Властивості, що випливають з аксіоми паралельних прямих. Паралельні прямі

1. Якщо дві прямі паралельні третій прямий, то вони є паралельними:

Якщо a||cі b||c, то a||b.

2. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні:

Якщо a⊥cі b⊥c, то a||b.

Інші ознаки паралельності прямих засновані на кутах, що утворюються при перетині двох прямих третьої.

3. Якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні:

Якщо ∠1 + ∠2 = 180°, то a||b.

4. Якщо відповідні кутирівні, то прямі паралельні:

Якщо ∠2 = ∠4, то a||b.

5. Якщо внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то прямі паралельні:

Якщо ∠1 = ∠3, то a||b.

Властивості паралельних прямих

Твердження, обернені ознаками паралельності прямих, є їх властивостями. Вони засновані на властивостях кутів, утворених перетином двох паралельних прямих третьої прямої.

1. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої сума утворених ними внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°:

Якщо a||b, то ∠1 + ∠2 = 180 °.

2. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої, утворені ними відповідні кути рівні:

Якщо a||b, то ∠2 = ∠4.

3. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої, утворені ними навхрест лежачі кути рівні:

Якщо a||b, то ∠1 = ∠3.

Наступна властивість є окремим випадком для кожного попереднього:

4. Якщо пряма на площині перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої:

Якщо a||bі c⊥a, то c⊥b.

П'ята властивість - це аксіома паралельності прямих:

5. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.

Німецький фізик Альберт Ейнштейн за допомогою математичних методіврозробив теорію відносності, здійснивши переворот у фізиці ХХ ст.

Вважається, що основи сучасної математикизакладені Евклідом у його 13-томному праці «Елементи» близько 300 р. до зв. е. На відміну від попередників, Евклід пояснює тут геометрію не за допомогою незліченних креслень, а суто логічно. Спочатку він описує цілий рядфактів, які він вважає істинними та незаперечними. Ці факти називаються постулатами. Один із таких постулатів Евкліда, наприклад, говорить: «З кожної точки можна провести одну пряму до будь-якої іншої точки». Потім, з цих постулатів, він виводить все інше. Тим самим Євклід вперше продемонстрував сучасне математичне мислення: виходячи з певних припущень, які одного разу зроблені і не піддавалися більше перегляду, довів безліч інших тверджень.

Століттями точилися суперечки з приводу п'ятого постулату Евкліда, так званої аксіоми про паралельні прямі: через будь-яку точку Р, що лежить поза прямою g, можна провести лише одну пряму, яка не перетне g. Таку пряму називають паралельною до прямої g, що проходить через точку Р. Багато вчених прагнули не просто прийняти це положення, а вивести його з перших чотирьох. Але це виявилося неможливим. Математики стали створювати геометрію, яка ґрунтувалася на перших чотирьох аксіомах Евкліда та відкидала п'яту. Те, що спочатку виглядало математичною грою, на початку XX ст. виявилося затребуваним. Альберт Ейнштейн побачив у цих моделях геометрії основу для своєї загальної теоріївідносності.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі уроку:

• дати уявлення про невідомих учнів аксіом геометрії, повторити вже відомі їм аксіоми;
• ввести аксіому паралельних прямих;
• запровадити поняття слідства з аксіом, теорем;
• показати як використовуються аксіома паралельних прямих та наслідки з неї при вирішенні завдань;
• виховання патріотизму, гордості за батьківщину з прикладу великого російського математика М.І.Лобачевського.

Обладнання:комп'ютер, проектор.

ХІД УРОКУ

1. Перевірка попереднього домашнього завдання

2. Повторення вже відомих учням аксіом планіметрії

Вчитель:У знаменитому творі Евкліда «Початку» (III в. е.) були систематизовані основні відомі тоді геометричні відомості. Головне ж – у «Початках» був розвинений аксіоматичний підхід до побудови геометрії, який полягає в тому, що спочатку формулюються основні положення, що не потребують доказів (аксіом), а потім на їх основі за допомогою міркувань доводяться інші твердження (теореми). Деякі аксіоми, запропоновані Евклідом, і зараз використовуються в курсах геометрії.
Саме слово «аксіома» походить від грецького «аксіос», що означає «цінний, гідний». Повний список аксіом планіметрії, прийнятих у нашому курсі геометрії, наведено у додатках наприкінці підручника на сторінках 344-348. Ці аксіоми ви розглянете удома самостійно.
Деякі з цих аксіом ми вже розглядали. Згадайте та сформулюйте ці аксіоми.

