Умова риманської коші для функції. Похідна ФКП

Послідовність ( x n )задовольняє умові Кошіякщо для будь-якого позитивного дійсного числа ε > 0 існує таке натуральне число N ε , що
(1) | x n - x m |< ε при n >N ε , m > N ε .

Послідовності, що задовольняють умові Коші, також називають фундаментальними послідовностями.

Умову Коші можна уявити і в іншому вигляді. Нехай m>n. Якщо m< n , то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:
;
.
Тут p – натуральне число.

Тоді умову Коші можна сформулювати так:

Послідовність задовольняє умові Кошіякщо для будь-кого існує таке натуральне число, що
(2) при будь-яких натуральних p .

Число , що фігурує за умови Коші, залежить від ε . Тобто є функцією від дійсної змінної ε , областю значень якої є безліч натуральних чисел. Число також можна записати у вигляді , як це прийнято для позначення функцій.

Критерій Коші збіжності послідовності

Для того щоб послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші.

Доказ критерію Коші збіжності послідовності

Доказ необхідності

Нехай послідовність сходиться до кінцевої межі a:
.
Це означає, що є деяка функція, так що для будь-якого виконуються нерівності:
(1.1) при .
Визначення межі послідовності.

Покажемо, що послідовність задовольняє . Для цього нам потрібно знайти таку функцію, при якій для будь-якого виконуються нерівності:
при .
Скористаємося властивостями нерівностей та застосуємо (1.1):
.
Остання нерівність виконується при .

Замінимо на . Тоді для будь-кого маємо:
при ,
де.

Необхідність доведена.

Доказ достатності

Нехай послідовність задовольняє. Доведемо, що вона сходить до кінцевого числа. Доказ розділимо на три частини. Спочатку доведемо, що послідовність обмежена. Потім застосуємо , згідно з якою у обмеженої послідовностііснує підпослідовність, що сходить до кінцевого числа. І нарешті, покажемо, що до цього сходиться вся послідовність.

Доведемо, що послідовність, що задовольняє, обмежена. Для цього, за умови Коші, покладемо . Тоді існує таке натуральне число, при якому виконуються нерівності:
(2.1.1) при .

Візьмемо будь-яке натуральне число і зафіксуємо член послідовності. Позначимо його як , щоб підкреслити, що це постійне, яке не залежить від індексу n число.

Підставляємо (2.1.1) і виконуємо перетворення. При маємо:
;
;
;
;
.
Звідси видно, що з , члени послідовності обмежені. Оскільки, при , є лише кінцеве число членів, і вся послідовність обмежена.

Застосуємо теорему Больцано - Вейєрштрасса. Відповідно до цієї теореми, у обмеженої послідовності, існує підпослідовність, що сходить до деякого кінцевого числа a . Позначимо таку підпослідовність як . Тоді
.

Покажемо, що до a сходиться вся послідовність.
Оскільки послідовність задовольняє , то є деяка функція , коли для будь-якого виконуються нерівності:
при .
Як візьмемо член схожої підпослідовності і замінимо ε 1 на ε /2 :
(2.3.1) при .

Зафіксуємо n. Тоді (2.3.1) є нерівністю, що містить послідовність , яка виключає кінцеве число перших членів з . Кінцеве число перших членів впливає збіжність (див. Вплив кінцевого числа членів збіжність послідовності). Тому межа при усіченій послідовності як і дорівнює a . Застосовуючи властивості меж, пов'язані з нерівностямиі арифметичні властивості меж, при , з (2.3.1) маємо:
при .
Скористаємося очевидною нерівністю: . Тоді
при .

Тобто для будь-кого існує натуральне число, тож
при .
Це означає, що число a є межею всієї послідовності (а не лише її підпослідовності).

Теорема доведена

Використана література:
О.В. Бісів. Лекції з математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2004.

Транскрипт

1 Умови Коші-Рімана.) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції w zi e. Функція, що має похідну в точці z називається диференційованої в цій точці. Умови Коші - Рімана (Даламбера - Ейлера, Ейлера - Даламбера): w f z u, iv, то в кожній точці диференційованості функції f z Якщо z i виконуються рівності, u v u v Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i e e e i i isin e cos ie sin Виділимо дійсну u і уявну частину функції w: u, e cos v, e sin Обчислюємо приватні похідні: u cos e e cos e sin e cos u e cos e sin e sin e sin - умови Коші-Рімана виконуються. Література:) Гусак А.А. "Теорія функцій комплексної змінної та операційне обчислення", 00, стор. 59 (приклад 9), стор. 0 (приклад);) Письмовий Д.Т. "Конспект лекцій з вищої математики", 006, стор. 530, стор (умови Ейлера-Даламбера, аналітичність функції). ) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції w z 4iz Запишемо цю функцію в формі алгебри, вважаючи z i: w i 4i i i 4 i

2 Виділимо дійсну u і уявну частину функції w: u, 4 v, 4 Обчислюємо приватні похідні: u 4 v 4 u 4 4 v умови Коші-Рімана виконуються. 3) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції sin iz. Виразимо тригонометричну функцію sin z через показову: iz iz e e sin z i і візьмемо до уваги, що z i: ii ii ii ii e e e e e e e e sin cos sin cos e e i e e Дійсна та уявна частини числа u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Обчислюємо приватні похідні: u sin e e e e v cos e e sin e e sin e e і u sin cos e e e e cos cos e e e e v Як бачимо, умови Коші-Рімана u v u v sin iz виконуються. для функції 4) Користуючись умовами Коші-Рімана, перевірити, чи буде аналітичною функція w f z: Функція wsin z3 z. w f z називається аналітичною в точці z, якщо вона диференційована як у самій точці z, так і в деякій її околиці. Функція w f z, що диференціюється в кожній точці деякої області D, називається аналітичною функцією в цій галузі. Умови Коші – Рімана (Даламбера – Ейлера, Ейлера – Даламбера): Якщо z i w f z u, iv, то в кожній точці диференційності функції f z виконуються рівності u v u v,. Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i: i 3 i w sin ii e e 3i3 i i i e e 3i3 i i e e e e e 3i3

