Площа трикутника формула якщо відомі всі сторони. Як обчислити площу трикутника

Часом у житті зустрічаються такі ситуації, коли доводиться копатися у пам'яті у пошуках давно забутих. шкільних знань. Наприклад, потрібно визначити площу земельної ділянки трикутної форми або ж настала черга чергового ремонту в квартирі або приватному будинку, і потрібно порахувати, скільки піде матеріалу для поверхні з трикутною формою. Був час, коли ви могли вирішити таке завдання за пару хвилин, а тепер намагаєтеся пригадати, як же визначити площу трикутника?

Не варто через це переживати! Адже це цілком нормально, коли мозок людини вирішує перекласти знання, що давно не використовуються, кудись у віддалений куточок, з якого часом їх не так і легко витягти. Щоб вам не довелося мучитися з пошуком забутих шкільних знань для вирішення такого завдання, у цій статті зібрані різні методи, які дозволяють легко знайти потрібну площу трикутника.

Загальновідомо, що трикутником називають такий вид багатокутника, який мінімально обмежений можливою кількістюсторін. В принципі, будь-який багатокутник можна розділити на кілька трикутників, з'єднавши його вершини відрізками, які не перетинають його сторони. Тому, знаючи трикутника, можна порахувати площу практично будь-якої фігури.

Серед усіх можливих трикутників, що зустрічаються у житті, можна назвати такі приватні види: і прямокутний.

Найпростіше площа трикутника розраховується, коли один з його кутів прямий, тобто у випадку прямокутного трикутника. Неважко помітити, що він є половиною прямокутника. Тому його площа дорівнює половині добутку сторін, які утворюють між собою прямий кут.

Якщо нам відомі висота трикутника, опущена з однієї з його вершин протилежний бік, і довжина цієї сторони, яку називають основою, площа розраховується як половина твору висоти на основу. Записується це за допомогою такої формули:

S = 1/2*b*h, у якій

S - потрібна площа трикутника;

b, h - відповідно, висота та основа трикутника.

Так легко розрахувати площу рівнобедреного трикутникаоскільки висота ділитиме протилежну сторону навпіл, і її легко можна буде виміряти. Якщо визначається площа то як висота зручно брати довжину однієї зі сторін, що утворюють прямий кут.

Все це звичайно добре, але як визначити, чи є один із кутів трикутника прямим чи ні? Якщо розмір нашої фігури невеликий, можна скористатися будівельним кутом, креслярським трикутником, листівкою або іншим предметом з прямокутною формою.

Але що робити, якщо у нас трикутний земельна ділянка? У цьому випадку надходять так: відраховують від вершини передбачуваного прямого кутапо одній із сторін відстань кратна 3 (30 см, 90 см, 3 м), а по іншій стороні відміряють у тій же пропорції відстань кратна 4 (40 см, 160 см, 4 м). Тепер потрібно виміряти відстань між кінцевими точкамицих двох відрізків. Якщо вийшло значення кратне 5 (50 см, 250 см, 5 м), можна стверджувати, що кут прямий.

Якщо відомо значення довжини кожної із трьох сторін нашої фігури, то площу трикутника можна визначити, використовуючи формулу Герона. Для того щоб вона мала більш простий вигляд, застосовують нову величинуяка називається напівпериметром. Це сума всіх сторін нашого трикутника, розділена навпіл. Після того, як напівпериметр порахований, можна приступати до визначення площі за формулою:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), де

sqrt - квадратний корінь;

p - значення напівпериметра (p = (a + b + c) / 2);

а,b,с - ребра (сторони) трикутника.

Але що робити, якщо трикутник має неправильну форму? Тут можливі два способи. Перший полягає в тому, щоб спробувати розділити таку фігуру на два прямокутний трикутниксуму площ яких порахувати окремо, а потім скласти. Або ж, якщо відомий кут між двома сторонами та розмір цих сторін, то застосувати формулу:

S = 0.5 * ab * sinC, де

a, b - Сторони трикутника;

с – величина кута між цими сторонами.

