Концепція векторного простору якості. Базис та розмірність простору

ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР ( лінійний простір), одне з фундаментальних понять алгебри, узагальнююче поняття сукупності (вільних) векторів. У векторному просторі замість векторів розглядаються будь-які об'єкти, які можна складати та множити на числа; при цьому потрібно, щоб основні алгебраїчні властивостіцих операцій були такими ж, як і для векторів елементарної геометрії. У точному визначенні числа замінюються елементами будь-якого поля К. Векторним простором над полем К називається безліч V з операцією складання елементів з V і операцією множення елементів з V на елементи з поля К, які мають наступні властивості:

х + у = у + х для будь-яких х, у з V, тобто щодо складання V є абелевою групою;

λ(х + у) = λ χ + λу для будь-яких λ з К і х, у з V;

(λ + μ)х = λх + μх для будь-яких λ, μ з К і х з V;

(λ μ)х = λ(μх) для будь-яких λ, μ з К і х з V;

1х = х для будь-якого х із V, тут 1 означає одиницю поля К.

Прикладами векторного простору є: множини L 1 L 2 і L 3 всіх векторів з елементарної геометрії, відповідно на прямій, площині і в просторі зі звичайними операціями складання векторів і множення на число; координатний векторний простір K n , елементами якого є всілякі рядки (вектори) довжини n з елементами з поля К, а операції задані формулами

безліч F(M, К) всіх функцій, визначених на фіксованому множині М і приймають значення в полі До, зі звичайними операціями над функціями:

Елементи векторного простору е 1 ..., е n називаються лінійно незалежними, якщо з рівності λ 1 e 1 + ... +λ n е n = 0 Є V слід, що всі λ 1 , λ 2 ,... n = 0 Є К. У протилежному випадку елементи е 1 , е 2 , ···> е n називаються лінійно залежними. Якщо у векторному просторі V будь-які n + 1 елементів e 1 ,..., е n+1 лінійно залежні і існує n лінійно незалежних елементів, то V називається n-мірним векторним простором, а n - розмірно- стью векторного простору V. Якщо векторному просторі V для будь-якого натурального n існує n лінійно незалежних векторів, то V називається нескінченномірним векторним простором. Наприклад, векторний простір L 1 , L 2 , L 3 і К n відповідно 1-, 2-, 3- і n-мірні; якщо м - нескінченна безліч, Векторний простір F(М, К) нескінченномірно.

Векторний простір V і U над полем К називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення φ : V -> U таке, що φ(х+у) = φ(х) + φ(у) для будь-яких х, у з V та φ (λх) = λ φ(х) для будь-яких λ з К і х з V. Ізоморфні векторні простори є алгебраїчно нерозрізняються. Класифікація кінцевих векторних просторів з точністю до ізоморфності дається їх розмірністю: будь-який n-вимірний векторний простір над полем До ізоморфно координатному векторному простору До n . Дивись також простір Гільберта, Лінійна алгебра.

ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР, лінійний простір, над полем K, - адитивно записана абелева група Е, в якій визначено множення елементів на скаляри, тобто відображення

К × Е → Е: (λ, х) → λх,

що задовольняє наступним аксіомам (х, y ∈ Е, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(х + у) = λх + λу,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = х.

З аксіом 1)-4) випливають такі важливі властивостівекторного простору (0 ∈ Е):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ х = 0,

Елементи Ст п. зв. точками Ст п., або векторами, а елементи поля K - скалярами.

Найбільше застосування в математиці та додатках мають Ст над полем ℂ комплексних чиселабо над полем ℝ дійсних чисел; вони зв. відповідно комплексними Ст п. або дійсними Ст п.

Аксіоми Ст п. виявляють деякі алгебраїч. властивості багатьох класів функцій, які часто зустрічаються в аналізі. З прикладів Ст п. найбільш фундаментальними і найбільш ранніми є n-мірні евклідові простори. Майже так само важливими прикладамиє багато функціональних просторів: простір безперервних функцій, простір вимірних функцій, простір сумованих функцій, простір аналітич. функцій, простір функцій обмеженої варіації.

Поняття Ст п. є окремий випадокпоняття модуля над кільцем, а саме В. п. є унітарний модуль над полем. Унітарний модуль над некомутативним тілом також зв. векторний простір над тілом; теорія таких Ст п. багато в чому складніше теоріїСт над полем.

Одною з важливих завдань, пов'язаних з Ст п., є вивчення геометрії Ст п., тобто вивчення прямих у Ст п., плоских і опуклих множин у Ст п., підпросторів Ст п. і базисів Ст Ст.

Векторним підпростором, або просто підпростором, Ст п. Е над полем До зв. підмножина F ⊂ E, замкнена щодо дій складання та множення на скаляр. Підпростір, що розглядається окремо від простору, що вміщає його, є Ст над тим же полем.

