Побудова функції власності нечіткої множини. Визначення нечіткої множини

Визначення

Для простору міркування та цієї функції приналежності нечітка множина визначається як

Функція приналежності кількісно градуює приналежність елементів фундаментальної множини простору міркування нечіткої множини. Значення означає, що елемент не включений у нечіткість, описує повністю включений елемент. Значення між ними і характеризують нечітко включені елементи.

Класифікація функцій належності нормальних нечітких множин

Нечітке безліч називається нормальним, якщо його функції власності справедливо твердження, що є такий , у якому .

s

Функція приналежності класу sвизначається як:

Функція приналежності класу π

Функція приналежності класу π визначається через функцію класу s:

Функція приналежності класу γ

Функція приналежності класу γ визначається як:

Функція приналежності класу t

Функція приналежності класу tвизначається як:

Функція приналежності класу L

Функція приналежності класу Lвизначається як:

Див. також

• Грубе безліч
• Евентологія

Зовнішні посилання

Література

• Д. Рутковська, М. Пилиньський, Л. Рутковський. Нейронні мережі, генетичні алгоритмита нечіткі системи: Пер. з польського І. Д. Рудінського. – М.: Гаряча лінія – Телеком, 2004. – 452 с – ISBN 5-93517-103-1

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Теорія нечіткої міри
• Крапель

Дивитись що таке "Функція приналежності" в інших словниках:

функція приналежності- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технологіїв цілому EN membership function … Довідник технічного перекладача

Функція та поле мови та мови у психоаналізі- «ФУНКЦІЯ І ПОЛІ МОВЛЕННЯ І МОВИ У ПСИХОАНАЛІЗІ» («Fonction et champ de la parole et du langage en psychanalyse») програма переосмислення психоаналізу, висунута 1953 франц. психіатром та психоаналітиком Жаком Лаканом. Цей текст був… … Енциклопедія епістемології та філософії науки

Характеристична функція (нечітка логіка)- Функція приналежності нечіткої множини це узагальнення індикаторної (або характеристичної) функції класичної множини. У нечіткій логіці вона представляє ступінь приналежності кожного члена простору міркування до цього нечіткого ... Вікіпедія

Індикаторна функція

Характеристична функція множини- Індикатор, або характеристична функція, або індикаторна функція підмножини це функція, визначена на множині X, яка вказує на приналежність елемента підмножини A. Термін характеристична функція вже зайнятий теорією.

ВИПУКЛА ФУНКЦІЯ- комплексного змінногог регулярна однолистова функція в одиничному колі, що відображає одиничний коло на деяку опуклу область. Регулярна однолистова функція є Ст ф. тоді і тільки тоді, коли при обході будь-якого кола… Математична енциклопедія

Нечітка множина- Цю сторінку пропонується поєднати з Теорія нечітких множин... Вікіпедія

Нечіткі множини

Нечітка безліч- Нечітка (або розмита, розпливчаста, туманна, пухнаста) безліч поняття, введене Лотфі Заде в 1965 р. у статті «Fuzzy Sets» (нечіткі множини) в журналі Information and Control. Л. Заде розширив класичне канторське поняття… … Вікіпедія

Нечіткі множини- Нечітка (або розмита, розпливчаста, туманна, пухнаста) безліч поняття, введене Лотфі Заде в 1965 р. у статті «Fuzzy Sets» (нечіткі множини) в журналі Information and Control. Л. Заде розширив класичне канторське поняття… … Вікіпедія

Визначення

Під нечітким безліччю розумієтьсясукупність , де X - універсальна множина, а - функція приналежності (характеристична функція), що характеризує ступінь приналежності елемента X нечіткий множині A.

Функція набуває значення в деякому лінійно впорядкованому множині М. Множина М називають безліччю приладдя, часто як вибирається відрізок (0,1). Якщо, то нечітка множина може розглядатися як звичайна, точна множина. M = (0,1).

Приклади запису нечіткої множини

Нехай E = (x1, x2, x3, x4, x5), M =; A - нечітка безліч, для котрого

Тоді A можна подати у вигляді:

A = (0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 ) або

A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, або

Зауваження. Тут знак "+" не є позначенням операції

складання, а має сенс об'єднання.

Характеристична функція звичайної множини -це функція, що встановлює приналежність елемента до множини. Особливість: має бінарний характер.

f(x)=(1, x належить М; 0, x не належить М.).

