Як знайти діагональ, якщо відомі сторони. Прилеглі сторони перпендикулярні одна одній

Інструкція

діагоналі/em/b" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images">Прямокутні ( , квадрат) діагональ ділить на два прямокутні трикутники, у кожному з яких вона буде гіпотенузою. Отже, її обчислення можливо теореми Піфагора. a²=b²+c², де a – гіпотенуза, b та с – катети. Приклад 1: AC , якщо відомо, що довжина BC=3 см, AB=5 см. Рішення: обчисліть AC ABC. AC²=AB²+BC²; AC²=5?+3?=34; з отриманого значення вийміть квадратний корінь: AC=√34=5,8 см. Відповідь: діагональ прямокутника дорівнює 5,8 см.

Якщо перед вами квадрат, то обчислити діагональ можна, знаючи одну з сторін або площу. Т.к. всі сторони , то теорема Піфагора йому мати вигляд: a²=b²+b², a²=2b². Площа - добуток двох сторін (S=b²). Отже, квадрат гіпотенузи (у фігурі квадрат) дорівнює його подвоєній площі (a²=2S). Приклад 2: площа квадрата 16 см². Знайдіть довжину діагоналі . Рішення: обчисліть довжину діагоналі а через площу. a²=2S, a²=2*16 см²=32; вийміть корінь квадратний: a=√32≈5,7 см. Відповідь: довжина діагоналі квадрата – 5,7 см.

У деяких випадках для обчислення діагоналі необхідно робити додаткові побудови. Приклад 3: рівносторонній багатокутникз , рівною 6 см, кут BCD прямий. Знайдіть довжину діагоналі AB.Рішення: з'єднайте точки B і D. Вийшов прямокутний трикутник BCD, в якому сторона BD є гіпотенузою. Обчисліть гіпотенузу BD: BD2=BC+CD2; BD²=6²+6²=72; Гіпотенуза BD із трикутника BCD є катетом ABD. А діагональ AB – гіпотенуза в ньому. Обчисліть діагональ AB: AB²=BD²+AD²=72+36=108; AB=√108=10,4 см. Відповідь: довжина діагоналі AB=10,4 див.

Діагональ куба можна знайти через діагональ однієї з його граней. Приклад 4: куб зі стороною 5 см. Знайдіть діагональ куба. AC²=5?+5?=50. Діагональ AC перпендикулярна до CB, отже, кут ACB – прямий. Діагональ куба AB – гіпотенуза у трикутнику ACB. Знайдіть довжину діагоналі куба: AB²=AC²+CB²=50+25=75; вийміть квадратний корінь. AB=√75=8,7 см. Відповідь: довжина діагоналі куба – 8,7 см.

Для обчислення діагоналей паралелограма використовують теорему косінусів: c²=a²+b²-2ab*cosγ. Приклад 5: a = 2 см, b = 3 см, γ = 120°. Знайдіть діагональ с. Рішення: підставте значення формули. c²= 2²+3²-2*2*3*cos120°; cos120° знайдіть по таблиці косінусів (-0,5). с² = 4 +9-12 * (-0,5) = 13-(-6) = 19. З цього значення витягніть корінь: с = √19 = 4,35 см. Відповідь: довжина діагоналі з = 4,35 див.

Куб є окремий випадокпаралелепіпеда, в якому кожна з граней утворена правильним багатокутником – квадратом. Всього куб має шість гранів. Обчислити площу не становить труднощів.

Інструкція

Тепер, знаючи площу однієї з межі квадрата, можна дізнатися площу всієї поверхні куба. Це можна здійснити, якщо модифікувати формулу, зазначену вище:
S = 6*a²
Інакше кажучи, знаючи, що таких квадратів (гранів) у куба аж шість штук, площа поверхні куба становить однією з граней куба.

Для наочності та зручності можна навести:
Припустимо, дано куб, у якого довжина ребра 6 см, потрібна площа поверхні даного куба. Спочатку потрібно знайти площу грані:
S = 6 * 6 = 36 см ²
Таким чином, площа грані можна знайти і всю поверхні куба:
S = 36 * 6 = 216 см ²
Відповідь: площа поверхні куба з ребром, що дорівнює 6 см, становить 216 см²

Зверніть увагу

Куб є окремим випадком не тільки паралелепіпеда, а й призми.
Паралелепіпедом називається призма, у якого основою є паралелограм. Особливістю паралелепіпеда є те, що 4 з 6 його граней – прямокутники.

