Функція розподілу набуває значень. Функції випадкових величин

.

Назад, якщо - невід'ємна п.в. функція, така що , то є абсолютно безперервна ймовірнісна міра на така, що є її щільністю.

Заміна заходу в інтегралі Лебега:

,

де будь-яка борелівська функція, що інтегрується щодо ймовірнісної міри .

Дисперсія, види та властивості дисперсії Поняття дисперсії

Дисперсія у статистицізнаходиться як середнє квадратичне відхилення індивідуальних значень ознаки у квадраті від середньої арифметичної. Залежно від вихідних даних вона визначається за формулами простої та зваженої дисперсій:

1. Проста дисперсія(Для несгрупованих даних) обчислюється за формулою:

2. Зважена дисперсія (для варіаційного ряду):

де n – частота (повторюваність фактора Х)

Приклад знаходження дисперсії

На цій сторінці описано стандартний приклад знаходження дисперсії, також Ви можете переглянути інші завдання на її знаходження

Приклад 1. Визначення групової, середньої з групової, міжгрупової та загальної дисперсії

Приклад 2. Знаходження дисперсії та коефіцієнта варіації у групувальній таблиці

Приклад 3. Знаходження дисперсії у дискретному ряду

Приклад 4. Є такі дані щодо групи з 20 студентів заочного відділення. Потрібно збудувати інтервальний рядрозподілу ознаки, розрахувати середнє значення ознаки та вивчити його дисперсію

Побудуємо інтервальне угруповання. Визначимо розмах інтервалу за формулою:

де X max- максимальне значеннягрупувальної ознаки; X min-мінімальне значення групувальної ознаки; n – кількість інтервалів:

Приймаємо n=5. Крок дорівнює: h = (192 - 159) / 5 = 6,6

Складемо інтервальне угруповання

Для подальших розрахунків збудуємо допоміжну таблицю:

X"i - середина інтервалу. (наприклад середина інтервалу 159 - 165,6 = 162,3)

Середню величину зростання студентів визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

Визначимо дисперсію за такою формулою:

Формулу можна перетворити так:

З цієї формули випливає, що дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата та середньої.

Дисперсія у варіаційних рядах з рівними інтервалами за способом моментів може бути розрахована наступним способом при використанні другої властивості дисперсії (розділивши всі варіанти на величину інтервалу). Визначення дисперсії, обчисленої за способом моментів, за такою формулою менш трудомісткий:

де i – величина інтервалу; А - умовний нуль, як який зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою; m1 – квадрат моменту першого порядку; m2 – момент другого порядку

Дисперсія альтернативної ознаки (якщо в статистичної сукупностіознака змінюється так, що є тільки два взаємно виключають один одного варіанти, то така мінливість називається альтернативною) може бути обчислена за формулою:

Підставляючи в цю формулудисперсії q =1-р, отримуємо:

Види дисперсії

Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки у всій сукупності загалом під впливом всіх чинників, що зумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загального середнього значення х може бути визначена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Внутрішньогрупова дисперсія характеризує випадкову варіацію, тобто. частина варіації, яка обумовлена ​​впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Така дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи X від середньої арифметичної групи і може бути обчислена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Таким чином, внутрішньогрупова дисперсія вимірюєваріацію ознаки всередині групи та визначається за формулою:

де хі - групова середня; ni – число одиниць у групі.

Наприклад, внутрішньогрупові дисперсії, які треба визначити в задачі вивчення впливу кваліфікації робітників на рівень продуктивності праці в цеху показують варіації виробітку в кожній групі, викликані всіма можливими факторами (технічний стан обладнання, забезпеченість інструментами та матеріалами, вік робітників, інтенсивність праці тощо) .), крім відмінностей у кваліфікаційному розряді (всередині групи всі робітники мають одну й ту саму кваліфікацію).

Середня з усередині групових дисперсійвідбиває випадкову варіацію, т. е. ту частину варіації, що відбувалася під впливом всіх інших чинників, крім чинника угруповання. Вона розраховується за такою формулою:

Міжгрупова дисперсіяхарактеризує систематичну варіацію результативної ознаки, яка обумовлена ​​впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої. Міжгрупова дисперсія розраховується за такою формулою:

Обчислимо вMSEXCELдисперсію та стандартне відхиленнявибірки. Також обчислимо дисперсію випадкової величини, якщо відомий її розподіл.

