Осьова симетрія як побудувати. Як намалювати симетричний предмет

Крапки Мі М 1 називаються симетричними щодо заданої прямої Lякщо ця пряма є серединним перпендикуляром до відрізка МM 1 (рис 1). Кожна точка пряма Lсиметрична сама собі. Перетворення площини, при якому кожна точка відображається на симетричну їй точку щодо даної прямої L, називається осьовий симетрією з віссю Lі позначається S L : S L (M) = M 1 .

Крапки Мі М 1 взаємно симетричні щодо Lтому S L (M 1 )=M. Отже, перетворення, зворотне осьової симетрії, є та ж осьова симетрія: S L -1= S L , S L° S L = E. Інакше кажучи, осьова симетрія площини є інволютивнимперетворенням.

Образ цієї точки при осьової симетрії можна легко побудувати, користуючись лише одним циркулем. Нехай L- вісь симетрії, Aі B- Довільні точки цієї осі (рис 2). Якщо і S L (M) = M 1 , то за якістю точок серединного перпендикуляра до відрізку маємо: AM = AM 1 і BM = BM 1 . Значить, точка M 1 належить двом колам: кола з центром Aрадіусу AMта кола з центром Bрадіусу BM (M - дана точка). Фігура Fта її образ F 1 при осьовій симетрії називаються симетричними фігурами щодо прямої L(Рис 3).

Теорема. Осьова симетрія площини є рухом.

Якщо Аі У- будь-які точки площини та S L (A) = A 1 , S L (B) = B 1 , то треба довести, що A 1 B 1 = AB. Для цього введемо прямокутну системукоординат OXYтак, щоб вісь OXзбіглася з віссю симетрії. Крапки Аі Умають координати А(x 1 ,-y 1 ) і B(x 1 ,-y 2 ) . А 1 та У 1 мають координати A 1 (x 1 ,y 1 ) і B 1 (x 1 ,y 2 ) (Рис 4 - 8). За формулою відстані між двома точками знаходимо:

З цих співвідношень ясно, що АВ=А 1 У 1 , що потрібно було довести.

З порівняння орієнтацій трикутника та його образу отримуємо, що осьова симетрія площини є рух другого роду.

Осьова симетрія відображає кожну пряму на пряму. Зокрема, кожна з прямих, перпендикулярних до осі симетрії, відображається цією симетрією на себе.

Теорема. Пряма, відмінна від перпендикуляра до осі симетрії, і її образ при цій симетрії перетинаються на осі симетрії або паралельні їй.

Доведення.Нехай дана пряма, не перпендикулярна до осі Lсиметрії. Якщо m? L=Pі S L (m) = m 1 , то m 1 ?mі S L (P) = Pтому Pm1(Рис 9). Якщо ж m || L, то m 1 || L, тому що в іншому випадку прямі mі m 1 перетинали б у точці прямий L, що суперечить умові m ||L(Рис 10).

В силу визначення рівних фігур, прямі, симетричні щодо прямої L, утворюють з прямої L рівні кути(Рис 9).

Пряма Lназивається віссю симетрії фігури Fякщо при симетрії з віссю Lфігура Fвідображається на себе: S L (F) =F. Кажуть, що фігура Fсиметрична щодо прямої L.

Наприклад, будь-яка пряма, що містить центр кола, є віссю симетрії цього кола. Справді, нехай М- довільна точка кола щз центром Про, ОL, S L (M) = M 1 . Тоді S L (O) = Oі OM 1 =OM, тобто. M 1 є щ. Отже, образ будь-якої точки кола належить цьому колу. Отже, S L (щ) = щ.

Осями симетрії пари непаралельних прямих є дві перпендикулярні прямі, що містять бісектриси кутів між даними прямими. Осю симетрії відрізка є пряма, що містить його, а також серединний перпендикулярдо цього відрізку.

