Усі завдання олімпіад. Олімпіадні завдання на теми

Завдання та ключі шкільного етапу Всеросійської олімпіадишколярів з математики

Завантажити:

Попередній перегляд:

Шкільний етап

4 клас

1. Площа прямокутника 91

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

5 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

3. Розріжте фігуру на три однакові (збігаються при накладенні) фігурки:

4. Замініть літеру А

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

6 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

7 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

1. - Різні цифри.

4. Замініть букви Y, E, A та R цифрами так, щоб вийшла правильна рівність:

YYYY ─ EEE ─ AA + R = 2017 .

5. На острові живе щось кількість людей, приче е

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

8 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

АВМ, CLD та ADK відповідно. Знайдіть∠ МKL.

6. Доведіть, що якщо a, b, c і - цілі числа, то й дріббуде цілим числом.

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

9 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

2. Числа a та b такі, що рівнянняі також має рішення.

6. При яких натуральних x вираз

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

10 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22

3. У рівнянні

5. У трикутнику ABC провели бісектрису BL. Виявилося що . Доведіть, що трикутник ABL – рівнобедрений.

6. За визначенням,

Попередній перегляд:

Завдання Всеросійської олімпіади школярів з математики

Шкільний етап

11 клас

Максимальна оцінка кожного завдання – 7 балів

1. Сума двох чисел дорівнює 1. Чи може їхній добуток перевищувати 0,3?

2. Відрізки AM та BH ABC .

Відомо, що AH = 1 і . Знайти довжину сторони BC.

3. а нерівність вірно при всіх значенняхх?

Попередній перегляд:

4 клас

1. Площа прямокутника 91. Довжина однієї з його сторін 13 см. Чому дорівнює сума всіх сторін прямокутника?

Відповідь. 40

Рішення. Довжину не відомої сторонипрямокутника знаходимо з площі та відомої сторони: 91:13 см = 7 см.

Сума всіх сторін прямокутника дорівнює 13+7+13+7=40 см.

2. Розріжте фігуру на три однакові (збігаються при накладенні) фігурки:

Рішення.

3. Відновіть приклад до додавання, де цифри доданків замінені зірочками: *** + *** = 1997.

Відповідь. 999+998=1997.

4 . Чотири дівчинки їли цукерки. Аня з'їла більше, ніж Юля, Іра – більше, ніж Світлана, але менше, ніж Юля. Розставте імена дівчаток у порядку зростання з'їдених цукерок.

Відповідь. Світлана, Іра, Юля, Аня.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіадиз математики

5 клас

1. Не змінюючи порядку розташування цифр 1 2 3 4 5, поставте між ними знаки арифметичних дійта дужки так, щоб у результаті вийшла одиниця. "Склеювати" сусідні цифри в одне число не можна.

Рішення. Наприклад, ((1 + 2): 3 + 4): 5 = 1. Можливі інші рішення.

2. на худобному дворігуляли гуси та поросята. Хлопчик порахував кількість голів, їх виявилося 30, а потім він порахував кількість ніг, їх виявилося 84. Скільки гусей та скільки поросят було на шкільному дворі?

Відповідь. 12 поросят та 18 гусей.

Рішення.

1 крок. Уявіть, що всі поросята підняли по дві ноги нагору.

2 крок. На землі залишилося стояти 30 ∙ 2 = 60 ніг.

3 крок. Підняли вгору 84 – 60 = 24 ноги.

4 крок. Підняли 24: 2 = 12 поросят.

5 крок. 30 – 12 = 18 гусей.

3. Розріжте фігуру на три однакові (збігаються при накладенні) фігурки:

Рішення.

4. Замініть літеру А на ненульову цифру, щоб вийшла вірна рівність. Достатньо навести один приклад.

Відповідь. А = 3.

Рішення. Нескладно показати, щоА = 3 підходить, доведемо, що інших рішень немає. Скоротимо рівність наА. Отримаємо.
Якщо А ,
якщо А> 3, то .

5. Дівчатка та хлопчики дорогою до школи зайшли до магазину. Кожен учень купив по 5 тонких зошитів. Крім цього, кожна дівчинка купила 5 ручок та 2 олівці, а кожен хлопчик купив 3 олівці та 4 ручки. Скільки було куплено зошитів, якщо всього ручок та олівців діти купили 196 штук?

Відповідь. 140 зошитів.

Рішення. Кожен із учнів купив по 7 ручок та олівців. Усього було куплено 196 ручок та олівців.

196: 7 = 28 учнів.

Кожен із учнів купив по 5 зошитів, отже, всього куплено
28 ⋅ 5=140 зошитів.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

6 клас

1. На прямій 30 точок, відстань між будь-якими двома сусідніми дорівнює 2 см. Яка відстань між двома крайніми точками?

Відповідь. 58 см.

Рішення. Між крайніми точками міститься 29 частин по 2 див.

2 см * 29 = 58 см.

2. Чи сума чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 ділитися на 2007? Відповідь обґрунтуйте.

Відповідь. Буде.

Рішення. Уявимо цю сумуу вигляді наступних доданків:
(1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.

Так як кожен доданок ділиться на 2007, то й вся сума буде ділитися на 2007.

3. Розріжте фігурку на 6 рівних картатих фігурок.

Рішення. Фігурку можна розрізати лише так

4. Настя розставляє у клітинах квадрата 3 на 3 числа 1, 3, 5, 7, 9. Вона хоче, щоб сума чисел за всіма горизонталями, вертикалями та діагоналями ділилася на 5. Наведіть приклад такої розстановки, за умови, що кожне число Настя збирається використовувати трохи більше двох разів.

Рішення. Нижче наведено одну з розстановок. Існують інші рішення.

5. Зазвичай по Павлика після уроків приїжджає тато на машині. Якось уроки закінчилися раніше, ніж звичайно, і Павлик пішов додому пішки. Через 20 хвилин він зустрів тата, сів у машину та приїхав додому на 10 хвилин раніше. На скільки хвилин раніше закінчилися уроки цього дня?

Відповідь. На 25 хвилин раніше.

Рішення. Машина приїхала додому раніше, тому що їй не довелося доїжджати з місця зустрічі до школи і назад, отже, подвійний шлях машина проїжджає за 10 хвилин, а в один бік – за 5 хвилин. Отже, машина зустрілася із Павликом за 5 хвилин до звичайного закінчення уроків. На цей момент Павлик уже йшов 20 хвилин. Таким чином уроки закінчилися на 25 хвилин раніше.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

7 клас

1. Знайдіть рішення числової ребуса a,bb + bb,ab = 60 , де a і b - Різні цифри.

Відповідь. 4,55 + 55,45 = 60

2. Після того, як Наталка з'їла половину персиків із банки, рівень компоту знизився на одну третину. На яку частину (від отриманого рівня) знизиться рівень компоту, якщо з'їсти половину від персиків, що залишилися?

Відповідь. На одну чверть.

Рішення. Із умови ясно, що половина персиків займає третину банки. Отже, після того, як Наташа з'їла половину персиків, у банку персиків і компоту залишилося порівну (по одній третині). Значить, половина від числа персиків, що залишилися, становить чверть від усього обсягу вмісту.

банки. Якщо з'їсти цю половину персиків, що залишилися, рівень компоту знизиться на чверть.

3. Розріжте по лініях сітки прямокутник, зображений на малюнку, на п'ять прямокутників різної площі.

Рішення. Наприклад, так

4. Замініть літери Y, E, A та R цифрами так, щоб вийшла вірна рівність: YYYY ─ EEE ─ AA + R = 2017 .

Відповідь. При Y=2, E=1, A=9, R=5 отримуємо 2222 ─ 111 ─ 99 + 5 = 2017.

5. На острові живе щось кількість людей, приче м кожен із них або лицар, який завжди говорить правду, або брехун, який завжди брехаєе т. Якось усі лицарі заявили: ― «Я дружу тільки з одним брехуном», а всі брехуни: ― «Я не дружу з лицарями». Кого на острові більше, лицарів чи брехунів?

Відповідь. Лицарів більше

Рішення. Кожен брехун дружить хоч би з одним лицарем. Але оскільки кожен лицар дружить рівно з одним брехуном, у двох брехунів не може бути спільного друга-лицаря. Тоді кожному брехуні можна поставити у відповідність його друга лицаря, звідки виходить, що лицарів принаймні стільки ж, скільки і брехунів. Бо всього жителів на острові ніче тне число, то рівність неможлива. Значить, лицарів більше.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

8 клас

1. У сім'ї 4 особи. Якщо Маші подвоїть стипендію, загальний дохід усієї родини зросте на 5%, якщо натомість мамі подвоїть зарплату – на 15%, якщо ж зарплату подвоїть татові – на 25%. На скільки відсотків зросте дохід усієї родини, якщо дідусеві подвоїть пенсію?

Відповідь. на 55%.

Рішення . При подвоєнні стипендії Маші загальний дохід сім'ї збільшується на величину цієї стипендії, тому вона становить 5% від доходу. Аналогічно, зарплати мами та тата становлять 15% та 25%. Значить, пенсія дідуся становить 100 - 5 - 15 - 25 = 55%, і якщо ее подвоїть, то дохід сім'ї зросте на 55%.