Функція приладдя- функція, яка дозволяє обчислити ступінь належності похідного елемента універсальної множини до нечіткої множини.

Ступінь приналежності- це будь-яке число діапазону Z (наприклад, Z=).

Чим вище ступінь належності, тим більшою мірою елемент універсальної множини відповідає властивостям нечіткої множини.

Безліч Z називають безліччю приладдя. Якщо Z=(0,1), то нечітка множина F може розглядатися як звичайна (чітка) множина.

2. Які нечіткі числа називають нормальними, унімодальними та опуклими?

Носієм (супортом) нечіткої множини називається безліч

Supp(F)=(x|f(x)>0), для будь-якого x належить Е.

Нечітка множина називається порожньою, якщо її носій теж порожня множина.

F=порожня множина<=>supp(F)=порожня множина, тобто f(x)=0 для будь-якого x від Е.

Нечітка множина є унімодальною, якщо mA(x)=1 лише одного x з E.

Елементи x із Е для яких f(x)=0,5 називаються точками переходу множини F.

Висотою нечіткої множини F називається верхня межайого функції приналежності hgt(F) = sup x із E f(x).

Нечітка множина F називається нормальнимякщо його висота дорівнює одиниці. В іншому випадку воно називається субнормальним.

Нормалізація- це перетворення субнормальної нечіткої множини F в нормальну F визначається так:

F=norm (F)<=>f(x)=f(x)/hgt(F), для будь-якого x з Е.

3. Дайте визначення Нечіткі числа (L-R)-типу.

Нечіткі числа (L-R)-типу- це різновид нечітких чисел спеціального виду, тобто. що задаються певним правиламз метою зниження обсягу обчислень під час операцій над ними.

Нечіткі числа та інтервали, які найчастіше використовуються для представлення нечітких множин у нечіткому моделюванні, є нормальними. Однак дані вище визначення нечіткого числа та нечіткого інтервалу надто загальні, що ускладнює їх практичне використання. З обчислювальної точки зору зручно використовувати більше конкретні визначеннянечітких чисел та інтервалів у формі аналітичної апроксимації за допомогою так званих ( L-R)-функцій.Отримані в результаті нечіткі числа та інтервали у формі (L-R)-функцій дозволяють охопити досить широкий клас конкретних функцій власності. Визначення 6.14.Функція L-muna(а також і R-muna),в загальному випадкувизначається як довільна функція L: R→ і R: /R→, задана на безлічі дійсних чисел, що не зростає на підмножині невід'ємних чисел R+і задовольняє наступним додатковим умовам: L(-x)= L(x), R(-x)=R(x)- умова парності;(6.7) L(0)=R(0) = 1 -умова нормування.(6.8) Примітка: Іноді в літературі можна зустріти ще одну умову, якій повинні, на думку деяких авторів, задовольняти функції ( L-R)-типу: L(1) = R(1) = 0. Оскільки з одного боку ця умова суттєво обмежує клас функцій ( L-R)-типу, а з іншого боку, що розглядаються нижче трикутні нечіткі числа і трапецієподібні нечіткі інтервали узгоджуються з виконанням цієї властивості, ми не будемо його включати у визначення функцій ( L-R)-типу.

У повсякденному життіми часто стикаємося з випадками, коли не існує елементарних вимірних властивостей і ознак, які визначають поняття, що цікавлять нас, наприклад, красу, інтелектуальність. Буває важко проранжувати ступінь прояву якості у елементів, що розглядаються. Оскільки ступеня власності розглядаються цьому реальному множині, а чи не в абсолютному сенсі, то інтенсивність власності можна визначати, з попарних порівнянь аналізованих елементів.

Серед непрямих методіввизначення функції приналежностінайбільшого поширення набув метод парних порівнянь Сааті. Складність використання цього методу полягає у необхідності знаходження власного вектора матриці парних порівнянь, що задається за допомогою спеціально запропонованої шкали. Причому ці складнощі збільшуються зі зростанням розмірності універсальної множини, де задається лінгвістичний терм .

Ми розглянемо метод, який також використовує матрицю парних порівнянь елементів універсальної множини. Але, на відміну від методу Сааті, він не вимагає знаходження власного вектораматриці, тобто. звільняє дослідника від трудомістких процедур вирішення характеристичних рівнянь.