Спочатку розглянемо дисперсію, потім стандартне відхилення.

Дисперсія вибірки

Дисперсія вибірки (вибіркова дисперсія,samplevariance) характеризує розкид значень у масиві щодо .

Усі 3 формули математично еквівалентні.

З першої формули видно, що дисперсія вибіркице сума квадратів відхилень кожного значення в масиві від середнього, Поділена на розмір вибірки мінус 1.

дисперсії вибіркивикористовується функція ДИСП(), англ. назва VAR, тобто. VARiance. З версії MS EXCEL 2010 рекомендується використовувати аналог ДИСП.В() , англ. назва VARS, тобто. Sample VARiance. Крім того, починаючи з версії MS EXCEL 2010 є функція ДИСП.Г(), англ. назва VARP, тобто. Population VARiance, яка обчислює дисперсіюдля генеральної сукупності . Вся відмінність зводиться до знаменника: замість n-1 як у ДИСП.В(), у ДИСП.Г() у знаменнику просто n. До MS EXCEL 2010 для обчислення дисперсії генеральної сукупності використовувалась функція ДИСПР().

Дисперсію вибірки
=КВАДРОТКЛ(Вибірка)/(РАХУНОК(Вибірка)-1)
=(СУММКВ(Вибірка)-РАХУНОК(Вибірка)*СРЗНАЧ(Вибірка)^2)/ (РАХУНОК(Вибірка)-1)- Звичайна формула
= СУМ((Вибірка-СРЗНАЧ(Вибірка))^2)/ (РАХУНОК(Вибірка)-1) –

Дисперсія вибіркидорівнює 0, тільки в тому випадку, якщо всі значення рівні між собою і відповідно рівні середнього значення. Зазвичай, ніж більша величина дисперсіїтим більше розкид значень у масиві.

Дисперсія вибіркиє точковою оцінкою дисперсіїрозподілу випадкової величини, з якої було зроблено вибірка. Про побудову довірчих інтервалів при оцінці дисперсіїможна прочитати у статті.

Дисперсія випадкової величини

Щоб обчислити дисперсіювипадкової величини необхідно знати її .

Для дисперсіївипадкової величини Х часто використовують позначення Var(Х). Дисперсіядорівнює квадрату відхилення від середнього E(X): Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]

дисперсіяобчислюється за такою формулою:

де x i – значення, яке може набувати випадкова величина, а μ – середнє значення (), р(x) – ймовірність, що випадкова величина прийме значення х.

Якщо випадкова величина має, то дисперсіяобчислюється за такою формулою:

Розмірність дисперсіївідповідає квадрату одиниці виміру вихідних значень. Наприклад, якщо значення у вибірці є вимірювання ваги деталі (в кг), то розмірність дисперсії буде кг 2 . Це буває складно інтерпретувати, тому для характеристики розкиду значень частіше використовують величину рівну квадратному кореню. дисперсії – стандартне відхилення.

Деякі властивості дисперсії:

Var(Х + a) = Var (Х), де Х - випадкова величина, а - константа.

Var(aХ)=a 2 Var(X)

Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2

Ця властивість дисперсії використовується в статті про лінійну регресію.

Var(Х+Y)=Var(Х) + Var(Y) + 2*Cov(Х;Y), де Х та Y - випадкові величини, Cov(Х;Y) - коваріація цих випадкових величин.

Якщо випадкові величини незалежні (independent), їх коваріаціядорівнює 0, отже, Var(Х+Y)=Var(Х)+Var(Y). Ця властивість дисперсії використовується при виведенні.

Покажемо, що для незалежних величин Var(Х-Y) = Var(Х+Y). Справді, Var(Х-Y)=Var(Х-Y)=Var(Х+(-Y))=Var(Х)+Var(-Y)=Var(Х)+Var(-Y)=Var( Х)+(-1) 2 Var(Y)=Var(Х)+Var(Y)=Var(Х+Y). Ця властивість дисперсії використовується для побудови.

Стандартне відхилення вибірки

Стандартне відхилення вибірки- це міра того, наскільки широко розкидані значення у вибірці щодо них.

За визначенням, стандартне відхиленняодно квадратному кореню з дисперсії:

Стандартне відхиленняне враховує величину значень у вибірці, а тільки ступінь розсіювання значень навколо них середнього. Щоб проілюструвати це наведемо приклад.