2. На сторонах АВ, CD та AD квадрата АВСD зовні збудовані рівносторонні трикутникиАВМ, CLD та ADK відповідно. Знайдіть∠ МKL.

Відповідь. 90 °.

Рішення. Розглянемо трикутник MAK: кут MAK дорівнює 360 ° - 90 ° - 60 ° - 60 ° = 150 °. MA = AK за умовою, отже, трикутник MAK рівнобедрений,∠ AMK = ∠ AKM = (180 ° - 150 °): 2 = 15 °.

Аналогічно отримуємо, що кут DKL дорівнює 15 °. Тоді шуканий кут MKL дорівнює сумі ∠ MKA + ∠ AKD + ​​∠ DKL = 15 ° + 60 ° + 15 ° = 90 °.

3. Ніф-Ніф, Наф-Наф і Нуф-Нуф ділили три шматочки трюфеля масами 4 р, 7 і 10 р. Вовк вирішив їм допомогти. Він може від будь-яких двох шматочків одночасно відрізати та з'їсти по 1 г трюфеля. Чи зможе вовк залишити поросятам рівні шматочки трюфеля? Якщо так, то як?

Відповідь. Так.

Рішення. Вовк може спочатку три рази відрізати по 1 г від шматочків у 4 г і 10 г. Вийдуть один шматок в 1 г і два шматки по 7 г. Тепер залишилося шість разів відрізати і з'їсти по 1 г від шматочків у 7 г., тоді поросятам дістанеться по 1 р. трюфеля.

4. Скільки всього є чотирицифрових чисел, які діляться на 19 і закінчуються на 19?

Відповідь. 5 .

Рішення. Нехай - Таке число. Тодітеж кратно 19. Але
Оскільки 100 та 19 взаємно прості, то двозначне числоділиться на 19. А таких лише п'ять: 19, 38, 57, 76 та 95.

Легко переконатися, що всі числа 1919, 3819, 5719, 7619 та 9519 нам підходять.

5. Команда з Петі, Васі та одномісного самокату бере участь у гонці. Дистанцію поділено на ділянки однакової довжини, їх кількість дорівнює 42, на початку кожного – контрольний пункт. Петя пробігає ділянку за 9 хв, Вася – за 11 хв, а на самокаті будь-який з них проїжджає ділянку за 3 хв. Стартують вони одночасно, а на фініші враховується час того, хто прийшов останнім. Хлопці домовилися, що один проїжджає першу частину шляху самокатом, залишок бігом, а інший - навпаки (самокат можна залишити на будь-якому контрольному пункті). Скільки ділянок Петя має проїхати самокатом, щоб команда показала найкращий час?

Відповідь. 18

Рішення. Якщо час одного стане меншим за час іншого з хлопців, то збільшиться час іншого і, отже, час команди. Значить, час хлопців має співпадати. Позначивши кількість ділянок, що проїжджають Петей, через x і вирішивши рівняння, Отримаємо x = 18.

6. Доведіть, що якщо a, b, c і - цілі числа, то й дріббуде цілим числом.

Рішення.

Розглянемо за умовою це число ціле.

Тоді і буде теж цілим числом як різниця N та подвоєного цілого числа.

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

9 клас

1. Сашкові та Юрі зараз разом 35 років. Саші зараз удвічі більше роківЩо було Юрі тоді, коли Сашкові було стільки років, скільки Юркові зараз. Скільки років зараз Сашка і скільки – Юрко?

Відповідь. Саші 20 років, Юрі 15 років.

Рішення. Нехай Сашка зараз x років, тоді Юрій , а коли Саші булороків, то Юрій, за умовою,. Але часу і для Сашка, і для Юри пройшло порівну, тому отримуємо рівняння

з котрого .

2. Числа a та b такі, що рівнянняі мають рішення. Доведіть, що рівняннятакож має рішення.

Рішення. Якщо перші рівняння мають рішення, їх дискримінанти неотрицательны, звідкиі . Перемножуючи ці нерівності, отримуємоабо , звідки випливає, що дискримінант останнього рівняння також невід'ємний і має рішення.

3. Рибалка виловила велику кількість риб вагою 3,5 кг. та 4,5 кг. Його рюкзак вміщує трохи більше 20 кг. Яку максимальну вагу риби він може взяти із собою? Відповідь обґрунтуйте.

Відповідь. Вага: 19.5 кг.

Рішення. У рюкзак можна помістити 0, 1, 2, 3 чи 4 риби вагою 4,5 кг.
(не більше, оскільки). Для кожного з цих варіантів залишок місткості рюкзака не ділиться націло на 3,5 і в найкращому випадкувдасться запакуватикг. риби.

4. Стрілець десять разів вистрілив по стандартній мішені і вибив 90 очок.

Скільки попадань було в сімку, вісімку та дев'ятку, якщо десяток було чотири, а інших попадань та промахів не було?

Відповідь. У сімку – 1 влучення, у вісімку – 2 влучення, у дев'ятку – 3 влучення.

Рішення. Так як стрілок потрапляв лише в сімку, вісімку і дев'ятку в інші шість пострілів, то за три постріли (бо принаймні по одному разу в сімку, вісімку та дев'ятку стрілок влучив) він набереокуляри. Тоді за 3 постріли, що залишилися, треба набрати 26 очок. Що можливо при єдиній комбінації 8 + 9 + 9 = 26. Отже, у сімку стрілок потрапив 1 раз, у вісімку – 2 рази, у дев'ятку – 3 рази.

5 . Середини сусідніх сторіну опуклому чотирикутнику з'єднані відрізками. Доведіть, що площа чотирикутника, що вийшов, в два рази менше площіпервісного.

Рішення. Позначимо чотирикутник за ABCD , а середини сторін AB, BC, CD, DA за P, Q, S, T відповідно. Зауважимо, що у трикутнику ABC відрізок PQ є середньою лінієюотже, вона відсікає від нього трикутник PBQ у чотири рази менше площі, ніж площа ABC. Аналогічно, . Але трикутники ABC та CDA у сумі становлять весь чотирикутник ABCD , значить Аналогічно отримуємо, щоТоді сумарна площа цих чотирьох трикутниківстановить половину площі чотирикутника ABCD і площа чотирикутника, що залишився PQST дорівнює також половині площі ABCD.

6. При яких натуральних x вираз чи є квадратом натурального числа?

Відповідь. За x = 5.

Рішення. Нехай. Відмітимо, що – також квадрат деякого цілого числаменшого t. Отримуємо, що . Числа та - натуральні та перше більше за друге. Значить, а . Вирішивши цю систему, отримуємо, що дає .

Попередній перегляд:

Ключі шкільної олімпіади з математики

10 клас

1. Розставте знаки модуля так, щоб вийшла правильна рівність

4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22

Рішення. Наприклад,

2. Коли Вінні-Пух прийшов у гості до Кролика, він з'їв 3 тарілки меду, 4 тарілки згущеного молока і 2 тарілки варення, а після цього не зміг вийти назовні через те, що сильно погладшав від такої їжі. Але відомо, що якби він з'їв 2 тарілки меду, 3 тарілки згущеного молока і 4 тарілки варення або 4 тарілки меду, 2 тарілки згущеного молока і 3 тарілки варення, то спокійно зміг би залишити нору гостинного Кролика. Від чого більше гладшають: від варення або від згущеного молока?

Відповідь. Від згущеного молока.

Рішення. Позначимо через М – поживність меду, через З – поживність згущеного молока, через В – поживність варення.

За умовою 3М + 4С + 2В > 2М + 3С + 4В, звідки М + З > 2В. (*)

А за умовою 3М + 4С + 2В > 4М + 2С + 3В, звідки 2С > М + В (**).

Складаючи нерівність (**) з нерівністю (*), отримуємо М + 3С > М + 3В, звідки З > У.

3. У рівнянні одне із чисел замінено точками. Знайти це число, якщо відомо, що один із коренів дорівнює 2.

Відповідь. 2.

Рішення. Оскільки 2 є коренем рівняння, маємо:

звідки отримуємо, що, отже замість крапки було записано число 2.

4. З міста до села вийшла Марія Іванівна, а назустріч їй із села до міста одночасно вийшла Катерина Михайлівна. Знайти відстань між селом та містом, якщо відомо, що відстань між пішоходами дорівнювала 2 км двічі: спочатку, коли Марія Іванівна пройшла половину шляху до села, а потім, коли Катерина Михайлівна пройшла третину шляху до міста.

Відповідь. 6 км.

Рішення. Позначимо відстань між селом та містом за S км, швидкості Марії Іванівни та Катерини Михайлівни за S км x та y , і порахуємо час, витрачений пішоходами у першому та другому випадках. Отримаємо у першому випадку

У другому . Звідси, крім x та y , маємо
, Звідки S = ​​6 км.

5. У трикутнику ABC провели бісектрису BL. Виявилося що . Доведіть, що трикутник ABL – рівнобедрений.

