Наближене значення збільшення функції за досить малому. Обчислення приблизно за допомогою диференціалу

Як загальноприйнято, «струми Фуко – це струми, що виникають у потужному провіднику, що у змінному магнітному полі. Струми Фуко мають вихровий характер. Якщо звичайні індукційні струми рухаються тонким замкнутим провідником, то вихрові струми замикаються всередині товщі масивного провідника. Хоча вони більше нічим не відрізняються від звичайних індукційних струмів». За правилом Ленца, ці струми спрямовані те щоб протидіяти причині, що їх викликала , . «Тому провідники, що рухаються в сильному магнітному полі, зазнають сильного гальмування через взаємодію струмів Фуко з магнітним полем» . «Токі Фуко екранують змінне магнітне поле так, що воно не проникає вглиб провідника. Однак струми Фуко не можуть екранувати статичне магнітне поле, оскільки через омічний опір вони не можуть існувати вічно. Статичне магнітне поле вільно проникає у провідник. Однак чим швидше змінюється поле, тим меншу глибину воно проникає у провідник. У хороших провідниках, де омічні втрати малі, зменшення глибини проникнення поля стає помітним за дуже помірних частот». Вважається, що цим обумовлена ​​дія струмів Фуко, що розмагнічує. Воно «сильніше проявляється в середині осердя і менше на його поверхні, тому що ділянки в середині осердя охоплюються більшими вихровими струмами, ніж ділянки, близькі до поверхні». Як встановлено, у надпровідниках цей ефект властивий навіть постійним струмам через відсутність опору провідника. «При охолодженні надпровідника, що знаходиться у зовнішньому постійному магнітному полі, в момент переходу в надпровідний стан магнітне поле повністю витісняється з його об'єму. Цим надпровідник відрізняється від ідеального провідника, у якого під час падіння опору до нуля індукція магнітного поляв обсязі має зберігатися без зміни» .

У рамках теоретичної фізики, виходячи із загального визнання вихрової природи струмів Фуко, а отже, і вихрового характеру електричного поля, їх опис ґрунтується на індукційній парі рівнянь Максвелла :

У припущенні рівності нулю густини ρ вільних зарядіву провіднику та стандартного зв'язку між щільністю струму та напруженістю поля

одержують рівняння для напруженості магнітного поля, що описує струми Фуко, як і скін-ефект:

При цьому «сила вихрового струму за законом Ома дорівнює

де Φ m- магнітний потік, зчеплений з контуром струму,R- Опір ланцюга вихрового струму. Підрахувати цей опір важко. Однак цілком очевидно, що воно тим менше, чим більша питома провідність провідника і чим більші його розміри». .

Тому для розрахунку втрат від струмів Фуко зазвичай користуються наближеними формулами, в яких питомі втрати залежать від сорту заліза, товщини залізних листів, частоти поля, що індукує, і максимальної індукції цього поля.

Як ми можемо бачити, характер струмів Фуко пов'язується виключно з провідністю провідника і їх структура обумовлюється виключно фактом провідності металів, однаковий як для феро-, пара-, так і для діамагнетиків. Спрямованість цих струмів зустрічна змінному полю, що індукує, хоча самі вказані речовиниу зовнішніх полях поводяться принципово по-різному. Як відомо, діамагнетики створюють власне поле, спрямоване зустрічно зовнішньому, пара-і феромагнетики створюють поля, спрямовані за напрямом зовнішнього магнітного поля. До діамагнетиків відносяться, зокрема, інертні гази, молекулярний водень та азот, цинк, мідь, золото, вісмут, парафін тощо, до парамагнетиків відносяться алюміній; повітря. До феромагнетиків відносяться, зокрема, залізо, нікель, кобальт. Але ця відмінність, як вважається, не має істотного впливу на сутність струмів Фуко.

Експерименти, що проводяться, теж не розкривають дану відмінність. Більшість із них зводиться до гальмування падіння провідних тіл у неоднорідному магнітному полі або до демпфування коливань металевого маятника. При цьому вважається, що для дослідів «рекомендується брати саме мідну або алюмінієву пластини, тому що у цих матеріалів мало питомий опір. Отже, сила струму в них буде більшою і ефект виявиться явніше» .

Другий комплекс експериментів зі струмами Фуко пов'язаний з індукційним нагріванням як провідних тіл, так і діелектриків (зокрема, сушіння деревини). У теорію даного процесузакладена та ж основа, що базується на рівняннях Максвелла і вихровому характері електричного поля, що індукує. Використання стандартної бази визначає і акценти, у яких будується моделювання. І хоча враховуються зміни магнітної проникності феромагнетиків з температурою, істотна відмінність струмів Фуко від виду магнетика не проводиться, як і обмежується нагодою феромагнетика. У роботах, присвячених індукційному нагріванню алюмінію, феноменологічна база також зводиться до стандартного уявлення вихрових струмів, що збуджують поле зустрічної спрямованості збуджуючого поля і будується моделювання процесу.

