Чому дорівнює значення дисперсії числа 5. Дисперсія, середнє відхилення дискретної випадкової величини

Теорія ймовірності - особливий розділматематики, яку вивчають лише студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки та формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням та дисперсією дискретної випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавим. Давайте познайомимося з кількома найважливішими базовими поняттямицього розділу науки.

Згадаймо основи

Навіть якщо ви пам'ятаєте самі прості поняттятеорії ймовірності, не нехтуйте першими абзацами статті. Справа в тому, що без чіткого розумінняоснов ви не зможете працювати з формулами, що розглядаються далі.

Отже, відбувається деяке випадкова подія, якийсь експеримент. Через війну вироблених дій ми можемо отримати кілька результатів - одні зустрічаються частіше, інші - рідше. Імовірність події - це відношення кількості реально отриманих наслідків одного типу до загальному числуможливих. Тільки знаючи класичне визначенняданого поняття, ви зможете приступити до вивчення математичного очікуваннята дисперсії безперервних випадкових величин.

Середнє арифметичне

Ще в школі на уроках математики ви починали працювати із середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обминути. Головним для нас на Наразіє те, що ми зіткнемося з ним у формулах математичного очікування та дисперсії випадкової величини.

Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається - підсумувати все існуюче та розділити на кількість елементів у послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів дорівнюватиме 45, і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: - 5.

Дисперсія

Говорячи науковою мовоюдисперсія - це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середнього арифметичного. Позначається одна заголовною латинською літерою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різницю між наявним числом та середнім арифметичним і зведемо у квадрат. Значень вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у події, що ми розглядаємо. Далі ми підсумовуємо все отримане та ділимо на кількість елементів у послідовності. Якщо у нас можливі п'ять наслідків, то ділимо на п'ять.

У дисперсії є й властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати під час вирішення завдань. Наприклад, зі збільшенням випадкової величини у X разів, дисперсія збільшується у X у квадраті разів (т. е. X*X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значенняу більшу чи меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

Тепер нам обов'язково слід розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини та математичного очікування.

Припустимо, що ми провели 21 експеримент та отримали 7 різних результатів. Кожен із них ми спостерігали, відповідно, 1,2,2,3,4,4 та 5 разів. Чому дорівнюватиме дисперсія?

Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7, отримуючи 3. Тепер із кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3, кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, начебто, все. Але є проблема! Давайте її обговоримо.

Залежність кількості експериментів

Виявляється, при розрахунку дисперсії у знаменнику може стояти одне з двох чисел: або N або N-1. Тут N - це число проведених експериментів або число елементів у послідовності (що, по суті, те саме). Від чого це залежить?

Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить за цифрою 30. Якщо експериментів ми провели менше 30, то ділити суму будемо на N-1, а якщо більше – то на N.

Завдання

Давайте повернемося до нашого прикладу розв'язання задачі на дисперсію та математичне очікування. Ми отримали проміжне число 12, яке потрібно було поділити на N чи N-1. Оскільки експериментів ми провели 21, що менше 30 виберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12/2 = 2.

Математичне очікування

Перейдемо до другого поняття, яке ми обов'язково маємо розглянути цій статті. Математичне очікування – це результат складання всіх можливих наслідків, помножені на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення, як і результат розрахунку дисперсії, виходить лише один раз для цілого завданняскільки б результатів у ній не розглядалося.

Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо з його ймовірність, додаємо те саме для другого, третього результату тощо. буд. Усе, що з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожиданий дорівнює маточку суми. Для твору актуально те саме. Такі прості операції дозволяє із собою виконувати далеко не кожна величина теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення одразу двох вивчених понять. Крім того, ми відволікалися на теорію - настав час попрактикуватися.

Ще один приклад

Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів результатів - цифри від 0 до 9 - які з'являються у різному процентному відношенні. Це відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей потрібно розділити значення у відсотках на 100. Таким чином отримаємо 0,02; 0,1 і т.д. Представимо для дисперсії випадкової величини та математичного очікування приклад розв'язання задачі.

Середнє арифметичне розрахуємо за формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 = 5.

Тепер переведемо ймовірність у кількість наслідків «в штуках», щоб було зручніше рахувати. Отримаємо 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен із отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити, з прикладу першого елемента: 1 - 5 = (-4). Далі: (-4) * (-4) = 16. Для решти значень проробіть ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після додавання всіх ви отримаєте 90.

Продовжимо розрахунок дисперсії та математичного очікування, розділивши 90 на N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно тому, що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/10 = 9. Дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не засмучуйтесь. Швидше за все, ви припустилися банальної помилки при розрахунках. Перевірте ще раз написане, і напевно все встане на свої місця.

Зрештою, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо наводити всіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з якою ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матоожидання дорівнюватиме 5,48. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, з прикладу перших елементів: 0*0,02 + 1*0,1… тощо. Як бачите, ми просто множимо значення результату з його ймовірність.

Відхилення

Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією та математичним очікуванням – середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими літерами sd, або грецькою малої «сигмою». Це поняттяпоказує, як у середньому відхиляються значення від центрального ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратний коріньіз дисперсії.

Якщо ви збудуєте графік нормального розподілуі захочете побачити безпосередньо на ньому квадратичного відхиленняЦе можна зробити в кілька етапів. Візьміть половину зображення зліва або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і проекцією, що вийшла на горизонтальну вісьі буде середнім квадратичним відхиленням.

Програмне забезпечення

Як видно з описів формул і наведених прикладів, розрахунки дисперсії та математичного очікування - не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, є сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах- вона називається "R". У ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять із статистики та теорії ймовірності.

Наприклад, ви задаєте вектор значень. Робиться це так: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

На закінчення

Дисперсія та математичне очікування - це без яких складно надалі щось розрахувати. В основному курсі лекцій у вишах вони розглядаються вже у перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять та невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані позначки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії.