Рішення. За властивістю бісектриси маємо BC: AB = CL: AL. Помножуючи цю рівність на, Отримуємо , звідки BC:CL = AC:BC . Остання рівність спричиняє подібність трикутників ABC та BLC по куту C та прилеглим до нього сторонам. З рівності відповідних кутів у подібних трикутникахотримуємо, звідки в

трикутнику ABL кути при вершинах A та B рівні, тобто. він рівнобедрений: AL = BL.

6. За визначенням, . Який помножувач потрібно викреслити з творущоб залишок твір став квадратом деякого натурального числа?

Відповідь. 10!

Рішення. Зауважимо, що

2. Відрізки AM та BH - відповідно медіана та висота трикутника ABC.

Відомо, що AH = 1 і . Знайти довжину сторони BC.

Відповідь. 2 див.

Рішення. Проведемо відрізокМН, він буде медіаною прямокутного трикутника BHC , проведеної до гіпотенузи BC і дорівнює її половині. Тоді– рівнобедрений, тому, Отже, , Тому, AH = HM = MC = 1 і BC = 2MC = 2 см.

3. При яких значеннях числового параметраа нерівність вірно при всіх значенняхх?

Відповідь. .

Рішення . При маємо, що не так.

При 1 скоротимо нерівність на, зберігаючи знак:

Така нерівність правильна для всіхх тільки за .

При скоротимо нерівність назмінюючи знак на протилежний:. Але квадрат числа ніколи не буває негативним.

4. Є один кілограм 20%-ного соляного розчину. Лаборант помістив колбу з цим розчином в апарат, в якому випаровується вода з розчину і одночасно з цим в нього постійною швидкістю, що дорівнює 300 г./год., підливається 30%-ний розчин цієї ж солі. Швидкість випарювання також постійна і становить 200 г/год. Процес зупиняється, як тільки в колбі виявиться 40% розчин. Якою буде маса отриманого розчину?

Відповідь. 1,4 кілограми.

Рішення. Нехай t – час, протягом якого працював апарат. Тоді після закінчення роботи в колбі вийшло 1+(0,3 – 0,2)t = 1+0,1t кг. розчину. При цьому маса солі в цьому розчині дорівнює 1 · 0,2 + 0,3 · 0,3 · t = 0,2 + 0,09 t. Оскільки отриманий розчин містить 40% солі, отримуємо
0,2 + 0,09t = 0,4 (1 + 0,1t), тобто 0,2 + 0,09t = 0,4 + 0,04t, звідси t = 4 год. Отже, маса отриманого розчину дорівнює 1 + 0,1 · 4 = 1,4 кг.

5. Скільки способами серед усіх натуральних чисел від 1 до 25 можна вибрати 13 різних так, щоб сума будь-яких двох вибраних чисел не дорівнювала 25 або 26?

Відповідь. Єдиним.

Рішення. Запишемо всі наші числа у такому порядку: 25,1,24,2,23,3,…,14,12,13. Зрозуміло, що будь-які з них рівні у сумі 25 або 26 тоді і тільки тоді, коли є в цій послідовності сусідніми. Таким чином, серед обраних нами тринадцяти чисел не повинно бути сусідніх, звідки одразу отримуємо, що це мають бути всі члени цієї послідовності з непарними номерами – вибір єдиний.

6. Нехай k – натуральне число. Відомо, що серед 29 послідовних чисел 30k+1, 30k+2, ..., 30k+29 є 7 простих. Доведіть, що перше та останнє з них – прості.

Рішення. Викреслимо з цього ряду числа, кратні 2, 3 або 5. Залишиться 8 чисел: 30k+1, 30k+7, 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19, 30k+23, 30k+29. Припустимо, що серед них є складова кількість. Доведемо, що це число кратне 7. Перші сім цих чисел дають різні залишки при розподілі на 7, тому що числа 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 дають різні залишки при розподілі на 7. Значить, одне з цих чисел кратно 7. Зауважимо, що число 30k+1 не кратно 7, інакше 30k+29 також буде кратно 7, а складова кількість має бути одно. Значить, числа 30k+1 та 30k+29 – прості.

Часто буває так, що серйозне захоплення математикою починається з вирішення будь-якої нестандартної задачі, що сподобалася. Таке завдання може зустрітися на уроці у школі, на занятті математичного гуртка, у журналі чи книзі. Багатим джерелом таких завдань є різні олімпіади – від шкільних, районних і міських до міжнародних.

Вирішення олімпіадних завдань зазвичай не вимагає знань, що виходять за рамки шкільної програми. Такі завдання, як правило, сформульовані так, що вони не належать до жодного зі стандартних типів завдань шкільного математичного курсу. Тому вирішення кожного такого завдання вимагає особливого підходу, наявність здатності до інтенсивного творчої праці. Вміння вирішувати нестандартні завдання свідчить про глибоке володіння математичним апаратомі розвиненій культурі математичного мислення, А володіння предметом набагато важливіше, ніж просто «чисті знання», які завжди можна поповнити за допомогою добрих довідників.

Нижче наведено посилання на сторінки сайту із завданнями олімпіадного рівня. Завдання розподілені за тематиками, але розподіл це умовно – часто і те завдання може бути віднесено до різних рубрикам, тому має сенс не обмежуватися переглядом лише однієї. Кожна сторінка починається з невеликого теоретичного матеріалу. Іноді це кілька пропозицій, іноді – непоганий довідник, який варто звернути увагу. По кожній темі запропоновано 10 завдань із достатньо докладними рішеннями, Іноді декількома способами, і 5 завдань без рішень для самостійного розбору.

Олімпіадні завдання на теми

Логічні завдання

Цифри та десяткова система числення

Подільність цілих чисел та залишки

Прості та складові числа

Суми та твори

Рівняння у цілих числах

Раціональні та ірраціональні числа

Метод математичної індукції

Квадратний тричлен

Алгебра багаточленів

Доказ нерівностей

Принцип Діріхле

Графи, відображення

парність. Забарвлення. Завдання на ґратах

Інваріанти та операції

Оцінки для наборів чисел та таблиць. Принцип останнього

Розміщення цифр і цілих чисел, їх перетворення

Комбінаторна геометрія

Ігри, переслідування, стратегії та алгоритми

Елементи теорії ймовірностей

Принципи вирішення нестандартних завдань

При вирішенні нестандартних завданьможуть допомогти такі загальні принципи:

• перетворити завдання до виду, зручного на вирішення;
• вирішити завдання для приватного, найбільш простого випадкуа потім узагальнити ідею рішення;
• припустити, що затвердження завдання – хибне; якщо з цього припущення отримаємо протиріччя, то твердження задачі вірно – доказ протилежного;
• розбити завдання на кілька простих задач;
• узагальнити завдання; часто дослідження більше загальної проблемивимагає менших зусиль, Чим дослідження її окремого випадку - «парадокс винахідника».

• Уважно прочитайте умови завдань і визначте порядок, в якому їх вирішуватимете (краще починати з легких завдань, які, як правило, розміщені на початку).
• Якщо умову завдання можна зрозуміти по-різному, то не вибирайте зручне для себе трактування, а зверніться за консультацією до членів журі.
• Якщо неясно, чи правильне певне твердження, спробуйте його довести чи спростувати.
• Не зациклюйтесь на одному завданні. Якщо немає ідеї рішення, то завдання краще (хоча б на якийсь час) відкласти.
• Розв'язавши завдання, відразу оформлюйте рішення. Це допоможе перевірити його правильність та звільнить увагу для інших завдань.
• Кожен, навіть очевидний крок рішення потрібно записувати. Громіздкі рішення краще записувати як кількох тверджень (лем).
• Перед тим, як здати роботу, перечитайте її «очима членів журі» – чи зможуть вони розібратися в ній?

Критерії оцінювання олімпіадних робіт

Мета математичної олімпіади - виявити учнів, здатних нестандартно (і при цьому правильно) думати та застосовувати отримані у школі знання до вирішення «нешкільних» завдань. Тому часто під час перевірки робіт описки та дрібні помилкипрощаються. У Останніми рокамитрадиційною є така система оцінок:

• 7 балів – завдання вирішено правильно;
• 6 балів – завдання вирішене, але є дрібні зауваження до вирішення (наприклад, не розглянуті деякі прості окремі випадки);
• 5 балів – завдання вирішено загалом, недоліки рішення легко усуваються;
• 3-4 бали – завдання вирішено «наполовину», тобто. хід рішення правильний, є значний прогрес у рішенні, але повне рішенняпотребує додаткових суттєвих ідей;
• 1-2 бали – завдання не вирішено, але підхід до вирішення правильний або завдання вирішено для простих окремих випадків;
• 0 балів – розв'язання задачі неправильне і не містить ідей, за допомогою яких завдання може бути вирішене, або завдання не вирішувалося.

Як правило, журі олімпіади розробляє критерії оцінки рішень та нарахування балів за кожним завданням окремо. Ці критерії можуть відрізнятися від наведених вище. При цьому часто за вирішення простих (на думку журі) завдань нараховуються лише такі оцінки: 7 балів, 6 балів, 1 бал та 0 балів.

Успіхів!