Разом з тим, для індукційних побутових печей, що промислово випускаються, головною умовою експлуатації є феромагнітний матеріал використовуваного посуду. За будь-якого іншого матеріалу, навіть для неферомагнітної сталі, піч працювати відмовляється. Це свідчить про певні нюанси, які не враховуються існуючою моделлю вихрових струмів, незважаючи на велику кількість наукових розробокта технологічного використання самого процесу.

Для дослідження особливостей вихрових струмів було розроблено спеціальну головку із взаємно перпендикулярними обмотками, як показано на рис. 1.

Рис. 1. Схема та загальний вигляд (a ) головки для дослідження вихрових струмів, а також схема миттєвих вихрових струмів у сердечнику ( I 2) та у накладці 4 ( I 3) цієї головки з точки зору стандартної концепції (b) при миттєвому струмі в первинній обмотці I 1; 1 - сердечник з феромагнітного матеріалу (трансформаторне залізо Е330), 2 - первинна однорядова суцільна обмотка 110 витків проводу ø0,23, 3 - вторинна однорядова суцільна обмотка 110 витків проводу

Обидві обмотки головки були намотані на рухомому каркасі з фторопласту регулювання взаємної перпендикулярності. Розмір досліджуваної накладки вибирався дещо більшим від вільного від обмоток простору, з метою, яка буде зрозуміла з подальшого дослідження. Індукційні струми, що виникають у сердечнику та накладці з погляду сучасних уявлень про зустрічний вихровий характер цих струмів, представлені на рис. 1b. Як випливає з цієї побудови, при накладенні асиметричної накладки струм у вторинній обмотці принципово виникнути не може через взаємну перпендикулярність цих струмів виткам вторинної обмотки.

Електрична схемаексперименту представлено на рис. 2.

Рис. 2. Електрична схема експерименту.

Досвід проводився на частоті 20 кГц, амплітуда вхідного сигналустановила 2, синхронізація осцилографа була зовнішня і здійснювалася за сигналом, що подається на первинну обмотку головки.

Як накладки, що асиметрично встановлюються в кутах головки, використовувалися чотири матеріали: мідь – діамагнетик, алюміній – парамагнетик, трансформаторне залізо та ферит – феромагнетики. Вид накладок подано на рис. 3.

Рис. 3. Вид накладок, які у дослідженні.

Усі накладки були виготовлені з кількох шарів. Мідна накладка містила 8 шарів, алюмінієва – 4 шари, залізна – 20 шарів та ферит – 2 шари. Все це було склеєне клеєм Стелс. Покажчики положення, наклеєні кожної з накладок, було встановлено їх середину. Шкала поділів на головці також була встановлена ​​на середину первинної обмотки, розташованої вертикально. Загальний виглядустановки показано на рис. 4.

Рис. 4. Загальний вид установки: 1 – осцилограф, 2 – вимірювальна головка, 3 – генератор сигналів, 4 – вихідний потужний каскад, 5 – живлення вихідного каскаду

Насамперед було досліджено сам факт індукції у вторинній обмотці при асиметричному накладенні накладок з різних матеріалів. Як було сказано, синхронізація здійснювалася по вхідному напрузі на первинну обмотку головки. Результати досвіду подано на рис. 5.

a) мідь

b) алюміній

c) залізо

d) ферит

Рис. 5. Осцилограми едс індукціїу вторинній обмотці головки (нижня осцилограма) залежно від матеріалу та розташування накладки на головці

Як видно з осцилограм, для міді та алюмінію ЕДС індукції протифазна індукуючого струму (праві фото). У фериту у цьому положенні спостерігається синфазність. Відхилення заліза будуть прояснені далі. Крім того, видно, що переміщення накладки з правого кута в лівий призводить до зміни фази ЕДС на 180°. Відмінність фаз свідчить, що природа виникнення ЕДС індукції у феромагнетиках, з одного боку, і пара-і діамагнетиках, з іншого боку, різна.

Щоб виявити траєкторію ЕС індукції, було використано те, що всі накладки були набрані з пластин. У цьому другому експерименті накладки ставилися в той самий кут вимірювальної головки, вздовж і поперек площини головки. Результати подано на рис. 6.

a) мідь

b) алюміній

c) залізо

d) ферит

Рис. 6. Характер струмів індукції у накладках з досліджуваних матеріалів за їх повороті щодо вимірювальної головки

З осцилограм ми бачимо, що при повороті накладок із міді та алюмінію сигнал значно послаблюється. Це говорить про те, що виникає суттєвий опір вихровому струму. У фериті сигнал майже не змінюється, що свідчить про відсутність індукційного струму, характерного міді та алюмінію, але присутній струм другого типу, характерний феромагнетику. Цей струм синфазен збуджує. У залізній накладці при повороті на торець змінюється як амплітуда, зростаючи на торці, коли струми Фуко зменшуються, але змінюється і фаза сигналу. Це буває тільки в тому випадку, коли результуюча фаза сигналу залежить від амплітуд вихідних компонентів, що легко показати тригонометрично. Дійсно, якщо припустимо, що вихідні складові результуючого сигналу суворо зміщені приблизно на 180 ° і мають різні амплітуди, то

