Що означає буква е в числі. Світові константи "пі" та "e" в основних законах фізики та фізіології

ПЕРВУШКІН БОРИС МИКОЛАЄВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербурзька Школа «Тет-а-Тет»

Вчитель математики Вищої категорії

Число e

Число вперше з'явилося вматематикияк щось незначне. Це сталося в 1618 р. У додатку до роботи Непера (Napier) з логарифмів було дано таблицю натуральних логарифмів різних чисел. Однак ніхто не зрозумів, що це логарифми на підставі, оскільки до поняття логарифму того часу така річ як основа не входила. Це зараз ми називаємо логарифмом ступінь, в який потрібно звести основу, щоб отримати потрібне число. Ми ще повернемося до цього пізніше. Таблиця в додатку швидше за все була зроблена Відред (Ougthred), хоча автор її не був вказаний. Через кілька років, 1624 р., математичної літературизнову з'являється, але знову-таки завуальовано. Цього року Бріггс (Briggs) дав чисельне наближення десяткового логарифмуале саме число в його роботі не згадується.

Наступна поява числа знову сумнівна. У 1647 р. Сен-Вінсент (Saint-Vincent) обчислив площу сектора гіперболи. Чи розумів він зв'язок з логарифмами, залишається тільки здогадуватися, але навіть якщо розумів, то навряд він міг дійти до самого числа. Лише до 1661 р. Гюйгенс (Huygens) зрозумів зв'язок між рівнобічною гіперболою та логарифмами. Він довів, що площа під графіком рівнобічної гіперболи рівнобічної гіперболи на проміжку від 1 до 1. Ця властивість робить основою натуральних логарифмів, але це не розуміли математики того часу, проте вони повільно наближалися до цього розуміння.

Гюйгенс зробив наступний крок у 1661 р. Він визначив криву, яку назвав логарифмічною (у нашій термінології ми називатимемо її експоненційною). Це крива виду. І знову з'являється десятковий логарифм, який Гюйгенс знаходить з точністю до 17 десяткових цифр. Однак він виник у Гюйгенса як якась константа і не був пов'язаний з логарифмом числа (отже, знову підійшли впритул до, але саме число залишається невпізнаним).

У подальших роботахза логарифмами знову ж таки число не з'являється у явному вигляді. Проте вивчення логарифмів продовжується. У 1668 р. Нікола Меркатор (Nicolaus Mercator) опублікував роботуLogarithmotechniaяка містить розкладання в ряд. У цій роботі Меркатор вперше використовує назву “ натуральний логарифм” для логарифму на підставі . Число явно знову не з'являється, а залишається невловимим десь осторонь.

Дивно, що число у явному вигляді вперше виникає не у зв'язку з логарифмами, а у зв'язку з нескінченними творами. У 1683 р. Якоб Бернуллі намагається знайти

Він використовує біномну теорему для доказу того, що ця межа знаходиться між 2 і 3, і це ми можемо розглядати як перше наближення числа . Хоча ми приймаємо це визначення , це перший випадок, коли число визначається як межа. Бернуллі, звичайно, не зрозумів зв'язку між своєю роботою та роботами з логарифмів.

Раніше згадувалося, що логарифми на початку вивчення ніяк не пов'язувалися з експонентами. Звичайно, з рівняння ми знаходимо, що , але це набагато пізніший спосіб сприйняття. Тут ми насправді маємо на увазі під логарифмом функцію, тоді як спочатку логарифм розглядався лише як число, що допомагало в обчисленнях. Можливо, Якоб Бернуллі першим зрозумів, що логарифмічна функціяє зворотною показовою. З іншого боку, першим, хто пов'язав логарифми та ступеня, міг бути Джеймс Грегорі (Games Gregory). У 1684 р. він безперечно усвідомив зв'язок між логарифмами і ступенями, але, можливо, він був не першим.

Ми знаємо, що число з'явилося в тому вигляді, як зараз, в 1690 р. Лейбніц у листі до Гюйгенсу використав для нього позначення. Нарешті з'явилося позначення (хоча воно не збігалося з сучасним), і це позначення було визнано.

У 1697 р. Йоганн Бернуллі починає вивчення показової функції та публікуєPrincipia calculi exponentialum seu percurrentium. У цій роботі обчислюються суми різних експоненційних рядів і отримані деякі результати їх почленним інтегруванням.