Властивості осьової симетрії

• 1. При осьової симетрії образом прямої є пряма, паралельними прямими є паралельні прямі.
• 3. Осьова симетрія зберігає просте відношення трьох точок.
• 3. При осьової симетрії відрізок перетворюється на відрізок, промінь - у промінь, полуплоскость - полуплоскость.
• 4. При осьової симетрії кут перетворюється на рівний йому кут.
• 5. При осьової симетрії з віссю d будь-яка пряма, перпендикулярна до осі d залишається на місці.
• 6. При осьовій симетрії ортонормований репер перетворюється на ортонормований репер. При цьому точка М з координатами х і у щодо репера R переходить в точку M `з тими самими координатами х і у, але щодо репера R`.
• 7. Осьова симетрія площини переводить правий ортонормований репер у лівий і, навпаки, лівий ортонормований репер - у правий.
• 8. Композиція двох осьових симетрій площини з паралельними осямиє паралельне перенесення на вектор, перпендикулярний даним прямим, довжина якого вдвічі більше відстаніміж даними прямими

Осю симетрії називається пряма лінія, при повороті навколо якої на певний кут фігура поєднується сама з собою.

Найменший кут повороту, що приводить фігуру до самосуміщення, називається елементарним кутом повороту осі. Елементарний кут повороту осі  міститься ціле число разів на 360 :

де n – ціле число.

Число n, що показує скільки разів елементарний кут повороту осі міститься в 360 0 називається порядком осі.

У геометричних фігурах можуть бути осі будь-яких порядків, починаючи від осі першого порядку і закінчуючи віссю нескінченного порядку.

Елементарний кут повороту осі першого порядка (n = 1) дорівнює 360 0 . Так як кожна фігура, будучи повернена навколо будь-якого напрямку на 360 0, поєднується сама з собою, то кожна фігура має нескінченну кількість осей першого порядку. Такі осі є характерними, тому вони зазвичай не згадуються.

Вісь нескінченного порядку відповідає нескінченно малому елементарному кутку повороту. Ця вісь є у всіх фігурах обертання як осі обертання.

Прикладами осей третього, четвертого, п'ятого, шостого тощо. буд. порядків є перпендикуляри до площині малюнка, які проходять центри правильних багатокутників, трикутників, квадратів, п'ятикутників тощо.

Отже, у геометрії існує нескінченний ряд осей різних порядків.

У кристалічних багатогранниках можливі не будь-які осі симетрії, а тільки осі першого, другого, третього, четвертого і шостого порядку.

Осі симетрії п'ятого та вище шостого порядку в кристалах неможливі. Це положення є одним з основних законів кристалографії та називається законом симетрії кристалів.

Як та інших. геометричні законикристалографії, закон симетрії кристалів пояснюється гратчастою будовою кристалічної речовини. Дійсно, якщо симетрія кристала є проявом симетрії його внутрішньої будови, то кристалах можливі лише такі елементи симетрії, які суперечать властивостям просторової решітки.

Доведемо, що вісь п'ятого порядку не задовольняє законам просторових ґрат і тим самим доведемо її неможливість у кристалічних багатогранниках.

Припустимо, що вісь п'ятого порядку у просторових ґратах можлива. Нехай ця вісь буде перпендикулярна до площини креслення, перетинаючи її в точці О (рис.2.9). В окремому випадку точка О може збігатися з одним із вузлів решітки.

Рис. 2.9. Вісь симетрії п'ятого порядку неможлива у просторових ґратах

Візьмемо найближчий від осі вузол ґрат А 1 , що лежить у площині креслення. Так як навколо осі п'ятого порядку все повторюється п'ять разів, то найближчих до неї вузлів у площині креслення має бути всього п'ять А1, А2, А3, А4, А5. Розташовуючись на однакових відстанях від точки Про вершинах правильного п'ятикутника, вони поєднуються друг з одним при повороті навколо Про 360/5=72°.

Ці п'ять вузлів, що лежать в одній площині, утворюють плоску сітку просторових ґрат і тому до них додаються всі основні властивості ґрат. Якщо вузли А 1 і А 2 належать ряду плоскої сітки з проміжком А 1 А 2 то через будь-який вузол решітки можна провести ряд, паралельний рядуА1 А2. Проведемо такий ряд через вузол А3. Цей ряд, що проходить і через вузол А 5 повинен мати проміжок, рівний А 1 А 2 , т. К. У просторовій решітці всі паралельні ряди мають однакову щільність.

