Що називається паралельною проекцією точки. Паралельні проекції та їх основні властивості

Розглянуті питання:

• 1. Поняття про проектування
• 4. Метод Монжу
• 5. Аксонометрична проекція

Поняття про проектування.Зображення предметів на кресленнях отримують проектуванням . Проектування є процес побудови зображення предмета на площині за допомогою проектуючих променів. Внаслідок цього процесу виходить зображення, зване проекцією.

Слово «проекція» у перекладі з латинської означає кидання вперед, у далечінь. Проекцію можна спостерігати, розглядаючи тінь, яка відкидається предметом на поверхню стіни при освітленні цього предмета джерелом світла. комп'ютерний графікапроектування ескізування

Під проектуванням мається на увазі процес, у результаті виходять зображення (проекції на площині), тобто. коли через характерні точки фігури проводяться промені до їх перетину з площиною, і отримані точки від перетину променів з площиною з'єднують прямими або кривими лініями відповідним чином.

Центральне (конічне) проектування.У просторі буде площина П1, назвемо її площиною проекції чи картинною площиною. Візьмемо якусь точку S, яка не належить площині проекції П1. Назвемо її центром проекції (Рис. 19).

Щоб спроектувати фігуру АВС, звану оригіналом, треба провести з точки S через точки А, В, С прямі, які називають проецірующими променями, до перетину їх з площиною П1 в точках А1, В1, С1. Поєднавши їх послідовно прямими лініями, отримаємо фігуру А1В1С1. Це буде центральна проекція А1В1С1 цієї фігури АВС на площину проекції П1.

Рис.19.

Паралельне (циліндрове) проектування.При паралельному проектуванні, як і у випадку центрального проектування, беруть площину проекцій П1, а замість центру проекцій S задають напрямок проектування.

Задаємо напрямок проектування S не паралельно площині П1, вважаючи, що точка S - центр проектування - видалена в нескінченність. Оригінал проектування та сама фігура АВС, розташована у просторі. Щоб спроектувати фігуру АВС, проводимо через точки А, В, С паралельно напрямку проеціювання S проецірующие промені до перетину їх з площиною проекцією П1 в точках А1, В1, С1. Крапки А1,В1,С1 з'єднаємо прямими лініями, отримаємо фігури А1В1С1; це буде паралельна проекція фігури АВС на площину П1. Такий процес паралельного проектування (Рис. 20).

Рис.20.

Якщо оригіналом є пряма лінія, то всі проецірующие промені точок цієї прямої розташовуватимуться в одній площині, званої проецирующей площиною.

Площина Р, яка проходить через проецірующие прямі ВВ1 і СС1, перетинає площину проекції П1 прямою. Цю пряму можна розглядати як проекцію прямої, заданою точкамиВ і С. Залежно від напрямку проектування S до площини проекцій паралельне проектування поділяють на прямокутні (ортогональні) та косокутні проектування (Рис. 21).

Рис.21 Прямокутне та косокутне проектування

Прямокутне проектування , коли напрямок проектування S з площиною проекцій становить прямий кут (Рис. 21а).

Косокутне проектування , Коли напрямок проектування становить з площиною проекції кут менше 90? (Рис. 21б).

Метод Монжу. Відомості та прийоми побудов, що обумовлюються потребою в плоских зображеннях просторових форм, накопичувалися поступово ще з давніх часів. Протягом тривалого періоду плоскі зображеннявиконувались переважно як наочні зображення. З розвитком техніки першорядне значення набуло питання про застосування методу, що забезпечує точність і зручність вимірювання зображень, тобто можливість точно встановити місце кожної точки зображення щодо інших точок або площин і шляхом простих прийоміввизначити розміри відрізків ліній та фігур. Поступово накопичені окремі правила та прийоми побудов таких зображень були приведені в систему та розвинені у праці французького вченого Гаспара Монжа, виданому 1799 року.

Прямокутне проектування є окремий випадокпаралельного проектування. Метод ортогональних проекцій називають методом Монжа . Цей метод є найпоширенішим при складанні технічних креслень. Він не дає наочності зображення, але є простим і зручним при виконанні креслення і дає високу точність. Метод Монжу - це прямокутна паралельна проекція на дві взаємно перпендикулярні площиніпроекцій. Такий комплекс двох пов'язаних між собою ортогональних проекцій виявляє положення предмета, що проектується в просторі. Викладений Монжем метод забезпечує виразність, точність і зручність вимірювання зображень предметів на площині, був і залишається основним методом складання технічних креслень (рисунок 22).