Зрозуміло, що при зміні амплітуд внаслідок зміни умов протікання струмів у накладках, зміщуватиметься і амплітуда результуючого сигналу AΞ і результуюча фаза φ Ξ . Описаний характер струмів представлений побудові, наведеному на рис. 7.

a)Індукційні струми в пара-і діамагнетиках

b) Індукційні струми у феритах

c) Індукційні струми в залізі

Рис. 7. Схема збудження електронних I eта орієнтаційних I cструмів

У разі пара-і діамагнетиків торцеве розташування накладки (праворуч) призводить до того, що замість єдиного струму I eв ній утворюються струми в кожній пластині, які індукуються не всією областю контакту накладки з провідником, що індукує, а тільки частиною, обмеженою товщиною пластини. А отже, цей струм, що індукує, при повороті накладки з площини на торець буде індукувати і менший струм у вторинній обмотці.

У разі фериту ситуація змінюється. Струм I cутворюється молекулярними струмами фериту. Електронний струм у ферриті практично відсутній через високий його електричного опоруа молекулярні струми мало залежать від орієнтації фериту, внаслідок чого поворот практично не змінює амплітуду струму у вторинній обмотці.

У залозі присутні обидва струми, а тому зміна струму I eнаводить, як показано в загальному випадкунами, до зміни і амплітуди, і фази сигналу, оскільки цей струм компенсує струм I c.

До речі, конкуруюча дія зазначених струмів призводить і до невірного фізичного трактування пара-і діамагнетизму, що передбачає деякі особливі способи розвороту орбіталей атомів у діамагнетиків, щоб створювати поле, зустрічне індукуючого. Як показав наведений вище експеримент, відмінність між магнетиками зводиться виключно до співвідношення індукуючих струмів. У діамагнетиці I eперевищує I c, унаслідок чого формується зустрічне поле. У пара- і феромагнетиках співвідношення струмів зворотне, тому формується поле у ​​напрямку зовнішнього поля, що індукує. Ця особливість призводить і до невірного вимірювання відносної магнітної проникності пара-і діамагнетиків. Фактично, коли вимірюється проникність цих речовин, вимірюють її з компенсуючою дією струму I e. Щоб виміряти реальну магнітну проникність, потрібно вимірювати дрібнодисперсну фазу речовини, скріплену ізолюючим компаундом з μ = 1. Ця особливість є причиною багатьох парадоксів в електромагнетизмі.

Також слід звернути увагу і на той факт, що зменшення індукційного струму у вторинній обмотці обумовлено зменшенням області контакту пластини накладки з провідником, що індукує. Знову ж таки, як і в попередніх наших експериментах, з'ясовується, що струми, що індукують, порушуються не якимось міфічним магнітним полем, а конкретною зміною взаємного становищапровідників або зміною струму в провіднику, що індукує, і для електронного струму I eпропорційно до області контакту провідника з матеріалом накладки. Фактично, у накладці формуються невихрові струми. Струм виникає виключно в області контакту, а далі він вже замикається через тіло накладки в області слабкої взаємодії, що індукує. Внаслідок цього електричний ланцюг струму може бути представлений, як показано на рис. 8.

Рис. 8. Еквівалентна схема струмів Фуко в пара- та діамагнетиках

Згідно з цією схемою, електричне поле, що індукується в пара-і діамагнетиках, не є вихровим. Воно залишається потенційним, як і в інших проявах, але сам струм, збуджений у матеріалі, замикається через тіло провідника, створюючи ілюзію циркулярності.

Вищесказане підтверджується наступними двома експериментами. У першому з них встановлюється протилежність спрямованості електронного струму I eта орієнтаційного молекулярного струму I c. Як ми могли звернути увагу в першому з наведених експериментів, при зміщенні накладки з одного кута вимірювальної головки в інший, фаза ЕДС у вторинній обмотці завжди змінювалася на 180 ° (або близько до цього). Що станеться, якщо ми встановимо накладки з різних матеріалів на обидва кути голівки? На рис. 9 представлені результати цієї операції. На знімках зліва показані ЕДС у вторинній обмотці під час встановлення однієї з накладок. На знімках праворуч – обох вказаних у підписі до знімків накладок.

a) мідь та алюміній

b) Залізо (площиною) та ферит

c ) Залізо (торцем) та ферит

d) Феррит та мідь

e) ферит та алюміній

Наближене значення збільшення функції

При досить малих збільшення функції приблизно дорівнює її диференціалу, тобто. Dy » dy і, отже,

приклад 2.Знайти наближене значення збільшення функції y= за зміни аргументу x від значення x 0 =3 до x 1 =3,01.

Рішення. Скористаємося формулою (2.3). Для цього обчислимо

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, тоді

Dу » .

Наближене значення функції у точці

Відповідно до визначення збільшення функції y = f(x) у точці x 0 при збільшенні аргументу Dx (Dx®0) Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) і формулою (3.3) можна записати

f(x 0 + Dx) f (x 0) + . (3.4)

Окремими випадками формули (3.4) є вирази:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4б)

sinDx » Dx (3.4в)

tgDx » Dx (3.4г)

Тут, як і раніше, передбачається, що Dx®0.

