Математичне дослідження. Методична розробка на тему: математичні дослідження на уроках математики

Метод проектів, що має величезні можливості з формування универсальних навчальних дій, знаходить все більше широке розповсюдженняв системі шкільної освіти. Але "змістити" метод проектів у класно-урочну систему досить важко. Я вмикаю міні дослідження у звичайний урок. Така форма роботи відкриває великі можливості для формування пізнавальної діяльностіта забезпечує облік індивідуальних особливостейучнів, готує ґрунт у розвиток навичок над великими проектами.

Завантажити:

Попередній перегляд:

«Якщо учень у школі не навчився сам нічого творити, то й у житті він тільки наслідуватиме, копіюватиме, бо мало таких, які б, навчившись копіювати, вміли зробити самостійний додаток цих відомостей». Л.Н.Толстой.

Характерною рисою сучасної освіти є різке збільшенняобсягу інформації, яку потрібно засвоїти учням. A ступінь розвитку учня вимірюється та оцінюється його здатністю самостійно набувати нових знань та використовувати їх у навчальній та практичної діяльності. Сучасний педагогічний процесвимагає використання інноваційних технологійв навчанні.

ФГОС нового покоління вимагає використання у освітньому процесітехнологій діяльнісного типу, методи проектно-дослідницької діяльності визначено як одну з умов реалізації основної освітньої програми.

Особлива роль приділяється такій діяльності під час уроків математики і це випадково. Математика є ключем до пізнання світу, базою науково-технічного прогресу та важливою компонентоюрозвитку особистості. Вона покликана виховати в людині здатність зрозуміти зміст поставленої перед ним завдання, уміння логічно міркувати, засвоїти навички алгоритмічного мислення.

Помістити метод проектів до класно-урочної системи досить важко. Я намагаюся розумно поєднувати традиційну та особистісно-орієнтовану систему шляхом включення елементів дослідження у звичайний урок. Наведу низку прикладів.

Так щодо теми «Окружність» ми проводимо з учнями таке дослідження.

Математичне дослідження «Окружність».

1. Подумайте, як побудувати коло, які інструменти для цього потрібні. Позначення кола.
2. Для того щоб дати визначення кола подивимося, які властивості має ця геометрична фігура. З'єднаємо центр кола з точкою кола. Виміряємо довжину цього відрізка. Повторимо експеримент тричі. Зробимо висновок.
3. Відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою її точкою, називається радіусом кола. Це визначення радіусу. Позначення радіусу. Користуючись цим визначенням, побудуйте коло з радіусом 2см5мм.
4. Побудуйте коло довільного радіусу. Побудуйте радіус, виміряйте його. Запишіть результати вимірів. Побудуйте ще три різні радіуси. Скільки радіусів можна провести у колі.
5. Спробуємо, знаючи властивість точок кола, дати її визначення.
6. Побудуйте коло довільного радіусу. З'єднайте дві точки кола так, щоб цей відрізок проходив через центр кола. Цей відрізок називається діаметром. Дамо визначення діаметра. Позначення діаметра. Побудуйте ще три діаметри. Скільки діаметрів має коло.
7. Побудуйте коло довільного радіусу. Виміряйте діаметр та радіус. Порівняйте їх. Повторіть експеримент ще тричі з різними колами. Зробіть висновок.
8. З'єднайте дві будь-які точки кола. Отриманий відрізок називається хордою. Дамо визначення хорди. Побудуйте ще три хорди. Скільки хорд має коло.
9. Чи є радіус хордою. Доведіть.
10. Чи є діаметр хордою. Доведіть.

Роботи дослідницького характеруможуть мати пропедевтичний характер. Дослідивши коло можна розглянути ряд цікавих властивостей, які учні можуть сформулювати лише на рівні гіпотези, та був вже довести цю гіпотезу. Наприклад, таке дослідження:

«Математичне дослідження»

1. Побудуй коло радіуса 3 см і проведи її діаметр. З'єднай кінці діаметра з довільною точкою кола і виміряй кут утворений хордами. Проведи ті ж побудови ще для двох кіл. Що ти помічаєш?
2. Повтори експеримент для кола довільного радіусу та сформулюй гіпотезу. Чи можна вважати її доведеною за допомогою проведених побудов та вимірів.

Під час вивчення теми «Взаємне розташування прямих на площині» проводиться математичне дослідження у групах.

Завдання для груп:

1. Група.

1.В одній системі координат побудувати графіки функції

У = 2х, у = 2х +7, у = 2х +3, у = 2х-4, у = 2х-6.

