Сенс хвильової функції у тому. Хвильова функція

Як відомо, основне завдання класичної механіки полягає у визначенні положення макрооб'єкта у будь-який момент часу. Для цього складається система рівнянь, вирішення якої дозволяє з'ясувати залежність радіус-вектора від часу. t. У класичної механікистан частки при її русі в кожний момент визначається двома величинами: радіус-вектором і імпульсом . Таким чином, класичний опис руху частинки правомірно, якщо воно відбувається в області з характерним розміром, набагато більшим, ніж довжина хвилі де Бройля. В іншому випадку (наприклад, поблизу ядра атома) слід брати до уваги хвильові властивостімікрочастинок. Про обмежену застосовність класичного описумікрооб'єктів, що мають хвильові властивості, і свідчать про співвідношення невизначеностей.

З урахуванням наявності у мікрочастинки хвильових властивостей її стан квантової механікизадається за допомогою деякої функції координат та часу (x, y, z, t) , званою хвильовий або - функцією . У квантової фізикивводиться комплексна функція, що описує чистий стан об'єкта, яка називається функцією хвиль. У найбільш поширеній інтерпретації ця функція пов'язана з ймовірністю виявлення об'єкта в одному з чистих станів (квадрат модуля хвильової функціїє щільністю ймовірності).

Відмовившись від опису руху частинки за допомогою траєкторій, одержуваних із законів динаміки, і визначивши натомість хвильову функцію, необхідно ввести до розгляду рівняння, еквівалентне законам Ньютона і дає рецепт для знаходження рішення у приватних фізичних завданнях. Таким рівнянням є рівняння Шредінгера.

Теорія, що описує рух малих частинок з урахуванням їх хвильових властивостей, називається квантовий , або хвильовою механікою. Багато положень цієї теорії здаються дивними і незвичними з погляду уявлень, що склалися щодо класичної фізики. Слід завжди пам'ятати, що критерієм правильності теорії, якою дивною вона не здавалася б спочатку, є збіг її наслідків з досвідченими даними. Квантова ж механіка у своїй галузі (будова та властивості атомів, молекул та частково атомних ядер) чудово підтверджується досвідом.

Хвильова функція визначає стан частки у всіх точках просторута для будь-якого моменту часу. Для розуміння фізичного сенсу хвильової функції звернемося до дослідів щодо дифракції електронів. (Досліди Томсона та Тартаковського з пропускання електронів через тонку металеву фольгу). Виявляється, що чіткі дифракційні картини виявляються у тому разі, якщо спрямовувати на мета поодинокі електрони, тобто. коли кожен наступний електрон випускається після того, як попередній досягне екрану. Після достатнього тривалого бомбардування картина на екрані точно відповідатиме тій, яка виходить при одночасному напрямку на мішень. великої кількостіелектронів.

З цього можна дійти невтішного висновку у тому, рух будь-якої мікрочастинки окремо, зокрема і місце її виявлення, підпорядковується статистичним (імовірнісним) закономірностям, і за напрямі на мету одиночного електрона точку на екрані, де він буде зафіксований, заздалегідь зі 100% -й упевненістю передбачити неможливо.

У дифракційних дослідах Томсона на фотопластинці утворювалася система темних концентричних кілець. Можна з упевненістю сказати, що можливість виявлення (попадання) кожного випущеного електрона в різних місцях фотопластинки неоднакова. В області темних концентричних кілець ця ймовірність більша, ніж в інших місцях екрану. Розподіл електронів по всьому екрану виявляється таким самим, яким є розподіл інтенсивності електромагнітної хвилі в аналогічному дифракційному досвіді: там, де інтенсивність рентгенівської хвилівелика, частинок досвіді Томсона реєструється багато, там, де інтенсивність мала - частки майже з'являються.

З хвильової погляду наявність максимуму числа електронів у деяких напрямах означає, що це напрями відповідають найбільшої інтенсивності хвилі де Бройля. Це стало підставою для статистичного (імовірнісного) тлумачення хвилі де Бройля. Хвильова функція якраз і є математичним виразом, що дозволяє описати поширення будь-якої хвилі у просторі. Зокрема, можливість знайти частинку в цій галузі простору пропорційна квадрату амплітуди хвилі, пов'язаної з часткою.

