Складні межі прикладів рішень. Теорія меж

Основні елементарні функції розібралися.

При переході до функцій більше складного виглядуми обов'язково зіткнемося з появою виразів, значення яких не визначено. Такі вирази називають невизначеності.

Перерахуємо все основні види невизначеностей: нуль ділити на нуль (0 на 0 ), нескінченність ділити на нескінченність , нуль помножити на нескінченність , нескінченність мінус нескінченність , одиниця в ступеня нескінченність , нуль в ступеня нуль , нескінченність у ступеня нуль .

ВСІ ІНШІ ВИРАЗИ НЕВИЗНАЧЕННЯМИ НЕ Є Й ПРИЙМАЮТЬ ЦІЛКОМ КОНКРЕТНЕ КІНЦЕВЕ АБО БЕЗКІНЦЕВЕ ЗНАЧЕННЯ.

Розкривати невизначеностідозволяє:

• спрощення виду функції (перетворення виразу з використанням формул скороченого множення, тригонометричних формул, домноженням на сполучені вирази з наступним скороченням тощо);
• використання чудових меж;
• застосування правила Лопіталя;
• використання заміни нескінченно малого виразу йому еквівалентним (використання таблиці еквівалентних нескінченно малих).

Згрупуємо невизначеності в таблицю невизначеностей. Кожному виду невизначеності поставимо у відповідність метод її розкриття (метод знаходження межі).

Ця таблиця разом із таблицею меж основних елементарних функцій будуть Вашими головними інструментами під час перебування будь-яких меж.

Наведемо кілька прикладів, коли все відразу виходить після підстановки значення і невизначеності не виникають.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

І одразу отримали відповідь.

Відповідь:

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення х=0 в основу нашої показово статечної функції:

Тобто межу можна переписати у вигляді

Тепер займемося показником. Це є статечна функція. Звернемося до таблиці меж для статечних функційз негативним показником. Звідти маємо і , отже, можна записати .

Виходячи з цього, наша межа запишеться у вигляді:

Знову звертаємось до таблиці меж, але вже для показових функційз основою великої одиниці, звідки маємо:

Відповідь:

Розберемо на прикладах з докладними рішеннями розкриття невизначеностей перетворенням виразів.

Дуже часто вираз під знаком межі потрібно трохи перетворити, щоб позбавитися невизначеностей.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу розв'язання. Пробуємо спростити вираз.

Відповідь:

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності (0 на 0). Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення і намагаємося спростити вираз. Домножимо і чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний з знаменником.

Для знаменника сполученим виразом буде

Знаменник ми примножували для того, щоб можна було застосувати формулу скороченого множення - різницю квадратів і потім скоротити отриманий вираз.

Після низки перетворень невизначеність зникла.

Відповідь:

ЗАУВАЖЕННЯ:Для меж подібного виду спосіб примноження на сполучені вирази є типовим, так що сміливо користуйтеся.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення і намагаємося спростити вираз. Так як і чисельник і знаменник звертаються в нуль при х = 1, якщо ці вирази, можна буде скоротити (х-1) і невизначеність зникне.

Розкладемо чисельник на множники:

Розкладемо знаменник на множники:

Наша межа набуде вигляду:

Після перетворення невизначеність розкрилася.

Відповідь:

Розглянемо межі на нескінченності від статечних виразів. Якщо показники статечного вираження позитивні, то межа на нескінченності нескінченна. Причому основне значення має найбільший ступінь, Інші можна відкидати.

приклад.

приклад.

Якщо вираз під знаком межі є дріб, причому і чисельник і знаменник є статечні вирази(m - ступінь чисельника, а n - ступінь знаменника), то при виникає невизначеність виду нескінченність на нескінченність, в цьому випадку невизначеність розкриваєтьсярозподілом і чисельник і знаменник на

приклад.