2.Відповісти на запитання, заповнивши таблицю:

Вступ

Одним із напрямків удосконалення аналізу господарської діяльностіє впровадження економіко-математичних методів та сучасних ЕОМ. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, обґрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанта використання господарських ресурсів, виявлення та мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва

Математичні методиспираються на методологію економіко- математичного моделюваннята науково обґрунтовану класифікацію завдань аналізу господарської діяльності

Залежно від цілей економічного аналізу розрізняють такі економіко-математичні моделі: у детермінованих моделях – логарифмування, пайова участь, диференціювання; у стохастичних моделях – кореляційно-регресивний метод, лінійне програмування, теорію масового обслуговування, теорію графів.

Загальна характеристика математичних методів аналізу

Широке використання математичних методів є важливим напрямомвдосконалення економічного аналізу, що підвищує ефективність аналізу діяльності підприємств та їх підрозділів. Це досягається за рахунок скорочення термінів проведення аналізу, більш повного охоплення впливу факторів на результати комерційної діяльності, Заміни наближених або спрощених розрахунків точними обчисленнями, постановки та вирішення нових багатовимірних завдань аналізу, практично не здійсненних традиційними методами.

Застосування математичних методів у економічному аналізі діяльності підприємства потребує:

· системного підходу до вивчення економіки підприємств, обліку всієї безлічі істотних взаємозв'язків між різними сторонамидіяльності підприємств; у умовах сам аналіз дедалі більше набуває рис системного в кібернетичному значенні слова;

· Розробки комплексу економіко- математичних моделей, що відображають кількісну характеристикуекономічних процесів та завдань, які вирішуються за допомогою економічного аналізу;

· Вдосконалення системи економічної інформації про роботу підприємств;

· Наявності технічних засобів(комп'ютерів та ін.), що здійснюють зберігання, обробку та передачу економічної інформації з метою економічного аналізу;

· Організації комп'ютерного аналізу господарської діяльності, створення програмного забезпеченняаналізу у системі управління.

Рис. 1.

Вершиною сьогоднішнього дня у розвитку систем управління є ВРМ-системи ( Business Performance Management - Управління ефективністю бізнесу), тобто. системи, що дозволяють пов'язувати докупи всі функції управління. У рамках таких систем, наприклад, топ-менеджери мають можливість аналізувати та коригувати ці цифри та вносити свої нові дані. Системи дозволяють їм бачити та використовувати звітність суміжних підрозділів. Далі відкориговані та доповнені на нижньому рівні управління дані афішуються знову до загальнокорпоративного рівня. Весь процес двонаправленого планування оперативно повторюється до того часу, поки буде складено найбільш оптимальний план. ВРМ-системи дозволяють становити кілька версій плану (бюджету), звані гнучкі кошторису різні обсяги продажу з урахуванням можливих негативних чи позитивних незапланованих чинників. Так, у кризові моменти є можливість негайно перевести організацію на аварійний бюджет. При цьому часу на перегляд, узгодження всіх статей бюджету у розрізі всіх центрів витрат та відповідальності, звісно, ​​не буде. Слід зазначити, що основою для подальшого вдосконалення ВРМ-систем є їхнє методологічне та методичне аналітичне забезпечення.

Сформульована математично завдання економічного аналізу може бути вирішена одним із розроблених математичних методів. На рис. 1 представлена ​​зразкова схема основних математичних методів, якими ведуться роботи, використання їх у аналізі господарську діяльність підприємств.

Методи елементарної математикивикористовуються у традиційних економічних розрахунках при обгрунтуванні потреб у ресурсах, обліку витрат за виробництво, розробці планів, проектів, балансових розрахунках тощо. Виділення методів класичної вищої математики на схемі обумовлено тим, що вони застосовуються не тільки в інших методах, наприклад методів математичної статистикита математичного програмування, а й окремо. Так, факторний аналіз зміни багатьох економічних показниківможе бути здійснений за допомогою диференціювання та інтегрування.

Широке поширення в економічному аналізі мають методи математичної статистики та теорії ймовірностей. Ці методи застосовуються у випадках, коли зміна аналізованих показників можна як випадковий процес.

Статистичні методи як основний засіб вивчення масових явищ, що повторюються, грають важливу рольу прогнозуванні поведінки економічних показників. Коли зв'язок між аналізованими характеристиками не детермінований, а стохастичний, то статистичні та імовірнісні методи є практично єдиним інструментом дослідження. Найбільшого поширення з математико-статистичних методів в економічному аналізі набули методи множинного та парного кореляційного аналізу. Для вивчення одномірних статистичних сукупностейвикористовуються варіаційний ряд, закони розподілу, вибірковий метод. Для вивчення багатовимірних статистичних сукупностей застосовують кореляції, регресії, дисперсійний та факторний аналіз.