Прямою лінією, що проходить через дві точки х та y В. п. Е, зв. безліч елементів z ∈ E виду z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Безліч G ∈ E зв. плоским безліччю, якщо разом з будь-якими двома точками воно містить пряму, що проходить через ці точки. Кожна плоска множина виходить з деякого підпростору за допомогою зсуву ( паралельного перенесення): G = x + F; це означає, що кожен елемент z ∈ G представимо єдиним чином у вигляді z = x + y, y ∈ F, причому ця рівність здійснює взаємно однозначну відповідність між F і G.

Сукупність всіх зрушень F x = x + F даного підпростору F утворює Ст п. над K, зв. фактор-простором E/F, якщо визначити операції наступним чином:

F x F y = F x + y; λF x = F λx , λ ∈ До.

Нехай М = (х α) α∈A - довільна множина векторів з Е; лінійною комбінацією векторів х α ∈ Е зв. вектор х, визначений формулою

х = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

в до-рой лише кінцеве число коефіцієнтів від нуля. Сукупність всіх лінійних комбінацій векторів даної множини М є найменшим підпростором, що містить М, і зв. лінійною оболонкою множини М. Лінійна комбінація зв. тривіальною, якщо всі коефіцієнти λ α дорівнюють нулю. Безліч М зв. лінійно незалежною безліччю, якщо всі нетривіальні лінійні комбінації векторів з М відмінні від нуля.

Будь-яке лінійно незалежне безліч міститься в деякому максимальному лінійно незалежному множині М 0 , тобто в такій множині, яке перестає бути лінійно незалежним після приєднання до нього будь-якого елемента з Е.

Кожен елемент х ∈ Е може бути єдиним чином представлений у вигляді лінійної комбінації елементів максимальної лінійно незалежної множини:

х = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

У зв'язку з цим максимальна лінійно незалежна безліч зв. базисом Ст п. (алгебраїчним базисом). Усі базиси даного Ст п. мають однакову потужність, к-раю зв. розмірністю Ст п. Якщо ця потужність кінцева, простір зв. кінцевомірним Ст п.; інакше воно зв. нескінченномірним Ст п.

Поле K можна розглядати як одновимірне Ст над полем K; базис цього Ст п. складається з одного елемента; ним може бути будь-який елемент, відмінний від нуля. Звичайномірне Ст п. з базисом з n елементів зв. n-мірним простором.

У теорії дійсних та комплексних Ст п. п. важливу рольграє теорія опуклих множин. Безліч М у дійсному Ст п. зв. опуклим безліччю, якщо разом із будь-якими двома його точками х, у відрізок tx + (1 - t)y, t ∈ , також належить М.

Велике місце в теорії Ст п. займає теорія лінійних функціоналів на Ст п. n пов'язана з цим теорія двоїстості. Нехай Е є Ст над полем K. Лінійним функціоналом на Е зв. адитивне та однорідне відображення f: Е → К:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = f(x).

Безліч Е* всіх лінійних функціоналів на Е утворює Ст над полем K щодо операцій

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), х ∈ Е, Х ∈ К, f 1 , f 2 , f ∈ Е*.

Це Ст п. зв. пов'язаним (або двоїстим) простором (до Е). З поняттям пов'язаного простору пов'язаний ряд геометричних. термінів. Нехай D ⊂ E (відповідно Г ⊂ Е*); анулятором множини D, або ортогональним доповненняммножини D (відповідно множини Г) зв. безліч

D ⊥ = (f ∈ Е*: f(x) = 0 для всіх х ∈ D)

(відповідно Г ⊥ = (х ∈ Е: f(x) = 0 для всіх f ∈ Г)); тут D ⊥ і Г ⊥ - підпростори відповідно до просторів Е* і Е. Якщо f - ненульовий елемент з Е*, то (f) є максимальне власне лінійний підпростірв Е, зв. іноді гіперпідпростором; зсув такого підпростору зв. гіперплощиною в Е; всяка гіперплощина має вигляд

(x: f(x) = λ), де f ≠ 0, f ∈ Е*, λ ∈ K.

Якщо F - підпростір В. п. Е, то існують природні ізоморфізми між F * і

E*/F ⊥ та між (E/F)* та F ⊥ .

Підмножина Р ⊂ E* зв. тотальним підмножиною над Е, якщо його анулятор містить лише нульовий елемент: ⊥ = (0).

Кожній лінійно незалежній множині (х α ) α∈A ⊂ E можна зіставити пов'язану множину (f α ) α∈A ⊂ E*, тобто. така множина, що f α (x β) = δ αβ (Кронекера символ) для всіх α, β ∈ A. Безліч пap (х α , f α ) зв. при цьому біоортогональна система. Якщо безліч (х α) є базис в Е, то (f α) тотально над Е.