Учні:

1) Є принаймні три точки, що не лежать на одній прямій.
2) Через будь-які дві точки проходить пряма, і лише одна.
3) З трьох точокпрямий одна і тільки одна лежить між двома іншими.
4) Кожна точка Про прямий поділяє її на дві частини (два промені) так, що будь-які дві точки одного і того ж променя лежать по одну сторону від точки О, а будь-які дві точки різних променів лежать по різні сторонивід точки О.
5) Кожна пряма а поділяє площину на дві частини (дві півплощини) так, що будь-які дві точки однієї і тієї ж напівплощини лежать по одну сторону від прямої а, а будь-які дві точки різних напівплощин лежать по різні боки від прямої а.
6) Якщо при накладенні поєднуються кінці двох відрізків, то поєднуються і самі відрізки.
7) На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок, рівний даному, і до того ж лише один.
8) Від будь-якого променя в задану напівплощину можна відкласти кут, рівний даному нерозгорнутому кутку, і до того ж лише один.

Вчитель:Які прямі називаються паралельними на площині?

Учні:Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Вчитель:Сформулюйте ознаки паралельності прямих.

Учні:

1) Якщо при перетині двох прямих січною навхрест кути рівні, то прямі паралельні.
2) Якщо при перетині двох прямих січної відповідні кути рівні, то прямі паралельні.
3) Якщо при перетині двох прямих січної сума односторонніх кутів дорівнює 180? то прямі паралельні.

3. Нова тема. Аксіома паралельних прямих

Вчитель:Розв'яжемо задачу: «Через точку М, яка не лежить на прямій а, проведіть пряму, паралельну до прямої а».

План розв'язання задачі обговорюється всім класом. Один із учнів записує рішення на дошці (без запису в зошитах).

Вчитель:Виникає питання: чи можна через точку М провести ще одну пряму, паралельну до прямої а?
Це питання має велику історію. У «Початках» Евкліда міститься п'ятий постулат: «І якщо пряма, що падає на дві прямі, утворюють внутрішні і з одного боку кути, менше двох прямих, то продовжені ці прямі необмежено зустрінуться з того боку, де кути менше двох прямих». Прокл в V ст.н.е. переформулював постулат Евкліда простіше і зрозуміліше: «Через точку, що не лежить на цій прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній». Це і є аксіома паралельних прямих. Звідси видно, що розглянуте завдання має єдине рішення.
Багато математиків робили спроби довести п'ятий постулат, оскільки його формулювання надто нагадувало теорему. Всі ці спроби щоразу виявлялися невдалими. І лише XIX в. було остаточно з'ясовано, що п'ятий постулат Евкліда не можна довести, він є аксіомою.
Величезну роль вирішенні цього питання зіграв великий російський математик Микола Іванович Лобачевський (1792-1856).

4. Дивимося презентацію про М.І.Лобачевського

5. Закріплення вивченого. Розв'язання задач

Даний ∆АВС. Скільки прямих, паралельних стороні АВ можна провести через вершину С?

Рішення.

Згідно з аксіомою паралельних прямих, можна провести єдину пряму.

Через точку, що не лежить на прямій р, проведено чотири прямі. Скільки із цих прямих перетинають пряму р? Розгляньте всі можливі випадки.

Рішення.

3 прямі 4 прямі

Відповідь: 3 чи 4 прямі.

Наслідки із аксіоми паралельних прямих.

Твердження, які виводяться безпосередньо з аксіом чи теорем, називаються наслідками. Розглянемо наслідки з аксіоми паралельних прямих.

Наслідок 1˚.Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу.

Наслідок 2˚.Якщо дві прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні. (Пропонується довести учням самостійно).

Креслення те саме.

Дано:а || b, з || b
Довести:а || з
Доказівпро (метод «від неприємного»):

Нехай прямі і не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М. Через точку М проходять дві різні прямі (а і с), паралельні до прямої b. Це суперечить аксіомі паралельних. Значить, наше припущення не вірне. А вірно те, що || с. Ч.т.д.
Друге слідство з аксіоми паралельних прямих є насправді ще однією ознакою паралельності прямих на площині.

Розв'язання задач:№№ 217 (усно), 218 (усно), 198, 200, 213.

№ 217 (усно)

Прямі а та b паралельні прямий с. Доведіть, що будь-яка пряма, яка перетинає пряму а, перетинає також і пряму b.

