Приклади похідних складної функції розподілу. Складна функція

Висновок формули похідної статечної функції(x у ступені a). Розглянуто похідні від коренів із x. Формула похідної статечної функції вищого порядку. Приклади обчислення похідних.

Похідна від x у ступені a дорівнює a , помноженому на x у ступені a мінус один:
(1) .

Похідна від кореня ступеня n з x до ступеня m дорівнює:
(2) .

Висновок формули похідної статечної функції

Випадок x > 0

Розглянемо статечну функцію від змінної x з показником ступеня a:
(3) .
Тут a є довільним дійсним числом. Спочатку розглянемо випадок.

Щоб знайти похідну функції (3), скористаємось властивостями статечної функції та перетворюємо її до наступного виду:
.

Тепер знаходимо похідну, застосовуючи:
;
.
Тут.

Формулу (1) доведено.

Висновок формули похідної від кореня ступеня n з x до ступеня m

Тепер розглянемо функцію, що є коренем такого виду:
(4) .

Щоб знайти похідну, перетворимо корінь до статечної функції:
.
Порівнюючи з формулою (3) бачимо, що
.
Тоді
.

За формулою (1) знаходимо похідну:
(1) ;
;
(2) .

Насправді немає необхідності запам'ятовувати формулу (2). Набагато зручніше спочатку перетворити коріння до статечних функцій, а потім знаходити їх похідні, застосовуючи формулу (1) (див. приклади наприкінці сторінки).

Випадок x = 0

Якщо , то статечна функція визначена при значенні змінної x = 0 . Знайдемо похідну функції (3) при x = 0 . Для цього скористаємося визначенням похідної:
.

Підставимо x = 0 :
.
При цьому під похідною ми розуміємо правосторонню межу, для якої .

Отже, ми знайшли:
.
Звідси видно, що з , .
При , .
При , .
Цей результат виходить і за формулою (1):
(1) .
Тому формула (1) справедлива і за x = 0 .

Випадок x< 0

Знову розглянемо функцію (3):
(3) .
При деяких значеннях постійної a вона визначена і при негативних значенняхзмінної x. А саме, нехай a буде раціональним числом. Тоді його можна уявити у вигляді нескоротного дробу:
,
де m і n - цілі числа, що не мають спільного дільника.

Якщо n непарне, то статечна функція визначена при негативних значеннях змінної x . Наприклад, при n = 3 та m = 1 ми маємо кубічний коріньз x:
.
Він і при негативних значеннях змінної x .

Знайдемо похідну статечної функції (3) при та при раціональних значенняхпостійною a , котрим вона визначена. Для цього представимо x у наступному вигляді:
.
Тоді ,
.
Знаходимо похідну, виносячи постійну за знак похідної та застосовуючи правило диференціювання складної функції:

.
Тут. Але
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Тобто формула (1) справедлива і при:
(1) .

Похідні вищих порядків

Тепер знайдемо похідні вищих порядків від статечної функції
(3) .
Похідну першого порядку ми вже знайшли:
.

Виносячи постійну a за знак похідної, знаходимо похідну другого порядку:
.
Аналогічним чином знаходимо похідні третього та четвертого порядків:
;

.

Звідси видно, що похідна довільного n-го порядкумає такий вигляд:
.

Зауважимо, що якщо a є натуральним числом , то n -я похідна є постійною:
.
Тоді всі наступні похідні дорівнюють нулю:
,
при .

Приклади обчислення похідних

приклад

Знайдіть похідну функції:
.

Рішення

Перетворюємо коріння до ступенів:
;
.
Тоді вихідна функція набуває вигляду:
.

Знаходимо похідні ступенів:
;
.
Похідна постійної дорівнює нулю:
.

Доказ та виведення формул похідної експоненти (e у ступені x) та показової функції (a у ступені x). Приклади обчислення похідних від e^2x, e^3x та e^nx. Формули похідних вищих систем.

Похідна експоненти дорівнює самій експоненті (похідна e у ступені x дорівнює e у ступені x):
(1) (e x )′ = e x.

Похідна показової функції з основою ступеня a дорівнює самій функції, помноженій на натуральний логарифмвід a:
(2) .

Висновок формули похідної експоненти, e ступенем x

Експонента - це показова функція, у якої основа ступеня дорівнює числу e, яке є такою межею:
.
Тут може бути як натуральним, так і дійсним числом. Далі ми виводимо формулу (1) похідної експоненти.

Висновок формули похідної експоненти

Розглянемо експоненту, e у ступені x :
y = e x.
Ця функція визначена всім . Знайдемо її похідну за змінною x. За визначенням, похідна є такою межею:
(3) .

Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичним властивостямта правил. Для цього нам знадобляться такі факти:
а)Властивість експоненти:
(4) ;
Б)Властивість логарифму:
(5) ;
в)Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:
(6) .
Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
г)Значення другої чудової межі:
(7) .

Застосовуємо ці факти до нашої межі (3). Використовуємо властивість (4):
;
.

Зробимо підстановку. Тоді; .
В силу безперервності експоненти,
.
Тому за , . В результаті отримуємо:
.

Зробимо підстановку. Тоді. При , . І ми маємо:
.

Застосуємо властивість логарифму (5):
. Тоді
.

Застосуємо властивість (6). Оскільки існує позитивна межа та логарифм безперервний, то:
.
Тут ми також скористалися другим чудовою межею(7). Тоді
.

Таким чином, ми отримали формулу (1) похідної експоненти.

Висновок формули похідної показової функції

Тепер виведемо формулу (2) похідної показової функції з основою ступеня a. Ми вважаємо, що і . Тоді показова функція
(8)
Визначено для всіх.

Перетворимо формулу (8). Для цього скористаємося властивостями показової функціїта логарифма.
;
.
Отже, ми перетворили формулу (8) на такий вид:
.

Похідні вищих порядків від e до ступеня x

Тепер знайдемо похідні найвищих порядків. Спочатку розглянемо експоненту:
(14) .
(1) .

Ми, що похідна від функції (14) дорівнює самій функції (14). Диференціюючи (1), отримуємо похідні другого та третього порядку:
;
.

Звідси видно, що похідна n-го порядку також дорівнює вихідній функції:
.

Похідні вищих порядків показової функції

Тепер розглянемо показову функціюз основою ступеня a:
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(15) .

Диференціюючи (15), отримуємо похідні другого та третього порядку:
;
.

Ми, що кожне диференціювання призводить до множення вихідної функції на . Тому похідна n-го порядку має такий вигляд:
.

Визначення.Нехай функція \(y = f(x) \) визначена в деякому інтервалі, що містить у собі точку \(x_0 \). Дамо аргументу приріст (Delta x) таке, щоб не вийти з цього інтервалу. Знайдемо відповідне збільшення функції \(\Delta y \) (при переході від точки \(x_0 \) до точки \(x_0 + \Delta x \)) і складемо відношення \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Якщо існує межа цього відношення при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то вказану межу називають похідної функції\(y=f(x) \) у точці \(x_0 \) і позначають \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Для позначення похідної часто використовують символ y". Зазначимо, що y" = f(x) - це нова функціяале, природно, пов'язана з функцією y = f(x), визначена у всіх точках x, в яких існує зазначена вище межа. Цю функцію називають так: похідна функції у = f(x).

Геометричний зміст похідноїполягає у наступному. Якщо до графіку функції у = f(x) у точці з абсцисою х=a можна провести дотичну, непаралельну осі y, то f(a) виражає кутовий коефіцієнт дотичної:
\(k = f"(a) \)

Оскільки \(k = tg(a) \), то вірна рівність \(f"(a) = tg(a) \).

А тепер витлумачимо визначення похідної з погляду наближених рівностей. Нехай функція \(y = f(x) \) має похідну в конкретній точці \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Це означає, що біля точки х виконується наближена рівність \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), тобто \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Змістовний зміст отриманої наближеної рівності полягає в наступному: збільшення функції «майже пропорційно» збільшенню аргументу, причому коефіцієнтом пропорційності є значення похідної в заданій точціх. Наприклад, для функції \(y = x^2 \) справедливо наближена рівність \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Якщо уважно проаналізувати визначення похідної, ми виявимо, що у ньому закладено алгоритм її знаходження.

Сформулюємо його.

Як знайти похідну функції у = f (x)?

1. Зафіксувати значення \(x \), знайти \(f(x) \)
2. Дати аргументу \(x \) збільшення \(\Delta x \), перейти в нову точку\(x+ \Delta x \), знайти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Знайти збільшення функції: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Скласти відношення \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Обчислити $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ця межа і є похідною функцією в точці x.

Якщо функція у = f(x) має похідну в точці х, її називають диференційованою в точці х. Процедуру знаходження похідної функції у = f(x) називають диференціюваннямфункції у = f(x).

Обговоримо таке питання: як пов'язані між собою безперервність та диференційність функції у точці.

Нехай функція у = f(x) диференційована у точці х. Тоді до графіку функції в точці М(х; f(x)) можна провести дотичну, причому, нагадаємо, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(x). Такий графік не може «розриватися» у точці М, тобто функція зобов'язана бути безперервною у точці х.

Це були міркування "на пальцях". Наведемо більш строгу міркування. Якщо функція у = f(x) диференційована в точці х, то виконується наближена рівність \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Якщо в цій рівності \(\Delta x \) спрямувати до нулю, то й \(\Delta y \) прагнутиме до нуля, а це і є умова безперервності функції в точці.

