

Квінтильйон (10 18 мільярд мільярдів) - стільки існує можливих конфігурацій при складанні кубика Рубіка 3х3х3. Також кількість кубометрів води у світовому океані.

Секстильйон (10 21) це число нам вже зустрічалося. Кількість зірок у Оглядовому Всесвіті. Кількість піщин всіх пустель планети. Кількість транзисторів у всіх існуючих електронних пристроях людства, якщо Intel нам не брехав.

10 секстильйонів (10 22) - кількість молекул у грамі води.

10 24 - маса Землі в кілограмах.

10 26 — діаметр Оглядового Всесвіту в метрах, але в метрах вважати не дуже зручно, загальноприйняті межі Оглядового Всесвіту 93 мільярди світлових років.

Розмірами, більшими за Оглядовий Всесвіт наука не оперує. Ми знаємо напевно, що Оглядовий Всесвіт це не весь-вся-вся Всесвіт. Це та частина, що ми, хоч би теоретично, можемо бачити і спостерігати. Або могли бачити у минулому. Або зможемо побачити колись у віддаленому майбутньому, залишаючись у рамках сучасної науки. Від інших частин Всесвіту навіть зі швидкістю світла сигнали не зможуть до нас дістатися, від чого цих місць на наш погляд як би не існує. Наскільки великий той великий Всесвіт насправдініхто не знає. Може бути в мільйон разів більше, ніж Огляд. А може, в мільярд. А може, і взагалі нескінченна. Кажу ж, це вже не наука, а ворожіння на кавовій гущі. У вчених є деякі здогади, але це більше фантазії, ніж реальність.

Однак навіть у Оглядовий Всесвіт можна напхати набагато більше чогось іншого, ніж метри.

10 51 атомів становлять планету Земля.

10 80 зразкова кількість елементарних частинок в Оглядом Всесвіті.

10 90 приблизну кількість фотонів у Оглядовому Всесвіті. Їх майже в 10 мільярдів разів більше, ніж елементарних частинок, електронів та протонів.

10100 - гугол. Це число нічого фізично не означає просто кругле і красиве. Компанія, яка поставила собі за мету індексувати гугол посилань (жарт, звичайно, це ж більше, ніж число елементарних частинок у Всесвіті!) в 1998 році взяла собі назву Google.

Виходить, що 10 185 або близько того — найбільше, яке в принципі може щось означати в сучасній науці. У науці, яка може помацати та виміряти. Це те, що існує чи могло б існувати, якщо так сталося, що ми дізналися про Всесвіт все, що можна було дізнатися. Число складається з 186 цифр, ось воно:

Або чули про теорію струн, згідно з якою може існувати близько 10 500 конфігурацій коливань струн, а отже така ж кількість потенційних всесвітів, кожна зі своїми законами.

Чим далі в ліс, тим менше теоретичної фізики і взагалі науки залишається в числах, що набирають об'єм, і за колонками нулів починає проглядати дедалі чистіша, нічим не замутнена цариця наук. Математика це ж не фізика, тут обмежень немає і соромитися нічого, гуляй душа, пиши нули у формулах хоч до упаду.

Згадаю лише відомий широкому загалу гуголплекс. Число у якого гугол цифр, десять у степені гугол (10 гугол), або десять у степені десять у ступені сто (10 10 100).

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Не записуватиму його цифрами. Гуголплекс не означає абсолютно нічого. Людина не може уявити собі гуголплекс будь-чого, це фізично неможливо. Щоб записати таке число знадобиться весь Огляд Всесвіт, якщо писати "нано-ручкою" прямо по вакууму фактично в планківські осередки космосу. Перекладемо всю матерію на чорнило і заповнимо Всесвіт одними суцільними цифрами, тоді отримаємо гуголплекс. Але математики (страшні люди!) гуголпрекс тільки розминаються, це найнижча планка, з якої для них стартують справжні нічияки. І якщо ви думаєте, що гуголплекс у ступеня гуголплекс це те, про що піде мова, ви навіть не уявляєте, наскільки помиляєтеся.

За гуголплексом йдуть багато цікавих чисел, що мають ту чи іншу роль у математичних доказах, чи довго коротко, перейдемо відразу до Грема, названому так на честь (ну, природно) математика Рональда Грема. Спочатку розповім, що це таке і для чого потрібно, потім образно на пальцях™(Та-дам!) Опишу, яке воно за величиною, а потім вже напишу саме число. Точніше спробую пояснити, що я написав.

