Властивості добутку чисел. Добуток чисел

Розберемо поняття множення на прикладі:

Туристи перебували в дорозі три дні. Щодня вони проходили однаковий шлях 4200 м. Яку відстань вони пройшли за три дні? Розв'яжіть задачу двома способами.

Рішення:
Розглянемо завдання докладно.

Першого дня туристи пройшли 4200м. По-друге той же шлях пройшли туристи 4200м і в третій день - 4200м. Запишемо математичною мовою:
4200 +4200 +4200 = 12600м.
Ми бачимо закономірність число 4200 повторюється три рази, отже можна суму замінити множенням:
4200⋅3 = 12600м.
Відповідь: туристи за три дні пройшли 12 600 метрів.

Розглянемо приклад:

Щоб нам не писати довгий запис, можна записати його у вигляді множення. Число 2 повторюється 11 разів тому приклад з множенням виглядатиме так:
2⋅11=22

Підведемо підсумок. Що таке множення?

множення– це дія, що замінює повторення n разів доданку m.

Запис m⋅n та результат цього виразу називають добутком чисел, А числа m і n називають множниками.

Розглянемо сказане з прикладу:
7⋅12=84
Вираз 7⋅12 та результат 84 називаються добутком чисел.
Числа 7 та 12 називаються множниками.

У математиці є кілька законів множення. Розглянемо їх:

Переміщувальний закон множення.

Розглянемо завдання:

Ми віддали по два яблука 5 своїм друзям. Математично запис виглядатиме так: 2⋅5.
Або ми віддали по 5 яблук двом своїм друзям. Математично запис виглядатиме так: 5⋅2.
У першому і другому випадку ми роздамо однакову кількість яблук, що дорівнює 10 штук.

Якщо ми помножимо 2⋅5=10 та 5⋅2=10, то результат не зміниться.

Властивість переміщувального закону множення:
Від зміни місць множників твір не змінюється.
m⋅ n=n⋅m

Сполучний закон множення.

Розглянемо з прикладу:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 або 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 отримаємо,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅ b) ⋅ c= a⋅(b⋅ c)

Властивість сполучного законумноження:
Щоб число помножити на добуток двох чисел, його можна спочатку помножити на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий.

Змінюючи кілька множників місцями і укладаючи в дужки, результат чи твір не зміниться.

Ці закони вірні для будь-яких натуральних чисел.

Розмноження будь-якого натурального числа на одиницю.

Розглянемо приклад:
7⋅1=7 або 1⋅7=7
a⋅1=a або 1⋅a= a
При множенні будь-якого натурального числа на одиницю твором завжди буде теж число.

Розмноження будь-якого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 або 0⋅6=0
a⋅0=0 або 0⋅a=0
При множенні будь-якого натурального числа на нуль добуток дорівнює нулю.

Запитання до теми “Умноження”:

Що таке твір чисел?
Відповідь: добутком чисел або множення чисел називається вираз m⋅n, де m – доданок, а n – число повторень цього доданка.

Навіщо потрібно множення?
Відповідь: щоб не писати довге додавання чисел, а писати скорочено. Наприклад, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Що результат множення?
Відповідь: значення твору.

Що означає запис множення 3⋅5?
Відповідь: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Якщо помножити мільйон на нуль, чому дорівнюватиме твір?
Відповідь: 0

Приклад №1:
Замініть суму твором: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Відповідь: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Приклад №2:
Запишіть у вигляді твору: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Рішення:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Завдання №1:
Мама купила 3 ​​коробки цукерок. У кожній коробці по 8 цукерок. Скільки цукерок купила мати?
Рішення:
В одній коробці 8 цукерок, а у нас таких 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 цукерки
Відповідь: 24 цукерки.