Ейлер (Euler) увів так багато математичних позначень, що
не дивно, що позначення належить йому. Здається смішним твердження, що він використав букву через те, що це перша буква його імені. Ймовірно, це навіть не тому, що взято від слова “exponential”, а це наступна голосна за “a”, а Ейлер уже використовував позначення “a” у своїй роботі. Незалежно від причини, позначення вперше з'являється у листі Ейлера Гольдбаху (Goldbach) у 1731 р. Він зробив багато відкриттів, вивчаючи надалі, але лише у 1748 р. уIntroductio in Analysin infinitorumвін дав повне обґрунтування всім ідеям, пов'язаним із . Він показав, що

Ейлер також знайшов перші 18 десяткових знаків числа:

щоправда, не пояснюючи, як він їх одержав. Схоже, що він вирахував це значення сам. Насправді якщо взяти близько 20 членів ряду (1), то вийде точність, яку отримав Ейлер. Серед інших цікавих результатів у його роботі наведено зв'язок між функціями синус та косинус та комплексною показовою функцією, яку Ейлер вивів із формули Муавра.

Цікаво, що Ейлер знайшов навіть розкладання числа в безперервні дроби та навів зразки такого розкладання. Зокрема, він отримав

Ейлер не навів докази, що ці дроби так само продовжуються, проте він знав, що якби такий доказ був, то він доводив би ірраціональність. Дійсно, якби безперервний дріб для , тривала так само, як у наведеному зразку, 6,10,14,18,22,26, (щоразу додаємо по 4), то вона ніколи б не перервалася, і (а значить, і ) не могло б бути раціональним. Очевидно, це перша спроба довести ірраціональність.

Першим, хто вирахував досить велике числодесяткових знаків числа був Шенкс (Shanks) в 1854 р. Глейшер (Glaisher) показав, що перші 137 знаків, обчислені Шенксом, були вірними, проте далі знайшов помилку. Шенкс її виправив і було отримано 205 десяткових знаків числа . Насправді, потрібно близько
120 членів розкладання (1), щоб отримати 200 вірних символів числа .

У 1864 р. Бенджамен Пірс (Peirce) стояв біля дошки, де було написано

У своїх лекціях він міг би сказати своїм студентам: “Джентльмени, ми не маємо жодного найменшого уявлення, що це означало, але ми можемо бути певні, що це щось дуже важливе”.

Більшість вважає, що Ейлер довів ірраціональність числа . Однак це зробив Ерміт (Hermite) у 1873 р. Досі залишається відкритим питаннячи є число алгебраїчним. Останній результату цьому напрямі це те, що принаймні одне з чисел і є трансцендентним.

Далі обчислювали наступні десяткові знакичисла. У 1884 р. Бурман (Boorman) обчислив 346 символів числа , у тому числі перші 187 збіглися зі знаками Шенкса, але наступні розрізнялися. У 1887 р. Адамс (Adams) обчислив 272 цифри десяткового логарифму.

Число Архімеда

Чому одно: 3,1415926535… На сьогодні прораховано до 1,24 трлн знаків після коми

Коли святкувати день- єдина константа, яка має своє свято, і навіть два. 14 березня, або 3.14, відповідає першим знакам запису числа. А 22 липня, або 22/7 – не що інше, як грубе наближення π дробом. В університетах (наприклад, на мехматі МДУ) вважають за краще відзначати першу дату: вона, на відміну від 22 липня, не потрапляє на канікули

Що таке? 3,14, число зі шкільних завдань для кола. І в той же час - одне з головних чисел у сучасній науці. Фізикам π зазвичай потрібно там, де про кола ні слова, - скажімо, щоб змоделювати сонячний вітерчи вибух. Число π зустрічається у кожному другому рівнянні - можна відкрити підручник теоретичної фізикинавмання і вибрати будь-яке. Якщо підручника немає, зійде мапа світу. Звичайна річказ усіма її зламами і згинами в π разів довше, ніж шлях прямо від її гирла до початку.

У цьому винен сам простір: він однорідний і симетричний. Саме тому фронт вибухової хвилі – це куля, а від каміння на воді залишаються кола. Так що π тут виявляється цілком доречним.

Але все це стосується лише звичного евклідового простору, в якому ми всі живемо. Якби воно неевклідове, симетрія була б іншою. А в сильно викривленому Всесвіті π вже не грає такий важливої ​​ролі. Скажімо, у геометрії Лобачевського коло буває вчетверо довшим за свій діаметр. Відповідно річки чи вибухи «кривого космосу» зажадали інших формул.

Число π стільки ж років, скільки всій математиці: близько 4 тисяч. Найстаріші шумерські таблички наводять йому цифру 25/8, чи 3,125. Помилка – менше відсотка. Вавилонці абстрактної математикою особливо не захоплювалися, так що π вивели досвідченим шляхом, просто вимірюючи довжину кіл. До речі, це перший експеримент із чисельного моделювання світу.

Найкрасивішою з арифметичних формулдля π більше 600 років: π/4=1–1/3+1/5–1/7+… Проста арифметика допомагає обчислити π, а саме π – розібратися з глибинними властивостями арифметики. Звідси його зв'язок із ймовірностями, простими числамиі багатьом іншим: π, наприклад, входить у відому «функцію помилок», яка однаково безвідмовно працює і в казино, і в соціологів.