Обчислити межу

Теорія меж – це один із розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який заклав основи математичного аналізу та дав суворі визначення, визначення межі, зокрема. Треба сказати, цей самий Коші снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, оскільки довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема огидніша за іншу. У цьому ми не розглядатимемо суворе визначення межі, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, в даному випадку. Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданняхдома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступний важливе питання– а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності, і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

Примітка: строго кажучи, такий підхід із побудовою послідовностей із кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з більшим числомвгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» прийме такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що і відповідь готова, але в загальному випадкуце зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, яке ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі цього типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника та знаменника: в даному прикладівони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак, він не несе ніякого математичного сенсу, А означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, вкрай бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступіньу чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило : якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняннята (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціта ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсуматематики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореняє на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове числоз комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольної роботи, на заліку, іспит так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:



,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Поняття меж послідовностей та функцій. Коли потрібно знайти межу послідовності, це записують так: lim xn=a. У такій послідовності послідовності xn прагне a, а n до нескінченності. Послідовність зазвичай представляють у вигляді ряду, наприклад:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Послідовності поділяються на зростаючі та спадні. Наприклад:
xn=n^2 - зростаюча послідовність
yn=1/n - послідовність
Так, наприклад, межа послідовності xn=1/n^:
lim 1/n^2=0

x→∞
Ця межа дорівнює нулю, оскільки n→∞, а послідовність 1/n^2 прагне нуля.

Зазвичай змінна величина x прагне кінцевої межі a, причому, x постійно наближається до a, а величина a постійна. Це записують так: limx =a, причому, n також може прагнути як до нуля, так і до нескінченності. Існують нескінченні функції, їм межа прагне нескінченності. В інших випадках, коли, наприклад, функцією уповільнення ходу поїзда, можна про межу, що прагне до нуля.
У меж є ряд властивостей. Як правило, будь-яка функція має лише одну межу. Це основна властивість межі. Інші їх перераховані нижче:
* Межа суми дорівнює сумімеж:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Межа твору дорівнює творумеж:
lim(xy)=lim x*lim y
* Межа приватного дорівнює частки від меж:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постійний множниквиносять за знак межі:
lim(Cx)=C lim x
Якщо дана функція 1 /x, в якій x →∞, її межа дорівнює нулю. Якщо ж x→0, межа такої функції дорівнює ∞.
Для тригонометричних функційє з цих правил. Так як функція sin x завжди прагне одиниці, коли наближається до нуля, для неї справедлива тотожність:
lim sin x/x=1

У ряді зустрічаються функції, при обчисленні меж яких виникає невизначеність - ситуація, коли межу неможливо обчислити. Єдиним виходом із такої ситуації стає Лопіталя. Існує два види невизначеностей:
* невизначеність виду 0/0
* невизначеність виду ∞/∞
Наприклад, дана межа наступного виду: lim f(x)/l(x), причому f(x0)=l(x0)=0. У такому разі виникає невизначеність виду 0/0. Для вирішення такої задачі обидві функції піддають диференціювання, після чого знаходять межу результату. Для невизначеностей виду 0/0 межа дорівнює:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Це правило справедливо й у невизначеностей типу ∞/∞. Але в цьому випадку справедлива така рівність: f(x)=l(x)=∞
За допомогою правила Лопіталя можна знаходити значення будь-яких меж, у яких фігурують невизначеності. Обов'язкова умовапри

том - відсутність помилок під час перебування похідних. Так, наприклад, похідна функції (x^2)" дорівнює 2x. Звідси можна зробити висновок, що:
f"(x)=nx^(n-1)

З вищевказаної статті Ви зможете дізнатися, що ж таке межа, і з чим її їдять – це дуже важливо. Чому? Можна не розуміти, що таке визначники та успішно їх вирішувати, можна зовсім не розуміти, що таке похідна та знаходити їх на «п'ятірку». Але якщо Ви не розумієте, що таке межа, то з вирішенням практичних завдань доведеться туго. Також не зайвим буде ознайомитись із зразками оформлення рішень та моїми рекомендаціями щодо оформлення. Вся інформація викладена у простій та доступній формі.

А для цілей даного урокунам потрібні такі методичні матеріали: Чудові межіі Тригонометричні формули. Їх можна знайти на сторінці. Найкраще методички роздрукувати - це значно зручніше, до того ж до них часто доведеться звертатися в офлайні.

Чим чудові межі? Чудовість цих меж полягає в тому, що вони доведені найбільшими умамизнаменитих математиків, і вдячним нащадкам годі мучитися страшними межами з нагромадженням тригонометричних функцій, логарифмів, ступенів. Тобто при знаходженні меж ми користуватимемося готовими результатами, що доведені теоретично.

Чудових меж існує кілька, але на практиці у студентів-заочників у 95% випадків фігурують дві чудові межі: Перший чудова межа , Друга чудова межа. Слід зазначити, що це назви, що історично склалися, і, коли, наприклад, говорять про «першу чудову межу», то мають на увазі під цим цілком певну річ, а не якусь випадкову, взяту зі стелі межу.