Отже, ви вирішили зайнятися олімпіадною математикою. Виберіть із запропонованого вище списку тематику. Потім завдання, яке здасться вам найбільш цікавим за формулюванням і, намагаючись не заглядати в рішення, починайте розмірковувати над ним. Не бійтеся витратити на це багато годин. Радянський математик – Б.М. Делоне казав, що велике наукове відкриттявідрізняється від хорошої олімпіадної задачі лише тим, що для вирішення олімпіадного завдання потрібно 5 годин, а отримання великого наукового результатупотребує витрати 5000 годин. І хоча 5000 годин можна сприйняти як деяке перебільшення, зате не лише 5 годин, 5 днів (!) – далеко не межа витраченого часу на нестандартне завдання.

Вирішення олімпіадних завдань – одна з основ підготовки до майбутньої наукової діяльності, а для професійного математика, який працює над важкою проблемою, є типовою здатність напруженого роздуму над нею цілими днями, тижнями, а часом (можливо, важко повірити) роками.

Якщо ви вже досягли будь-яких успіхів на олімпіадах, – цьому природно радіти і навіть пишатися цим. Невдачі ж не повинні надмірно засмучувати та призводити до розчарування у своїх математичних здібностях. Для успіху на олімпіаді необхідні деякі спеціальні типи обдарованості, які притаманні далеко не всім і не є обов'язковими для успішного математика. Вже саме наявність призначеного дуже обмеженого проміжку часу на вирішення завдань багатьох робить абсолютно безпорадними. Так видатний радянський математик П.С. Александров (1896-1982) говорив, що якби за часів його юності були математичні олімпіади, то, можливо, він взагалі не став би математиком: його головні досягнення в математиці з'явилися не плодом винахідливості, що швидко працює, а результатом тривалого і поглибленого споглядання.

І ще, - не відкладайте заняття математикою на потім, прислухайтеся до слів знаменитого американського математика та філософа, основоположника кібернетики та теорії штучного інтелектуНорберта Вінера (1894-1964): "Математика - наука молодих. Інакше і не може бути. Заняття математикою - це така гімнастика розуму, для якої потрібна вся гнучкість і витривалість молодості."

ОЛІМПІАДИ З МАТЕМАТИКИ З РІШЕННЯМ 6 КЛАС.

Є 10 монет, серед них рівно дві фальшиві.
Детектор R7 за одну операцію досліджує три монети та вказує на одну з них.
Відомо, що детектор не може вказати на справжню монету,
якщо серед тестованих монет є хоч одна фальшива.
Як за шість тестів виявити обидві фальшиві монети?

Рішення до завдання:

Виберемо три купки по три монети, протестуємо кожну з них,
і візьмемо ті три монети, на які вказав детектор.
Серед них, очевидно, є хоч одна фальшива.
Протестуємо ці монети і таким чином визначимо одну із фальшивих.
Друга фальшива монета може бути лише серед тих чотирьох монет,
з якими тестувалася знайдена фальшива або бути монетою, яка ще не була задіяна.
Серед цих п'яти монет за два тести визначити одну фальшиву вже зовсім легко
(Кожен тест виявляє дві справжні монети).

На дошці написано п'ять двоцифрових натуральних чисел.
Чебурашка кожну хвилину додає до всіх чисел одиницю або (теж до всіх чисел) двійку.
Після того, як Чебурашка збільшує числа, К. Гена може стерти якесь число,
що ділиться на 13, чи число, сума цифр якого ділиться на 7 (якщо, звичайно, таке число на дошці є).
Доведіть, що за будь-яких дій Чебурашки,
Гена через деякий час зможе стерти з дошки всі числа.

Рішення до завдання:

Гена може знайти п'ять пар не більше ніж п'ятизначних сусідніх чисел,
так, щоб у кожній парі він міг стерти будь-яку кількість.
Чебурашка зможе «провести» через одну таку пару не більше одного числа,
отже, всі п'ять чисел Гена зможе стерти.

Подібних пар дуже багато,
наприклад годяться пари 142 і 143, 312 і 313, 3120 і 3121, 1312 і 1313, 69999 і 70000.

Завдання № 1:

Різниця двох чисел на 17 менше зменшуваного і на 9 більше віднімається.
Знайдіть зменшуване і віднімається.

Завдання № 2:

Чи сума чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 ділитися на 2007?
Відповідь обґрунтуйте.

Завдання № 3:

Потрібно розмістити 17 кроликів так, щоб у кожній клітці було різна кількістькролів.
Яке найбільша кількістьклітин знадобиться?

Завдання № 4:

На виставку привезли 25 собак. 12 їх великі, 8 маленькі, інші середні.
Лише 10 із учасників виставки породисті, решта двірняків.
Серед двірників порівну великих, маленьких і середніх.
Скільки великих породистих собак привезли на виставку?

Завдання № 5:

Усі трикутники, зображені малюнку, мають рівні сторони.
Радіус кожного з кіл дорівнює 2 см.
Кола стосуються один одного і сторін квадрата.
Чому дорівнює периметрзірочки, намальованої жирною лінією?

№ 1: Відповідь: 43 - 17.

№2: Відповідь: буде.
Представимо дану суму у вигляді наступних доданків:
(1 + 2006) + (2 + 2005) + ... + (1003 + 1004) + 2007.
Оскільки кожен доданок ділиться на 2007,
то й вся сума буде ділитися на 2007 рік.

№ 3: Відповідь: 5 клітин.

№ 4: Відповідь: 7 великих породистих собак.

№ 5: Відповідь: 64 см

ОЛІМПІАДИ З МАТЕМАТИКИ З РІШЕННЯМ 8 КЛАС.

Вказати всі грошові суми, виражені цілим числом рублів,
які можуть бути представлені як парним, так і непарним числомгрошових квитків номіналом
1, 3, 5, 10, 25, 50 та 100 рублів.

Рішення 1:

Припустимо спочатку, що ми маємо грошову суму 10 рублів або більше.
Покажемо, що будь-яка така сума може бути представлена ​​як парною, так і непарною кількістю квитків.
Саме, будь-яка парна грошова сума (в 10 рублів або більше) представляється, з одного боку, парним числом квитків номіналом в 1 рубль, а з іншого одним квитком в 10 рублів і ще парним числом квитків по одному рублю.
Так само, будь-яка непарна грошова сума (в 10 рублів або більше) представляється, з одного боку, непарним числом квитків по одному рублю, а з іншого одним квитком в 10 рублів і ще непарним числом квитків по одному рублю.
Розглянемо тепер грошові суми, менші за 10 рублів.
Для представлення цих сум у нашому розпорядженні є лише квитки номіналом 1, 3, 5 рублів всі непарні.
Зрозуміло, що непарна кількість "непарних" квитків можуть скласти лише не парну суму; отже, жодну парну суму, меншу 10 рублів, не можна уявити непарним числом квитків.
Аналогічно, парне число "непарних" квитків можуть становити лише парну суму; отже, жодну непарну суму, меншу 10 рублів, не можна уявити парним числом квитків.

Рішення 2:

Усі суми, не менші 10 руб., Можна сплатити десятирублевими та рублевими купюрами, причому обов'язково використовувавши десятирублівку.
Якщо при цьому вийде парне число купюр, то один десятирублевий папірець можна замінити двома купюрами по 5 руб., Тобто цю суму можна сплатити і непарним числом купюр.
Те саме можна сказати, якщо спочатку маємо непарну кількість купюр.
Для виплати сум, менших 10 крб., є купюри в непарне число рублів.
Тому ці суми можна виплатити лише одним способом: парну суму парним, а непарну непарним числом купюр.

Завдання №1.

Сума квадратів n простих чисел, кожне з яких більше ніж 5, ділиться на 6.
Доведіть, що n ділиться на 6.

Якщо сума кількох чисел ділиться на шість, то й сума їх залишків при розподілі на шість теж буде ділитися на 6. Просте число, більше п'яти, може мати при розподілі на 6 тільки залишки 1 або 5 (інакше це число буде ділитися на 2 або 3 ). Отже, квадрат будь-якого простого числа, Більшого ніж 5, має при розподілі на 6 залишок 1. Оскільки сума цих залишків дорівнює кількості чисел n, отже n поділяється на 6.

Завдання №2.

Петя та Вася зробили у тирі по 5 пострілів.
Першими трьома пострілами вони вибили порівну, а останніми трьома Петя вибив утричі більше очок, ніж Вася.
На мішені залишилися пробоїни 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очок.
Куди потрапив кожен із них третім пострілом?
Наведіть все можливі варіантивідповіді та доведіть, що інших немає.

Останніми трьома пострілами Вася не міг вибити більше ніж 9 очок (інакше Петя вибив би останніми трьома пострілами не менше 30).
Менше 9 очок Вася теж вибити не міг, оскільки найменша сумаза три постріли 2+3+4=9.
Отже, Вася вибив 2, 3 та 4 очки а Петя 10, 9 та 8 очок (інших варіантів набрати 27 очок трьома пострілами немає).
Значить першими двома пострілами хлопчики вибили 9, 8, 5 та 4 очки.
При цьому Петя третім пострілом вибив не менше ніж 8, а Вася - не більше ніж 4 очки.
Оскільки сума очок після перших трьох пострілів дорівнювала, значить, першими двома пострілами Петя вибив принаймні на чотири очки менше, ніж Вася.
Єдина можливість – Вася вибив 9 та 8, а Петя 5 та 4 очки, отже, третім пострілом Вася вибив 2, а Петя 10 очок.