Є навіть «імовірнісний» спосіб порахувати саму константу. По-перше, потрібно запастися мішком голок. По-друге, кидати їх, не цілячись, на підлогу, розкреслену крейдою на смуги шириною в голку. Потім, коли мішок спорожніє, поділити кількість кинутих на кількість тих, що перетнули крейдяні лінії, і отримати π/2.

Хаос

Константа Фейгенбаума

Чому одно: 4,66920016…

Де застосовується:Теоретично хаосу і катастроф, з допомогою яких можна описувати будь-які явища - від розмноження кишкової паличкидо розвитку російської економіки

Хто і коли відкрив: Американський фізикМітчелл Фейгенбаум у 1975 році. На відміну від більшості інших відкривачів констант (Архімеда, наприклад), він живий і викладає у престижному Рокфеллерівському університеті

Коли і як святкувати день?Перед генеральним прибиранням

Що спільного у капусти броколі, сніжинок та ялинки? Те, що їхні деталі у мініатюрі повторюють ціле. Такі об'єкти, влаштовані як матрьошка, називають фракталами.

Фрактали виникають із безладдя, як картинка в калейдоскопі. Математика Мітчелла Фейгенбаума 1975 року зацікавили не самі візерунки, а хаотичні процеси, які змушують їх з'являтися.

Фейгенбаум займався демографією. Він довів, що народження та смерть людей також можна моделювати за фрактальними законами. Отут у нього і з'явилася ця δ. Константа виявилася універсальною: вона зустрічається в описі сотень інших хаотичних процесів, від аеродинаміки до біології.

З фракталу Мандельброта почалося повсюдне захоплення цими об'єктами. Теоретично хаосу він грає приблизно таку ж роль, як і коло у звичайній геометрії, а число δ фактично задає його форму. Виходить, що ця константа - те саме, тільки для хаосу.

Час

Число Непера

Чому одно: 2,718281828…

Хто і коли відкрив:Джон Непер, шотландський математик, у 1618 році. Самого числа він не згадував, зате збудував на його основі свої таблиці логарифмів. Одночасно кандидатами в автори константи вважаються Якоб Бернуллі, Лейбніц, Гюйгенс та Ейлер. Достовірно відомо лише те, що символ eвзявся з прізвища останнього

Коли та як святкувати день e:Після повернення банківського кредиту

Число е – теж свого роду двійник π. Якщо π відповідає за простір, то е – за час, і теж виявляє себе майже всюди. Скажімо, радіоактивність полонію-210 зменшується в раз за середній термінжиття одного атома, а раковина молюска Nautilus - це графік ступенів е, обернутий навколо осі.

Число е зустрічається і там, де природа свідомо ні до чого. Банк, який обіцяє 1% на рік, за 100 років збільшить вклад приблизно в раз. Для 0,1% і 1000 років результат буде ще ближчим до константи. Якоб Бернуллі, знавець і теоретик азартних ігор, вивів її саме так - розмірковуючи про те, скільки заробляють лихварі.

Як і π, е- трансцендентне число. Говорячи простіше, його не можна виразити через дроби та коріння. Є гіпотеза, що такі цифри в нескінченному «хвості» після коми зустрічаються всі комбінації цифр, які тільки можливі. Наприклад, там можна знайти і текст цієї статті, записаний двійковим кодом.

Світло

Постійна тонка структура

Чому одно: 1/137,0369990…

Хто і коли відкрив:Німецький фізик Арнольд Зоммерфельд, аспірантами якого були одразу два нобелівського лауреата- Гейзенберг та Паулі. У 1916 році, ще до появи справжньої квантової механіки, Зоммерфельд ввів константу в рядовій статті про «тонку структуру» спектра атома водню. Роль константи незабаром переосмислили, а ось назва залишилася колишньою

Коли святкуватиме день α:У День електрика

Швидкість світла – величина виняткова. Швидше, показав Ейнштейн, не можуть рухатися ні тіло, ні сигнал - чи то частка, гравітаційна хвиляабо звук усередині зірок.

Начебто ясно, що це закон вселенської важливості. І все-таки швидкість світла – не фундаментальна константа. Проблема в тому, що її нема чим виміряти. Кілометри на годину не годяться: кілометр визначений як відстань, яка світло проходить за 1/299792,458 секунд, тобто сама виражається через швидкість світла. Платиновий стандарт метра - теж вихід, оскільки швидкість світла входить й у рівняння, які описують платину на мікрорівні. Словом, якщо швидкість світла без зайвого шуму зміниться у всьому Всесвіті, людство про це не дізнається.

Ось тут на допомогу фізикам і приходить величина, що зв'язує швидкість світла з атомними властивостями. Константа - це ділена на швидкість світла "швидкість" електрона в атомі водню. Вона безрозмірна, тобто не прив'язана ні до метрів, ні до секунд, ні до якихось одиниць.