Число Грема з'явилося в роботі, присвяченій вирішенню одного з завдань в теорії Рамсея, причому "рамсея" тут не дієприслівник недосконалого вигляду, а прізвище іншого математика, Франка Рамсея. Завдання звичайно ж досить надумане з обивательської точки зору, хоч і не сильно заморочена, але трішки порозкинути мізками все ж таки доведеться.

Уявіть куб, всі вершини якого з'єднані лініями-відрізками двох кольорів, червоного або синього. З'єднані та розфарбовані у випадковому порядку. Дехто вже здогадався, що йтиметься про розділ математики під назвою комбінаторика.

Чи зможемо ми схитруватися і так підібрати конфігурацію кольорів (а їх всього два — червоний і синій), щоб при розмальовці цих відрізків у нас не вийшло, що всі відрізки одного кольору, що з'єднують чотири точки, лежать в одній площині? В даному випадку, НЕ являють собою таку фігуру:

А що якщо у нас більше вимірів? Що, якщо ми візьмемо куб, а чотиривимірний куб, тобто. тесеракт? Чи зможемо ми провернути той самий фокус, що і з тривимірним?

Навіть не поясню, що таке чотиривимірний куб, сподіваюся всі знають? У чотиривимірного куба 16 вершин. І не потрібно пижити мозок і намагатися уявити чотиривимірний куб. Це чиста математика. Подивився на кількість вимірів, підставив у формулу, отримав кількість вершин, ребер, граней тощо. Ну, чи у Вікіпедії піддивився, якщо формули не пам'ятаєш. Отже у чотиривимірного куба 16 вершин і 120 відрізків, що їх з'єднують. Кількість комбінацій забарвлення у чотиривимірному випадку набагато більше, ніж у тривимірному, але й тут не дуже складно порахувати, розділити, скоротити і так далі. Коротше з'ясувати, що в чотиривимірному просторі можна так зхитритися з розфарбуванням відрізків у гіперкуба, що всі лінії одного кольору, що з'єднують чотири точки, не лежатимуть в одній площині.

У п'ятивимірному? І в п'ятивимірному, де куб називається пентерактом або пентакубом, теж можна.
І в шестивимірному.

А далі вже складнощі. Грем не зміг математично довести, що у семимірного гіперкуба вдасться провернути таку операцію. І у восьмивимірного і так далі. Але це "і так далі", виявилося, не йде в нескінченність, а закінчується якимось дуже великим числом, яке і назвали "числом Грема".

Тобто існує якась мінімальна розмірністьгіперкуба, за якого умова порушується, і вже неможливо уникнути комбінації забарвлення відрізків, що чотири точки одного кольору лежатимуть в одній площині. І ця мінімальна розмірність точно більше шести і точно менше числа Грема, в цьому і полягає математичний доказ Рональда Грема.

А тепер визначення того, що я розписав на кілька абзаців, сухим і нудним (зате ємним) мовою математики. Розуміти не треба, але не навести його я не можу.

Розглянемо n-мірний гіперкуб і з'єднаємо всі пари вершин для отримання повного графа з 2 n вершинами. Розфарбуємо кожне ребро цього графа або в червоний або синій колір. При якому найменшому значенні n кожне таке забарвлення обов'язково містить розфарбований в один колір повний підграф із чотирма вершинами, всі з яких лежать в одній площині?

У 1971 році Грем довів, що зазначена проблема має рішення, і що це рішення (кількість розмірності) лежить між числом 6 і якимось великим числом, яке пізніше (не самим автором) було названо на його честь. У 2008 році доказ покращили, нижній кордон підняли, тепер кількість розмірностей, що шукається, лежить вже між числом 13 і числом Грема. Математики не сплять, робота йде, приціл звужується.

З 70-х років минуло чимало років, були знайдені математичні завдання в яких проявляються числа і більше гремова, але це перше число-монстр так вразило сучасників, які розуміють про які масштаби йдеться, що в 1980-му році його включили в книгу рекордів Гіннеса, як "саме" велике число, що коли-небудь брали участь у строгому математичному доказі "на той момент.