Обчислимо стандартне відхилення для 2-х вибірок: (1; 5; 9) та (1001; 1005; 1009). В обох випадках s=4. Очевидно, що відношення величини стандартного відхилення до значень масиву вибірок істотно відрізняється. Для таких випадків використовується Коефіцієнт варіації(Coefficient of Variation, CV) - ставлення Стандартне відхиленнядо середнього арифметичному, Вираженого у відсотках.

У MS EXCEL 2007 та більш ранніх версіях для обчислення Стандартне відхилення вибіркивикористовується функція = СТАНДОТКЛОН (), англ. назва STDEV, тобто. STandard DEViation. З версії MS EXCEL 2010 рекомендується використовувати її аналог = СТАНДОТКЛОН.В(), англ. назва STDEV.S, тобто. Sample STandard DEViation.

Крім того, починаючи з версії MS EXCEL 2010 є функція СТАНДОТКЛОН.Г() , англ. назва STDEV.P, тобто. Population STandard DEViation, яка обчислює стандартне відхиленнядля генеральної сукупності. Вся відмінність зводиться до знаменника: замість n-1 як у СТАНДОТКЛОН.В() , у СТАНДОТКЛОН.Г() у знаменнику просто n.

Стандартне відхиленняможна також обчислити безпосередньо за нижченаведеними формулами (див. файл прикладу)
=КОРІНЬ(КВАДРОТКЛ(Вибірка)/(РАХУНОК(Вибірка)-1))
=КОРІНЬ((СУММКВ(Вибірка)-РАХУНОК(Вибірка)*СРЗНАЧ(Вибірка)^2)/(РАХУНОК(Вибірка)-1))

Інші заходи розкиду

Функція КВАДРОТКЛ() обчислює з умму квадратів відхилень значень від них середнього. Ця функція поверне той самий результат, як і формула =ДИСП.Г( Вибірка)*РАХУНОК( Вибірка), де Вибірка- Посилання на діапазон, що містить масив значень вибірки (). Обчислення функції КВАДРОТКЛ() проводяться за формулою:

Функція СРОТКЛ() є мірою розкиду безлічі даних. Функція СРОТКЛ() обчислює середнє абсолютних значеньвідхилень значень від середнього. Ця функція поверне той самий результат, що й формула =СУМПРОВИЗВ(ABS(Вибірка-СРЗНАЧ(Вибірка)))/РАХУНОК(Вибірка), де Вибірка- Посилання на діапазон, що містить масив значень вибірки.

Обчислення функції СРОТКЛ () проводяться за формулою:

Дисперсіявипадкової величини- міра розкиду цієї випадкової величини, тобто її відхиленнявід математичного очікування. У статистиці для позначення дисперсії найчастіше використовується позначення (сигма у квадраті). Квадратний корінь з дисперсії, рівний, називається стандартним відхиленнямабо стандартним розкидом. Стандартне відхилення вимірюється у тих самих одиницях, як і сама випадкова величина, а дисперсія вимірюється у квадратах цієї одиниці виміру.

Хоча для оцінки всієї вибірки дуже зручно використовувати лише одне значення (таке як середнє або моду і медіану), цей підхід легко може призвести до неправильних висновків. Причина такого положення лежить не в самій величині, а в тому, що одна величина не відбиває розкид значень даних.

Наприклад, у вибірці:

середнє значення дорівнює 5.

Однак, у самій вибірці немає жодного елемента зі значенням 5. Можливо, Вам знадобиться ступінь близькості кожного елемента вибірки до її середнього значення. Або, іншими словами, вам потрібно знати дисперсію значень. Знаючи ступінь зміни даних, Ви можете краще інтерпретувати середнє значення, медіануі моду. Ступінь зміни значень вибірки визначається шляхом обчислення їхньої дисперсії та стандартного відхилення.

Дисперсія та квадратний коріньз дисперсії, що називається стандартним відхиленням, характеризують середнє відхилення від середнього значення вибірки. Серед цих двох величин найбільше значеннямає стандартне відхилення. Це значення можна представити як середню відстань, де знаходяться елементи від середнього елемента вибірки.

Дисперсію важко інтерпретувати змістовно. Однак квадратний корінь з цього значення є стандартним відхиленням і добре піддається інтерпретації.

Стандартне відхилення обчислюється шляхом визначення спочатку дисперсії і потім обчислення квадратного кореня дисперсії.