Перша чудова межа

Розглянемо наступну межу: (замість рідної літери «хе» я використовуватиму грецьку букву"Альфа", це зручніше з точки зору подачі матеріалу).

Згідно з нашим правилом знаходження меж (див. статтю Межі. Приклади рішень) Пробуємо підставити нуль у функцію: в чисельнику у нас виходить нуль (синус нуля дорівнює нулю), у знаменнику, очевидно, теж нуль. Таким чином, ми стикаємося з невизначеністю виду, яку, на щастя, не треба розкривати. У курсі математичного аналізу доводиться, що:

Даний математичний фактносить назву Першої чудової межі. Аналітичний доказ межі наводити не буду, а ось його геометричний змістрозглянемо на уроці про нескінченно малих функціях.

Нерідко в практичних завданнях функції можуть бути по-іншому, це нічого не змінює:

– та сама перша чудова межа.

Але самостійно переставляти чисельник та знаменник не можна! Якщо дана межа у вигляді , то і вирішувати його потрібно в такому вигляді, нічого не переставляючи.

На практиці як параметр може виступати не тільки змінна, але і елементарна функціяскладна функція. Важливо лише, щоб вона прагнула нуля.

Приклади:
, , ,

Тут , , , , і все гуд - перша чудова межа застосовується.

А ось наступний запис – єресь:

Чому? Тому що багаточлен не прагне нуля, він прагне п'ятірки.

До речі, питання на засипку, а чому дорівнює межа ? Відповідь можна знайти наприкінці уроку.

На практиці не все так гладко, майже ніколи студенту не запропонують вирішити халявну межу та отримати легкий залік. Хммм ... Пишу ці рядки, і спала на думку дуже важлива думка - все-таки «халявні» математичні визначенняі формули начебто краще пам'ятати напам'ять, це може надати неоціненну допомогу на заліку, коли питання вирішуватиметься між «двійкою» та «трійкою», і викладач вирішить поставити студенту якесь просте питання або запропонувати вирішити найпростіший приклад(«А може він (а) все-таки знає чого?!»).

Переходимо до розгляду практичних прикладів:

Приклад 1

Знайти межу

Якщо ми помічаємо в межі синус, то це нас відразу має наштовхувати на думку про можливість застосування першої чудової межі.

Спочатку пробуємо підставити 0 у вираз під знак межі (робимо це подумки або на чернетці):

Отже, у нас є невизначеність виду, її обов'язково вказуємов оформленні рішення. Вираз під знаком межі у нас схоже на першу чудову межу, але це не зовсім він, під синусом знаходиться , а в знаменнику.

У таких випадках першу чудову межу нам потрібно організувати самостійно, використовуючи штучний прийом. Хід міркувань може бути таким: "під синусом у нас, значить, у знаменнику нам теж потрібно отримати".
А робиться це дуже просто:

Тобто знаменник штучно множиться в даному випадку на 7 і ділиться на ту ж сімку. Тепер запис у нас набув знайомих обрисів.
Коли завдання оформляється від руки, то перша чудова межа бажано помітити простим олівцем:

Що сталося? По суті, обведений вираз у нас перетворився на одиницю і зник у творі:

Тепер тільки залишилося позбутися триповерховості дробу:

Хто забув спрощення багатоповерхових дробів, будь ласка, освіжіть матеріал у довіднику Гарячі формули шкільного курсу математики .

Готово. Остаточна відповідь:

Якщо не хочеться використовувати позначки олівцем, то рішення можна оформити так:

“

Використовуємо першу чудову межу

“

Приклад 2

Знайти межу

Знову ми бачимо межі дріб і синус. Пробуємо підставити в чисельник і знаменник нуль:

Справді, у нас невизначеність і, отже, треба спробувати організувати першу чудову межу. На уроці Межі. Приклади рішеньми розглядали правило, що коли у нас є невизначеність, то потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники. Тут – те саме, ступеня ми представимо як твори (множників):

Аналогічно попередньому прикладу, обводимо олівцем чудові межі (тут їх дві), і вказуємо, що вони прагнуть одиниці:

Власне, відповідь готова:

У наступні приклади, я не займатимуся мистецтвами в Пейнті, думаю, як правильно оформляти рішення в зошиті – Вам вже зрозуміло.