Крім швидкості світла у формулу для α входять також заряд електрона та константа Планка, міра «квантовості» світу. З обома постійними пов'язана та сама проблема - їх нема з чим звірити. А разом, у вигляді α, вони являють собою щось на кшталт запоруки сталості Всесвіту.

Можна поставити запитання, чи не змінювалася α з початку часів. Фізики всерйоз допускають «дефект», який колись досягав мільйонних часток від нинішньої величини. Досягни б він 4%, людства не було б, тому що всередині зірок припинився б термоядерний синтезвуглецю, головний елемент живої матерії.

Добавка до реальності

Уявна одиниця

Чому одно: √-1

Хто і коли відкрив:Італійський математик Джероламо Кардано, друг Леонардо да Вінчі, у 1545 році. Карданний вал названий саме на його честь. За однією з версій, своє відкриття Кардано вкрав у Нікколо Тартальї, картографа та придворного бібліотекаря

Коли святкуватиме день i:Березня 86 числа

Число i ні константою, ні навіть справжнім числом не можна назвати. Підручники описують його як величину, яка, будучи зведеною квадрат, дає мінус один. Іншими словами, це сторона квадрата із негативною площею. Насправді такого не буває. Але іноді з нереального теж можна отримати користь.

Історія відкриття цієї постійної така. Математик Джероламо Кардано, вирішуючи рівняння з кубами, запровадив уявну одиницю. Це був просто допоміжний трюк – у підсумкових відповідях i не було: результати, що його містили, вибраковувалися. Але пізніше, придивившись до свого сміття, математики спробували пустити його в справу: множити і ділити звичайні числана уявну одиницю, складати результати один з одним і підставляти нові формули. Так народилася теорія комплексних чисел.

Мінус у тому, що "реальне" з "нереальним" не можна порівнювати: сказати, що більше - уявна одиницяабо 1 – не вийде. З іншого боку, нерозв'язні рівняння, якщо скористатися комплексними числамипрактично не залишається. Тому при складних розрахунках зручніше працювати з ними і лише наприкінці «чищати» відповіді. Наприклад, щоб розшифрувати томограму мозку, без i не обійтися.

Фізики саме так поводяться з полями та хвилями. Можна навіть вважати, що всі вони існують у комплексному просторі, а те, що ми бачимо, – лише тінь «справжніх» процесів. Квантова механіка, де і атом, і людина - хвилі, робить таке трактування ще більш переконливим.

Число i дозволяє звести в одній формулі головні математичні константи та події. Формула виглядає так: e πi +1 = 0, і деякі кажуть, що таке стисле зведення правил математики можна відправляти інопланетянам, щоб переконати їх у нашій розумності.

Мікросвіт

Маса протону

Чому одно: 1836,152…

Хто і коли відкрив:Ернест Резерфорд, фізик родом із Нової Зеландії, в 1918 році. За 10 років до цього отримав Нобелівську преміюз хімії за вивчення радіоактивності: Резерфорду належать поняття «період напіврозпаду» та самі рівняння, що описують розпад ізотопів

Коли і як святкувати день?У День боротьби із зайвою вагою, якщо таку введуть - це співвідношення мас двох базових елементарних частинок, протону та електрона. Протон - не що інше, як ядро ​​атома водню, найпоширенішого елемента у Всесвіті.

Як і у разі швидкості світла, важлива не сама величина, а її безрозмірний еквівалент, не прив'язаний до якихось одиниць, тобто у скільки разів маса протону більше масиелектрону. Виходить приблизно 1836. Без такої різниці у «вагових категоріях» заряджених частинок не було б ні молекул, ні твердих тіл. Втім, атоми залишилися б, але поводилися б зовсім по-іншому.

Як і α, μ підозрюють у повільній еволюції. Фізики вивчали світло квазарів, що дійшло до нас через 12 млрд років, і виявили, що протони згодом важчають: різниця між доісторичним і сучасним значеннямиμ склала 0,012%.

Темна матерія

Космологічна константа

Чому одно: 110-²³ г/м3

Хто і коли відкрив:Альберт Ейнштейн у 1915 році. Сам Ейнштейн називав її відкриття своїм «головним промахом»

Коли та як святкувати день Λ:Щомиті: Λ, згідно з визначенням, є завжди і скрізь

Космологічна константа - найтуманніша з усіх величин, якими оперують астрономи. З одного боку, вчені не до кінця впевнені в її існуванні, з іншого - готові пояснювати з її допомогою, звідки взялася більша частинамаси-енергії у Всесвіті.

Можна сміливо сказати, що Λ доповнює константу Хаббла. Вони співвідносяться як швидкість та прискорення. Якщо Н визначає рівномірне розширення Всесвіту, то Λ - зростання, що безперервно прискорюється. Першим її ввів у рівняння загальної теоріївідносності Ейнштейн, коли підозрював у себе помилку. Його формули вказували, що космос або розширюється, або стискається, а це було складно повірити. Новий члензнадобився, щоб усунути висновки, які здавались неправдоподібними. Після відкриття Хаббла Ейнштейн відмовився від своєї константи.

Другим народженням, у 90-х роках минулого століття, постійна зобов'язана ідеї темної енергії, «схованої» у кожному кубічному сантиметріпростору. Як випливало зі спостережень, енергія неясної природи повинна розштовхувати простір зсередини. Грубо кажучи, це мікроскопічний Великий вибух, що відбувається кожну секунду та повсюдно. Щільність темної енергії - і є Λ.

Гіпотезу підтвердили спостереження за реліктовим випромінюванням. Це доісторичні хвилі, що народилися перші секунди існування космосу. Астрономи вважають їх чимось подібним до рентгена, що просвічує Всесвіт наскрізь. «Рентгенограма» і показала, що темної енергії у світі 74% - більше, ніж решта. Однак, оскільки вона «розмазана» по всьому космосу, виходить всього 110-2? грама на кубічний метр.

Великий вибух

Постійна Хаббла

Чому одно: 77 км/с /МПС

Хто і коли відкрив:Едвін Хаббл, батько-засновник усієї сучасної космології, у 1929 році. Трохи раніше, 1925-го, він першим довів існування інших галактик за межами Чумацького шляху. Співавтор першої статті, де згадується константа Хаббла, - хтось Мілтон Хьюмасон, людина без вищої освітипрацював в обсерваторії на правах лаборанта. Х'юмасонові належить перший знімок Плутона, тоді ще не відкритої планети, через дефект фотопластинки залишений поза увагою

Коли та як святкувати день H: 0 січня. З цього неіснуючого числа астрономічні календарірозпочинають відлік Нового року. Як і про сам момент Великого вибуху, про події 0 січня відомо мало, що робить свято подвійно доречним

Головна константа космології - міра швидкості, з якою розширюється Всесвіт у результаті Великого вибуху. І сама ідея, і постійна H сягають висновків Едвіна Хаббла. Галактики в будь-якому місці Всесвіту розбігаються одна від одної і роблять це швидше, ніж більша відстаньміж ними. Знаменита константа – просто коефіцієнт, на який множать дистанцію, щоб отримати швидкість. Згодом вона змінюється, але досить повільно.

Одиниця, поділена на H, дає 13800000000 років - час, що минув з моменту Великого вибуху. Цю цифру першим одержав сам Хаббл. Як довели пізніше, метод Хаббла був не зовсім вірний, але все одно він помилився менше ніж на відсоток, якщо порівнювати із сучасними даними. Помилка батька-засновника космології полягала в тому, що він вважав число Н незмінним з початку часів.

Сферу навколо Землі радіусом 13,8 млрд світлових років - швидкість світла, поділена на константу Хаббла, називають хаббловской сферою. Галактики за її кордоном повинні «втікати» від нас із надсвітловою швидкістю. Суперечності з теорією відносності тут немає: варто підібрати правильну систему координат у викривленому просторі-часі, і проблема перевищення швидкості одразу зникає. Тому за хаблівською сферою видимий Всесвітне закінчується, її радіус приблизно втричі більший.

Гравітація

Планківська маса

Чому одно: 21,76 ... мкг

Де працює:Фізика мікросвіту

Хто і коли відкрив:Макс Планк, творець квантової механіки, у 1899 році. Планківська маса - це всього лише одна з набору величин, запропонованих Планком як «система мір і ваг» для мікросвіту. Визначення, що згадує чорні дірки - і сама теорія гравітації - з'явилися декількома десятиліттями пізніше

Звичайна річка з усіма її зламами і згинами в π разів довша, ніж шлях прямо від її гирла до витоку

Коли та як святкувати деньmp:У день відкриття Великого адронного колайдера: мікроскопічні чорні дірки збираються отримувати саме там

Якоб Бернуллі, знавець і теоретик азартних ігор, вивів e, розмірковуючи про те, скільки заробляють лихварі.

Підбирати явищам теорію за розміром – популярний у XX столітті підхід. Якщо елементарна часткавимагає квантової механіки, то нейтронна зірка- Вже теорії відносності. Неповноцінність такого ставлення до світу була зрозуміла з самого початку, але єдиної теоріївсього так і не створили. Поки що вдалося примирити лише три з чотирьох фундаментальних видіввзаємодії - електромагнітні, сильні та слабкі. Гравітація все ще залишається осторонь.