Отже, з відривом А 3 А x = А 1 А 2 від вузла А 3 повинен бути ще один вузол А x . Однак додатковий вузол А x виявляється лежачим ближче до точки О ніж вузол А 1 взятий за умовою найближчим до осі п'ятого порядку.

Таким чином, зроблене нами припущення про можливість осі п'ятого порядку в просторових ґратах призвело до явного абсурду і тому є помилковим.

Оскільки існування осі п'ятого порядку несумісне з основними властивостями просторових ґрат, то така вісь неможлива і в кристалах.

Аналогічним чином доводиться неможливість існування в кристалах осей симетрії вище шостого порядку і, навпаки, можливість кристалах осей другого, третього, четвертого і шостого порядку, присутність яких суперечить властивостям просторових решіток.

Для позначення осей симетрії використовується буква L, а порядок осі вказується невеликою цифрою, розташованої праворуч від букви (наприклад, L 4 - вісь четвертого порядку).

У кристалічних багатогранниках осі симетрії можуть проходити через центри протилежних граней перпендикулярно до них через середини протилежних ребер перпендикулярно до них (лише L 2) і через вершини багатогранника. В останньому випадку симетричні грані та ребра однаково нахилені до цієї осі.

Кристал може мати кілька осей симетрії одного порядку, кількість яких вказується коефіцієнтом перед літерою. Наприклад, у прямокутному паралелепіпеді є 3L 2 , тобто три осі симетрії другого порядку; в кубі є 3L 4 4L 3 і 6L 2 тобто три осі симетрії четвертого порядку чотири осі третього порядку і шість осей другого порядку і т. д.

Цілі:

• освітні:
  • дати уявлення про симетрію;
  • познайомити з основними видами симетрії на площині та у просторі;
  • виробити міцні навички побудови симетричних фігур;
  • розширити уявлення про відомі постаті, познайомивши з властивостями, пов'язаних із симетрією;
  • показати можливості використання симетрії під час вирішення різних завдань;
  • закріпити отримані знання;
• загальнонавчальні:
  • навчити налаштовувати себе працювати;
  • навчити вести контроль за собою та сусідом по парті;
  • навчити оцінювати себе та сусіда по парті;
• розвиваючі:
  • активізувати самостійну діяльність;
  • розвивати пізнавальну діяльність;
  • вчити узагальнювати та систематизувати отриману інформацію;
• виховні:
  • виховувати в учнів "почуття плеча";
  • виховувати комунікативність;
  • прищеплювати культуру спілкування.

ХІД УРОКУ

Перед кожним лежать ножиці та аркуш паперу.

Завдання 1(3 хв).

- Візьмемо аркуш паперу, складемо його потрапила і виріжемо якусь фігурку. Тепер розгорнемо лист і подивимося на лінію згину.

Запитання:Яку функцію виконує ця лінія?

Передбачувана відповідь:Ця лінія ділить фігуру навпіл.

Запитання:Як розташовані всі точки фігури на двох половинках, що вийшли?

Передбачувана відповідь:Усі точки половинок знаходяться на рівному відстанівід лінії згину та на одному рівні.

– Отже, лінія згину ділить фігурку навпіл те що 1 половинка є копією 2 половинки, тобто. ця лінія непроста, вона має чудову властивість (усі точки щодо неї знаходяться на однаковій відстані), ця лінія – вісь симетрії.

Завдання 2 (2 хв).

– Вирізати сніжинку, знайти вісь симетрії, охарактеризувати її.

Завдання 3 (5 хв).

- Накреслити в зошит коло.

Запитання:Визначити, як проходить вісь симетрії?

Передбачувана відповідь:По різному.

Запитання:То скільки осей симетрії має коло?

Передбачувана відповідь:Багато.

- Правильно, коло має безліч осей симетрії. Такою самою чудовою фігурою є куля (просторова фігура)

Запитання:Які ще постаті мають не одну вісь симетрії?

Передбачувана відповідь:Квадрат, прямокутник, рівнобедрений та рівносторонній трикутники.