приклад 3.Знайти наближене значення функції f(x) = (3x -5) 5 у точці x 1 =2,02.

Рішення. Для обчислень скористаємося формулою (3.4). Представимо x 1 як x 1 = x 0 + Dx. Тоді x0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

приклад 4.Обчислити (1,01) 5 ln(1,02) ln .

Рішення

1. Скористаємося формулою (3.4а). Для цього представимо (1,01) 5 у вигляді (1+0,01) 5 .

Тоді, вважаючи Dх = 0,01, n = 5, отримаємо

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Представивши у вигляді (1 - 0,006) 1/6 згідно (3.4а), отримаємо

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. Враховуючи, що ln(1,02) = ln(1 + 0,02) і вважаючи Dx=0,02, за формулою (3.4б) отримаємо

ln(1,02) = ln(1 + 0,02)» 0,02.

4. Аналогічно

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Знайти наближені значення збільшення функцій

155. y = 2x 3 + 5 за зміни аргументу x від значення x 0 = 2 до x 1 = 2,001

156. у = 3x 2 + 5x + 1 при x 0 = 3 та Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 при x 0 = 2 та Dx = 0,01

158. y = ln x при x 0 = 10 та Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x при x 0 = 3 та Dx = 0,01

Знайти наближені значення функцій

160. у = 2x 2 - x + 1 у точці x 1 = 2,01

161. y = x 2 + 3x + 1 у точці x 1 = 3,02

162. y = у точці x 1 = 1,1

163. y= у точці x 1 = 3,032

164. y = у точці x 1 = 3,97

165. y = sin 2x у точці x 1 = 0,015

Обчислити приблизно

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178. ln(1,003×e) 179. ln(1,05) 5 180. ln

181. ln0,98 182. ln 183. ln(e 2 ×0,97)

Дослідження функцій та побудова графіків

Ознаки монотонності функції

Теорема 1 (необхідна умовазростання (зменшення) функції) . Якщо функція, що диференціюється y = f(x), xÎ(a; b) зростає (зменшується) на інтервалі (a; b), то для будь-якого x 0 Î(a; b).

Теорема 2 (достатня умовазростання (зменшення) функції) . Якщо функція y = f(x), xÎ(a; b) має позитивну (негативну) похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то ця функція зростає (зменшується) на цьому інтервалі.

Екстремуми функції

Визначення 1.Точка x 0 називається точкою максимуму (мінімуму) функції у = f(x), якщо для всіх x з деякої d-околиці точки x 0 виконується нерівність f(x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) при x x 0 .

Теорема 3 (Ферма) (Необхідна умова існування екстремуму) . Якщо точка x 0 є точкою екстремуму функції y = f(x) і в цій точці існує похідна ,

Теорема 4 (Перша достатня умова існування екстремуму) . Нехай функція y = f(x) диференційована в деякій d-околиці точки x 0 . Тоді:

1) якщо похідна під час переходу через точку x 0 змінює знак з (+) на (-), то x 0 є точкою максимуму;

2) якщо похідна під час переходу через точку x 0 змінює знак з (-) на (+), то x 0 є точкою мінімуму;

3) якщо похідна під час переходу через точку x 0 не змінює знак, то точці x 0 функція немає екстремуму.

Визначення 2.Точки, у яких похідна функції перетворюється на нуль чи немає, називаються критичними точками першого роду.

за допомогою першої похідної

1. Знайти область визначення D(f) функції у = f(x).

3. Знайти критичні точкипершого роду.

4. Розставити критичні точки в області визначення D(f) функції y = f(x) та визначити знак похідної у проміжках, на які критичні точки ділять область визначення функції.

5. Виділити точки максимуму та мінімуму функції та обчислити в цих точках значення функції.

приклад 1.Дослідити на екстремум функцію у = x3-3x2.

Рішення. Відповідно до алгоритму знаходження екстремуму функції за допомогою першої похідної маємо:

1. D(f): xÎ(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - критичні точки першого роду.

Похідна під час переходу через точку x = 0

змінює знак з (+) на (-), отже це точка

Максимуму. При переході через точку х = 2 змінює знак із (-) на (+), отже це точка мінімуму.

5. ymax = f(0) = 03×3×02 = 0.

Координати максимуму (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Координати мінімуму (2; -4).

Теорема 5 (Друга достатня умова існування екстремуму) . Якщо функція у = f(x) визначена і двічі диференційована в околиці точки x 0 , причому , то в точці x 0 функція f(x) має максимум, якщо і мінімум, якщо .

Алгоритм знаходження екстремуму функції

за допомогою другої похідної

1. Знайти область визначення D(f) функції y = f(x).