Рішення.

Якщо а || b та b || с, то а || с (наслідок 2˚).
Якщо довільна пряма d ∩ а, то d ∩ b (наслідок 1).

№ 218 (усно)

Прямі а та b перетинаються. Чи можна провести таку пряму, яка перетинає пряму а та паралельна до прямої b? Відповідь обґрунтуйте.

Рішення.

Візьмемо на пряму а точку А b. Через точку А можна провести єдину пряму, паралельну до прямої b (аксіома паралельних). Побудована пряма перетинатиме пряму а, оскільки має з нею загальну точку А.

Прямі а та bперпендикулярні до прямої р, пряма з перетинає пряму а. Чи перетинає пряма з прямою b?

Дано:ар, bр, з ∩ а
Знайти:чи перетинає з пряму b?
Рішення:якщо ар та bр, то а || b (теорема).
Якщо з ∩ а та а || b, то з ∩b (наслідок 1).
Відповідь:з ∩ b.

На малюнку підручника АD | р та PQ || BC. Доведіть, що пряма р перетинає прямі АВ, АВ, АС, ВС, РQ.

На малюнку підручника РЄ = ED, ВЕ = EF і КЕ = AD. Доведіть, що КЕ || НД.

6. Підбиття підсумків

1) У чому полягає головна заслуга Евкліда?
2) Що називається аксіомою?
3) Які аксіоми ми знаємо?
4) Хто з російських вчених побудував струнку теорію неевклідової геометрії?
5) Що називається наслідком у математичному значенні слова?
6) Які наслідки ми сьогодні дізналися?

7. Завдання додому:

§2, п.27, 28, додаток про аксіоми геометрії стор 344-348, питання 7-11 стор 68, №199, 214.
№199: Пряма р паралельна стороні АВ трикутника АВС. Доведіть, що прямі ВС та АС перетинають пряму р.
№214: Пряма, що проходить через середину бісектриси AD трикутника АВС і перпендикулярна до AD, перетинає сторону АС у точці М. Доведіть, що MD AB.

Література:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І.Геометрія, 7-9: Підручник для загальноосвітніх установ. − М.: Просвітництво, 2003.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Некрасов В.Б., Юдіна І.І.Вивчення геометрії у 7, 8, 9 класах: Методичні рекомендаціїдо підручника. Книжка для вчителя. − М.: Просвітництво, 2003.
3. Дорофєєва А.В.Сторінки історії під час уроків математики: Книга для вчителя. − М.: Просвітництво, 2007.
4. Вікіпедія.

Чи не пояснюючи їх відмінності; у різних манускриптах «Почав» Евкліда розбиття тверджень на аксіоми і постулати по-різному, як і збігається та його порядок. У класичному виданні "Початок" Гейберга сформульоване твердження є п'ятим постулатом.

на сучасною мовоютекст Евкліда можна переформулювати так:

Якщо [на площині] при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів менша за дві прямі, то ці прямі при достатньому продовженні перетинаються, і притому з того боку, з якої ця сума менше двох прямих.

Уточнення, з якого саме боку перетинаються прямі, Евклід додав, ймовірно, для ясності - легко довести, що воно випливає із самого факту існування перетину.

П'ятий постулат дуже відрізняється від інших постулатів Евкліда, простих і інтуїтивно очевидних (див. Початки Евкліда). Тому протягом двох тисячоліть не припинялися спроби виключити його зі списку аксіом та вивести як теорему. Усі ці спроби скінчилися невдачею. «Ймовірно, неможливо в науці знайти більш захоплюючу та драматичну історію, ніж історія п'ятого постулату Евкліда». Незважаючи на негативний результат, ці пошуки були марними, оскільки в кінцевому рахунку призвели до повного перегляду наукових уявленьпро геометрію Всесвіту.

Еквівалентні формулювання постулату про паралельні

У сучасних джерелахзазвичай наводиться інше формулювання постулату про паралельні, еквівалентне (рівносильне) V постулату і належить Проклу (за кордоном її часто називають аксіомою Плейфера):

Постулат Прокла

У цьому формулюванні слова «одну і тільки одну» часто замінюють на «тільки одну» або «не більше однієї», оскільки існування хоча б однієї такої паралельної одразу випливає з теорем 27 і 28 «Початок» Евкліда.

Взагалі у V постулату є велика кількістьеквівалентних формулювань, багато з яких видаються досить очевидними. Ось деякі з них .