Спробуймо розібратися, наскільки воно велике. Пам'ятайте, що найбільше число, що може мати фізичний зміст 10 185 , а якщо весь Оглядовий Всесвіт заповнити нескінченним набором мізерних циферок, що здається, отримаємо щось порівнянне з гуголплексом.

Число справді величезне, рве мозок. Воно не зовсім рівне гуголпрексу, називатиму його " дохуліонТааак, розмовники тут, рахівник! Щойно придумав, чому б і ні. Кількість планківських осередків у Оглядовому Всесвіті, і в кожному осередку записана цифра. Число містить 10 185 цифр, його можна зобразити як 10 10 185 .

дохуліон = 10 10 185

Продовжуємо набирати висоту. Пам'ятаєте інфляційну теорію? Що наш Всесвіт лише одна з багатьох бульбашок Мультивсесвіту. А якщо уявити дохуліонтаких бульбашок? Візьмемо число, довжиною з усе, що існує, і уявимо собі Мультивселенну з подібною кількістю всесвітів, кожна з яких під зав'язку списана цифрами — отримаємо дохуліон дохуліонів. Уявляєте таке? Як пливеш у небутті скалярного поля, а навколо всесвіти-всесвіт і в них цифри-цифри-цифри... Сподіваюся, подібний кошмар (хоча, чому кошмар?) не мучитиме (і чому мучити?) надміру вразливого читача ночами.

Для зручності назвемо таку операцію фліпТаке несерйозне слово-міждоміття, як-ніби взяли Всесвіт і вивернули навиворіт, то він був усередині в цифрах, а тепер навпаки у нас зовні стільки всесвітів, скільки було цифр, і кожна повна-повна коробочка, сама вся в цифрах. ніби гранат чистиш, скоринку так відгинаєш, усередині зернятка, а в зернятках гранати, чому б і ні. дохуліономадже прокотило.

Навіщо я хилю? А чи варто зупинятися? Хопа, і ще один фліп! І ось у нас стільки всесвітів, скільки було цифр у всесвітах, кількість яких дорівнювала дохуліону цифр, що заповнювали наш Всесвіт. І ще раз фліп. І четвертий, і п'ятий. Встигаєте за думкою, все ще уявляєте собі картину?

Не будемо дріб'язуватись, розганяємось по повній і фліпаємо фліп фліпів. Стільки разів вивертаємо кожну всесвіт навиворіт, скільки дохуліонів всесвітів було в попередньому фліпі, який фліпав з позаминулого, який... еее... ну, ви стежите? Десь так. Нехай тепер число стане, припустимо, " дохуліард".

дохуліард = фліп фліпів

Не зупиняємось і продовжуємо фліпати дохуліони дохуліардів доти, доки є сили. Поки в очах не темніє, доки не захочеться кричати. Тут кожен сам собі відважний Буратіно, стоп-слово буде "бринза".

Так ось. Всі ці дохуліони фліпів та дохуліарди всесвітів повних цифр не йдуть у жодне порівняння з числом Грема. Навіть не шкребуть по поверхні. Якщо число Грема уявити у вигляді палиці, розтягнутої за традицією на весь неосяжний Всесвіт, то, що ми тут з вами нафліпаливиявиться засічкою товщини... ну... як би це так, м'якше висловити... негідної згадки. Ось, пом'якшав, як міг.

Тепер давайте трохи відвернемося, перепочинемо. Ми читали, ми рахували, наші очко втомилися. Забудемо про число Грема, до нього ще повзти і повзти, розфокусуємо погляд, розслабимося, помедитуємо на набагато менше, прямо-таки мініатюрне число, яке назвемо g 1 і запишемо всього шістьма знаками:

Число g 1 дорівнює "три, чотири стрілочки, три". Це що таке, що це означає? Так виглядає спосіб запису, званий стрілочна нотація Кнута.

Одна стрілочка означає звичайне зведення на ступінь.

22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Дві стрілочки означають, що зрозуміло, зведення в ступінь ступеня, але неочевидні хитрощі чекають на нас тут.

22 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16

33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (більше 7 трильйонів)

34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в якому близько 7 трильйонів цифр

35 = 33333 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 у ступеню числа, в якому 7 трильйонів цифр - гуголплекс смокче

Коротше кажучи, "число стрілочка стрілочка інше число" показує, яка висота ступенів (математики говорять вежа) вишиковується з першого числа. 59 означає вежу з дев'яти п'ятірок і настільки велике, що не може бути розраховано на жодному сучасному комп'ютері, навіть на всіх комп'ютерах планети одночасно.