– Розглянемо об'ємні фігури: куб, піраміда, конус, циліндр і т.д. Ці фігури теж мають вісь симетрії. Визначте, скільки осей симетрії у квадрата, прямокутника, рівностороннього трикутника та у запропонованих об'ємних фігур?

Роздаю учням половинки фігурок із пластиліну.

Завдання 4 (3 хв).

- Використовуючи отриману інформацію, доліпити недостатню частину фігурки.

Примітка: фігурка може бути і площинною, і об'ємною. Важливо, щоб учні визначили, як проходить вісь симетрії, і доліпили елемент, що бракує. Правильність виконання визначає сусід по парті, оцінює, наскільки правильно виконано роботу.

Зі шнурка одного кольору на робочому столі викладена лінія (замкнена, незамкнена, з самоперетином, без самоперетину).

Завдання 5 (групова робота 5 хв).

- Визначити візуально вісь симетрії і щодо неї добудувати зі шнурка іншого кольору другу частину.

Правильність виконаної роботи визначається самими учнями.

Перед учнями представлені елементи малюнків

Завдання 6 (2 хв).

– Знайдіть симетричні частини цих малюнків.

Для закріплення пройденого матеріалу пропоную наступні завдання, передбачені на 15 хв.:

Назвіть все рівні елементитрикутника КОР та КОМ. Який вид цих трикутників?

2. Накресліть у зошиті кілька рівнобедрених трикутників із загальною основою, що дорівнює 6 см.

3. Накресліть відрізок АВ. Побудуйте пряму перпендикулярну відрізку АВ і проходить через його середину. Позначте на ній точки С та D так, щоб чотирикутник АСВD був симетричний щодо прямої АВ.

– Наші первісні уявлення про форму відносяться до дуже віддаленої ери стародавнього кам'яного віку – палеоліту. Протягом сотень тисячоліть цього періоду люди жили в печерах, що в умовах мало відрізнялися від життя тварин. Люди виготовляли знаряддя полювання і рибальства, виробляли мову спілкування друг з одним, а епоху пізнього палеоліту прикрашали своє існування, створюючи твори мистецтва, статуетки і малюнки, у яких виявляється чудове почуття форми.
Коли відбувся перехід від простого збирання їжі до активного її виробництва, від полювання та рибальства до землеробства, людство входить у новий кам'яний вік, у неоліт.
Людина неоліту мала гостре почуття геометричної форми. Випалення та розфарбування глиняних судин, виготовлення очеретяних циновок, кошиків, тканин, пізніше – обробка металів виробляли уявлення про площинні та просторові фігури. Неолітичні орнаменти тішили око, виявляючи рівність та симетрію.
– А де у природі зустрічається симетрія?

Передбачувана відповідь:крила метеликів, жуків, листя дерев.

– Симетрію можна спостерігати й у архітектурі. Будівництво, будівельники чітко дотримуються симетрії.

Тому будинки виходять такі гарні. Також прикладом симетрії є людина, тварини.

Завдання додому:

1. Вигадати свій орнамент, зобразити його на аркуші формат А4 (можна намалювати у вигляді килима).
2. Намалювати метеликів, відзначити, де є елементи симетрії.

Що таке вісь симетрії? Це безліч точок, які утворюють пряму, що є основою симетрії, тобто, якщо від прямої відклали певну відстань з одного боку, то вона відобразиться і в інший бік у такому ж розмірі. Осью може виступати все, що завгодно, - точка, пряма, площина і таке інше. Але про це краще говорити наочних прикладів.

Симетрія

Для того щоб зрозуміти, що таке вісь симетрії, потрібно вникнути в визначення симетрії. Це відповідність певного фрагмента тіла щодо будь-якої осі, коли його структура незмінна, а властивості та форма такого об'єкта залишаються колишніми щодо його перетворень. Можна сміливо сказати, що симетрія — властивість тіл для відображення. Коли фрагмент не може мати подібної відповідності, це називається асиметрією або аритмією.

Деякі фігури не мають симетрії, тому вони і називаються неправильними або асиметричними. До таких відносяться різні трапеції (крім рівнобедреної), трикутники (крім рівнобедреного та рівностороннього) та інші.