П'ятий постулат різко виділяється з-поміж інших, цілком очевидних, він більше схожий на складну, неочевидну теорему. Евклід, мабуть, усвідомлював це, і тому перші 28 пропозицій у «Початках» доводяться без його допомоги.

«Евкліду, безумовно, мали бути відомі різні формипостулату про паралельні». Чому ж він вибрав наведену, складну та громіздку? Історики висловлювали різні припущенняпро причини такого вибору. В. П. Смілга вважав, що Евклід таким формулюванням вказував на те, що дана частинатеорії є незавершеною. М. Клайн звертає увагу на те, що п'ятий постулат Евкліда має локальнийхарактер, тобто описує подію на обмеженій ділянці площини, тоді як, наприклад, аксіома Прокла стверджує факт паралельності, що вимагає розгляду всієї нескінченної прямої. Потрібно пояснити, що античні математики уникали використовувати актуальну нескінченність; наприклад, другий постулат Евкліда стверджує не нескінченність прямої, а лише те, що «пряму можна безперервно продовжувати». З точки зору античних математиків, вищенаведені еквіваленти постулату про паралельні могли здаватися неприйнятними: вони або посилаються на актуальну нескінченність або (не введене) поняття виміру, або теж не дуже очевидні. Ще одну версію висунув історик Імре Тот: евклідове формулювання, можливо, було спочатку (помилково доведеною) теоремою у когось із попередників Евкліда, і коли переконалися, що довести її не вдається, статус теореми підвищили до постулату, не змінюючи тексту формулювання.

Абсолютна геометрія

Якщо зі списку аксіом виключити V постулат, то отримана система аксіом описуватиме так звану абсолютну геометрію. Зокрема, перші 28 теорем "Початок" Евкліда доводяться без використання V постулату і тому належать до абсолютної геометрії. Для подальшого відзначимо дві теореми абсолютної геометрії:

Спроби доказу

Математики з давніх-давен намагалися «поліпшити Евкліда» - або виключити п'ятий постулат з числа вихідних тверджень, тобто довести його, спираючись на інші постулати та аксіоми, або замінити його іншим, настільки ж очевидним, як інші постулати. Надію на досяжність цього результату підтримувало те, що IV постулат Евкліда ( всі прямі кути рівні) справді виявився зайвим - він був суворо доведений як теорема і виключений із переліку аксіом.

За два тисячоліття було запропоновано багато доказів п'ятого постулату, але в кожному з них рано чи пізно виявлялося порочне коло: виявлялося, що серед явних або неявних посилок міститься твердження, яке не вдається довести без використання того п'ятого постулату.

Доказ Прокла

Після занепаду античної культури V постулатом зайнялися математики країн ісламу. Доказ ал-Джаухарі, учня ал-Хорезмі (IX століття), неявно передбачало: якщо при перетині двох прямих будь-якої третьої навхрест-лежачі кути рівні, то те ж має місце при перетині тих же двох прямих будь-якої іншої. І це припущення рівносильне V постулату.

Саккері розглядає ті самі три гіпотези про 4-му вугіллі чотирикутника Ламберта. Гіпотезу тупого кутавін відкинув відразу з формальних міркувань. Легко показати, що в цьому випадку взагалі всі прямі перетинаються, а тоді можна зробити висновок, що V постулат Евкліда справедливий - адже він якраз і стверджує, що за деяких умов прямі перетинаються. Звідси робиться висновок, що « гіпотеза тупого кута завжди хибна, оскільки вона сама себе руйнує» .

Після цього Саккері переходить до спростування «гіпотези гострого кута», і тут його дослідження набагато цікавіше. Він припускає, що вона вірна, і, одне за одним, доводить цілий ряд наслідків. Сам того не підозрюючи, він просувається досить далеко у побудові геометрії Лобачевського. Багато теорем, доведених Саккері, виглядають інтуїтивно неприйнятними, але він продовжує ланцюжок теорем. Нарешті, Саккері доводить, що в «хибній геометрії» будь-які дві прямі або перетинаються, або мають загальний перпендикуляр, обидвісторони від якого вони віддаляються один від одного, або ж віддаляються один від одного з одного боку і необмежено зближуються з іншого. Тут Саккері робить несподіваний висновок: « гіпотеза гострого кута абсолютно хибна, оскільки суперечить природі прямої лінії» .