Наприклад, для масиву даних, наведених на малюнку, будуть отримані наступні значення:

Малюнок 1

Тут середнє значення квадратів різниць дорівнює 717,43. Для отримання стандартного відхилення залишилося лише взяти квадратний корінь із цього числа.

Результат становитиме приблизно 26,78.

Слід пам'ятати, що стандартне відхилення інтерпретується як середня відстань, де знаходяться елементи від середнього значення вибірки.

Стандартне відхилення показує, як добре середнє значення описує всю вибірку.

Допустимо, Ви є керівником виробничого відділу зі збирання ПК. У квартальному звіті йдеться, що випуск за останній квартал становив 2500 ПК. Погано це чи добре? Ви попросили (або вже у звіті є ця графа) у звіті відобразити стандартне відхилення за цими даними. Цифра стандартного відхилення, наприклад, дорівнює 2000. Стає зрозумілим для Вас як керівника відділу, що виробнича лінія вимагає кращого управління(Занадто великі відхилення за кількістю ПК, що збираються).

Згадаймо: за великої величини стандартного відхилення дані широко розкидані щодо середнього значення, а за маленької – вони групуються близько до середнього значення.

Чотири статистичні функціїДИСП(), ДИСПР(), СТАНДОТКЛОН() та СТАНДОТКЛОНП() – призначені для обчислення дисперсії та стандартного відхилення чисел в інтервалі осередків. Перед тим як обчислювати дисперсію та стандартне відхилення набору даних, потрібно визначити, чи ці дані є генеральною сукупністю або вибіркою з генеральної сукупності. У разі вибірки із генеральної сукупності слід використовувати функції ДИСП() та СТАНДОТКЛОН(), а у разі генеральної сукупності – функції ДИСПР() та СТАНДОТЛОНП():

Генеральна сукупність	Функція
	ДИСПР()
	СТАНДОТЛОНП()
Вибірка
	ДИСП()
	СТАНДОТКЛОН()

Дисперсія (а також стандартне відхилення), як ми зазначали, свідчать про те, якою мірою входять до набору даних величини розкидані навколо середнього арифметичного.

Мале значення дисперсії чи стандартного відхилення свідчить, що це дані зосереджені навколо середнього арифметичного, а велике значенняцих величин – у тому, що дані розкидані у широкому діапазоні значень.

Дисперсію досить важко інтерпретувати змістовно (що означає мале значення, велике значення?). Виконання Завдання 3дозволить візуально, на графіку, показати сенс дисперсії для набору даних.

Завдання

· Завдання 1.

· 2.1. Дати поняття: дисперсія та стандартне відхилення; їх символьне позначення при статистичної обробкиданих.

· 2.2. Оформити робочий лист відповідно до рисунка 1 і зробити необхідні розрахунки.

· 2.3. Навести основні формули, які використовуються при розрахунках

· 2.4. Пояснити всі позначення ( , , )

· 2.5. Пояснити практичне значенняпоняття дисперсія та стандартне відхилення.

Завдання 2.

1.1. Дати поняття: генеральна сукупність та вибірка; математичне очікуванняі середнє арифметичне їх символьне позначення під час статистичної обробки даних.

1.2. Відповідно до рисунка 2 оформити робочий лист і зробити розрахунки.

1.3. Навести основні формули, що використовуються при розрахунках (для генеральної сукупності та вибірки).

Малюнок 2

1.4. Поясніть, чому можливі отримання таких значень середніх арифметичних у вибірках як 46,43 та 48,78 (див. файл Додаток). Зробити висновки.

Завдання 3.

Є дві вибірки з різним набором даних, але середнє їм однаковим:

Малюнок 3

3.1. Оформити робочий лист відповідно до рисунка 3 і зробити необхідні розрахунки.

3.2. Наведіть основні формули розрахунку.

3.3. Побудуйте графіки відповідно до рисунків 4, 5.

3.4. Поясніть отримані залежності.

3.5. Аналогічні обчислення проведіть для цих двох вибірок.

Вихідна вибірка 11119999

Значення другої вибірки підбираєте так, щоб середнє арифметичне для другої вибірки було таким же, наприклад,:

Підберіть значення для другої вибірки самостійно. Оформіть обчислення та побудови графіків подібно до малюнків 3, 4, 5. Покажіть основні формули, які використовували при обчисленнях.

Зробіть відповідні висновки.

Усі завдання оформити у вигляді звіту з усіма необхідними малюнками, графіками, формулами та короткими поясненнями.