Завдання №2:
Вчителька малювання сказала приготувати своїм вісьмом учням по сім олівців на урок. Скільки олівців разом було у дітей?
Рішення:
Можна порахувати сумою завдання. Перший учень мав 7 олівців, другий учень мав 7 олівців і т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запис вийшов незручний і довгий, замінимо суму на твір.
7⋅8=56
Відповідь 56 олівців.

Завдання 1.2
Дано два цілих числа Х і Т. Якщо вони мають різні знаки, то надати Х значення твору цих чисел, а Т - значення їх різниці за модулем. Якщо числа мають однакові знаки, то надати Х значення різниці по модулю вихідних чисел, а Т - значення добутку цих чисел. Нові значення Х та Т вивести на екран.

Завдання теж нескладне. "Незрозумілі" можуть виникнути тільки в тому випадку, якщо ви забули, що таке різницю по модулю (сподіваюся, що таке твір двох цілих чисел, ви все-таки пам'ятаєте))).

Різниця за модулем двох чисел

Різниця по модулю двох цілих чисел (хоча не обов'язково цілих - це не має значення, просто в наше завдання числа цілі) - це, говорячи по простому, коли результатом обчислення є модуль різниці двох чисел.

Тобто спочатку виконується операція віднімання одного числа з іншого. А потім обчислюється модуль результату цієї операції.

Математично це можна записати так:

Якщо хтось забув, що таке модуль або як його обчислити в Паскалі, див.

Алгоритм визначення символів двох чисел

Розв'язання завдання загалом досить просте. Проблема у новачків може викликати лише визначення символів двох чисел. Тобто треба відповісти на запитання: як дізнатися, чи мають числа однакові знаки чи різні.

Спочатку напрошується почергове порівняння чисел із нулем. Це припустимо. Але вихідний код буде досить великим. Тому правильніше використовувати такий алгоритм:

1. Помножити числа один на одного
2. Якщо результат менший за нуль, значить у чисел різні знаки
3. Якщо результат дорівнює нулюабо більше нуля, то у чисел однакові знаки

Цей алгоритм я виконав у вигляді окремої. А сама програма вийшла такою, як показано у прикладах на Паскалі та С++ нижче.

Розв'язання задачі 1.2 на Паскалі program checknums; var A, X, T: integer; //************************************************ **************** // Перевіряє, чи мають числа N1 та N2 однакові знаки. Якщо так, то // повертає TRUE, інакше - FALSE //************************************ **************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //************************************************ **************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //**************************** ************************************ begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Якщо числа мають однакові знаки begin A:= (X - T); //Отримати різницю по модулю вихідних чисел T: = X * T; end else // Якщо числа мають різні знаки begin A: = X * T; T: = Abs (X - T); end; X: = A; //Записати до Х значення А WriteLn("X = ", X); // Вивести Х WriteLn("T = ", T); // Вивести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.

Розв'язання задачі 1.2 на С++#include #include using namespace std; int A, X, T; //************************************************ **************** // Перевіряє, чи мають числа N1 та N2 однакові знаки. Якщо так, то // повертає TRUE, інакше - FALSE //************************************ **************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //*********************************************** ***************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //*************************** ************************************* int main(int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Якщо числа мають однакові знаки (A = abs(X - T); //Отримати різницю за модулем вихідних чисел T = X * T; ) else // Якщо числа мають різні знаки ( A = X * T; T = abs (X - T); ) X = A; // Записати в Х значення А cout

Оптимізація

Цю просту програмуможна ще трохи спростити, якщо не використовувати функцію та трохи переробити вихідний код програми. При цьому Загальна кількістьрядків вихідного коду трохи скоротиться. Як це зробити – подумайте самі.

У цій статті ми розберемося, як виконується множення цілих чисел. Спочатку введемо терміни та позначення, а також з'ясуємо сенс множення двох цілих чисел. Після цього отримаємо правила множення двох цілих позитивних, цілих негативних і цілих чисел з різними знаками. При цьому наводитимемо приклади з детальним поясненням ходу рішення. Також торкнемося випадки множення цілих чисел, коли один із множників дорівнює одиницічи нулю. Далі ми навчимося виконувати перевірку отриманого результату множення. І, нарешті, поговоримо про множення трьох, чотирьох і більшої кількостіцілих чисел.