Завдання №3.

Якщо дату 10 лютого 2001 року записати у вигляді 10.02.2001, а потім усунути крапки, то вийде паліндром (тобто число, що читається зліва направо і праворуч наліво однаково).
Знайдіть найближчу до 10.02.2001 дату, що має ту саму властивість.
Розгляньте два випадки:
1) необхідна дата ще не настала,
2) потрібна дата вже пройшла.

Зауважимо, що за умови, що дата записується як паліндром, день і місяць однозначно перебувають у заданому році.
пункт (1): у 2001 році інших паліндромів бути не може, а в наступному (2002) це має бути 20 день другого місяця.
Пункт (2): Щоб дата була якомога ближче до 2001 року, необхідно брати найбільший можливий рік, менший за 2001. Друга цифра року має бути першою цифрою місяця, тобто 0 або 1, т.к. місяців не більше 12. У 2000 році паліндром бути не може (нульового дня не буває), отже, перші дві цифри року - 11 (відповідно, місяць - листопад). Третю цифру року необхідно взяти максимально можливу, тобто. дев'ять, тоді четвертої (оскільки у листопаді не більше 31 дня) може бути два. Вийде дата-паліндром 29.11.1192.

Завдання №4.

У опуклому чотирикутнику ABCD сторони AB та CD паралельні, а діагоналі AC та BD перпендикулярні.
Доведіть, що AD + BC = AB + CD.

Рішення:

Впишемо чотирикутник ABCD у прямокутник EFGH зі сторонами, паралельними діагоналям(EF || AC і EH || BD) - дивись малюнок. Нехай L - точка перетину прямих DC та EF, а M - точка на прямій HG така, що LM || FG. Тоді ABLC - паралелограм, отже AB = CL. Оскільки GM = FL = EB = HD і AH = CG, то кут AHD = куті CGM , отже, AD = CM. Через нерівність трикутника BC + CM = BC + AD . Але BM = DL як діагоналі прямокутника BLDM і DL = DC + CL = DC + AB.
Отже, AD + BC, DL = DC + CL = DC + AB, що потрібно було довести.

ОЛІМПІАДИ З МАТЕМАТИКИ 9 КЛАС.

Приклад вирішення олімпіадного завдання

На продовженні AB, BC, CD і DA
сторін опуклого чотирикутника ABCD
відкладаються відрізки
BB 1 = AB; CC 1 =BC; DD 1 = CD; AA 1 =AD .

Довести, що площа чотирикутника A 1 B 1 C 1 D 1 вп'ятеро більше площічотирикутника ABCD .

Проведемо діагональ AC
даного чотирикутника
і з'єднаємо крапку C з точкою B 1
(Дивися малюнок).

У трикутнику ACB 1 відрізок BC є медіаною,
тому вона ділить його на два рівновеликі трикутники.

CB 1 - медіана трикутника BB 1 C 1 ,

отже, вона також ділить його на два рівновеликі трикутники:

S ABC =S BCB1 =S CC1B1 .

Отже, S BB1C1 =2S ABC .

Провівши медіану AD 1 трикутника DD 1 A 1 ,
ми так само переконаємося, що S DD1A1 =2S ACD .

Таким чином, якщо ми складемо площі трикутників BB 1 C 1 і A 1 D 1 D ,
то отримаємо подвоєну площу даного чотирикутника.

Аналогічно, провівши діагональ DB даного чотирикутника,
побачимо, що сума площ трикутників

D 1 CC 1 і

AA 1 B 1

дорівнює подвоєної площі даного чотирикутника.

Отже, площа чотирикутника

A 1 B 1 C 1 D 1

дорівнює упятерённой площі даного чотирикутника.

Приклади розв'язання задач.

Усі трицифрові числа записані до ряду: 100 101 102 ..... 998 999.
Скільки разів у цьому ряду після двійки йде нуль?

За визначенням, n! = 1 х 2 х 3? х............х n .
Який співмножник слід викреслити з твору 1! х 2! х 3! х............х 20! ,
щоб твір, що залишився, став квадратом деякого натурального числа?

За допомогою циркуля та лінійки розділіть навпіл кут, вершина якого недоступна.

Скільки існує трикутників зі сторонами 5 см і 6 см, один із кутів якого дорівнює 20.

На столі лежать 2005 монет. Двоє грають у наступну гру: ходять по черзі; за хід перший може взяти зі столу будь-яке непарне число монет від 1 до 99, друге будь-яке парне число монет від 2 до 100. Програє той, хто не зможе зробити хід.
Хто виграє за правильної гри?

Вирішення задач:

Так як тризначне числоне може починатися з нуля, то двійка, після якої йде нуль, не може стояти в розряді одиниць одного із тризначних чисел ряду.
Нехай двійка стоїть у розряді десятків тризначного числа.
Тоді нуль, що йде за нею, стоїть у розряді одиниць того ж числа,
тобто. це число закінчується на 20.
Таких чисел 9: 120, 220, ………., 920.
Зрештою, якщо двійка, після якої йде нуль, стоїть у розряді сотень, то відповідне тризначне число починається на 20.
Таких чисел 10: 200, 201, ………., 209.
Таким чином, лише після двійки нуль зустрічатиметься 19 разів.

Зауважимо, що
1! х 2! х 3! х 4! х.......х 20! = (1! х 2!) х (3! х 4!) х..........х (19! х 20!) =
= (1! х 1! х 2) х (3! х 3! х 4) х (5! х 5! х 6) х...........х (17! х 17! х 18) х (19! х 19! х 20) =
= (1!) 2 х (3!) 2 х (5!) 2 х............х (19!) 2 х (2 х 4 х 6 х 8 х... ........х 18 х 20) =
= (1!) 2 х (3!) 2 х (5!) 2 х.............х (19!) 2 ?х (2 х (2 х 2) х ( 3 х 2) х..............х (10 х 2)) =
= (1! х 3! х ............ х 19!) 2 х 2 10 х (1 х 2 х 3 х.............. .х 2 х 10) = (1! х 3! х .............. х 19!) 2 (2 5) 2 х 10!
Ми бачимо, що перші два множники квадрати, тому якщо викреслити 10!, то залишиться квадрат.
Легко бачити, що викреслення інших множників, зазначених у відповідях, не дає бажаного результату. Відповідь: 10!

Завдання має багато рішень.
Розглянемо один із них. Виберемо на сторонах кута довільно по 2 точки: A, N, B, M та розглянемо трикутники АВС та NМС.
Проведемо у кожному з цих трикутників бісектриси кутів. Точка перетину бісектрис кутів трикутника АВСналежить і бісектрисі кута С.
Аналогічно, точка перетину 2 бісектрис кутів трикутника NМС також лежить на бісектрисі кута С.
Проводимо через ці 2 точки пряму, яка буде бісектрисою х С.

Є лише один трикутник, у якому кут 20 град. лежить між сторонами 5 см та 6 см.
Спробуємо збудувати трикутник, в якому сторона 6 см прилягає до кута 20 град. а сторона 5 см лежить проти нього. Для цього від вершини кута відкладемо відрізок довжиною 6 см, і проведемо коло радіуса 5 см з центром цього відрізка, що не збігається з вершиною. Відстань від центру цього кола до другої сторони кута менше 5 см (ця відстань дорівнює катету кута в 20 град.). Звідси випливає, що коло перетне пряму, що містить другу сторону кута, у двох точках, причому через те, що радіус менше 6 см, обидві ці точки будуть лежати на стороні кута, і ми отримаємо два різні трикутники.
Якщо ж спробувати поміняти ролями відрізки в 5 см і 6 см, то вершина кута виявиться всередині побудованого кола, і ми отримаємо тільки одну точку перетину, а отже, і трикутник.
Отже, ми отримали лише 4 трикутники.

Опишемо стратегію першого гравця.
Першим ходом він має взяти зі столу 85 монет.
Кожним наступним, якщо другий гравець бере х монет, то перший гравець повинен взяти 101 х монет (він завжди може це зробити, тому що якщо х парне число від 2 до 100, то (101 х) непарне число від 1 до 99).
Так як 2005 = 101 19 + 85 + 1, то через 19 таких відповідей після першого ходу на столі залишиться 1 монета, і другий не зможе зробити хід, тобто програє.

ОЛІМПІАДНІ ЗАВДАННЯ З МАТЕМАТИКИ 10 КЛАС З РІШЕННЯМ.

Завдання № 1:

Розв'яжіть рівняння:

(x - 2) (x - 3) (x + 4) (x + 5) = 1320.

Завдання № 2:

На площині дано відрізок АВ.
Де може бути розташована точка С, щоб кут АВС був гострокутним?

Завдання № 3:

Знайти всі натуральні числа, що закінчуються на 2006,
які після закреслення останніх чотирьох цифр зменшуються в ціле число разів.

Завдання № 4:

Обчислити суму a 2006 + 1/a 2006 , якщо a 2 – a + 1 = 0.

Завдання № 5:

Аркуш паперу розрізали на 5 частин, деякі з цих частин розрізали на 5 частин тощо.
Чи може за кілька розрізань вийти 2006 аркуша паперу?

Вирішення задач:

Завдання № 1:

Відповідь: -8; 6.

Завдання № 2:

Побудуємо на АВ як діаметр окружність і проведемо через А і В дві прямі, перпендикулярні відрізку АВ.
Точка С може знаходиться між цими прямими поза коло.

Завдання № 3:

Нехай натуральні числа мають вигляд x 10000 + 2006 де x € N. Після викреслення останніх цифр отримаємо число x.
За умовою, де n € N. Звідси маємо, що має бути натуральним числом, тобто x – дільник числа 2006 року.
Число 2006 має дільники: 1; 2; 17; 34; 59; 118; 2006.
Отже, є числа, які відповідають умові задачі: 12006; 22006; 172006; 342006; 592006; 1182006; 2006-2006.

Завдання № 4:

Оскільки a0, то розділивши обидві частини вихідного рівняння на a, Отримаємо a + 1/a = 1.
Зауважимо, що a 3 + 1 = 0, т.к. a 3 + 1 = (a + 1)(a 2 – a + 1).
Таким чином, a 3 = -1. Тоді a 2006 + 1/a 2006 = (a 3) 6682 = a 2 + 1/a 2 = - 1.

Завдання № 5:

Помічаємо, що з кожному розрізанні з одного листка отримуємо п'ять, т. е. число листків збільшується на 4.
Отже, з вихідного листа може вийти число листків виду 1 + 4 nде n € N,
тобто це число при розподілі на 4 дає решту 1.
Але 2006 = 4501 + 2. Отже, 2006 листків вийти не може.

ОЛІМПІАДИ З МАТЕМАТИКИ 11 КЛАС.

Розв'яжіть рівняння:

(x 3 – 2)(2 sin x – 1) + (2 x 3 – 4) sin x = 0.

З того, що функція y = 2 t зростає, слідує:

1) Якщо sin x 0 , то 2 sin x - 1 0 ;
якщо sin x 0 , то 2 sin x - 1 0 .

2) Якщо x 3 - 2 0 , то 2 x3 - 4 0 ;
якщо x 3 - 2 0 , то 2 x3 - 4 0 ;

Отже, якщо
(x 3 - 2)(2 sin x - 1) 0 , то (2 x3 - 4) sin x 0 ;
якщо ( x 3 - 2)(2 sin x - 1) 0 , то (2 x3 - 4) sin x 0 ;

тобто знаки виразів

(x 3 - 2)(2 sin x - 1) і 2 x3 - 4) sin x збігаються.

Тому, кожен доданок у лівій частині рівняння повинен звертатися в нуль,
тобто дане рівняннярівносильно сукупності:

x 3 = 2 або sin x = 0 .

{ ) U (π n | n Z.).

Доведіть, що добуток чотирьох послідовних цілих чисел, складений з одиницею, має точний квадрат.

Розв'яжіть рівняння sin 4 4x + cos 2 x = 2sin4x х cos 4 x.

Чи існує багатогранник з непарним числом граней, кожна з яких є багатокутником з непарним числом сторін?

Доведіть, що до гіперболи y = 1/x утворюють з осями координат трикутники однієї й тієї ж площі.

Кожну клітинку квадратної таблиці 25 x 25 вписано довільним чином одне з чисел 1 або -1. Під кожним стовпцем пишеться добуток усіх чисел, що стоять у цьому стовпці. Праворуч від кожного рядка пишеться добуток усіх чисел, що стоять у цьому рядку. Доведіть, що сума 50 написаних творів не може виявитися рівної нулю.

Вирішення задач:

Завдання 1:

Нехай це 4 послідовні числа: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Тоді n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (2 + 3n) (n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2 (n 2 + 3n ) + 1 = (n 2 + 3n + 1) 2 .

Перенесемо до ліву частину 2sin4x · cos 4 x і додамо і віднімемо по cos 8 x.
В результаті отримане рівняння можна перетворити на вигляд
(sin4x - cos 4 x) 2 + cos 2 x (1 - cos 6 x) = 0,
яке рівносильне наступній системі:

Вирішуючи друге рівняння та підставляючи його рішення в перше рівняння, в результаті отримаємо рішення вихідного рівняння x = π /2 + π k.

Нехай такий багатогранник існує. Позначимо за 1, 2, … число ребер на гранях, тоді 1 + 2 + … – подвоєна сума всіх ребер багатогранника, вона – парна. А в лівій частині стоїть непарна сумадоданків, кожен із яких – непарно. Набули протиріччя. Отже, такого багатогранника немає.

Складемо рівняння дотичних до гіперболи у точці

Т. до. (1/x)" = -1/(x 2), то ці рівняння матимуть вигляд y = -1/(х 0 2)(x - х 0) + 1/х 0 .

Дотична з рівнянням перетинає вісь абсцис у точці (х 1; 0);
х 1 можна визначити із рівняння -1/(х 0 2)(x - х 0) + 1/х 0 = 0.
Вирішуючи це рівняння, отримаємо х 1 = 2х 0 .
Точка (0; y 1) перетину з віссю ординат визначається підстановкою рівняння значення х = 0.
У результаті отримаємо y 2 = 2/х0.
Відрізки осей координат і дотичної складають прямокутний трикутник, Катети якого мають довжини а = 2 | х 0 | та b = 2 / |х 0 |. Площа цього трикутника дорівнює 2.

Знайдемо добуток усіх 25 чисел, записаних під кожним стовпцем і всіх 25 чисел, записаних праворуч від рядків.
Так як у цьому творі кожен із чисел квадратної таблиці входить по два рази, то добуток цих 50 творів,
у кожному з яких стоїть по 25 множників, буде позитивним, тобто одно 1.
Оскільки добуток 50 чисел позитивно, то негативних співмножників буде парне число (2, 4, …, 50).
Сума ж 50 творів може бути нулем лише у випадку, коли 25 доданків дорівнює 1, а 25 доданків дорівнює - 1,
т. е. доданків з - 1 має бути непарне число.
А це означає, що сума 50 написаних творів не може дорівнювати нулю.

Участь в олімпіадах з математики – це чудова можливістьперевірити свої знання та здібності, проявити та відточити навички нестандартного мислення, які дуже знадобиться підлітку у дорослого життя. І хоча головний девіз будь-яких олімпійських ігор у тому, що головне не перемога, а участь, кожен атлет хоче стати переможцем. Саме тому підготовка до олімпіад з математики – це дуже важливо. Причому, як для спортсменів, які готуються до олімпійським іграм, дуже важлива підтримка особистого тренера, так і для школярів при підготовці до олімпіад з математики дуже важлива допомога.

Головним завданнямпроведення олімпіад є перевірка рівня знань найкращих учнівшколи, а також виявлення серед них найрозумнішої та обдарованої дитини. Крім цього, олімпіади стимулюють учнів більш поглиблено вивчати матеріал і шукати додаткові джерелазнань із предмета.

Організація та проведення олімпіад з математики серед школярів має такі цілі:

• виявлення найрозумніших, кмітливих та обдарованих учнів;
• розвиток творчих здібностейта нестандартного мислення;
• підвищення інтересу до поглибленого вивчення предмета;
• створення умов підтримки та заохочення обдарованих дітей;
• популяризація математики серед учнів шкіл

Участь в олімпіадах з математики готує учнів до життя сучасному суспільстві. Це своєрідний трамплін у чудове майбутнє. Перемога в олімпіаді з математики надає пільгові умови вступу до провідних вишів країни на безкоштовне навчання. Плюс до того це додаткова переваганавіть під час вступу на загальних підставах.

Як здобути перемогу в олімпіаді з математики?

Для того, щоб учень зміг здобути перемогу в олімпіаді з математики, потрібне поєднання наступних найважливіших факторів:

• Знання матеріалу шкільної програми Це найперша та базова сходинка. Якщо учня є навіть незначні прогалини зі знанням шкільної програми, то ні про яку перемогу на олімпіаді й мови не може бути. Ці прогалини потрібно заповнити необхідними знаннями у найкоротший термін.
• Знання матеріалу, що за межі шкільної програми. Для перемоги в олімпіаді мало лише тих знань, які пропонує вчитель під час уроку. Потрібно більше поглиблене вивченнятим. У такому разі не обійтися без підготовки до олімпіад з математики з репетитором. Тільки він, займаючись з учнем додатково та індивідуально, зможе дати йому повний обсяг необхідної інформації. Це не обов'язково має бути стороння людина, цілком ймовірно шкільний вчительз радістю впорається з таким завданням. До того ж він знає рівень підготовки дитини та можливі прогалини.
• Кмітливість. Не всі завдання, особливо олімпіадні, вирішуються за певною опрацьованою схемою. Досить часто, щоб вирішити завдання з високим рівнемскладності, потрібно виявити ще й кмітливість. Саме гнучкість розуму допомагає учнями знаходити нестандартний вихід у тих ситуаціях, у яких інші просто губляться.
• практика. Тільки за наявності постійної практики у вирішенні завдань різних форм, видів, тим самим, учень зможе повноцінно підготуватися до олімпіади. Благо зараз є велика кількістьзбірників олімпіадних завдань, приклади завдань за минулі роки Також варто активно використовувати мережу інтернет, яка постійно поповнюється новими завданнями.

Завдання репетитора полягає у тому, щоб сформувати освітнє середовищета забезпечити розвиток одночасно всіх цих здібностей. Тільки в такому випадку підготовка до олімпіад з математики пройдена найвищому рівні.

Особливості підготовки до олімпіад з математики

Складність олімпіади для учнів полягає в першу чергу в тому, що протягом дуже обмеженого проміжку часу учень повинен вирішити кілька складних і нестандартних завдань. Це можливо тільки в тому випадку, якщо дитина добре підготовлена. Серед завдань, що зустрічаються в олімпіадах з математики, часто трапляються такі.

Завдання на складання прикладу рішення

Наприклад, така олімпіадна задача: «Існує така фігура, яку не можна розділити на прямокутники з двох клітин (доміношки), але якщо до неї додати доміношку – вже можна. Намалюйте цю фігуру на клітинному папері (це має бути одна фігура, що не складається з окремих частин), додайте до неї одну доміношку і розкажіть, як розділити отриману фігуру на доміношки.

Підготовлений учасник легко зможе знайти рішення. Воно може виглядати, наприклад, ось так:

Логічні завдання

Завдання на логічне мислення. Цікаво, що часто такі завдання легко вирішуються за допомогою стандартних підходів, які вивчаються у школі, але, на жаль, у старших класах. В результаті учневі доводиться вигадувати нетривіальне рішеннящо вимагає від нього нестандартного мислення. Наприклад, таке завдання: «У Маші є монети номіналом 2 рублі і 5 рублів. На всі монети номіналом 2 рублі Маша не може купити 4 пиріжки, тому що їй не вистачає 60 рублів. На всі монети номіналом 5 рублів вона не може купити 5 пиріжків, тому що їй також не вистачає 60 рублів. На всі свої гроші вона не може купити шість пиріжків, тому що їй знову не вистачає 60 рублів. Скільки коштує один пиріжок?

Маші не вистачає 60 рублів, щоб купити чотири пиріжки, якщо вона візьме всі свої монети номіналом 2 рублі. Також Маші не вистачає 60 рублів, щоб купити п'ять пиріжків, якщо вона візьме всі свої монети номіналом 5 рублів. Значить, якщо вона візьме всі свої гроші та ще 120 рублів, то зможе купити 9 пиріжків. З іншого боку, за умови сказано, що на всі свої гроші Маша могла б купити шість пиріжків, якби додала до них 60 рублів. З останніх двох тверджень випливає, що три пиріжки коштують 60 рублів. Тобто один пиріжок коштує 20 рублів.

Для того щоб вирішити такі завдання, учень повинен проявити кмітливість і до чогось здогадатися. Цей здогад з'являється не на порожньому місці, а в результаті роздумів над завданням, але рішення починається саме з здогаду, який потім призводить до вибудовування логічного ланцюжка, Що призводить до результату. Наприклад, розберемо таке завдання: «У команді 38 борців. Кожен слабший борець завжди програє сильнішому, а бій двох борців однакової сили завжди закінчується нічиєю. Чи завжди борців вдасться розбити на пари так, що всі переможці в отриманих парах виявляться не слабшими, ніж усі ті, хто звів поєдинок внічию або програв, а всі ті, хто звів поєдинок, внічию виявиться не слабшим за всіх тих, хто програв?»

Якщо приписати всім борцям число, що відповідає рівню їхньої сили, то вийде безліч з 38 елементів. Припущення полягає в тому, щоб елементи цієї множини записати в порядку невтрати. Після цього формуємо такі пари: перший з останнім, другий з передостаннім і т. д. У кожній парі в порядку формування знаходимо переможця або нічию, що зробив. Отримана послідовність буде незростаючою, причому останній її елемент буде не менше 19-го у вихідній послідовності. Тобто виходить, що потрібна умова виконується.

Завдання, для вирішення яких мало знання лише шкільної програми

Для вирішення таких завдань учень повинен знати більше, ніж викладають під час уроків у школі. Необхідні знанняучень може одержати на основі самоосвіти або за допомогою грамотного репетитора. Наприклад, для вирішення наступного завдання потрібно знання того, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, які пропорційні прилеглими сторонами: «У трикутнику ABCбісектриси AA 1 та BB 1 перетинаються у точці O. Відомо, що 2 AO = 7OA 1 та BO = 2BO 1 . Знайдіть відношення висоти, опущеної з точки Aдо радіуса вписаної в трикутник ABCкола.»

Використовуючи властивість бісектриси, знаходимо, що . Тобто . Аналогічно вважаємо, що . Тобто довжини сторін трикутника виглядають так:

Тоді знову за якістю бісектриси отримуємо, що:

Отже, отримуємо , , . Тоді напівпериметр цього трикутника дорівнює . Тоді з одного боку площа трикутника ABCдорівнює , де - Радіус вписаного кола. З іншого боку він дорівнює , де - Висота, проведена до сторони BC. Звідси отримуємо, що .

Завдання на теми, яким у школі приділяється зовсім мало уваги

Наприклад, завдання з теорії чисел: «Дана послідовність із 2014 натуральних числа. Якщо взяти з цієї послідовності будь-які 100 чисел, то серед них обов'язково буде хоча б одне парне число. Якщо взяти з цієї послідовності будь-які 1916 р. чисел, то серед них обов'язково буде хоча б одне непарне число. Чи може сума всіх цих чисел дорівнювати 2014-2015? Обґрунтуйте свою відповідь.

Підготовлений учень вирішить це завдання без особливих зусиль. Оскільки в будь-якій вибірці зі 100 чисел виявляється хоча б одне парне число, то не парних чиселу наборі не більше 99. Аналогічно, оскільки в будь-якій вибірці з 1916 чисел виявляється хоча б одне непарне число, то парних чисел у наборі не більше 1915. А оскільки всього в наборі 2014 чисел, то в наборі 99 непарних чиселта 1915 парних чисел. Їхня сума є непарним числом. А твір 2014-2015 закінчується на 0, отже, є парним числом. Тобто сума не може дорівнювати цьому твору.

Наприкінці зазначимо, що для успішної підготовкидо олімпіад з математики доведеться старанно попрацювати. Намагайтеся максимально підключити до цього процесу вчителів, адже вони зацікавлені у перемозі своїх учнів. Витрачайте більше часу на читання додаткової літературипо предмету. Адже знання, які ви отримаєте, можуть стати в нагоді в найвідповідальніший момент. Ну і не забувайте, що готуватися до олімпіади з математики можна з репетитором. Досвід показує, що це гарний варіантякщо ви серйозно налаштовані на успіх. Удачі вам!

Сергій Валерійович

Опис:матеріал є завданням для олімпіади з математики з 1 по 4 класи. Після завдань по паралелях дано відповіді та бали за них. Дані завдання можна використовувати на уроках математики з метою розвитку логічного мислення.

Олімпіадні завдання з математики 1 клас

1.У трьох братівпо дві сестри. Скільки всього дітей у сім'ї? Обведи правильну відповідь:

2. Що важче: 1 кілограм вати чи 1 кілограм заліза? Обведи правильну відповідь:

вата залізо порівну

3. У пакет можна покласти 2 кілограми продуктів. Скільки пакетів має бути у мами, якщо вона хоче купити 4 кілограми картоплі та диню масою 1 кілограм?

Напиши відповідь._________________________

4. З-під воріт видно 8 котячих лап. Скільки кішок у дворі?

Напиши відповідь. __________________

5. Постав знак + або - ,щоб вийшла вірна рівність:

7 * 4 * 2 * 5 = 10

10 * 4 * 3 * 8 = 1

6. Сходи складається з 7 сходинок. Яка сходинка знаходиться на середині?

7. Колоду розпилили на 3 частини. Скільки розпилів зробили? Обведи правильну відповідь:

8.У тварини 2 праві ноги, 2 ліві ноги, 2 ноги ззаду, 2 ноги спереду. Скільки всього ніг у тварини?

Напиши відповідь:_________________________________

9. Три дівчинки готували ялинкові іграшки до Нового року. Утрьох вони працювали 3 години. Скільки годин працювала кожна з них?

Напиши відповідь:_________________________

10. Сума трьох парних чисел дорівнює 12. Напиши ці числа, якщо відомо, що доданки не рівні між собою.