Економетричні методи будуються на синтезі трьох галузей знань: економіки, математики та статистики. Основа економетрії - економічна модель, під якою розуміється схематичне уявлення економічного явища чи процесу з допомогою наукової абстракції, відображення їх характерних рис. Найбільшого поширення набув метод аналізу витрати - випуск. Це матричні (балансові) моделі, що будуються за шаховою схемою і дозволяють у найбільш компактній формі уявити взаємозв'язок витрат і результатів виробництва. Зручність розрахунків та чіткість економічної інтерпретації – головні особливості матричних моделей. Це важливо під час створення систем автоматизованої обробкиданих, під час планування виробництва з використанням ЕОМ.

Математичне програмування - важливий розділсучасної прикладної математики. Методи математичного (насамперед лінійного програмуванняслужать основним засобом вирішення завдань; оптимізації господарської діяльності По суті ці методи є засіб планових розрахунків. Їхня цінність для економічного аналізу виконання планів полягає в тому, що вони дозволяють оцінювати напруженість планових завдань, визначати лімітуючі групи обладнання, види сировини та матеріалів, отримувати оцінки дефіцитності виробничих ресурсів тощо.

Під дослідженням операцій мають на увазі розробка методів цілеспрямованих процесів (операцій), кількісна оцінка отриманих рішень і вибір найкращого їх. Предметом дослідження операцій є економічні системи, зокрема господарську діяльність підприємств. Мета - таке поєднання структурних взаємозалежних елементів систем, яке в найбільшою міроювідповідає задачі отримання найкращого економічного показника із низки можливих.

Теорія ігор як розділ дослідження операцій - це теорія математичних моделей прийняття оптимальних рішень за умов невизначеності чи конфлікту кількох сторін, мають різні інтереси.

Теорія масового обслуговування досліджує на основі теорії ймовірностей математичні методи кількісної оцінкипроцесів масового обслуговування Так, будь-який із структурних підрозділів підприємства можна як об'єкт системи обслуговування.

Загальною особливістю всіх завдань, пов'язаних із масовим обслуговуваннямє випадковим характером досліджуваних явищ. Кількість вимог на обслуговування та часові інтервали між їх надходженням мають випадковий характер, їх не можна передбачити з однозначною визначеністю. Однак у своїй сукупності безліч таких вимог підпорядковується певним статистичним закономірностям, кількісне вивчення яких є предметом теорії масового обслуговування.

Економічна кібернетика аналізує економічні явища і процеси як дуже складних системз погляду законів та механізмів управління та руху інформації в них. Найбільшого поширення в економічному аналізі набули методи моделювання та системного аналізу.

У ряді випадків доводиться шукати рішення екстремальних завдань при неповному знанні механізму явища, що розглядається. Таке рішення знаходиться експериментально. В останні роки в економічній науціпосилився інтерес до формалізації методів емпіричного пошуку оптимальних умов протікання процесу, які використовують людський досвідта інтуїцію.

Евристичні методи – це неформалізовані методивирішення економічних завдань, пов'язаних з господарською ситуацією, що склалася, на основі інтуїції, минулого досвіду, експертних оцінок фахівців і т.д.

Для аналізу господарської діяльності багато методів з наведеної зразкової схемине знайшли практичного застосуванняі лише розробляються в теорії економічного аналізу. У підручнику розглядаються основні економіко-математичні методи, які вже застосовуються на практиці економічного аналізу. Застосування того чи іншого математичного методу в економічному аналізі спирається на методологію економіко-математичного моделювання господарських процесів та науково-обґрунтовану класифікацію методів та завдань аналізу.

За класифікаційною ознакою оптимальності всі економіко-математичні методи (завдання) поділяються на дві групи: оптимізаційні та не оптимізаційні. Якщо метод чи завдання дозволяє шукати рішення за заданим критерієм оптимальності, цей метод відносять до групи оптимізаційних методів. У разі коли пошук рішення ведеться без критерію оптимальності, відповідний метод відносять до групи не оптимізаційних методів.

За ознакою отримання точного рішення, всі економіко-математичні методи діляться на точні і наближені. Якщо алгоритм методу дозволяє отримати лише єдине рішення щодо заданого критерію оптимальності або без нього, то даний методвідносять до групи точних методів. У разі, коли при пошуку рішення використовується стохастична інформація і розв'язання задачі можна отримати з будь-яким ступенем точності, метод відносять до групи наближених методів. До групи наближених методів відносять такі, при застосуванні яких не гарантується отримання єдиного рішенняза заданим критерієм оптимальності.