Для одновимірного руху (наприклад, у напрямку осі Ox) ймовірність dPвиявлення частки у проміжку між точками xі x + dxу момент часу tдорівнює

dP = , (6.1)

де | (x,t)| 2 = (x, t) *(x,t) - Квадрат модуля хвильової функції (значок * позначає комплексне сполучення).

У загальному випадкупри русі частинки в тривимірному просторіймовірність dPвиявлення частки у точці з координатами (x, y, z)в межах нескінченно малого обсягу dVзадається аналогічним рівнянням : dP =|(x, y, z, t)|2 dV. Вперше імовірнісну інтерпретаціюхвильової функції дав Борн у 1926р.

Імовірність виявити частинку у всьому нескінченному просторі дорівнює одиниці. Звідси випливає умова нормування хвильової функції:

. (6.2)

Величина є щільністю ймовірності , або, що ж, щільністю розподіл координат частинок. У найпростішому випадку одновимірного руху частинки вздовж осі ОXсереднє значення її координати обчислюється наступним співвідношенням:

<x(t)>= . (6.3)

Щоб хвильова функція була об'єктивною характеристикою стану мікрочастинки, вона повинна задовольняти низку обмежувальних умов. Функція Ψ, що характеризує ймовірність виявлення мікрочастинки в елементі об'єму, має бути кінцевою (імовірність не може бути більше одиниці), однозначною (ймовірність не може бути неоднозначною величиною), безперервною (ймовірність не може змінюватися стрибком) і гладкою (без зламів) у всьому просторі.

Хвильова функція задовольняє принцип суперпозиції: якщо система може перебувати в різних станах, що описуються хвильовими функціями Ψ1, Ψ2 , Ψ n, то вона може перебувати в стані, що описується лінійною комбінацією цих функцій:

, (6.4)

де Cn(n= 1, 2, 3) - довільні, загалом кажучи, комплексні числа.

Складання хвильових функцій (амплітуд ймовірностей, що визначаються квадратами модулів хвильових функцій) принципово відрізняє квантову теорію від класичної статистичної теорії, в якій для незалежних подійсправедлива теорема складання ймовірностей.

Хвильова функція Ψ є основною характеристикою стану мікрооб'єктів.

Наприклад, середня відстань<r> електрона відядра обчислюється за такою формулою:

,

де обчислення проводяться, як і у разі (6.3). Таким чином, точно передбачити в дифракційних дослідах, де екрана буде зафіксований той чи інший електрон, неможливо, навіть знаючи його хвильову функцію. Можна лише з певною ймовірністю припустити, що електрон буде зафіксовано в певному місці. У цьому вся відмінність поведінки квантових об'єктів від класичних. У класичній механіці при описі руху макротіл ми зі 100%-ю ймовірністю знали заздалегідь, де простору буде перебувати матеріальна точка(наприклад, космічна станція) у будь-який момент часу.

Де Бройль використовував уявлення про фазові хвилі (хвилі речовини або хвилі де Бройля) для наочного тлумачення правила квантування орбіт електрона в атомі по Бору у разі одноелектронного атома. Він розглянув фазову хвилю, що біжить навколо ядра по круговій орбіті електрона. Якщо на довжині орбіти укладається ціла кількість цих хвиль, то хвиля при обході навколо ядра щоразу повертатиметься в вихідну точкуз тією ж фазою та амплітудою. І тут орбіта стає стаціонарною і виникає випромінювання. Де Бройль записав умову стаціонарності орбіти або правило квантування у вигляді:

де R- радіус кругової орбіти, п- ціле число (головне квантове число). Вважаючи тут та враховуючи, що L = RPє момент імпульсу електрона, отримаємо:

що збігається з правилом квантування орбіт електрона в атомі водню за Бором.

У надалі умова(6.5) вдалося узагальнити і у разі еліптичних орбіт, коли довжина хвилі змінюється вздовж траєкторії електрона. Проте, в міркуваннях де Бройля передбачалося, що хвиля поширюється над просторі, а вздовж лінії - вздовж стаціонарної орбітиелектрону. Цим наближенням можна користуватися в граничному випадку, коли довжина хвилі дуже мала в порівнянні з радіусом орбіти електрона.