Нехай - деяка властивість, що розглядається як лінгвістичний терм. Нечітка безліч, за допомогою якого формалізується терм, являє собою сукупність пар:

Де - універсальна безліч, на якому задається нечітка безліч. Завдання полягає в тому, щоб визначити значення для всіх . Сукупність цих значень і становитиме невідому функцію власності.

Метод, який пропонується для вирішення поставленої проблеми, базується на ідеї розподілу ступенів належності елементів універсальної множини згідно з їхніми рангами. Ця ідея раніше використовувалася в теорії структурного аналізу систем, де розглянуті різноманітні способи визначення рангів елементів.

У нашому випадку під рангом елемента розумітимемо число , яке характеризує значимість цього елемента у формуванні властивості, що описується нечітким термом. Припускаємо, що виконується правило: що більший ранг елемента, то більше вписувалося ступінь власності.

Для наступних побудов введемо такі позначення: , . Тоді правило розподілустепенів приналежності можна задати у вигляді системи співвідношень:

Використовуючи дані співвідношення, легко визначити ступеня належності всіх елементів універсальної множиничерез міру належності опорного елемента.

Якщо опорним є елемент із приналежністю , то

Враховуючи умову нормування, знаходимо:

Отримані формули дають можливість обчислювати ступеня належності елементів до нечіткого терму двома незалежними шляхами:

Ця матриця має такі властивості:

а) вона діагональна, тобто.

б) її елементи, які симетричні щодо головної діагоналі, пов'язані залежністю

в) вона є транзитивною, тобто. .

Наявність цих властивостей призводить до того, що при відомих елементаходного рядка матриці легко визначити елементи всіх інших рядків. Якщо відомий рядок, тобто. елементи , , то довільний елементзнаходиться так:

Оскільки матриця може бути інтерпретована як матриця парних порівнянь рангів, то для експертних оцінокелементів цієї матриці можна використовувати 9 бальну шкалуСааті. У нашому випадку шкала формується так:

Нехай X - універсальна (базова) безліч, x - елемент X, а R - деяка властивість. Звичайне (чітке) підмножина A універсальної множини X, елементи якого задовольняють властивості R, визначається як безліч упорядкованих пар
A = μ A x / x , де μ A x – характеристична функція, що приймає значення 1 якщо x задовольняє властивості R , і 0 – в іншому випадку.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайного тем, Що з елементів x з X немає однозначної відповіді «так-ні» щодо властивості R . У зв'язку з цим, нечітка підмножина A універсальної множини X визначається як безліч упорядкованих пар A = μ A x / x , де μ A x – характеристична функція власності(або просто функція приналежності), що приймає значення в деякому цілком упорядкованому множині M = 0; 1 . Функція приладдя вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента x під множиною A . Безліч M називають безліччю приладдя. Якщо M = 0; 1 то нечітке підмножина A може розглядатися як звичайне або чітке безліч. Ступінь приналежності μ A x є суб'єктивною мірою того, наскільки елемент x ∈ X відповідає поняттю, сенс якого формалізується нечіткою множиною A .

Носіємнечіткої множини A є чітке підмножина S A універсальної множини X з властивістю μ A x > 0, тобто. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Іншими словами, носієм нечіткої множини A є підмножина S A універсальної множини X , для елементів якої функція приналежності μ A x > 0 більше нуля. Іноді носій нечіткої множини позначають support A .

Якщо носієм нечіткої множини A є дискретна підмножина S A , то нечітке підмножина A універсальної множини X , що складається з n елементів, можна подати у вигляді об'єднання кінцевого числаодноточкових множин μ A x / x за допомогою символу ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / xi. У цьому мається на увазі, що елементи x i упорядковані зростанням відповідно до своїми індексами, тобто. x 1< x 2 < x 3 < … < x n .

Якщо носієм нечіткої множини A є безперервне підмножина S A , то нечітке підмножина A універсальної множини X , розглядаючи символ ∫ як безперервний аналог введеного вище символу об'єднання для дискретних нечітких множин ∑ , можна представити у вигляді об'єднання нескінченного числа x:

A = ∫ X μ A x / x.

