Скільки рівнянь у рівняннях максвела. Система рівнянь Максвелла для електромагнітного поля: сенс, способи розв'язання

Система рівнянь Максвелла є узагальненням основних законів про електричні та електромагнітні явища. Вона описує абсолютно всеелектромагнітні явища. Будучи основою теорії електромагнітного поля, ця система рівнянь дозволяє вирішувати задачі, пов'язані з відшуканням електричних та магнітних полів, створюваних заданим розподіломелектричних зарядів та струмів. Рівняння Максвелла були відправною точкою для створення загальної теоріївідносності Ейнштейна. Теоретично Максвелла розкривається електромагнітна природасвітла. Рівняння сформульовані Дж. Максвеллом у шістдесятих роках 19 століття з урахуванням узагальнення емпіричних законів та розвитку ідей вчених, які досліджували електромагнітні явища перед ним (Закони Кулона, Біо – Савара, Ампера і, особливо, дослідження Фарадея). Сам Максвелл записав 20 рівнянь з 20 невідомими в диференційної форми, які пізніше були перетворені. Сучасна формаМаксвелла дана німецьким фізиком Г. Герцем та англійським фізиком О. Хевісайдом. Запишемо рівняння, використовуючи систему одиниць Гауса.

Система рівнянь Максвелла

До складу системи рівнянь Максвелла входять чотири рівняння.

Перше рівняння:

Це Закон Фарадея (Закон електро магнітної індукції).

де -напруженість електричного поля, -Вектор магнітної індукції, c - швидкість світла у вакуумі.

Це рівняння говорить про те, що ротор напруженості електричного поля дорівнює потоку (тобто швидкості зміни в часі) вектора магнітної індукції крізь цей контур.

Це ж рівняння можна записати в інтегральної форми, Тоді воно набуде наступного вигляду:

де – проекція на нормаль до майданчика dS вектора магнітної індукції,

- Магнітний потік.

Мал. 2.

Циркуляція вектора напруженості електричного поля вздовж замкнутого контуру L ( ЕРС індукції) визначається швидкістю зміни потоку вектора магнітної індукції через поверхню, обмежену цим контуром. Знак мінус за правилом Ленца означає напрямок індукційного струму.

Згідно з Максвеллом закон електромагнітної індукції(а це саме він), справедливий для будь-якого замкнутого контуру, довільно обраного в змінному магнітному полі.

Сенс цього рівняння: Змінне магнітне поле у ​​будь-якій точці простору створює вихрове електричне поле.

де -вектор магнітної напруженості - щільність електричного струму - вектор електричного зміщення.

Це рівнянняМаксвелла є узагальненням емпіричного закону Біо-Савару про те, що магнітні поля порушуються. електричними струмами. Сенс другого рівняння у цьому, що джерелом виникнення вихрового магнітного поля є також змінне електричне полі, магнітне дію якого характеризується струмом усунення. (-Щільність струму зміщення).

В інтегральному вигляді друге рівняння Максвелла (Теорема про циркуляцію магнітного поля) представлено таким чином:

Циркуляція вектора напруженості магнітного поля за довільним контуром дорівнює алгебраїчній суміструмів провідності та струму усунення, зчеплених з контуром.

Коли Максвел вводив рівняння (понад сто років тому!), природа електромагнітного поля була не зрозуміла. Нині природа поля з'ясована, і зрозуміли, що може бути названо «струмом» лише формально. По ряду розрахункових міркувань така назва, не надаючи йому прямого фізичного сенсу, Доцільно зберегти, що в електротехніці і робиться. З цієї причини вектор D, що входить у вираз для струму зміщення, називають вектором електричного зміщення.

Крім перших двох рівнянь у систему рівнянь Максвелла входить теорема Гаусса-Остроградського для електричного та магнітного полів:

де -Щільність електричного заряду.

Що в інтегральному вигляді являє собою таке:

де потік електричного зміщення - потік магнітної індукції крізь замкнуту поверхню, що охоплює вільний заряд q.

Сенс рівняння 3.2. Електричний заряд- Джерело електричної індукції.

Рівняння 4.2 висловлює факт відсутності вільних магнітних зарядів.