Значне місце в теорії Ст займає теорія лінійних перетвореньВ. п. Нехай Е 1 , Е 2 - два В. п. над одним і тим же полем К. Лінійним відображенням, або лінійним оператором, Т, що відображає В. п. Е 1 в Ст Е 2 (або лінійним оператором з Е 1 в Е 2), зв. адитивне та однорідне відображення простору Е 1 в Е 2:

Т(х + у) = Тх + Ту; Т(λх) = λТ(х); х, у ∈ Е 1 .

Приватним випадком цього поняття є лінійний функціонал, або лінійний операторз Е 1 в K. Лінійним відображенням є, напр., природне відображення В. п. Е на факторпростір E/F, що зіставляє кожному елементу х ∈ Е плоска множина F x ∈ E/F. Сукупність ℒ(Е 1 , Е 2) всіх лінійних операторів Т: Е 1 →Е 2 утворює Ст п. щодо операцій

(Т 1 + Т 2) х = Т 1 х + Т 2 х; (λТ)х = λТх; х ∈ Е 1; λ ∈ K; T 1 , T 2 , Т ∈ ℒ (Е 1, Е 2).

Два Ст п. Е 1 і Е 2 зв. ізоморфними Ст п., якщо існує лінійний оператор («ізоморфізм»), що здійснює взаємно однозначну відповідність між їх елементами. Е 1 і Е 2 ізоморфні тоді і лише тоді, коли їх базиси мають однакову потужність.

Нехай Т - лінійний оператор, що відображає Е 1 Е 2 . Сполученим лінійним оператором, або двоїстим лінійним оператором, стосовно Т, зв. лінійний оператор Т* з E* 2 до Е* 1 визначений рівністю

(Т*φ)х = φ(Тх) для всіх х ∈ Е 1 , φ ∈ Е* 2 .

Мають місце співвідношення Т * -1 (0) = ⊥ , Т * (Е * 2) = [Т -1 (0)] ⊥ , звідки випливає, що Т * є ізоморфізм тоді і тільки тоді, коли Т є ізоморфізм.

З теорією лінійних відображень Ст п. тісно пов'язана теорія білінійних відображень і полілінійних відображень Ст п. п.

Важливу групу заданої теорії Ст п. утворюють завдання продовження лінійних відображень. Нехай F - підпростір В. п. Е 1 Е 2 - лінійний простір над тим же полем, що і Е 1 і нехай Т 0 - лінійне відображення F в Е 2 ; потрібно знайти продовження Т відображення T 0 , визначений усім Е 1 і є лінійним відображенням Е 1 в Е 2 . Таке продовження завжди існує, але додаткові обмеження на функції (пов'язані з додатковими структурами у Ст, наприклад, топологією або ставленням порядку) можуть зробити завдання нерозв'язним. Прикладами розв'язання задачі продовження є теорема Хана-Банаха і теореми про продовження позитивних функціоналів у просторах з конусом.

Важливим розділом теорії Ст є теорія операцій над Ст п., тобто способів побудови нових Ст п. за відомими. Приклади таких операцій - відомі операції взяття підпростору та утворення факторпростору по підпростору. Інші важливі операції- Побудова прямої суми, прямого творута тензорного твору Ст п.

Нехай (Е α ) α∈I - сімейство В. п. над полем К. Безліч Е - добуток множин Е α - можна перетворити на В. п. над полем К, ввівши операції

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

отримане Ст п. Е зв. прямим твором Ст п. Е α і позначається П α∈I Е α . Підпростір В. п. Е, що складається з усіх тих наборів (х α), для кожного з яких брало безліч (α: х α ≠ 0) звичайно, зв. прямою сумою Ст п. Е α і позначається Σ α E α або Σ α + E α ; Для кінцевого числа доданків ці визначення збігаються; у цьому випадку використовуються позначення:

Нехай Е 1 Е 2 - два Ст п. над полем K; Е" 1, Е" 2-тотальні підпростори В. п. E * 1, Е * 2, і Е 1 □ Е 2 -В. п., що має своїм базисом сукупність всіх елементів простору Е1 × Е2. Кожному елементу x □ y ∈ E 1 □ E 2 зіставляється білінійна функція b = Т(х, у) на Е" 1 × Е 2 за формулою b(f, g) = f(x)g(y), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. Це відображення базисних векторів x □ y ∈ E 1 □ E 2 можна продовжити до лінійного відображення Т В. п. Е 1 □ Е 2 у В. п. всіх білінійних функціоналів на Е" 1 × Е" 2 . Нехай E 0 = T -1 (0). Тензорним твором В. п. Е 1 і Е 2 зв. факторпростір Е 1 ○ Е 2 = (E 1 □ E 2)/E 0 ; y позначається х ○ у.В.

Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраїчні структури. Лінійна та полілінійна алгебра, пров. з франц., М., 1962; Райков Д. А., Векторні простори, М., 1962; Дей М. М., Нормовані лінійні простори, пров. з англ., М., 1961; , Едварді Р., Функціональний аналіз, пров. з англ., М., 1969; Халмош П., Звичайні векторні простори, пров. з англ., М., 1963; Глазман І. М., Любіч Ю. І., Звичайномірний лінійний аналіз у завданнях, М., 1969.

М. І. Кадець.

Джерела:

1. Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., « Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Векторне(або лінійне) простір- Математична структура, яка є набором елементів, званих векторами, для яких визначені операції складання один з одним і множення на число - скаляр. Ці операції підпорядковані восьми аксіом. Скаляри можуть бути елементами речового, комплексного або будь-якого іншого поля чисел. Приватним випадком подібного простору є звичайне тривимірне евклідове простір, вектори якого використовуються, наприклад, для представлення фізичних сил. При цьому слід зазначити, що вектор елемент векторного простору не обов'язково повинен бути заданий у вигляді спрямованого відрізка . Узагальнення поняття «вектор» до елемента векторного простору будь-якої природи не тільки не викликає змішування термінів, а й дозволяє усвідомити або навіть передбачити низку результатів, справедливих просторів довільної природи.

Векторні простори є предметом вивчення лінійної алгебри. Однією з головних характеристик векторного простору є його розмірність. Розмірність є максимальна кількістьлінійно незалежних елементів простору, тобто, вдаючись до грубого геометричного опису, кількість напрямків, невимовних один через одного за допомогою тільки операцій складання та множення на скаляр. Векторний простір можна наділити додатковими структурами, наприклад, нормою або скалярним твором. Подібні простори природним чиномз'являються в математичному аналізі, переважно у вигляді нескінченномірних функціональних просторів ( англ.), де як вектори виступають функції . Багато проблем аналізу вимагають з'ясувати, чи сходиться послідовність векторів до даному вектору. Розгляд таких питань можливий у векторних просторах з додатковою структурою, в більшості випадків - відповідною топологією, що дозволяє визначити поняття близькості та безперервності. Такі топологічні векторні простори, зокрема, банахові та гільбертові, допускають глибше вивчення.

Крім векторів, лінійна алгебра вивчає також тензори. високого рангу(Скаляр вважається тензором рангу 0, вектор - тензором рангу 1).

Перші праці, що передбачили введення поняття векторного простору, відносяться до XVII століття. Саме тоді свій розвиток отримали аналітична геометрія, вчення про матриці, системи лінійних рівнянь, евклідові вектори.

Визначення

Лінійне, або векторний простір $V\; \backslash left(F\; \backslash right)$над полем $F$- це впорядкована четвірка $(V,\; F,\; +,\; \backslash \; cdot)$, де

• $V$- Непорожня безліч елементів довільної природи, які називаються векторами;
• $F$- (алгебраїчне) поле, елементи якого називаються скалярами;
• Визначено операцію додаваннявекторів $V\backslash times\; V\backslash to\; V$, зіставляє кожній парі елементів $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$безлічі $V$ $V$, званий їх сумоюі позначається $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Визначено операцію множення векторів на скалярі $F\backslash times\; V\backslash to\; V$, що співставляє кожному елементу $\backslash lambda$поля $F$і кожному елементу $\backslash mathbf(x)$безлічі $V$єдиний елемент множини $V$, що позначається $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$або $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Векторні простори, задані на тому самому безлічі елементів, але над різними полями, будуть різними векторними просторами (наприклад, безліч пар дійсних чисел $\backslash mathbb(R)^2$може бути двовимірним векторним простір над полем дійсних чисел або одномірним - над полем комплексних чисел).

Найпростіші властивості

1. Векторний простір є абелевою групою по додаванню.
2. Нейтральний елемент $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$для будь-кого $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Для будь-кого $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$протилежний елемент $-\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$є єдиним, що випливає із групових властивостей.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$для будь-кого $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$для будь-яких $\backslash alpha\; \backslash in\; F$і $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$для будь-кого $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Пов'язані визначення та властивості

Підпростір

Алгебраїчне визначення: Лінійний підпростірабо векторний підпростір― непуста підмножина $K$лінійного простору $V$таке, що $K$саме є лінійним простором по відношенню до певних $V$діям складання та множення на скаляр. Багато підпространств зазвичай позначають як $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Щоб підмножина була підпростором, необхідно і достатньо, щоб

1. для будь-якого вектора $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$також належав $K$, за будь-якого $\backslash alpha\backslash in\; F$;
2. для будь-яких векторів $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$також належав $K$.