Переходимо до трьох стрілочок. Якщо подвійна стрілочка показувала висоту вежі ступенів, то потрійна, здавалося б, вкаже "висота вежі висоти вежі"? Який там! Так буде тільки якщо стрілочки закінчуються на 2, скажімо 32. Якщо вони закінчуються на 3, ми маємо висоту башти висоти башти висоти башти (у математиці такого поняття немає, я вирішив назвати його " безвежею"). Якось так:

Тобто 33 утворює безбашню з трійок, заввишки 7 трильйонів штук. Що таке 7 трильйонів трійок, поставлені один на одного, іменовані мною "безбашнею"? Якщо ви уважно читали цей текст і не заснули на самому початку, мабуть, пам'ятайте, що від Землі до Сатурна 100 трильйонів сантиметрів. Трійка, показана на екрані дванадцятим шрифтом, ось ця – 3 – заввишки міліметрів п'ять. Значить безбашня з трійок простягнеться від вашого екрану... ну, не до Сатурна, звісно. Навіть до Сонця не дотягнеться всього чверть астрономічної одиниці, приблизно як від Землі до Марса в хорошу погоду. Звертаю увагу (не спати!), що безбашня не число довжиною від Землі до Марса, це вежа ступенів такої висоти. І ми пам'ятаємо, що перші п'ять трійок у цій вежі покривають число гуголплексів, обчислення першого дециметра спалює всі запобіжники комп'ютерів планети, а решта мільйонів кілометрів трійок вже просто відкрито насміхаються з читача.

Тепер зрозуміло, що 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 у ступені безбашні, а "три стрілочка стрілочка безбашня"(!)), вона ж безбашня безбашніне влізе ні по довжині ні по висоті до Оглядового Всесвіту, і навіть до передбачуваного Мультивсесвіту.

На 35 = 33333 закінчуються слова, а на 36 закінчуються вигуки, але можете потренуватися, якщо є інтерес.

Переходимо до чотирьох стрілочок. Як ви вже здогадалися, тут безбашня на безвежі сидить, безбашнею поганяє, і хоч із баштою, що без башти — все одно. Просто мовчки наведу картинку, що розкриває схему обчислення чотирьох стрілочок, коли кожне число вежі ступенів визначає висоту вежі ступенів, визначальну висоту вежі ступенів, визначальну висоту вежі ступенів... і так до самозабуття.

Розраховувати його марно, та й не вдасться. Кількість ступенів тут не піддається осмисленому обліку.

Де кількість трійок у кожній вежі вказується попередньою вежею.

Ось що таке число g 1 , що таке 33.

Перепочили? Тепер з g 1 з новими силами повертаємося до штурму числа Грема. g 1 чотири стрілки між трійками. І ми вже знаємо, що може ховатися за цією навмисною невинністю. А уявляєте п'ять стрілок? Шість? Сім? Мільйон? Якщо уявляєте, дозвольте запропонувати до вашої уваги число g 2 , в якому кількість цих стрілок виявляється дорівнює g 1 . Пам'ятаєте, що таке g 1 так?

Все, що було написано до цих пір, всі ці розрахунки, ступеня і вежі, що не поміщаються в мультивсесвіт, потрібні були тільки для одного. Щоб вказати КІЛЬКІСТЬ СТРІЛОК у числі g 2 . Тут уже не потрібно нічого рахувати, можна просто розсміятися і махнути рукою.

Не приховуватиму, є ще g 3 , в якому g 2 стрілок. До речі, все ще зрозуміло, що g 3 це не g 2 "у ступені" g 2 а кількість безбашень, що визначають висоту безбашень, що визначають висоту ... і так по всьому ланцюжку вниз до теплової смерті Всесвіту. Тут можна починати плакати.

Адже абсолютно правильно. Є число g 4 в якому міститься g 3 стрілочок між трійками. Є ще g5, є g6, g7, g17, g43.