приклад.Нехай універсальна множина X відповідає безлічі можливих значень товщини виробу від 10 мм до 40 мм з дискретним кроком 1 мм. Нечітка множина A , відповідна нечіткому поняття «мала товщина виробу», може бути представлена ​​в наступному вигляді:

A = 1/10; 0,9/11; 0,8/12; 0,7/13; 0,5/14; 0,3/15; 0,1/16; 0/17; …; 0 / 40 ,

A = 1/10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40 ,

де знак підсумовування означає не операцію арифметичного складання, А об'єднання елементів в одну множину. Носієм нечіткої множини A буде кінцева підмножина (дискретний носій):

S A = 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16 .

Якщо універсальне безліч X є безліччю дійсних чисел від 10 до 40 , тобто. товщина виробу може приймати всі можливі значення в цих межах, то носієм нечіткої множини є відрізок S A = 10 ; 16 .

Нечітка множина з дискретним носієм може бути представлена ​​у вигляді окремих точокна площині, нечітка множина з безперервним носієм може бути представлена ​​у вигляді кривої, що відповідає дискретній і безперервної функційприладдя μ A x , заданим на універсальній множині X (рис.2.1).

Рис.2.1. Функції приналежності нечітких множин з (а)-дискретним та (б)-безперервним носіями

приклад.Нехай X = 0; 1; 2; … – безліч цілих невід'ємних чисел. Нечітка множина ital малий можна визначити як μ ital малий x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 .

Рис.2.2. Графічне уявленнянечіткої множини малий

Нечітка множина A називається кінцевимякщо його носій S A є кінцевим чітким безліччю. При цьому, за аналогією зі звичайними множинами, можна говорити, що така нечітка множина має кінцеву потужність card A = card S A . Нечітка множина A називається нескінченним, якщо його носій SA не є кінцевим чітким безліччю. При цьому рахунковимнечіткою множиною буде називатися нечітка множина з рахунковим носієм, що має лічильну потужність у звичайному розумінніу термінах теорії чітких множин, тобто. якщо S A містить нескінченне числоелементів, які можна пронумерувати натуральними числами 1,2 ,3 . . . , причому досягти останнього елементаза нумерації принципово неможливо. Нечисленнимнечіткою множиною буде називатися нечітка множина з незліченним носієм, що має незліченну потужність континууму, тобто. якщо SA містить нескінченну кількість елементів, які неможливо пронумерувати натуральними числами 1,2 ,3 . . .

приклад.Нечітке поняття «дуже маленька кількістьдеталей» може бути представлено у вигляді кінцевої нечіткої множини A = 1/0 + 0,9/1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + … з потужністю card (A) = 6 та носієм S A = 0 ; 1; 2; 3; 4; 5 який є кінцевим чітким безліччю. Нечітке поняття «дуже велика кількістьдеталей» може бути представлено у вигляді A = 0/0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – нечіткої множини з нескінченним рахунковим носієм S A ≡ N (множина натуральних чисел), який має лічильну потужність у звичайному сенсі.

приклад.Численна нечітка множина A , що відповідає нечіткому поняттю «дуже гаряче», задано на універсальній множині значень температур (у Кельвінах) температурою x ∈ [ 0 ; ∞) та функцією приналежності μ A = 1 − e − x , з носієм S A ≡ R + (безліч невід'ємних дійсних чисел), який має незліченну потужність континууму.

Розмір sup x ∈ X μ A x називається заввишкинечіткої множини.

Нечітка множина A нормально, Якщо його висота дорівнює 1, тобто. верхня межа функції приладдя sup x ∈ X μ A x = 1 . При sup x ∈ X μ A x< 1 субнормальним.

Нечітка множина називається порожнімякщо ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

Непорожню субнормальну множину завжди можна нормалізувати, розділивши всі значення функції належності на її максимальне значення μ A x sup x ∈ X μ A x .

Нечітка множина називається унімодальнимякщо μ A x = 1 тільки для однієї точки x ( моди) універсальної множини X .

Нечітка множина називається точковимякщо μ A x > 0 тільки для однієї точки x універсальної множини X .

Безліч α -рівнянечіткої множини A , визначеної на універсальній множині X , називається чітке підмножина A α універсальної множини X , що визначається у вигляді:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α, де α ∈ 0; 1 .

приклад. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4, A 0,5 = 1; 2; 4 , де A 0,5 – чітка множина, що включає ті елементи x упорядкованих пар μ A x / x , що становлять нечітку множину A , для яких значення функції приналежності яких задовольняє умові μ A x ≥ α .