Потренуйтесь хоча б один тиждень по півгодини на день, вирішуючи завдання, схожі на представлені в цій статті. Тоді на будь-якій контрольній теорії ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.

https://pandia.ru/text/78/381/images/image002_82.jpg" width="192 height=55" height="55"> 0 Значення полігону, побудованого за даним вибірковим розподілом, у точці 1280 і моди рівні

DX = 1.5. Використовуючи властивості дисперсії, знайдіть D(2X+5).

MX = 1.5. Використовуючи властивості математичного очікування, знайдіть M(2X+5).

MX = 5, MY = 2. Використовуючи властивості математичного очікування, знайдіть M(2X – 3Y).

x- Стандартна нормальна випадкова величина. Випадкова величинаx2 має розподіл

X та Y – незалежні. DX = 5, DY = 2. Використовуючи властивості дисперсії, знайдіть D(2X+3Y).

Впадає 5 монет. Якою є ймовірність того, що три рази випаде герб?

Впадає 6 монет. Імовірність того, що герб випаде понад чотири рази, дорівнює:

Гістограма "гістограма". Вона має вигляд

DIV_ADBLOCK234">

У результаті чотирьох вимірів деякої фізичної величиниодним приладом отримані такі результати: 8, 9, 11, 12. Вибіркова середня результатіввимірювань, вибіркова та виправлена дисперсії помилок приладу рівні відповідно

У коло радіусом 10 поміщений менший коло радіусом 5. Знайти ймовірність того, що точка, навмання кинута в велике коло, потрапить також і до малого кола. Передбачається, що ймовірність попадання точки в коло пропорційна площі кола і залежить від його розташування.

У коло радіусом 20 см поміщено менший коло радіусом 10 см так, що їхні центри збігаються. Знайти ймовірність того, що точка, навмання кинута у велике коло, потрапить також і в кільце, утворене збудованими колами. Передбачається, що ймовірність попадання точки в коло пропорційна площі кола і залежить від його розташування.

У піраміді 5 гвинтівок, 3 з яких забезпечені оптичним прицілом. Імовірність попадання для стрільця при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0.95 зі звичайної гвинтівки - 0.7. Стрілець навмання бере гвинтівку і стріляє. Визначити можливість, що мета буде вражена.

У середньому кожен сотий виріб, який виробляється підприємством, дефектний. Якщо взяти два вироби, яка ймовірність, що обидва виявляться справними?

В таблиці статистичного розподілу, побудованого за вибіркою, на одне число потрапила клякса Це число

Ця цифра

У таблиці статистичного розподілу, побудованого за вибіркою, одна цифра написана нерозбірливо Ця цифра

У ящику в 5 разів більше червоних кульок, ніж чорних. Знайти ймовірність того, що вийнята навмання куля виявиться червоною.

Варіаційний рядвибірки: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 має вигляд

–7, -5, 0, 1, 2, 2, 3, 4

Величинаxмає розподіл N(a,s). Імовірність p(|x-a|<2 s) дорівнює

Величинаxмає розподіл N(a,s). Імовірність p(xs) дорівнює

Величинаxмає розподіл N(a,s). Імовірність p(xs) дорівнює

Імовірність виграти у кістки дорівнює 1/6. Гравець робить 120 ставок. Яким асимптотичним наближенням можна скористатися, щоб порахувати ймовірність того, що кількість виграшів не буде меншою за 15?

Імовірність виграти в рулетку дорівнює 1/38. Гравець робить 190 ставок. За допомогою якої таблиці можна знайти ймовірність того, що він виграє щонайменше 5 разів?

розподілу Пуассона

Імовірність виграти, граючи в рулетку, 1/37. Зробивши ставку 100 разів, ми жодного разу не виграли. Запідозривши, що гра ведеться не чесно, ми вирішили перевірити свою гіпотезу, побудувавши 95% довірчий інтервал для ймовірності виграшу. За якою формулою будується інтервал та що дала перевірці у нашому випадку?

DIV_ADBLOCK236">
Імовірність появи події А у випробуванні дорівнює 0.1. Чому дорівнює середньоквадратичне відхилення числа події А в одному випробуванні?

Імовірність суми будь-яких випадкових подій A і B обчислюється за такою формулою:

р(A+B)=р(A)+р(B)-р(AB)

Імовірність того, що будинок може згоріти протягом року, дорівнює 0.01. Застраховано 500 будинків. Яким асимптотичним наближенням можна скористатися, щоб порахувати ймовірність того, що згорить не більше 5 будинків?

розподілом Пуассона

Імовірність того, що розміри деталі, що випускається верстатом-автоматом, виявляться в межах заданих допусків дорівнює 0.96. Який відсоток шлюбу q? Яка кількість непридатних деталей у середньому (назвемо це число M) утримуватиметься в кожній партії обсягом 500 штук?

Можливі значення випадкової величини X такі: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 8. Відомі ймовірності: р (X = 2) = 0.4; р(X = 5) = 0.15. Знайдіть р(X = 8).

Воротар парирує в середньому 30% усіх одинадцятиметрових штрафних ударів. Яка ймовірність того, що він візьме рівно два з чотирьох м'ячів?

Чи завжди правильна формула M(X+Y)=M(X)+M(Y)

так завжди

Випущено 100 лотерейних білетів, причому встановлені призи, з яких 8 по 1 руб., 2 - по 5 руб. та 1 – 10 руб. Знайдіть ймовірності p0 (квиток не виграв), p1 (квиток виграв 1 руб.), p5 (квиток виграв 5 руб.) та p10 (квиток виграв 1 руб.) подій.

p0 = 0.89; p1 = 0.08; p5 = 0.02; p10 = 0.01

Даний варіаційний ряд вибірки обсягу n = 7: -5, -3, 0, 1, 1, 4, 16. Вибіркова медіана d і середнє вибіркове для цього ряду рівні

Даний варіаційний ряд вибірки обсягу n = 8: -2, 0, 3, 4, 6, 9, 12, 16. Вибіркова медіана d і середнє вибіркове для цього ряду рівні