Повна система рівнянь Максвелла в диференційному вигляді(характеризує поле у ​​кожній точці простору):

Повна система рівнянь Максвелла в інтегральному вигляді

Повна система рівнянь Максвелла в інтегральному вигляді (інтегральна форма запису рівнянь полегшує їх фізичну інтерпретацію так як робить їх візуально ближче до відомих емпіричних законів):

Систему рівнянь Максвелла доповнюють «матеріальними рівняннями», що зв'язують вектори з величинами, що описують електричні та магнітні властивостісередовища.

де – відносна діелектрична проникність, - Відносна магнітна проникність, -питома електропровідність, - Електрична постійна, - магнітна постійна. Середовище передбачається ізотропною, неферромагнітною, несегнетоелектричною.

На межі розділу двох середовищ виконуються граничні умови:

де - поверхнева щільністьвільних зарядів, n- одиничний вектор нормалі до межі розділу, проведений з середовища 2 в 1, одиничний вектор, що стосується кордону, - проекція вектора щільності поверхневих струмів провідності на одиничний вектор.

Дані рівняння виражають безперервність нормальних складових вектора магнітної індукції та стрибок нормальних складових вектора зміщення. Безперервність дотичних складових вектора напруженостей електричного поля на межі розділу та стрибок цих складових для напруженості магнітного поля.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Максвелла рівнянняпов'язують величини, що характеризують електромагнітне поле, з його джерелами, тобто з розподілом у просторі електричних зарядів та струмів. У порожнечі електромагнітне поле характеризується двома векторними величинами, що залежать від просторових координат та часу: напруженістю електричного поля Ета магнітною індукцією У. Ці величини визначають сили, що діють з боку поля на заряди та струми, розподіл яких у просторі задається щільністю заряду r (зарядом в одиниці об'єму) та щільністю струму j(Зарядом, що переноситься в одиницю часу через одиничний майданчик, перпендикулярну до напрямку руху зарядів). Для опису електромагнітних процесів у матеріальному середовищі (в речовині), крім векторів Еі У, вводяться допоміжні векторні величини, що залежать від стану та властивостей середовища: електрична індукція Dта напруженість магнітного поля Н.

Максвелла рівняннядозволяють визначити основні характеристики поля ( Е, В, Dі Н) у кожній точці простору у будь-який момент часу, якщо відомі джерела поля jі r як функції координат та часу. Максвелла рівнянняможуть бути записані в інтегральній або диференціальній формі (нижче вони дані в абсолютній системі одиниць Гаусса; див. СГС система одиниць ).

Максвелла рівнянняв інтегральній формі визначають за заданими зарядами та струмами не самі вектори поля Е, В, D, Нв окремих точкахпростору, а деякі інтегральні величини, що залежать від розподілу цих характеристик поля: циркуляцію векторів Еі Нвздовж довільних замкнутих контурів та потоки векторів Dі через довільні замкнуті поверхні.

Перше Максвелла рівнянняє узагальненням на змінні поляемпіричного Ампера закону про збудження магнітного поля електричними струмами. Максвел висловив гіпотезу, що магнітне поле породжується не тільки струмами, що йдуть у провідниках, а й змінними електричними полями в діелектриках або вакуумі. Величина, пропорційна швидкості зміни електричного поля у часі, було названо Максвеллом струмом усунення. Струм зміщення збуджує магнітне поле за тим самим законом, що й струм провідності (пізніше це було підтверджено експериментально). Повний струм, рівний суміструму провідності та струму зміщення, завжди є замкнутим.

Перше Максвелла рівняннямає вигляд:

тобто циркуляція вектора напруженості магнітного поля вздовж замкнутого контуру L(сума скалярних творів вектора Ну цій точці контуру на нескінченно малий відрізок dlконтура) визначається повним струмом через довільну поверхню j n- проекція щільності струму провідності jна нормаль до нескінченно малого майданчика ds, Що є частиною поверхні S, - проекція щільності струму зміщення на ту саму нормаль, а з= 3×10 10 см/сек -постійна, рівна швидкості поширення електромагнітних взаємодійу вакуумі.