Призмою вважається багатогранник, в основі якого перебувають рівні багатокутники. Однією з головних особливостей призми можна назвати те, що бічні граніїї є паралелограмами.

Крім куба, існують інші види багатогранників: піраміди, призми, паралелепіпеди і т.д., кожному з них відповідають різні способизнаходження площ їх поверхонь.

Корисна порада

Якщо дано не куб, а інший правильний багатогранник, то в будь-якому випадку площа його поверхні буде знаходитися аналогічно. Це означає, що площа поверхні правильного багатогранниказнаходиться шляхом підсумовування всіх площ його граней - правильних багатокутників.

Довжина характеризує відстань між початковою та кінцевою точкамивідрізка. Розрізняють довжинупрямий, ламаної та замкнутої лінії. Її знаходять експериментальним або аналітичним способом.

Інструкція

Окружність є замкнутим відрізком, який є утворюючим кола. Якщо точно слідувати визначенню, то коло називається геометричне місце площини, рівновіддалених від її центру. Усі кола мають деякий радіус, що позначається як r, і навіть діаметр, рівний D=2r. Довжина цієї лінії дорівнює значенню виразу: C = 2πr = πD, де r - радіус кола, D - діаметр кола.

Якщо мова йдепро пряму лінію, то мають на увазі або звичайний відрізок, або замкнута фігура, така як трикутник або прямокутник. Для останнього довжинає основною характеристикою. Простий відрізок можна експериментально, а довжинусторони у фігури найзручніше обчислити. Найбільше здійснити цю операцію щодо прямокутника.

Окремим випадком прямокутника є рівносторонній, який називається квадратом. У деяких задачах наведено тільки площі, а знайти необхідно бік. Оскільки сторони квадрата рівні, то вона обчислюється за такою формулою: a = √S. Якщо прямокутник не рівносторонній, то, знаючи його площу та одну зі сторін, знайдіть довжину перпендикулярної сторонив такий спосіб:a=S/b, де S - площа прямокутника, b - ширина прямокутника.

Довжина сторони трикутника знаходиться дещо іншим способом. Для визначення цієї величини необхідно знати як довжини інших сторін, а й значення кутів. Якщо дано прямокутний трикутник з кутом 60° і стороною, яка є його гіпотенузою, довжинукатета знайдіть за такою формулою: a = c * cosα. Крім того, якщо в задачі дана площа трикутника і висота, довжинуоснови можна знайти за іншою формулою: a = 2√S/√√3.

Довжину сторін будь-якої фігури найпростіше знайти, якщо вона рівностороння. Наприклад, якщо навколо описано коло, довжинусторони цього трикутника обчисліть наступним чином: a3 = R√3. r - радіус вписаного кола.

Відео на тему

Прямокутник - одна з найпростіших геометричних фігур, яка, маючи всі кути однаковими та рівними 90°, є окремим випадком паралелограма. Відрізок, що з'єднує дві вершини прямокутника, що не мають спільної сторониназивається діагоналлю цього багатокутника. Обчислити довжину можна кількома способами, залежно від відомих вихідних даних.

Інструкція

Якщо відомі довжини обох сторін (A і B) прямокутника, довжину діагоналі (C) можна визначити як корінь із суми квадратів . Це випливає з теореми Піфагора, оскільки діагональ у цій геометричній фігурі утворює прямокутний трикутник, двома іншими сторонами якого є прямокутники. Діагональ у цьому трикутнику є гіпотенузою, а сторони прямокутника – катетами. Тобто: C = √ (A² + B²).

Якщо довжина однієї зі сторін невідома, але відома довжина іншої (A) і площа (S) прямокутника, довжину діагоналі теж можна обчислити. Так як площа прямокутника знаходиться множенням довжин його сторін, то невідому сторону можна виразити як приватну від розподілу площі на довжину іншої сторони. Підставте це у отриману першому кроці формулу: C=√(A²+S²/A²)=√(A⁴+S²)/A.