Поправка Ейнштейна і є щільністю темної матеріїяка розштовхує космос зсередини

Планківська маса - умовна межа між «великим» і «малим», тобто якраз між теорією гравітації та квантовою механікою. Стільки має важити чорна діра, розміри якої збігаються з довжиною хвилі, що відповідає їй як мікрооб'єкту. Парадокс полягає в тому, що астрофізика трактує межу чорної діри як суворий бар'єр, за який не можуть проникнути ні інформація, ні світло, ні речовина. А з квантової точкизору хвильовий об'єкт буде рівномірно «розмазаний» по простору – і бар'єр разом із ним.

Планкова маса – це маса личинки комара. Але поки гравітаційний колапс комару не загрожує, квантові парадоксийого не торкнуться

mp - одна з небагатьох одиниць квантової механіки, якими варто вимірювати об'єкти у світі. Стільки може важити комара личинка. Інша справа, що поки гравітаційний колапскомару не загрожує, квантові парадокси його не торкнуться.

Нескінченність

Число Грехема

Чому одно:

Хто і коли відкрив:Рональд Грехем та Брюс Ротшильд
1971 року. Стаття була опублікована під двома прізвищами, але популяризатори вирішили заощадити папір і залишили лише перший

Коли та як святкувати день G:Дуже нескоро, зате дуже довго

Ключова для цієї конструкції операція – стрілки Батіга. 33 - це три третього ступеня. 33 - це три, зведене в три, яке у свою чергу зведено в третій ступінь, тобто 3 27, або 7625597484987. Три стрілки - це вже число 37625597484987, де трійка у сходах статечних показниківповторюється саме стільки – 7625597484987 – раз. Це вже більше числаатомів у Всесвіті: тих всього 3168 . А у формулі для числа Грехема з такою самою швидкістю зростає навіть не сам результат, а кількість стрілок на кожній стадії його підрахунку.

Константа з'явилася в абстрактній комбінаторній задачі та залишила позаду всі величини, пов'язані з нинішніми чи майбутніми розмірами Всесвіту, планетами, атомами та зірками. Чим, схоже, зайвий разпідтвердила несерйозність космосу і натомість математики, засобами якої може бути осмислений.

Ілюстрації: Варвара Аляй-Акатьєва

| Число Ейлера (Е)

e - основа натурального логарифму, математична константа, ірраціональне та трансцендентне число. Приблизно дорівнює 2,71828. Іноді число називають числом Ейлераабо числом Непера. Позначається малою латинською літерою « e».

Історія

Наступна поява числа e знову сумнівно. У 1647 р. Сен-Вінсент (Saint-Vincent) обчислив площу сектора гіперболи. Чи розумів він зв'язок з логарифмами, залишається тільки здогадуватися, але навіть якщо розумів, то навряд чи він міг дійти до числа. e . Лише до 1661 р. Гюйгенс (Huygens) зрозумів зв'язок між рівнобічною гіперболою та логарифмами. Він довів, що площа під графіком рівнобічної гіперболи xy = 1 рівнобічної гіперболи на проміжку від 1 до e дорівнює 1. Ця властивість робить e підставою натуральних логарифмів, але це розуміли математики на той час, проте вони повільно наближалися до цього розуміння.

Гюйгенс зробив наступний крок у 1661 р. Він визначив криву, яку назвав логарифмічною (у нашій термінології ми називатимемо її експоненційною). Це крива виду y = ka x . І знову з'являється десятковий логарифм e , що Гюйгенс знаходить з точністю до 17 десяткових цифр . Однак він виник у Гюйгенса як якась константа і не був пов'язаний з логарифмом числа (отже, знову підійшли впритул до e , але саме число e залишається невпізнаним).

У подальших роботах з логарифмів знову-таки число e не з'являється у явному вигляді. Проте вивчення логарифмів продовжується. У 1668 р. Нікола Меркатор (Nicolaus Mercator) опублікував роботу Logarithmotechniaяка містить розкладання в ряд log(1 + x) . У цій роботі Меркатор вперше використовує назву "натуральний логарифм" для логарифму на основі e . Число e явно знову не з'являється, а залишається невловимим десь осторонь.

Дивно, що число e у явному вигляді вперше виникає не у зв'язку з логарифмами, а у зв'язку з нескінченними творами. У 1683 р. Якоб Бернуллі намагається знайти

Він використовує біномну теорему для доказу того, що ця межа знаходиться між 2 і 3, і це ми можемо розглядати як перше наближення числа e . Хоча ми приймаємо це за визначення e Це перший випадок, коли число визначається як межа. Бернуллі, звичайно, не зрозумів зв'язку між своєю роботою та роботами з логарифмів.

Раніше згадувалося, що логарифми на початку вивчення ніяк не пов'язувалися з експонентами. Звичайно, з рівняння x = a t ми знаходимо, що t = log a x але це набагато пізніший спосіб сприйняття. Тут ми насправді маємо на увазі під логарифмом функцію, тоді як спочатку логарифм розглядався лише як число, що допомагало в обчисленнях. Можливо, Якоб Бернуллі першим зрозумів, що логарифмічна функція є зворотною показовою. З іншого боку, першим, хто пов'язав логарифми та ступеня, міг бути Джеймс Грегорі (Games Gregory). У 1684 р. він безперечно усвідомив зв'язок між логарифмами і ступенями, але, можливо, він був не першим.

Ми знаємо, що число e виникло у вигляді, як нині, в 1690 р. Лейбніц у листі до Гюйгенсу використовував йому позначення b . Нарешті у e з'явилося позначення (хоча воно не збігалося із сучасним), і це позначення було визнано.

У 1697 р. Йоганн Бернуллі починає вивчення показової функції та публікує Principia calculi exponentialum seu percurrentium. У цій роботі обчислюються суми різних експоненційних рядів і отримані деякі результати їх почленним інтегруванням.

Леонард Ейлер (Euler) ввів так багато математичних позначень, що не дивно, що позначення e також належить йому. Здається смішним твердження, що він використав букву e через те, що це перша буква його імені. Ймовірно, це навіть не тому, що e взято від слова “exponential”, а це наступна голосна за “a”, а Ейлер вже використовував позначення “a” у роботі. Незалежно від причини, позначення вперше з'являється у листі Ейлера Гольдбаху (Goldbach) у 1731 р. Він зробив багато відкриттів, вивчаючи e надалі, але лише 1748 р. в Introductio in Analysin infinitorumвін дав повне обґрунтування всім ідеям, пов'язаним з e . Він показав, що

Ейлер також знайшов перші 18 десяткових знаків числа e :

Щоправда, не пояснюючи, як він їх одержав. Схоже, що він вирахував це значення сам. Насправді якщо взяти близько 20 членів ряду (1), то вийде точність, яку отримав Ейлер. Серед інших цікавих результатів у його роботі наведено зв'язок між функціями синус та косинус та комплексною показовою функцією, яку Ейлер вивів із формули Муавра.

Цікаво, що Ейлер знайшов навіть розкладання числа e у безперервні дроби і навів зразки такого розкладання. Зокрема, він отримав

Ейлер не навів докази, що ці дроби так само продовжуються, проте він знав, що якби такий доказ був, то він доводив би ірраціональність. e . Справді, якби безперервний дріб для (e - 1) / 2 , Тривала так само, як у наведеному зразку, 6,10,14,18,22,26, (щоразу додаємо по 4), то вона ніколи б не перервалася, і (e-1) / 2 (а отже, і e ) не могло б бути раціональним. Очевидно, це перша спроба довести ірраціональність e .

Першим, хто вирахував досить велику кількість десяткових знаків числа e , був Шенкс (Shanks) у 1854 р. Глейшер (Glaisher) показав, що перші 137 знаків, обчислені Шенксом, були вірними, проте далі знайшов помилку. Шенкс її виправив і було отримано 205 десяткових знаків числа e . Насправді потрібно близько 120 членів розкладання (1), щоб отримати 200 вірних знаків числа e .

У 1864 р. Бенджамен Пірс (Peirce) стояв біля дошки, де було написано

У своїх лекціях він міг би сказати своїм студентам: “Джентльмени, ми не маємо жодного уявлення, що б це означало, але ми можемо бути впевнені, що це означає щось дуже важливе”.

Більшість вважає, що Ейлер довів ірраціональність числа e . Однак це зробив Ерміт (Hermite) у 1873 р. Досі залишається відкритим питання, чи є число e e алгебраїчним. Останній результат у цьому напрямі - це те, що принаймні одне із чисел e e і e e 2 є трансцендентним.

Далі обчислювали наступні десяткові знаки числа e . У 1884 р. Бурман (Boorman) обчислив 346 символів числа e , У тому числі перші 187 збіглися зі знаками Шенкса, але наступні розрізнялися. У 1887 р. Адамс (Adams) вирахував 272 цифри десяткового логарифму e .

J.J.Connor, E.F.Robertson. The number e.

Експоненту позначають так, або.

Число e

Підставою ступеня експоненти є число e. Це ірраціональне число. Воно приблизно рівне
е ≈ 2,718281828459045...

Число e визначається через межу послідовності. Це так званий, друга чудова межа:
.

Також число e можна подати у вигляді ряду:
.

Графік експоненти

Графік експоненти, y = e x.

На графіці представлено експонента, еу ступені х.
y (x) = е х
На графіку видно, що експонент монотонно зростає.

Формули

Основні формули такі ж, як і для показової функції з основою ступеня е.

;
;
;

Вираз показової функції з довільною основоюступеня a через експоненту:
.

Приватні значення

Нехай y (x) = e x. Тоді
.

Властивості експоненти

Експонента має властивості показової функції з основою ступеня е > 1 .

Область визначення, безліч значень

Експонента y (x) = e xвизначена всім x .
Її область визначення:
- ∞ < x + ∞ .
Її безліч значень:
0 < y < + ∞ .

Екстремуми, зростання, спадання

Експонента є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні її властивості представлені у таблиці.

Зворотня функція

Зворотним для експонентів є натуральний логарифм.
;
.

Похідна експоненти

Похідна еу ступені хдорівнює еу ступені х :
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Комплексні числа

Дії з комплексними числами здійснюються за допомогою формули Ейлера:
,
де є уявна одиниця:
.

Вирази через гіперболічні функції

; ;
.

Вирази через тригонометричні функції

; ;
;
.

Розкладання в статечний ряд

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Розглянемо функцію, областю визначення якої є безліч натуральних чисел: Така функція називається функцією натурального аргументучи послідовністю. Значення цієї функції називають членами послідовності.

Члени послідовності зазвичай розташовуються у порядку зростання аргументу:

Називається першим членом послідовності, другим членом називається або загальним членом послідовності. Послідовність коротко позначають приклад 1. Нехай Випишемо кілька перших членів послідовності:

Приклад 2. Нехай тоді

Приклад 3. Нехай. Тоді

Введемо тепер поняття межі послідовності.

Визначення. Число b називається межею послідовності якщо, хоч би як було , знайдеться таке натуральне число N, що всіх членів послідовності, номер яких виконується нерівність (або ).

Якщо число - межа послідовності, це записується так: або

Визначення межі послідовності аналогічно визначенню межі функції за умови функції виконувалося для всіх дійсних значеньа для послідовності нерівність випол гнеться для всіх натуральних чисел

Нерівність рівнозначна нерівностям

Тому, зображуючи члени послідовності точками площини з координатами, приходимо до наступного. геометричному змістумежі послідовності: якщо послідовність має межею число 6, то яке б не було знайдеться таке натуральне число N, що всі точки, що зображають члени послідовності з номерами, потраплять у смугу, обмежену прямими (рис. 112).

Усі теореми про межі функцій, доведені у цьому параграфі, залишаються справедливими й у послідовностей.

Розглянемо приклад.

Приклад 4. Знайти межу послідовності

Рішення. Тут чисельник і знаменник одночасно прагнуть Для пошуку межі перетворимо виразивши чисельник за формулою суми арифметичної прогресії:

Приклад 5. Розглянемо послідовність Члени послідовності поперемінно набувають значення Ця послідовність, очевидно, не має межі.

Приклад 6. Розглянемо послідовність де Покажемо, що

Рішення. Релі, то за будь-якого. Зрозуміло, що в цьому випадку

Нехай тепер. Тоді, де. За формулою бінома Ньютона

Оскільки , всі складові в останній сумі позитивні. Відкидаючи всі доданки, крім перших двох, отримаємо Звідси укладаємо, що оскільки при необмежено росте, то також необмежено росте, тобто.

Зрештою, нехай. Тоді де. На підставі вище викладеного тому прагне нуля:

Послідовність називається зростаючою, якщо зі збільшенням її члени збільшуються, тобто.

Якщо зі збільшенням члени послідовності зменшуються, тобто.

то послідовність називається спадною.

Послідовність прикладу 1 зростаюча, а прикладу 2 - спадна. Послідовність прикладу 3 не є ні зростаючою, ні спадною.

Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число, що для всіх натуральних чисел виконується нерівність . Послідовність прикладу 1 не є обмеженою.

Розглянемо зростаючу послідовність

Якщо ця послідовність не є обмеженою, її члени будуть необмежено зростати і, отже, така послідовність не має межі. Чи ж зростаюча послідовність обмежена, її члени, зростаючи і не перевищуючи числа З, повинні, очевидно, необмежено наближатися до деякого числа (рис. 11.3). Не доводячи цього факту, обмежимося його точним формулюванням.

Теорема ( достатня ознакаіснування межі послідовності). Будь-яка зростаюча обмежена послідовністьмає межу

Як приклад застосування цієї ознаки розглянемо послідовність, спільний членПокажемо, що ця послідовність зростає і обмежена.

За формулою бінома Ньютона маємо, вважаючи (див. виноску на стор. 184):

Помічаючи, що

Зі збільшенням дробу зменшуються, а різниці збільшуються. Тому зі збільшенням тощо члени розкладання збільшуються. Крім того, зі збільшенням додаються нові позитивні доданки. Тому зі збільшенням зростає. Отже, послідовність – зростаюча. Покажемо, що ока обмежена.

Якщо в розкладанні для кожного складника відкинути в дужках дробу, то кожен доданок збільшиться, і ми отримаємо суму, більшу за початкову:

Суму знайдемо формулою суми членів геометричної прогресії:.

Рішення. Покладемо. При . Отже,

Насамкінець зазначимо, що часто доводиться розглядати показову функціюз основою