Друге Максвелла рівнянняє математичним формулюванням закону електромагнітної індукції Фарадея (див. Електромагнітна індукція ) записується у вигляді:

, (1, б)

тобто циркуляція вектора напруженості електричного поля вздовж замкнутого контуру L(Едс індукції) визначається швидкістю зміни потоку вектора магнітної індукції через поверхню S, обмежену цим контуром. Тут n- проекція на нормаль до майданчика dsвектор магнітної індукції У; знак мінус відповідає Ленца правилу для спрямування індукційного струму.

Третє Максвелла рівняннявисловлює досвідчені дані про відсутність магнітних зарядів, аналогічних електричним (магнітне поле породжується лише струмами):

тобто потік вектора магнітної індукції через довільну замкнуту поверхню Sдорівнює нулю.

Четверте Максвелла рівняння(зазвичай зване Гауса теорема ) є узагальнення закону взаємодії нерухомих електричних зарядів - Кулон закону :

, (1, г)

тобто потік вектора електричної індукції через довільну замкнуту поверхню Sвизначається електричним зарядом, що знаходиться всередині цієї поверхні (в обсязі , обмеженому даною поверхнею).

Якщо вважати, що вектори електромагнітного поля ( Е, В, D, Н) є безперервними функціямикоординат, то, розглядаючи циркуляцію векторів Ні Еза нескінченно малими контурами та потоками векторів і Dчерез поверхні, що обмежують нескінченно малі обсяги, можна від інтегральних співвідношень (1, а - г) перейти до системи диференціальних рівнянь, справедливих у кожній точці простору, тобто отримати диференціальну форму Максвелла рівняння(зазвичай зручнішу на вирішення різних завдань):

rot ,

Тут rot і div – диференціальні оператори ротор (див. Вихор ) та дивергенція , що діють на вектори Н, Е, і D. Фізичний зміст рівнянь (2) той самий, як і рівнянь (1).

Максвелла рівнянняу формі (1) або (2) не утворюють повної замкнутої системи, що дозволяє розраховувати електромагнітні процеси за наявності матеріального середовища. Необхідно їх доповнити співвідношеннями, що зв'язують вектори Е, Н, D, Ві j, які є незалежними. Зв'язок між цими векторами визначається властивостями середовища та її станом, причому Dі jвиражаються через Е, а - через Н:

D = D(E), = (Н), j = j(E). (3)

Ці три рівняння називаються рівняннями стану, чи матеріальними рівняннями; вони описують електромагнітні властивості середовища та для кожного конкретного середовища мають певну форму. У вакуумі Dº Еі º Н. Сукупність рівнянь поля (2) та рівнянь стану (3) утворюють повну системурівнянь.

Макроскопічні Максвелла рівнянняописують середовище феноменологічно, не розглядаючи складного механізму взаємодії електромагнітного поля із зарядженими частинками середовища. Максвелла рівнянняможуть бути отримані з Лоренца - Максвелла рівнянь для мікроскопічних полів та певних уявлень про будову речовини шляхом усереднення мікрополів по малих просторово-часових інтервалах. Таким способом виходять як основні рівняння поля (2), і конкретна форма рівнянь стану (3), причому вид рівнянь поля залежить від властивостей середовища.

Рівняння стану в загальному випадкудуже складні, тому що вектори D, і jв даній точці простору в Наразічасу можуть залежати від полів Еі Ну всіх точках середовища у всі попередні моменти часу. В деяких середовищах вектори Dі можуть бути відмінними від нуля при Еі рівних нулю (сегнетоелектрики і феромагнетики ). Однак для більшості ізотропних середовищ, аж до вельми значних полів, рівняння стану мають просту лінійну форму:

D= e E, = m H, j= s E+ jз тр. (4)

Тут e ( x, у, z) - діелектрична проникність , а m ( x, у, z) - магнітна проникність середовища, що характеризують відповідно її електричні та магнітні властивості (у вибраній системі одиниць для вакууму e = m = 1); величина s ( x, у, z) називається питомою електропровідністю; j cтр - щільність про сторонніх струмів, тобто струмів, підтримуваних будь-якими силами, крім сил електричного поля (наприклад, магнітним полем, дифузією тощо. буд.). У феноменологічній теорії Максвелла макроскопічні характеристики електромагнітних властивостейсередовища e, m та s повинні бути знайдені експериментально. У мікроскопічній теорії Лоренца - Максвелла вони можуть бути розраховані.

