Як знайти площу бічний. Площа бічної поверхні різних пірамід

Перед вивченням питань про дану геометричну фігуру та її властивості слід розібратися в деяких термінах. Коли людина чує про піраміду, йому видаються величезні споруди в Єгипті. Так виглядають найпростіші з них. Але вони бувають різних видіві форм, отже, і формула обчислення для геометричних фігур буде різною.

Піраміда – геометрична фігура , Що позначає і є кілька граней. По суті - це той же багатогранник, в основі якого лежить багатокутник, а з боків розташовані трикутники, що з'єднуються в одній точці - вершині. Фігура буває двох основних видів:

• правильна;
• усічена.

У першому випадку, в основі лежить правильний багатокутник. Тут все бічні поверхнірівніміж собою і сама постать порадує око перфекціоніста.

У другому випадку, підстав дві - велика в самому низу і мала між вершиною, що повторює форму основного. Іншими словами – усічена піраміда є багатогранником з перетином, утвореним паралельно підставі.

Терміни та позначення

Основні терміни:

• Правильний (рівносторонній) трикутник– фігура з трьома однаковими кутами та рівними сторонами. І тут всі кути мають 60 градусів. Фігура є найпростішою із правильних багатогранників. Якщо ця фігура лежить в основі, то такий багатогранник називатиметься правильною трикутною. Якщо в основі лежить квадрат, піраміда називатиметься правильною чотирикутною пірамідою.
• Вершина- Найвища точка, де сходяться грані. Висота вершини утворюється прямою лінією, що виходить від вершини до основи піраміди.
• Грань- Одна з площин багатокутника. Вона може бути у вигляді трикутника у випадку з трикутною пірамідою або у вигляді трапеції для усіченої піраміди.
• Переріз – плоска фігура, що утворюється в результаті розсічення Не варто плутати з розрізом, тому що розріз показує і те, що знаходиться за перетином.
• Апофема- Відрізок, проведений з вершини піраміди до її основи. Він також є висотою тієї межі, де знаходиться друга точка висоти. Дане визначеннясправедливо лише стосовно правильному багатограннику. Наприклад – якщо це не усічена піраміда, то грань буде трикутником. У даному випадкувисота цього трикутника і стане апофемою.

Формули площі

Знаходити площу бічної поверхні пірамідибудь-якого типу можна кількома способами. Якщо фігура не симетрична і є багатокутником з різними сторонами, то в даному випадку легше вирахувати загальну площуповерхні через сукупність усіх поверхонь. Іншими словами – треба порахувати площу кожної грані та скласти їх разом.

Залежно від того, які параметри відомі, можуть бути потрібні формули обчислення квадрата, трапеції, довільного чотирикутника і т.д. Самі формули в різних випадках теж матимуть відмінності.

У разі правильної фігурою знаходити площу набагато простіше. Достатньо знати лише кілька ключових параметрів. У більшості випадків потрібні обчислення саме для таких фігур. Тому надалі будуть наведені відповідні формули. В іншому випадку довелося б розписати все на кілька сторінок, що тільки заплутає і зіб'є з пантелику.

Основна формула для обчисленняплощі бічної поверхні правильної пірамідибуде мати наступний вигляд:

S=½ Pa (P – периметр основи, а – апофема)

Розглянемо один із прикладів. Багатогранник має основу з відрізками A1, А2, А3, А4, А5, і всі вони дорівнюють 10 см. Апофема нехай дорівнюватиме 5 см. Для початку треба знайти периметр. Так як всі п'ять граней основи однакові, можна знаходити так: Р = 5 * 10 = 50 см. Далі застосовуємо основну формулу: S = ½ * 50 * 5 = 125 см в квадраті.

Площа бічної поверхні правильною трикутної піраміди обчислити найлегше. Формула має такий вигляд:

S =½* ab *3, де а – апофема, b – межа основи. Множина трійки тут означає кількість граней основи, а перша частина – площа бічної поверхні. Розглянемо приклад. Дана фігура з апофемою 5 см і гранню основи 8 см. Обчислюємо: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 см у квадраті.

Площа бічної поверхні усіченої пірамідиобчислювати трохи складніше. Формула має такий вигляд: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , де р_01 і р_02 є периметрами основ, а – апофема. Розглянемо приклад. Допустимо, для чотирикутної фігури дано розміри сторін основ і 6 см, апофема дорівнює 4 см.

