Циліндр із циліндричним отвором. Визначення та властивості циліндра

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме внаслідок їхньої діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток у Стародавню Грецію. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасний вигляд. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємних фігурах.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми повсякденному життідостатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точкиотримали назву «утворюючі».

Важливо, що основи циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множиниутворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один із елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндраутворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо даний кутвідрізняється від 90 °, циліндр - похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

У даному випадку, В результаті обертання фігури - прямокутника - виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні звичайного прямого кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ та бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі основи (адже їх дві) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частинаємностей для води виготовлена у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у разі прямому циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична формачастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме внаслідок їхньої діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток у Стародавній Греції. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасного вигляду. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємні фігури.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми у повсякденному житті достатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множини утворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад, основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.

Що таке поверхня обертання

В даному випадку, в результаті обертання фігури – прямокутника – виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні прямого звичайного кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ і бічної поверхні.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі підстави (адже їх два) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частина ємностей для води виготовлена у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Така геометрична форма найчастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Обмежене циліндричною поверхнею та двома паралельними площинами, що перетинають її.

Пов'язані визначення

Циліндрична поверхня- поверхня, одержувана при русі прямої (утворюючої), паралельної до будь-якої заданої, що перетинає криву лінію (напрямну), що лежить у не паралельній заданій прямій площині. Плоскі фігури, утворені перетином циліндричної поверхні з двома паралельними площинами, називаються основами циліндра. Циліндрична поверхня між площинами основ називається бічною поверхнеюциліндра. У разі паралельності площини основи та площини напрямної, межа основи формою збігатиметься з напрямною.

Типи

У більшості випадків під циліндром мається на увазі прямий круговий циліндр, у якого напрямна - коло і підстави перпендикулярні до утворює. Такий циліндр має вісь симетрії.

Інші види циліндра - (по нахилу утворює) косою або похилий (якщо утворює стосується основи не під прямим кутом); (за формою основи) еліптичний, гіперболічний, параболічний.

Призма також є різновидом циліндра – з основою у вигляді багатокутника.

Площа поверхні циліндра

Площа бічної поверхні

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює довжині твірної, помноженої на периметр перерізу циліндра площиною, перпендикулярною твірної.

Площа бічної поверхні прямого циліндра обчислюється за його розгорткою. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою $h$ та довжиною $P$ , рівної периметруоснови. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:

$S_b = P h$

Зокрема, для прямого кругового циліндра:

$P = 2 \pi R$ , і $S_b = 2 \pi R h$

Для похилого циліндра площа бічної поверхні дорівнює довжині утворює, помноженої на периметр перерізу, перпендикулярного утворює:

$S_b = P_(\perp) h$

Простий формули, що виражає площу бічної поверхні косого циліндра через параметри основи та висоту, на відміну від об'єму не існує. Для похилого кругового циліндра можна скористатися наближеними формулами для периметра еліпса, а потім помножити отримане значення на утворюючу довжину.

Площа повної поверхні

Площа повної поверхніциліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та його основ.

Для прямого кругового циліндра: $S_(p) = 2 \pi R h +2 \pi R^2 = 2\pi R (h+R)$

Об'єм циліндра

Для похилого циліндра існують дві формули:

Об `єм дорівнює довжиніутворюючою, помноженою на площу перерізу циліндра площиною, перпендикулярною до утворюючої. $V=S_(perp)l$ ,
Об `єм дорівнює площіоснови, помноженої на висоту (відстань між площинами, в яких лежать основи): $V=Sh=Slsin(varphi)$ ,

де

l

- Довжина утворює, а

\varphi

- Кут між твірною і площиною основи. Для прямого циліндра

h=l

Для прямого циліндра $\ sin (\ varphi) = 1$ , $l=h$ і $S_(\perp) = S$ , і обсяг дорівнює:

$V=Sl=Sh$

Для кругового циліндра:

$V=\pi R^(2)h=\pi \frac(d^(2))(4)h$

де d- Діаметр основи.

Напишіть відгук про статтю "Циліндр"

Примітки

Уривок, що характеризує Циліндр

– Paris la capitale du monde… [Париж – столиця світу…] – сказав П'єр, закінчуючи його промову.
Капітан глянув на П'єра. Він мав звичку в середині розмови зупинитися і подивитись лагідними очима.
- Eh bien, si vous ne m'aviez pas dit que vous etes Russe, j"aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce… [Ну, якби ви мені не сказали, що ви росіянин, я б поставив заклад, що ви парижанин. У вас що є, ця…] – і, сказавши цей комплімент, він знову мовчки глянув.
– J'ai ete a Paris, j'y ai passe des annees, [Я був у Парижі, я провів там цілі роки,] – сказав П'єр.
- Oh ca se voit bien. Paris!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se sent a deux lieux. Paris, s'est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards, – і помітивши, що висновок слабший за попередній, він поспішно додав: – Il n'y a qu'un Paris au monde. eas reste Busse... Eh bien, je ne vous en estime pas moins... [О, це видно. Париж!.. Людина, яка не знає Парижа, – дикун. Сорбонна, бульвари... У всьому світі один Париж. Ви були в Парижі і залишилися російським.
Під впливом випитого вина і після днів, проведених на самоті зі своїми похмурими думками, П'єр відчував мимовільне задоволення в розмові з цією веселою та добродушною людиною.
– Pour en revenir a vos dames on les dit bien belles. Quelle fichue idee d'aller s'enterrer dans les steppes, quan l'armee francaise est a Moscú. Quelle chance elles o manque celles la. . Nous avons pris Vienne, Berlin, Madrid, Naples, Rome, Varsovie, toutes les capitales du monde… On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l"Empereur! [Але повернемося до ваших дам: кажуть, що вони дуже красиві. Що за безглузда думка поїхати закопатись у степу, коли французька арміяв Москві! Вони пропустили чудовий випадок. Ваші мужики, я розумію, але ви – люди освічені – мали б знати нас краще за це. Ми брали Відень, Берлін, Мадрид, Неаполь, Рим, Варшаву, усі столиці світу. Нас бояться, але люблять нас. Чи не шкідливо знати нас ближче. І потім імператор ...] - почав він, але П'єр перебив його.
- L"Empereur, - повторив П'єр, і обличчя його раптом привело сумний і збентежений вираз. - Est ce que l"Empereur?.. [Імператор… Що імператор?..]
– L'Empereur? C'est moi, Ram ball, qui vous le dit. Mon pere a ete comte emigre… Mais il m'a vaincu, cet homme. Il m'a empoigne. Це й "аї-па-реестр au spectacle de grandeur et de gloire dont il couvrait la France. me suis dit: voila un souverain, et je me suis donne a lui. Eh voila! [Імператор? Це великодушність, милосердя, справедливість, лад, геній – ось що таке імператор! Це я, Рамбалю, кажу вам. Таким, яким ви мене бачите, я був його ворогом вісім років тому. Мій батько був граф та емігрант. Але він переміг мене, цю людину. Він заволодів мною. Я не міг устояти перед видовищем величі та слави, яким він покривав Францію. Коли я зрозумів, чого він хотів, коли я побачив, що він готує для нас ложе лаврів, я сказав собі: Ось пан, і я віддався йому. І ось! О так, мій любий, це самий велика людинаминулих та майбутніх століть.]

Циліндр є геометричне тіло, обмежена двома паралельними площинами та циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.

У циліндра є три поверхні: вершина, основа, та бічна поверхня.

Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.

Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр це звичайна консервна банка, яка не має верхньої кришки і дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).

Після повного розкриттяОтримані банки ми побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.

Коли бічна стінкациліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола (L = 2πr) та висота циліндра (h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.

Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh

Площа повної поверхні циліндра

Зрештою, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхонь, ми отримаємо формулу площі повної поверхні циліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).

Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра

Приклади розрахунку площі поверхні циліндра

Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.

1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S бік. = 2πrh

S бік. = 2*3,14*2*3

S бік. = 6,28*6

S бік. = 37,68

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 37,68.

2. Як знайти площу поверхні циліндра, якщо висота дорівнює 4, а радіус 6?

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Площа поверхні циліндра дорівнює 376,8.

Циліндр (круговий циліндр) – тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл колів, - утворюють циліндра.

Основи циліндра рівні й лежать у паралельних площинах, а утворюють циліндри паралельні й рівні. Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бокову поверхню складають утворюючі.

Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні площинам основи. Циліндр можна як тіло, отримане при обертанні прямокутника навколо однієї зі сторін як осі. Існують інші види циліндра – еліптичний, гіперболічний, параболічний. Призму так само розглядають як різновид циліндра.

На малюнку 2 зображено похилий циліндр. Кола з центрами Про і Про є його основами.

Радіус циліндра – радіус його основи. Висота циліндра – відстань між площинами основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином. Площина, що проходить через форму прямого циліндра і перпендикулярна осьовому перерізу, Проведеному через цю утворюючу, називається дотичною площиною циліндра.

Площина, перпендикулярна до осіциліндра, що перетинає його бічну поверхнюпо колу, рівного колаоснови.

Призмою, вписаною в циліндр, називається така призма, основи якої – рівні багатокутники, вписані в основу циліндра. Її бічні ребрає утворюючими циліндра. Призма називається описаною біля циліндра, якщо її основи - рівні багатокутники, описані біля основ циліндра. Площини її граней стосуються бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра можна обчислити, помноживши довжину утворюючої на периметр перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.

Площу бічної поверхні прямого циліндра можна знайти по його розгортці. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою h і довжиною P, яка дорівнює периметру основи. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:

Зокрема, для прямого кругового циліндра:

P = 2πR, і S b = 2πRh.

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та її основ.

Для прямого кругового циліндра:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Для знаходження об'єму похилого циліндра є дві формули.

Можна знайти об'єм, помноживши довжину утворюючої на площу перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.

Об'єм похилого циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту (відстань між площинами, в яких лежать основи):

V = Sh = S l sin α,

де l – довжина утворюючої, а α – кут між утворюючою та площиною основи. Для прямого циліндра h = l.

Формула для знаходження об'єму кругового циліндра виглядає так:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

де d - Діаметр основи.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.