Приклад 3

Знайти межу

Підставляємо нуль у вираз під знаком межі:

Отримано невизначеність, яку потрібно розкривати. Якщо в межі є тангенс, то майже завжди його перетворюють на синус і косинус за відомою тригонометричною формулою (до речі, з котангенсом роблять приблизно те саме, див. методичний матеріал Гарячі тригонометричні формулина сторінці Математичні формули, таблиці та довідкові матеріали).

В даному випадку:

Косинус нуля дорівнює одиниці, і його легко позбутися (не забуваємо помітити, що він прагне одиниці):

Отже, якщо межі косинус є МНОЖИТЕЛЕМ, його, грубо кажучи, треба перетворити на одиницю, що зникає у творі.

Тут все вийшло простіше, без жодних помножень і поділів. Перша чудова межа теж перетворюється на одиницю і зникає у творі:

У результаті отримано нескінченність, буває таке.

Приклад 4

Знайти межу

Пробуємо підставити нуль у чисельник та знаменник:

Отримана невизначеність (косинус нуля, як ми пам'ятаємо, дорівнює одиниці)

Використовуємо тригонометричну формулу. Візьміть на замітку! Межі із застосуванням цієї формули чомусь зустрічаються дуже часто.

Постійні множники винесемо за значок межі:

Організуємо першу чудову межу:

Тут у нас тільки одна чудова межа, яка перетворюється на одиницю і зникає у творі:

Позбавимося триповерховості:

Межа фактично вирішена, вказуємо, що синус, що залишився, прагне до нуля:

Приклад 5

Знайти межу

Цей приклад складніший, спробуйте розібратися самостійно:

Деякі межі можна звести до 1-ї чудової межі шляхом заміни змінної, про це можна прочитати трохи пізніше в статті Методи розв'язання меж.

Друга чудова межа

Теоретично математичного аналізу доведено, що:

Цей факт має назву другої чудової межі.

Довідка: - Це ірраціональне число.

Як параметр може бути як змінна , а й складна функція. Важливо лише, щоб вона прагнула нескінченності.

Приклад 6

Знайти межу

Коли вираз під знаком межі перебуває у ступені – це перша ознака того, що потрібно спробувати застосувати другу чудову межу.

Але спочатку, як завжди, пробуємо підставити нескінченно велике число у вираз, за ​​яким принципом це робиться, розібрано на уроці. Межі. Приклади рішень.

Неважко помітити, що за основа ступеня , а показник – , тобто є, невизначеність виду:

Ця невизначеність якраз і розкривається за допомогою другої чудової межі. Але, як часто буває, друга чудова межа не лежить на блюдечку з блакитною облямівкою, і його потрібно штучно організувати. Розмірковувати можна так: у цьому прикладі параметр , отже, у показнику нам теж треба організувати . Для цього зводимо основу в ступінь , і щоб вираз не змінилося - зводимо в ступінь :

Коли завдання оформляється від руки, позначаємо олівцем:

Практично все готово, страшний ступінь перетворився на симпатичну букву:

При цьому сам значок межі переміщуємо до показника:

Приклад 7

Знайти межу

Увага! Межа подібного типу зустрічається дуже часто, будь ласка, дуже уважно вивчіть цей приклад.

Пробуємо підставити нескінченно велике число у вираз, що стоїть під знаком межі:

В результаті отримано невизначеність. Але друга чудова межа застосовується до невизначеності виду. Що робити? Потрібно перетворити основу ступеня. Розмірковуємо так: у знаменнику у нас, значить, у чисельнику теж треба організувати.

функцією y = f (x)називається закон (правило), згідно з яким, кожному елементу x множини X ставиться у відповідність один і тільки один елемент y множини Y .

Елемент x ∈ Xназивають аргументом функціїабо незалежної змінної.
Елемент y ∈ Yназивають значенням функціїабо залежною змінною.

Безліч X називається областю визначення функції.
Безліч елементів y ∈ Y, які мають прообрази у множині X , називається областю або безліччю значень функції.

Дійсна функція називається обмеженою зверху (знизу)якщо існує таке число M , що для всіх виконується нерівність:
.
Числова функціяназивається обмеженоюякщо існує таке число M , що для всіх :
.

Верхньою граннюабо точної верхнім кордоном Насправді функції називають найменше з чисел, що обмежує область її значень зверху. Тобто це таке число s, для якого для всіх і для будь-якого, знайдеться такий аргумент, значення функції якого перевищує s′:.
Верхня граньфункції може позначатися так:
.