Дано варіаційний ряд вибірки обсягу n = 9: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12. Вибіркова медіана для цього ряду – d дорівнює

Дана вибірка об'єму n = 10..jpg" width="13 height=21" height="21"> для цієї вибірки дорівнює

https://pandia.ru/text/78/381/images/image011_24.jpg" width="49" height="32 src=">

Дана вибірка обсягу n = 5: -2, -1, 1, 3, 4.." width="107" height="24 src=">

Дана вибірка обсягу n = 5: 2, 3, 5, 7, 8..jpg" width="108" height="24

Дана вибірка обсягу n = 5: -3, -2, 0, 2, 3.." width="115" height="24 src=">

Дана вибірка об'єму n = 5: -4, -2, 2, 6, 8..jpg" width="13"

Дана вибірка об'єму n = 5: -6, -4, 0, 4, 6..jpg" width="13"

Дана вибірка обсягу n = 7: 3, 5, -2, 1, 0, 4, 3. Варіаційний ряд для цієї вибірки та розмах варіаційного ряду

-2, 0, 1, 3, 3, 4, 5; розмах дорівнює 7

Дана вибірка об'єму n: х1, х2, …, хn..jpg" width="141" height="45 src=">

Дано вибірку обсягу n: х1, х2, …, хn. Якщо кожен елемент вибірки збільшити на 5 одиниць, то

вибіркове середнє збільшиться на 5, а вибіркова дисперсія S2 не зміниться

Дано вибірку обсягу n: х1, х2, …, хn. Якщо кожен елемент вибірки збільшити в 5 разів, то середнє вибіркове

зросте у 5 разів, а вибіркова дисперсія S2 збільшиться у 25 разів

Дано вибірку обсягу n: х1, х2, …, хn. Статистичний (або емпіричний) початковий момент k-го порядку знаходиться за формулою

ak = https://pandia.ru/text/78/381/images/image017_13.jpg" width="83" height="47 src=">

Дана вибірка об'єму n: х1, х2, х3, …, хn..jpg" width="140"

Дана вибірка: 0, 5, 2, 8, 2, 6, 1, 5. Варіаційний ряд для цієї вибірки та її розмах

0, 1, 2, 2, 5, 5, 6, 8; розмах вибірки 8

Дана конкретна вибірка обсягу n = 10: 2, 2, 5, 5, 4, 3, 4, 2, 2, 5. Статистичне розподілення цієї вибірки має вигляд

https://pandia.ru/text/78/381/images/image021_11.jpg" width="203" height="51"> За допомогою методу найменших квадратів по цих точках будується пряма регресії . Ця пряма для прибутку в березні дає значення (Вказівка. Визначити це значення без побудови прямої регресії)

Дано статистичний розподіл вибірки

https://pandia.ru/text/78/381/images/image023_9.jpg" width="200" height="71"> Вибіркове середнє та вибіркова дисперсія S2 рівні

Графік емпіричної функції розподілу для цієї вибірки має вигляд

https://pandia.ru/text/78/381/images/image026_4.jpg" width="192" height="69 src="> Емпірична функціярозподілу для цього ряду має вигляд

https://pandia.ru/text/78/381/images/image028_4.jpg" width="144" height="78 src=">

Дано статистичне розподіл вибірки з числом варіант m: http://www.pandia.ru/text/78/381/images/image030_7.

Дано статистичний розподіл вибірки з числом варіант m: https://pandia.ru/text/78/381/images/image032_3.jpg" центральний момент k-го порядку знаходиться за формулою:

https://pandia.ru/text/78/381/images/image034_2.jpg" Вибіркова середня дорівнює . Тоді вибіркова дисперсія S2 знаходиться за формулою

https://pandia.ru/text/78/381/images/image036_2.jpg" width="201" height="71 src="> Статистичний (або емпіричний) початковий момент k-го порядку знаходиться за формулою

https://pandia.ru/text/78/381/images/image038_2.jpg" width="193" height="71"> Вибіркова середня та вибіркова дисперсія S2 рівні

https://pandia.ru/text/78/381/images/image039_2.jpg" width="185" height="71"> Вибіркове середнє та вибіркова дисперсія S2 рівні

https://pandia.ru/text/78/381/images/image040_2.jpg" width="245" height="28 src="> . При рівні значимості a=0,05 перевіряється гіпотеза про рівність генеральних середніхmx=my (конкуруюча гіпотезаmx≠my). Досвідчене значення статистики Т, яка застосовується для перевірки гіпотези Н0, дорівнює 4,17. Гіпотеза Мх = Му

проходить

Для 2-х нормальних незалежних величинз однаковими дисперсіями отримані вибірки обсягу nх=42 і ny=20 з такими характеристиками: width="16" та таблиць нормального розподілу будується довірчий інтервал. Якщо збільшити обсяг вибірки у 100 разів, довжина довірчого інтервалу приблизно

зменшиться у 10 разів

Для вибірки обсягу n=9 розрахували вибіркову дисперсію S2 = 3,86. Виправлена дисперсія дорівнює

Для контролю за якістю продукції заводу з кожної партії готових виробів вибирають для перевірки 1000 деталей. Перевірку не витримують у середньому 80 виробів. Рівною чому можна прийняти ймовірність того, що навмання взятий виріб цього заводу виявиться якісним? Скільки приблизно бракованих виробів (назвемо це число M) буде у партії із 10000 одиниць?

p = 0.92; M = 800

Для обробки спостережень методом найменших квадратівпобудовано пряму. Її графік:

https://pandia.ru/text/78/381/images/image043_3.jpg" width="20" height="24">)

Для побудови довірчого інтервалу для оцінки ймовірності треба скористатися таблицями

нормального розподілу

Для перевірки гіпотези про рівність 2-х генеральних середніх треба скористатися таблицями

розподілу Стьюдента

Для перевірки на схожість було посіяно 2000 насінин, з яких 1700 проросло. Рівною чому можна прийняти ймовірність проростання окремого насіння в цій партії? Скільки насіння в середньому (назвемо це число M) зійде з кожної тисячі посіяних?