Види симетрії

Також обговоримо деякі види симетрії, щоб остаточно вивчити це поняття. Їх поділяють так:

Історія симетрії

Саме поняття симетрії часто буває відправною точкою в теоріях і гіпотезах вчених стародавніх часів, які були впевнені в математичній гармонії світобудови, а також у прояві божественного початку. Стародавні греки свято вірили в те, що Всесвіт симетричний, тому що симетрія чудова. Людина дуже давно використовувала ідею симетрії у своїх пізнаннях картини світобудови.

У V столітті до нашої ери Піфагор вважав сферу самої досконалою формоюі думав, що Земля має форму сфери і так само рухається. Також він вважав, що Земля рухається формою якогось «центрального вогню», навколо якого мали обертатися 6 планет (відомі на той час), Місяць, Сонце та всі інші зірки.

А філософ Платон вважав багатогранники уособленням чотирьох природних стихій:

• тетраедр – вогонь, тому що його вершина спрямована вгору;
• куб - земля, тому що це найстійкіше тіло;
• октаедр - повітря, немає жодних пояснень;
• ікосаедр — вода, тому що тіло не має грубих геометричних форм, кутів тощо;
• образом всього Всесвіту був додекаедр.

Через всі ці теорії правильні багатогранникиназивають тілами Платона.

Симетрією користувалися ще архітектори Стародавню Грецію. Усі їхні будівлі були симетричні, про це свідчать зображення стародавнього храмуЗевса в Олімпії

Голландський художник М. К. Ешер також вдавався до симетрії у своїх картинах. Зокрема мозаїка з двох птахів, що летять назустріч, стала основою картини «День і ніч».

Також і наші мистецтвознавці не зневажали правил симетрії, що видно на прикладі картини Васнецова В. М. «Богатирі».

Що вже там казати, симетрія ключове поняттядля всіх митців протягом багатьох століть, але в XX столітті її сенс оцінили також всі діячі точних наук. Точним свідченням є фізичні та космологічні теорії, наприклад, теорія відносності, теорія струн, абсолютно вся квантова механіка. З часів Стародавнього Вавилонуі, закінчуючи передовими відкриттями сучасної науки, простежуються шляхи вивчення симетрії та відкриття її основних законів.

Симетрія геометричних фігур та тіл

Розглянемо уважніше геометричні тіла. Наприклад, віссю симетрії параболи є пряма, що проходить через її вершину і розсікає дане тілонавпіл. Ця фігура має одну єдину вісь.

А з геометричними фігурамисправа йде інакше. Вісь симетрії прямокутника також пряма, але їх кілька. Можна провести вісь паралельно відрізкам ширини, а можна довжини. Але не все так просто. Ось пряма немає осей симетрії, оскільки її кінець не визначено. Могла існувати тільки центральна симетріяАле, відповідно, і такої не буде.

Деякі тіла мають безліч осей симетрії. Про це здогадатися нескладно. Навіть не треба говорити про те, скільки осей симетрії має коло. Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, є такою і цих прямих — безліч.

Деякі чотирикутники можуть мати дві осі симетрії. Але другі мають бути перпендикулярні. Це відбувається у випадку з ромбом та прямокутником. У першій осі симетрії – діагоналі, а у другому – середні лінії. Безліч таких осей лише у квадрата.

Симетрія у природі

Природа вражає безліччю прикладів симетрії. Навіть наше людське тіловлаштовано симетрично. Два очі, два вуха, ніс і рот розташовані симетрично щодо центральної осіособи. Руки, ноги і все тіло влаштовано симетрично осі, що проходить через середину нашого тіла.

А скільки прикладів оточує нас постійно! Це квіти, листя, пелюстки, овочі та фрукти, тварини і навіть стільники бджіл мають яскраво виражену геометричну форму та симетрію. Вся природа влаштована впорядковано, всьому є своє місце, що ще раз підтверджує досконалість законів природи, в яких симетрія є основною умовою.