Навігація на сторінці.

Терміни та позначення

Для опису множення цілих чисел ми будемо використовувати такі терміни, з допомогою яких ми описували множення натуральних чисел. Нагадаємо їх.

Цілі числа, що множаться, називаються множниками. Результат множення називається твором. Дія множення позначається знаком помножити виду "·". У деяких джерелах можна зустріти позначення множення знаками "*" або "x".

Цілі числа, що множаться a , b і результат їх множення c зручно записувати за допомогою рівності виду a b = c . У цьому записі ціле число a це перший множник, ціле число b другий множник, а число c твір. виду a b також називатимемо твором, як і значення цього виразу c .

Забігаючи вперед, зауважимо, що добуток двох цілих чисел є цілим числом.

Сенс множення цілих чисел

Примноження цілих позитивних чисел

Цілі позитивні числа – це натуральні числа, тому множення цілих позитивних чисел проводиться за всіма правилами множення натуральних чисел. Зрозуміло, що в результаті множення двох позитивних чисел вийде ціле позитивне число (натуральне число). Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Чому дорівнює добуток цілих позитивних чисел 127 і 5?

Рішення.

Перший множник 107 представимо у вигляді суми розрядних доданків, тобто у вигляді 100+20+7. Після цього скористаємося правилом множення суми чисел на дане число: 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5. Залишається лише закінчити обчислення: 100 · 5 +20 · 5 +7 · 5 = 500 +100 +35 = 600 +35 = 635 .

Таким чином, добуток даних цілих позитивних чисел 127 і 5 дорівнює 635 .

Відповідь:

127 · 5 = 635.

Для множення багатозначних цілих позитивних чисел зручно використовувати метод множення стовпчиком.

приклад.

Помножте тризначне ціле додатне число 712 на двозначне ціле додатне число 92 .

Рішення.

Виконаємо множення даних цілих позитивних чисел у стовпчик:

Відповідь:

712 · 92 = 65 504 .

Правило множення цілих чисел із різними знаками, приклади

Сформулювати правило множення цілих чисел із різними знаками нам допоможе наступний приклад.

Обчислимо добуток цілого негативного числа −5 та цілого позитивного числа 3 на підставі сенсу множення. Так (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. Щоб збереглася справедливість переміщувальної властивості множення, повинна виконуватись рівність (-5) · 3 = 3 · (-5). Тобто добуток 3·(−5) також дорівнює −15 . Неважко помітити, що −15 дорівнює творумодулів вихідних множників, звідки випливає, що добуток вихідних цілих чисел з різними знаками дорівнює добутку модулів вихідних множників, взятому зі знаком мінус.

Так ми отримали правило множення цілих чисел із різними знаками: щоб перемножити два цілих числа з різними знаками, потрібно перемножити модулі цих чисел і перед отриманим числом встановити знак мінус.

З озвученого правила можна зробити висновок, що добуток цілих чисел з різними знаками завжди є цілим негативним числом. Справді, внаслідок множення модулів множників ми отримаємо ціле позитивне число, і якщо перед цим числом поставити знак мінус, вона стане цілим негативним.

Розглянемо приклади обчислення добутку цілих чисел із різними знаками з допомогою отриманого правила.

приклад.

Виконайте множення цілого позитивного числа 7 на ціле від'ємне число −14 .

Рішення.

Скористаємося правилом множення цілих чисел із різними знаками. Модулі множників дорівнюють відповідно 7 і 14 . Обчислимо добуток модулів: 7 · 14 = 98 . Залишилося перед одержаним числом поставити знак мінус: −98 . Отже, 7 · (-14) = -98 .

Відповідь:

7·(−14)=−98 .