Останній випадокна практиці зустрічається рідко, проте, в житті все можливо, тому наведена вище формула не буде зайвою. Успіхів у розрахунках!

З протилежної вершини) і поділіть отриманий твір на два. У вигляді це виглядає так:

S = ½ * а * h,

де:
S – площа трикутника,
а – довжина його сторони,
h – висота, опущеної з цього боку.

Довжина сторони і висота повинні бути представлені в однакових одиницяхвимірювання. При цьому площа трикутника вийде у відповідних одиницях.

приклад.
На одну із сторін різнобічного трикутника довжиною 20 см, опущений перпендикуляр із протилежної вершини довжиною 10 см.
Потрібна площа трикутника.
Рішення.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Якщо відомі довжини двох сторін різнобічного трикутника і кут між ними, то скористайтеся формулою:

S = ½ * а * b * sinγ,

де: а, b – довжини двох довільних сторін, а γ – кута між ними.

На практиці, наприклад, при вимірі земельних ділянок, Використання вищенаведених формул іноді важко, так як вимагає додаткових побудов та вимірювання кутів.

Якщо вам відомі довжини всіх трьох сторін різнобічного трикутника, то скористайтесь формулою Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – довжини сторін трикутника,
р - напівпериметр: p = (a + b + c) /2.

Якщо крім довжин всіх сторін відомий радіус вписаного в трикутник кола, то скористайтеся наступною компактною формулою:

де: r – радіус вписаного кола (р – напівпериметр).

Для обчислення площі різнобічного трикутника описаного кола та довжини його сторін використовуйте формулу:

де: R – радіус описаного кола.

Якщо відома довжина однієї зі сторін трикутника та трьох кутів (в принципі, достатньо двох – величина третього обчислюється з рівності суми трьох кутів трикутника – 180º), то скористайтеся формулою:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

де - величина протилежного стороні а кута;
β, γ – величини інших двох кутів трикутника.

Потреба знаходження різних елементів, у тому числі й площі трикутника, з'явилася за багато століть до нашої ери вчених астрономів Стародавню Грецію. Площа трикутникаможна обчислити у різний спосіб, використовуючи різні формули. Спосіб обчислення залежить від того, які елементи трикутникавідомі.

Інструкція

Якщо з умови нам відомі значення двох сторін b, c та кут ними утворений?, то площа трикутника ABC знаходиться за формулою:
S = (bcsin?)/2.

Якщо з умов нам відомі значення двох сторін a, b і не утворений ними кут?, то площа трикутника ABC знаходиться так:
Знаходимо кут?, sin? = bsin?/a, далі таблиці визначаємо сам кут.
Знаходимо кут? = 180 ° -?-?.
Знаходимо саму площу S = (absin?)/2.

Якщо з умови нам відомі значення лише трьох сторін трикутника a, b та c, то площа трикутника ABC знаходиться за формулою:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , де p – напівпериметр p = (a+b+c)/2

Якщо з умови завдання нам відомі висота трикутника h і сторона до якої опущена ця висота, то площа трикутника ABC за формулою:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Якщо нам відомі значення сторін трикутника a, b, c і радіус описаної у даного трикутника R, то площа цього трикутника ABC визначається за формулою:
S = abc/4R.
Якщо відомі три сторони a, b, c і радіус вписаної в , то площа трикутника ABC знаходиться за формулою:
S = pr, де p – напівпериметр, p = (a+b+c)/2.

Якщо ABC – рівносторонній, то площа знаходиться за такою формулою:
S=(a^2v3)/4.
Якщо трикутник ABC – рівнобедрений, то площа визначається за такою формулою:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, де з – трикутника.
Якщо трикутник ABC прямокутний, то площа визначається за формулою:
S = ab/2, де a та b – катети трикутника.
Якщо трикутник ABC – прямокутний рівнобедрений, то площа визначається за такою формулою:
S = c^2/4 = a^2/2, де с – гіпотенуза трикутника, a = b - катет.