Для множин -рівня виконується наступна властивість: якщо α 1 ≥ α 2 , то потужність підмножини A α 1 не більше потужностіпідмножини A α 2 .

Елементи x ∈ X , для яких μ A x = 0,5 називаються точками переходунечіткої множини A .

Ядромнечіткої множини A , визначеної на універсальній множині X , називається чітка множина core A , елементи якої задовольняють умові core A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .

Кордономнечіткої множини A, визначеної на універсальній множині X, називається чітка множина front A, елементи якої задовольняють умові front A = x ∈ X ∣ 0< μ A x < 1 .

приклад.Нехай X = 0; 1; 2; …; 10, M = 0; 1 . Нечітка множина кілька можна визначити на універсальній множині натуральних чисел наступним чином: декілька = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; його характеристики: висота = 1, носій = 3; 4; 5; 6; 7; 8, точки переходу = 3; 8, ядро ​​= 5; 6, межа = 3; 4; 7; 8 .

Нечітка множина A, визначена на універсальній множині X, називається опуклимякщо μ A x ≥ min μ A a ; μ A b; a< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

Рис.2.3. Функції приналежності опуклої та невипуклої нечітких множин

Введене визначення нечіткої множини (2.1) не накладає обмежень на вибір функції приналежності. Однак, на практиці доцільно використовувати аналітичне уявлення функції належності μ A x нечіткої множини A з елементами x , що нечітко володіють визначальною множиною властивістю R. Типізація функцій належності в контексті вирішуваної технічної задачі істотно спрощує відповідні аналітичні та чисельні розрахунки при застосуванні методів. Вирізняють такі типові функції власності, .

Трикутні функції приладдя, що використовуються для завдання невизначеностей типу: «приблизно одно», «середнє значення», «розташований в інтервалі», «подібний до об'єкта», «схожий на предмет» тощо:

• трикутна та трапецеїдальна функції

Trimf x, a, b, c = 0, x ≤ a; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; c - x c - b, b ≤ x ≤ c; 0, c ≤ x; trapmf x, a, b, c, d = 0, x ≤ a; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; 1, b ≤ x ≤ c; d - x d - c , c ≤ x ≤ d ; 0, d ≤ x;

Z-подібні функції приладдя, що використовуються для завдання невизначеності типу: «мала кількість», «не велике значення», «Незначна величина», « низький рівень" і т.п.:

• квадратичний та гармонійний Z-сплайни

Zm f 1 x,a,b = 1, x ≤ a; 1 - 2 x - a b - a 2 a< x ≤ a + b 2 ; 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 0 , b ≤ x ; zm f 2 x,a,b = 1 , x < a ; 1 2 + 1 2 cos x - a b - a ; a ≤ x ≤ b ; 0 , x >b;

• Z-сигмоїдальна та Z-лінійна функції

Sigmf x, a, b = 1 1 + exp - a x - b, a< 0 ; zlinemf x,c,d = 1 , - ∞ < x ≤ c ; d - x b - c , c < x ≤ d ; 0 , x >d;

S-подібні функції приладдя, що використовуються для завдання невизначеностей типу: "велика кількість", "велике значення", "значна величина", " високий рівень" і т.п.:

• квадратичний та гармонійний S-сплайни

Sm f 1 x,a,b = 0, x ≤ a; 2 x - a b - a 2 a< x ≤ a + b 2 ; 1 - 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 1 , b ≤ x ; sm f 2 x,a,b = 0 , x < a; 1 2 + 1 2 cos x - b b - a ; a ≤ x ≤ b ; 1 , x >b;

• S-сигмоїдальна та S-лінійна функції

Sigmf x, a, b = 1 1 + exp - a x - b, a > 0; slinemf x, a, b = 0, x ≤ a; x - a b - a , a< x ≤ b ; 1 , x >b;

П-подібні функції приналежності, використовуються завдання невизначеностей типу: «приблизно не більше від і до», «приблизно одно», «близько» тощо.:

• дзвоноподібна та гаусова функції

Gbellmf x, a, b, c = 1 1 + x - c a 2b; gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2σ 2

Існує безліч інших функцій приналежності нечітких множин, заданих як композиції вищезгаданих базових функцій(подвійна гауссова, подвійна сигмоїдальна і т.п.), або як комбінації по ділянках зростання та спадання (сигмоїдально-гауссова, сплайн-трикутна тощо).