Висновок

Нас постійно оточують будь-які явища та предмети, наприклад, веселка, крапля, квіти, пелюстки тощо. Їхня симетрія — очевидна, якоюсь мірою вона обумовлена ​​гравітацією. Часто в природі під поняттям «симетрія» розуміють регулярну зміну дня та ночі, пори року тощо.

Подібні властивості спостерігаються скрізь, де є порядок та рівність. Також і самі закони природи — астрономічні, хімічні, біологічні та навіть генетичні підпорядковані певним принципамсиметрії, оскільки мають досконалу системність, отже, збалансованість має комплексний масштаб. Отже, осьова симетрія — один із основоположних законів світобудови загалом.

Скільки різних осей симетрії зможе мати якийсь трикутник, залежить від його геометричної форми. Якщо це рівносторонній трикутник, тоді у нього будуть відразу три осі симетрії.

А якщо це рівнобедрений трикутник, у нього буде тільки одна вісь симетрії.

Син сестри проходить цю тему в школі на уроках геометрії. Вісь симетрії – це пряма лінія, при повороті навколо якої на конкретний кут симетрична фігуразайме таке саме положення в просторі, яке вона займала до повороту, а на місце одних її частин стануть такі ж інші. У рівнобедреному трикутнику – три, у прямокутному – одна, в інших – ні, тому що у них сторони не рівні між собою.

Це, дивлячись якийсь трикутник. У рівностороннього трикутника є три осі симетрії, які проходять через три його вершини. Рівнобедрений трикутниквідповідно має одну вісь симетрії. Інші трикутники, осі симетрії немає.



Найпростіше, що можна запам'ятати - це у рівностороннього трикутника три сторони рівні і він має три осі симетрії

Від цього легше запам'ятати таке

Немає рівних сторін, тобто всі сторони різні, значить немає осей симетрії

А в рівнобедреному трикутнику лише одна вісь



Не можна просто відповісти, скільки осей симетрії у трикутника, не розібравшись з тим, про який саме трикутник йдеться.

У трикутника рівностороннього є три осі симетрії відповідно.

У трикутника рівнобедреного є лише одна вісь симетрії.

Будь-які інші трикутники з різними по довжині сторонами взагалі не мають жодної осі симетрії.

Трикутник, у якого всі сторони різні за величиною, немає осей симетрії.

Прямокутний трикутник може мати одну вісь симетрії, якщо його катети рівні.

У трикутнику, у якого дві сторони рівні (рівностегновому) можна провести одну вісь, а у якого всі три сторони рівні (рівносторонньому) – три.

Перш ніж відповісти на запитання про те, скільки осей симетрії має трикутник, спочатку потрібно взагалі згадати, що таке вісь симетрії.

Так от, говорячи просто, в геометрії вісь симетрії - це лінія, якщо по якій зігнути фігуру, то отримаємо однакові половинки.

Але варто пам'ятати, що трикутники також бувають різними.

Так ось, рівнобедренийтрикутник (трикутник з двома рівними сторонами) має одну вісь симетрії.

Рівностороннійтрикутник відповідно має 3 осі симетрії, тому що всі сторони цього трикутника рівні.

А от різнобічнийтрикутник взагалі осей симетрії немає. Хоч як його складай і хоч де прямі лінії проводь, але якщо сторони різні, то й двох однакових половиною не вийде.



Наскільки пам'ятаю геометрію, у рівностороннього трикутника три осі симетрії, що проходять через його вершини, це його бісектриси. У прямокутного трикутника, як і різнобічного, тупокутного та гострокутного трикутниківосей симетрії взагалі немає, а в рівнобедреного вона одна.

А перевірити це легко - просто уявити лінію, якою його можна розрізати надвоє так, щоб отримати два однакові трикутники.

Так як трикутники бувають різні, то і осі симетрії у них відповідно різних кількостях. Наприклад, трикутник з різними сторонамивзагалі без осей симетрії. А у рівностороннього їх аж три. Є ще один вид трикутника, який має одну вісь симетрії. У нього дві сторони рівні, і один прямий кут.

Довільний трикутник немає осей симетрії. Рівнобедрений трикутник має одну вісь симетрії – це медіана до одиночної сторони. Рівносторонній трикутникмає три осі симетрії – це три його медіани.