Якщо відома довжина однієї (A), а також довжина його периметра (P), то довжину другої сторони теж можна визначити. Оскільки - це подвоєна сума двох сторін, то кожну сторону можна визначити як різницю між напівпериметром і довжиною іншої сторони. Підставте цей вираз у ту саму формулу з першого кроку: C=√(A²+(P/2-A)²=√(A²+P²/4-P×A+A²)=√(2×A²+P²/ 4-P×A).

Якщо відомий радіус кола (R), в яку вписаний прямокутник, то діагональ його дорівнюватиме подвоєному радіусу, так як центр прямокутника і кола в цьому випадку збігаються. Пряма, що з'єднує дві точки кола і проходить через центр дорівнює його діаметру, тобто двом радіусам. Оскільки вершини цього прямокутника лежать , а що з'єднує їх діагональ проходить через центр, вона теж визначенню діаметра кола: C=2×R.

Якщо відомий радіус вписаного кола (r), то довжини сторін однакові. Цей окремий випадок прямокутника квадратом. Визначити довжину сторін у разі можна як подвоєну довжину радіуса кола, а підставивши цей вираз у формулу з першого кроку, ви отримаєте: C=√(4×r²+4×r²)=r×√8.

Джерела:

• площа прямокутника через діагональ

Паралелограм - це опукла чотирикутна геометрична фігура, в якій пари протилежних сторін мають однакову довжину. Також і пари кутів у протилежних вершинах мають однакові величини. Кожен відрізок, що з'єднує дві протилежні сторониі перпендикулярний до кожної з них, можна назвати висотою цього чотирикутника. Знання довжин сторін, величин кутів і висот різних поєднанняхцих параметрів дозволяє розрахувати площу паралелограма.

Інструкція

Найчастіше у тому, щоб обчислити довжину гіпотенузи, Завдання зводять до теореми Піфагора, яка звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів. Отже, її довжина знаходиться обчисленням квадратного кореня із цієї .

Якщо відомий лише один катет і величина одного з двох кутів, які не є прямими, то можна скористатися тригонометричними формулами. Припустимо, дано ABC, в якому AC=c – гіпотенуза, AB=a та BC=b – катети, α – кут між a та c, β – кут між b та c. Тоді:c = a/cosα = a/sinβ = b/cosβ = b/sinα.

Розв'яжіть завдання: знайти довжину гіпотенузи, якщо відомо, що AB = 3 і кут BAC при цій стороні дорівнює 30 °.

Завдання на перебування діагоналі прямокутника може бути сформульовано трьома різними способами. Розглянемо докладніше кожен із них. Способи залежать від відомих даних, тож як знайти діагональ прямокутника?

Якщо відомі дві його сторони

У разі коли відомі дві сторони прямокутника a і b, для знаходження діагоналі необхідно скористатися теоремою Піфагора: a 2 +b 2 =c 2 , тут a і b - катети прямокутного трикутника, с - гіпотенуза прямокутного трикутника. Коли у прямокутнику прокреслено діагональ, він ділиться на два прямокутні трикутники. Дві сторони цього прямокутного трикутника нам відомі (a та b). Тобто, щоб знайти діагональ прямокутника, формула потрібна така: c=√(a 2 +b 2), тут с – довжина діагоналі прямокутника.

По відомій стороні та кутку, між стороною та діагоналлю

Нехай відома сторона прямокутника a та кут, який вона утворює з діагоналлю прямокутника α. Для початку згадаємо формулу косинуса: cos α = a/c, тут - діагональ прямокутника. Як розрахувати діагональ прямокутника з цієї формули: = a/cos α.

По відомій стороні, кутку між стороною прямокутника, що прилягає до неї, і діагоналлю.

Так як діагональ прямокутника ділить сам прямокутник на два прямокутні трикутники, логічно звернутися до визначення синуса. Синус - відношення катета, що лежить проти цього кута, до гіпотенузи. sin α = b/c. Звідси виводимо формулу для знаходження діагоналі прямокутника, яка є і гіпотенузою прямокутного трикутника: с = b/sin α.

Тепер ви підковані у цьому питанні. Можете порадувати вчителі геометрії вже завтра!

При вирішенні завдань з шкільної математикичасто потрібно визначити, чому дорівнює діагональ заданого квадрата. При певній складності, це завдання є дуже простий і має кілька нескладних способів вирішення. Розглянемо їх, для початку введемо деякі поняття та визначення.