Для порівняння 2-х генеральних середніх сукупностей X і Y їх витягли вибірки обсягу n і m відповідно. Для перевірки гіпотези про те, що mх=my, треба обчислити статистику

https://pandia.ru/text/78/381/images/image045_3.jpg" width="12" height="20"> , вибіркове середньоквадратичне s

Для того, щоб удвічі звузити довірчий інтервал, побудований для математичного очікування, скільки разів треба збільшити кількість спостережень

Для того, щоб за вибіркою обсягу n = 10 побудувати довірчий інтервал для математичного очікування нормального розподілу, дисперсія якого невідома, потрібні таблиці

розподілу Стьюдента.

Для того, щоб побудувати 95% довірчий інтервал для математичного очікуванняmвипадкової величини, розподіленої нормально з відомою дисперсієюs2 за вибіркою об'єму n, обчислюється та використовується формула

https://pandia.ru/text/78/381/images/image048_1.jpg" width="136 height=47" height="47">

Якщо ймовірність події A є р(A), то чому дорівнює ймовірність події, протилежної йому?

Якщо є група з n несумісних подій Hi, у сумі складових весь простір, і відомі ймовірності P(Hi), а подія A може наступити після реалізації одного з Hi і відомі ймовірності P(A/Hi), то P(A) обчислюється за формулою

Повна ймовірність

Завод у середньому дає 27% продукції вищого ґатунку та 70% – першого ґатунку. Знайдіть ймовірність того, що навмання взятий виріб не буде вищого чи першого сорту.

Завод у середньому дає 28% продукції вищого гатунку і 70% першого сорту. Знайдіть ймовірність того, що навмання взятий виріб буде або вищого, або першого сорту.

Задано таблицю розподілу випадкової величини. Знайти C..jpg" width="187" height="59 src=">

Значення кумуляти, побудованої за таблицею, в точці 170, і медіани рівні

З колоди, що складається з 36 карт, виймають навмання дві карти. Імовірність того, що попадуть дві карти однакової масти, дорівнює

https://pandia.ru/text/78/381/images/image054_1.jpg" width="43" height="41 src=">

Відомо, що X~N(0,3), Y~N(0.5, 2), Х та Y незалежні. S=X+2Y має розподіл

Вироби виготовляються незалежно один від одного. У середньому один виріб із ста виявляється бракованим. Чому дорівнює ймовірність того, що з двох взятих навмання виробів виявляться несправними обидва?

Вироби виготовляються незалежно один від одного. У середньому один виріб із ста виявляється бракованим. Чому дорівнює ймовірність того, що з 200 взятих навмання виробів 2 виявляться несправними?

Є група з n несумісних подій Hi, у сумі складових весь простір, і відомі ймовірності P(Hi), а подія A може настати після реалізації одного з Hi, і задані ймовірності P(A/Hi). Відомо, подія A сталася. Імовірність, що при цьому була реалізована Hi обчислюється за формулою

Кількість уражень шахіста протягом року має розподіл Пуассона з параметром =6. Імовірність того, що шахіст протягом року програє не більше двох партій, дорівнює

https://pandia.ru/text/78/381/images/image056_0.jpg" width="44" height="45 src=">

Куплено 1000 лотерейних квитків. На 80 з них впав виграш по 1 руб., На 20 - по 5 руб., На 10 - по 10 руб. Яка таблиця визначає закон розподілу виграшу?

https://pandia.ru/text/78/381/images/image058_1.jpg" width="89 height=52" height="52"> , рівні

Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, рівномірно розподіленої на відрізку , рівні

Медіана вибірки дорівнює

Монету кидали 100 разів. 70 разів випав орел, для перевірки гіпотези про симетричність монети будуємо довірчий інтервал і перевіряємо, чи потрапили ми до нього. За якою формулою будується довірчий інтервал і що дасть перевірка у нашому конкретному випадку?

I 0,95 (p) = , монета не симетрична

На деякій фабриці машина А виробляє 40% продукції, а машина B – 60%. У середньому 9 із 1000 одиниць продукції, вироблених машиною А, та 1 із 250, вироблених машиною B, виявляються бракованими. Якою є ймовірність, що випадково обрана одиниця продукції виявиться бракованою?

На деякому заводі було помічено, що при певних умовв середньому 1.6% виготовлених виробів виявляються незадовільними стандарту і одружуються. Рівною чому можна прийняти ймовірність того, що навмання взятий виріб цього заводу виявиться якісним? Скільки приблизно непридатних виробів (назвемо це число M) буде у партії із 1000 виробів?

p = 0.984; M = 16

На відрізку довжиною 20 см поміщений менший відрізок L довжиною 10 см. Знайти ймовірність того, що точка, навмання поставлена на великий відрізок, Потрапить також і на менший відрізок. Передбачається, що можливість попадання точки на відрізок пропорційна довжині відрізка і не залежить від його розташування.

Спостереження проводилися над системою (х, у) 2-х величин. Результати спостереження записані до таблиці Коефіцієнт кореляції дорівнює

Спостереження проводять над системою (X: Y) двох випадкових величин. Вибірка складається з пар чисел: (х1: y1), (х2: y2), ..., (хn: yn)..jpg" width="11" height="24 src=">.jpg" height="27 src=">.jpg" width="200" height="49 src=">

Щільність розподілу f(x) можна знайти за функцією розподілу F(х) за формулою

https://pandia.ru/text/78/381/images/image069.jpg" width="161" height="83 src=">

За вибіркою обсягу 100 треба побудувати довірчий інтервал для математичного очікування нормального розподілу дисперсію якого відома. Для цього необхідно скористатися

таблицями нормального розподілу

За вибіркою обсягу n із нормального розподілу з відомою дисперсієюs 2 будується довірчий інтервал для математичного очікування. Якщо обсяг вибірки збільшити у 25 разів, довжина довірчого інтервалу