Мабуть, Саккері відчував необґрунтованість цього «доказу», бо дослідження продовжується. Він розглядає еквідистанту - геометричне місце точок площини, рівновіддалених від прямої; на відміну від своїх попередників, Саккері розуміє, що в даному випадку це зовсім не пряма. Однак, обчислюючи довжину її дуги, Саккері припускається помилки і приходить до реальної суперечності, після чого закінчує дослідження і з полегшенням заявляє, що він « вирвав цю шкідливу гіпотезу з коренем». На жаль, піонерська робота Саккері, видана посмертно, не звернула на себе уваги математиків, на яку заслуговувала, і лише через 150 років () його співвітчизник Бельтрамі виявив цю забуту працю і оцінив його історичне значення.

Сферична геометрія: усі прямі перетинаються

Ламберт першим виявив, що "геометрія тупого кута" реалізується на сфері, якщо під прямими розуміти великі кола. Він, як і Саккері, вивів з «гіпотези гострого кута» безліч наслідків, причому просунувся набагато далі Саккері; зокрема він виявив, що доповнення суми кутів трикутника до 180° пропорційно площі трикутника.

У своїй книзі Ламберт проникливо відзначив:

Мені здається дуже чудовим, що друга гіпотеза [тупого кута] виправдовується, якщо замість плоских трикутників взяти сферичні. Я з цього майже мав би зробити висновок – висновок, що третя гіпотеза має місце на якійсь уявній сфері. У всякому разі, повинна існувати причина, чому вона на площині далеко не так легко піддається спростуванню, як це могло бути зроблено щодо другої гіпотези.

Ламберт не знайшов протиріччя гіпотезі гострого кута і дійшов висновку, що це спроби довести V постулат безнадійні. Він не висловив жодних сумнівів у хибності «геометрії гострого кута», проте, судячи з іншого його проникливого зауваження, Ламберт розмірковував про можливу фізичної реальностінеевклідової геометрії та про наслідки цього для науки:

У цьому є щось чудове, що викликає бажання, щоб третя гіпотеза була справедливою. І все ж таки я хотів би<…>щоб це було не так, тому що це було б пов'язано з цілим рядом<…>незручностей. Тригонометричні таблицістали б нескінченно розлогими, подібність і пропорційність постатей не існували б зовсім<…>, астрономії довелося б погано.

Чудова робота Ламберта, як і книга Саккері, далеко випередила свій час і викликала інтересу тодішніх математиків. Така сама доля спіткала «астральну геометрію» німецьких математиків Ф. К. Швейкарта () і Ф. А. Тауринуса (), за ідеями близьку до побудованої Ламбертом.

Тим часом спроби «змити плями» з Евкліда тривали (Луї Бертран, Лежандр, Семен Гур'єв та інші). Лежандр дав цілих три докази V постулату, помилковість яких швидко показали його сучасники. Останній «доказ» він опублікував у 1823 році, за три роки до першої доповіді Лобачевського про нову геометрію.

Відкриття неевклідової геометрії

Припущення, що сума трьох кутів трикутника менша за 180°, призводить до своєрідної, абсолютно відмінної від нашої (евклідової) геометрії; ця геометрія цілком послідовна, і я розвинув її для себе цілком задовільно; я маю можливість вирішити у цій геометрії будь-яке завдання, крім визначення деякої постійної [кривизни], значення якої a priori встановлено бути може. Чим більше значеннями надамо цій постійній, тим ближче ми підійдемо до евклідової геометрії, а нескінченно велике її значення наводить обидві системи до збігу. Пропозиції цієї геометрії частково здаються парадоксальними та незвичною людині навіть безглуздими; але за суворому і спокійному роздумі виявляється, що вони містять нічого неможливого. Так, наприклад, всі три кути трикутника можна зробити як завгодно малими, якщо тільки взяти досить великі сторони; площа ж трикутника не може перевищити, навіть не може досягти певної межі, якими б великими не були його сторони. Всі мої старання знайти в цій неевклідовій геометрії протиріччя чи непослідовність залишилися безплідними, і єдине, що в цій системі чинить опір нашому розуму, це те, що в просторі, якби ця система була справедлива, мала б існувати деяка сама по собі певна (хоча нам і невідома) лінійна величина. Але мені здається, що ми, крім словесної мудрості метафізиків, що нічого не виражає, знаємо дуже мало або навіть не знаємо нічого про сутність простору. (З листа до

Виконав учень 7 класу "Г" МБОУ "ОК "Ліцей №3" Гаврилов Дмитро

Аксіома
Походить від грецького «аксіос», що означає «цінний, гідний». вихідне положеннятеорії. (Радянський енциклопедичний словник)

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Аксіома паралельних прямих Виконав учень 7 класу «Г» МБОУ «ОК «Ліцей № 3» Гаврилов Дмитро 2015-2016 н.р. (вчитель Конарєва Т.М.)