Слово прямокутний часто замінюють словом ортогональний, утвореним із слів давньогрецької мови, Що позначають "прямий" і "кут". У подальшому викладі термін ортогональні проекції застосовуватиметься для позначення системи прямокутних проекційна взаємно перпендикулярних площинах. На малюнку 22 зображено дві взаємно перпендикулярні площині. Приймемо їх за поверхні проекцій. Одна з них, позначена літерою П1, розташована горизонтально; інша, позначена літерою П2, - вертикально. Цю площину називають фронтальною площиною проекцій, площину П1 називають горизонтальною площиноюпроекцій . Площини проекцій П1 і П2 утворюють систему П1, П2.

Лінія перетину площин проекцій називається віссю проекцій . Вісь проекцій поділяє кожну з площин П1 і П2 на півплощині. Для цієї осі будемо застосовувати позначення х або позначення у вигляді дробу П2/П1.

Рис.22.

Аксонометрична проекція. Якщо предмет із віднесеними до нього осями прямокутних координатрозташувати перед площиною проекцій та проектувати паралельними променямина одну площину, яку в цьому випадку називають картинною, отримують аксонометричну проекцію.

На рис. 23 показані куб, віднесені до нього осі прямокутних координат х0, у0, z0, площина проекцій Р і аксонометричне зображеннякуб.

Рис.23. Освіта аксонометричних проекцій: а і б - фронтальної диметричної; в і г - ізометричної

Аксонометрія - Слово грецьке, у перекладі означає вимір по осях. При побудові аксонометричних проекцій розміри відкладають уздовж осей х, у, z.

Аксонометричні проекції досить наочні, у деяких випадках вони застосовуються пояснення прямокутних проекцій складних машин і механізмів та його окремих деталей. При аксонометричному проектуванні фігура зв'язується з просторовою системоюкоординатних осей, потім цю фігуру з осями координат проектують однією площину. Цю площину називають площиною аксонометричних проекцій.

Аксонометричні проекції, отримані прямокутним проектуванням фігури з координатними осями, називають прямокутними, а отримані при косокутному проектуванні - косокутними.

Площиною проекцій називають площину, де отримують проекцію предмета.

• При будь-якому вигляді проекції відрізок прямої перетворюється на відрізок прямої (у виродженому разі - коли відрізок лежить на проекційному промені - у крапку); пряма може перейти у пряму чи промінь.
• Ця властивість помітно спрощує застосування проекції в образотворчих цілях, особливо в технічному кресленніколи об'єкт містить багато прямолінійних елементів. У останньому випадкуДосить спроектувати кінці відрізків і з'єднати їх на кресленні прямими.
• Еліпс або коло переходять в еліпс (у виродженому випадку - у відрізок або коло).

Проекція із довільного простору на його підпростір[ | ]

Проекція в цьому сенсі (згадана у вступі в пункті 2) - широко застосовується в лінійній алгебрі (докладніше, див.: Проекція (лінійна алгебра)), але на практиці не тільки в абстрактних контекстах, але і при роботі з векторами будь-якої природи, розмірності та ступеня абстракції, і навіть у елементарній геометрії, а також – дуже широко – при використанні прямолінійних координат(як прямокутних чи афінних).

Окремо слід згадати проекцію точки на пряму та проекцію вектора на пряму (на напрямок).

Ортогональна проекція на пряму та на напрямок[ | ]

Найчастіше використовується ортогональна проекція.

Термін проекціяу цьому сенсі використовується і щодо самої операції проектування, і щодо її результату (при операції проектування на пряму образи точки, вектора, множини точок називаються проекцією точки, вектора, множини точок на цю пряму).

Елементарний опис ортогональної проекції точки на пряму зводиться до того, що з точки на пряму слід опустити перпендикуляр, і його перетин з прямої дасть образ точки (проекцію точки на цю пряму). Це визначення працює і на площині, і в тривимірному просторі, і просторі будь-якої розмірності.

Елементарне визначення проекції вектора на пряму найлегше дати, представивши вектор спрямованим відрізком. Тоді на пряму можна спроектувати його початок і його кінець і спрямований відрізок від проекції початку до проекції кінця вихідного вектора дасть його проекцію на пряму.