Проникності e і m фактично визначають той внесок у електромагнітне поле, який вносять звані пов'язані заряди, що входять до складу електрично нейтральних атомів і молекул речовини. Експериментальне визначення e, m, s дозволяє розраховувати електромагнітне поле в середовищі, не вирішуючи важке допоміжне завдання про розподіл зв'язаних зарядів та відповідних струмів в речовині. Щільність заряду r та щільність струму jв Максвелла рівняння- це щільність вільних зарядів і струмів, причому допоміжні вектори Ні Dвводяться так, щоб циркуляція вектора Нвизначалася лише рухом вільних зарядів, а потік вектора D- Щільністю розподілу цих зарядів у просторі.

Якщо електромагнітне поле розглядається у двох межах, що межують, то на поверхні їх розділу вектори поля можуть зазнавати розривів (стрибки); у цьому випадку рівняння (2) мають бути доповнені граничними умовами:

[nH] 2 - [nH] 1 = ,

[nE] 2 - [nE] 1 = 0, (5)

(nD) 2 - (nD) 1 = 4ps,

(nB) 2 - (nB) 1 = 0.

Тут j пові s - щільності поверхневих струму та заряду, квадратні та круглі дужки - відповідно векторне та скалярні творивекторів, n- одиничний вектор нормалі до поверхні розділу в напрямку від першого середовища до другого (12), а індекси відносяться різним сторонаммежі поділу.

Основні рівняння для поля (2) лінійні, рівняння стану (3) можуть бути і нелінійними. Зазвичай нелінійні ефекти виявляються досить сильних полях. У лінійних середовищах [задовольняють співвідношенням (4)] і, зокрема, у вакуумі Максвелла рівняннялінійні і, таким чином, виявляється справедливим суперпозиції принцип: при накладенні полів вони не впливають один на одного.

З Максвелла рівняннявипливає низка законів збереження. Зокрема, із рівнянь (1, а) та (1, г) можна отримати співвідношення (так зване рівняння безперервності):

, (6)

являє собою закон збереження електричного заряду: повний струм, що протікає за одиницю часу через будь-яку замкнуту поверхню S, дорівнює змінізаряду всередині об'єму V, обмеженого цією поверхнею. Якщо струм через поверхню відсутня, заряд в обсязі залишається незмінним.

З Максвелла рівнянняслід, що електромагнітне поле має енергію та імпульс (кількістю руху). Щільність енергії w (енергії одиниці об'єму поля) дорівнює:

, (7)

Електромагнітна енергія може переміщатися у просторі. Щільність потоку енергії визначається так званим вектором Пойнтінга

Напрямок вектора Пойнтінга перпендикулярно як Е, так і Ні збігається з напрямом розповсюдження електромагнітної енергіїа його величина дорівнює енергії, що переноситься в одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярної до вектора П. Якщо не відбувається перетворень електромагнітної енергії на інші форми, то, відповідно Максвелла рівняння, Зміна енергії в деякому обсязі за одиницю часу дорівнює потоку електромагнітної енергії через поверхню, що обмежує цей обсяг. Якщо всередині обсягу рахунок електромагнітної енергії виділяється тепло, то закон збереження енергії записується у формі:

(9)

Де Q- кількість теплоти, що виділяється в одиницю часу.

Щільність імпульсу електромагнітного поля g(Імпульс одиниці об'єму поля) пов'язана із щільністю потоку енергії співвідношенням:

Існування імпульсу електромагнітного поля вперше було виявлено експериментально у дослідах П.М. Лебедєва з вимірювання тиску світла (1899).

Як видно з (7), (8) і (10), електромагнітне поле завжди має енергію, а потік енергії та електромагнітний імпульс відмінні від нуля лише у випадку, коли одночасно існують і електричне та магнітне поля (причому ці поля не паралельні один одному) ).