Останні два твердження еквівалентні наступному:

Для будь-яких векторів $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$також належав $K$для будь-яких $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Зокрема, векторний простір, що складається з одного нульового векторає підпростором будь-якого простору; будь-який простір є підпростором самого себе. Підпростори, що не збігаються з цими двома, називають власнимиабо нетривіальними.

Властивості підпросторів

• Перетин будь-якої родини підпросторів - знову підпростір;
• Сума підпросторів $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$визначається як безліч, що містить всілякі суми елементів $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N(K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Сума кінцевого сімейства підпросторів – знову підпростір.

Лінійні комбінації

Кінцева сума виду

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Лінійна комбінація називається:

Базис. Розмірність

Вектори $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$називаються лінійно залежнимиякщо існує їх нетривіальна лінійна комбінація, рівна нулю:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\; \backslash \; alpha\_2\; |\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

В іншому випадку ці вектори називаються лінійно незалежними.

Дане визначення допускає наступне узагальнення: безліч векторів з $V$називається лінійно залежнимякщо лінійно залежно деяке кінцевейого підмножина, і лінійно незалежнимякщо будь-яке його кінцевепідмножина лінійно незалежно.

Властивості базису:

• Будь-які $n$лінійно незалежних елементів $n$-мірного простору утворюють базисцього простору.
• Будь-який вектор $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$можна уявити (єдиним чином) у вигляді кінцевої лінійної комбінації базисних елементів:

Лінійна оболонка

Лінійна оболонка $\backslash mathcal\; V(X)$підмножини $X$лінійного простору $V$- перетин усіх підпросторів $V$, що містять $X$.

Лінійна оболонка є підпростором $V$.

Лінійна оболонка також називається підпростором, породженим $X$. Говорять також, що лінійна оболонка $\backslash mathcal\; V(X)$- простір, натягнуте набезліч $X$.

Лінійна оболонка $\backslash mathcal\; V(X)$складається з всіляких лінійних комбінацій різних кінцевих підсистем елементів з $X$. Зокрема, якщо $X$- кінцеве безліч, то $\backslash mathcal\; V(X)$складається з усіх лінійних комбінацій елементів $X$. Таким чином, нульовий вектор завжди належить лінійній оболонці.

Якщо $X$- лінійно незалежне безліч, воно є базисом $\backslash mathcal\; V(X)$і цим визначає його розмірність.

Приклади

• Нульовий простір, єдиним елементом якого є нуль.
• Простір усіх функцій $X\backslash to\; F$з кінцевим носієм утворює векторний простір розмірності рівної потужності $X$.
• Поле дійсних чисел може бути розглянуте як континуально-вимірний векторний простір над полем раціональних чисел.
• Будь-яке поле є одновимірним простором над собою.

Додаткові структури

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Векторний простір"

Примітки

Література

• Гельфанд І. М.Лекції з лінійної алгебри. - 5-те. – М.: Добросвіт, МЦНМО, 1998. – 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Гельфанд І. М.Лекції з лінійної алгебри. 5-те вид. – М.: Добросвіт, МЦНМО, 1998. – 320 с. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикін А. І., Манін Ю. І.Лінійна алгебра та геометрія. 2-ге вид. – М.: Наука, 1986. – 304 с.
• Кострикін А. І.Введення до алгебри. Ч. 2: Лінійна алгебра. - 3-тє. – М.: Наука., 2004. – 368 с. – (Університетський підручник).
• Мальцев А. І.Основи лінійної алгебри. - 3-тє. – М.: Наука, 1970. – 400 с.

• Постніков М. М.Лінійна алгебра (Лекції з геометрії. Семестр II). - 2-ге. – М.: Наука, 1986. – 400 с.
• Стренґ Г.Лінійна алгебра та її застосування = Linear Algebra and Its Applications. – М.: Світ, 1980. – 454 с.
• Ільїн В. А., Позняк Е. Г.Лінійна алгебра. 6-те вид. – М.: Фізматліт, 2010. – 280 с. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмош П.Звичайні векторні простори = Finite-Dimensional Vector Spaces. – М.: Фізматгіз, 1963. – 263 с.
• Фаддєєв Д. К.Лекції з алгебри. - 5-те. - СПб. : Лань, 2007. - 416 с.
• Шафаревич І. Р., Ремізов А. О.Лінійна алгебра та геометрія. - 1-е. – М.: Фізматліт, 2009. – 511 с.
• Шрейєр О., Шпернер Г.Введення в лінійну алгебру в геометричному викладі = Ольшанський Г. (переклад з німецької). - М.-Л.: ОНТІ, 1934. - 210 с.

