Рівняння ейнштейна та його фізичний зміст. Пояснення законів фотоефекту

5. . 6. .

У 1900 р. німецький фізик Макс Планк висловив гіпотезу: світло випромінюється і поглинається окремими порціями. квантами(або фотонами). Енергія кожного фотона визначається формулою , де - Постійна Планка, рівна , - Частота світла. Гіпотеза Планка пояснила багато явищ: зокрема, явище фотоефекту, відкритого і 1887 р. німецьким ученим Генріхом Герцем та вивченого експіриментально російським вченим ОлександромГригоровичем Столетовим.

Фотоефект- це явище випромінювання електронів речовиною під впливом світла. Якщо зарядити цинкову пластину, приєднану до електрометра, негативно висвітлювати її електричною дутою (рис. 35), то електрометр швидко розрядиться.

В результаті досліджень було встановлено такі емпіричні закономірності:

Кількість електронів, що вириваються світлом з поверхні металу за 1 с, прямо пропорційно поглинається за цей час енергії світлової хвилі;

Максимальна кінетична енергіяфото електронів лінійно зростає з частотою світла і залежить від його інтенсивності.

Крім того, були встановлені дві фундаментальні властивості.

По-перше, безінерційність фотоефекту: процес починається відразу в момент початку освітлення.

По-друге, наявність характерної для кожного металу мінімальної частоти - червоного кордону фотоефекту. Ця частота така, що при фотоефекті не відбувається при будь-якій енергії світла, а якщо , то фотоефект починається навіть при малій енергії.

Теорію фотоефекту створив німецький вчений А. Ейнштейн у 1905 р. В основі теорії Ейнштейна лежить поняття роботи виходу електронів з металу та поняття про квантовому випромінюваннісвітла. За теорією Ейнштейна фотоефект має таке пояснення: поглинаючи квант світла, електрон набуває енергії. При вильоті з металу енергія кожного електро на зменшується на певну величину, яку називають роботою виходу(). Робота виходу це робота, яку потрібно витратити, щоб видалити електрон з металу. Тому максимальна кінетична енергія електронів після вильоту (якщо немає інших втрат) дорівнює: . Отже,

.

Це рівняння має назву рівняння Ейнштейна.

Прилади, основою принципу дії яких лежить явище фотоефекту, називають фотоелементами. Найпростішим приладом є вакуумний фотоелемент. Недоліками такого фотоелемента є слабкий струм, мала чутливість до довгохвильового випромінювання, складність у виготовленні, неможливість використання в ланцюгах змінного струму. Застосовується у фотометрії для вимірювання сили світла, яскравості, освітленості, кіно для відтворення звуку, у фототелеграфах та фототелефонах, в управлінні виробничими процесами.

Існують напівпровідникові фотоелементи, і під дією світла відбувається зміна концентрації носіїв струму. Вони використовуються при автоматичному керуванні електричними ланцюгами(наприклад, у турнікетах метро), в ланцюгах змінного струму, як невідновлювані джерела струму в годинах, мікрокалькуляторах, проходять випробування перші сонячні автомобілі, використовуються в сонячних батареях на штучних супутникахЗемлі, міжпланетні та орбітальні автоматичні станції.

З явищем фотоефекту пов'язані фотохімічні процеси, які під впливом світла у фотографічних матеріалах.

Вставши на шлях геометричного опису гравітаційного поляМи прийшли до висновку, що для формулювання точних загальноковаріантних рівнянь теорії, раніше відомої в лінійному наближенні в просторі Мінковського, достатньо знайти такі об'єкти тензорної природи, які в локально-лоренцевій системі переходили б у відповідні

Об'єкти лінеаризованої теорії. Тепер у нашому розпорядженні є все необхідне, щоб сформулювати точні рівняннягравітаційного поля, які б узагальнили рівняння (4.3.4) лінеаризованої теорій. Можна стверджувати, що такими є такі рівняння:

Насамперед звернемося до правої частини (4.6.1). При зіставленні з лінеаризованою теорією слід пам'ятати, що у останньої у виразі для джерела тензорного поля гравітацією треба було знехтувати. З огляду на це очевидно, що права частина (4.6.1) з точністю до коефіцієнта переходить у праву частинурівняння (4.3.4). Далі безпосереднім обчисленнямможна переконатися, що ліва частина(4.6.1) при Підстановці як метрика розкладання (4.4.1) у лінійному наближенні переходить у ліву частину (4.3.4) з точністю до коефіцієнта. Далі, зважаючи на значення константи лінеаризованої теорії, що випливає з (4.3.24), знаходимо, що зазначена відповідність рівнянь (4.6.1) і (4.3.4) є точним. Так само можна переконатися в тому, що в локально-лоренцевій системі відліку (4.6.1) точно переходить у (4.3.4). Нарешті, тензорний характер в сенсі риманова простору, подій) рівняння (4.6.1) говорить про те, що зроблене твердження правильно.

Перепишемо рівняння (4.6.1) у вигляді

(Більш зручному для подальшого аналізу. Ці рівняння, звані рівняннями Ейнштейна, як важко бачити, вільні від протиріччя, від якого страждали рівняння (4.3.4) лінеаризованої теорії - як права так і ліва частина тепер мають рівну нулю коваріантну дивергенцію: ліва частина в силу тотожності.Біанки (4.5.2), а права - через коваріантну умову консервативності тензора енергії-імпульсу повної матеріальної системиу присутності гравітаційного поля:

Тим самим нам вдалося позбутися основної суперечності, що неминуче виникає при спробі сформулювати теорію в просторі Мінковського, коли зміни правої частини рівнянь з метою задовольнити умову консервативності з урахуванням гравітаційної взаємодії призводила до зміни лівої частини і т. д. По суті, рівняння собою компактний запис одержуваного таким чином ітераційного ряду.

Побудувавши рівняння в обвдековаріантній формі, ми тим самим зробили калібрувальну інваріантність. точною властивістютеорії.

Нетривіальною особливістю рівнянь Ейнштейна є те, що вони містять у собі рівняння матеріальної системи, що породжує самоузгоджене гравітаційне поле. Ці рівняння містяться у підступному законі збереження (4.6.3). Проілюструємо це з прикладу точкової частки. Тензор енергії-імпульсу можна записати у вигляді

Обчислення коваріантної дивергенції цього виразу дає

Неважко бачити, що вираз тотожно абсолютної похідної вектора 4-швидкості, що стоїть під знаком інтеграла, і тому умова консервативності призводить до відтворення рівняння геодезичних.

Обговорюємо тепер питання про вибір лагранжіана для рівнянь Ейнштейна. Насамперед зауважимо, що зі зіставлення лінеаризованого виразу для символів Крістоффеля (4.5.22) та лагранжіана лінеаризованої теорії (4.2.3) можна зробити висновок, що останній представимо у формі

Виявляється, що варіювання цього лагранжіана як точного за метрикою справді призводить до рівнянь Ейнштейна. Недоліком цього лагранжіана є те, що символи Крістоффеля калібрувально-неіварнантних величин Не дивно, що і в лінеаризованій теорії вдалося досягти калібрувальної інваріантності лише щодо нескінченно малих перетворень. Однак можна додати до «гамма-гамма» лагранжіану (4.6.6) повну дивергенцію.

Після перетворень знаходимо

де скалярна кривизна. Цей лагранжіан калібрувально-інваріантів, і даний вибірможе здатися задовільним, однак скалярна кривизна містить другі похідні від метрики і при варіюванні слід враховувати точніші граничні умови. Якщо різноманіття має

кордон, причому нормальні варіації на кордоні не звертаються в нуль, то для отримання рівнянь Ейнштейна до цього лагранжіана потрібно додати ще поверховий член виду

де К - слід другої фундаментальної форми поверхні, визначник метрики, що індукується на поверхні.

Права частина рівнянь Ейнштейна природним чиномвиникає при варіюванні дії матеріальної системи за метрикою. Такий тензор енергії-імпульсу, званий метричним, симетричний, підступно зберігається

Ліва частина рівнянь Ейнштейна (4.6.2) є нелінійним виразом від компонентів метрики та її перших похідних за координатами. Виявляється, що не всі десять рівнянь (4.6.2) динамічні, тобто містять другі похідні від метрики за часом. Справді, з тотожності Біанки (4.5.20) випливає

Права частина містить похідні від метрики по координатах не вище другого порядку, отже, компоненти тензора не можуть містити похідні за часом вище першого порядку. Таким чином, рівняння

не динамічними рівняннями щодо метрики, а зв'язками. Зв'язки виникають унаслідок підступності рівнянь Ейнштейна щодо групи диффеоморфізмів (4.4.6). Для усунення свавілля у виборі координат метричний тензор можна підпорядкувати чотирма незалежним умовам калібрування. Найбільш близьким до калібрування (4.2.10) лінеаризованої теорії є вибір гармонійних координат за допомогою накладання умов

або, що те саме,

(перетворення обертальне нуль здійснюється функціями, кожна з яких задовольняє «гармонічному» рівнянню. Умова гармонійності можна

подати у формі динамічних рівнянь, що відсутні. для компонентів метрики

замість рівнянь зв'язків (4.6.12), які слід розглядати як рівняння, що визначають узгоджений набір початкових значень метрики та її перших похідних.

Отже, рішення рівнянь Ейнштейна визначає метрику лише з точністю до довільного вибору чотирьох калібрувальних функцій, що фізично відповідає свободі вибору координатних систем. Більше того, тензор кривизни, що описує «справжнє» гравітаційне поле, також не визначається повністю джерелом у правій частині рівнянь Ейнштейна. Дійсно, з (4.6.2) однозначно визначається тензор Річчі (4.5.16), який у свою чергу визначає тензор кривизни (4.5.18) з точністю до завдання тензора Вейля. Біанки (4.5.15), записані з урахуванням розкладання (4.5.18):

З точністю до цього співвідношення тензор Вейля визначає вільне гравітаційне поле.

Подібна ситуація має місце і в електродинаміці, де до вирішення неоднорідних рівняньМаксвелла з джерелом може бути додано рішення однорідного рівняння, що описує вільні електромагнітні хвилі. Проте є й відмінність, що з рівняння Ейнштейна нелінійні. В силу цього гравітаційні поля не задовольняють принцип лінійної суперпозиції і відокремлення «вільного» гравітаційного поля від нуля, створюваного деяким матеріальним, джерелом, взагалі кажучи, неможливо. Інтерпретація того, чи інод) рішення рівнянь Ейнштейна представляє непросте завданняОскільки практично при побудові рішення доводиться фіксувати калібрування, після чого метрика знаходиться однозначно, а разом з нею кривизна і тензор Вейля.

Ще одна важлива відмінність від електродинаміки полягає в тому, що джерело у правій частині рівнянь Ейнштейна не може бути задане довільно. Тотожності Біанки (4.5.20) вимагають виконання умови консервативності тензора енергії - імпульсу (4.6.3), яке з фізичної точки зору означає виконання рівнянь руху для матеріальної системи - джерела гравітаційного роль - у створюваному нею полі. Відповідна умова збереження струму в електродинаміці є значно менш жорсткою. У теорії гравітації ми. з необхідністю стикаємося розглядом самоузгодженої системи рівнянь для матерії та створюваного нею

гравітаційного поля. Це по суті і є фізичною причиноюнеможливості послідовної побудови лінійної теоріїтензорного поля у просторі Мінковського з урахуванням взаємодії з матерією

На закінчення торкнемося питання про енергію-імпульс самого гравітаційного поля. Вже в рамках лінеаризованої теорії ми зіткнулися з тим, що канонічний тензор енергії імпульсу залежить від калібрування. У загальній теорії відносності ця труднощі знаходить своє відображення в тому, що в теорії відсутня об'єкт, який можна було б інтерпретувати як щільність енергії та імпульсу гравітаційного поля та має статус тензора у різноманітті. Відомі способи введення про псевдотензорів, ковариантных щодо обмежених перетворень координат. Зокрема, канонічний тензор енергії-імпульсу лінеаризованої теорії виявляється нижчим членом розкладання псевдотензора Ейнштейна, а симетризований тензор лінеаризованої теорії відповідає псевдотензор Ландау - Ліфшица. У існуючій літературі ці проблеми обговорюються досить широко, і немає сенсу повторювати це обговорення.

Пояснення законів фотоефекту дав 1905 р. німецька вчений АльбертЕйнштейн з урахуванням гіпотези світлових квантів. Слідом за Планком він припустив, що якщо випромінювання енергії атомами відбувається дискретно у вигляді порцій чи квантів, то її поширення у просторі та поглинання речовиною відбувається порціями (квантами) . Енергія кванта дорівнює:

де v- Частота падаючого світла,
h= 6.63 ∙ 10 -34 (Дж/с) – постійна Планка.

Зауважимо, що у механіці є величина, яку називають дією . Вона має розмірність "енергія × час". Тому постійну Планкуіноді називають квантом дії .

Кванти світла називаються фотонами.

Тому з квантової точкизору світло являє собою потік фотонів .

Рівняння Ейнштейна пояснює всі закономірності зовнішнього фотоефекту. Воно є по суті закон збереження енергії. Кожен фотон взаємодіє з одним електроном та передає йому енергію hv. Ця енергія витрачається те що, щоб зробити роботу виходу електрона з металу - Aта повідомити йому кінетичну енергію. Причому якщо електрон виривається з поверхні металу, а не з глибини, то кінетична енергія електрона буде максимальною.

Рівняння Ейнштейнадля фотоефекту має вигляд

Покажемо, як із рівняння Ейнштейна (5.2) можна пояснити закони фотоефекту.

1. З формули (5.2) легко можна знайти червону межу фотоефекту. Якщо кінетична енергія дорівнює нулю, тобто якщо , то. Тоді червона межа фотоефекту дорівнює:

Якщо частота падаючого світла більша або дорівнює червоному кордону, то фотоефект спостерігається, інакше – ні. Робота виходу залежить від хімічної природиречовини. Її можна знайти у довіднику. Значення роботи виходу зазвичай зазначають в електронвольтах. З формули (3.21) випливає, що

Довжина хвилі λ теж називають червоною межею фотоефекту.

2. З рівняння (5.2) можна виразити максимальну кінетичну енергію електронів, що вилетіли

З формули (5.4) випливає, що максимальна кінетична енергія електронів, що вилетіли, лінійно залежить від частоти падаючого світла. Експериментальне значенняможна знайти, знаючи затримуючу різницю потенціалів (рис. 5.2):

,

де e- Заряд електрона, Uз - затримує різницю потенціалів.

3. Третій закон фотоефекту – закон Столетова – можна пояснити так: зміна світлового потокуФ пропорційно до зміни числа фотонів n ф, що падають на одиницю поверхні металу в одиницю часу.

При цьому змінюється кількість електронів, що взаємодіють з фотонами n ф, а значить змінюється фотострум. Фотострум насичення відповідає такому стану, коли всі електрони, що вилетіли з катода, потраплять на анод. Отже, можна написати ланцюжок пропорційності

.

Якщо перейти від пропорційності до рівності, отримаємо формулу для запису закону Столетова

Таким чином, у явищі фотоефекту проявляється квантова природа світла.

Рівняння Ейнштейна(іноді - Ейнштейна - Гільберта) - рівняння гравітаційного поля в загальній теорії відносності, що пов'язують між собою метрику викривленого простору-часу з властивостями матерії, що його заповнює. Термін використовується і в однині: « рівняння Ейнштейна», оскільки в тензорному записі це одне рівняння, хоча в компонентах є системою рівнянь у приватних похідних.

Виглядають рівняння так:

де R μ ν (\displaystyle R_(\mu \nu ))- тензор Річчі, що виходить з тензора кривизни простору-часу R a b c d (\displaystyle R_(abcd))за допомогою згортки його за парою індексів , R- скалярна кривизна, тобто згорнутий тензор Річчі, g μ ν (\displaystyle g_(\mu \nu ))- метричний тензор, Λ (\displaystyle \Lambda )- космологічна постійна, а T μ ν (\displaystyle T_(\mu \nu ))являє собою тензор енергії-імпульсу матерії, (π - число пі, c- швидкість світла у вакуумі, G- гравітаційна стала Ньютона).

Рівняння пов'язує між собою тензори 4×4, тобто формально кажучи, містить 16 рівнянь. Однак, оскільки всі тензори, що входять у рівняння, симетричні , то в чотиривимірному просторі-часі ці рівняння рівносильні 4 · (4 +1) / 2 = 10 скалярним рівнянням. Тотожності Б'янки призводять до зменшення числа незалежних рівнянь із 10 до 6.

У більш короткого записувид рівнянь такий:

де G μ ν = R μ ν − R 2 g μ ν (\displaystyle G_(\mu \nu )=R_(\mu \nu )-(R \over 2)g_(\mu \nu ))- тензор Ейнштейна, який поєднує тензор Річчі, скалярну кривизну та метричний тензор. Тензор Ейнштейна може бути представлений як функція метричного тензора та його приватних похідних.

Часто лямбда-член Λ gμν у записі рівнянь Ейнштейна приймається рівним нулю, Оскільки завдання локальних масштабів, далеких від космологічних, він, зазвичай, малий. Тоді запис ще спрощується:

Нарешті, при виборі одиниць, що часто використовується фізичних величинтаким чином, щоб швидкість світла і постійна гравітаційна дорівнювали безрозмірної одиниці, c = G= 1 (т.зв. геометризованасистема одиниць), запис рівнянь Ейнштейна стає найпростішим; у безкомпонентній формі:

Таким чином, рівняння Ейнштейна пов'язує геометрію простору-часу (ліва частина рівняння) з матерією та її рухом (права частина).

Однією з суттєвих властивостей рівнянь Ейнштейна є їхня нелінійність, що призводить до неможливості використання при їх вирішенні.

• Переклад

Ейнштейн виводить СТО перед аудиторією; 1934.

Сотні років у фізиці був присутній незаперечний закон, у якому ніколи не сумнівалися: у будь-якій реакції, що відбувається у Всесвіті, зберігається маса. Неважливо, які інгредієнти використовувати, яка реакція відбулася і що вийшло – сума того, з чого ви починали, і сума того, з чим ви виявлялися, будуть рівними за масою. Але за законами спеціальної теоріївідносності маса не може бути величиною, що зберігається, оскільки різні спостерігачіне погодяться з приводу того, яку енергію має система. Натомість Ейнштейн зміг вивести закон, який ми використовуємо і до цього дня, керований одним із найпростіших і найпотужніших рівнянь: E=mc 2 .



Ядерну ракету готують до випробувань у 1967 році. Ракета працює на перетворенні маси в енергію, E = mc 2 .

У найзнаменитішого рівняння Ейнштейна всього три складові:

1. E, або енергія, що повністю займає одну частину рівняння, і представляє повну енергію системи.
2. m, маса, пов'язана з енергією через перетворювальний множник
3. з 2, Квадрат швидкості світла - необхідний фактор, що забезпечує еквівалентність маси та енергії.

Сенс цього рівняння змінив увесь світ. Як писав сам Ейнштейн:

Зі спеціальної теорії відносності випливало, що маса та енергія – різні проявиоднієї речі. Ця концепція була незнайома середній людині.

Кварки, антикварки та глюони Стандартної моделімають кольоровий заряд, на додаток до всіх інших властивостей на зразок маси і електричного заряду. Не мають маси лише глюони та фотони; всі інші, навіть нейтрино, мають ненульову масу спокою.

Навіть у мас, що покояться, є властива їм енергія. У школі ви вивчали всі типи енергій – механічну, хімічну, електричну, кінетичну. Всі ці види енергій властиві об'єктам, що рухаються або реагують, і ці форми енергії можна використовувати для виконання роботи, наприклад, для запуску двигуна, світіння лампочки або перемелювання зерна в борошно. Але навіть звичайна маса спокою має властиву їй енергію: і величезною кількістю. Це веде до приголомшливого наслідку: гравітація, що виникає між двома будь-якими масами в ньютоновому всесвіті, теж повинна працювати на основі енергії, еквівалентної маси відповідно до рівняння E = mc 2 .

Створення пар частинок з матерії/антиматерії з чистої енергії (ліворуч) – реакція повністю оборотна (праворуч), адже матерія та антиматерія можуть анігілювати, породивши чисту енергію. Цей процес створення та анігіляції підпорядковується рівнянню E = mc 2 і є єдиним відомим способомстворення та знищення матерії та антиматерії.

Масу можна перетворити на чисту енергію. Це друге значення рівняння, і E = mc 2 повідомляє нам, скільки точно енергії можна отримати при перетворенні маси. На кожен кілограм маси, що перетворюється на енергію, вийде 9 × 10 16 Дж енергії, що еквівалентно 21 мегатонн ТНТ. Спостерігаючи за радіоактивним розпадом, або реакціями поділу або синтезу ядер, можна бачити, що підсумкова маса виявляється меншою за початкову; закон збереження маси не працює. Але різниця дорівнює кількості звільненої енергії! Це працює для всіх випадків, від розпаду урану та атомних бомбдо ядерного синтезув ядрі Сонця та анігіляції частинок матерії/антиматерії. Знищувана маса перетворюється на енергію, кількість якої розраховується за формулою E = mc 2 .

Сліди частинок, що породжуються високоенергетичними зіткненнями на Великому адронному колайдері, 2014. Композитні частинки розпадаються на компоненти, які розсіюються в просторі, але також з'являються нові частинки, завдяки енергії, доступній при зіткненні.

Енергію можна використовувати для створення маси практично з нічого – просто із чистої енергії. Останнє значенняформули найбільш визначне. Якщо взяти дві більярдні кулі і сильно зіштовхнути їх разом, то на виході вийде дві більярдні кулі. Якщо взяти фотон та електрон і зіштовхнути їх разом, то вийде фотон та електрон. Але якщо зіткнути їх з достатньо великою енергією, то вийде фотон, електрон та нова пара частинок матерії/антиматерії. Інакше кажучи, можна створити дві нові масивні частки:

• частинку матерії, наприклад, електрон, протон, нейтрон і т.п.,
• частку антиматерії, наприклад, позитрон, антипротон, антинейтрон і т.п.

Викривлення простору-часу гравітаційними масамиу картині світу ОТО

Еквівалентність енергії та маси також привела Ейнштейна до такого великого досягнення, як загальна теоріявідносності. Уявіть, що у вас є частка матерії та частка антиматерії, з однаковими масами спокою. Їх можна анігілювати, і вони перетворяться на фотони з певною енергією, точно за формулою E = mc 2 . Тепер уявіть, що ця пара часток/античастинка швидко рухається, ніби впавши до нас із глибокого космосу, а потім анігілює поблизу поверхні Землі. У цих фотонів виявиться додаткова енергія – не тільки E з E = mc 2 , а й додаткова E, кінетична енергія, набута через падіння.

Якщо два об'єкти з матерії та антиматерії, перебуваючи у спокої, анігілюють, вони перетворяться на фотони певної енергії. Якщо ці фотони з'являться після падіння в гравітаційному полі, енергія у них буде вищою. Отже, має існувати гравітаційне червоне чи синє усунення, не передбачене гравітацією Ньютона – інакше енергія не зберігалася.

Якщо енергія повинна зберігатися, то гравітаційне червоне (і синє) усунення має бути реальним. Гравітація Ньютона не має способу пояснити цей ефект, але в Ейнштейнівській ОТО кривизна простору означає, що падіння в гравітаційне поле додає вам енергії, а вихід з гравітаційного поля змушує вас витрачати енергію. Виходить, що повний і загальний взаємозв'язок для будь-якого об'єкта, що рухається, буде не E = mc 2 , а E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 (де p - імпульс). І тільки узагальнюючи всю інформацію, включаючи опис енергію, імпульс і гравітацію, можна по-справжньому описати Всесвіт.

Коли квант випромінювання залишає гравітаційне поле, його частота відчуває червоне усунення збереження енергії; коли він падає в поле, він повинен відчувати синє усунення. А це має сенс тільки якщо гравітація пов'язана не тільки з масою, але і з енергією.

Найбільше рівняння Ейнштейна, E = mc 2 є тріумфом могутності і простоти фундаментальної фізики. У матерії є властива їй енергія, масу можна перетворити (при певних умов) у чисту енергію, а енергію можна використовуватиме створення масивних об'єктів, не існували раніше. Такий метод роздумів дає нам змогу відкривати фундаментальні частки, з яких складається наш Всесвіт, винаходити ядерну енергіюі ядерну зброю, відкривати теорію гравітації, що описує взаємодію всіх об'єктів у Всесвіті. Ключем до знаходження цього рівняння послужив скромний уявний експеримент, заснований на простому припущенні: збереження енергії та імпульсу. Решта виявляється неминучим наслідком схеми роботи Всесвіту.