Максвелла рівнянняпризводять до фундаментального висновку про кінцівку швидкості поширення електромагнітних взаємодій (рівний з= 3×10 10 см/сек). Це означає, що при зміні щільності заряду або струму в деякій точці простору електромагнітне поле, що ними породжується в точці спостереження, змінюється не в той же момент часу, а через час t = R/c, де R- Відстань від елемента струму або заряду до точки спостереження. Внаслідок кінцевої швидкостіпоширення електромагнітних взаємодій можливе існування електромагнітних хвиль , окремим випадком яких (як вперше показав Максвелл) є світлові хвилі.

Електромагнітні явища протікають однаково у всіх інерційних системах відліку, тобто задовольняють принцип відносності. Відповідно з цим Максвелла рівнянняне змінюють своєї форми під час переходу від однієї інерційної системи відліку до іншої (релятивістські інваріантні). Виконання принципу відносності для електромагнітних процесів виявилося несумісним з класичними уявленнями про простір і час, зажадало перегляду цих уявлень і призвело до створення спеціальної теоріївідносності (А. Ейнштейн, 1905; див. Відносності теорія ). Форма Максвелла рівняннязалишається незмінною під час переходу до нової інерційної системивідліку, якщо просторів, координати та час, вектори поля Е, Н, В, D, щільність струму jі щільність заряду r змінюються відповідно до Лоренца перетвореннями (що виражають нові, релятивістські уявлення про простір та час). Релятивістсько-інваріантна форма Максвелла рівнянняпідкреслює той факт, що електричне та магнітне поля утворюють єдине ціле.

Максвелла рівнянняописують велику область явищ. Вони лежать в основі електротехніки та радіотехніки та грають найважливішу рольу розвитку таких актуальних напрямів сучасної фізикияк фізика плазми та проблема керованих термоядерних реакцій, магнітна гідродинаміка, нелінійна оптика, конструювання прискорювачів заряджених частинок , астрофізика і т.д. Максвелла рівняннянепридатні лише за великих частотах електромагнітних хвиль, коли стають суттєвими квантові ефектитобто коли енергія окремих квантів електромагнітного поля - фотонів - велика і в процесах бере участь порівняно невелика кількість фотонів.

Літ.:Максвелл Дж. До., Вибрані твори з теорії електромагнітного поля, переклад з англійської, М., 1952; Тамм І. Є., Основи теорії електрики, 7 видавництво, М., 1957; Калашніков С. Р., Електрика, М., 1956 ( Загальний курсфізики, т. 2); Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М., Фейнмановські лекції з фізики, (переклад з англійської], ст 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М., Теорія поля , 5 видавництво, М., 1967 ( Теоретична фізика, Т. 2); їх же, Електродинаміка суцільних середовищ, М., 1959.

Г. Я. Мякішев.

Стаття про слово Максвелла рівнянняу Великій Радянської Енциклопедіїбула прочитана 36718 разів

В електродинаміці - це як закони Ньютона в класичної механікиабо як постулати Ейнштейна в теорії відносності. Фундаментальні рівняння, по суті яких ми сьогодні розбиратимемося, щоб не впадати в ступор від однієї їх згадки.

Корисна та цікава інформаціяз інших тем – у нас у телеграм.

Рівняння Максвелла – це система рівнянь у диференційній чи інтегральній формі, що описує будь-які електромагнітні поля, зв'язок між струмами та електричними зарядами у будь-яких середовищах.

Неохоче бралися і критично сприймалися вченими-сучасниками Максвелла. Все тому, що ці рівняння не були схожі ні на що з відомого людямраніше.

Тим не менш, і досі немає жодних сумнівів у правильності рівнянь Максвелла, вони «працюють» не тільки у звичному нам макросвіті, а й у галузі квантової механіки.

Рівняння Максвелла здійснили справжній переворот у сприйнятті людьми наукової картинисвіту. Так, вони передбачили відкриття радіохвиль і показали, що світло має електромагнітну природу.

До речі! Для всіх наших читачів зараз діє знижка 10% на .

По порядку запишемо і пояснимо всі 4 рівняння. Відразу уточнимо, що записуватимемо їх у системі СІ.

Сучасний вигляд першого рівняння Максвелла такий:

Тут слід пояснити, що таке дивергенція. Дивергенція – це диференціальний оператор, що визначає потік якогось поля через певну поверхню. Доречним буде порівняння з краном чи трубою. Наприклад, чим більший діаметр носика крана і напір у трубі, тим більшим буде потік води через поверхню, яку являє собою носик.

У першому рівнянні Максвелла E – це векторне електричне поле, а грецька літера « ро » - Сумарний заряд, укладений усередині замкнутої поверхні.

Так ось, потік електричного поля E через будь-яку замкнуту поверхню залежить від сумарного заряду усередині цієї поверхні. Дане рівняння є закон (теорему) Гаусса.

Третє рівняння Максвелла

Зараз ми пропустимо друге рівняння, тому що третє рівняння Максвелла – це також закон Гауса, Тільки не для електричного поля, але для магнітного.

Воно має вигляд:

Що це означає? Потік магнітного поля через замкнуту поверхню дорівнює нулю. Якщо електричні заряди (позитивні та негативні) цілком можуть існувати окремо, породжуючи навколо себе електричне поле, то магнітних зарядів у природі просто не існує.

Друге рівняння Максвелла є нічим іншим, як закон Фарадея. Його вигляд:

Ротор електричного поля (інтеграл через замкнуту поверхню) дорівнює швидкостізміни магнітного потоку, що пронизує цю поверхню. Щоб краще зрозуміти, візьмемо воду у ванній кімнаті, яка зливається через отвір. Навколо отвору утворюється лійка. Ротор – це сума (інтеграл) векторів швидкостей частинок води, що обертаються навколо отвору.

Як Ви пам'ятаєте, на основі закону Фарадеяпрацюють електродвигуни: магніт, що обертається, породжує струм у котушці.

Четверте – найважливіше з усіх рівнянь Максвелла. Саме в ньому вчений запровадив поняття струму зміщення.

Це рівняння називається теоремою про циркуляцію вектора магнітної індукції. Воно говорить нам про те, що електричний струм та зміна електричного поля породжують вихрове магнітне поле.

Наведемо тепер усю систему рівнянь і коротко позначимо суть кожного з них:

Перше рівняння: електричний заряд породжує електричне поле

Друге рівняння: магнітне поле, що змінюється, породжує вихрове електричне поле

Третє рівняння: магнітних зарядів не існує

Четверте рівняння: електричний струм та зміна електричної індукції породжують вихрове магнітне поле

Вирішуючи рівняння Максвелла для вільної електромагнітної хвилі, ми отримаємо наступну картину її поширення у просторі:

Сподіваємось, ця стаття допоможе систематизувати знання про рівняння Максвелла. А якщо знадобиться вирішити задачу з електродинаміки із застосуванням цих рівнянь, можете сміливо звернутися за допомогою до студентського сервісу. Детальне поясненнябудь-якого завдання та відмінна оцінка гарантовані.

Система рівнянь Максвелла є узагальненням основних законів про електричні та електромагнітні явища. Вона описує абсолютно всеелектромагнітні явища. Будучи основою теорії електромагнітного поля, ця система рівнянь дозволяє вирішувати завдання, пов'язані з відшуканням електричних та магнітних полів, створюваних заданим розподілом електричних зарядів та струмів. були відправною точкою до створення загальної теорії відносності Ейнштейна. Теоретично Максвелла розкривається електромагнітна природа світла. Рівняння сформульовані Дж. Максвеллом у шістдесятих роках 19 століття з урахуванням узагальнення емпіричних законів та розвитку ідей вчених, які досліджували електромагнітні явища перед ним (Закони Кулона, Біо – Савара, Ампера і, особливо, дослідження Фарадея). Сам Максвелл записав 20 рівнянь із 20 невідомими у диференціальній формі, які пізніше були перетворені. Сучасна форма Максвелла дана німецьким фізиком Г. Герцем та англійським фізиком О. Хевісайдом. Запишемо рівняння, використовуючи систему одиниць Гауса.

Система рівнянь Максвелла

До складу системи рівнянь Максвелла входять чотири рівняння.

Перше рівняння:

Це Закон Фарадея (Закон електромагнітної індукції).

де -напруженість електричного поля, -вектор магнітної індукції, c - швидкість світла у вакуумі.