Коротше їх 64 штуки цих g. Останнє g 64 і є число Грема, з якого все так цнотливо починалося. Це число розмірностей гіперкуба, якого точно буде достатньо, щоб правильно розфарбувати відрізки червоним та синім кольорами. Може, й менше, це, так би мовити, верхня межа. Його записують так:

А розписують так:

Все, тепер можна розслабитися по-чесному. Немає більше необхідності нічого уявляти та розраховувати. Якщо ви дочитали до цього місця, вже ніби все має стати на свої місця. Або не встати. Або не на свої.

Так, досвідчений читач з прокачаними запобіжниками, не потрібно докорів, ви маєте рацію. Число Грема - надумана і висмоктана з пальця фігня. Всі ці безрозмірні гіперкуби і абстрактні поверхні, він їх роздер, кому вони потрібні? Де кілограми, де електрони, де те, що можна виміряти? Що за порожні балачки ні про що? Погоджуся. Можна сказати, що сьогоднішній пост на пальцях™максимально, наскільки це було можливо, далекий від реальної науки, майже весь ширяє в якихось хитромудрих математичних фантазіях, у той час як ученим не вистачає грошей на прилади, не вирішена світова енергетична проблема, а у когось все ще туалет у дворі. А в когось і в полі.

Але знаєте, є така теорія, теж дуже ефемерна і філософська, може чули — все, що людина могла собі уявити або уявити обов'язково колись втілиться.

Ніхто не знає, що чекає на нас у майбутньому. У людської цивілізації є тисячі способів закінчитися: ядерні війни, екологічні катастрофи, смертоносні пандемії, астероїд якої може прилетіти, динозаври не дадуть збрехати. Розвиток людства може зупинитись само собою, раптом є такий закон, що по досягненню певного рівня розвиток просто припиняється і все. Або прилетять представники міжгалактичного союзу та зупинять цей розвиток силою.

Але є все-таки, і не маленький, шанс, що розвиток людства продовжиться без зупинки. Нехай навіть не такий запаморочливо швидкий, як останні 100 років, головне, що рух уперед, головне, що поступальний.

200 років тому килим-літак (звичайний літак), чарівне дзеркало (скайп-відео) або тридев'яте царство(Поверхня планети Марс) здавалися нездійсненною казкою, 2000 років тому було потрібно тільки богам, 20 000 років такого взагалі уявити не могли, здібностей уяви не вистачало. Ви можете собі уявити, що буде доступне людині через 200 років? Через 2000, через 20 000 років? У природи є один закон, відомий нам із найдавнішої давнини. Як би не було, що б не сталося, але час нікуди не подінеться, він пройде. Хочемо ми цього чи не хочемо — пройдуть тисяча й 10 тисяч років.

Чи виживе людство, чи це взагалі буде людство з приставкою "чоло-", а може на той час і етап Штучного Інтелектузакінчиться, породжуючи якісь ефірні енергетичні сутності особливої категорії усвідомленості.

А якщо мине мільйон років? Адже він пройде, куди подінеться. Вважаю, що число Грема, і взагалі все, про що людина тільки здатна замислитися, уявити, витягнути з небуття і зробити нехай не відчутною, але яка має якийсь сенс річчю — обов'язково колись втілиться. Просто тому, що сьогодні у нас вистачило сил розвинутись до спроможності усвідомлення подібного.

Сьогодні, завтра, коли буде можливість - закиньте голову в нічне небо. Пам'ятаєте цей момент відчуття власної нікчемності? Відчуваєте, яка людина крихітна, порошинка, атом у порівнянні з безмежним Всесвітом, який зірок сповнений, яким числа немає, ну, і безодня, відповідно, теж не маленька.

У Наступного разуспробуйте відчути, який Всесвіт піщинка в порівнянні з тим, що відбувається в голові. Яка безодня відкривається, які незмірні концепції народжуються, як Всесвіт фліпається навиворіт одним тільки рухом думки, як і наскільки жива, розумна матерія відрізняється від мертвої та нерозумної.

Я вірю, що через якийсь час людина дотягнеться до числа Грема, доторкнеться до нього рукою, або що в нього на той час буде замість руки. Це не обґрунтована, науково доведена думка, це дійсно лише надія, те, що мене надихає. Чи не Віра з великої літери, Не релігійний екстаз, не вчення і не духовна практика. Це те, чого я чекаю від людства і чого сам прагну, в міру сил допомогти. Хоч і продовжую з обережності зараховувати себе до агностиків.