зменшиться у 5 разів

За вибіркою об'єму n із нормального розподілу з невідомою дисперсією будується довірчий інтервал для математичного очікування. Обсяг вибірки збільшуємо в 16 разів. Медіана дорівнює

Медіана дорівнює

За вибіркою побудовано гістограму

нормальне

За вибіркою побудовано гістограму На вигляд гістограми можна припускати, що генеральна сукупність, з якої зроблена вибірка, має розподіл

рівномірне

За вибіркою побудована статистична таблиця розподілу width="201" 48

По вибірці побудовано таблицю статистичного розподілу вибірки, що має вигляд.

https://pandia.ru/text/78/381/images/image077.jpg" width="187" height="75 src="> Побудувати графічно моду, знайти медіану

https://pandia.ru/text/78/381/images/image008_28.jpg" width="105" height="47 src="> , де DIV_ADBLOCK247">
Виробляється n незалежних випробувань, у яких ймовірність настання події A дорівнює p. Імовірність того, що подія A настане m разів

обчислюється за формулою Бернуллі

Виробляється n незалежних випробувань, у яких ймовірність настання події A дорівнює p. n велике. Чи ймовірність того, що подія A настане m разів, обчислюється за формулою чи використовуються асимптотичні наближення?

використовуються асимптотичні наближення

Проводиться вибірка обсягу n=100 з генеральної сукупності, що має розподіл N (20,4)..jpg" width="184" height="73">

Рулетка розмічається за допомогою міток – 00, 0, 1, …36. Мітки при грі не мають переваг одна перед одною. Гравець робить 114 спроб. Яка можливість жодного разу не виграти?

З першого верстата на складання надходить 40% деталей, решта 60% з другого. Імовірність виготовлення бракованої деталі для першого та другого верстата відповідно дорівнює 0.01 та 0.04. Знайдіть ймовірність того, що наудачу деталь, що надійшла на складання, виявиться бракованою.

Саме маленьке значенняу вибірці 0, найбільше 8, медіана 2. За цією вибіркою побудовано гістограму

DIV_ADBLOCK249">
Події A та B називаються несумісними, якщо:

Події називаються незалежними, якщо:

р(AB)=р(A)р(B)

Заможною, але зміщеною точковою оцінкоюпараметра є

емпірична дисперсія S2

Верстат-автомат виготовляє вироби трьох сортів. Першого ґатунку – 80%, другого – 15%. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання взятий виріб буде або другого, або третього сорту?

Страхування 1600 автомобілів; ймовірність того, що автомобіль може потрапити в аварію, дорівнює 0.2. Яким асимптотичним наближенням можна скористатися, щоб порахувати ймовірність того, що кількість аварій не перевищить 350?

інтегральною формулою Муавра-Лапласа

Стрілець потрапляє в ціль у середньому у 8 випадках з 10. Яка ймовірність, що, зробивши три постріли, він двічі потрапить?

Студенту пропонують 6 запитань та на кожне запитання 4 відповіді, з яких одна вірна, і просять дати вірні відповіді. Студент не підготувався і обирає відповіді на угад. Яка ймовірність того, що він правильно відповість на половину питань? (З точністю до 3-х знаків після коми)

Тенісист іде на гру. Якщо йому дорогу перебіжить чорна кішка, то можливість перемоги 0,2; якщо не перебіжить, то – 0,7. Імовірність, що кішка перебіжить дорогу – 0,1; що не перебіжить - 0,9. Імовірність перемоги:

0,1 · 0,2 +0,9 · 0,7

Умовною ймовірністю події B за умови, що подія A з ненульовою ймовірністю відбулася, називається:

р(B/A)=р(AB)/р(A)

ФормулаD(-X)=D(X)

Функцію розподілу F(х) можна знайти за густиною ймовірності f(х) за формулою

Це різниця математичного очікування квадрата випадкової величини та квадрата її мат очікування.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

Дисперсія характеризує ступінь розсіювання значення випадкової величини щодо її мат очікування. Якщо всі значення тісно сконцентровані біля її мат очікування і більше відхилення від мат ожид, то така випадкова величина має малу дисперсію, а якщо розсіяні і велика ймовірність великих відхилень від М, випадок величина має велику дисперсію.

Властивості:

1. Дисперсія постійно дорівнює 0 D (C) = 0

2.Дисперсія твору випадок величини на постійну С дорівнює десперсії випадок велич Х на квадрат постійної D(CX)=C^2D(X)

3. Якщо випадок велич X і Y незалежні, дисперсія їх суми (різниці) дорівнює сумі дисперсій

D(X Y) = D(X)+D(Y)

4.Дисперсія випадок велич не зміниться якщо до неї додати постійну

Теорема:

Дисперсія числа поява соб А в n незалежних випробуванняху кожному з яких ймовірність появи соб постійна і дорівнює p, дорівнює добутку числа випробування на ймовірність появи та ймовірності непояви соб в одному випробуванні

Середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратом відхиленням випадкової величини Х називається арифметичний коріньз дисперсія

Безперервні випадкові величини. Функція розподілу ймовірностей та її властивості.

Випадкова величина, значення якої заповнює певний проміжок, називається безперервний.

Проміжки можуть бути кінцевими, напівнескінченними або нескінченними.

Функція розподіл св.

Способи завдання ДСВ не застосовуються для безперервної. У зв'язку з цим вводиться поняття функції розподілу ймовірностей.

Функція розподілу називають функцію F(x) визначальну для кожного значення х ймовірність того, що випадок велич Х прийме значення менше х тобто

Функція розподілу ДСВ, що приймають значення (x1, x2, x3) з ймовірністю (p1, p2, p3), визначається

Так, наприклад, функція розподілу біномного розподілувизначається формулою:

Випадкову величинуназивають безперервною, якщо її функція розподілу є безперервна, частково диференційована функція з безперервною похідною.

Властивості:

1. значення функції належить

2. функція розподілу є незменшуюча функція F(x2)
3.Ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення укладеного в інтервалі (α,β) дорівнює збільшенню функції розподілу на цьому інтервалі P(α
Слідство. Імовірність того, що випадок велич прийме одне значення дорівнює 0.