Уривок, що характеризує векторний простір

Повернувшись з огляду, Кутузов, супутній австрійським генералом, пройшов у свій кабінет і, клікнувши ад'ютанта, наказав подати собі деякі папери, що належали до стану військ, і листи, отримані від ерцгерцога Фердинанда, який керував передовою армією. Князь Андрій Болконський із необхідними паперами увійшов до кабінету головнокомандувача. Перед розкладеним на столі планом сиділи Кутузов та австрійський член гофкрігсрату.
– А… – сказав Кутузов, оглядаючись на Болконського, ніби цим словом запрошуючи ад'ютанта почекати, і продовжував французькою розмовою.
- Я тільки говорю одне, генерале, - говорив Кутузов з приємною витонченістю висловів та інтонації, що змушувало вслухатися в кожне неквапливо сказане слово. Видно було, що Кутузов сам із задоволенням слухав себе. - Я тільки одне кажу, генерале, що якби справа залежала від мого особистого бажання, то воля його величності імператора Франца давно була б виконана. Я давно вже приєднався б до ерцгерцога. І вірте моїй честі, що для мене особисто передати вище начальство армією більше за мене обізнаного й майстерного генерала, якими така багата Австрія, і скласти з себе всю цю тяжку відповідальність для мене особисто було б відрадою. Але обставини бувають сильнішими за нас, генерале.
І Кутузов усміхнувся з таким виразом, наче він говорив: «Ви маєте повне правоне вірити мені, і навіть мені абсолютно байдуже, вірите ви мені чи ні, але ви не маєте приводу сказати мені це. І в цьому вся справа».
Австрійський генерал мав незадоволений вигляд, але не міг не в тому самому тоні відповідати Кутузову.
- Навпаки, - сказав він буркотливим і сердитим тоном, що так суперечило приємному значенню слів, що вимовляються, - навпаки, участь вашого превосходительства в спільній справівисоко цінується його величністю; але ми вважаємо, що справжнє уповільнення позбавляє славні російські війська та його головнокомандувачів тих лаврів, які вони звикли пожинати у битвах, – закінчив він, мабуть, підготовлену фразу.
Кутузов вклонився, не зраджуючи посмішки.
- А я так переконаний і, ґрунтуючись на останньому листі, яким вшанував мене його високість ерцгерцог Фердинанд, припускаю, що австрійські війська, під начальством такого майстерного помічника, який генерал Мак, тепер уже здобули рішучу перемогу і не потребують більше нашої допомоги, - сказав Кутузов.
Генерал насупився. Хоч і не було позитивних звісток про поразку австрійців, але було надто багато обставин, що підтверджували спільні невигідні чутки; і тому припущення Кутузова про перемогу австрійців було дуже схоже на глузування. Але Кутузов лагідно посміхався, все з тим самим виразом, який говорив, що він має право припускати це. Дійсно, останній лист, отриманий ним з армії Мака, сповіщав його про перемогу і про найвигідніше стратегічне становище армії.
– Дай сюди цей лист, – сказав Кутузов, звертаючись до князя Андрія. - Ось бажаєте бачити. - І Кутузов, з глузливою усмішкою на кінцях губ, прочитав по німецьки австрійському генералу наступне місце з листа ерцгерцога Фердинанда: « konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch один Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Lіnie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere sae Allirte mitgan. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Russeische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereit. [Ми маємо цілком зосереджені сили, близько 70 000 чоловік, тому ми можемо атакувати і розбити ворога у разі переправи його через Лех. Так як ми вже володіємо Ульмом, то ми можемо утримувати за собою вигоду командування обома берегами Дунаю щохвилини, якщо ворог не перейде через Лех, переправитися через Дунай, кинутися на його комунікаційну лінію, нижче перейти назад Дунай і ворога, якщо він надумає обернути всю свою силу на наших вірних союзників, не дати виконати його намір. Таким чином ми бадьоро чекатимемо часу, коли імператорська російська арміяЗовсім виготовиться, і потім разом легко знайдемо можливість приготувати ворога долю, якої він заслуговує ».]

Векторне(або лінійне) простір- Математична структура, яка являє собою набір елементів, званих векторами, для яких визначені операції складання один з одним і множення на число - скаляр. Ці операції підпорядковані восьми аксіом. Скаляри можуть бути елементами речового, комплексного або будь-якого іншого поля чисел. Приватним випадком подібного простору є звичайне тривимірне евклідове простір, вектори якого використовуються, наприклад, для представлення фізичних сил. При цьому слід зазначити, що вектор елемент векторного простору не обов'язково повинен бути заданий у вигляді спрямованого відрізка. Узагальнення поняття «вектор» до елемента векторного простору будь-якої природи не тільки не викликає змішування термінів, а й дозволяє усвідомити або навіть передбачити низку результатів, справедливих просторів довільної природи.