Відповідно нижньою граннюабо точної нижнім кордоном Насправді функції називають найбільше з чисел, що обмежує область її значень знизу. Тобто це таке число i , для якого для всіх і для будь - якого , знайдеться такий аргумент , значення функції якого менше ніж i : .
Нижня грань функції може позначатися так:
.

Визначення межі функції

Визначення межі функції по Коші

Кінцеві межі функції у кінцевих точках

Нехай функція визначена в околиці кінцевої точкиза винятком, можливо, самої точки . у точці, якщо для будь-кого існує таке, що залежить від того, що для всіх x, для яких виконується нерівність
.
Межа функції позначається так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення межі функції можна записати так:
.

Односторонні межі.
Ліва межа в точці (лівостороння межа):
.
Права межа в точці (правостороння межа):
.
Межі ліворуч і праворуч часто позначають так:
; .

Кінцеві межі функції у нескінченно віддалених точках

Аналогічно визначаються межі в нескінченно віддалених точках.
.
.
.
Їх часто позначають так:
; ; .

Використання поняття околиці точки

Якщо ввести поняття проколотого околиці точки, можна дати єдине визначеннякінцевої межі функції в кінцевих та нескінченно віддалених точках:
.
Тут для кінцевих точок
; ;
.
Будь-які околиці нескінченно віддалених точок є проколотими:
; ; .

Нескінченні межі функції

Визначення
Нехай функція визначена в деякому проколоті околиці точки (кінцевої або нескінченно віддаленої). Межа функції f (x)при x → x 0 дорівнює нескінченності, якщо для будь-кого, скільки завгодно великої кількості M > 0 існує таке число δ M > 0 , що залежить від M , що для всіх x , що належать проколоті M - околиці точки : , виконується нерівність:
.
Біс кінцева межапозначають так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення нескінченної межі функції можна записати так:
.

Також можна ввести визначення нескінченних межпевних знаків, рівних і :
.
.

Універсальне визначення межі функції

Використовуючи поняття околиці точки, можна дати універсальне визначеннякінцевої та нескінченно межі функції, що застосовується як для кінцевих (двосторонніх та односторонніх), так і для нескінченно віддалених точок:
.

Визначення межі функції за Гейном

Нехай функція визначена на деякій множині X: .
Число a називається межею функціїв точці:
,
якщо для будь-якої послідовності, що сходить до x 0 :
,
елементи якої належать множині X : ,
.

Запишемо це визначення за допомогою логічних символів існування та загальності:
.

Якщо як безліч X взяти лівосторонню околицю точки x 0 , то отримаємо визначення лівої межі. Якщо правосторонню – то отримаємо визначення правої межі. Якщо як безліч X взяти околицю нескінченно віддаленої точки, то отримаємо визначення межі функції на нескінченності.

Теорема
Визначення межі функції по Коші та Гейні еквівалентні.
Доведення

Властивості та теореми межі функції

Далі ми вважаємо, що ці функції визначені у відповідній околиці точки , яка є кінцевим числом або одним із символів: . Також може бути точкою односторонньої межі, тобто мати вигляд або . Околиця є двосторонньою для двосторонньої межі та односторонньою для односторонньої.

Основні властивості

Якщо значення функції f (x)змінити (або зробити невизначеними) у кінцевому числі точок x 1, x 2, x 3, ... x n, то ця зміна ніяк не вплине на існування та величину межі функції у довільній точці x 0 .

Якщо існує кінцева межа, то існує така проколота околиця точки x 0 , на якій функція f (x)обмежена:
.

Нехай функція має у точці x 0 кінцева межа, відмінна від нуля:
.
Тоді, для будь-якого числа c з інтервалу існує така проколота околиця точки x 0 , що для ,
, якщо;
якщо .

Якщо, на деякому проколоті околиці точки, - постійна, то .

Якщо існують кінцеві межі та й на деякому проколотом околиці точки x 0
,
те.

Якщо , і на околиці точки
,
те.
Зокрема, якщо на деякій околиці точки
,
то якщо, то і;
якщо, то і.

Якщо на деякому проколотом околиці точки x 0 :
,
і існують кінцеві (або нескінченні певного знака) рівні межі:
, то
.

Докази основних властивостей наведено на сторінці
"Основні властивості меж функції".

Арифметичні властивості межі функції

Нехай функції і визначені в деякій проколоті околиці точки. І нехай існують кінцеві межі:
та .
І нехай C - постійна, тобто задане число. Тоді
;
;
;
якщо .