4.Якщо всі можливі значення випадків велич Х належить (a,b) то F(x)=0 при x a і F(x)=1 при x b

5.Вірогідність того, що випадок велич Х прийме значення більше ніж x дорівнює різниці між одиницею та функцією розподілу

Дисперсія у статистицізнаходиться як індивідуальних значень ознаки у квадраті від . Залежно від вихідних даних вона визначається за формулами простої та зваженої дисперсій:

1. (Для несгрупованих даних) обчислюється за формулою:

2. Зважена дисперсія (для варіаційного ряду):

де n - Частота (повторюваність фактора Х)

Приклад знаходження дисперсії

На цій сторінці описано стандартний приклад знаходження дисперсії, також Ви можете переглянути інші завдання на її знаходження

Приклад 1. Є такі дані щодо групи з 20 студентів заочного відділення. Потрібно побудувати інтервальний ряд розподілу ознаки, розрахувати середнє значення ознаки та вивчити його дисперсію

Побудуємо інтервальне угруповання. Визначимо розмах інтервалу за формулою:

де X max - максимальне значення групувального ознаки;
X min-мінімальне значення групувальної ознаки;
n – кількість інтервалів:

Приймаємо n=5. Крок дорівнює: h = (192 - 159) / 5 = 6,6

Складемо інтервальне угруповання

Для подальших розрахунків збудуємо допоміжну таблицю:

X'i - середина інтервалу. (наприклад, середина інтервалу 159 – 165,6 = 162,3)

Середню величину зростання студентів визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

Визначимо дисперсію за такою формулою:

Формулу дисперсії можна перетворити так:

З цієї формули випливає, що дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата та середньої.

Дисперсія у варіаційних рядахз рівними інтервалами за способом моментів може бути розрахована наступним способом при використанні другої властивості дисперсії (розділивши всі варіанти на величину інтервалу). Визначення дисперсії, обчисленої за способом моментів, за такою формулою менш трудомісткий:

де i – величина інтервалу;
А - умовний нуль, як який зручно використовувати середину інтервалу, що володіє найбільшою частотою;
m1 - квадрат моменту першого порядку;
m2 - момент другого порядку

(якщо в статистичній сукупності ознака змінюється так, що є тільки два варіанти, що взаємно виключають один одного, то така мінливість називається альтернативною) може бути обчислена за формулою:

Підставляючи до цієї формули дисперсії q =1- р, отримуємо:

Види дисперсії

Загальна дисперсіявимірює варіацію ознаки у всій сукупності загалом під впливом всіх чинників, що зумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки х від загального середнього значення х може бути визначена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

характеризує випадкову варіацію, тобто. частина варіації, яка обумовлена впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Така дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи X від середньої арифметичної групи і може бути обчислена як проста дисперсія або зважена дисперсія.

Таким чином, внутрішньогрупова дисперсія вимірюєваріацію ознаки всередині групи та визначається за формулою:

де хі - групова середня;
ni – число одиниць у групі.

Наприклад, внутрішньогрупові дисперсії, які треба визначити в задачі вивчення впливу кваліфікації робітників на рівень продуктивності праці в цеху показують варіації виробітку в кожній групі, викликані всіма можливими факторами (технічний стан обладнання, забезпеченість інструментами та матеріалами, вік робітників, інтенсивність праці тощо) .), крім відмінностей у кваліфікаційному розряді (всередині групи всі робітники мають одну й ту саму кваліфікацію).

Середня з внутрішньо групових дисперсій відображає випадкову , тобто ту частину варіації, яка відбувалася під впливом всіх інших факторів, за винятком фактора угруповання. Вона розраховується за такою формулою:

Характеризує систематичну варіацію результативної ознаки, яка обумовлена впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої. Міжгрупова дисперсія розраховується за такою формулою:

Правило складання дисперсії у статистиці

Згідно правилу складання дисперсійзагальна дисперсія дорівнює сумі середньої із внутрішньогрупових та міжгрупових дисперсій:

Сенс цього правилаполягає в тому, що загальна дисперсія, яка виникає під впливом всіх факторів, дорівнює сумі дисперсій, що виникають під впливом всіх інших факторів, та дисперсії, що виникає за рахунок угруповання.

Користуючись формулою складання дисперсій, можна визначити за двома відомими дисперсіями третю невідому, а також судити про силу впливу групувальної ознаки.

Властивості дисперсії

1. Якщо всі значення ознаки зменшити (збільшити) на ту саму постійну величину, то дисперсія від цього не зміниться.
2. Якщо всі значення ознаки зменшити (збільшити) в те саме число разів n, то дисперсія відповідно зменшиться (збільшити) в n^2 разів.

Нехай подія А = (1,2,3), а подія В = (1,2,3,4,5,6). Вкажіть правильний вислів.

Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 5. Чому дорівнює значення дисперсії D (-2X)

Під час обстеження окремого регіону фірмою, що надає інтернет-послуг, виявлено, що (в середньому) з кожних 100 сімей, 80 мають комп'ютер, підключений до Інтернету. Оцінити ймовірність того, що з 400 сімей цього мікрорайону, від 300 до 360 сімей мають комп'ютер, підключений до інтернету.

Розглядаються дві випадкові величини X і Y. Їх математичне очікування та дисперсія відповідно дорівнюють: М (X) = 3; D(X) = 2; M (Y) = 2; D(Y) =1. Вкажіть правильні співвідношення.
Яка з таких формул використовується для обчислення числа розміщення?

Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n та P. Вкажіть за якою формулою обчислюється дисперсія D(X).

Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n і P. За якою формулою обчислюється математичне очікування M (X)
Кинуті дві гральні кістки. Яка з таких сукупностей отриманого числа утворює повну групу подій?
Монета кидається 2 рази, яка ймовірність випадання поспіль двох гербів?

На малюнку представлені графіки нормальних розподілів N1, N2, N3. Розташуйте ці розподіли у порядку зростання їхнього математичного очікування.