приклад.

Обчисліть твір (−36) 29 .

Рішення.

Нам потрібно вирахувати добуток цілих чисел з різними знаками. Для цього обчислюємо твір абсолютних величинмножників: 36 · 29 = 1044 (множення краще провести в стовпчик). Тепер ставимо знак мінус перед числом 1044, отримуємо −1044.

Відповідь:

(−36)·29=−1 044 .

На закінчення цього пункту доведемо справедливість рівності a (-b) = - (a b) , де a і - b - довільні цілі числа. Приватним випадком цієї рівності є озвучене правило множення цілих чисел із різними знаками.

Інакше кажучи, нам треба довести, що значення виразів a(−b) і a·b – протилежні числа . Щоб це довести, знайдемо суму a(−b)+a·b і переконаємося, що вона дорівнює нулю. З огляду на розподільну властивість множення цілих чисел щодо складання справедлива рівність a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) . Сума (−b)+b дорівнює нулю як сума протилежних цілих чисел, тоді a·((−b)+b)=a·0 . Останній твірдорівнює нулю за якістю множення цілого числа на нуль. Таким чином, a·(−b)+a·b=0 , отже, a·(−b) та a·b є протилежними числами, звідки випливає справедливість рівності a·(−b)=−(a·b) . Аналогічно можна показати, що (−a)·b=−(a·b) .

Правило множення негативних цілих чисел, приклади

Отримати правило множення двох цілих негативних чисел нам допоможе рівність (-a) · (- b) = a · b, яку ми зараз доведемо.

Наприкінці попереднього пункту ми показали, що a·(−b)=−(a·b) та (−a)·b=−(a·b) , тому ми можемо записати наступний ланцюжок рівностей (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)). А отриманий вираз −(−(a·b)) є не що інше, як a·b через визначення протилежних чисел. Отже, (-a) · (-b) = a · b .

Доведена рівність (−a)·(−b)=a·b дозволяє сформулювати правило множення цілих негативних чисел: добуток двох негативних цілих чисел дорівнює добутку модулів цих чисел.

З озвученого правила випливає, що результат множення двох цілих негативних чисел є ціле позитивне число.

Розглянемо застосування цього правила під час виконання множення цілих негативних чисел.

приклад.

Обчисліть добуток (−34)·(−2) .

Рішення.

Нам потрібно перемножити два негативних цілих числа −34 та −2. Скористаємося відповідним правилом. Для цього знаходимо модулі множників: і . Залишилося обчислити добуток чисел 34 і 2, що ми вміємо робити. Коротко все рішення можна записати так (-34) · (-2) = 34 · 2 = 68 .

Відповідь:

(-34) · (-2) = 68 .

приклад.

Виконайте множення цілого від'ємного числа −1 041 на ціле від'ємне число −538 .

Рішення.

За правилом множення цілих негативних чисел шуканий твір дорівнює добутку модулів множників. Модулі множників рівні відповідно 1041 і 538 . Виконаємо множення стовпчиком:

Відповідь:

(−1 041)·(−538)=560 058 .

Розмноження цілого числа на одиницю

Множення будь-якого цілого числа a на одиницю дає в результаті число a. Про це ми вже згадували, коли обговорювали сенс множення двох цілих чисел. Так a · 1 = a. В силу переміщувальної властивості множення має бути справедливою рівність a1=1a. Отже, 1·a=a .

Наведені міркування призводять нас до правила множення двох цілих чисел, одне з яких одно одиниці. Добуток двох цілих чисел, в якому одним із множників є одиниця, дорівнює іншому множнику.

Наприклад, 56·1=56 , 1·0=0 і 1·(−601)=−601 . Наведемо ще кілька прикладів. Добуток цілих чисел −53 і 1 дорівнює −53 , а результатом множення одиниці та негативного цілого числа −989 981 є −989 981 .