Тут для початку слід визначити периметри основ: р_01 = 3 * 4 = 12 см; р_02=6*4=24 див. Залишилося підставити значення основну формулу і отримаємо: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 див у квадраті.

Таким чином, можна знайти площу бічної поверхні правильної піраміди будь-якої складності. Слід бути уважним і не плутатиці обчислення з повною площею всього багатогранника. А якщо це все ж таки знадобиться зробити - досить обчислити площу найбільшої основи багатогранника і додати її до площі бічної поверхні багатогранника.

Відео

Закріпити інформацію про те, як знайти площу бічної поверхні різних пірамід, вам допоможе це відео.

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.

Під час підготовки до ЄДІ з математики учням доводиться систематизувати знання з алгебри та геометрії. Хочеться поєднати всі відомі відомості, наприклад, про те, як обчислити площу піраміди. Причому від основи і бічних граней до площі всієї поверхні. Якщо з бічними гранями ситуація зрозуміла, оскільки вони є трикутниками, то основа завжди різна.

Як бути при знаходженні площі основи піраміди?

Воно може бути абсолютно будь-якою фігурою: від довільного трикутникадо n-кутника. І ця підстава, крім відмінності у кількості кутів, може бути правильною фігурою чи неправильною. У школярів, що цікавлять завданнями з ЄДІ зустрічаються тільки завдання з правильними фігурами в основі. Тому йтиметься лише про них.

Правильний трикутник

Тобто рівнобічний. Той, у якого всі сторони рівні та позначені буквою «а». У цьому випадку площа основи піраміди обчислюється за формулою:

S = (а 2 * √3) / 4.

Квадрат

Формула для обчислення його площі найпростіша, тут «а» - знову бік:

Довільний правильний n-кутник

У сторони багатокутника те саме позначення. Для кількості кутів використовується латинська літера n.

S = (n * а 2) / (4 * tg (180 º / n)).

Як вчинити при обчисленні площі бічної та повної поверхні?

Оскільки в основі лежить правильна фігура, всі грані піраміди виявляються рівними. Причому кожна з них є рівнобедреним трикутником, оскільки бічні ребрарівні. Тоді для того, щоб вирахувати бічну площупіраміди, знадобиться формула, що складається із суми однакових одночленів. Число доданків визначається кількістю сторін основи.

Площа рівнобедреного трикутникаобчислюється за формулою, у якій половина добутку основи множиться на висоту. Ця висота в піраміді називається апофемою. Її позначення – «А». Загальна формула для площі бічної поверхні виглядає так:

S = ½ Р * А, де Р - периметр основи піраміди.

Бувають ситуації, коли не відомі сторони основи, але дано бічні ребра (в) і плоский кутпри її вершині (?). Тоді потрібно використовувати таку формулу, щоб обчислити бічну площу піраміди:

S = n/2 * у 2 sin α .

Завдання №1

Умови.Знайти загальну площу піраміди, якщо в його основі лежить зі стороною 4 см, а апофема має значення 3 см.

Рішення.Його починати потрібно з розрахунку периметра основи. Оскільки це правильний трикутник, то Р = 3*4 = 12 см. Оскільки апофема відома, можна відразу обчислити площу всієї бічної поверхні: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .

Для трикутника в основі вийде таке значення площі: (4 2 * 3) / 4 = 4 √ 3 см 2 .

Для визначення всієї площі потрібно скласти два значення: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .

Відповідь. 10√3 см 2 .

Завдання № 2

Умова. Є правильна чотирикутна піраміда. Довжина сторони основи дорівнює 7 мм, бічне ребро - 16 мм. Необхідно дізнатися площу її поверхні.

Рішення.Оскільки багатогранник чотирикутний і правильний, то в його основі лежить квадрат. Дізнавшись площі основи та бічних граней, вдасться порахувати площу піраміди. Формула для квадрата дана вище. А у бічних граней відомі усі сторони трикутника. Тому можна використовувати формулу Герона для обчислення їх площ.

Перші розрахунки прості і призводять до такої кількості: 49 мм 2 . Для другого значення потрібно обчислити напівпериметр: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 мм. Тепер можна обчислювати площу рівнобедреного трикутника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких трикутників всього чотири, тому за підрахунку підсумкового числа потрібно його помножити на 4.

Виходить: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм2.

Відповідь. Шукане значення 267,576 мм2.

Завдання №3

Умова. У правильної чотирикутної пірамідинеобхідно обчислити площу. У ній відома сторона квадрата – 6 см і висота – 4 см.