На малюнку представлені графіки нормальних розподілів N1, N2, N3. Розташуйте ці розподіли у порядку зростання їх дисперсії.

Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини Х, заданої наступним законом розподілу
Чи відрізняються поняття «перестановки із трьох елементів» та «розміщення із трьох елементів по три»?

Встановити послідовність відповідей

Математичне очікування та дисперсія випадкової величини X, відповідно, рівні М (Х) = 3; D(X) =2. Розташуйте такі вирази у порядку зростання їх значень.

Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 5. Чому дорівнює значення дисперсії D (X-1)

Чому дорівнює математичне очікування M (X-Y) різниці двох випадкових величин X і Y, а якщо відомі значення математичних очікувань кожної з них: M (X) = 3; M(Y) = 4?

Вкажіть назви ймовірностей, що входять до формули Байєса.

Нехай подія А = (1,2.3.4,5), а подія В = (5,4,3,2,1). Вкажіть правильний вислів.

Що означає записані нижче формули.

Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 5. Чому дорівнює значення дисперсії D (3X+6)
Математичне очікування випадкової величини Х дорівнює 5: M(X) =5. Чому дорівнює значення математичного очікування М (Х-1)?
Математичне очікування випадкової величини Х дорівнює 5: M(X) =5. Чому дорівнює значення математичного очікування М (-2Х)?

У серії з n незалежних випробувань, що проводяться за схемою Бернуллі, спостерігається настання події А. Що означають наведені нижче компоненти формули Бернуллі? Pm,n=Cmnpmqn-m, де q=1-p. Що означають у цій формулі: 1) Pm,n 2) Cmn 3) p

Нехай А -випадкова подія, ймовірність якого відмінна від нуля і 1; ? -Достовірне і O - неможлива подія. Події B, C та D визначені як: B=A+A; C = A +?; D=A* O
Чому дорівнює значення середнього квадратичного відхилення числа 4?
Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) =5. Чому дорівнює значення дисперсії D (-2X)?
Математичне очікування випадкової величини Х дорівнює 5: M(X) =5. Чому дорівнює значення математичного очікування М (3Х+6)?
Концепція факторіалу. Який із наступних виразів неправильний?
Порівняйте два числа та вкажіть правильну відповідь. Порівняйте два числа. Яка з них більша? Яке із чисел більше 10! чи 1010?

Порівняйте два числа та вкажіть правильну відповідь.

Охарактеризуйте подію: 2х2 = 5
Чому дорівнює сума протилежних подій?
Чому дорівнює твір протилежних подій?
Кинуті дві гральні кістки. Яка з таких сукупностей отриманого числа очок утворює повну групу подій?

Події утворюють повну групу якщо вони:
Чому дорівнює сума випадкових подій, що утворюють повну групу?

Нехай подія А = 1, 2, 3, а подія B = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вкажіть вірний вислів.

Нехай подія А = 1,2,3,4,5, а подія B = 5,4,3,2,1. Вкажіть правильний вислів.
Скільки елементів містить багато елементарних подій, що описують результат кидання грального кубика?
Яка з таких формул використовується для обчислення числа розміщень?

Розміщення та перестановки. Нехай P – число можливих перестановок із n елементів, і А- число розміщень із n елементів по m (n>m). Яким є співвідношення між величинами P і А? Вкажіть правильну відповідь:
Чи розрізняються поняття "перестановки з трьох елементів" та "розміщення з трьох елементів по три"?

Властивості поєднань. Нехай C – число поєднань з n елементів m
Монета кидається двічі. Яка ймовірність випадання поспіль двох гербів?
Монета кидається тричі. Яка ймовірність випадання поспіль трьох гербів?

Нехай А та В – випадкові події. Порівняйте величини P(A+B) та Р(А)+Р(В) та вкажіть правильну відповідь.
Чому дорівнює ймовірність суми протилежних подій?
Чому дорівнює можливість твору протилежних подій?
Нехай А – випадкова подія, ймовірність якої – Р(А) = 0,3. Чому дорівнює ймовірність події Р(А+А)?
Нехай А – випадкова подія, ймовірність якої – Р(А) = 0,3. Чому дорівнює ймовірність добутку подій Р (А * А)?

Імовірність твору достовірного та випадкового подій. Нехай

Імовірність суми неможливого та випадкового подій. Нехай

Імовірність твору неможливого та випадкового подій. Нехай
Чому дорівнює ймовірність Р суми подій, що утворюють повну групу?

Імовірність суми достовірного та випадкового подій. Нехай

Формула Бернуллі. Формула Бернуллі має вигляд:
Які причини використання асимптотичних наближень формули Бернуллі?

Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n та P. Вкажіть, за якою формулою обчислюється дисперсія D(X):

Дискретна випадкова величина Х має біномінальний закон розподілу з параметрами n та P. Вкажіть, за якою формулою обчислюється математичне очікування M(X):
Що означає у цій формулі P?

Законом рідкісних явищ називають:
Що означає у цій формулі P?

Вкажіть властивість функції Гауса. (див. нижче):

Зазначте критерій використання інтегральної теореми (формули) Муавра-Лапласа. Інтегральна формула Муавра-Лапласа має вигляд:

Властивості функції Лапласа (див. нижче):
Яка характеристика випадкової величини має сенс середнього значення?

Чому дорівнює математичне очікування M (X + Y) суми двох випадкових величин X і Y, якщо відомі значення математичних очікувань кожної з них: M (X) = 3 і M (Y) = 4?

Чому дорівнює математичне очікування M (X-Y) різниці двох випадкових величин X і Y, якщо відомі значення математичних очікувань кожної з них: M (X) = 3 і M (Y) = 4?
Математичне очікування випадкової величини X дорівнює 5: М(X) = 5. Чому дорівнює значення математичного очікування М(X-1)?
Математичне очікування випадкової величини X дорівнює 5: М(X) = 5. Чому дорівнює значення математичного очікування М(-2X)?
Математичне очікування випадкової величини X дорівнює 5: М(X) = 5. Чому дорівнює значення математичного очікування М(3X+6)?
Яка характеристика випадкової величини визначає міру її розсіювання?