3 cos e e e i e e sin 3i3 i cos e e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Формули, використані в перетвореннях: iz e e e дійсну і уявну частини w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Обчислюємо приватні похідні: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin sh cos 3 sh , виконані; отже, функція sin w f z z3 z є аналітичною. 4

5 5) Довести аналітичність функції і знайти похідну: z z e w e Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i: i i e e w e cos sin Виділимо дійсну та уявну частини w z u, i v, u, chcos v, shsin Обчислюємо приватні похідні: u ch cos sh cos sh sin sh cos u ch cos ch sin sh sin ch sin: Умови Коші-Рімана u v u v, виконані; отже, функція w f z e z e z є аналітичною. Для будь-якої аналітичної функції f z u, i v, приватні похідні функцій u u, і v v : похідна f u v v u u u v f z i i i i Обчислюємо похідну функції похідні функцій u, і v, : z виражається через f z , використовуючи вираз похідної функції

6 або безпосередньо: z e e e z z z e e e e e z i i i i e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos e e i e e e e e e e cos e sin sh cos is sn i 6) Подати . Перевірити, чи буде вона аналітичною, якщо так, то знайти похідну в точці z0 6. Виділимо в даному числіу явному вигляді дійсну u, і уявну частини, отримано комплексне число в формі алгебри записи. Re w u, e cos Im w v, e sin Для будь-якої аналітичної функції f z u e v sin e cos e Оскільки умови Коші-Рімана виконуються (u v, u v) для всіх точок площини O, функція, що досліджується, є аналітичною на всій площині, і її похідна 6

7 u v w z i e e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 У точці z0 i0: Література:) Гусак А.А. "Теорія функцій комплексної змінної та операційне обчислення", 00, стор 59 (приклад 9), стор 0 (приклад). Обчислити значення функції. 7) Обчислити значення функції комплексного змінного w cos z у точці z0 i. e Для будь-якого z C: cos z iz e iz Тоді ii ii i i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Відповідь: i cos ch cos ish sin Література. "Теорія функцій комплексної змінної", 009, том 0, вид. МГТУ, стор 06;) Лунц Г.Л., Ельсгольц Л.Е. "Функції комплексного змінного", 00, стр) Обчислити значення функції комплексного змінного w th z у точці z 0 ln 3 в формі алгебри. z z e e Для будь-якого z C: th z z z e e Значить i 3 3 3 4 3

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i0 4 обчислення в формі алгебри. 9) Обчислити значення функції комплексного змінного Ln z точці z 0. Вказати головне значення функції. Головним значенням логарифму числа z називають значення, що відповідає головному значенню аргументу числа z ; тобто. головне значення логарифму отримаємо при k 0: Модуль і аргумент числа z0 0 i: z 0 arg z 0 Отже Ln ln i k 0k i kz - значення функції комплексного змінного в точці z 0, записані в формі алгебри. ( логарифмічна функція Ln z є багатозначною) Головне значення логарифму числа z ln 0 i 8

9 0) Обчислити значення функції комплексного змінного i z у точці z i 0. За будь-яких, w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Модуль і аргумент числа w i: i arg iarctg 4 - значення функції комплексного змінного z у точці z0 i, записані в тригонометричній формі(функція багатозначна).) Обчислити значення функції комплексного змінного arcctg z у точці z0 i, відповідь записати в формі алгебри. iz i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (при k 0 отримуємо головне значення логарифму ln z ln z i arg z) z0 i ii i3i i3i3 5iarctg k, kz 5 і z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (головне значення Arcctg i) 9

10) Обчислити значення функції комплексного змінного arccos z у точці z0 i, відповідь записати в формі алгебри. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz При k 0 отримуємо головне значення логарифму ln z ln z i arg z та головне значення арккосинусу arccos z arg z z iln z z Квадратний коріньіз комплексного числа дає два значення; для головного значення функції вибираємо одне, аргумент якого потрапляє у проміжок 0;. У даному випадку: arccos ln ln iln i i Корінь із числа i i i i i i i приймає два значення. Знайдемо їх: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Використовуючи формули cos cosarctg 5, отримаємо: cos і sin, і зважаючи на те, що arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 і тоді i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 і 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k З двох значень вибираємо друге, т.к. його аргумент потрапляє у проміжок 0;. Отже, i i 5 i arccos 5 5 i ln 5 arctg 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (головне значення Arccos i) Література:) Морозова В.Д . "Теорія функцій комплексної змінної", 009, том 0, вид. МГТУ, стор 06;) Лунц Г.Л., Ельсгольц Л.Е. "Функції комплексного змінного", 00, стор. 40.

1. Основні поняття функцій комплексного змінного Основні поняття, пов'язані з функцією комплексного змінного, знаходяться так само, як і в дійсній області. Нехай задані дві множини комплексних

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ В результаті вивчення даної теми студент повинен навчитися: знаходити тригонометричну та показову форми комплексного числа

ВАРІАНТ ЗАВДАННЯ ВИЧИСЛИТИ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ (ВІДПОВІДЬ ДАТИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ: а Arch; б РІШЕННЯ А БУДЕМО ВИЧИСЛЮВАТИ ARH ПО ФОРМУЛІ ZArCH (LДАННО ПРІМІСТЕ LРИ, ЗДОРОВ'Я ВІДПОВІДЬ) (В ДАННОМУ ПРИМІДЕ ВІДЧИСТИ АРХ(L(У ДАННОМ ПРИМІДЕ)) (В ДАННОМ ПРИМІДЕ) Arch(L(У ДАННОМ ПРИМІДЕ))

Комплексний аналіз Функції комплексного змінного Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університету Китайсько-російський інститут Хейлунцзянського університету

В. Д. Михайлов Функції комплексної змінної у прикладах та задачах 04 УДК 57.5 ББК.6 М69 Михайлов В.Д. Функції комплексної змінної у прикладах та завданнях: Навчальний посібник. СПб., 04. 30 с. Навчальний посібник

Лекція 2 2.1 Послідовності комплексних чисел Комплексне число a називається межею послідовності комплексних чисел (z n ), якщо для будь-якого числа ε > 0 знайдеться такий номер n 0 n 0 (ε), що

1 Комплексні функції 1.1 Комплексні числаНагадаємо, що комплексні числа можна визначити як безліч упорядкованих пар дійсних чисел C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy, де i уявна одиниця (i

Поняття комплексного змінного Межа та безперервність комплексного змінного Нехай дано дві множини комплексних чисел D і Δ і кожному числу z D поставлено у відповідність число ω Δ яке позначається

Світлична Ст Б., Агішева Д. К., Матвєєва Т. А., Зотова С. А. Спеціальні глави математики. Теорія функцій комплексного змінного Волгоград 0 м. Міністерство освіти і науки РФ Волзький політехнічний

СА Зотова, ВБ Світлична ПРАКТИЧНЕ КЕРІВНИЦТВО З ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенти- дф-мн, проф Горяїнов ВВ до ф-мн, доц Кульков ВГ ЗГ

Комплексні числа, функції та дії над ними y модуль R дійсна частина дійств число, yim уявна частина дійсне число iy алгебраїчна формазапису компл числа Головне значення аргументу

Похідні основних елементарних функційПохідна функції може бути знайдена за наступною схемою: аргументом х даємо прирощення для функції y знайдемо відповідне прирощення y y складемо ставлення знаходимо

С А Лавренченка wwwlwrckoru Лекція 4 Основні функції Дробно-раціональні функції Дробно-раціональною функцієюкомплексною змінною називається відношення двох многочленів: P() w Q() 0 b 0 m b m b m,

Московський авіаційний інститут(національний дослідницький університет) Кафедра " Вища математикаМежі Похідні Функції кількох змінних Методичні вказівкита варіанти контрольних

Федеральне агентствоза освітою Державна освітня установавищого професійної освітиУхтинський державний технічний університет(УГТУ) МЕЖ ФУНКЦІЇ Методичні

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНИЙ АНАЛІЗ Питання до іспиту (група МХ-21, 215) Питання першого колоквіуму 1 1. Диференційність функції комплексного змінного в точці. Умови Коші Рімана (Даламбера Ейлера).

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Інтегрування найпростіших ірраціональностей. Підстановки Ейлер. Інтеграл від диференціального бінома. Інтегрування ірраціональностей

Лекції 89 Глава 5 Безперервність функції 5 Безперервність функції у точці Поняття безперервності функції одна із основних понять вищої математики Очевидно графіком безперервної функції є

Федеральне агентство з освіти Томський державний архітектурно-будівельний університет РЯДИ З КОМПЛЕКСНИМИ ЧЛЕНАМИ Методичні вказівки для самостійної роботиУЧАСНИКИ ЛЕСНИК, ВА

Фонд оціночних засобів для проведення проміжної атестаціїучнів з дисципліни (модулю) Загальні відомостіКафедра Математики, фізики та інформаційні технологіїНапрямок підготовки 0030 Математика

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Кемеровський державний університет" Кафедра

Комплексний аналіз Арифметика та геометрія комплексних чисел Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університету Китайсько-російський інститут Хейлунцзянського університету

Міністерство освіти Російської ФедераціїРосійський державний університет нафти та газу імені ІМ Губкіна ВІ Іванов Методичні вказівки до вивчення теми «ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ» (для студентів

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Харківський національний автомобільно-дорожній університет МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до практичних занять з математики іноземних студентів

Основні визначення, формули та теореми Ряди 1. Супремум та інфінум. Найменша кількість, що обмежує зверху кілька чисел називається точною верхньою граннюабо супремумом цієї множини. Подвійним

Міністерство освіти і науки Російської Федерації «ТАМБІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» ФДБОУ ВПО «ТДТУ» ВАСИЛЬЄВ ВВ, ЛАНОВА АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ТЕОРІЯ МЕЖ

Тема: Перетворення тригонометричних виразівОблік ОДЗ у тригонометричних рівняннях Підготовка до ЄДІ (завдання 9; ; 8) Визначення: Областю визначення рівняння f g або областю допустимих значень

ЛЕКЦІЯ N Диференціальні рівняння вищих порядків, методи вирішення Завдання Коші Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Однорідні лінійні рівнянняДиференціальні рівняння вищих порядків,

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Первісна і невизначений інтеграл Основне завдання диференціального обчислення полягає у знаходженні похідної (або диференціалу) цієї функції. Інтегральне числення

ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЙ ЗМІННОЇ Поняттяпохідною, її геометричний та фізичний сенсЗавдання, що призводять до поняття похідної Визначення Стосової S до лінії y f (x) у точці A x ; f (

Безперервність функції. Чудові межіЛекція 2 1 Визначення безперервності. Теорема про безперервність суми, твору та частки Функція y f () називається безперервною в точці, якщо вона

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Національний дослідний Нижегородський державний університет ім НІ Лобачевського НП Семерікова АА Дубков АА Харчева

1 С А Лавренченко wwwlawrencenkor Лекція 3 Диференційність 1 Поняття диференційності Нехай комплексна функція w f комплексної змінної визначена в околицях точки Визначення 11 диференційованості

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Кемеровський державний університет» Новокузнецька

Додаток ТАБЛИЦЬ ПЕРЕТВОРЕНЬ ЛАПЛАСУ Зображення F./ Оригінал f.t/ 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 η.t/ n,.n D,.../ t n.n /! λ t e λt. λ/ te λt. λ/ n,.n D,.../. a/. b/. a/. b/.n/! tn e λt sin ωt C ω ω

Міністерство освіти Республіки Білорусь Установа освіти «Гомельський державний університет імені Франциска Скорини»

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РЕСПУБЛІКИ БІЛОРУСЬ УСТАНОВА ОСВІТИ «МІНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ РАДІОТЕХНІЧНИЙ КОЛЕДЖ» М А Т Е М А Т І К А ПРАКТИКУМ ДЛЯ САМОПІД ДЛЯ САМОП

ЧАСТИНА ПЕРША КВАТЕРНІЙНІ ПРОСТІР РОЗДІЛ ПОПЕРЕДНІ МАТЕМАТИЧНІ ВІДОМОСТІ У цьому розділі для простоти подальшого читання розглянуто елементи алгебри комплексних чисел та класичної алгебри

лекція N33. Функції комплексного змінного. Межі. Безперервність. Елементарні функції. Диференціювання ФКП. Властивості похідних. 1.Послідовності комплексних чисел. Межа.... 1.Обмежені

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ ВОЛОГОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра вищої математики ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Методичні вказівки для практичних занять

Заняття 7 Теореми про середнє. Правило Лопіталя 7. Теореми про середнє Теореми про середнє це три теореми: Роля, Лагранжа та Коші, кожна наступна з яких узагальнює попередню. Ці теореми називають також

Глава ВАРІАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Лекція 9 Вступ У цьому розділі ми розглядатимемо завдання відшукання екстремумів (максимумів або мінімумів) функціоналів Відразу зазначимо, що такі завдання належать до числа

Міністерство освіти і науки Російської Федерації «МАТІ» Російський державний технологічний університетім. К.Е. Ціолковського Кафедра «Вища математика» Комплексні числа та операційне обчислення

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «НАЦІОНАЛЬНИЙ ДОСЛІДНИЙ ТОМСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ

Одеська національна академіязв'язку їм АС Попова Кафедра вищої математики Стрілківська ІВ, Паскаленко ВН ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЙ ЗМІННОЇ Навчальний посібник для іноземних студентів

Індивідуальні домашні завдання ІДЗ-1 Обчислення приватних похідних 1 Знайти область визначення функцій: 11 z /(5) 1 z arcsin() 1 z 1 z ln() 15 z /(6) 16 z 5 17 z arccos() 18 z / () 19 z 9 11 z ln(

Програма вступного випробуванняз математики, що проводиться Академією самостійно окремих категорійгромадян відповідно до Правил прийому На вступному іспитіз математики вступник

Lim 3 Диференціювання функцій 3 Похідна функції Похідної функції f у точці називають наступну межу f f df f "d, де f " і df d умовні позначенняпохідної Операція знаходження похідної

~ ~ ФКП Похідна функції комплексного змінного ФКП умови Коші - Рімана поняття регулярності ФКП Зображення та вид комплексного числа Вид ФКП: де дійсна функція двох змінних дійсна

Диференційне численняВведення в математичний аналіз Межа послідовності та функції. Розкриття невизначеностей у межах. Похідна функції. Правила диференціювання. Застосування похідної

Лекція 5 Інтеграл типу Коші 5.1 Інтеграл типу Коші Нехай C орієнтована шматково-гладка крива f визначена на кривій безперервна функція. Для будь-якої точки z C \ функція t f(t) z безперервна за змінною

Міністерство освіти та науки Російської Федерації Уральський федеральний університетімені першого Президента Росії Б Н Єльцина Р М Мінькова ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО У ПРИКЛАДАХ І ЗАВДАННЯХ Рекомендовано

Тема МЕЖІ ФУНКЦІЙ Число А називається межею функції у=f), при х прагне до нескінченності, якщо для будь-якого, скільки завгодно малого числа ε>, знайдеться таке позитивне числоs, що при всіх >S виконується

Практичне заняття 8 Вирахування 8 Визначення відрахування 8 Обчислення відрахувань 8 Логарифмічний відрахування 8 Визначення відрахування Нехай ізольована особлива точкафункції в ізольованій особливою Вирахуванням аналітичної

Практичне заняття ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ СКЛАДНОЇ ТА НЕЯВНОЇ ФУНКЦІЇ Диференціювання складної функціїДиференціювання неявної функціїСистеми неявних і параметрично заданих, що задається одним рівнянням

Державна автономна освітня установа вищої професійної освіти міста Москви «МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ ІНДУСТРІЇ ТУРИЗМУ ІМЕНІ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Основи теорії спеціальних функційНеобхідність вивчення спеціальних функцій математичної фізикипов'язана з двома основними обставинами. По-перше, при розробці математичної моделіфізичного

М. І. Шабунін, Є. С. Половінкін, М. І. Карлов З Рекомендовано Навчально-методичним об'єднаннямвищих навчальних закладівРосійської Федерації за освітою в області прикладних математикита фізики

Лекція 3 3. Зауваження про аналітичні функції 3.2 Ступінна функціяСтупінна функція w = z n, (3.) де n > натуральне число, є аналітичною у всій комплексної площини C. Її похідна w

Міністерство освіти Республіки Білорусь БІЛОРУСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра «Вища математика» КУРС ЛЕКЦІЙ І ПРАКТИКУМ З ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Навчальне електронне

I Анотація Мета та завдання дисципліни (модуля) Мета освоєння дисципліни: дати студентам систематичні знання за методами комплексного аналізута навчити їх застосовувати ці знання до вирішення задач математичного

Первісна і невизначений інтеграл Основні поняття та формули 1. Визначення первісної та невизначеної інтегралу. Визначення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Інтегрування тригонометричних функцій за допомогою різних підстановок. Універсальна тригонометрична підстановка. Інтегрування

5 Точка в якій F F F або хоча б одна з цих похідних не існує називається особливою точкою поверхні У такій точці поверхня може не мати дотичної площини Визначення Нормаллю до поверхні

Глава Невизначений інтеграл Безпосереднє інтегруванняФункцію F() називають первісною для функції f(), якщо виконується рівність F"() f() Сукупність всіх первісних цієї функції f()

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Тригонометричні рівняння з модулем Цей листок присвячений тригонометричним рівнянням, в яких тригонометричні функціївід невідомої величини містяться

Програма вступного випробування з математики, що проводиться Північно-Кавказьким інститутом-філією РАНХіГС самостійно для окремих категорій громадян відповідно до Правил прийому показати: На

Глава 4 Межа функції 4 1 ПОНЯТТЯ МЕЖІ ФУНКЦІЇ У цьому розділі основну увагу приділено поняттю межі функції. Визначено, що таке межа функції у нескінченності, а потім межа у точці, межі

СПбДУ Економічний факультет Математичний аналізкурс семестр 03/04 н.р. Свіркіна Лариса Анатоліївна СЕМІНАР 6. (09.0.03 та.0.03) Аудиторна роботаПеревірка домашнього завдання(М.9,..3,..6,..0) (продовження)

Тема 8 ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ Лекція 8.1. Функції кількох змінних. Приватні похідні План 1. Поняття функції двох і декількох змінних. Межа і безперервність

Заняття 14 Комплексні числа. ЛОДУ з постійними коефіцієнтами. 14.1 Комплексні числа Комплексним числом називається вираз виду z = x + iy, де x R. Є взаємно однозначна відповідність між множиною

Нехай функція = u(x,y)+iv(x,y) визначена в околиці точки z = x+iy. Якщо змінною zнадати збільшення  z= x+i y, то функція
отримає приріст


= (z+ z)–
=u(x+ x, y+ y)+

+ iv(x+ x, y+ y) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(x+ x, y+ y) –

– u(x,y)] + i[v(x+ x, y+ y) - v(x,y)] =

= u(x,y) + i v(x,y).

Визначення. Якщо існує межа

=

,

то ця межа називається похідною від функції
у точці zі позначається через f(z) або
. Таким чином, за визначенням,

=

=

. (1.37)

Якщо функція
має похідну в точці z, то кажуть, що функція
диференційована в точці z. Очевидно, для диференціювання функції
необхідно, щоб функції u(x,y) та v(x,y) були диференційовані. Однак цього мало для існування похідної f(z). Наприклад, для функції w== x–iyфункції u(x,y)=x

і v(x,y)=–yдиференційовані у всіх точках M( x,y), але межа відносини
при  x0,  y0 не існує, оскільки, якщо  y= 0,  x 0, то  w/ z= 1,

якщо ж  x = 0,  y 0, то  w/z = -1.

Єдиної межі немає. Це означає, що функція

w= не має похідну в жодній точці z. Для існування похідної від функції комплексного змінного потрібні додаткові умови. Які саме? Відповідь це питання дає така теорема.

Теорема.Нехай функції u(x,y) та v(x,y) диференційовані в точці M( x,y). Тоді для того, щоб функція

= u(x,y) + iv(x,y)

мала похідну в точці z = x+iyнеобхідно і достатньо, щоб виконувались рівності

Рівності (1.38) називаються умовами Коші-Рімана.

Доведення. 1) Необхідність. Нехай функція
має похідну в точці z, тобто існує межа

=

=
.(1.39)

Межа, що стоїть у правій частині рівності (1.39) не залежить від того, яким шляхом точка  z =  x+i yпрагне

до 0. Зокрема, якщо y = 0, x  0 (рис. 1.10), то

Якщо ж x = 0, y  0 (рис. 1.11), то

(1.41)

Рис.1.10 Мал. 1.11

Ліві частини у рівностях (1.40) та (1.41) рівні. Значить рівні та праві частини

Звідси слідує що

Таким чином, із припущення про існування похідної f(z) слідує виконання рівностей (1.38), тобто умови Коші-Рімана необхідні для існування похідної f(z).

1) Достатність. Припустимо, що рівності (1.38) виконані:

і доведемо, що у цьому випадку функція
має похідну в точці z= x+iy, тобто межа (1.39)

=

Існує.

Оскільки функції u(x,y) та v(x,y) диференційовані у точці M( x,y), то повне збільшення цих функцій у точці M( x,y) можна уявити у вигляді

де  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 при  x0, y0.

Тому що, в силу (1.38),

Отже,

=
,

 1 =  1 +i 1 0,  2 =  2 +i 2 0 при z =  x+iy0.

Таким чином,

Оскільки  z 2 =  x 2 + y 2 , то  x/ z1,  y/z1. Тому

при  z  0.

Звідси слідує що права частинарівності (1.42) має межу при  z 0, отже, і ліва частинамає межу при  z 0, причому ця межа не залежить від того, яким шляхом  zпрагне до 0. Таким чином, доведено, що якщо у точці M(x,y) виконані умови (1.38), то функція
має похідну в точці z = x+iy, причому

Теорему доведено повністю.

У процесі доказу теореми отримано дві формули (1.40) та (1.42) для похідної від функції комплексного змінного

За допомогою формул (1.38) можна отримати ще дві формули

, (1.43)

. (1.44)

Якщо функція f(z) має похідну у всіх точках області D, то кажуть, що функція
диференційована області D. Для цього необхідно і достатньо, щоб умови Коші-Рімана виконувались у всіх точках області D.

приклад.Перевірити умови Коші-Рімана для

функції e z .

Так як e z = e x+iy = e x(cos y + i sin y),

то u(x, y) = Re e z = e x cos y, v(x, y) = Im e z = e x sin y,

,
,

отже,

Умови Коші - Рімана для функції e zвиконані у всіх точках z. Таким чином, функція e zдиференційована на всій площині комплексної змінної, причому

Так само доводиться диференційність

функцій z n , cos z, sin z, ch z, sh z, Ln z, і справедливість формул

(z n) = n z n-1, (cos z) = -sin z, (sin z) = cos z,

(ch z) = sh z, (sh z) = ch z, (Ln z) = 1/z.

Для функцій комплексного змінного залишаються чинними всі правила диференціювання функцій дійсного змінного. p align="justify"> Доказ цих правил випливає з визначення похідної так само, як і для функцій дійсного змінного.

Поняття функції комплексної змінної

Спочатку освіжимо знання про шкільну функцію однієї змінної:

Функція однієї змінної – це правило, яким кожному значенню незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і лише одне значення функції . Природно, «ікс» та «ігрок» – дійсні числа.

У комплексному випадку функціональна залежністьзадається аналогічно:

Однозначна функція комплексної змінної - це правило, за яким кожному комплексного значеннянезалежної змінної (в галузі визначення) відповідає одне і тільки одне комплексне значення функції . Теоретично розглядаються також багатозначні та інші типи функцій, але для простоти я зупинюся однією визначенні.

Чим відрізняється функція комплексної змінної?

Головна відмінність: числа комплексні. Я не іронізую. Від таких питань нерідко впадають у ступор, наприкінці статті історію прикольну розповім. На уроці Комплексні числа для чайниківми розглядали комплексне число у вигляді. Оскільки зараз буква «зет» стала змінною, її ми позначатимемо так: , у своїй «ікс» і «гравець» можуть приймати різні дійсні значення. Грубо кажучи, функція комплексної змінної залежить від змінних і , які набувають «звичайних» значень. З даного фактулогічно випливає наступний пункт:

Дійсна та уявна частина функції комплексної змінної

Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді:
, де - дві функції двох дійсних змінних.

Функція називається дійсною частиною функції.
Функція називається уявною частиною функції.

Тобто, функція комплексної змінної залежить від двох дійсних функцій та . Щоб остаточно прояснити все розглянемо практичні приклади:

Рішення: Незалежна змінна «зет», як ви пам'ятаєте, записується у вигляді , тому:

(1) У вихідну функцію підставили.

(2) Для першого доданку використовували формулу скороченого множення . У доданку – розкрили дужки.

(3) Акуратно звели у квадрат, не забуваючи, що

(4) Перегрупування доданків: спочатку переписуємо доданки, в яких немає уявної одиниці (перша група), потім доданки, де є (друга група). Слід зазначити, що перетасовувати доданки не обов'язково, і цей етап можна пропустити (фактично виконавши його усно).

(5) У другої групи виносимо за дужки.

В результаті наша функція виявилася у вигляді

Відповідь:
- дійсна частина функції.
- Уявна частина функції.

Що це вийшло за функції? Найбільш що ні є прості функціїдвох змінних, від яких можна знайти такі популярні приватні похідні. Без пощади знаходити будемо. Але трохи згодом.

Коротко алгоритм вирішеної задачі можна записати так: у вихідну функцію підставляємо, проводимо спрощення і ділимо всі складові на дві групи - без уявної одиниці (дійсна частина) і з уявною одиницею (уявна частина).

Знайти дійсну та уявну частину функції

Це приклад для самостійного рішення. Перед тим як з шашками наголо кинутись у бій на комплексній площині, дозвольте дати самий важлива порадапо темі:

БУДЬТЕ УВАЖНІ! Уважним треба бути, звичайно, скрізь, але в комплексних числах слід бути уважним як ніколи! Пам'ятайте, що акуратно розкривайте дужки, нічого не втрачайте. За моїми спостереженнями найпоширенішою помилкою є втрата знака. Не поспішайте!

Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Тепер куб. Використовуючи формулу скороченого множення, виведемо:
.

Формули дуже зручно використовувати практично, оскільки вони значно прискорюють процес рішення.

Диференціювання функцій комплексної змінної.
Умови Коші-Рімана

У мене є дві новини: хороша та погана. Почну з гарної. Для функції комплексної змінної справедливі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функций. Таким чином, похідна береться так само, як і у випадку функції дійсної змінної .

Погана новинаполягає в тому, що для багатьох функцій комплексної змінної похідної не існує взагалі, і доводиться з'ясовувати, чи та чи інша функція диференціюється. А «з'ясовувати», як чує ваше серце, пов'язане із додатковими заморочками.

Розглянемо функцію комплексної змінної. Для того щоб дана функціябула диференційована необхідно і достатньо:

1) Щоб існували приватні похідні першого порядку. Про ці позначення відразу забудьте, оскільки в теорії функції комплексного змінного традиційно використовується інший варіант запису: .

2) Щоб виконувались звані умови Коши-Римана:

Тільки в цьому випадку буде похідна!

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. У разі виконання умов Коші-Рімана знайти похідну функції.

Рішення розкладається на три послідовні етапи:

1) Знайдемо дійсну та уявну частину функції. Це завдання було розібрано у попередніх прикладах, тому запишу без коментарів:

Оскільки , то:

Таким чином:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Зупинюся ще на одному технічному моменті: у якому порядку записувати доданки в дійсній та уявній частинах? Так, в принципі, не має значення. Наприклад, дійсну частину можна записати так: , А уявну – так: .

3) Перевіримо виконання умов Коші Рімана. Їх два.

Почнемо з перевірки умови. Знаходимо приватні похідні:

Таким чином, умова виконана.

Безперечно, приємна новина – приватні похідні майже завжди дуже прості.

Перевіряємо виконання другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знакамитобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція диференційована.

3) Знайдемо похідну функції. Похідна теж дуже проста і знаходиться за звичайними правилами:

Уявна одиниця при диференціюванні вважається константою.

Відповідь: - дійсна частина, - Уявна частина.
Умови Коші-Рімана виконані.

Інтеграл ФКП. Теорема Коші.

Формула ( 52 ) називається інтегральною формулоюКоші чи інтегралом Коші. Якщо як контур в ( 52 ) вибрати коло , то, замінюючи і враховуючи, що - диференціал довжини дуги, інтеграл Коші можна у вигляді формули середнього значення.

Функції комплексної змінної.
Диференціювання функцій комплексної змінної.

Ця стаття відкриває серію уроків, на яких я розгляну типові завдання, пов'язані з теорією функцій комплексної змінної Для успішного освоєння прикладів необхідно мати базовими знаннямипро комплексні числа. З метою закріплення та повторення матеріалу достатньо відвідати сторінку. Також знадобляться навички знаходження приватних похідних другого порядку. Ось вони якісь, ці приватні похідні… навіть сам зараз трохи здивувався, наскільки часто зустрічаються…

Тема, яку ми починаємо розбирати, не становить особливих складнощів, і в функціях комплексної змінної, в принципі, все зрозуміло та доступно. Головне, дотримуватись основного правила, яке виведено мною досвідченим шляхом. Читайте далі!

Поняття функції комплексної змінної

Спочатку освіжимо знання про шкільну функцію однієї змінної:

Функція однієї змінної-це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне значення функції. Природно, «ікс» та «ігрок» – дійсні числа.

У комплексному випадку функціональна залежність визначається аналогічно:

Однозначна функція комплексної змінної- це правило, за яким кожному комплексномузначення незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне комплекснезначення функції. Теоретично розглядаються також багатозначні та інші типи функцій, але для простоти я зупинюся однією визначенні.

Чим відрізняється функція комплексної змінної?

Головна відмінність: числа комплексні. Я не іронізую. Від таких питань нерідко впадають у ступор, наприкінці статті історію прикольну розповім. На уроці Комплексні числа для чайниківми розглядали комплексне число у вигляді. Бо зараз літера «зет» стала змінної, то її ми позначатимемо так: , у своїй «ікс» і «игрек» можуть приймати різні дійснізначення. Грубо кажучи, функція комплексної змінної залежить від змінних і , які набувають «звичайних» значень. З цього факту логічно випливає наступний пункт:

Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді:
, де і – дві функції двох дійснихзмінних.

Функція називається дійсною частиноюфункції.
Функція називається уявною частиноюфункції.

Приклад 1

Рішення:Незалежна змінна «зет», як пам'ятаєте, записується як , тому:

(1) У вихідну функцію підставили.

(2) Для першого доданку використовували формулу скороченого множення . У доданку – розкрили дужки.

(3) Акуратно звели у квадрат, не забуваючи, що

(4) Перегрупування доданків: спочатку переписуємо доданки , в яких немає уявної одиниці(перша група), потім доданки, де є (друга група). Слід зазначити, що перетасовувати доданки не обов'язково, і цей етап можна пропустити (фактично виконавши його усно).

(5) У другої групи виносимо за дужки.

В результаті наша функція виявилася у вигляді

Відповідь:
- дійсна частина функції.
- Уявна частина функції.

Що це вийшло за функції? Найбільш звичайні функції двох змінних, від яких можна знайти такі популярні приватні похідні. Без пощади знаходити будемо. Але трохи згодом.

Приклад 2

Знайти дійсну та уявну частину функції

Це приклад самостійного рішення. Перед тим як з шашками наголо кинутися в бій на комплексній площині, дозвольте дати найважливішу пораду на тему:

БУДЬТЕ УВАЖНІ!Уважним треба бути, звичайно, скрізь, але в комплексних числах слід бути уважним як ніколи! Пам'ятайте, що акуратно розкривайте дужки, нічого не втрачайте. За моїми спостереженнями найпоширенішою помилкою є втрата знака. Не поспішайте!

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Тепер куб. Використовуючи формулу скороченого множення, виведемо:
.

Формули дуже зручно використовувати практично, оскільки вони значно прискорюють процес рішення.

Диференціювання функцій комплексної змінної.

Погана новина полягає в тому, що для багатьох функцій комплексної змінної похідної немає взагалі, і доводиться з'ясовувати, чи диференційованата чи інша функція. А «з'ясовувати», як чує ваше серце, пов'язане із додатковими заморочками.

Розглянемо функцію комплексної змінної. Для того, щоб ця функція була диференційована, необхідно і достатньо:

2) Щоб виконувалися так звані умови Коші-Рімана:

Тільки в цьому випадку буде похідна!

Приклад 3

Рішеннярозкладається на три послідовні етапи:

Оскільки , то:

Таким чином:

- Уявна частина функції.

Зупинюся ще на одному технічному моменті: В якому порядкузаписувати доданки в дійсній та уявній частинах? Так, в принципі, не має значення. Наприклад, дійсну частину можна записати так: , А уявну – так: .

2) Перевіримо виконання умов Коші Рімана. Їх два.

Почнемо з перевірки умови. Знаходимо приватні похідні:

Таким чином, умова виконана.