Відео на тему

Джерела:

як виміряти площу трикутника

Порада 3: Як знайти площу трикутника, якщо відомий кут

Знання лише одного параметра (величини кута) замало перебування площі тре косинця . Якщо ж є які-небудь додаткові розміри, то для визначення площі можна вибрати одну з формул, в яких однією з відомих змінних використовується і величина кута. Декілька таких формул, що застосовуються найчастіше, наведено нижче.

Інструкція

Якщо крім величини кута (γ), утвореного двома сторонами тре косинця , відомі і довжини цих сторін (A і B), то площа(S) фігури можна визначити, як половину від добутку довжин сторін на синус цього відомого кута: S=½×A×B×sin(γ).

Щоб визначити площу трикутника, можна користуватися різними формулами. З усіх способів найлегший і найчастіше застосовуваний - це множення висоти на довжину основи з наступним розподілом отриманого результату на два. Однак даний методдалеко не єдиний. Нижче ви зможете прочитати, як знайти площу трикутника, використовуючи різні формули.

Окремо ми розглянемо способи обчислення площі специфічних видівтрикутника - прямокутного, рівнобедреного та рівностороннього. Кожну формулу ми супроводжуємо коротким поясненням, яке допоможе зрозуміти її суть.

Універсальні способи знаходження площі трикутника

У наведених нижче формулах використовуються спеціальні позначення. Ми розшифруємо кожне з них:

a, b, c – довжини трьох сторін розглянутої нами фігури;
r – радіус кола, яке може бути вписано в наш трикутник;
R – радіус того кола, яке може бути описано навколо нього;
α - величина кута, утвореного сторонами b та с;
β - величина кута між a та c;
γ - величина кута, утвореного сторонами а та b;
h – висота нашого трикутника, опущена з кута на сторону а;
p – половина суми сторін a, b та с.

Логічно зрозуміло, чому можна знаходити площу трикутника цим способом. Трикутник легко добудовується до паралелограма, в якому одна сторона трикутника виконуватиме роль діагоналі. Площа паралелограма знаходиться множенням довжини однієї з сторін на значення висоти, проведеної до неї. Діагональ поділяє цей умовний паралелограм на 2 однакові трикутники. Отже, цілком очевидно, що площа нашого вихідного трикутника має дорівнювати половині площі цього допоміжного паралелограма.

S = ½ a · b · sin γ

Відповідно до цієї формули, площа трикутника знаходиться множенням довжин двох сторін, тобто а і b, на синус утвореного ними кута. Ця формула логічно виводиться із попередньої. Якщо опустити висоту з кута β на бік b, то, згідно з властивостями прямокутного трикутника, при множенні довжини сторони на синус кута γ отримуємо висоту трикутника, тобто h.

Площа розглянутої фігури знаходимо шляхом множення половини радіусу кола, яке в нього можна вписати, на його периметр. Іншими словами, знаходимо твір напівпериметра на радіус згаданого кола.

S = a · b · с/4R

Згідно з цією формулою, необхідну нам величину можна знайти шляхом поділу твору сторін фігури на 4 радіуси кола навколо неї описаної.

Ці формули універсальні, оскільки дозволяють визначити площу будь-якого трикутника (різностороннього, рівнобедреного, рівностороннього, прямокутного). Можна це зробити і за допомогою більше складних обчислень, на яких ми докладно зупинятись не станемо.

Площі трикутників зі специфічними властивостями

Як знайти площу прямокутного трикутника? Особливістю цієї постаті є те, що дві її сторони одночасно є її висотами. Якщо а і b є катетами, а з стає гіпотенузою, то площу знаходимо так:

Як знайти площу рівнобедреного трикутника? У ньому дві сторони з довжиною і одна сторона з довжиною b. Отже, його площу визначити можна шляхом поділу на 2 твори квадрата сторони, а на синус кута γ.

Як знайти площу рівностороннього трикутника? У ньому довжина всіх сторін дорівнює а, а величина всіх кутів – α. Його висота дорівнює половині добутку довжини сторони, а на корінь квадратний з 3. Щоб знайти площу правильного трикутника, Потрібно квадрат сторони а помножити на корінь квадратний з 3 і розділити на 4.

Інструкція

Сторониі кути вважаються основними елементами а. Трикутник повністю визначається будь-яким з таких основних елементів: або трьома сторонами, або однією стороною і двома кутами, або двома сторонами і кутом між ними. Для існування трикутника, що задається трьома сторонами a, b, c, необхідно і достатньо виконання нерівностей, які називають нерівностями трикутника:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Для побудови трикутникапо трьох сторонах a, b, c, необхідно з точки С відрізка СВ=a як провести циркулем окружність радіусом b. Потім аналогічним чином провести з точки B коло радіусом рівним боці c. Точка їх перетину A – третя вершина шуканого трикутника ABC, де АВ = c, CB = a, CA = b - сторони трикутника. Завдання має , якщо сторони a, b, c, задовольняють нерівності трикутникавказаним у кроці 1.

Площа S, побудованого таким чином трикутника ABC з відомими сторонами a, b, c, обчислюється за формулою Герона:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
де a, b, c – сторони трикутника, p – напівпериметр.
p = (a+b+c)/2

Якщо трикутник є рівностороннім, тобто всі його сторони дорівнюють (a=b=c). трикутникаобчислюється за такою формулою:
S=(a^2 v3)/4

Якщо трикутник є прямокутним, тобто один із його кутів дорівнює 90°, а сторони, що його утворюють, катетами, третя сторона гіпотенузою. У даному випадку площадорівнює добутку катетів, поділеному на два.
S=ab/2

Щоб знайти площа трикутникаможна скористатися однією з численних формул. Формулу вибирайте залежно від того, які відомості вже відомі.

Вам знадобиться

знання формул для знаходження площі трикутника

Інструкція

Якщо ви знаєте величину однієї зі сторін і величину висоти, опущеної на цю сторону з протилежного їй кута, то можна знайти площу за наступною: S = a * h/2, де S - площа трикутника, a - одна зі сторін трикутника, а h - Висота, до сторони a.

Існує відома для визначення площі трикутника, якщо відомі три сторони. Вона є формулою Герона. Для спрощення її запису вводять проміжну величину - напівпериметр: p = (a+b+c)/2 де a, b, c - . Тоді формула Герона наступним чином: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, зведення в ступінь.

Припустимо, що вам відома одна із сторін трикутника та три кути. Тоді легко знайти площу трикутника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), де β - кут, що протилежить стороні a, а α і γ - прилеглі до сторони кути.

Відео на тему

Зверніть увагу

Найзагальніша формула, яка підходить для всіх випадків – це формула Герона.

Джерела:

Порада 3: Як знайти по трьох сторонах площу трикутника

Пошук площі трикутника – одне з найпоширеніших завдань шкільної планіметрії. Знання трьох сторін трикутника достатньо визначення площі будь-якого трикутника. В окремих випадках та рівностороннього трикутниківдостатньо знати довжини двох та однієї сторони відповідно.

Вам знадобиться

довжини сторін трикутників, формула Герона, теорема косінусів

Інструкція

Формула Герона для площі трикутника наступним чином: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Якщо розписати напівпериметр p, то вийде: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можна вивести формулу площі трикутника і з міркувань, наприклад, застосувавши теорему косінусів.

За теоремою косінусів AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Використовуючи введені позначення, ці також можна у вигляді: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Звідси, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Площа трикутника знаходиться також за формулою S = a*c*sin(ABC)/2 через дві сторони та кут між ними. Сінус кута ABCможна висловити через нього за допомогою основного тригонометричного тотожності: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Підставляючи синус у формулу для площі і розписуючи його, можна прийти до формули для площі трикутника ABC.

Відео на тему

Для проведення ремонтних робітбуває необхідно виміряти площастін. Так простіше розрахувати необхідна кількістьфарби або шпалери. Для вимірювань найкраще скористатися рулеткою чи сантиметровою стрічкою. Виміри слід проводити вже після того, як стінибули вирівняні.

Вам знадобиться

-Рулетка;
-драбинка.

Інструкція

Щоб порахувати площастін, вам необхідно знати точну висотустель, а також виміряти довжину по підлозі. Робиться це так: візьміть сантиметр, прокладіть його над плінтусом. Зазвичай сантиметра для всієї довжини не вистачає, тому закріпіть його в кутку, потім розмотайте максимальну довжину. У цій точці поставте позначку олівцем, запишіть отриманий результат і подальший вимір проводьте так само, починаючи з останньої точки виміру.

Стандартна стель у типових - 2 метри 80 сантиметрів, 3 метри та 3 метри 20 сантиметрів, залежно від будинку. Якщо будинок був побудований до 50-х років, то, швидше за все, реальна висота дещо нижча за вказану. Якщо ви обчислюєте площадля ремонтних робіт, то невеликий запас не зашкодить - рахуйте, виходячи зі стандарту. Якщо все ж таки необхідно знати реальну висоту - проведіть виміри. Принцип аналогічний виміру довжини, але потрібно драбини.

Перемножте отримані показники – це і є площавашої стіни. Щоправда, при фарбувальні роботи або для необхідно відняти площадверних та віконних отворів. Для цього прокладіть сантиметр уздовж отвору. Якщо мова йдепро двері, які ви згодом збираєтеся міняти, то проводите зі знятою дверною коробкою, враховуючи тільки площабезпосередньо самого отвору. Площа вікна обчислюється за периметром його рами. Після того як площавікна та дверного отвору вираховано, відніміть результат із загальної отриманої площі кімнати.

Врахуйте, що виміри довжини та ширини кімнати проводити удвох, так легше зафіксувати сантиметр або рулетку і, відповідно, отримати точніший результат. Проводьте один і той же замір кілька разів, щоб переконатися в точності отриманих цифр.

Відео на тему

Знаходження обсягу трикутника справді нетривіальне завдання. Річ у тім, що трикутник – двомірна постать, тобто. він повністю лежить в одній площині, а це означає, що в нього просто немає обсягу. Зрозуміло, не можна знайти те, чого не існує. Але не опускатимемо руки! Можна прийняти таке припущення - об'єм двомірної фігури, це її площа. Площу трикутника ми й шукатимемо.

Вам знадобиться

аркуш паперу, олівець, лінійка, калькулятор

Інструкція

Накресліть на аркуші паперу за допомогою лінійки та олівця. Уважно розглянувши трикутник, ви зможете переконатися, що у нього дійсно немає, оскільки він намальований на площині. Підпишіть сторони трикутника: нехай одна сторона буде стороною "а", інша стороною "b", і третя - стороною "c". Підпишіть вершини трикутника літерами "A", "B" та "C".

Виміряйте лінійкою будь-яку сторону трикутника і запишіть результат, що вийшов. Після цього відновіть перпендикуляр до виміряної сторони протилежної їй вершини, такий перпендикуляр буде висотою трикутника. У випадку, наведеному на малюнку, перпендикуляр "h" відновлено до сторони "c" з вершини "A". Виміряйте висоту лінійкою і запишіть результат вимірювання.

Може статися, що вам буде важко відновити точний перпендикуляр. У цьому випадку вам слід користуватися іншою формулою. Виміряйте всі сторони трикутника лінійкою. Після цього підрахуйте півпериметр трикутника "p", склавши довжини сторін, що вийшли, і розділивши їх суму навпіл. Маючи у своєму розпорядженні значення напівпериметра, ви можете за формулою Герона. Для цього необхідно витягти квадратний корінь з наступного: p(p-a)(p-b)(p-c).

Ви отримали потрібну величину площі трикутника. Завдання знаходження обсягу трикутника не вирішена, але як говорилося вище, обсягу не . Ви можете знайти об'єм , яка по суті трикутником у тривимірному світі. Якщо уявити, що наш первісний трикутник став тривимірною пірамідою, то обсяг такої піраміди буде добутком довжини її основи на отриману нами площу трикутника.

Зверніть увагу

Підрахунки будуть тим точнішими, чим ретельніше ви проводитимете вимірювання

Джерела:

Калькулятор "Все у всі" - портал за довідковими величинами
обсяг трикутника у 2019

Три точки, що однозначно визначають трикутник в Декартової системикоординат – це його вершини. Знаючи їх положення щодо кожної з координатних осей можна обчислити будь-які параметри цієї плоскої фігури, включаючи і периметром, що обмежується її площа. Це можна зробити кількома способами.

Інструкція

Використовуйте формулу Герона для розрахунку площі трикутника. У ній задіяні розміри трьох сторін фігури, тому обчислення починайте з . Довжина кожної сторони повинна дорівнювати кореню із суми квадратів довжин її проекцій на координатні осі. Якщо позначити координати A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) та C(X₃,Y₃,Z₃), довжини їх сторін можна виразити так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Для спрощення розрахунків введіть додаткову змінну - напівпериметр (Р). З , що це половина суми довжин всіх сторін: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Трикутник – добре знайома всім постать. І це, незважаючи на багате розмаїття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупокутний. Кожен із них чимось відрізняється. Але для кожного потрібно дізнаватися площу трикутника.

Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот

Позначення, прийняті в них: сторони - а, в, с; висоти на відповідні сторони н а, н в, н с.

1. Площа трикутника обчислюється, як добуток, сторони і висоти, опущеної на неї. S = ½ * а * н а. Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін.

2. Формула Герона, у якій фігурує напівпериметр (його прийнято позначати маленькою літерою р, на відміну повного периметра). Напівпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони і розділити їх на 2. Формула напівпериметра: р = (а + в + с) / 2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = √ (р * (р - а) * ( р - в) * (р - с)).

3. Якщо не хочеться використовувати напівпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в – с)). Вона трохи довша за попередню, але виручить, якщо забулося, як знаходити напівпериметр.

Загальні формули, у яких фігурують кути трикутника

Позначення, які потрібні для прочитання формул: α, β, γ – кути. Вони лежать навпроти сторони, в, з, відповідно.

1. По ній половина добутку двох сторін та синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = ½ а * в * sin γ. Так само слід записати формули для двох інших випадків.

2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні та трьох відомих кутах. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Існує ще формула з однією відомою стороною та двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з 2/(2 (ctg α + ctg β)).

Дві останні формули є не найпростішими. Запам'ятати їх досить складно.

Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних чи описаних кіл

Додаткові позначення: r, R – радіуси. Перший використовується для радіусу вписаного кола. Другий – для описаної.

1. Перша формула, за якою обчислюється площа трикутника, пов'язана із напівпериметром. S = р*r. Інакше її можна записати так: S = ½ r * (а + + с).

2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на чотиризначний радіус описаного кола. У буквеному вираженніце виглядає так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третя ситуація дозволяє обійтися без знання сторін, але знадобляться значення всіх трьох кутів. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Частковий випадок: прямокутний трикутник

Це сама проста ситуація, оскільки потрібне знання лише довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими літерамиа та в. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині площі добудованого щодо нього прямокутника.

Математично це має такий вигляд: S = ½ а * в. Вона запам'ятовується найпростіше. Тому що виглядає як формула для площі прямокутника, тільки з'являється ще дріб, що означає половину.

Частковий випадок: рівнобедрений трикутник

Оскільки в нього дві сторони рівні, деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, набуває такого вигляду:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).