Це рівняння говорить про те, що ротор напруженості електричного поля дорівнює потоку (тобто швидкості зміни в часі) вектора магнітної індукції через цей контур.

Рівняння (1.1) є першим рівнянням Максвелла в диференціальній формі.

Це ж рівняння можна записати в інтегральній формі, тоді воно набуде наступного вигляду:

де – проекція на нормаль до майданчика dS вектора магнітної індукції,

- Магнітний потік.

Циркуляція вектора напруженості електричного поля вздовж замкнутого контуру L (ЕРС індукції) визначається швидкістю зміни потоку вектора магнітної індукції через поверхню обмежену цим контуром. Знак мінус за правилом Ленца означає напрямок індукційного струму.

Згідно з Максвеллом закон електромагнітної індукції (а це саме він), справедливий для будь-якого замкнутого контуру, довільно обраного в змінному магнітному полі.

Сенс цього рівняння: Змінне магнітне поле у ​​будь-якій точці простору створює вихрове електричне поле.

Друге рівняння Максвелла:

де вектор магнітної напруженості, - щільність електричного струму, - вектор електричного зміщення.

Дане рівняння Максвелла є узагальнення емпіричного закону Біо-Савара про те, що магнітні поля збуджуються електричними струмами. Сенс другого рівняння у цьому, що джерелом виникнення вихрового магнітного поля є також змінне електричне полі, магнітне дію якого характеризується струмом усунення. (-Щільність струму зміщення).

В інтегральному вигляді друге рівняння Максвелла (Теорема про циркуляцію магнітного поля) представлено таким чином:

Циркуляція вектора напруженості магнітного поля за довільним контуром дорівнює сумі алгебри струмів провідності і струму зміщення, зчеплених з контуром.

Коли Максвел вводив рівняння (понад сто років тому!), природа електромагнітного поля була не зрозуміла. Нині природа поля з'ясована, і зрозуміли, що може бути названо «струмом» лише формально. По ряду розрахункових міркувань таку назву, не надаючи йому прямого фізичного сенсу, доцільно зберегти, що у електротехніці і робиться. З цієї причини вектор D, що входить у вираз для струму зміщення, називають вектором електричного зміщення.

Крім перших двох рівнянь у систему рівнянь Максвелла входить теорема Гаусса-Остроградського для електричного та магнітного полів:

де - Електричного заряду.

Що в інтегральному вигляді являє собою таке:

де - Потік електричного зміщення - потік магнітної індукції крізь замкнуту поверхню, що охоплює вільний заряд q.

Сенс рівняння 3.2. Електричний заряд – джерело електричної індукції.

Рівняння 4.2 висловлює факт відсутності вільних магнітних зарядів.

Повна система рівнянь Максвелла у диференціальному вигляді (характеризує поле у ​​кожній точці простору):

Повна система рівнянь Максвелла в інтегральному вигляді

Повна система рівнянь Максвелла в інтегральному вигляді (інтегральна форма запису рівнянь полегшує їх фізичну інтерпретацію так як робить їх візуально ближче до відомих емпіричних законів):

Систему рівнянь Максвелла доповнюють «матеріальними рівняннями», які зв'язують вектори c величинами, що описують електричні та магнітні властивості середовища.

де - відносна діелектрична проникність, - відносна магнітна проникність, -питома електропровідність, - електрична постійна, - магнітна постійна. Середовище передбачається ізотропною, неферромагнітною, несегнетоелектричною.

На межі розділу двох середовищ виконуються граничні умови:

де - поверхнева щільність вільних зарядів, n- одиничний вектор нормалі до межі розділу, проведений з середовища 2 в 1, одиничний вектор, що стосується кордону, - проекція вектора щільності поверхневих струмів провідності на одиничний вектор.

Дані рівняння виражають безперервність нормальних складових вектора магнітної індукції та стрибок нормальних складових вектора зміщення. Безперервність дотичних складових вектора напруженостей електричного поля на межі розділу та стрибок цих складових для напруженості магнітного поля.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

ПРИКЛАД 2

Третє рівняння Максвелла є узагальненням закону Гауса на випадок змінних процесів. Закон Гауса пов'язує потік вектора електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню S із зарядом Q, зосередженим усередині цієї поверхні:

де dS = n0 dS; n0 - орт зовнішньої нормалі до поверхні S.