Примноження цілого числа на нуль

Ми домовилися, що добуток будь-якого цілого числа a на нуль дорівнює нулю, тобто a 0 = 0 . Переміщувальна властивість множення змушує нас прийняти рівність 0·a=0 . Таким чином, добуток двох цілих чисел, в якому хоча б один із множників є нулем, дорівнює нулю. Зокрема, результатом множення нуля на нуль є нуль: 0 0 = 0 .

Наведемо кілька прикладів. Добуток цілого позитивного числа 803 і нуля дорівнює нулю; результатом множення нуля на ціле від'ємне число −51 є нуль; також (−90 733)·0=0 .

Зазначимо також, що добуток двох цілих чисел тоді й лише тоді дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Перевірка результату множення цілих чисел

Перевірка результату множення двох цілих чиселздійснюється за допомогою поділу. Потрібно провести розподіл отриманого твору однією з множників, якщо у своїй вийде число, рівне іншому множнику, то множення було виконано правильно. Якщо ж вийде число, відмінне від іншого доданку, то десь було допущено помилку.

Розглянемо приклади, де проводиться перевірка результату множення цілих чисел.

приклад.

В результаті множення двох цілих чисел −5 та 21 було отримано число −115 , чи правильно обчислено твір?

Рішення.

Виконаємо перевірку. Для цього розділимо обчислений добуток −115 на один із множників, наприклад, на −5 ., перевірте результат. (−17)·(−67)=1 139 .

Розмноження трьох і більше цілих чисел

Сполучна властивість множення цілих чисел дозволяє нам однозначно визначити добуток трьох, чотирьох та більшої кількості цілих чисел. При цьому інші властивості множення цілих чисел дозволяють стверджувати, що добуток трьох і більше цілих чисел не залежить від способу розміщення дужок і від порядку множення у творі. Аналогічні твердження ми довели, коли говорили про множення трьох і більшої кількості натуральних чисел . У разі цілих множників обґрунтування повністю збігається.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Обчисліть добуток п'яти цілих чисел 5 , −12 , 1 , −2 та 15 .

Рішення.

Ми можемо послідовно зліва направо замінювати два сусідні множники їх твором: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)·(−2 ) · 15 = 120 · 15 = 1 800 . Цей варіант обчислення твору відповідає наступному способу розміщення дужок: (((5·(−12))·1)·(−2))·15.

Також ми могли переставити деякі множники місцями і розставити дужки інакше, якщо це дозволяє провести обчислення добутку цих п'яти цілих чисел раціональніше. Наприклад, можна було переставити множники в наступному порядку 1·5·(−12)·(−2)·15 , після чого розставити дужки так ((1·5)·(−12))·((−2)·15). У цьому випадку обчислення будуть такими: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)=(5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .

Як бачите, різні варіантирозстановки дужок та різний порядокпроходження множників привели нас до того самого результату.

Відповідь:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800.

Окремо зазначимо, що у творі трьох, чотирьох тощо. цілих чисел хоча один із множників дорівнює нулю, то добуток дорівнює нулю. Наприклад, добуток чотирьох цілих чисел 5 −90 321 0 і 111 дорівнює нулю; результатом множення трьох цілих чисел 0, 0 і −1983 також є нуль. Справедливо та зворотне затвердження: якщо добуток дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю

- (product) Результат множення. Добуток чисел, алгебраїчних виразіввекторів або матриць; може бути показано точкою, косий хрестик або просто написанням їх послідовно одна одною, тобто. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… Економічний словник

Наука про цілі числа. Поняття цілого числа, а також арифметичних операцій над числами відоме з давніх часів і є однією з перших математичних абстракцій. Особливе місцесеред цілих чисел, тобто чисел ..., 3 … Велика Радянська Енциклопедія

Сущ., с., упот. часто Морфологія: (ні) чого? твори, чому? твору, (бачу) що? твір, чим? твором, про що? про твір; мн. що? твори, (ні) чого? творів, чому? творам, (бачу) що? твори,… … Тлумачний словникДмитрієва