Отже, якщо функція диференційована у точці х, вона і безперервна у цій точці.

Зворотне твердження не так. Наприклад: функція у = | х | безперервна скрізь, зокрема у точці х = 0, але щодо графіку функції в «точці стику» (0; 0) не існує. Якщо деякій точці до графіку функції не можна провести дотичну, то цій точці немає похідна.

Ще один приклад. Функція \(y=\sqrt(x) \) безперервна на всій числовій прямій, у тому числі в точці х = 0. І дотична до графіка функції існує в будь-якій точці, у тому числі в точці х = 0. Але в цій точці дотична збігається з віссю у, тобто перпендикулярна до осі абсцис, її рівняння має вигляд х = 0. Кутового коефіцієнтау такої прямої немає, значить, не існує і \(f"(0) \)

Отже, ми познайомилися з новою властивістю функції - диференціювання. А як за графіком функції можна дійти невтішного висновку про її диференційованості?

Відповідь фактично отримано вище. Якщо деякій точці до графіку функції можна провести дотичну, не перпендикулярну осі абсцис, то цій точці функція диференційована. Якщо у певній точці дотична до графіку функції немає чи вона перпендикулярна осі абсцис, то цій точці функція не диференційована.

Правила диференціювання

Операція знаходження похідної називається диференціюванням. За виконання цієї операції часто доводиться працювати з приватними, сумами, творами функцій, і навіть з «функціями функцій», тобто складними функціями. Виходячи з визначення похідної, можна вивести правила диференціювання, що полегшують роботу. Якщо C - постійне числоі f = f (x), g = g (x) - деякі функції, що диференціюються, то справедливі наступні правила диференціювання:

Таблиця похідних деяких функцій

Що таке похідна?

Таблиця похідних.

Похідна - одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося із цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань та доказів.

Це знайомство дозволить:

Розуміти суть нескладних завдань із похідною;

Успішно вирішувати ці самі не складні завдання;

Підготуватися до серйозніших уроків з похідної.

Спочатку – приємний сюрприз.)

Суворе визначенняпохідною засноване на теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не вимагає таких великих і глибоких знань!

Для успішного виконання більшості завдань у школі та ВНЗ достатньо знати всього кілька термінів- щоб зрозуміти завдання, та лише кілька правил- Щоб його вирішити. І все. Це радує.

Приступимо до знайомства?)

Терміни та позначення.

В елементарної математики багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, зведення в ступінь, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математика стає вищою. Ця нова операціяназивається диференціювання.Визначення та зміст цієї операції буде розглянуто в окремих уроках.

Тут важливо зрозуміти, що диференціювання - це просто математична операціянад функцією. Беремо будь-яку функцію і, певним правилам, Перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.

Диференціювання- Дія над функцією.

Похідна- Результат цієї дії.

Так само, як, наприклад, сума- Результат додавання. Або приватне- Результат поділу.

Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: знайти похідну функції; взяти похідну; продиференціювати функцію; обчислити похіднуі т.п. Це все одне і теж.Зрозуміло, бувають і складніші завдання, де перебування похідної (диференціювання) буде лише одним із кроків вирішення завдання.

Позначається похідна за допомогою штришку вгорі праворуч над функцією. Ось так: y"або f"(x)або S"(t)і так далі.

Читається ігор штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від те,Ну ви зрозуміли...)

Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х+3)", (x 3 )" , (Sinx)"і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми не розглядатимемо.

Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого – навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної – це перетворення функції за певними правилами.Цих правил, на диво, зовсім небагато.

Щоб знайти похідну функції, треба знати лише три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:

1. Таблиця похідних (формули диференціювання).

3. Похідна складної функції.

Почнемо по порядку. У цьому вся уроці розглянемо таблицю похідних.

Таблиця похідних.

В світі - нескінченна безлічфункцій. Серед цієї множини є функції, які найбільш важливі для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як із цеглинок, можна сконструювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції.Саме ці функції і вивчаються у школі – лінійна, квадратична, гіпербола тощо.

Диференціювання функцій "з нуля", тобто. виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики – теж люди, так-так!) От і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де вже готово.)

Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Зліва - елементарна функція, Праворуч - її похідна.

	Функція y	Похідна функції y y"
1	C ( постійна величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - будь-яке число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Рекомендую звернути увагу на третю групу функцій у таблиці похідних. Похідна статечної функції - одна з найвживаніших формул, якщо тільки не найвживаніша! Натяк зрозумілий?) Так, таблицю похідних бажано знати напам'ять. До речі, це не так важко, як це може здатися. Спробуйте вирішувати більше прикладів, Таблиця сама і запам'ятається!)

Знайти табличне значенняпохідною, як ви розумієте, завдання не найважче. Тому дуже часто у подібних завданнях зустрічаються додаткові фішки. Або у формулюванні завдання, або у вихідній функції, якої в таблиці - начебто і немає...

Розглянемо кілька прикладів:

1. Знайти похідну функції y = x 3

Такої функції у таблиці немає. Але є похідна статечної функції в загальному вигляді(Третя група). У разі n=3. Ось і підставляємо трійку замість n та акуратно записуємо результат:

(x 3) " = 3 · x 3-1 = 3x 2

Ось і всі справи.

Відповідь: y" = 3x 2

2. Знайти значення похідної функції y = sinx у точці х = 0.

Це завдання означає, що треба спочатку знайти похідну від синуса, а потім підставити значення х = 0в цю похідну. Саме у такому порядку!А то, буває, відразу підставляють нуль у вихідну функцію... Нас просять знайти не значення вихідної функції, а значення її похідною.Похідна, нагадаю – це вже нова функція.

По табличці знаходимо синус та відповідну похідну:

y" = (sin x)" = cosx

Підставляємо нуль у похідну:

y"(0) = cos 0 = 1

Це буде відповідь.

3. Продиференціювати функцію:

Що, вселяє?) Такої функції таблиці похідних і близько немає.

Нагадаю, що продиференціювати функцію – це просто знайти похідну цієї функції. Якщо забути елементарну тригонометрію, шукати похідну нашої функції досить клопітно. Таблиця не допомагає...

Але якщо побачити, що наша функція – це косинус подвійного кута , То все відразу налагоджується!

Так Так! Запам'ятайте, що перетворення вихідної функції до диференціюванняцілком допускається! І, трапляється, здорово полегшує життя. За формулою косинуса подвійного кута:

Тобто. наша хитра функція є не що інше, як y = cosx. А це - таблічна функція. Відразу отримуємо:

Відповідь: y" = - sin x.

Приклад для просунутих випускників та студентів:

4. Знайти похідну функції:

Такої функції у таблиці похідних немає, очевидно. Але якщо згадати елементарну математику, дії зі ступенями... Це цілком можна спростити цю функцію. Ось так:

А ікс ступеня одна десята - це вже таблічна функція! Третя група, n = 1/10. Просто за формулою та записуємо:

От і все. Це буде відповідь.

Сподіваюся, що з першим китом диференціювання – таблицею похідних – все ясно. Залишилося розібратися з двома китами, що залишилися. У наступному уроці освоїмо правила диференціювання.

У цій статті ми говоритимемо про таке важливе математичне поняття, як складна функція, і вчитися знаходити похідну складної функції.

Перш ніж вчитися знаходити похідну складної функції, давайте розберемося з поняттям складної функції, що це таке "з чим її їдять" і "як правильно її готувати".

Розглянемо довільну функцію, наприклад, таку:

Зауважимо, що аргумент , що стоїть у правій і лівій частині рівняння функції - це те саме число, або вираз.

Замість змінної ми можемо поставити, наприклад, такий вираз: . І тоді ми отримаємо функцію

Назвемо вираз проміжним аргументом, а функцію – зовнішньою функцією. Це не суворі математичні поняттяАле вони допомагають усвідомити сенс поняття складної функції.

Суворе визначення поняття складної функції звучить так:

Нехай функція визначена на множині і - безліч значень цієї функції. Нехай, множина (або його підмножина) є областю визначення функції . Поставимо у відповідність кожному з число. Тим самим на множині буде задана функція. Її називають композицією функцій чи складною функцією.

У цьому вся визначенні, якщо користуватися нашою термінологією, - зовнішня функція, - проміжний аргумент.

Похідна складної функції знаходиться за таким правилом:

Щоб було зрозуміліше, я люблю записувати це правило у вигляді такої схеми:

У цьому виразі за допомогою позначено проміжну функцію.

Отже. Щоб знайти похідну складної функції, потрібно

1. Визначити, яка функція є зовнішньою та знайти по таблиці похідних відповідну похідну.

2. Визначити проміжний аргумент.

У цій процедурі найбільші труднощі спричиняє перебування зовнішньої функції. Для цього використовується простий алгоритм:

а. Запишіть рівняння функції.

б. Уявіть, що вам потрібно визначити значення функції при якомусь значенні х. Для цього ви підставляєте це значення х у рівняння функції та робите арифметичні дії. Та дія, яку ви робите останнім і є зовнішня функція.

Наприклад, у функції

Остання дія - зведення у ступінь.

Знайдемо похідну цієї функції. Для цього запишемо проміжний аргумент