До Максвелла рівняння (1.40) розглядалося лише у застосуванні до постійним полям. Максвелл припустив, що він справедливий і у разі змінних полів.

Заряд Q може бути довільно розподілений усередині поверхні S. Тому у випадку

де ρ – об'ємна густина зарядів; V- об'єм, обмежений поверхнею S. Об'ємна щільність зарядів

де ΔQ – заряд, зосереджений обсягом ΔV. Розмірність ρ – кулон на кубічний метр(Кл/м3).

Підставляючи (1.41) (1.40), отримуємо

. (1.43)

Рівняння (1.43) зазвичай називають третім рівнянням Максвелла в інтегральній формі.Для переходу до диференціальної форми перетворюємо ліву частинуцього рівняння з теореми Остроградського-Гаусса (П. 19). В результаті отримаємо:

.

Ця рівність має виконуватися при довільному обсязі V, що можливо тільки в тому випадку, якщо

divD = ρ. (1.44)

Співвідношення (1.44) прийнято називати третім рівнянням Максвелла. У декартовій системікоординат воно записується як

.

З рівності (1.44) випливає, що дивергенція вектора D відмінна від нуля у тих точках простору, де є вільні заряди. У цих точках лінії вектора D мають початок (витік) або кінець (стік). Лінії вектора D починаються на позитивних зарядах та закінчуються – на негативних.

На відміну від вектора D витоками (стоками) вектора можуть бути як вільні, так і пов'язані заряди. Щоб показати це, перепишемо рівняння (1.44) для вектора Е. Підставляючи співвідношення (1.4) до (1.44), отримуємо εоdiv Е = ρ – div P. Другий доданок у правій частині цієї рівності має сенс об'ємної щільностізарядів , що виникають внаслідок нерівномірної поляризації середовища (такі заряди називатимемо поляризаційними):

divP = -. (1.45)

Пояснимо виникнення поляризаційних зарядів на наступний приклад. Нехай є поляризоване середовище (рис. 1.8). Виділимо подумки всередині неї об'єм ΔV, обмежений поверхнею ΔS. Внаслідок поляризації в середовищі відбувається зміщення зарядів, пов'язаних з молекулами речовини. Якщо обсяг ΔV малий, а поляризація нерівномірна, то обсяг ΔV з одного боку може увійти більше зарядів, ніж вийде з іншого (на рис. 1.8 обсяг ΔVпоказаний пунктиром). Підкреслимо, що поляризаційні заряди є "пов'язаними" і виникають лише під дією електричного поля. Знак мінус у формулі (1.45) випливає із визначення вектора Р (див. 1.2.1).

Мал. 1.8. Поляризоване середовище

Лінії вектора Р починаються на негативних зарядахта закінчуються на позитивних. З урахуванням формули (1.45) приходимо до співвідношення εоdiv Е = ρ + ρp, з якого і випливає зроблене вище твердження, що витоками (стоками) ліній вектора Е (силових ліній електричного поля) є як вільні, так і пов'язані заряди.

Четверте рівняння Максвелла в інтегральній формі збігається із законом Гауса для магнітного поля, який можна сформулювати в такий спосіб. Потік вектора через будь-яку замкнуту поверхню S дорівнює нулю, тобто.

.(1.46)

Це означає, що не існує ліній вектора, які тільки входять у замкнуту поверхню S (або, навпаки, тільки виходять з поверхні S): вони завжди пронизують її (рис. 1.9).

Мал. 1.9. Лінії вектора В, що пронизують поверхню S

Рівняння (1.46) називають четвертим рівнянням Максвелла в інтегральній формі.До диференціальної форми рівняння (1.46) можна перейти з допомогою теореми Остроградського-Гаусса як і, як було зроблено у разі третього рівняння Максвелла. В результаті отримаємо

divB = 0. (1.47)

Рівняння (1.47) є четвертим рівнянням Максвелла. Воно показує, що у природі відсутні відокремлені магнітні заряди одного знака. З цього рівняння також випливає, що лінії вектора ( силові лініїмагнітного поля) є безперервними.