Безперечно, приємна новина – приватні похідні майже завжди дуже прості.

Перевіряємо виконання другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція диференційована.

3) Знайдемо похідну функції. Похідна теж дуже проста і знаходиться за звичайними правилами:

Уявна одиниця при диференціюванні вважається константою.

Відповідь: - дійсна частина, - Уявна частина.
Умови Коші-Рімана виконані.

Існують ще два способи знаходження похідної, вони звичайно застосовуються рідше, але інформація буде корисна для розуміння другого уроку – Як знайти функцію комплексної змінної?

Похідну можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Таким чином

Має бути вирішити зворотне завдання- В отриманому вираженні потрібно вичленувати. Для того, щоб це зробити, необхідно до доданків і винести за дужку:

Зворотня діяВиконувати трохи важче, для перевірки завжди краще взяти вираз і на чернетці або усно розкрити назад дужки, переконавшись, що вийде саме

Дзеркальна формула для знаходження похідної:

В даному випадку: тому:

Приклад 4

Коротке рішеннята зразковий зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Чи завжди виконуються умови Коші-Рімана? Теоретично вони частіше не виконуються, аніж виконуються. Але в практичні прикладия не пригадаю випадку, щоб вони не виконувалися =) Таким чином, якщо у вас «не зійшлися» приватні похідні, то з дуже великою ймовірністю можна сказати, що ви десь припустилися помилки.

Ускладнимо наші функції:

Приклад 5

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити

Рішення:Алгоритм рішення повністю зберігається, але в кінці додасться новий пункт: знаходження похідної в точці. Для куба потрібна формула вже виведена:

Визначимо дійсну та уявну частини цієї функції:

Увага та ще раз увага!

Оскільки , то:

Таким чином:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Перевірка другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція є диференційованою:

Обчислимо значення похідної у потрібній точці:

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані,

Функції з кубами зустрічаються часто, тому приклад закріплення:

Приклад 6

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити.

Рішення та зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Теоретично комплексного аналізу визначено та інші функції комплексного аргументу: експонента, синус, косинус тощо. Дані функції мають незвичайні і навіть химерні властивості – і це дійсно цікаво! Дуже хочеться розповісти, але тут, так уже вийшло, не довідник чи підручник, а решебник, тому я розгляну те саме завдання з деякими поширеними функціями.

Спочатку про так звані формулах Ейлера:

Для будь-кого дійсногочисла справедливі такі формули:

Також можете переписати в зошит як довідковий матеріал.

Строго кажучи, формула лише одна, але зазвичай для зручності пишуть і окремий випадокз мінусом у показнику. Параметр не повинен бути самотньою літерою, як може виступати складний вираз, функція, важливо лише, щоб вони приймали тільки дійснізначення. Власне, ми це побачимо прямо зараз:

Приклад 7

Знайти похідну.

Рішення:Генеральна лінія партії залишається непохитною – необхідно виділити дійсну та уявну частини функції. Наведу докладне рішення, і нижче закоментую кожен крок:

Оскільки , то:

(1) Підставляємо замість "зет".

(2) Після підстановки потрібно виділити дійсну та уявну частину спочатку у показникуекспонентів. Для цього розкриваємо дужки.

(3) Групуємо уявну частину показника, виносячи уявну одиницюза дужки.

(4) Використовуємо шкільна діязі ступенями.

(5) Для множника використовуємо формулу Ейлера, при цьому.

(6) Розкриваємо дужки, в результаті:

- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Подальші діїстандартні, перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Приклад 9

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Похідну, так і бути, знаходити не станемо.

Рішення:Алгоритм рішення дуже схожий на попередні два приклади, але є дуже важливі моментитому початковий етапя знову закоментую покроково:

Оскільки , то:

1) Підставляємо замість "зет".

(2) Спочатку виділяємо дійсну та уявну частину усередині синуса. З цією метою розкриваємо дужки.

(3) Використовуємо формулу, при цьому .

(4) Використовуємо парність гіперболічного косинуса: і непарність гіперболічного синуса : . Гіперболіки, хоч і не від цього світу, але багато в чому нагадують аналогічні тригонометричні функції.

В підсумку:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Увага!Знак «мінус» відноситься до уявної частини, і його в жодному разі не втрачаємо! Для наочної ілюстраціїотриманий результат можна переписати так:

Перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Умови Коші-Рімана виконані.

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані.

З косинусом, пані та панове, знаємося самостійно:

Приклад 10

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Я спеціально підібрав приклади складніше, оскільки з чимось начебто все впораються, як із очищеним арахісом. Заодно увагу потренуєте! Горіхокол наприкінці уроку.

Ну і насамкінець розгляну ще один цікавий прикладколи комплексний аргумент знаходиться в знаменнику. Пару разів у практиці зустрічалося, розберемо щось просте. Ех, старію…

Приклад 11

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Рішення:Знову необхідно виділити дійсну та уявну частину функції.
Якщо то

Виникає питання, що робити, коли «зет» перебуває у знаменнику?

Все нехитро - допоможе стандартний прийом множення чисельника та знаменника на сполучене вираз, він уже застосовувався на прикладах уроку Комплексні числа для чайників. Згадуємо шкільну формулу. У знаменнику у нас вже є, значить, сполученим виразом буде. Таким чином, потрібно помножити чисельник і знаменник на:

Умова риманської коші для функції. Похідна ФКП

Доказ критерію Коші збіжності послідовності

Доказ необхідності

Доказ достатності

Транскрипт

Функції комплексної змінної. Диференціювання функцій комплексної змінної.

Поняття функції комплексної змінної

Диференціювання функцій комплексної змінної.

Функції комплексної змінної.
Диференціювання функцій комплексної змінної.