Функція приналежності μ A x – це деяка не ймовірна суб'єктивна міра нечіткості, яка визначається в результаті опитування експертів про ступінь відповідності елемента x поняття, що формується нечіткою множиною A . На відміну від ймовірнісної міри, яка є оцінкою стохастичної невизначеності, що має справу з неоднозначністю настання деякої події в різні моменти часу, нечітка міра є чисельною оцінкою лінгвістичної невизначеності, пов'язаної з неоднозначністю та розпливчастістю категорій людського мислення. При побудові функції належності μ A x з кожною нечіткою множиною A асоціюється деяка властивість, ознака або атрибут R , який характеризує деяку сукупність об'єктів X . Чим в більшою мірою конкретний об'єкт x ∈ X має цю властивість R , тим більше близько до відповідного значення μ A x . Якщо елемент x ∈ X виразно має цю властивість R , то μ A x = 1 , якщо ж x ∈ X виразно не володіє цією властивістю R , то μ A x = 0 . Існують прямі та непрямі методи побудови функцій приналежності - .

Прямі методи(найбільш відомі методи відносних частот, параметричний, інтервальний) доцільно використовувати для вимірних властивостей, ознак та атрибутів, таких як швидкість, час, температура, тиск тощо. При використанні прямих методів часто не потрібно абсолютно точного поточкового завдання μ A x . Зазвичай, буває досить зафіксувати вид функції власності та характерні точки, якими дискретне уявлення функції власності апроксимується безперервним аналогом – найбільш підходящої типової функцією власності.

Непрямі методи(найбільш відомий метод парних порівнянь) використовуються у тих випадках, коли відсутні вимірні властивості об'єктів у аналізованій предметної області. З огляду на специфіки розглянутих завдань під час побудови нечітких систем автоматичного управління, зазвичай, застосовуються прямі методи. У свою чергу, залежно від кількості залучених до опитування експертів, як прямі, так і непрямі методи поділяються на одиночні та групові. Найбільш грубу оцінку характеристичних точок функції приналежності можна отримати шляхом опитування одного експерта, який просто задає для кожного значення x ∈ X відповідне значення μ A x .

приклад.Розглянемо нечітку множину A , відповідне поняттю«Витрата теплоносія невеликий». Об'єкт x - витрата теплоносія, X0; x max – безліч фізично можливих значень швидкості зміни температури. Експерту пред'являються різні значеннявитрати теплоносія x і задається питання: з яким ступенем впевненості 0 ≤ μ A x ≤ 1 експерт вважає, що ця витрата теплоносія x невелика. При μ A x = 0 – експерт абсолютно впевнений, що витрата теплоносія x невелика. При μ A x = 1 – експерт абсолютно впевнений, що витрата теплоносія x не можна класифікувати як невелику.

Метод відносних частот.Нехай є m експертів, n 1 з яких питання приналежності елемента x ∈ X нечіткому множині A відповідають позитивно. Інша частина експертів n 2 = m - n 1 відповідає це питання негативно. Тоді приймається μ A x = n 1 n 1 + n 2 = n 1 m.

приклад.Розглянемо нечітку множину A , що відповідає поняттю «швидкість зміни температури позитивна середня». Об'єкт x - швидкість зміни температури, X - x max; x max – безліч фізично можливих значень швидкості зміни температури. Експертам пред'являються різні значення швидкості зміни температури x і кожному з них запитує: чи вважає експерт, що дана швидкістьзміни температури x позитивна середня. Результати опитування зведено у табл.2.1.

Для безперервного подання нечіткої змінної використовуємо якусь із П-подібних функцій приналежності, наприклад, Гауссову. З безлічі гаусових функцій gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2 σ 2 через характерні точки функції приналежності: точку переходу μ A 3 = 0,5 і максимум μ A 5 = 1; проходить функція з параметрами = 1,7, c = 5 . В якості альтернативного методупереходу від дискретного рядуточок до безперервного завдання функції приналежності можна запропонувати пошук параметрів Гаусової функції приналежності, що максимально близько апроксимує дискретний ряд за критерієм СКО (рис.2.4).

Рис.2.4. Апроксимація дискретного ряду () безперервною функцією Гаусової приналежності (– за характерними точками, – – по СКО)