Матриця математичний об'єкт, записуваний як прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця) і допускає алгебраїчні операції (складення, віднімання, множення та інших.) між ним та інші подібними об'єктами. Правила виконання… … Вікіпедія

В арифметиці під множенням розуміють короткий запис суми однакових доданків. Наприклад, запис 5*3 означає «5 скласти із собою 3 рази», тобто є просто коротким записомдля 5+5+5. Результат множення називається твором, а … Вікіпедія

Розділ теорії чисел, основним завданням якого є вивчення властивостей цілих чисел полів алгебраїчних чиселкінцевого ступеня над полем раціональних чисел. Всі цілі числа поля розширення До поля ступеня п можуть бути отримані за допомогою… Математична енциклопедія

Теорія чисел, або вища арифметика розділ математики, що вивчає цілі числа та подібні об'єкти. Теоретично чисел в широкому значеннірозглядаються як алгебраїчні, так і трансцендентні числа, а також функції різного походження, які… … Вікіпедія

Розділ теорії чисел, які вивчаються закономірності розподілу простих чисел(п. ч.) серед натуральних чисел. Центральною є проблема найкращого асимптотич. вирази при функції p(х), що позначає число п. ч., що не перевершують х, а ... Математична енциклопедія

- (у зарубіжної літератури scalar product, dot product, inner product) операція над двома векторами, результатом якої є число (скаляр), що не залежить від системи координат і характеризує довжини векторів співмножників і кут між ...

Певна на векторному просторі L над полем K симетрична ермітова форма, що розглядається зазвичай як складова частина визначення цього простору, що робить простір (залежно від типу простору та властивостей внутрішнього … Вікіпедія

Книги

• Збірник завдань з мат-ці, Бачурін В.. Розглянуті в книзі питання з математики цілком відповідають змісту будь-якої з трьох програм: підготовчих відділень, вступних іспитів. Хоча ця книга називається…
• Жива матерія. Фізика живого та еволюційних процесів, Яшин А.А.. У цій монографії узагальнено дослідження автора за останні кілька років. Експериментальні результати, представлені в книзі, отримані Тульською науковою школоюбіофізики полів та…

Якщо концертний зал висвітлюється 3 люстрами по 25 лампочок у кожній, то всього лампочок у цих люстрах буде 25 + 25 + 25, тобто 75.

Суму, в якій всі доданки рівні один одному, записують коротше: замість 25 + 25 + 25 пишуть 25 3. Отже, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 називають творомчисел 25 та 3, а числа 25 та 3 називають множниками.

Мал. 43. Добуток чисел 25 та 3

Помножити число m на натуральне число n означає знайти суму n доданків, кожне з яких дорівнює m.

Вираз m n та значення цього виразу називають твором чиселmіn. Числа, які перемножують називають множниками. Тобто. m та n – множники.

Твори 7 4 і 4 7 дорівнюють тому самому числу 28 (рис. 44).

Мал. 44. Добуток 7 4 = 4 7

1. Добуток двох чисел не змінюється при перестановці множників.

переміщальним

a × b = b × a .

Твори (5 3) 2 = 15 2 і 5 (3 2) = 5 6 мають те саме значення 30. Значить, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).

Мал. 45. Твір (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на першому множнику, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.

Цю властивість множення називають сполучним. За допомогою літер його записують так:

а (bс) = (аbс).

Сума n доданків, кожне з яких дорівнює 1, дорівнює n. Тому правильна рівність 1 n = n.

Сума n доданків, кожне з яких дорівнює нулю, дорівнює нулю. Тому правильна рівність 0 n = 0.

Щоб переміщувальна властивістьмноження було правильно при n = 1 і n = 0, домовилися, що m 1 = m та m 0 = 0.