Таким чином, використовуючи лише дві ознаки класифікації, всі економіко-математичні методи поділяються на чотири групи: 1) точні оптимізаційні методи; 2) оптимізаційні наближені методи;

3) не оптимізаційні точні методи; 4) не оптимізаційні наближені методи.

Так, до оптимізаційних точних методів можна віднести методи теорії оптимальних процесів, деякі методи математичного програмування та методи дослідження операцій. До оптимізаційних наближених методів належать окремі методи математичного програмування, методи дослідження операцій, методи економічної кібернетики, методи математичної теоріїпланування екстремальних експериментів; евристичні методи.

До не оптимізаційних точних методів належать методи елементарної математики та класичні методи математичного аналізу, економетричні методи До оптимізаційним наближеним методам ставляться метод статистичних випробувань та інші методи математичної статистики.

У схемі (див. рис. 1) були представлені укрупнені групи економіко-математичних методів, окремі методи цих груп використовуються для вирішення різних завданьяк оптимізаційних, так і не оптимізаційних; як точних, і наближених. Велике значенняв аналізі господарської діяльності має угруповання методів (завдань) балансових та факторних.

Балансові методи – це методи аналізу структури, пропорцій, співвідношень.

Економічний аналіз - це, перш за все факторний аналіз (у широкому значенні слова, а не лише у вигляді стохастичного факторного аналізу).

p align="justify"> Під економічним факторним аналізом розуміються поступовий перехід від вихідної факторної системи (результативний показник) до кінцевої факторної системи (або навпаки), розкриття повного набору прямих, кількісно вимірних факторів, що впливають на зміну результатного показника.

Розглянемо приблизну класифікацію завдань факторного аналізу підприємств з погляду використання математичних методів (рис. 2).

При прямому факторному аналізі виявляються окремі фактори, що впливають на зміну результатного показника або процесу, встановлюються форми детермінованої (функціональної) або стохастичної залежності між результатним показником певним наборомфакторів та, нарешті, з'ясовується роль окремих факторів у зміні результатного економічного показника. Постановка задачі прямого факторного аналізу поширюється на детермінований та стохастичний випадок.

Рис. 2 - Удосконалена схема класифікації завдань економічного факторного аналізу

математичне моделювання економічний аналітичний

Завдання прямого детермінованого факторного аналізу - найпоширеніша група завдань у аналізі господарську діяльність.

Розглянемо особливості постановки задачі прямого стохастичного факторного аналізу. Якщо у разі прямого детермінованого факторного аналізу вихідні дані для аналізу є у формі конкретних чисел, то у разі прямого факторного стохастичного аналізу задані вибіркою (тимчасовою або поперечною). Вирішення задач стохастичного факторного аналізу вимагають: глибокого економічного дослідженнявиявлення основних чинників, які впливають результатний показник; підбору виду регресії, який би найкращим чиномвідображав дійсний зв'язок досліджуваного показника з набором факторів; розробка методу, що дозволяє визначити вплив кожного фактора на результатний показник.

Якщо результати прямого детермінованого аналізу мають вийти точними та однозначними, то стохастичного – з деякою ймовірністю (надійністю), яку слід оцінити.

Приклад прямого стохастичного факторного аналізу є регресійний аналіз продуктивності праці та інших економічних показників.

В економічному аналізі, крім завдань, що зводяться до деталізації показника, до розбивки його на складові частини, існує група завдань, де потрібно ув'язати ряд економічних характеристик у комплексі, тобто. побудувати функцію, що містить у собі основне якість всіх аналізованих економічних показателей-аргументов, тобто. задач синтезу. У даному випадкуставиться обернена задача (щодо задачі прямого факторного аналізу) - завдання об'єднання низки показників у комплекс.

Завдання зворотного факторного аналізу можуть бути детермінованими та стохастичними. Прикладами завдання зворотного детермінованого факторного аналізу є комплексної оцінки господарської діяльності, а також завдання математичного програмування, в тому числі і лінійного. Прикладом завдання зворотного стохастичного факторного аналізу можуть бути виробничі функції, якими встановлюються залежності між величиною випуску продукції та витратами виробничих факторів(первинних ресурсів). Для детального дослідження економічних показників чи процесів необхідно проводити як одноступінчастий, а й ланцюговий факторний аналіз: статичний (просторовий) і динамічний (просторовий і час).