Проекцією вектора на деякий напрямок зазвичай називають число, що збігається по абсолютної величиниз довжиною проекції цього вектора на пряму, що визначає цей напрямок; знак числа вибирається так, що воно вважається позитивним, коли напрямок цієї проекції збігається з цим напрямком, і негативним, коли напрямок протилежний.

Неортогональна проекція на пряму та на напрямок[ | ]

Неортогональна проекція використовується рідше, до того ж, навіть при використанні, особливо в елементарних контекстах, цей термін не завжди використовується.

Найпростіше не ортогональну проекціюна пряму можна задати, задаючи саму цю пряму і площину (у двовимірному випадку - замість площини іншу пряму, у разі n-мірного простору - гіперплощина розмірності ( n-1)), що перетинає пряму. Проекція точки визначається як перетин площини (гіперплощини), що містить цю точку і паралельну площині, що задає проекцію.

У випадку, коли площина (гіперплощина), що задає проекцію, ортогональна пряма, ми отримуємо ортогональну проекцію (це може бути її альтернативним визначенням). Тому, власне, для неортогональної проекції треба вимагати, щоб ця ортогональність була відсутня.

Для неортогональної проекції вектора на пряму і напрямок визначення виходять, виходячи з наведеного визначення проекції точки, прямо аналогічно тому, як це було описано в параграфі про ортогональної проекції.

• Треба, щоправда, пам'ятати, що за умовчанням під проекцією вектора на пряму чи напрямок розуміється все-таки ортогональна проекція.

Проте поняття неортогонального проектування може бути корисним (принаймні, якщо не боятися термінологічної плутанини) для введення косокутних координат та роботи з ними (через них може бути в принципі досить легко визначено поняття координат точки та координат вектора у цьому випадку).

Вступ

Усі розділи накреслювальної геометрії користуються одним методом – методом проектування, тому креслення, що застосовуються не тільки в накреслювальній геометрії, називаються проекційні креслення.

Метод проектування полягає в тому, що будь-яка з точок безлічі точок простору може бути спроектована за допомогою променів, що проектують, на будь-яку поверхню. Для цього представимо деяку задану поверхню(рис.1) та точку Ав просторі. При проведенні променя Sчерез точку Ау напрямку поверхні останній перетне її в точці А 1 . Крапку Аназивають точкою, що проектується. Площина α, де отримують проекцію, називають площина проекцій. Точка перетину променя з площиною називається проекцією точки А. Пряма АА 1 (промінь), називається проеціюючим променем.

Центральний (конічний або полярний) метод проектування заснований на тому, що при проектуванні на площину ряду точок ( А, B, Cі т.д.) всі проєцірующие промені проходять через одну точку, звану центром проектування, або полюсом.

Представимо у просторі трикутник АВСі проецірующие промені, що проходять через цей полюс Sі через крапки АВСтрикутника, проведені до перетину із площиною α. Трикутник А 1 B 1 C 1 буде центральною проекцією трикутника АВС(Рис.2).

Метод центрального проектування не задовольняє цілу низку умов, необхідних для технічного креслення, а саме: не дає однотипності зображення, повної ясності всіх геометричних форм, не має зручності вимірювання, не має простоти зображення.

Метод паралельного (косокутного) проектування полягає в тому, що всі проецірующие промені, що проходять через точки трикутника АВС, Будуть паралельні між собою (рис.3). Цей метод випливає з методу центрального проектування, при цьому полюс має бути видалено на нескінченно велика відстаньвід площини, яку проектується предмет.

Ортогональний (прямокутний) метод проектування – метод, коли проєкуючі промені паралельні між собою та перпендикулярні до площини проекцій (рис.4). Цей метод- окремий випадок паралельного проектування.

Таким чином, будь-яка точка простору може бути спроектована на площині проекцій: на горизонтальну П 1 фронтальну П 2 і профільну П 3 . Горизонтальна проекція точки позначається А 1 або А′, фронтальна А 2 або А″, профільна А 3 або А′″ (рис.5).

У завданнях з геометрії успіх залежить тільки від знання теорії, а й від якісного креслення.
З плоскими кресленнями все більш-менш зрозуміло. А в стереометрії справа складніша. Адже зобразити треба тривимірнетіло на плоскомукресленні, причому так, щоб і ви самі, і той, хто дивиться на ваше креслення, побачили б те ж об'ємне тіло.

Як це зробити?
Звісно, ​​будь-яке зображення об'ємного тіла на площині буде умовним. Однак існує певний набірправил. Існує загальноприйнятий спосіб побудови креслень. паралельне проектування.