Перед літерними множникамизазвичай не пишуть знак множення: замість 8 хпишуть 8 хзамість аbпишуть аb.

Опускають знак множення перед дужками. Наприклад, замість 2 ( а +b) пишуть 2 (а+b) , а замість ( х+ 2) (у + 3) пишуть (х + 2) (у + 3).

Замість ( ab) з пишуть abc.

Коли запису твори немає дужок, множення виконують порядку зліва направо.

Твори читають, називаючи кожен множник у родовому відмінку. Наприклад:

1) 175 60 – добуток ста сімдесяти п'яти та шістдесяти;

2) 80 (х+ 1 7) - твір р.п. р.п.

вісімдесяти та суми ікс та сімнадцяти

Розв'яжемо завдання.

Скільки трицифрових чисел (рис. 46) можна скласти із цифр 2, 4, 6, 8, якщо цифри в записі числа не повторюються?

Рішення.

Першою цифрою числа може бути будь-яка з чотирьохданих цифр, другий – будь-яка з трьохінших, а третьої – будь-яка з двохрешти. Виходить:

Мал. 46. ​​До завдання складення тризначних чисел

Усього з даних цифр можна скласти 4 3 2 = 24 тризначні числа.

Розв'яжемо завдання.

У правління фірми входять 5 осіб. Зі свого складу правління має обрати президента і віце-президента. Скільки способами це можна зробити?

Рішення.

Президентом фірми можна обрати одну з 5 осіб:

Президент:

Після того, як президента обрано, віце-президентом можна вибрати будь-якого з чотирьох членів правління, що залишилися (рис. 47):

Мал. 47. До завдання про вибори

Отже, вибрати президента можна п'ятьма способами, і для кожного обраного президента чотирма способами можна вибрати віце-президента. Отже, загальне числоСпособів обрати президента та віце-президента фірми дорівнює: 54 = 20 (див. рис. 47).

Вирішимо ще завдання.

Із села Анікєєво до села Большово ведуть чотири дороги, а з села Большово до села Виноградове – три дороги (рис. 48). Скількими способами можна дістатися з Анікеєва до Виноградова через село Большове?

Мал. 48. До завдання про дороги

Рішення.

Якщо з А до Б добиратися 1-ою дорогою, то продовжити шлях є три способи (рис. 49).

Мал. 49. Варіанти шляху

Так само міркуючи, отримуємо по три способи продовжити шлях, почавши добиратися і по 2-й, і по 3-й, і по 4-й дорозі. Отже, всього виходить 43 = 12 способів дістатися з Анікеєва у Виноградові.

Вирішимо ще одне завдання.

Сім'ї, що складається з бабусі, тата, мами, дочки та сина, подарували 5 різних чашок. Скільки можна розділити чашки між членами сім'ї?

Рішення. У першого члена сім'ї (наприклад, бабусі) є 5 варіантів вибору, у наступного (нехай це буде тато) залишається 4 варіанти вибору. Наступний (наприклад, мама) буде вибирати вже з 3 чашок, наступний - з двох, останній же отримує одну чашку, що залишилася. Покажемо ці методи на схемі (рис. 50).

Мал. 50. Схема до розв'язання задачі

Отримали, кожен вибір чашки бабусею відповідає чотири можливих вибору тата, тобто. всього 5 4 способів. Після того, як тато вибрав чашку, у мами є три варіанти вибору, у дочки – два, у сина – один, тобто. всього 3 2 1 способів. Остаточно отримуємо, що для розв'язання задачі треба знайти добуток 5 4 3 2 1.

Зауважимо, що отримали добуток усіх натуральних чисел від 1 до 5. Такі твори записують коротше:

5 4 3 2 1 = 5! (Читають: «п'ять факторіал»).

Факторіал числа- Добуток всіх натуральних чисел від 1 до цього числа.

Отже, відповідь задачі: 5! = 120, тобто. чашки між членами сім'ї можна розподілити сто двадцятьма способами.