Деталізація факторів може бути продовжена і надалі. Закінчивши її, вирішують обернену задачу факторного аналізу, синтезуючи результати дослідження для характеристики результатного показника у.Такий метод дослідження називається ланцюговим статичним методом факторного аналізу. При застосуванні ланцюгового динамічного факторного аналізу для повного вивченняповедінки результатного показника недостатньо його статичного значення; факторний аналіз показника проводиться різних інтервалах дроблення часу, у яких досліджується показник.

p align="justify"> Економічний факторний аналіз може бути спрямований на з'ясування дії факторів, що формують результати господарської діяльності, за різними джерелами просторового або тимчасового походження.

Аналіз динамічних (тимчасових) рядів показників господарської діяльності, розщеплення рівня низки його складові (основну лінію розвитку - тренд, сезонну, чи періодичну, складову, циклічну складову, що з відтворювальними явищами, випадкову складову) - завдання тимчасового факторного аналізу.

Класифікація завдань факторного аналізу впорядковує постановку багатьох економічних завдань, що дозволяє виявити загальні закономірностіу їх вирішенні. При дослідженні складних економічних процесів можлива комбінація постановки завдань, якщо останні не стосуються цілком якогось типу, зазначеного в класифікації.

ВСТУП. ДИСЦИПЛІНА ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ І НІЖ ВОНА ЗАЙМАЄТЬСЯ

Формування дослідження операцій як самостійної гілки прикладної математики відноситься до періоду 40-х та 50-х років. Наступні півтора десятиліття були відзначені широким застосуванням отриманих фундаментальних теоретичних результатів до різноманітних практичних завдань та пов'язаних із цим переосмисленням потенційних можливостей теорії. Через війну вивчення операцій набуло рис класичної наукової дисципліни, без якої немислимо базове економічне освіту.

Звертаючись до завдань і проблем, що становлять предмет дослідження операцій, не можна не згадати про внесок, внесений у їхнє рішення представниками вітчизняної наукової школи, серед яких насамперед має бути названий Л. В. Канторович, який 1975 р. став лауреатом Нобелівської преміїза свої роботи з оптимального використання ресурсів економіки.

Початок розвитку дослідження операцій як науки зазвичай пов'язують із сороковими роками двадцятого століття. Серед перших досліджень у цьому напрямі може бути названа робота Л. В. Канторовича "Математичні методи організації та планування виробництва", що вийшла в 1939 р. У зарубіжній літературі відправною точкою зазвичай вважається робота Дж. Данцига, присвячена рішенню лінійних екстремальних, що вийшла в 1947 р. задач.

Слід зазначити, що немає жорсткого, усталеного і загальноприйнятого визначення предмета дослідження операцій. Часто при відповіді це питанняговориться, що " дослідження операцій є комплексом наукових методівна вирішення завдань ефективного управління організаційними системами".

Друге визначення: Дослідження операцій - це наукова підготовка прийнятого рішення - це сукупність методів, що пропонуються для підготовки та знаходження найефективніших або найекономічніших рішень.

Природа систем, які у наведеному визначенні під назвою " організаційних " , то, можливо найрізноманітнішої, які загальні математичні моделі знаходять застосування як під час вирішення виробничих та економічних завдань, а й у біології, соціологічних дослідженнях та інших практичних сферах. До речі, сама назва дисципліни пов'язана із застосуванням математичних методів для управління військовими операціями.

Незважаючи на різноманіття завдань організаційного управління, при їх вирішенні можна виділити деяку загальну послідовність етапів, якими проходить будь-яке операційне дослідження. Як правило, це:

1. Постановка задачі.

2. Побудова змістовної (вербальної) моделі об'єкта (процесу), що розглядається. На даному етапі відбувається формалізація мети керування об'єктом, виділення можливих керуючих впливів, що впливають на досягнення сформульованої мети, а також опис системи обмежень на керуючі дії.

3. Побудова математичної моделі, т. е. переклад сконструйованої вербальної моделі у форму, у якій її вивчення може бути використаний математичний апарат.

4. Вирішення завдань, сформульованих на базі побудованої математичної моделі.

5. Перевірка отриманих результатів на їхню адекватність природі системи, що вивчається, включаючи дослідження впливу так званих позанемодельних факторів, і можливе коригування початкової моделі.

6. Реалізація отриманого рішення практично.

Центральне місце в даному курсі відведено питанням, що належать до четвертого пункту наведеної схеми. Це робиться не тому, що він є найважливішим, складним чи цікавим, а тому, що інші пункти істотно залежать від конкретної природи системи, що вивчається, внаслідок чого для дій, які повинні проводитися в їх рамках, не можуть бути сформульовані універсальні та змістовні рекомендації .

У найрізноманітніших галузях людської діяльності зустрічаються подібні між собою завдання: організація виробництва, експлуатація транспорту, бойові дії, розстановка кадрів, телефонний зв'язок тощо. Виникають у цих галузях завдання подібні між собою за постановкою, мають низку загальних ознак і вирішуються подібними методами.

приклад :

Організується якийсь цілеспрямований захід (система дій), який можна організувати тим чи іншим способом. Необхідно вибрати певне рішення із низки можливих варіантів. Кожен варіант має переваги і недоліки - відразу не ясно, який з них кращий. З метою прояснити обстановку та порівняти між собою за низкою ознак різні варіанти, організується серія математичних розрахунків. Результати розрахунків показують на якому варіанті зупиниться.

Математичне моделюванняу дослідженні операцій є, з одного боку, дуже важливим і складним, а з іншого - практично не піддається наукової формалізації процесом. Зауважимо, що спроби виділити загальні принципи створення математичних моделей, які неодноразово робилися, призводили або до декларування рекомендацій найзагальнішого характеру, важкопридатних для вирішення конкретних проблем, або, навпаки, до появи рецептів, що застосовуються насправді тільки до вузького кола завдань. Тому найкориснішим є знайомство з технікою математичного моделювання на конкретних прикладах.

1) План постачання підприємства.

Є низка підприємств, які використовують різні види сировини; є низка сировинних баз. Бази пов'язані з підприємствами різними шляхами сполучення (залізниці, автотранспорт, водний, повітряний транспорт). Кожен транспорт має свої тарифи. Потрібно розробити такий план постачання підприємств сировиною, щоб потреби у сировині були задоволені за мінімальних витрат на перевезення.

2) Будівництво ділянки магістралі.

Споруджується ділянка залізничної магістралі. У нашому розпорядженні певна кількість коштів: людей, техніки тощо. Потрібно призначити черговість робіт, розподілити людей та техніку дільницями колії таким чином, щоб завершити будівництво в мінімальні терміни.

Випускається певний вид виробів. Задля більшої якості продукції потрібно організувати систему вибіркового контролю: визначити розмір контрольної партії, набір тестів, правила відбраковування тощо. Потрібно забезпечити заданий рівень якості продукції за мінімальних витрат на контроль.

4) Військові дії.

Метою у разі є знищення ворожого об'єкта.

Подібні завдання зустрічаються у практиці часто. Вони мають спільні риси. У кожній задачі визначено мету – цілі ці схожі; задані деякі умови – в рамках цих умов і потрібно ухвалити рішення, щоб цей захід був найбільш вигідним. Відповідно до цих загальними рисамизастосовуються та загальні методи.

1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ

1.1. Мета та основні поняття в дослідженнях операцій

Операція –це будь-яка система дій (захід), об'єднаних єдиним задумом і спрямованих на досягнення якоїсь мети. Це керований захід, тобто від нас залежить, як вибрати деякі параметри, що характеризують його організацію.

Кожен певний вибір залежних від нас параметрів називається рішенням.

Метою дослідження операційє попереднє кількісне обґрунтування оптимальних рішень.

Ті параметри, сукупність яких утворює рішення, називаються елементами розв'язання.Як елементи рішення можуть бути різні числа, вектори, функції, фізичні ознаки і т.д.

приклад : перевезення однорідного вантажу

Існують пункти відправлення: А 1 , А 2 , А 3 ,…, А m .

Є пункти призначення: У 1 , У 2 , У 3 ,…, У n .

Елементами рішення тут будуть числа x ij , що показують, скільки вантажів буде відправлено з i-того пункту відправлення в jпункт призначення.

Сукупність цих чисел: x 11 , x 12 , x 13 ,…, x 1 m ,…, x n 1 , x n 2 ,…, x nm утворює рішення.

Щоб порівняти між собою різні варіанти, необхідно мати якийсь кількісний критерій показник ефективності ( W). Цей показник називається цільової функції.

Цей показник вибирається те щоб він відбивав цільову спрямованість операції. Вибираючи рішення, прагнемо, щоб цей показник прагнув максимуму чи мінімуму. Якщо W - дохід, то W max; якщо W – витрата, то W min.

Якщо вибір залежить від випадкових факторів (погода, відмова техніки, коливання попиту та пропозиції), то як показник ефективності вибирається середнє значення – математичне очікування – .

Як показник ефективності іноді вибирають ймовірність досягнення мети. Тут мета операції супроводжується випадковими чинниками та працює за схемою ТАК-НІ.

Для ілюстрації принципів вибору показника ефективності повернемося до розглянутих раніше прикладів:

1) План постачання підприємства.

Показник ефективності видно з мети. R- Число - вартість перевезень, . При цьому всі обмеження мають бути виконані.

2) Будівництво ділянки магістралі.

Завдання велику роль грають випадкові чинники. Як показник ефективності вибирають середній очікуваний час закінчення будівництва.

3) Вибірковий контроль продукції.

Природний показник ефективності, підказаний формулюванням завдання – це очікувані середні витрати на контроль за одиницю часу, за умови, що система контролює забезпечення заданого рівня якості.

Супроводжується фізичним або математичниммоделювання. Фізичне моделювання... макетів та їх трудомістке дослідження. Математичнемоделювання здійснюють з використанням... на моделювання необхідно зробити наступні операції: 1. вхід у меню...

Математичні методи найбільше широко використовуються при проведенні системних досліджень. При цьому рішення практичних завданьматематичними методами послідовно здійснюється за наступним алгоритмом:

математичне формулювання завдання (розроблення математичної моделі);

вибір методу проведення дослідження одержаної математичної моделі;

аналіз отриманого математичного результату

Математичне формулювання завданнязазвичай представляється в вигляді чисел, геометричних образів, функцій, систем рівнянь і т. п. Опис об'єкта (яви) може бути представлений за допомогою безперервної чи дискретної, детермінованої чи стохастичної та інших математичних форм.

Математична модельє системою математичних співвідношень(формул, функцій, рівнянь, систем рівнянь), що описують ті чи інші сторони об'єкта, що вивчається, явища, процесу або об'єкт (процес) в цілому.

Першим етапом математичного моделювання є постановка задачі, визначення об'єкта та цілей дослідження, завдання критеріїв (ознак) вивчення об'єктів та управління ними. Неправильна чи неповна постановка завдання може звести нанівець результати всіх наступних етапів.

Модель є результатом компромісу між двома протилежними цілями:

модель має бути докладною, враховувати все реально існуючі зв'язкита беруть участь у його роботі фактори та параметри;

в той же час модель повинна бути досить простою, щоб можна було отримати прийнятні рішення або результати у прийнятні терміни при певних обмеженьна ресурси.

Моделювання можна назвати наближеним науковим дослідженням. А ступінь його точності залежить від дослідника, його досвіду, цілей, ресурсів.

Припущення, що приймаються при розробці моделі, є наслідком цілей моделювання та можливостей (ресурсів) дослідника. Вони визначаються вимогами точності результатів і як сама модель є результатом компромісу. Адже саме припущення відрізняють одну модель одного й того самого процесу від іншого.

Зазвичай розробки моделі відкидаються (не беруться до уваги) несуттєві чинники. Константи у фізичних рівняннях вважаються незмінними. Іноді усереднюються деякі величини, що змінюються в процесі (наприклад, температура повітря може вважатися незмінною за якийсь проміжок часу).

1. Процес розробки моделі

Це процес послідовної (і, можливо, неодноразової) схематизації або ідеалізації досліджуваного явища.

Адекватність моделі - це її відповідність до того реального фізичного процесу (або об'єкта), який вона представляє.

Для розробки моделі фізичного процесу необхідно визначити:

Іноді використовується підхід, коли застосовується модель невеликої повноти, що носить імовірнісний характер. Потім за допомогою ЕОМ проводиться її аналіз та уточнення.

Перевірка моделіпочинається і проходить у самому процесі її побудови, коли вибираються чи встановлюються ті чи інші взаємозв'язки між її параметрами, оцінюються прийняті припущення. Однак після сформування моделі загалом треба проаналізувати її із деяких загальних позицій.

Математична основа моделі (тобто математичний опис фізичних взаємозв'язків) має бути несуперечливою саме з погляду математики: функціональні залежності повинні мати самі тенденції зміни, як і реальні процеси; рівняння повинні мати сферу існування не менше діапазону, в якому проводиться дослідження; у них не повинно бути особливих точокабо розривів, якщо їх немає у реальному процесі, тощо. буд. Рівняння не повинні спотворювати логіку реального процесу.

Модель повинна адекватно, тобто по можливості точно відбивати дійсність. Адекватність потрібна не взагалі, а в діапазоні, що розглядається.

Розбіжності між результатами аналізу моделі та реальним поведінкою об'єкта неминучі, оскільки модель - це відбиток, а чи не сам об'єкт.

На рис. 3. представлено узагальнене уявлення, що використовується при побудові математичних моделей.

Рис. 3. Апарат для побудови математичних моделей

При використанні статичних методів найчастіше використовується апарат алгебри та диференціальні рівняння із незалежними від часу аргументами.

У динамічних методах так само використовуються диференціальні рівняння; інтегральні рівняння; рівняння у приватних похідних; теорія автоматичного керування; алгебра.

У імовірнісних методах використовуються: теорія ймовірностей; теорія інформації; алгебра; теорія випадкових процесів; теорія Марківських процесів; теорія автоматів; диференційне рівняння.