Рішення.Найпростіше скористатися формулою з добутком периметра та апофеми. Перше значення знайти просто. Друге трохи складніше.

Доведеться згадати теорему Піфагора і розглянути Він утворений висотою піраміди та апофемою, яка є гіпотенузою. Другий катет дорівнює половині сторони квадрата, оскільки висота багатогранника падає у його середину.

Шукана апофема (гіпотенуза прямокутного трикутника) дорівнює √ (32 + 42) = 5 (см).

Тепер можна обчислювати потрібну величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Відповідь. 96 см 2 .

Завдання № 4

Умови.Дана правильна Сторониїї основи дорівнюють 22 мм, бічні ребра — 61 мм. Чому дорівнює площа бічної поверхні цього багатогранника?

Рішення.Міркування в ній такі самі, як були описані в задачі №2. Тільки там була дана піраміда з квадратом у основі, а тепер це шестикутник.

Насамперед обчислюється площа підстави за зазначеною вище формулою: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .

Тепер необхідно дізнатися напівпериметр рівнобедреного трикутника, який є бічною гранню. (22+61*2):2 = 72 см. Залишилося за формулою Герона порахувати площу кожного такого трикутника, а потім помножити її на шість і скласти з тієї, що вийшла на підставу.

Розрахунки за формулою Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Обчислення, що дадуть площу бічної поверхні: 660*6 = 3960 см 2 . Залишилося їх скласти, щоб дізнатися всю поверхню: 5217,47-5217 см 2 .

Відповідь.Підстави - 726√3 см 2 , бічної поверхні - 3960 см 2 , вся площа - 5217 см 2 .

– це багатогранна фігура, В основі якої лежить багатокутник, а інші грані представлені трикутниками із загальною вершиною.

Якщо в основі лежить квадрат, то піраміду називається чотирикутний, якщо трикутник - то трикутної. Висота піраміди проводиться з її вершини перпендикулярно до основи. Також для розрахунку площі використовується апофема- Висота бічної грані, опущена з її вершини.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ її бічних граней, які рівні між собою. Однак цей спосіб розрахунку застосовується вкрай рідко. В основному площа піраміди розраховується через периметр основи та апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.

Нехай дана піраміда з основою ABCDE та вершиною F . AB = BC = CD = DE = EA = 3 см. Апофема a = 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.
Знайдемо периметр. Оскільки всі грані основи рівні, то периметр п'ятикутника дорівнюватиме:
Тепер можна знайти бічну площу піраміди:

Площа правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда складається з основи, в якій лежить правильний трикутник і трьох бічних граней, які рівні площі.
Формула площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди може бути розрахована різними способами. Можна застосувати звичайну формулу розрахунку через периметр та апофему, а можна знайти площу однієї грані та помножити її на три. Оскільки грань піраміди – це трикутник, то застосуємо формулу площі трикутника. Для неї буде потрібна апофема і довжина основи. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Дано піраміду з апофемою a = 4 см і гранню основи b = 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Для початку знаходимо площу однієї з бічних граней. В даному випадку вона буде:
Підставляємо значення у формулу:
Бо у правильній піраміді все бічні сторониоднакові, то площа бічної поверхні піраміди дорівнюватиме сумі площ трьох граней. Відповідно:

Площа усіченої піраміди

Усіченоюпірамідою називається багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі.
Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди дуже проста. Площа дорівнює добутку половини суми периметрів підстав на апофему:

Площа бічної поверхні довільної піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней. Спеціальну формулу для вираження цієї площі має сенс дати у разі правильної піраміди. Так, нехай дана правильна піраміда, в основі якої лежить правильний n-кутник зі стороною, що дорівнює а. Нехай h - висота бічної грані, називається також апофемоюпіраміди. Площа однієї бічної грані дорівнює 1/2ah, а вся бічна поверхня піраміди має площу, рівну n/2ha.

Площа бічної поверхніправильної піраміди дорівнює добутку її апофеми на половину периметра основи.

Що стосується площі повної поверхні , то просто до бічної додаємо площу основи.

Вписані та описані сфера та куля. Слід зазначити, що центр вписаної в піраміду сфери лежить на перетині бісекторних площин внутрішніх двогранних кутівпіраміди. Центр описаної біля піраміди сфери лежить на перетині площин, що проходять через середини ребер піраміди та перпендикулярні їм.

Усічена піраміда.Якщо піраміду розсічено площиною, паралельною її основи, то частина, укладена між січною площиною та основою, називається усіченою пірамідою.На малюнку показана піраміда, відкидаючи її частину, що лежить вище за січну площину, отримуємо усічену піраміду. Зрозуміло, що мала піраміда, що відкидається, гомотетична великій піраміді з центром гомотетії у вершині. Коефіцієнт подібності дорівнює відношеннювисот: k=h 2 /h 1 або бічних ребер, або інших відповідних лінійних розмірів обох пірамід. Ми знаємо, що площі подібних фігур відносяться як квадрати лінійних розмірів; так площі основ обох пірамід (тобто пощади основ усіченої піраміди) відносяться, як

Тут S 1 - площа нижньої основи, а S 2 - площа верхньої основи усіченої піраміди. У такому ж відношенні знаходяться бічні поверхні пірамід. Подібне правилоє і обсягів.

Об'єми подібних тілставляться, як куби їх лінійних розмірів; наприклад, обсяги пірамід ставляться, як твори їх висот площі підстав, звідки наше правило виходить відразу. Воно має зовсім загальний характері прямо випливає з того, що обсяг має розмірність третього ступеня довжини. Користуючись цим правилом, виведемо формулу, що виражає обсяг усіченої піраміди через висоту та площі основ.

Нехай дана усічена піраміда з висотою h і площами основ S1 і S2. Якщо уявити, що вона продовжена до повної піраміди, то коефіцієнт подібності повної піраміди і малої піраміди легко знайти, як корінь із відношення S 2 /S 1 . Висота зрізаної піраміди виражається як h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Тепер маємо для обсягу зрізаної піраміди (через V 1 і V 2 позначені обсяги повної та малої пірамід)

формула об'єму усіченої піраміди

Виведемо формулу площі S бічної поверхні правильної усіченої піраміди через периметри Р 1 і Р 2 основ та довжину апофеми а. Розмірковуємо так само, як і при виведенні формули для обсягу. Доповнюємо піраміду верхньою частиною, маємо P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , де k - коефіцієнт подібності, P 1 і P 2 - периметри основ, а S 1 і S 2 - коні бічних поверхонь всієї отриманої піраміди та її верхньої частини відповідно. Для бічної поверхні знайдемо (а 1 і а 2 – апофеми пірамід, а = а 1 – а 2 = а 1 (1-k))

формула площі бічної поверхні правильної усіченої піраміди

Яку постать ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, що сходяться в одній загальної вершині. Ось тепер, розібравшись із терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.

Зрозуміло, що площа такої поверхні геометричного тіласкладеться із суми площ основи та всієї його бічної поверхні.

Обчислення площі основи піраміди

Вибір розрахункової формулизалежить від форми багатокутника, що лежить в основі нашої піраміди. Він може бути правильним, тобто зі сторонами однакової довжини, або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.

В основі – правильний багатокутник

З шкільного курсувідомо:

• площа квадрата дорівнюватиме довжині його сторони, зведеній у квадрат;
• площа рівностороннього трикутникадорівнює квадрату його сторони, поділеному на 4 і помноженому на квадратний коріньіз трьох.

Але існує і загальна формуладля розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn=1/2P*r.

В основі – неправильний багатокутник

Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них за формулою: 1/2a * h (де а - основа трикутника, h - опущена на цю основу висота), скласти всі результати.

Площа бічної поверхні піраміди

Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто. суму площ усіх її бокових сторін. Тут також можливі 2 варіанти.

1. Нехай ми маємо довільну піраміду, тобто. така, в основі якої – неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площу кожної грані та скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1/2a * h.
2. Нехай наша піраміда – правильна, тобто. у її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється у його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) достатньо знайти половину добутку периметра багатокутника-основи (Р) на висоту (h) бічної сторони (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається додаванням довжин всіх його сторін.

Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її основи з площею всієї бічної поверхні.

Приклади

Для прикладу обчислимо алгебраїчну площу поверхні декількох пірамід.

Площа поверхні трикутної піраміди

В основі такої піраміди – трикутник. За формулою Sо=1/2a*h знаходимо площу основи. Цю ж формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, що також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 та S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і основи, отримаємо повну площу поверхні шуканої піраміди: Sп = Sо + Sб.

Площа поверхні чотирикутної піраміди

Площа бічної поверхні - це сума 4-х доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площу основи доведеться шукати, залежно від форми чотирикутника – правильного чи неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі основи та повної площіповерхні заданої піраміди.