2. Обчислити першу похідну

З одного боку, обчислення диференціала значно простіше, ніж обчислення приросту, з іншого боку, dy≈∆y і припустима похибка може бути зроблена як завгодно малою за рахунок зменшення ∆x. Ці обставини дозволяють у багатьох випадках замінювати ∆y величиною dy. З наближеної рівності dy≈∆y, враховуючи, що ∆y = f(x) – f(x 0), а dy=f'(x 0)(x-x 0), отримаємо f(x) ≈ f(x 0) + f'(x 0)(x – x 0), де x-x 0 = ∆x.
Приклад. Обчислити.
Рішення. Взявши функцію, маємо: . Вважаючи x 0 =16 (вибираємо самі, щоб корінь витягувався), ∆x = 0,02, отримаємо .

Приклад. Обчислити значення функції f(x) = e x у точці x = 0.1.
Рішення. Як x 0 візьмемо число 0, тобто x 0 =0, тоді ∆x=x-x 0 =0.1 та e 0.1 ≈e 0 + e 0 0.1 = 1+0.1 = 1.1. За таблицею e 0.1 ≈1.1052. Помилка вийшла незначною.
Зазначимо ще одне важлива властивістьдиференціалу. Формула для знаходження диференціала dy=f'(x)dx вірна як у випадку, коли x- незалежна змінна, так і у випадку, коли x- функція від нової змінної t. Ця властивість диференціала називається властивістю інваріантності його форми. Наприклад, функції y=tg(x) диференціал запишеться як незалежно від того, чи є x незалежною змінною чи функцією. У разі якщо x– функція і конкретно задана, наприклад x=t 2 , то обчислення dy можна продовжити, навіщо знайдемо dx=2tdt і підставимо раніше отриманий вираз для dy:
.
Якщо замість формули (2) скористалися б неінваріантною формулою (1), то у разі, коли x – функція, ми не могли б подібним чином продовжити обчислення dy, тому що ∆x, взагалі кажучи, не збігається з dx.

Поняття диференціала

Нехай функція y = f(x) диференційована при деякому значенні змінної x. Отже, у точці xіснує кінцева похідна

Тоді за визначенням межі функції різниця

є нескінченно малою величиною при . Виразивши з рівності (1) збільшення функції, отримаємо

(2)

(величина залежить від , т. е. залишається постійної при ).

Якщо , то правої частини рівності (2) перший доданок лінійно щодо . Тому при

воно є нескінченно малою того ж порядку малості, що і . Другий доданок - нескінченно мала більш високого порядкутрохи, ніж перше, тому що їх відношення прагне до нуля при

Тому кажуть, що перший доданок формули (2) є головною, лінійною щодо частиною збільшення функції; чим менше, тим велику часткузбільшення становить ця частина. Тому при малих значеннях (і при ) збільшення функції можна приблизно замінити його головною частиною, тобто.

Цю головну частинузбільшення функції називають диференціалом цієї функції в точці xі позначають

Отже,

(5)

Отже, диференціал функції y = f(x) дорівнює творуїї похідною на збільшення незалежної змінної.

Зауваження. Потрібно пам'ятати, що якщо x– вихідне значення аргументу,

Нарощене значення, то похідна у виразі диференціала береться в вихідній точці x; у формулі (5) це видно із запису, у формулі (4) – ні.

Диференціал функції можна записати в іншій формі:

Геометричний зміст диференціала. Диференціал функції y = f(x) дорівнює прирощеннюординати дотичної, проведеної до графіка цієї функції в точці ( x; y), при зміні xна величину.

Властивості диференціалу. Інваріантність форми диференціалу

У цьому й наступному параграфах кожну з функцій вважатимемо диференційованою за всіх аналізованих значеннях її аргументів.

Диференціал має властивості, аналогічні властивостям похідної:

(С – постійна величина) (8)

(9)

(10)

(12)

Формули (8) – (12) виходять з відповідних формул для похідної множенням обох частин кожної рівності на .

Розглянемо диференціал складної функції. Нехай - складна функція:

Диференціал

цією функцією, використовуючи формулу для похідної складної функції, можна записати у вигляді

Але є диференціал функції, тому

(13)

Тут диференціал записаний у тому вигляді, як й у формулі (7), хоча аргумент не незалежної змінної, а функцією . Отже, вираз диференціала функції як твори похідної цієї функції на диференціал її аргументу справедливо незалежно від цього, є аргумент незалежної змінної чи функцією інший змінної. Цю властивість називають інваріантністю(незмінністю) форми диференціала.

Підкреслимо, що у формулі (13) не можна замінити на , оскільки

для будь-якої функції, крім лінійної.

приклад 2.Записати диференціал функції

двома способами, виражаючи його: через диференціал проміжної змінної та через диференціал змінної x. Перевірити збіг отриманих виразів.

Рішення. Покладемо

а диференціал запишеться у вигляді

Підставляючи в цю рівність

Отримуємо

Застосування диференціала у наближених обчисленнях

Встановлена ​​у першому параграфі наближена рівність

дозволяє використовувати диференціал для наближених обчислень значень функції.

Запишемо наближену рівність докладніше. Так як

приклад 3.Користуючись поняттям диференціала, обчислити приблизно ln 1,01.

Рішення. Число ln 1,01 є одним із значень функції y= ln x. Формула (15) даному випадкунабуде вигляду

Отже,

що є дуже добрим наближенням: табличне значення ln 1,01 = 0,0100.