Примітка: побудову графіків обов'язково пояснити з малюнками та короткими поясненнями.

У попередньому n° ми ввели до розгляду ряд розподілу як вичерпну характеристику (закон розподілу) випадкової перервної величини. Однак ця характеристика не є універсальною; вона існує лише для перервних випадкових величин. Неважко переконатися, що з безперервної випадкової величини такий характеристики побудувати не можна. Справді, безперервна випадкова величина має безліч можливих значень, що цілковито заповнюють деякий проміжок (так зване «лічильна множина»). Скласти таблицю, у якій перераховані всі можливі значення такий випадкової величини, неможливо. Крім того, як ми побачимо надалі, кожне окреме значення безперервної випадкової величини зазвичай не має жодної відмінної від нуля ймовірності. Отже, для безперервної випадкової величини немає ряду розподілу тому, у якому він існує для перервної величини. Однак різні областіможливих значень випадкової величини все ж таки не є однаково ймовірними, і для безперервної величини існує «розподіл ймовірностей», хоча і не в тому сенсі, як для перервної.

Для кількісної характеристики цього розподілу ймовірностей зручно скористатися не ймовірністю події, а ймовірністю події, де – певна поточна змінна. Імовірність цієї події, очевидно, залежить від , є певна функція від . Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини і позначається:

. (5.2.1)

Функцію розподілу іноді називають також інтегральною функцієюрозподілу чи інтегральним законом розподілу.

Функція розподілу – найуніверсальніша характеристика випадкової величини. Вона існує всім випадкових величин: як перервних, і безперервних. Функція розподілу повністю характеризує випадкову величину з імовірнісної погляду, тобто. є однією із форм закону розподілу.

Сформулюємо деякі загальні властивостіфункції розподілу.

1. Функція розподілу є незменшуюча функція свого аргументу, тобто. при .

2. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю:.

3. На плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці: .

Не даючи суворого підтвердження цих властивостей, проілюструємо їх з допомогою наочної геометричної інтерпретації. Для цього розглядатимемо випадкову величину як випадкову точку на осі Ох (рис. 5.2.1), яка в результаті досвіду може зайняти те чи інше положення. Тоді функція розподілу є ймовірність того, що випадкова точка в результаті досвіду потрапить лівіше від точки .

Збільшуватимемо , тобто переміщуватимемо крапку вправо по осі абсцис. Очевидно, при цьому ймовірність того, що випадкова точка потрапить ліворуч, не може зменшитися; отже, функція розподілу із зростанням зменшуватися неспроможна.

Щоб переконатися в тому, що будемо необмежено переміщати точку вліво по осі абсцис. При цьому попадання випадкової точки ліворуч у межі стає неможливою подією; Звичайно вважати, що ймовірність цієї події прагне нуля, тобто. .

Аналогічним чином, необмежено переміщуючи точку вправо, переконуємося, що , оскільки подія стає межі достовірною.

Графік функції розподілу в загальному випадкуявляє собою графік незменшуючої функції (рис. 5.2.2), значення якої починаються від 0 і доходять до 1, причому в окремих точкахфункція може мати стрибки (розриви).

Знаючи ряд розподілу випадкової перервної величини, можна легко побудувати функцію розподілу цієї величини. Справді,

,

де нерівність під знаком суми показує, що підсумовування поширюється попри ті значення , які менше .

Коли поточна змінна проходить через якесь із можливих значень перервної величини , функція розподілу змінюється стрибкоподібно, причому величина стрибка дорівнює ймовірності цього значення.

Приклад 1. Виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія. Імовірність події дорівнює 0,3. Випадкова величина – кількість появи події досвіді (характеристична випадкова величина події ). Побудувати її функцію розподілу.

Рішення. Ряд розподілу величини має вигляд:

Побудуємо функцію розподілу величини:

Графік функції розподілу подано на рис. 5.2.3. У точках розриву функція набуває значень, зазначених на кресленні точками (функція безперервна зліва).

Приклад 2. У разі попереднього прикладу виробляється 4 незалежних досвіду. Побудувати функцію розподілу числа події .

Рішення. Позначимо – кількість появи події у чотирьох дослідах. Ця величина має ряд розподілу

Побудуємо функцію розподілу випадкової величини:

3) при;

Насправді зазвичай функція розподілу безперервної випадкової величини є функцію, безперервну переважають у всіх точках, як і показано на рис. 5.2.6. Однак можна побудувати приклади випадкових величин, можливі значення яких безперервно заповнюють певний проміжок, але для яких функція розподілу не скрізь є безперервною, а в окремих точках зазнає розриву (рис. 5.2.7).

