Звичайний дріб у квадраті. Зведення в ступінь

На уроці буде розглянуто узагальнений варіант множення дробів - це зведення в ступінь. Насамперед, мова йтиме про натуральний ступінь дробу та про приклади, що демонструють подібні дії з дробами. На початку уроку, також, ми повторимо зведення в натуральний ступіньцілих виразів і побачимо, яким чином це стане в нагоді для вирішення подальших прикладів.

Тема: Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок: Зведення алгебраїчного дробуу ступінь

1. Правила зведення дробів та цілих виразів у натуральний ступінь з елементарними прикладами

Правило зведення звичайних та алгебраїчних дробів у натуральний ступінь:

Можна провести аналогію зі ступенем цілого виразу та згадати, що розуміється під зведенням його у ступінь:

приклад 1. .

Як видно з прикладу, зведення дробу до ступеня - це окремий випадокмноження дробів, що вивчалося на попередньому уроці.

Приклад 2. а) б) - Мінус йде, тому що ми звели вираз у парний ступінь.

Для зручності роботи зі ступенями згадаємо основні правила зведення в натуральний ступінь:

- Добуток ступенів;

- Розподіл ступенів;

Зведення ступеня до ступеня;

Ступінь твору.

Приклад 3 - це відомо нам ще з теми «Зведення в ступінь цілих виразів», крім одного випадку: не існує.

2. Найпростіші приклади на зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь

Приклад 4. Звести дріб у ступінь.

Рішення. При зведенні парного ступеня мінус йде:

Приклад 5. Звести дріб у ступінь.

Рішення. Тепер користуємося правилами зведення ступеня в ступінь одразу без окремого розписування:

.

Тепер розглянемо комбіновані завдання, в яких нам буде необхідно і зводити дроби до ступеня, і множити їх, і ділити.

Приклад 6. Виконати дії.

Рішення. . Далі необхідно зробити скорочення. Розпишемо один раз докладно, як ми це робитимемо, а потім будемо вказувати результат відразу за аналогією: . Аналогічно (або за правилом поділу ступенів). Маємо: .

Приклад 7. Виконати дії.

Рішення. . Скорочення здійснено за аналогією з прикладом, розібраним раніше.

Приклад 8. Виконати дії.

Рішення. . У даному прикладіми ще раз детальніше розписали процес скорочення ступенів у дробах, щоб закріпити цей спосіб.

3. Більш складні приклади на зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь (з урахуванням знаків та з доданками в дужках)

Приклад 9. Виконати дії .

Рішення. У цьому прикладі вже пропустимо окреме множення дробів, а одразу скористаємося правилом їх множення та запишемо під один знаменник. При цьому слідкуємо за знаками - у зазначеному випадку дроби зводяться парними ступенями, тому мінуси зникають. Наприкінці виконаємо скорочення.

Приклад 10. Виконати дії .

Рішення. У даному прикладі присутній розподіл дробів, пригадаємо, що при цьому перший дріб множиться на другий, але перевернутий.

Настав час ознайомитися з зведенням алгебраїчного дробу до ступеня. Ця дія з алгебраїчними дробами за змістом ступеня зводиться до множення однакових дробів. У цій статті ми дамо відповідне правило і розглянемо приклади зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь.

Навігація на сторінці.

Правило зведення алгебраїчного дробу до ступеня, його доказ

Перш ніж говорити про зведення в ступінь алгебраїчної дробу, не завадить згадати, що є твір однакових множників, що стоять на підставі ступеня, а їх кількість визначається показником. Наприклад, 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

А тепер згадаємо правило зведення у ступінь звичайного дробу– для цього потрібно окремо звести у вказаний ступінь чисельник, та окремо – знаменник. Наприклад, . Зазначене правило поширюється на зведення алгебраїчного дробу до натурального ступеня.

Зведення алгебраїчного дробу до натурального ступенядає новий дріб, у чисельнику якого зазначена ступінь чисельника вихідного дробу, а знаменнику – ступінь знаменника. У буквеному вигляді цьому правилу відповідає рівність , де a і b – довільні багаточлени (у окремих випадках одночлени чи числа), причому b – ненульовий багаточлен, А n - .