приклад 4.Користуючись поняттям диференціала, обчислити приблизно

Рішення. Число
є одним із значень функції

Оскільки похідна цієї функції

то формула (15) набуде вигляду

отримуємо

(табличне значення

).

Користуючись наближеним значенням числа, необхідно мати можливість судити про ступінь його точності. З цією метою обчислюють його абсолютну та відносну похибки.

Абсолютна похибка наближеного числа дорівнює абсолютної величинирізниці між точним числом та його наближеним значенням:

Відносною похибкою наближеного числа називається відношення абсолютної похибки цього числа до абсолютної величини відповідного точного числа:

Помножуючи на 4/3, знаходимо

Приймаючи табличне значення кореня

за точне число, оцінимо за формулами (16) та (17) абсолютну та відносну похибки наближеного значення:

Наближені обчислення за допомогою диференціалу

на даному уроціми розглянемо поширене завдання про наближене обчислення значення функції за допомогою диференціалу. Тут і далі мова піде про диференціали першого порядку, для стислості я часто говоритиму просто «диференціал». Завдання про наближені обчислення за допомогою диференціала має жорсткий алгоритм рішення, і, отже, особливих труднощів виникнути не повинно. Єдине, є невелике підводне каміння, яке теж буде підчищене. Тож сміливо пірнайте головою вниз.

Крім того, на сторінці присутні формули знаходження абсолютної та відносної похибки обчислень. Матеріал дуже корисний, оскільки похибки доводиться розраховувати й інших завданнях. Фізики, де ваші оплески? =)

Для успішного освоєння прикладів необхідно вміти знаходити похідні функції хоча б на середньому рівні, тому якщо з диференціюванням зовсім негаразди, будь ласка, почніть з уроку Як знайти похідну?Також рекомендую прочитати статтю Найпростіші завдання з похідною, а саме параграфи про знаходження похідної в точціі знаходження диференціала в точці. З технічних засобівпотрібен мікрокалькулятор з різними математичними функціями. Можна використовувати Ексель, але в цьому випадку він менш зручний.

Практикум складається із двох частин:

– Наближені обчислення за допомогою диференціала функції однієї змінної.

– Наближені обчислення за допомогою повного диференціалуфункції двох змінних.

Кому що потрібне. Насправді можна було розділити багатство на дві купи, тому що другий пункт відноситься до додатків функцій декількох змінних. Але що вдієш, ось люблю я довгі статті.

Наближені обчислення
за допомогою диференціала функції однієї змінної

Розглянуте завдання та його геометричний зміствже освітлено на уроці Що таке похідна? І зараз ми обмежимося формальним розглядом прикладів, чого цілком достатньо, щоб навчитися їх вирішувати.

У першому параграфі керує функція однієї змінної. Як знають, вона позначається через чи через . Для цього завдання набагато зручніше використовувати друге позначення. Відразу перейдемо до популярного прикладу, який часто зустрічається на практиці:

Приклад 1

Рішення:Будь ласка, перепишіть у зошит робочу формулу для наближеного обчислення за допомогою диференціала:

Починаємо розбиратись, тут все просто!

На першому етапі необхідно скласти функцію. За умовою запропоновано обчислити кубічний коріньу складі: , тому відповідна функція має вигляд: . Нам потрібно за допомогою формули знайти наближене значення.

Дивимося на ліву частину формули , і на думку спадає думка, що число 67 необхідно подати у вигляді . Як найпростіше це зробити? Рекомендую наступний алгоритм: обчислимо дане значенняна калькуляторі:
- Вийшло 4 з хвостиком, це важливий орієнтир для вирішення.

Як підбираємо «хороше» значення, щоб корінь витягувався націло. Звичайно, це значення має бути якомога ближчедо 67. У разі: . Дійсно: .

Примітка: Коли з підбором все одно виникає скрута, просто подивіться на скалькульоване значення (в даному випадку ), Візьміть найближчу цілу частину (в даному випадку 4) і зведіть її потрібну в ступінь (в даному випадку). У результаті буде виконаний необхідний підбір: .

Якщо , то збільшення аргументу: .

Отже, число 67 представлено у вигляді суми

Спочатку обчислимо значення функції у точці. Власне, це вже зроблено раніше:

Диференціал у точці знаходиться за формулою:
- Також можете переписати до себе в зошит.

З формули випливає, що потрібно взяти першу похідну:

І знайти її значення в точці:

Таким чином:

Все готово! Відповідно до формули:

Знайдене наближене значення досить близько до значення , обчисленому за допомогою мікрокалькулятора

Відповідь:

Приклад 2

Обчислити приблизно , замінюючи збільшення функції її диференціалом.

Це приклад для самостійного рішення. Зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку. Початківцям спочатку рекомендую обчислити точне значенняна мікрокалькуляторі, щоб з'ясувати, скільки прийняти за , а яке – за . Слід зазначити, що в даному прикладібуде негативним.