Чому дорівнює дисперсія суми D (X+Y) двох незалежних випадкових величин X та Y, якщо відомі значення дисперсій кожної з них: D(X) =3 та D(Y) =4?
Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) = 5. Чому дорівнює значення дисперсії D(X-1)?
Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) = 5. Чому дорівнює значення дисперсії D(-2X)?
Дисперсія випадкової величини X дорівнює 5: D(X) = 5. Чому дорівнює значення дисперсії D(3X+6)?
Чому дорівнює значення дисперсії числа 5: D(5) = ?

Середнє квадратичне відхилення дорівнює:

Охарактеризуйте безліч значень дискретної випадкової величини (вкажіть найповнішу відповідь):

Завдання: Випадкова величина X приймає три можливі значення x=2; x=5; x = 8. Відомі ймовірності перших двох можливих значень: p=0,4 та p=0,15. Знайти ймовірність значення x; p=?

Безліч значень безперервної випадкової величини є:
Яке значення безперервної випадкової величини Х визначає її медіана Ме (Х)?

Мода Mo (X) випадкової величини Х характеризує (вкажіть правильну відповідь):
Функція розподілу. Імовірність якої події визначає функція розподілу F(X) випадкової величини X?

Найменше значення функції розподілу. Безперервна випадкова величина X визначена по всій числовій осі. Чому дорівнює граничне значення її функції розподілу F(x) при x->

Найбільше значення функції розподілу. Безперервна випадкова величина X визначена по всій числовій осі. Чому дорівнює граничне значення її функції розподілу F(x) за x->-? (вкажіть правильну відповідь серед нижчеперелічених) ?
Якою з наведених нижче властивостей має функція розподілу випадкової величини?

Які значення може набувати біноміально розподілена випадкова величина Х? P (X = m) = Cpq, де: 0

Чому дорівнює математичне очікування M (X) випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом: P (X = m) = Cpq, де: 0

Чому дорівнює дисперсія D(X) випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом: P(X=m) = Cpq, де: 0
Які значення може набувати випадкова величина Х, яка описується законом розподілу Пуассона?

Математичне очікування випадкової величини X, що має Пуассонівський закон розподілу, дорівнює 4: M(X) = 4. Чому дорівнює дисперсія D(X) цієї випадкової величини?

Геометричне розподілення дискретної випадкової величини. Відповідно до розподілу: випадкова дискретна величина X, має геометричний розподіл з параметром p, приймає нескінченне (але лічильне) безліч значень 1,2, …, m, … з ймовірностями: P (X=m) = pq, де 0

Рівномірний розподіл. Охарактеризуйте щільність ймовірності випадкової величини, рівномірно розподіленої на відрізку:

Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Яка ймовірність - на те, що чекати пасажиру доведеться не більше півхвилини?

Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Визначити математичне очікування M (X) випадкової величини X – часу очікування поїзда.

Безперервна випадкова величина X має рівномірний закон розподілу на відрізку. Чому дорівнює її математичне очікування M(X)?

Значення значення параметра "a" нормального закону розподілу випадкової величини (див. нижче) це:

Значення значення параметра "сигма квадрат" нормального розподілу (закону Гауса).

Вплив математичного очікування (параметра "a") на графік густоти ймовірності нормального закону (закону Гауса) розподілу випадкової величини (див. нижче) характеризується:

Порівняння математичних очікувань. M (X) та М (Х) нормально розподілених випадкових величин Х та Х (див. малюнок нижче).

Зменшення дисперсії (параметра "сигма квадрат") нормального закону (закону Гауса) розподілу випадкової величини (див. нижче) призводить до наступної зміни графіка кривої розподілу:

Порівняння дисперсій D(X) та D(X) нормально розподілених випадкових величин X та X (див. малюнок нижче).

Стандартним (нормованим) законом розподілу N (0; 1) називається:

Правило трьох сигм.

Значення закону великих чисел.

Значення невласного інтеграла від густини ймовірності. Невласний інтеграл у нескінченних межах від щільності ймовірності безперервної випадкової величини дорівнює:
Чого прагне частота події, що спостерігається, при необмеженому збільшенні числа випробувань у схемі Бернуллі?

З генеральної сукупності відібрано десять елементів за принципом: брався кожен восьмий по порядку елемент генеральної сукупності. Як називається такий спосіб відбору?
Як називається варіанта, що характеризує найбільшу частоту у вибірці?
Рівень значущості під час перевірки статистичної гіпотези заданий 10%. Яка можливість помилки першого роду?
Яка з таких числових характеристик вибірки є зміщеною оцінкою?
До яких сполук належить властивість симетрії?

Вкажіть, яке з наведених нижче властивостей числових характеристик випадкової величини записано неправильно (припускаючи, що X і Y - незалежні випадкові величини)?
Чому дорівнює значення математичного очікування числа 5: M(5) = ?

Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X, заданої наступним законом розподілу:

Чому дорівнює дисперсія різниці D(X-Y) двох незалежних випадкових величин X та Y, якщо відомі значення дисперсій кожної з них: D(X) =3 та D(Y) =4?

Розподіл Пуассон. Математичне очікування. Чому дорівнює математичне очікування M (X) випадкової величини X

розподіленої згідно із законом Пуассона:

Розподіл Пуассон. Дисперсія. Чому дорівнює D(X) випадкової величини X розподіленої за законом Пуассона:

Вкажіть, яка сенсова інтерпретація такої випадкової величини Х:

Знайти моду для генеральної сукупності заданої варіаційним рядом:

Знайти генеральну середню генеральну сукупність, задану наступним варіаційним рядом:

Знайти медіану для генеральної сукупності заданої варіаційним рядом:

Визначити середню вибіркову для наступної вибірки:

Знайти вибіркову середню наступну вибірку з генеральної сукупності: