Закон розподілу пуасону формула. Розподіл та формула пуасону

Коротка теорія

Нехай проводиться незалежні випробування, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює . Для визначення ймовірності появи події у цих випробуваннях використовують формулу Бернуллі. Якщо ж велике, то користуються або . Однак, ця формула непридатна, якщо мала. У цих випадках (велике, мало) вдаються до асимптотичної формулі Пуассона.

Поставимо перед собою завдання знайти ймовірність того, що за дуже великому числівипробувань, у кожному з яких ймовірність події дуже мала, подія настане рівно разів. Зробимо важливе припущення: твір зберігає постійне значення, саме . Це означає, що середня кількість появи події у різних серіях випробувань, тобто. при різних значеннях, залишається незмінним.

Приклад розв'язання задачі

Завдання 1

На базі отримано 10 000 електроламп. Імовірність того, що в дорозі лампа розіб'ється, дорівнює 0,0003. Знайдіть ймовірність того, що серед отриманих ламп буде п'ять ламп розбито.

Рішення

Умова застосування формули Пуассона:

Якщо ймовірність появи події в окремому випробуванні досить близька до нуля, то навіть при великих значеннях кількості випробувань ймовірність, що обчислюється локальною теореми Лапласа, виявляється недостатньо точною. У таких випадках використовують формулу, виведену Пуассоном.

Нехай подія – 5 ламп буде розбито

Скористаємося формулою Пуассона:

У нашому випадку:

Відповідь

Завдання 2

На підприємстві 1000 одиниць обладнання певного виду. Імовірність відмови одиниці обладнання протягом години становить 0,001. Скласти закон розподілу кількості відмов обладнання протягом години. Визначити числові показники.

Рішення

Випадкова величина – кількість відмов обладнання може приймати значення

Скористаємося законом Пуассона:

Знайдемо ці ймовірності:

Математичне очікування та дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона дорівнює параметру цього розподілу:

Середнявартість рішення контрольної роботи 700 - 1200 рублів (але не менше 300 руб. за все замовлення). На ціну сильно впливає терміновість рішення (від доби до кількох годин). Вартість онлайн-допомоги на іспиті/заліку – від 1000 руб. за рішення квитка.

Заявку можна залишити прямо в чаті, попередньо скинувши умову завдань та повідомивши необхідні вам терміни вирішення. Час відповіді – кілька хвилин.

Розглянемо розподіл Пуассона, обчислимо його математичне очікування, дисперсію, моду За допомогою функції MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() побудуємо графіки функції розподілу та щільності ймовірності. Зробимо оцінку параметра розподілу, його математичного очікування та стандартного відхилення.

Спочатку дамо сухе формальне визначення розподілу, потім наведемо приклади ситуацій, коли розподіл Пуассона(англ. Poissondistribution) є адекватною моделлю для опису випадкової величини.

Якщо випадкові події відбуваються в заданий період часу (або певному обсязі речовини) із середньою частотою λ( лямбда), то кількість подій x, що відбулися за цей період часу, матиме розподіл Пуассона.

Застосування розподілу Пуассона

Приклади, коли Розподіл Пуассонає адекватною моделлю:

• кількість дзвінків, що надійшли на телефонну станцію за певний періодчасу;
• кількість частинок, що зазнали радіоактивного розпаду за певний період часу;
• число дефектів у шматку тканини фіксованої довжини.

Розподіл Пуассонає адекватною моделлю, якщо виконуються такі умови:

• події відбуваються незалежно друг від друга, тобто. ймовірність наступної події не залежить від попередньої;
• середня частота подій стала. Як наслідок, ймовірність події пропорційна довжині інтервалу спостереження;
• дві події не можуть статися одночасно;
• число подій має набувати значення 0; 1; 2…

Примітка: Хорошою підказкою, що випадкова величина, що спостерігається розподіл Пуассона,є той факт, що приблизно одно (див. нижче).

Нижче наведено приклади ситуацій, коли Розподіл Пуассона не можебути застосовано:

• кількість студентів, які виходять з університету протягом години (бо середній потік студентів не постійний: під час занять студентів мало, а в перерві між заняттями кількість студентів різко зростає);
• число землетрусів амплітудою 5 балів на рік у Каліфорнії (бо один землетрус може викликати повторні поштовхи подібної амплітуди – події не незалежні);
• число днів, які пацієнти проводять у відділенні інтенсивної терапії (бо число днів, яке пацієнти проводять у відділенні інтенсивної терапії, завжди більше 0).

Примітка: Розподіл Пуассонає наближенням більш точних дискретних розподілів: і .

Примітка: Про взаємозв'язок розподілу Пуассонаі Біноміального розподілу можна прочитати у статті. Про взаємозв'язок розподілу Пуассонаі Експонентного розподілу можна прочитати у статті про .

Розподіл Пуассона у MS EXCEL

У MS EXCEL, починаючи з версії 2010, для Розподілу Пуассонає функція ПУАССОН.РАСП() , англійська назва- POISSON.DIST(), яка дозволяє вирахувати не тільки ймовірність того, що за заданий період часу відбудеться хподій (функцію щільності ймовірності p(x), див. формулу вище), але і (ймовірність того, що за заданий період часу станеться не менше xподій).

До MS EXCEL 2010 EXCEL була функція ПУАССОН() , яка також дозволяє обчислити функцію розподілуі щільність імовірності p(x). Пуассон () залишена в MS EXCEL 2010 для сумісності.

У файлі прикладу наведено графіки густини розподілу ймовірностіі інтегральної функції розподілу.

Розподіл Пуассонамає скошену форму (довгий хвіст праворуч у функції ймовірності), але при збільшенні параметра стає все більш симетричним.

Примітка: Середнєі дисперсія(квадрат) рівні параметру розподілу Пуассона- λ (див. файл приклад лист Приклад).

Завдання

Типовим застосуванням Розподіл Пуассонау контролі якості є модель кількості дефектів, які можуть з'явитися у приладі чи пристрої.

Наприклад, при середній кількості дефектів в мікросхемі λ (лямбда), що дорівнює 4, ймовірність, що випадково обрана мікросхема буде мати 2 або менше дефектів, дорівнює: = ПУАССОН.РАСП(2; 4; ІСТИНА) = 0,2381

Третій параметр у функції встановлений = ІСТИНА, тому функція поверне інтегральну функціюрозподілу, тобто ймовірність того, що число випадкових подійопиниться в діапазоні від 0 до 4 включно.

Обчислення в цьому випадку провадяться за формулою:

Імовірність того, що випадково обрана мікросхема матиме рівно 2 дефекти, дорівнює: = ПУАССОН.РАСП(2;4;БРЕХНЯ)=0,1465

Третій параметр у функції встановлений = БРЕХНЯ, тому функція поверне щільність імовірності.

Імовірність того, що випадково обрана мікросхема матиме більше 2-х дефектів, дорівнює: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ІСТИНА) =0,8535

Примітка: Якщо xне є цілим числом, то при обчисленні формули . Формули = Пуассон. 2 ; 4; БРЕХНЯ)і = Пуассон. 2,9 ; 4; БРЕХНЯ)повернуть однаковий результат.

Генерація випадкових чисел та оцінка λ

При значеннях λ >15 , Розподіл Пуассонадобре апроксимується Нормальним розподілом з наступними параметрами: μ =λ , σ 2 =λ .

Докладніше про зв'язок цих розподілів можна прочитати у статті . Там же наведено приклади апроксимації, і пояснено умови, коли вона можлива і з якоюсь точністю.

ПОРАДА: Про інші розподіли MS EXCEL можна прочитати у статті .

Знову нагадаємо ситуацію, яку було названо схемою Бернуллі: проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких певна подія Аможе з'явитися з однією і тією ж ймовірністю р. Тоді для визначення ймовірності того, що в цих nвипробуваннях подія Аз'явиться рівно kраз (така ймовірність позначалася P n (k) ) може бути точно обчислена за формулою Бернуллі , де q=1− p. Однак при великій кількості випробувань nрозрахунки за формулою Бернуллі стають дуже незручними, оскільки призводять до дій із дуже великими числами. Тому (якщо пам'ятаєте − це колись відбувалося щодо схеми і формули Бернуллі щодо першої частини теорії ймовірностей «Випадкові події») при великих nпропонувалися значно зручніші (хоча і наближені) формули, які виявлялися тим точніше, що більше n(Формула Пуассона, локальна та інтегральна формула Муавра-Лапласа). Якщо у схемі Бернуллі кількість дослідів nвелике, а ймовірність рпояви події Ау кожному випробуванні мала, то добре наближення дає згадана формула Пуассона
, де параметр а =n∙ p. Ця формула призводить до розподілу Пуассона. Дамо точні визначення

Дискретна випадкова величина Хмає розподіл Пуассона, якщо вона набуває значення 0, 1, 2, ... з ймовірностями р 0 , р 1 , ... , які обчислюються за формулою

а число ає параметром розподілу Пуассона. Звертаємо увагу, що можливі значення с.в. Хнескінченно багато − це всі цілі негативні числа. Таким чином, д.с. Хіз розподілом Пуассона має наступний закон розподілу:

При обчисленні математичного очікування (за їх визначенням для д.с.в. з відомим законом розподілу) доведеться тепер вважати не кінцеві суми, а суми відповідних нескінченних рядів (оскільки таблиця закону розподілу має нескінченно багато стовпців). Якщо ж порахувати суми цих рядів, то виявиться, що і математичне очікування, і дисперсія випадкової величини Хз розподілом Пуассона збігається з параметром ацього розподілу:

,
.

Знайдемо моду d(X) розподіленої за Пуассоном випадкової величини Х. Застосуємо той самий прийом, що був використаний для обчислення моди біномно розподіленої випадкової величини. За визначенням моди d(X)= kякщо ймовірність
найбільша серед усіх ймовірностей р 0 , р 1 , ... . Знайдемо таке число k (Це ціле невід'ємне число). При такому kймовірність p kмає бути не менше сусідніх з нею ймовірностей: p k −1 ≤ p k ≤ p k +1 . Підставивши замість кожної ймовірності відповідну формулу, отримаємо, що число kмає задовольняти подвійну нерівність:

.

Якщо розписати формули для факторіалів і провести прості перетворення, можна отримати, що ліва нерівністьдає k≤ а, а праве k≥ а −1. Таким чином, число kзадовольняє подвійну нерівність а −1 ≤k≤ а, тобто. належить відрізку [ а −1, а]. Оскільки довжина цього відрізка, очевидно, дорівнює 1 , то нього може потрапити або одне, або 2 цілих числа. Якщо число аціле, то у відрізку [ а −1, а] Є 2 цілих числа, що лежать на кінцях відрізка. Якщо ж число ане ціле, то цьому відрізку є лише одне ціле число.

Таким чином, якщо число аціле, то мода розподіленої за Пуассоном випадкової величини Хнабуває 2 сусідніх значень: d(X)=а−1і d(X)=а. Якщо ж число ане ціле, то мода має одне значення d(X)= k, де k є єдине ціле число, що задовольняє нерівність а −1 ≤k≤ а, тобто. d(X)= [а] .

приклад. Завод надіслав на базу 5000 виробів. Імовірність того, що в дорозі виріб пошкодиться, дорівнює 0.0002. Якою є ймовірність, що пошкодиться 18 виробів? Яким є середнє значення пошкоджених виробів? Якою є найбільш ймовірна кількість пошкоджених виробів і яка його ймовірність?

Наприклад, реєструється кількість дорожніх пригод за тиждень на певній ділянцідороги. Це число є випадковою величиною, яка може приймати значення: ( верхньої межіні). Число дорожніх пригод може бути будь-яким великим. Якщо розглянути якийсь короткий часовий проміжок протягом тижня, скажімо хвилину, то подія або станеться на її протязі, або ні. Імовірність дорожньої пригоди протягом окремої хвилини дуже мала, і приблизно така ж вона для всіх хвилин.

Розподіл ймовірностей числа подій описується формулою:

де m – середня кількість подій за тиждень на певній ділянці дороги; е - константа, що дорівнює 2,718...

Характерні особливості даних, для яких найкращим чиномпідходить розподіл Пуассона, наступні:

1. Кожен малий інтервал часу може розглядатися як досвід, результатом якого є одна з двох: або подія ("успіх") або його відсутність ("невдача"). Інтервали настільки малі, що може бути лише один "успіх" в одному інтервалі, ймовірність якого мала і незмінна.

2. Число "успіхів" в одному великому інтервалі не залежить від їх числа в іншому, тобто "успіхи" безладно розкидані за тимчасовими проміжками.

3. Середня кількість “успіхів” завжди протягом усього часу. Розподіл ймовірностей Пуассона може бути використаний не тільки при роботі з випадковими величинами на тимчасових інтервалах, але і при врахуванні дефектів дорожнього покриття на кілометр шляху або друкарських помилок на сторінку тексту. Загальна формуларозподілу ймовірностей Пуассона:

де m – середня кількість “успіхів” на одиницю.

У таблицях розподілу ймовірностей Пуассона значення табульовані для певних значень m і

приклад 2.7. У середньому на телефонній станції замовляють три телефонні розмови протягом п'яти хвилин. Якою є ймовірність, що буде замовлено 0, 1,2, 3, 4 або більше чотирьох розмов протягом п'яти хвилин?

Застосуємо розподіл ймовірностей Пуассона, оскільки:

1. Існує необмежену кількість дослідів, тобто. Маленьких відрізків часу, коли може з'явитися замовлення на телефонну розмову, можливість чого мінімальна і постійна.

2. Вважається, що попит на телефонні розмови безладно розподілено у часі.

3. Вважається, що середня кількість телефонних розмову будь-якому -хвилинному відрізку часу однаково.

У цьому прикладі середня кількість замовлень дорівнює 3 за 5 хвилин. Звідси розподіл Пуассона:

При розподілі ймовірностей Пуассона, знаючи середню кількість "успіхів" на 5-хвилинному проміжку (наприклад як у прикладі 2.7), для того щоб дізнатися середню кількість "успіхів" за одну годину, потрібно просто помножити на 12. У прикладі 2.7 середня кількість замовлень година складе: 3 х 12 = 36. Аналогічно, якщо потрібно визначити середню кількість замовлень за хвилину:

приклад 2.8. В середньому за п'ять днів робочого тижняна автоматичній лінії відбуваються 3,4 неполадки. Яка ймовірність двох неполадок у кожний день роботи? Рішення.

Можна застосувати розподіл Пуассон:

1. Існує необмежену кількість дослідів, тобто. малих проміжків часу протягом кожного з них може статися або не статися неполадка на автоматичній лінії. Імовірність цього кожному проміжку часу мала і постійна.

2. Передбачається, що неполадки розташовані в часі.

3. Передбачається, що середня кількість неполадок протягом п'яти днів постійно.

Середня кількість неполадок дорівнює 3, 4 за п'ять днів. Звідси кількість несправностей на день:

Отже,

Розподіл Пуассон.

Розглянемо найбільш типову ситуацію, у якій виникає розподіл Пуассона Нехай подія Аз'являється кілька разів у фіксованому ділянці простору (інтервалі, площі, об'ємі) або проміжку часу з постійною інтенсивністю. Для певності розглянемо послідовну появу подій у часі, що називається потоком подій. Графічно потік подій можна ілюструвати безліччю точок, що розташовані на осі часу.

Це може бути потік дзвінків у сфері обслуговування (ремонт побутової техніки, виклик швидкої допомоги та ін), потік викликів на АТС, відмова в роботі деяких частин системи, радіоактивний розпад, шматки тканини чи металеві листи і кількість дефектів кожному з них та інших. Найбільш корисним розподіл Пуассона виявляється у завданнях, де потрібно визначити лише кількість позитивних результатів («успіхів»).

Уявімо булку з родзинками, розділену на маленькі шматочки рівної величини. Внаслідок випадкового розподілуродзинок не можна очікувати, що всі шматочки будуть містити їх однакове число. Коли середня кількість родзинок, що міститься в цих шматочках, відомо, тоді розподіл Пуассона задає ймовірність того, що будь-який взятий шматочок містить X=k(k= 0,1,2,...,) число родзинок.

Інакше висловлюючись, розподіл Пуассона визначає, яка частина довгої серії шматочків міститиме рівне 0, чи 1, чи 2, чи т.д. число родзинок.

Зробимо такі припущення.

1. Імовірність появи деякого числа подій у даному проміжку часу залежить лише від довжини цього проміжку, а не від його положення на часовій осі. Це властивість стаціонарності.

2. Поява більше події у досить малому проміжку часу практично неможливо, тобто. умовна ймовірністьПоява в цьому ж інтервалі іншої події прагне нуля при ® 0. Це властивість ординарності.

3. Ймовірність появи даного числаподій на фіксованому проміжку часу залежить від кількості подій, які з'являються інші проміжки часу. Це властивість відсутності післядії.

Потік подій, що задовольняє перерахованим пропозиціям, називається найпростішим.

Розглянемо досить малий проміжок часу. На підставі властивості 2 подія може з'явитися на цьому проміжку один раз або не з'явитися зовсім. Позначимо ймовірність появи події через р, а непояви – через q = 1-p.Ймовірність рпостійна (властивість 3) і залежить лише від величини (властивість 1). Математичне очікуваннячисла появи події в проміжку дорівнюватиме 0× q+ 1× p = p. Тоді середня кількість появи подій в одиницю часу називається інтенсивністю потоку і позначається через a,тобто. a = .

Розглянемо кінцевий відрізок часу tі розділимо його на nчастин = . Появи подій у кожному із цих проміжків незалежні (властивість 2). Визначимо ймовірність того, що у відрізку часу tпри постійної інтенсивностіпотоку аподія з'явиться рівно X = kраз і не з'явиться n – k. Так як подія може в кожному з nпроміжків з'явиться не більше ніж 1 раз, то для появи його kраз на відрізку тривалістю tвоно має з'явитися у будь-яких kпроміжках з загальної кількості n.Усього таких комбінацій, а ймовірність кожної дорівнює. Отже, за теоремою складання ймовірностей отримаємо для шуканої ймовірності відому формулуБернуллі

Ця рівність записана як наближена, оскільки вихідною посилкоюпри його виведенні послужило властивість 2, яке виконується тим точніше, чим менше . Для отримання точної рівності перейдемо до межі при ® 0 або, що те саме, n®. Отримаємо після заміни

P = a= і q = 1 – .

Введемо новий параметр = at, що означає середню кількість події у відрізку t. Після нескладних перетворень та переходу до межі в співмножниках отримаємо.

= 1, = ,

Остаточно отримаємо

, k = 0, 1, 2, ...

е = 2,718... -підстава натурального логарифму.

Визначення. Випадкова величина Хяка приймає тільки цілі, позитивні значення 0, 1, 2, ... має закон розподілу Пуассона з параметром , якщо

для k = 0, 1, 2, ...

Розподіл Пуассон було запропоновано французьким математиком С.Д. Пуассон (1781-1840 рр.). Воно використовується для вирішення задач обчислення ймовірностей щодо рідкісних, випадкових взаємно незалежних подійв одиницю часу, довжини, площі та обсягу.

Для випадку, коли а) - велике і б) k= , справедлива формула Стірлінга:

Для розрахунку наступних значень використовується рекурентна формула

P(k + 1) = P(k).

приклад 1. Чому дорівнює ймовірність того, що з 1000 осіб у цей день народилися: а) жодної, б) однієї, в) двох, г) трьох осіб?

Рішення. Так як p= 1/365, то q= 1 - 1/365 = 364/365 » 1.

Тоді

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Отже, якщо є вибірки з 1000 осіб, то середня кількість осіб, які народилися у визначений день, відповідно дорівнюватимуть 65; 178; 244; 223.

приклад 2. Визначити значення , у якому з ймовірністю Рподія виникла хоча б один раз.

Рішення. Подія А= (з'явитися хоча б раз) і = (не з'явитися жодного разу). Отже.

Звідси та .

Наприклад, для Р= 0,5 для Р= 0,95 .

приклад 3. На ткацьких верстатах, які обслуговує одна ткаля, протягом години відбувається 90 обривів нитки. Знайти ймовірність того, що за 4 хвилини станеться хоч один обрив нитки.

Рішення. За умовою t = 4 хв. і середня кількість обривів за одну хвилину, звідки . Необхідна ймовірність дорівнює.

Властивості. Математичне очікування та дисперсія випадкової величини, що має розподіл Пуассона з параметром, рівні:

M(X) = D(X) = .

Ці вирази виходять прямими обчисленнями:

Тут було здійснено заміну n = k- 1 і використаний той факт, що .

Виконавши перетворення, аналогічні використаним під час виведення М(X), отримаємо

Розподіл Пуассона використовується для апроксимації біномінального розподілу при великих n