Доказ озвученого правила зведення алгебраїчного дробу на ступінь засновано на визначенні ступеня з натуральним показникомі на тому, як ми визначили множення алгебраїчних дробів: .

Приклади, рішення

Отримане в попередньому пункті правило зводить зведення алгебраїчного дробу до ступеня до зведення в цей ступінь чисельника і знаменника вихідного дробу. Оскільки чисельником і знаменником вихідної алгебраїчної дробу є многочлены (у окремому випадку одночлени чи числа), то вихідне завдання зводиться до спорудження ступінь многочленов . Після виконання цієї дії буде отримано новий алгебраїчний дріб, тотожно рівний зазначеного ступеня вихідного алгебраїчного дробу.

Розглянемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Зведіть алгебраїчну дріб у квадрат.

Рішення.

Запишемо ступінь. Тепер звертаємося до правила зведення алгебраїчного дробу до ступеня, воно нам дає рівність . Залишилося перетворити отриманий дріб до виду дробу алгебри, виконавши зведення одночленів в ступінь . Так .

Зазвичай при зведенні дробу алгебри в ступінь хід рішення не пояснюють, а рішення записують коротко. Нашому прикладу відповідає запис .

Відповідь:

.

Коли в чисельнику та/або в знаменнику алгебраїчної дробу знаходяться багаточлени, особливо двочлени, то при її зведенні до ступеня доцільно використовувати відповідні формули скороченого множення .

приклад.

Зведіть алгебраїчну дріб у другий ступінь.

Рішення.

За правилом зведення дробу у ступінь маємо .

Для перетворення отриманого виразу в чисельнику скористаємося формулою квадрата різниці, а знаменнику – формулою квадрата суми трьох доданків :

Відповідь:

На закінчення відзначимо, що якщо ми зводимо в натуральний ступінь нескоротний алгебраїчну дріб, то в результаті теж вийде нескоротний дріб. Якщо ж вихідний дріб скоротний, то перед зведенням його в ступінь доцільно виконати скорочення дробу алгебри , щоб не виконувати скорочення після зведення в ступінь.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати в будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Інструкція

Якщо у вихідних дана у форматі звичайного дробу, то операцію необхідно проводити у два кроки. Послідовність їх на отриманому результаті ніяк не позначиться - почніть, наприклад, з вилучення з числа кореня того ступеня, який вказаний у знаменнику дробу. Наприклад, щоб звести в ступінь⅔ число 64 на цьому кроці з нього витягнете : 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Зведіть отримане на першому кроці значення ступінь, рівну числу, що стоїть у чисельнику дробу. Результат цієї операції буде результатом зведення числа в дробову ступінь. Для прикладу з попереднього крокуповністю перебіг обчислень можна записати так: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Виходьте з простоти розрахунків щодо послідовності описаних вище операцій вилучення кореня і зведення в ступінь. Наприклад, якби потрібно було в ту ж саму ступінь⅔ звести число 8, то починати з отримання кубічного кореня з вісімки було б , так як результат був би дробовим . У цьому випадку краще почати 8 квадрат, а потім витягти корінь третього ступеня з 64 і таким чином обійтися без дробових проміжних значень: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Якщо показник ступеня у вихідних даних наведено у форматі десяткового дробу, то почніть із перетворення його у звичайний дріб, а потім дійте за описаним вище алгоритмом. Наприклад, для зведення числа в ступінь 0,75 трансформуйте цей показник у звичайний дріб ¾, потім вийміть корінь четвертого ступеня і зведіть отриманий результат куб.

Використовуйте будь-який, якщо хід обчислень значення не має, а важливий лише результат. Це може бути і скрипт, вбудований у пошуковик Google – за його допомогою потрібне значеннянавіть простіше, ніж з використанням стандартного калькулятора Windows. Наприклад, для зведення числа 15 в ступінь⅗ перейдіть на головну сторінкусайту та введіть у поле пошукового запиту 15^(3/5). Результат обчислень з точністю до 8 знаків Google відобразить навіть без натискання кнопки надсилання запиту: 15^(3/5) = 5,07755639.

Джерела:

• як зводити в дробовий ступінь

Ступінь числа розбирають у школі під час уроків алгебри. У житті така операція виконується рідко. Наприклад, під час розрахунку площі квадрата чи обсягу куба використовуються ступеня, оскільки довжина, ширина, а куба і висота – рівні величини. В іншому зведення в ступінь найчастіше носить прикладний виробничий характер.