Такі випадкові величини називаються змішаними. Як приклад змішаної величини можна навести площу руйнувань, що наносяться цілі бомбою, радіус руйнівної дії якої дорівнює R (рис. 5.2.8).

Значення цієї випадкової величини безперервно заповнюють проміжок від 0 до , що здійснюються при положеннях бомби типу I і II, мають певну кінцеву ймовірність, і цим значенням відповідають стрибки функції розподілу, тоді як у проміжних значеннях (положення типу III) функція розподілу безперервна. Інший приклад змішаної випадкової величини - час T безвідмовної роботи приладу, що випробовується протягом часу t. Функція розподілу цієї випадкової величини безперервна усюди, крім точки t.

Універсальним способом завдання закону розподілу, придатним як дискретних, так безперервних випадкових величин, є функція розподілу.

Функцією розподілу випадкової величини X називається функція F(x), що визначає для кожного значення xймовірність того, що випадкова величина Xнабуде значення менше, ніж x, тобто

F(x) = P(X < x).

Основні властивості функції розподілу F(x) :

1. Оскільки за визначенням F(x) дорівнює ймовірності події, всі можливі значення функції розподілу належать відрізку:

0 £ F(x) £ 1.

2. Якщо , то , тобто F(x) - Незменшуюча функція свого аргументу.

3. Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, що належить напівінтервалу [ a, b), дорівнює збільшенню функції розподілу на цьому інтервалі:

P(a £ X < b) = F(b) - F(a).

4. Якщо всі можливі значення випадкової величини належать відрізку [ a, b], то

F(x) = 0, при x £ a; F(x) = 1, при x > b.

Функція розподілу дискретних випадкових величин може бути визначена за формулою

. (15)

Якщо відомий ряд розподілу дискретної випадкової величини, легко обчислити та побудувати її функцію розподілу. Продемонструємо, як це робиться на прикладі 23.

Приклад 25.Обчислити та побудувати функцію розподілу для дискретної випадкової величини, закон розподілу якої має вигляд:

Рішення. Визначимо значення функції F(x) = P(X < x) для всіх можливих значень x:

при xÎ (- ¥; 0,1] немає жодного значення випадкової величини Xменшого даних значень xтобто немає жодного доданку в сумі (15):

F(x) = 0;

при xÎ (0,1; 1,2] тільки одне можливе значення ( X= 0,1) менше значень, що розглядаються x. Тобто при xÎ (0,1; 1,2] F(x) = P(X = 0,1) = 0,1;

при xÎ (1,2; 2,3] два значення ( X= 0,1 та X= 1,2) менше даних значень x, отже, F(x) = P(X = 0,1) + P(X = 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3;

при xÎ (2,3; 4,5] три значення ( X = 0,1, X= 1,2 та X= 2,3) менше даних значень x, отже, F(x) = P(X = 0,1) + P(X = 1,2) + P(X = 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ;

при xÎ (4,5, ¥) усі можливі значення випадкової величини Xбуде менше даних значень x, і F(x) = P(X = 0,1) + P(X = 1,2) + P(X = 2,3) +

+ P(X = 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1.

Таким чином,

Графік функції F(x) зображено малюнку 8.

У загальному випадку, функція розподілу F(x) дискретної випадкової величини Xє розривна ступінчаста функція, безперервна зліва, стрибки якої відбуваються в точках, що відповідають можливим значенням х 1 , х 2 , … випадкової величини Xі дорівнюють ймовірностям p 1 , p 2, … цих значень.

Функція розподілу безперервних випадкових величин.Тепер можна дати більше точне визначеннябезперервних випадкових величин: випадкова величина Xназивається безперервний, якщо її функція розподілу F(x) при всіх значеннях xбезперервна і, крім того, має похідну всюди, крім, можливо, окремих точок.

З безперервності функції F(x) випливає, що ймовірність кожного окремого значеннябезперервної випадкової величини дорівнює нулю.

Так як ймовірність кожного окремого значення безперервної випадкової величини дорівнює 0, властивість функції 3 розподілу для безперервної випадкової величини буде мати вигляд

P(a £ X < b) = P(a £ X £ b) = P(a < X £ b) = P(a < X < b) = F(b) - F(a).