Векторні простори є предметом вивчення лінійної алгебри. Однією з головних характеристик векторного простору є його розмірність. Розмірність являє собою максимальну кількість лінійно незалежних елементів простору, тобто, вдаючись до грубого геометричного опису, число напрямків, невимовних один через одного за допомогою операцій складання і множення на скаляр. Векторний простір можна наділити додатковими структурами, наприклад, нормою або скалярним твором . Подібні простори природним чином з'являються в математичному аналізі, переважно у вигляді нескінченномірних функціональних просторів. (англ.), де ролі векторів виступають функції . Багато проблем аналізу вимагають з'ясувати, чи сходиться послідовність векторів до цього вектора. Розгляд таких питань можливий у векторних просторах з додатковою структурою, в більшості випадків - відповідною топологією, що дозволяє визначити поняття близькості та безперервності. Такі топологічні, векторні простори, зокрема, банахові та гільбертові, допускають більш глибоке вивчення.

Крім векторів, лінійна алгебра вивчає також тензори вищого рангу (скаляр вважається тензором рангу 0, вектор - тензором рангу 1).

Перші праці, що передбачили введення поняття векторного простору, відносяться до XVII-століття. Саме тоді свій розвиток отримали аналітична, геометрія, вчення про матриці, системи, лінійні рівняння, евклідові вектори.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Лінійне, або векторний простір V (F) (\displaystyle V\left(F\right))над полем F (\displaystyle F)- це впорядкована четвірка (V, F, +, ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), де

  • V (\displaystyle V)- непорожня множина елементів довільної природи, які називаються векторами;
  • F (\displaystyle F)- поле , елементи якого називаються скалярами;
  • Визначено операцію додаваннявекторів V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), зіставляє кожній парі елементів x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) )безлічі V (\displaystyle V) V (\displaystyle V), званий їх сумоюі позначається x + y (\displaystyle \mathbf(x) +\mathbf(y) );
  • Визначено операцію множення векторів на скалярі F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), що співставляє кожному елементу λ (\displaystyle \lambda)поля F (\displaystyle F)і кожному елементу x (\displaystyle \mathbf (x) )безлічі V (\displaystyle V)єдиний елемент множини V (\displaystyle V), що позначається λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) )або λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

  Векторні простори, задані на тому самому безлічі елементів, але над різними полями, будуть різними векторними просторами (наприклад, безліч пар дійсних чисел R 2 (\displaystyle \mathbb(R) ^(2))може бути двовимірним векторним простором над полем дійсних чисел або одномірним - над полем комплексних чисел).

  Найпростіші властивості

  1. Векторний простір є абелевою групою по додаванню.
  2. Нейтральний елемент 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
  3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf(x) =\mathbf(0) )для будь-якого.
  4. Для будь-кого x ∈ V (\displaystyle \mathbf(x) \in V)протилежний елемент − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)є єдиним, що випливає із групових властивостей.
  5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf(x) =\mathbf(x) )для будь-кого x ∈ V (\displaystyle \mathbf(x) \in V).
  6. (−α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot(-\mathbf(x))=- \alpha \mathbf (x)))для будь-яких і x ∈ V (\displaystyle \mathbf(x) \in V).
  7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf(0) =\mathbf(0) )для будь-кого α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

  Пов'язані визначення та властивості

  Підпростір

  Алгебраїчне визначення: Лінійний підпростірабо векторний підпростір― непуста підмножина K (\displaystyle K)лінійного простору V (\displaystyle V)таке, що K (\displaystyle K)саме є лінійним простором по відношенню до певних V (\displaystyle V)діям складання та множення на скаляр. Багато підпространств зазвичай позначають як Lat (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Щоб підмножина була підпростором, необхідно і достатньо, щоб

  Останні два твердження еквівалентні наступному:

  Для будь-яких векторів x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K), вектор α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf(x) +\beta \mathbf(y) )також належав K (\displaystyle K)для будь-яких α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

  Зокрема, векторний простір, що складається з лише нульового вектора, є підпростором будь-якого простору; будь-який простір є підпростором самого себе. Підпростори, що не збігаються з цими двома, називають власнимиабо нетривіальними.

  Властивості підпросторів

  Лінійні комбінації

  Кінцева сума виду

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf(x) _(n))

  Лінійна комбінація називається:

  Базис. Розмірність

  Вектори x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))називаються лінійно залежними, якщо існує їхня нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює нулю:

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0, | α 1 | + | α 2 | + … + | α n | ≠ 0. (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf ( x) _(n)=\mathbf (0) ,\quad \ |\alpha _(1)|+|\alpha _(2)|+ldots +|

  В іншому випадку ці вектори називаються лінійно незалежними.