Якщо то .

Докази арифметичних властивостей наведено на сторінці
"Арифметичні властивості меж функції".

Критерій Коші існування межі функції

Теорема
Для того, щоб функція , визначена на деякій проколоті околиці кінцевої або нескінченно віддаленої точки x 0 , мала в цій точці кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0 існувала така проколота околиця точки x 0 , Що для будь-яких точок і з цієї околиці, виконувалася нерівність:
.

Межа складної функції

Теорема про межу складної функції
Нехай функція має межу і відображає проколоту околицю точки на проколоту околицю точки. Нехай функція визначена на околиці і має на ній межу.
Тут - кінцеві чи нескінченно віддалені точки: . Околиці та відповідні їм межі може бути як двосторонні, і односторонні.
Тоді існує межа складної функції і він дорівнює:
.

Теорема про межу складної функції застосовується у тому випадку, коли функція не визначена в точці або має значення, відмінне від граничного . Для застосування цієї теореми, має існувати проколота околиця точки , де безліч значень функції не містить точку :
.

Якщо функція безперервна у точці , то знак межі можна застосовувати до аргументу безперервної функції:
.
Далі наводиться теорема, що відповідає цьому випадку.

Теорема про межу безперервної функції від функції
Нехай існує межа функції g (t)при t → t 0 , і він дорівнює x 0 :
.
Тут точка t 0 може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою: .
І нехай функція f (x)безперервна в точці x 0 .
Тоді існує межа складної функції f (g(t)), і він дорівнює f (x 0):
.

Докази теорем наведено на сторінці
«Межа і безперервність складної функції».

Нескінченно малі та нескінченно великі функції

Нескінченно малі функції

Визначення
Функція називається нескінченно малою при , якщо
.

Сума, різниця та твір кінцевого числанескінченно малих функцій при є нескінченно малою функцією при .

Добуток функції, обмеженоїна деякому проколоті околиці точки , на нескінченно малу при є нескінченно малою функцією при .

Для того, щоб функція мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб
,
де - нескінченно мала функціяпри .

«Властивості нескінченно малих функцій».

Нескінченно великі функції

Визначення
Функція називається нескінченно великою при , якщо
.

Сума чи різниця обмеженої функції, на деякому проколоті околиці точки , і нескінченно великий функції при є нескінченно великою функцієюпри .

Якщо функція є нескінченно великою при , а функція - обмежена, на деякому проколоті околиці точки , то
.

Якщо функція , на деякому проколоті околиці точки , задовольняє нерівності:
,
а функція є нескінченно малою при:
, і (на деякому проколоті околиці точки ), то
.

Докази властивостей викладені у розділі
"Властивості нескінченно великих функцій".

Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями

З двох попередніх властивостей випливає зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями.

Якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .

Якщо функція є нескінченно малою при , і , то функція є нескінченно великою при .

Зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою функцією можна виразити символічним чином:
, .

Якщо нескінченно мала функція має певний знак при , тобто позитивна (або негативна) на деякому проколоті околиці точки , то цей факт можна виразити так:
.
Так само якщо нескінченно велика функція має певний знак при , то пишуть:
.

Тоді символічний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціямиможна доповнити такими співвідношеннями:
, ,
, .

Додаткові формули, що зв'язують символи нескінченності, можна знайти на сторінці
«Нескінченно віддалені точки та їх властивості».

Межі монотонних функцій

Визначення
Функція, визначена на деякій множині дійсних чисел X називається строго зростаючоюякщо для всіх таких що виконується нерівність:
.
Відповідно, для суворо спадаючоюфункції виконується нерівність:
.
Для невпадаючою:
.
Для незростаючою:
.

Звідси випливає, що функція, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна функція також є незростаючою.

Функція називається монотонної, якщо вона незнижена або незростаюча.

Теорема
Нехай функція не зменшується на інтервалі, де.
Якщо вона обмежена зверху числом M:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена зверху, то .
Якщо обмежена знизу числом m:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена знизу, то .

Якщо точки a і b є нескінченно віддаленими, то виразах під знаками меж мається на увазі, що .
Цю теорему можна сформулювати компактніше.

Нехай функція не зменшується на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі в точках a і b:
;
.

Аналогічна теорема для функції, що не зростає.

Нехай функція не зростає на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі:
;
.

Доказ теореми викладено на сторінці
"Межі монотонних функцій".

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.