Якщо її перетворити, то вона стане коротшою. У такому разі формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так:

S = ¼ в √ (4 * a 2 - b 2).

Дещо простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бічні сторонита кут між ними. S = ½ a 2 * sin β.

Окремий випадок: рівносторонній трикутник

Зазвичай у завданнях про нього відома сторона або її можна дізнатися. Тоді формула, за якою знаходиться площа такого трикутника, виглядає так:

S = (а 2 √3)/4.

Завдання на знаходження площі, якщо трикутник зображений на папері.

Найпростішою є ситуація, коли прямокутний трикутник накреслено так, що його катети збігаються з лініями паперу. Тоді потрібно просто порахувати кількість клітин, що укладаються в катети. Потім перемножити їх і поділити на два.

Коли трикутник є гострокутним або тупокутним, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді в фігурі, що вийшла, буде 3 трикутники. Один - той, що дано в задачі. А два інші — допоміжні та прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площу прямокутника і відняти від нього ті, що обчислені для допоміжних. Площу трикутника визначено.

Набагато складнішою є ситуація, в якій жодна зі сторін трикутника не збігається з лініями паперу. Тоді його потрібно вписати у прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. В цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.

Приклад завдання на формулу Герона

Умови. У деякого трикутника відомі сторони. Вони дорівнюють 3, 5 і 6 см. Необхідно дізнатися про його площу.

Тепер можна обчислювати площу трикутника за зазначеною вище формулою. Під квадратним коренем виявляється добуток чотирьох чисел: 7, 4, 2 і 1. Тобто площа дорівнює √(4 * 14) = 2 √(14).

Якщо не потрібна велика точність, то можна витягти квадратний корінь із 14. Він дорівнює 3,74. Тоді площа дорівнюватиме 7,48.

Відповідь. S = 2√14 см 2 або 7,48 см 2 .

Приклад задачі із прямокутним трикутником

Умови. Один катет прямокутного трикутника більший, ніж другий на 31 см. Потрібно дізнатися про їх довжину, якщо площа трикутника дорівнює 180 см 2 .
Рішення. Прийде вирішити систему з двох рівнянь. Перше пов'язане із площею. Друге — із ставленням катетів, яке дано у завданні.
180 = ½ а * в;

а = + 31.
Спочатку значення «а» слід підставити на перше рівняння. Вийде: 180 = ½ (в + 31) * ст. У ньому лише одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: в 2 + 31 в - 360 = 0. Воно дає два значення для "в": 9 і - 40. друге число не підходить як відповідь, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною.

Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані завдання величини.

Відповідь. Катети трикутника дорівнюють 9 і 40 см.

Завдання на знаходження сторони через площу, бік та кут трикутника

Умови. Площа деякого трикутника 60 см2. Необхідно обчислити одну з сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30º.

Рішення. Виходячи з прийнятих позначень, шукана сторона «а», відома «в», заданий кут"γ". Тоді формулу площі можна переписати так:

60 = ½ а * 15 * sin 30 º. Тут синус 30 градусів дорівнює 0,5.

Після перетворень «а» виявляється рівним 60/(0,5*0,5*15). Тобто, 16.

Відповідь. Потрібна сторона дорівнює 16 см.

Завдання про квадрат, вписаний у прямокутний трикутник

Умови. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається із прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 см. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?

Рішення. Розглянемо два прямокутні трикутники. Перший - заданий у завданні. Другий - спирається на відомий катетвихідного трикутника. Вони подібні, тому що мають загальний кутта утворені паралельними прямими.

Тоді відносини їхніх катетів рівні. Катети меншого трикутника дорівнюють 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника- 42 см і х см. Саме цей "х" потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника.

18/42 = 24/х, тобто х = 24*42/18 = 56 (см).

Тоді площа дорівнює творам 56 і 42, поділеному на два, тобто 1176 см 2 .

Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см 2 .