Вам знадобиться

• Папір, ручка, інженерний калькулятор, таблиці ступенів, програмні продукти (наприклад, табличний редактор Excel).

Інструкція

При роботі з негативним числомпотрібно бути обережним зі знаками. Слід пам'ятати, що парний ступінь(n) дасть знак плюс, непарна – знак .
Наприклад
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Нульовий ступінь (n = 0) від будь-якого числазавжди дорівнюватиме одиниці.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1Якщо n = 1, число множити саме на себе не треба.
Буде
7^1 = 7
329^1 = 329

Якщо n = 2, тоді ступінь квадрата, якщо n = 3, ступінь називають кубом. Обчислення квадрата і куба з чисел першого десятка робити досить легко. Але зі збільшенням числа, Що зводиться в ступінь, і зі збільшенням самого ступеня, обчислення стають трудомісткими. Для таких обчислень було розроблено спеціальні таблиці. Також існують спеціальні інженерні та online калькулятори, програмні продукти. В якості найпростішого програмного забезпечення для операцій можна використовувати табличний редактор Excel.

Джерела:

• http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

При вирішенні деяких технічних завдань потрібно порахувати корінь третьою ступеня. Іноді це число ще називають кубічним коренем. Коренем третьою ступеняз даного числаназивають таке число, куб (третій ступінь) якого дорівнює цьому. Тобто якщо y – корінь третьою ступенячисла x, то має виконуватися умова: y?=x (ікс і гравець куб).

Вам знадобиться

• калькулятор чи комп'ютер

Інструкція

Щоб порахувати корінь ступеня, скористайтеся калькулятором. Бажано, щоб це був не звичайний, а калькулятор, який використовується для інженерних розрахунків. Однак навіть на такому ви не знайдете спеціальну кнопку для коріння третьою ступеня. Тому використовуйте функцію для зведення числа до ступеня. Вилучення кореня третьою ступенявідповідає зведення у ступінь 1/3 (одна третина).

Щоб звести число в ступінь 1/3, наберіть на клавіатурі калькулятора саме число. Після цього натисніть клавішу «зведення в ступінь». Така кнопка, залежно від типу калькулятора, може виглядати як xy (у - у вигляді верхнього індексу). Так як у більшості калькуляторів немає можливості працювати зі звичайними (недесятковими), то замість числа 1/3 наберіть його приблизне значення: 0,33. Щоб отримати більшу точність обчислень, необхідно збільшити кількість "трійок", наприклад, набрати 0,333333333333333. Потім натисніть кнопку «=».

Щоб порахувати корінь третьою ступеняна , скористайтеся стандартним калькулятором Windows. Порядок дій повністю аналогічний до описаного в попередньому пункті інструкції. Єдине – це кнопки зведення у ступінь. На комп'ютерному калькуляторі вона виглядає як x^y.

Якщо корінь третьою ступенядоводиться систематично, то скористайтесь програмою MS Excel. Щоб порахувати корінь третьою ступеняу «Екселі», введіть у будь-яку клітинку знак «=», а потім виберіть «fx» - вставка функції. У вікні, що з'явилося, у списку «Виберіть функцію» виберіть рядок «СТУПЕНЬ». Натисніть кнопку Ок. У віконці, що знову з'явилося, введіть у рядок «Число» значення числа, з якого потрібно витягти корінь. У рядок "Ступінь" введіть число "1/3" і натисніть "Ок". У таблиці з'явиться значення кубічного кореня з вихідного числа.

У технічних розрахунках та при вирішенні багатьох завдань іноді потрібно корінь, тобто знайти таке число, куб якого дорівнює вихідному. Для підрахунку значення кубічного кореня достатньо інженерного калькулятора. Однак навіть на такому калькуляторі немає спеціальної кнопки для обчислення кубічного кореня. Але використовуючи деякі нехитрі прийоми, можна обійтися без такої кнопки.