У деяких, можливо, постало питання, навіщо потрібне це завдання, якщо можна все спокійно і точніше підрахувати на калькуляторі? Згоден, завдання дурне і наївне. Але спробую трохи її виправдати. По-перше, завдання ілюструє сенс диференціалу функції. По-друге, у давнину, калькулятор був чимось на зразок особистого вертольота в наш час. Сам бачив, як із місцевого політехнічного інституту року десь у 1985-86 викинули комп'ютер розміром з кімнату (з усього міста збіглися радіоаматори з викрутками, і за кілька годин від агрегату залишився лише корпус). Антикваріат водився і в нас на фізматі, щоправда, меншим розміром – десь з парту. Ось так і мучилися наші предки з методами наближених обчислень. Кінний віз – теж транспорт.

Так чи інакше, завдання залишилося у стандартному курсі вищої математики, І вирішувати її доведеться. Це основна відповідь на ваше запитання =)

Приклад 3

у точці. Обчислити більш точне значення функції у точці за допомогою мікрокалькулятора, оцінити абсолютну та відносну похибку обчислень.

Фактично те саме завдання, його запросто можна переформулювати так: «Обчислити наближене значення за допомогою диференціалу»

Рішення:Використовуємо знайому формулу:
В даному випадку вже дана готова функція: . Ще раз звертаю увагу, що для позначення функції замість «Ігрека» зручніше використовувати .

Значення необхідно подати у вигляді . Ну, тут легше, бачимо, що число 1,97 дуже близько до «двійки», тому напрошується . І, отже: .

Використовуючи формулу , обчислимо диференціал у цій самій точці.

Знаходимо першу похідну:

І її значення в точці:

Таким чином, диференціал у точці:

В результаті, за формулою:

Друга частина завдання полягає в тому, щоб знайти абсолютну та відносну похибку обчислень.

Абсолютна та відносна похибка обчислень

Абсолютна похибка обчисленьзнаходиться за формулою:

Знак модуля показує, що нам не має значення, яке значення більше, а яке менше. Важливо, наскільки далеконаближений результат відхилився від точного значення у той чи інший бік.

Відносна похибка обчисленьзнаходиться за формулою:
, або, те саме:

Відносна похибка показує, на скільки відсотківнаближений результат відхилився від точного значення. Існує версія формули і без домноження на 100%, але на практиці я майже завжди бачу наведений вище варіант з відсотками.

Після короткої довідки повернемося до нашого завдання, в якому ми вирахували наближене значення функції за допомогою диференціалу.

Обчислимо точне значення функції за допомогою мікрокалькулятора:
, Строго кажучи, значення все одно наближене, але ми вважатимемо його точним. Такі завдання зустрічаються.

Обчислимо абсолютну похибку:

Обчислимо відносну похибку:
, Отримані тисячні частки відсотка, таким чином, диференціал забезпечив просто відмінне наближення.

Відповідь: , абсолютна похибкаобчислень, відносна похибка обчислень

Наступний прикладдля самостійного вирішення:

Приклад 4

Обчислити приблизно за допомогою диференціала значення функції у точці. Обчислити більш точне значення функції у цій точці, оцінити абсолютну і відносну похибку обчислень.

Зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Багато хто звернув увагу, що у всіх розглянутих прикладах фігурує коріння. Це не випадково, в більшості випадків у завданні, що розглядається, дійсно пропонуються функції з корінням.

Але для читачів я розкопав невеликий приклад з арксинусом:

Приклад 5

Обчислити приблизно за допомогою диференціала значення функції у точці

Цей коротенький, але пізнавальний приклад для самостійного рішення. А я трохи відпочив, щоби з новими силами розглянути особливе завдання:

Приклад 6

Обчислити приблизно за допомогою диференціалу , результат округлити до двох знаків після коми.

Рішення:Що нового у завданні? За умовою потрібно округлити результат до двох знаків після коми. Але справа не в цьому, шкільне завдання округлення, думаю, не є для вас складнощами. Справа в тому, що у нас дано тангенс з аргументом, який виражений у градусах. Що робити, коли вам пропонується для вирішення тригонометричної функції з градусами? Наприклад, і т.д.

Алгоритм рішення принципово зберігається, тобто необхідно, як і попередніх прикладах, застосувати формулу

Записуємо очевидну функцію

Значення потрібно у вигляді . Серйозну допомогу надасть таблиця значень тригонометричних функцій. До речі, хто її не роздрукував, рекомендую це зробити, оскільки заглядати туди доведеться на протязі всього курсу вивчення вищої математики.

Аналізуючи таблицю, помічаємо «хороше» значення тангенсу, яке близько розташовується до 47 градусів:

Таким чином:

Після попереднього аналізу градуси необхідно перевести в радіани. Так і тільки так!

У цьому прикладі безпосередньо з тригонометричної таблиціможна з'ясувати, що . За формулою переведення градусів у радіани: (Формули можна знайти в тій же таблиці).

Подальше шаблонно:

Таким чином: (При обчислення використовуємо значення ). Результат, як і вимагалося за умовою, заокруглений до двох знаків після коми.

Відповідь:

Приклад 7

Обчислити приблизно за допомогою диференціалу , результат округлити до трьох знаків після коми.