Хвильова функція
Wave function

Хвильова функція (Або вектор стану) - комплексна функція, що описує стан квантовомеханічної системи. Її знання дозволяє отримати максимально повні відомостіпро систему, принципово досяжні в мікросвіті. Так з її допомогою можна розрахувати всі вимірювані Фізичні характеристикисистеми, ймовірність перебування їх у певному місці простору та еволюцію у часі. Хвильова функція може бути знайдена в результаті розв'язання хвильового рівняння Шредінгера.
Хвильова функція ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) точкової безструктурної частки є комплексною функцією координат цієї частки та часу. Найпростішим прикладом такої функції є хвильова функція вільної частки з імпульсом та повною енергією Е ( плоска хвиля)

.

Хвильова функція системи частинок А містить координати всіх частинок: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Квадрат модуля хвильової функції окремої частки ψ (, t) | 2 = ψ * (, t) ψ (, t) дає можливість виявити частинку в момент часу t в точці простору, що описується координатами, а саме, | ψ (, t) | 2 dv ≡ | ψ (x, y, z, t) | 2 dxdydz це можливість знайти частинку в області простору об'ємом dv = dxdydz навколо точки x, y, z. Аналогічно, можливість знайти у момент часу t систему А частинок з координатами 1 , 2 ,..., A елементі обсягу багатовимірного простору дається величиною | ψ (1, 2, ..., A, t) | 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Хвильова функція повністю визначає всі фізичні властивості квантової системи. Так середнє спостерігається значення фізичної величини F у системи дається виразом

,

де - оператор цієї величини та інтегрування проводиться по всій області багатовимірного простору.
Як незалежні змінні хвильової функції замість координат частинок x, y, z можуть бути обрані їх імпульси p x , p y , p z або інші набори фізичних величин. Цей вибір залежить від уявлення (координатного, імпульсного чи іншого).
Хвильова функція ψ (,t) частки не враховує її внутрішніх характеристик і ступенів свободи, тобто описує її рух як цілого безструктурного (точкового) об'єкта деякою траєкторією (орбітою) у просторі. Цими внутрішніми характеристиками частинки можуть бути її спин, спіральність, ізоспін (для сильновзаємодіючих частинок), колір (для кварків та глюонів) та деякі інші. Внутрішні характеристики частки задаються спеціальною функцією її хвильової внутрішнього стануφ. При цьому повна хвильова функція частки може бути представлена ​​у вигляді добутку функції орбітального руху ψ і внутрішньої функції φ:

оскільки зазвичай внутрішні характеристики частки та її ступеня свободи, що описують орбітальний рух, Не залежать один від одного.
Як приклад обмежимося нагодою, коли єдиною внутрішньою характеристикою, що враховується функцією , є спин частки, причому цей спин дорівнює 1/2. Частка з таким спином може перебувати в одному з двох станів - з проекцією спина на вісь z, що дорівнює +1/2 (спин вгору), і з проекцією спина на вісь z, що дорівнює -1/2 (спин вниз). Цю двоїстість описують спиновою функцією взятою у вигляді двокомпонентного спинора:

Тоді хвильова функція Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ описуватиме рух частинки зі спином 1/2, спрямованим вгору, по траєкторії, що визначається функцією ψ , а хвильова функція Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ буде описувати рух по тій же траєкторії цієї частини, але зі спином, спрямованим вниз.
Наприкінці зазначимо, що у квантової механіці можливі такі стану, які можна описати з допомогою хвильової функції. Такі стани називають змішаними та їх описують у межах складнішого підходу, що використовує поняття матриці щільності. Стан квантової системи, що описуються хвильовою функцією, називають чистими.

Дифракційна картина, що спостерігається для мікрочастинок, характеризується неоднаковим розподілом потоків мікрочастинок у різних напрямках - є мінімуми та максимуми в інших напрямках. Наявність максимумів у дифракційної картині означає, що у цих напрямах розподіляються хвилі де Бройля із найбільшою інтенсивністю. А інтенсивність буде максимальною, якщо у цьому напрямі поширюється максимальна кількість частинок. Тобто. дифракційна картинадля мікрочастинок є проявом статистичної (імовірнісної) закономірності у розподілі частинок: де інтенсивність хвилі де Бройля максимальна, там і частинок більша.