Вам знадобиться

• інженерний калькулятор чи комп'ютер

Інструкція

Щоб знайти кубічний корінь за допомогою калькулятора, візьміть інженерний і наберіть на ньому вихідне число. Потім, натисніть кнопку зведення в ступінь. Тепер введіть значення показника. У даному випадкувін (теоретично) повинен дорівнювати 1/3. Але, оскільки використання звичайних дробів навіть на інженерний калькуляторважко, то наберіть заокруглене значення числа 1/3, тобто: 0,33. Потім натисніть кнопку «=». На індикаторі калькулятора з'явиться потрібне значення. Щоб отримати більше точне значення, набирайте не дві трійки, а , наприклад, 0,3333333333333.

Щоб порахувати кубічний корінь на комп'ютері, запустіть програму калькулятор. Якщо на робочому столі немає відповідної піктограми, виконайте такі дії:
- натисніть кнопку "Пуск";
- Виберіть пункт меню «Виконати»;
- введіть у віконці рядок «calc». Якщо калькулятор, що з'явився на робочому столі, має звичайний вигляд (що нагадує «бухгалтерський калькулятор»), то переведіть його в режим виконання розрахунків. Для цього виберіть рядок «Вид» і вкажіть пункт «Інженерний». Тепер введіть число, з якого потрібно витягти кубічний корінь. Потім натисніть кнопку «x^y» на калькуляторі. Далі наберіть, наприклад, 0,33. Для більш точного результату, можна набрати більше значення показника ступеня, наприклад, 0,3333333333333. Щоб отримати точний результат, введіть показник ступеня "1/3" у дужках. Тобто послідовно натисніть клавіші «(1/3)».

Розрахунок у програмі Excel. Запустіть саму програму, натисніть кнопку «=» та виберіть функцію «СТУПЕНЬ». Потім введіть число, з якого потрібно отримати корінь ступеня. Після чого, в наступному віконця наберіть дріб «1/3» і натисніть кнопку «Ок».

Відео на тему

Джерела:

• як обчислювати кубічні корені

При вирішенні арифметичних та алгебраїчних завданьіноді потрібно звести дрібв квадрат. Найпростіше це зробити, коли дрібдесяткова – достатньо звичайного калькулятора. Однак якщо дрібзвичайна або змішана, то при зведенні такого числа квадратможуть виникнути деякі труднощі.

Тема зводиться до того, що нам необхідно множити однакові дроби. Ця стаття розповість, яке необхідно використовувати правило, щоб правильно зводити дроби алгебри в натуральний ступінь.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правило зведення алгебраїчного дробу до ступеня, його доказ

Перед тим, як почати зводити в ступінь, необхідно поглибити знання за допомогою статті про ступінь з натуральним показником, де є добуток однакових множників, які знаходяться на підставі ступеня, причому їхня кількість визначена показником. Наприклад, число 23 = 2 · 2 · 2 = 8 .

При зведенні у ступінь найчастіше використовуємо правило. Для цього окремо зводять у ступінь чисельник та окремо знаменник. Розглянемо з прикладу 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Правило застосовується для зведення дробу до натурального ступеня.

При зведенні алгебраїчного дробу в натуральний ступіньотримуємо новий, де чисельник має ступінь вихідного дробу, а знаменник – ступінь знаменника. Все це має вигляд a b n = a n b n , де і b є довільними многочленами, b є ненульовим, а n натуральним числом.

Доведення цього правилазаписується у вигляді дробу, який необхідно звести у ступінь, ґрунтуючись на самому визначенні з натуральним показником. Тоді отримуємо множення дробів виду a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n

Приклади, рішення

Правило зведення алгебраїчної дробу на ступінь проводиться послідовно: спочатку чисельник, потім знаменник. Коли в чисельнику і знаменнику є багаточлен, тоді завдання зведеться до зведення заданого многочлена в ступінь. Після чого буде вказано новий дріб, який дорівнює вихідному.

Приклад 1

Виконати зведення дробу x 2 3 · y · z 3 квадрат.

Рішення

Необхідно зафіксувати ступінь x 2 3 · y · z 3 2 . За правилом зведення алгебраїчної дробу в ступінь отримуємо рівність виду x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Тепер необхідно зробити перетворення отриманого дробу до алгебраїчної виду, виконуючи зведення в ступінь. Тоді отримаємо вираз виду

x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 2 · 2 3 2 · y 2 · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Усі випадки зведення у ступінь не передбачають докладного роз'яснення, тому саме рішення має короткий запис. Тобто отримуємо, що

x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Відповідь: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .

Якщо чисельник та знаменник мають багаточлени, тоді необхідно зводити весь дріб у ступінь, після чого застосовувати формули скороченого множення для його спрощення.

Приклад 2

Звести дріб 2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y у квадрат.

Рішення

З правила маємо, що

2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2

Щоб перетворити вираз, необхідно скористатися формулою квадрата суми трьох доданків у знаменнику, а чисельнику – квадратом різниці, що дозволить спростити вираз. Отримаємо:

2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = = 2 · x 2 - 2 · 2 · x · 1 + 1 2 x 2 2 + 3 · x · y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Відповідь: 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Зауважимо, що при зведенні в натуральний ступінь дріб, який не можемо скоротити, отримуємо також нескоротний дріб. Це не спрощує її для подальшого вирішення. Коли заданий дрібможе бути скорочена, тоді при зведенні в ступінь отримуємо, що необхідно виконання скорочення дробу алгебри, щоб уникнути виконання скорочення після того, як зведемо в ступінь.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

При вирішенні арифметичних та алгебраїчних завдань іноді потрібно звести дрібв квадрат. Найпростіше це зробити, коли дрібдесяткова - досить звичайного калькулятора. Однак якщо дрібзвичайна або змішана, то при зведенні такого числа квадратможуть виникнути деякі труднощі.

Вам знадобиться

• калькулятор, комп'ютер, додаток Excel.

Інструкція

Щоб звести десяткову дрібв квадрат, візьміть інженерний , наберіть на ньому споруджувану в квадрат дрібі натисніть клавішу зведення на другий ступінь. На більшості калькуляторів ця кнопка позначена як "х". На стандартному калькуляторі Windows функція зведення в квадратвиглядає як "x^2". Наприклад, квадратдесяткового дробу 3,14 дорівнюватиме: 3,14² = 9,8596.

Щоб звести в квадратдесяткову дрібна звичайному (бухгалтерському) калькуляторі, помножте це число саме на себе. До речі, в деяких моделях калькуляторів передбачена можливість зведення числа в квадратнавіть за відсутності спеціальної кнопки. Тому ознайомтеся з інструкцією до конкретного калькулятора. Іноді "хитрого" зведення в ступінь наведено на задній кришці або на калькуляторі. Наприклад, на багатьох калькуляторах для зведення числа в квадратдостатньо натиснути кнопки "х" і "=".

Для зведення в квадратзвичайного дробу (що складається з чисельника та знаменника), зведіть у квадратокремо чисельник та знаменник цього дробу. Тобто скористайтеся наступним правилом: (ч / з) ² = ч ² / з ², де ч - чисельник дробу, з - знаменник дробу.

Якщо зводиться в квадрат дріб- Змішана (складається з цілої частини і звичайного дробу), то попередньо приведіть її до звичайному виду. Тобто застосуйте таку формулу:(ц ч/з)² = ((ц*з+год)/з)² = (ц*з+год)²/з², де ц – ціла частиназмішаного дробу. Приклад: (3 2/5) ² = ((3 * 5 +2) / 5) ² = (3 * 5 +2) ² / 5 ² = 17 ² / 5 ² = 289/25 = 11 14/25.

Якщо в квадрат(не ) дробу доводиться постійно, то скористайтеся програмою MS Excel. Для цього введіть в одну з таблиці таку формулу: =СТУПЕНЬ(A2;2) де А2 – адреса осередку, в яку вводитиметься квадрат дріб.Щоб повідомити програму, що з числом, що вводиться, необхідно звертатися як дрібю (тобто не перетворювати її на десятковий вигляд), наберіть перед дрібцю цифру "0" і знак "пробіл". Тобто для введення, наприклад, дробу 2/3 потрібно ввести: 0 2/3 (і натиснути Enter). При цьому у рядку введення відобразиться десяткове представлення введеного дробу. Значення та подання дробу безпосередньо у збережеться у вихідному вигляді. Крім того, при використанні математичних функцій, аргументами яких є звичайні дроби, результат також буде представлений у вигляді звичайного дробу. Отже квадратдробу 2/3 буде представлено як 4/9.