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Як бачите, нічого складного, градуси переводимо в радіани і дотримуємося звичайного алгоритму розв'язання.

Наближені обчислення
за допомогою повного диференціалу функції двох змінних

Все буде дуже і дуже схоже, тому якщо ви зайшли на цю сторінку саме цим завданням, то спочатку рекомендую переглянути хоча б пару прикладів попереднього пункту.

Для вивчення параграфа необхідно вміти знаходити приватні похідні другого порядкукуди ж без них. На вищезгаданому уроці функцію двох змінних я позначав через букву. Що стосується розглянутого завдання зручніше використовувати еквівалентне позначення.

Як і для випадку функції однієї змінної, умова завдання може бути сформульована по-різному, і я постараюся розглянути всі формулювання, що зустрічаються.

Приклад 8

Рішення:Як би не було записано умова, у самому рішенні для позначення функції, повторюся, краще використовувати не букву «зет», а .

А ось і робоча формула:

Перед нами, фактично, старша сестра формули попереднього параграфа. Змінна тільки додалася. Та що казати, сам алгоритм рішення буде принципово таким самим!

За умовою потрібно знайти наближене значення функції у точці.

Число 3,04 представимо у вигляді. Колобок сам проситься, щоб його з'їли:
,

Число 3,95 представимо у вигляді. Дійшла черга і до другої половини Колобка:
,

І не дивіться на всякі лисячі хитрощі, Колобок є – треба його з'їсти.

Обчислимо значення функції в точці:

Диференціал функції у точці знайдемо за формулою:

З формули випливає, що потрібно знайти приватні похідніпершого порядку і обчислити їх значення у точці.

Обчислимо приватні похідні першого порядку в точці:

Повний диференціал у точці:

Таким чином, за формулою наближене значення функції в точці:

Обчислимо точне значення функції в точці:

Це значення є абсолютно точним.

Похибки розраховуються за стандартним формулам, про які вже йшлося у цій статті.

Абсолютна похибка:

Відносна похибка:

Відповідь:, абсолютна похибка: , відносна похибка:

Приклад 9

Обчислити наближене значення функції у точці за допомогою повного диференціалу, оцінити абсолютну та відносну похибку.

Це приклад самостійного рішення. Хто зупиниться докладніше цьому прикладі, той зверне увагу, що похибки обчислень вийшли дуже і дуже помітними. Це сталося з наступної причини: у запропонованій задачі досить великі збільшення аргументів: . Загальна закономірністьтака – що більше ці збільшення по абсолютній величині, то нижча точність обчислень. Так, наприклад, для схожої точки збільшення будуть невеликими: , і точність наближених обчислень вийде дуже високою.

Ця особливість справедлива й у випадку функції однієї змінної (перша частина уроку).

Приклад 10

Рішення: Обчислимо цей вираз приблизно за допомогою повного диференціала функції двох змінних:

На відміну від Прикладів 8-9 полягає в тому, що нам спочатку необхідно скласти функцію двох змінних: . Як складено функцію, думаю, всім інтуїтивно зрозуміло.

Значення 4,9973 близько до «п'ятірки», тому: , .
Значення 0,9919 близько до «одиниці», отже, вважаємо: , .

Обчислимо значення функції в точці:

Диференціал у точці знайдемо за формулою:

Для цього обчислимо приватні похідні першого порядку в точці.

Похідні тут не найпростіші, і слід бути обережним:

;

.

Повний диференціал у точці:

Таким чином, наближене значення даного виразу:

Обчислимо більш точне значення за допомогою мікрокалькулятора: 2,998899527

Знайдемо відносну похибку обчислень:

Відповідь: ,

Саме ілюстрація вищесказаному, у розглянутому завданні збільшення аргументів дуже малі, і похибка вийшла фантастично мізерною.

Приклад 11

За допомогою повного диференціалу функції двох змінних обчислити наближено значенняданого виразу. Обчислити цей вираз за допомогою мікрокалькулятора. Оцінити у відсотках відносну похибку обчислень.

Це приклад самостійного рішення. Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Як уже зазначалося, найбільш приватний гість у даному типізавдань – це якесь коріння. Але іноді зустрічаються й інші функції. І останній простий приклад для релаксації:

Приклад 12

За допомогою повного диференціалу функції двох змінних обчислити наближено значення функції, якщо

Рішення ближче до дна сторінки. Ще раз зверніть увагу на формулювання завдань уроку, різних прикладахпрактично формулювання можуть бути різними, але це принципово не змінює суті та алгоритму рішення.

Якщо чесно, трохи стомився, оскільки матеріал був нудний. Непедагогічно це було говорити на початку статті, але зараз уже можна =) Дійсно, завдання обчислювальної математики зазвичай не дуже складні, не дуже цікаві, найважливіше, мабуть, не припуститися помилки у звичайних розрахунках.

Нехай не зітруться клавіші вашого калькулятора!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення:Використовуємо формулу:
В даному випадку: , ,

Таким чином:
Відповідь:

Приклад 4: Рішення:Використовуємо формулу:
В даному випадку: , ,