  Дане визначення допускає наступне узагальнення: безліч векторів з V (\displaystyle V)називається лінійно залежнимякщо лінійно залежно деяке кінцевейого підмножина, і лінійно незалежнимякщо будь-яке його кінцевепідмножина лінійно незалежно.

  Властивості базису:

  x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf(x) =\alpha _(1)\mathbf(x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

  Лінійна оболонка

  Лінійна оболонкапідмножини X (\displaystyle X)лінійного простору V (\displaystyle V)- перетин усіх підпросторів V (\displaystyle V), що містять X (\displaystyle X).

  Лінійна оболонка є підпростором V (\displaystyle V).

  Лінійна оболонка також називається підпростором, породженим X (\displaystyle X). Говорять також, що лінійна оболонка V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- простір, натягнуте набезліч X (\displaystyle X).

  4.3.1 Визначення лінійного простору

  Нехай ā , , - елементи деякої множини ā , , L і λ , μ - дійсні числа, λ , μ R..

  Безліч L називаєтьсялінійним абовекторний простір, якщо визначено дві операції:

  1 0 . Додавання. Кожній парі елементів цієї множини поставлений у відповідність елемент тієї ж множини, званий їх сумою

  ā + =

  2 °.Множення на число. Будь-кому дійсному числу λ та елементу ā Lставиться у відповідність елемент тієї ж множини λ ā Lта виконуються такі властивості:

  1. ā+= + ā;

  2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

  3. існує нульовий елемент
  , такий, що ā +=ā ;

  4. існує протилежний елемент -
  такий, що ā +(-ā )=.

  Якщо λ , μ - дійсні числа, то:

  5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

  6. 1ā= ā;

  7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

  8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

  Елементи лінійного простору, , ... називають векторами.

  Вправа.Покажіть самостійно, що дані множини утворюють лінійні простори:

  1) Безліч геометричні векторина площині;

  2) Безліч геометричних векторів у тривимірному просторі;

  3) Безліч багаточленів певною мірою;

  4) Безліч матриць однакової розмірності.

  4.3.2 Лінійно залежні та незалежні вектори. Розмірність та базис простору

  Лінійною комбінацією векторів ā 1 , ā 2 , …, ā n Lназивається вектор того ж простору виду:

  ,

  де λ i – дійсні числа.

  Вектори ā 1 , .. , ā n називаютьсялінійно незалежними, якщо їхня лінійна комбінація буде нульовим вектором у тому і тільки в тому випадку, коли всі λ i рівні нулю,тобто

  λ i =0
  

  Якщо ж лінійна комбінація буде нульовим вектором і хоча б один із λ iвідмінний від нуля, ці вектори називаються лінійно-залежними. Останнє означає, що хоча б один із векторів може бути представлений як лінійна комбінація інших векторів. Справді, хай і, наприклад,
  . тоді,
  , де
  
  .

  Максимально лінійно-незалежна впорядкована система векторів називається базисом простору L. Число векторів базису називається розмірністю простору.

  Припустимо, що існує nлінійно-незалежних векторів, тоді простір називають n-мірним. Інші вектори простору можуть бути представлені як лінійна комбінація nвектор базису. За базис n- мірного простору можна взяти будь-які nлінійно-незалежні вектори цього простору.

  Приклад 17Знайти базис та розмірність даних лінійних просторів:

  а) безлічі векторів, що лежать на прямій (колінеарних деякої прямої)

  б) безліч векторів, що належать до площини

  в) безліч векторів тривимірного простору

  г) безліч багаточленів ступеня не вище за другий.

  Рішення.

  а)Будь-які два вектори, що лежать на прямій, будуть лінійно-залежними, тому що вектори колінеарні.
  , то
  , λ - Скаляр. Отже, базисом цього простору є лише один (будь-який) вектор, відмінний від нульового.

  Зазвичай цей простір позначають R, Розмірність його дорівнює 1.

  

  б)будь-які два неколінеарні вектори
  будуть лінійно-незалежні, а будь-які три вектори на площині - лінійно-залежні. Для будь-якого вектора , існують числа  і  такі, що
  . Простір називають двовимірним, позначають R 2 .

  Базис двовимірного простору утворюють будь-які два неколлінеарні вектори.

  в)Будь-які три некомпланарні вектори будуть лінійно незалежні, вони утворюють базис тривимірного простору. R 3 .

  г)Як базис простору багаточленів ступеня не вище другого можна вибрати такі три вектори: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

  (1 - це многочлен, тотожно рівний одиниці). Цей простір буде тривимірним.