Важливе місце при моделюванні посідає питання подібності моделі та реального об'єкта. Кількісні відповідності між окремими сторонамипроцесів, які у реальному об'єкті та її моделі, характеризуються масштабами.

В цілому подібність процесів в об'єктах та моделі характеризується критеріями подібності. Критерій подібності – це безрозмірний комплекс параметрів, що характеризує даний процес. При проведенні досліджень в залежності від галузі досліджень застосовують різні критерії. Наприклад, у гідравліці таким критерієм є число Рейнольдса (характеризує плинність рідини), у теплотехніці – число Нусссельта (характеризує умови тепловіддачі), у механіці – критерій Ньютона тощо.

Вважається, що й такі критерії для моделі і досліджуваного об'єкта рівні, модель є правильною.

До теорії подоби примикає ще один метод теоретичного дослідження - метод аналізу розмірностей,який заснований на двох положеннях:

фізичні закономірності виражаються лише творами ступенів фізичних величин, які можуть бути позитивними, негативними, цілими та дробовими; розмірності обох частин рівності, що виражає фізичну розмірність, мають бути однакові.

Математичне дослідження завдяки своїй універсальності застосовується у галузях, дуже далеких від математики. Це пояснюється тим, що будь-яке положення, правило чи закон, записані на математичною мовою, стають інструментом передбачення (прогнозування), що є найважливішим завданням кожного наукового дослідження.

Основою традиційної (класичної) математики є система аксіом, у тому числі методом дедукції отримують результати, які у вигляді лем, теорем тощо. Отримані з їхньої основі аналітичні рішенняу межі є точними. У цих методів досліджуються питання існування рішень, їх єдиності, і навіть стійкості і збіжності до абсолютно точним рішенням при необмеженому зростанні їх числа.

Розробка таких методів сприяє розвитку власне математики (появі нових її розділів та напрямків). Однак для вирішення багатьох прикладних завданьвони виявляються малоефективними, оскільки їх використання необхідно вводити масу припущень, що призводять до того, що математична модель досліджуваного процесу виявляється значно відрізняється від реального фізичного процесу.

У зв'язку з цим у математиці виникло відгалуження, зване прикладною математикою.Її основна відмінність від традиційної полягає в тому, що тут знаходиться не точне, а наближене рішення з достатньою точністю для інженерних додатківале без урахування тих припущень, які приймаються в рамках класичної математики. Оцінка точності отриманих рішень виконується шляхом порівняння з точними рішеннями будь-яких тестових завданьабо з результатами експериментальних досліджень.

До методів прикладної математики відносяться варіаційні (Ритца, Треффтца, Канторовича та ін.), ортогональні методи зважених нев'язок (Бубнова-Галеркіна, Канторовича), колокацій, моментів, найменших квадратівта ін.; варіаційно-різносні методи (кінцевих елементів, граничних елементів; спектральний методта ін.)- Всі вони відносяться до групи так званих прямих методів- це такі наближені аналітичні методивирішення задач математичної фізики, які зводять рішення диференціальних та інтегральних рівняньдо розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри. Коротко зупинимося на хронології розвитку цих методів та їхньої фізичної суті.

У 1662 р. французький математик П. Ферма сформулював закон заломлення світла межі двох середовищ у такий спосіб: з усіх можливих шляхівруху світла від пункту Адо пункту Уреалізується той, у якому час руху сягає мінімуму. Це було одне з перших формулювань варіаційного принципу.

У 1696 р. І. Бернуллі сформулював завдання знаходження довжини шляху (траєкторії), яким матеріальна точка, рухаючись від точки Апід дією тільки сили тяжіння, за найменший часдосягає точки Ст.Знаходження такої кривої, званої брахистохроною(кривий якнайшвидшого спуску), зводиться до визначення мінімуму функціоналу

за граничних умов у (0) = 0; у(а) = у а,є координатами точок початку та кінця руху.

Тут Т -час якнайшвидшого спуску; g -прискорення сили тяжіння.

Введенням функціоналу (а)було започатковано появі варіаційного обчислення. Подібні функціонали в загальному виглядізаписуються наступним чином:

за граничних умов у(а) = А = const, y(b) = В= Const.

Зазвичай у завданнях математичної фізики знаходяться екстремуми деяких функцій у = у(х).Значення варіаційного обчислення у тому, що тут визначаються екстремуми складніших, ніж функції, величин - екстремуми функціоналів J = J від функцій у(х).У зв'язку з чим відкрилися можливості дослідження нових фізичних об'єктів та розвитку нових математичних напрямів.