Відомі визначення та факти. Закінчи пропозицію. 1. Пряма х називається січною по відношенню до прямих а і b, якщо ... 2. При перетині двох прямих січної утворюється ... нерозгорнутих кутів. 3. Якщо прямі АВ і С D перетнуті прямий В D , то пряма В D називається… 4. Якщо точки В і D лежать у різних напівплощинах щодо січної АС, то кути ВАС та DCA називаються… 5. Якщо точки В і D лежать у однієї півплощини щодо січної АС, то кути ВАС і DCA називаються… 6. Якщо внутрішні навхрест кути однієї пари, що лежать, рівні, то внутрішні навхрест лежать кути іншої пари… D C А С В D A B

Перевірка завдання. 1 . …якщо вона перетинає їх у двох точках 2. 8 3. … секущою 4. … навхрест лежачими 5. … односторонніми 6. … рівні

Знайдіть відповідність a) a b m 1) a | | b , оскільки внутрішні навхрест лежачі кути рівні б) 2) a | | b , оскільки відповідні кути дорівнюють в) a b 3) a | | b , оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º

Про аксіоми геометрії

Аксіома походить від грецького «аксіос», що означає «цінний, гідний». Положення, прийняте без логічного доказу з безпосередньої переконливості, справжнє вихідне становище теорії. Радянський енциклопедичний словник

Скільки прямих можна провести через будь-які дві точки, що лежать на площині?

На будь-якому промені від початку можна відкласти відрізок, рівний даному, і до того ж лише один Скільки відрізків даної довжини можна відкласти від початку променя?

Від будь-якого променя в заданий бікможна відкласти кут, рівний даному нерозгорнутому куту, і до того ж лише один Скільки кутів рівних даному можна відкласти від даного променя в задану напівплощину?

аксіоми теореми логічні міркування знаменитий твір«Початку» Евклідова геометрія Логічне побудова геометрії

Аксіома паралельних прямих

М а Доведемо, що через точку М можна провести пряму, паралельну прямій а с в а ┴ с в ┴ с а ІІ в

Чи можна через точку М провести ще одну пряму, паралельну до прямої а? а М в 1 А чи можна це довести?

Багато математиків, починаючи з давніх часів, намагалися довести дане твердження, а в «Початках» Евкліда це твердження називається п'ятим постулатом. Спроби довести п'ятий постулат Евкліда не мали успіху, і лише в XIX столітті було остаточно з'ясовано, що твердження про єдиність пряму, що проходить через дану точкупаралельно даній прямий, не може бути доведено на основі інших аксіом Евкліда, а саме є аксіомою. Величезну роль вирішенні цього питання зіграв російський математик Микола Іванович Лобачевський.

П'ятий постулат Евкліда 1792—1856 Микола Іванович

«Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній». «Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній». Яке з цих тверджень є аксіомою? Чим відрізняються вищезгадані твердження?

Через точку, що не лежить на цій прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній. Наслідки 1. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й іншу. a II b , c b ⇒ c a Аксіома паралельності та наслідки з неї. а А Наслідок 2. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні. a II с, b II с a II b а b с c b

Закріплення знань. Тест Відзначити знаком «+» правильні твердженнята знаком «-» - помилкові. Варіант 1 1. Аксіомою називається математичне твердження про властивості геометричних фігур, що потребує доказів. 2. Через будь-які дві точки проходить пряма. 3. На будь-якому промені від початку можна відкласти відрізки, рівні даному, причому скільки завгодно багато. 4.Через точку не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній. 5. Якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою. Варіант 2 1. Аксіомою називається математичне твердження про властивості геометричних фігур, яке приймається без доказу. 2. Через будь-які дві точки проходить пряма, і лише одна. 3. Через точку, що не лежить на даній прямій, проходять лише дві прямі, паралельні даній. 4. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої прямої. 5. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу.

Відповіді тесту Варіант 1 1. "-" 2. "-" 3. "-" 4. "+" 5. "+" Варіант 2 "+" "+" "-" "-" "+"

«Геометрія сповнена пригод, тому що за кожним завданням приховується пригода думки. Вирішити завдання – це означає пережити пригоду». (В. Свавілля)