Приклад 26.Імовірності ураження мети кожного з двох стрільців відповідно рівні: 0,7; 0,6. Випадкова величина X- Число промахів, за умови, що кожен стрілець зробив по одному пострілу. Скласти низку розподілу випадкової величини X, побудувати стовпцеву діаграму та функцію розподілу.

Рішення. Можливі значення даної випадкової величини X: 0, 1, 2. Умову завдання можна розглядати як серію з n = 2 незалежних випробувань. У даному випадкудля обчислення ймовірностей можливих значень випадкової величини Xможна скористатися теоремами складання ймовірностей несумісних подійта множення ймовірностей незалежних подій:

Позначимо події:

A i = ( i-й стрілець вразив мішень), i = 1, 2.

Відповідно до умови, ймовірність події A 1 P(A 1) = 0,7, ймовірність події A 2 - P(A 2) = 0,6. Тоді ймовірності протилежних подій: , .

Визначимо все елементарні подіїданого випадкового експериментута відповідні ймовірності:

(Перевіримо, що ).

Ряд розподілу цієї випадкової величини Xмає вигляд

Стовпцева діаграма, відповідна цьому ряду розподілу, наведено малюнку 9.

Обчислимо функцію розподілу цієї випадкової величини:

:

при x Î (- ¥, 0] ;

при xÎ (0, 1] ;

при xÎ (1, 2] ;

при xÎ (2, + ¥);

Отже, функція розподілу випадкової величини, що розглядається, має вигляд:

Графік функції F(x) наведено малюнку 10.

Функція густини розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини.

Щільністю розподілу ймовірностейбезперервної випадкової величини Xу точці xназивається похідна її функції розподілу у цій точці:

f(x) = F¢( x).

За своїм змістом значення функції f(x) пропорційні ймовірності того, що досліджувана випадкова величина набуде значення десь у безпосередній близькості від точки x.

Функція густини розподілу f(x), як і функція розподілу F(x), є однією із форм завдання закону розподілу, але вона застосовна лише для безперервних випадкових величин. Функцію густини розподілу ймовірностей f(x) ще називають диференціальною функцією розподілу, тоді як функцію розподілу F(x) називають, відповідно, інтегральною функцією розподілу.

Графік функції густини розподілу f(x) називається кривою розподілу.

Розглянемо властивості, які має функція щільності розподілу безперервної випадкової величини.

Властивість 1.Щільність розподілу ймовірностей – невід'ємна функція:

f(x) ³ 0

(геометрично:крива розподілу лежить не нижче за осі абсцис).

Властивість 2.Імовірність влучення значення випадкової величини на ділянку від a до b визначається за формулою

;

(геометрично:ця ймовірність дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою кривою f(x), віссю Охта прямими x= a і x= b).

Властивість 3.

(геометрично: площа фігури, обмеженою кривою розподілу та віссю абсцис, дорівнює одиниці).

Зокрема, якщо всі можливі значення випадкової величини належать відрізку [ a, b], то

Властивість 4.Функція розподілу F(x) може бути знайдена за відомої функціїгустини розподілу наступним чином:

.

Приклад 27.Безперервна випадкова величина задана функцією розподілу

Визначити диференціальну функціюгустини розподілу.

Рішення. Визначимо диференціальну функцію густини розподілу

Приклад 28.Чи є щільністю розподілу деякої випадкової величини кожна з таких функцій?

Запитання для самоконтролю

1. Що називається випадковою величиною?

2. Які величини називають дискретними? безперервними?

3. Що називається законом розподілу випадкової величини?

4. Якими способами може бути заданий закон розподілу дискретної випадкової величини? безперервної?

5. Що характеризує функція розподілу F(x)випадкової величини?

6. Як визначити ймовірність потрапляння значення випадкової величини до певного інтервалу за допомогою функції розподілу?

7. Що характеризує функція густини розподілу випадкової величини? Вкажіть її імовірнісне значення.

8. Для яких величин визначено функцію щільності розподілу?

9. Чи може функція щільності розподілу приймати негативні значення?

10. Як пов'язані між собою функції F(x)і f(x)?

11. Які випадкові величини називаються безперервними?

12. Чому дорівнює площа фігури, обмеженою кривою розподілу та віссю абсцис?

13. Як визначити ймовірність попадання значення безперервної випадкової величини в деякий інтервал за допомогою функції густини розподілу?