Хвилі де Бройля у квантовій механіці розглядаються як хвилі ймовірності,тобто. ймовірність виявити частинку в різних точках простору змінюється за хвильовим законом (тобто  е - iωt). Але для деяких точок простору така ймовірність буде негативною (тобто частка не потрапляє до цієї області). М. Борн (німецький фізик) припустив, що за хвильовим законом змінюється не сама ймовірність, а амплітуда ймовірності,яку також називають хвильовою функцією або -функцією (псі – функцією).

Хвильова функція – функція координат та часу.

Квадрат модуля псі-функції визначає ймовірність того, що частка буде виявлено в межах обсягуdV - фізичний сенсмає сама пси-функция, а квадрат її модуля.

Ψ * - функція комплексно пов'язана з Ψ

(z = a +ib, z * = a-ib, z * - комплексно пов'язане)

Якщо частка знаходиться в кінцевому обсязі V,то можливість виявити її в цьому обсязі дорівнює 1 (достовірна подія)

Р= 1 

У квантовій механіці приймається, що Ψ та АΨ, де А = const, описують те саме стан частинки. Отже,

Умова нормування

інтеграл по , означає, що він обчислюється за безмежним обсягом (простір).

 - функція має бути

1) кінцевої (оскільки Рне може бути більше1),

2) однозначною (не можна виявити частинку за незмінних умов із ймовірністю припустимо 0,01 і 0,9, оскільки ймовірність має бути однозначною).

безперервної (випливає з неприривності простору. Завжди є можливість виявити частинку в різних точках простору, але для різних точоквона буде різна),

Хвильова функція задовольняє принципом суперпозиції: якщо система може знаходиться в різних станах, що описуються хвильовими функціями  1 , 2 ... n , то вона може знаходиться в стані , що описується лінійною комбінацією цих функцій:

З n (n=1,2...) - будь-які числа.

За допомогою хвильової функції обчислюються середні значення будь-якої фізичної величини частки

§5 Рівняння Шредінгера

Рівняння Шредінгера, як та інші основні рівняння фізики (рівняння Ньютона, Максвелла), не виводиться, а постулюється. Його слід розглядати як вихідне основне припущення, справедливість якого доводиться тим, що всі слідства, що випливають з нього, точно узгоджуються з експериментальними даними.

(1)

Тимчасове рівняння Шредінгера.

Набла – оператор Лапласа

Потенційна функція частки у силовому полі,

Ψ(y,z,t) - потрібна функція

Якщо силове поле, у якому рухається частка, стаціонарно (тобто не змінюється з часом), то функція Uне залежить від часу і має сенс потенційної енергії. У цьому випадку рішення рівняння Шредінгера (тобто Ψ – функція) може бути представлене у вигляді твору двох співмножників – один залежить тільки від координат, інший – тільки від часу:

(2)

Е- Повна енергія частки, постійна у разі стаціонарного поля.

Підставивши (2)  (1):

(3)

Шредінгера для стаціонарних станів.

Є безліч рішень. З допомогою накладання граничних умов відбирають рішення, які мають фізичне значення.

Граничні умови:

хвильові функції мають бути регулярними, тобто.

1) кінцевими;

2) однозначними;

3) безперервними.

Рішення, що задовольняють рівняння Шредінгера, називаються власнимифункціями, а відповідні їм значення енергії - власними значеннямиенергії. Сукупність власних значень називається спектромвеличини. Якщо Е nприймає дискретні значення, то спектр - дискретний, якщо безперервні - суцільний чи безперервний.

ХВИЛЬНА ФУНКЦІЯ, в КВАНТОВІЙ МЕХАНІЦІ функція, що дозволяє знайти ймовірність того, що квантова система знаходиться в деякому стані s в момент часу t. Зазвичай пишеться: (s) або (s, t). Хвильова функція використовується в рівнянні ШРЕДІНГЕРУ. Науково-технічний енциклопедичний словник

ХВИЛЬНА ФУНКЦІЯ Сучасна енциклопедія

Хвильова функція- ХВИЛЬНА ФУНКЦІЯ, в квантовій механіці основна величина (загалом комплексна), що описує стан системи і дозволяє знаходити ймовірності і середні значення фізичних величин, що характеризують цю систему. Квадрат модуля хвильової. Ілюстрований енциклопедичний словник

ХВИЛЬНА ФУНКЦІЯ- (вектор стану) в квантовій механіці основна величина, що описує стан системи і дозволяє знаходити ймовірності та середні значення фізичних величин, що її характеризують. Квадрат модуля хвильової функції дорівнює ймовірностіданого… … Великий Енциклопедичний словник

ХВИЛЬНА ФУНКЦІЯ- у квантовій механіці (амплітуда ймовірності, вектор стану), величина, що повністю описує стан мікрооб'єкта (ел на, протона, атома, молекули) і взагалі будь-який квант. системи. Опис стану мікрооб'єкта за допомогою Ст ф. має… … Фізична енциклопедія

хвильова функція- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технологіїв цілому EN wave function … Довідник технічного перекладача

хвильова функція- (амплітуда ймовірності, вектор стану), в квантовій механіці основна величина, що описує стан системи і дозволяє знаходити ймовірності та середні значення фізичних величин, що характеризують її. Квадрат модуля хвильової функції дорівнює. Енциклопедичний словник

хвильова функція- banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave function vok. Wellenfunktion, f rus. хвильова функція, f; хвилеподібна функція, f pranc. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas

хвильова функція- banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. atitikmenys: англ. wave function rus. хвильова функція … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

ХВИЛЬНА ФУНКЦІЯ- Комплексна функція, що описує стан квантовоміх. системи і що дозволяє знаходити ймовірності і порівн. значення характеризуються нею фіз. величин. Квадрат модуля Ст ф. дорівнює ймовірності даного станутому В.ф. зв. також амплітудою… … Природознавство. Енциклопедичний словник

Книги

• , Б. К. Новосадів. Монографія присвячена послідовному викладу квантової теорії молекулярних систем, а також рішенню хвильових рівняньу нерелятивістській та релятивістській квантовій механіці молекул.… Купити за 882 грн (тільки Україна)
• Методи математичної фізики молекулярних систем , Новосадов Б.К.

4.4.1. Гіпотеза де Бройля

Важливим етапом у створенні квантової механіки стало виявлення хвильових властивостей мікрочастинок. Ідея про хвильові властивості була спочатку висловлена ​​як гіпотеза французьким фізиком Луї де Бройлем.

У фізиці протягом багатьох років панувала теорія, за якою світло є електромагнітна хвиля. Однак після робіт Планка ( теплове випромінювання), Ейнштейна (фотоефект) та інших стало очевидним, що світло має корпускулярні властивості.

Щоб пояснити деякі фізичні явищанеобхідно розглядати світло як потік частинок-фотонів. Корпускулярні властивості світла не заперечують, а доповнюють його хвильові властивості.

Отже, фотон-елементарна часткасвітла, що має хвильові властивості.

Формула для імпульсу фотона

За де Бройлем, рух частинки, наприклад, електрона, подібно до хвильового процесу з довжиною хвилі λ , що визначається формулою (4.4.3). Ці хвилі називають хвилями де Бройля. Отже, частинки (електрони, нейтрони, протони, іони, атоми, молекули) можуть проявляти дифракційні властивості.

К.Девіссон та Л.Джермер вперше спостерігали дифракцію електронів на монокристалі нікелю.

Чи може виникнути питання: що відбувається з окремими частинками, як утворюються максимуми та мінімуми при дифракції окремих частинок?

Досліди з дифракції пучків електронів дуже малої інтенсивності, тобто окремих частинок, показали, що при цьому електрон не "розмазується" по різним напрямкам, А поводиться як ціла частка. Однак ймовірність відхилення електрона за окремими напрямками внаслідок взаємодії з об'єктом дифракції різна. Найбільш ймовірно попадання електронів у ті місця, які за розрахунком відповідають максимумам дифракції, менш ймовірне їх попадання в місця мінімумів. Отже, хвильові властивості притаманні як колективу електронів, а й кожному електрону окремо.

4.4.2. Хвильова функція та її фізичний сенс

Так як з мікрочастинкою зіставляють хвильовий процес, що відповідає її руху, то стан частинок у квантовій механіці описується хвильовою функцією, яка залежить від координат і часу: .

Якщо силове поле, що діє на частинку, є стаціонарним, тобто не залежить від часу, то ψ-функцію можна представити у вигляді добутку двох співмножників, один з яких залежить від часу, а інший від координат:

Звідси випливає фізичний зміст хвильової функції:

4.4.3. Співвідношення невизначеностей

Одним із важливих положеньКвантовою механікою є співвідношення невизначеностей, запропоновані В.Гейзенбергом.

Нехай одночасно вимірюють положення та імпульс частинки, при цьому неточності у визначеннях абсциси та проекції імпульсу на вісь абсцис рівні відповідно Δx та Δр x .

У класичної фізикинемає жодних обмежень, що забороняють з будь-яким ступенем точності одночасно виміряти як одну, так і іншу величину, тобто Δx→0 і Δрx→0.

У квантовій механіці положення принципово інше: Δx і Δр x , що відповідають одночасному визначенню x і р x пов'язані залежністю

Формули (4.4.8), (4.4.9) називають співвідношеннями невизначеностей.

Пояснимо їх одним модельним експериментом.

При вивченні явища дифракції було звернено увагу, що зменшення ширини щілини при дифракції призводить до збільшення ширини центрального максимуму. Аналогічне явище буде при дифракції електронів на щілини в модельному досвіді. Зменшення ширини щілини означає зменшення x (рис. 4.4.1), це призводить до більшого "розмазування" пучка електронів, тобто до більшої невизначеності імпульсу і швидкості частинок.

Рис. 4.4.1.Пояснення до співвідношення невизначеності.

Співвідношення невизначеностей можна подати у вигляді

де ΔE – невизначеність енергії деякого стану системи; Δt -проміжок часу, протягом якого воно існує. Співвідношення (4.4.10) означає, що чим менший часіснування будь-якого стану системи, тим більше невизначене значення енергії. Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину (рис.4.4.2)), що залежить від часу перебування системи у стані, що відповідає цьому рівню.

Рис. 4.4.2.Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину.

"Розмитість" рівнів призводить до невизначеності енергії ΔE випромінюваного фотона та його частоти Δν при переході системи з одного енергетичного рівняна іншій:

,

де m-маса частинки; ; Е і Е n -її повна та потенційна енергії (потенційна енергія визначається силовим полем, в якому знаходиться частка, і для стаціонарного випадку не залежить від часу)

Якщо частинка переміщається лише вздовж деякої лінії, наприклад, уздовж осі ОХ (одномірний випадок), то рівняння Шредінгера істотно спрощується і набуває вигляду

(4.4.13)

Одним з найбільш простих прикладівна використання рівняння Шредінгера є розв'язання задачі про рух частинки в одновимірній потенційній ямі.

4.4.5. Застосування рівняння Шредінгера до атома водню. Квантові числа

Опис станів атомів та молекул за допомогою рівняння Шредінгера є достатньо складним завданням. Найбільш просто вона вирішується для одного електрона, що знаходиться в полі ядра. Такі системи відповідають атому водню та водневим іонам (одноразово іонізований атом гелію, дворазово іонізований атом літію тощо). Однак і в цьому випадку вирішення завдання є складним, тому обмежимося лише якісним викладом питання.

Насамперед у рівняння Шредінгера (4.4.12) слід підставити потенційну енергію, яка для двох взаємодіючих точкових зарядів- e (електрон) і Ze (ядро), - що знаходяться на відстані r у вакуумі, виражається таким чином:

Цей вислів є рішенням рівняння Шредінгера та повністю збігається з відповідною формулою теорії Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показані рівні можливих значень повної енергії атома водню (Е1, Е2, Е3 і т.д.) та графік залежності потенційної енергії Еn від відстані r між електроном та ядром. Зі зростанням головного квантового числа n збільшується r (див.4.2.26), а повна (4.4.15) та потенційна енергії прагнуть нуля. Кінетична енергіятакож прагне нуля. Заштрихована область (Е>0) відповідає стану вільного електрона.

Рис. 4.4.3. Показано рівні можливих значень повної енергії атома водню
та графік залежності потенційної енергії від відстані r між електроном та ядром.

Друге квантове число - орбітальне l, яке при даному n може набувати значення 0, 1, 2, …., n-1. Це число характеризує орбітальний момент імпульсу L i електрона щодо ядра:

Четверте квантове число - спинове m s. Воно може набувати лише двох значень (±1/2) і характеризує можливі значення проекції спина електрона:

Стан електрона в атомі із заданими n та l позначають наступним чином: 1s, 2s, 2p, 3s і т.д. Тут цифра вказує значення головного квантового числа, а літера - орбітальне квантове число: символам s, p, d, f відповідають значення l = 0, 1, 2. 3 і т.д.