Візьмемо об'ємне тіло.
Виберемо площина проекції.
Через кожну точку об'ємного тіла проведемо прямі, паралельні один одному і проекції, що перетинають площину, під яким-небудь кутом. Кожна з цих прямих перетинає площину проекції будь-якої точки. А всі разом ці точки утворюють проекціюоб'ємного тіла на площину, тобто його плоске зображення.

Як будувати проекції об'ємних тіл?
Уявіть, що у вас є каркас об'ємного тіла призми, піраміди або циліндра. Висвітлюючи його паралельним пучком світла, отримуємо зображення – тінь на стіні чи екрані. Зауважимо, що в різних ракурсах виходять різні зображення, але деякі закономірності все ж таки присутні:

Проекцією відрізка буде відрізок.

Звичайно, якщо відрізок перпендикулярний до площини проекції — він відобразиться в одну точку.

Проекцією кола в загальному випадкувиявиться еліпс.

Проекцією прямокутника – паралелограм.

Ось як виглядає проекція куба на площину:

Тут передня та задня грані паралельні площині проекції

Можна зробити по-іншому:

Який би ракурс ми не вибрали, проекціями паралельних відрізківна кресленні теж будуть паралельні відрізки. Це один із принципів паралельного проектування.

Малюємо проекції піраміди,

циліндра:

Ще раз повторимо основний принцип паралельного проектування. Вибираємо площину проекції та через кожну точку об'ємного тіла проводимо паралельні один одному прямі. Ці прямі перетинають площину проекції під будь-яким кутом. Якщо цей кут дорівнює 90° мова йдео прямокутному проектуванні. За допомогою прямокутного проектування будуються креслення об'ємних деталей у техніці. У цьому випадку ми говоримо про вид зверху, вид спереду і вид збоку.

Лекція № 1. Відомості про проекції

Нарисною геометрією називають науку, яка є теоретичним фундаментомкреслення. У цій науці вивчаються методи зображення на площині різних тілта їх елементів. Ці зображення дозволяють однозначно визначити форму та розміри виробу та виготовити його. Працюючи з кресленнями виконуються два види робіт: підготовка креслень та його читання.

Читання креслення полягає у відтворенні в думці реальної формиоб'єкта та деяких його частин з використанням при цьому креслення.

Нарисна геометрія ґрунтується на методі проекцій.

Проекцією точки Мна деякій площині називають зображення, яке будується в наступній послідовності (рис. 1).

Через дану точкуМ необхідно провести пряму, яка не паралельна даній площині. Точку перетину даної прямої та площини назвемо точкою m. Отримана точка m буде проекцією точки М дану площину. Пряму Mmназивають проектує прямий, а дана площинаназивається площиною зображення.

Подібним чином можна отримати проекції різних фігур як проекції кожної з його точок. Спосіб побудови визначає вид проекції: центральну чи паралельну.

Уявлення про центральної проекціїможна отримати, якщо вивчити зображення, яке дає людське око.

Для побудови центральної проекції об'єкта потрібно між оком і предметом, що вивчається, помістити прозорий екран і відзначити на ньому точки перетину променів, які йдуть від ока людини до окремим точкампредмета. При з'єднанні всіх точок на екрані отримуємо зображення (проекцію) фігури (рис. 2). Ця проекція називається центральною.

Центральна проекція– це проекція, яка утворюється за допомогою променів, що проектуються, що проходять через одну точку.

Зображення предметів за допомогою центральної проекції зустрічається дуже часто, особливо для предметів, що мають великі розміри.

Паралельна проекція- це такий вид проекції, при побудові якого використовуються паралельні проеці, що проеціюються.

При побудові паралельних проекцій слід задати напрямок проектуючих променів (рис. 3). на даному прикладіяк напрямний промень обраний промінь l. При побудові зображень всі точки проводяться прямі, паралельні встановленому напрямку проектування, до точки перетину з площиною проекції. З'єднуючи отримані точки, отримуємо паралельну проекцію предмета.

Паралельні проекції можуть бути ортогональними або косокутними залежно від напрямку проеціювання, що проектує.

Проекція називається ортогональні, якщо проєчуючий промінь перпендикулярний площині.

Проекція називається косокутної, якщо кут нахилу проектуючих променів спрямований щодо площини під кутом, відмінним від прямого.

Зображення, отримане за допомогою паралельної проекції, набагато менше спотворене, ніж зображення, отримане центральною проекцією.