Олімпіадні завдання з математики 2 клас

Ф. І., клас _____________________________________________

1. Індик важить 12 кг. Скільки він важитиме, якщо встане на одну ногу? (1 бал) Відповідь:________________

2. Клітина у кроликів була закрита, але в нижній отвір видно було 24 ноги, у верхнє - 12 кролячих вух. То скільки ж було в клітці кроликів? (3 бали) Відповідь:___________________

3. Аня, Женя та Ніна за контрольну роботуотримали різні оцінкиале двійок у них не було. Відгадайте, яку оцінку одержала кожна з дівчаток, якщо у Ані не “3”, у Ніни не “3” та не “5” (3 бали).

Відповідь: у Ані___, у Ніни ____, у Жені_____.

4. З чисел 21, 19, 30, 25, 12, 7, 15, 6, 27 підберіть такі три числа, сума яких дорівнюватиме 50 (2 бали). Відповідь:___________________________.

5. У Буратіно менше 20 золотих монет. Ці монети він може розкласти в стоси по дві, по три та по чотири монети. Скільки монет у Буратіно? (3 бали) Відповідь:__________.

6.Запиши всі двоцифрові числа, в яких число одиниць на чотири більше числадесятків? (1 випадок – 1 бал)_________________________.

7. Катя, Галя та Оля, граючи, сховали по іграшці. Вони грали з ведмежати, зайчиком і слоником. Відомо, що Катя не ховала кролика, а Оля не ховала ні кролика, ні ведмежа. У кого якась іграшка? (3 бали)

Відповідь: у Каті____________________, у Галі____________________, у Олі_____________________.

8. Три дівчинки на запитання, по скільки їм років відповіли так: Маша: "Мені разом з Наталкою 21 рік", Наталя: "Я молодший за Тамару на 4 роки", Тамара: "Нам трьом разом 34 роки". Скільки років кожній з дівчаток? (5 балів)

Відповідь: Маші _________, Наталі ____________, Тамарі___________.

9. Встав пропущені знаки математичних дій. (1 приклад – 2 бали)

1 2 3 4 5 = 5 1 2 3 4 5 = 7

10. Продовжи ряд чисел (2 бали)

20, 18, 19, 17, 18, 16, 17, ...., ...., ....

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, ...., ....

Олімпіадні завдання з математики 3 клас

Ф. І., клас _____________________________________________

1.Одне яйце вариться 4 хвилини. Скільки хвилин вариться 5 яєць?

(1 бал) ________________.

2. На руках 10 пальців. Скільки пальців на 10 руках? (1 бал) _________.

3. Лікар дав хворій дівчинці 3 таблетки і велів приймати їх через кожні півгодини. Вона суворо виконала вказівку лікаря. На скільки часу вистачило прописаних лікарем пігулок? (1 бал)_____________.

4. Зі шматка дроту зігнули квадрат зі стороною 6см. Потім розігнули дріт, і зігнули з нього трикутник з рівними сторонами. Яка довжина сторони трикутника? (1 бал)____________________.

5. Коля, Вася та Боря грали в шашки. Кожен із них зіграв лише 2 партії. Скільки всього партій було зіграно? (2 бали) ________________.

6. Скільки всього двоцифрових чисел можна становити з цифр 1,2,3 за умови, що цифри в записі числа не повторюватимуться? Перелічи всі ці числа. (2 бали)___________________________________________.

7. Було 9 аркушів паперу. Деякі їх розрізали на три частини. Усього стало 15 аркушів. Скільки аркушів паперу розрізали? (3 бали)__________.

8. У п'ятиповерховому будинку Віра живе вище Петі, але нижче Слави, а Коля живе нижче Петі. На якому поверсі мешкає Віра, якщо Коля живе на другому поверсі? (3 бали)__________________________________________.

9. 1 гумка, 2 олівці та 3 блокноти коштують 38 руб. 3 гумки, 2 олівці та 1 блокнот коштують 22 руб. Скільки коштує комплект із гумки, олівця та блокнота? (4 бали)__________________________________

10. Нільс летів у зграї на спині гусака Мартіна. Він звернув увагу, що побудова зграї нагадує трикутник: попереду ватажок, потім 2 гусаки, в третьому ряду 3 гусаки і т.д. Зграя зупинилася на нічліг на крижині. Нільс побачив, що розташування гусей цього разу, нагадує квадрат, що складається з рядів, у кожному ряду однакова кількість гусей, причому число гусей у кожному ряді дорівнює числу рядів. Гусей у зграї менше 50. Скільки гусей у зграї? (6 балів)_______________________________

Олімпіадні завдання з математики 4 клас

Ф. І., клас _____________________________________________

1. Сидячи біля вікна вагона поїзда, хлопчик почав вважати телеграфні стовпи. Він нарахував 10 стовпів. Яку відстань пройшов за цей час поїзд, якщо відстань між стовпами 50 м? (1 бал) __________________________.

2. Один годинник відстає на 25 хвилин, показуючи 1 год 50 хв. Який час показує інший годинник, якщо він забігає на 15 хв? (2 бали)_________________________.

3.Чому рівні сторони прямокутника, площа якого дорівнює 12 см, а периметр дорівнює 26 см? (1 бал)__________________________________.

4. Скільки вийде, якщо скласти найбільше непарне двоцифрове число і найменше парне трицифрове число? (1 бал)_______________________.

5. У кожному ланцюжку чисел знайди закономірність і встав пропущені числа

(1 ланцюжок - 1 бал):

1) 3, 6, __, 12, 15, 18.

2) 1, 8, 11, 18, ___, 28, 31.

3) 2, 2, 4, 4, ___, 6, 8, 8.

4) 24, 21, ___, 15, 12.

5) 65, 60, 55, ____, 45, 40, 35.

6. Напишіть найменше чотиризначне число, де всі цифри різні. (1 бал)____________________________.

7. Три подружки – Віра, Оля та Таня пішли до лісу за ягодами. Для збирання ягід у них були кошик, козуб і відерце. Відомо, що Оля була не з кошиком і не з кошиком, Віра - не з кошиком. Що взяла з собою кожна дівчинка для збирання ягід? (3 бали) Віра – ______________, Таня – ______________, Оля – _______________.

8. Мотоцикліст за три дні проїхав 980 км. За перші два дні він проїхав 725 км, при цьому він другого дня проїхав на 123 км більше, ніж у третій день. Скільки кілометрів він проїхав кожного з цих трьох днів? (4 бали)

І день _______, ІІ день _______, ІІ день ________.

9. Напишіть цифрами число, що складається з 22 мільйонів 22 тисяч 22 сотень та 22 одиниць. (2 бали)________________________________.

10. До туристичного табору прибуло 240 учнів з Москви та Орла. Хлопчиків серед прибулих було 125 осіб, з яких 65 – москвичі. Серед учнів, які прибули з Орла, дівчат було 53. Скільки всього учнів прибуло з Москви? (4 бали)_____________.

Відповіді:

1 клас

1) 5 (1 бал)

2) Порівну (1 бал)

3) 3 пакети (2 бали)

4) 2 кішки (1 бал)

5) 1 приклад – 1 бал

6) четверта (1 бал)

7) 2 (1 бал)

8) 4 ноги (2 бали)

9) 3 години (2 бали)

10) 2+4+6=12 (2 бали)

2 клас

1) 12 кг (1 бал)

2) 6 кроликів (3 бали)

3) У Ані 5, у Ніни 4, у Жені 3 (3 бали)

4) 19+6+25=50 (2 бали)

5) 12 монет (3 бали)

6) 15, 26, 37, 48, 59 (1 випадок – 1 бал)

7) У Олі – слоник, у Каті – ведмежа, у Галі – зайчик (3 бали)

8) Маші 12 років, Наталці 9 років, Тамарі 13 років (5 балів)

9) 9.1+2+3+4-5= 5 1+2+3+-4+5=7 (1 приклад – 2 бали)

10) …10. 15, 16, 14 (2 бали)

3 клас

1) 4 хвилини (1 бал)

2) 50 (1 бал)

3) на 1 годину (1 бал)

4) 8см (1 бал)

5) 3 партії. (К-В, К-Б, В-Б) 2 бали

6) 12,13, 21,23, 31,32 (2 бали)

7) 3 листи (3 бали)

8) 4 поверх - Віра (3 бали)

9) 15 руб., т.к. 4 гумки, 4 олівці та 4 блокноти 38+22=60(руб.) Один комплект коштує 60: 4=15(руб.) (4 бали)

10) 36 гусей (6 балів)

4 клас:

1. 50 х 9 = 450 (м) (1 бал)

2. 1 година 50 хв + 25 хв = 2 години 15 хв (2 бали)

2 години 15 хв. +15 хв. = 2 години 30 хв.

3. Сторони прямокутника 12 см та 1 см. (1 бал)

4.199 (1 бал)

5. 1) 9; 2) 21; 3)6; 4) 18; 5) 50; (1 ланцюжок – 1 бал)

6. 1023 (1 бал)

7. Віра була з кошиком, Оля – з цеберком, Таня – з кошиком. (3 бали)

8. (4 бали)

1) 980 – 725 = 255 (км) – проїхав у третій день;

2) 255 + 123 = 378 (км) – проїхав у другий день;

3) 725 – 378 = 347 (км) – проїхав у перший день.

Відповідь: першого дня мотоцикліст проїхав 347 км, другого — 378, третього — 255 км.