1. Квадрат- це чотирикутник з рівними сторонами, Усі кути якого є прямими, тобто дорівнюють 90 градусів. Ця фігураодночасно і ромб, і прямокутник, тому зберігає всі властивості.
2. Діагональ багатокутника- Це відрізок, що з'єднує дві його протилежні вершини. У статті її позначатимемо літерою d.
3. Протилежниминазиваються вершини, що не лежать на одній стороні.
4. Корінь квадратний з числа, це таке число, яке при множенні саме він дасть вихідне. У геометрії використовуються тільки позитивні значенняквадратного кореня. У статті його позначатимемо скороченням rad (від латинського radical - корінь).
5. Сторону квадрата позначатимемо літерою a.

Як відомо з вищевикладеного, квадрат має лише дві діагоналі. Оскільки квадрат є прямокутником і зберігає його властивості, вони рівні між собою. Розглянемо різні способи знаходження її довжини.

Обчислення діагоналі квадрата по відомій стороні

Самим простим способомє обчислення діагоналіякщо відома сторона квадрата. Тут діє широко відома теорема Піфагора для прямокутних трикутників. Запишемо цю формулу: c^2 = a^2+b^2.

Зазначимо, що у разі діагональ квадрата є гіпотенуза трикутника з рівними катетами. Перепишемо формулу з наших умов: d^2 = a^2+a^2. Перетворимо, отримаємо: d^2 = 2*a^2. Наступним кроком вийдемо квадратний корінь, вийде: d = rad2*a. Це і наша кінцева формула.

Розглянемо обчислення з прикладу. Нехай a = 64. Підставимо наше значення формулою. Отримаємо d = 64 * rad2. Це є відповідь.

Обчислення діагоналі квадрата за відомою площею

Нехай нам дано площу квадрата, її позначають латинською літероюЗнайдемо його діагональ.

Використовуємо властивості прямокутника та запишемо формулу його площі.

S = a * b. Перепишемо для b = a. Отримаємо: s = a^2. Звідси знайдемо бік: a = radS. Отже, нам удалося висловити бік через площу. Підставимо отриманий вираз кінцеву формулу з попередньої частини. Формула набуде вигляду: d = rad2 * a = rad2*radS.

Приклад: припустимо, площа дорівнює 32 квадратні метри. Підставимо це число. Отримаємо rad2 * rad32 = rad2 * 4 * rad2 = 4 * 2 = 8 метрів.

Обчислення діагоналі за відомим периметром

Нехай нам відомий периметр. Надалі його записуватимемо латинською літерою P, знайдемо його d. Скористаємося властивостями прямокутника та запишемо формулу його периметра.

P = два * (a + b). Перепишемо для b = a. У нас вийде: P = 2*(a + a) = 2*2a = 4*a. Виразимо з останньої формули бік. Маємо: a = P/4. Скористаємося тим, що: d = rad2 * a. Виразимо бік через периметр. Наша формула набуде вигляду d = rad2*P/4.

Приклад: нехай периметр дорівнює 128 метрів. Проведемо нескладний розрахунок. Маємо rad =d2*128/4 = 32*rad2 метрів.

Обчислення по радіусу описаного та вписаного кола

Ще один спосібщо насправді дуже простий. Радіус описаного кола будемо позначати латинською літерою R, радіус вписаного кола будемо позначати латинською літерою r.

Спочатку розберемося з описаним колом. У цій ситуації її радіус складає рівно половину діагоналі (це неважко переконатися з використанням побудови), таким чином: R = 1/2*d. звідси маємо: d = два * R. Знову пояснимо наші міркування на прикладі. Нехай R = 45 км. Отримаємо d = два * 45 = 90 кілометрів.

І, нарешті, розглянемо метод, пов'язаний з радіусом вписаного кола. Знову-таки з побудови чітко видно, що діаметр вписаного кола дорівнює стороні квадрата. Таким чином, її радіус вдвічі менший за сторону. Запишемо це як формули: r = 1/2*a. Звідси випливає, a = 2*r. Знову скористаємося формулою з першого методу, підставимо замість сторони її вираз через радіус вписаного кола. Вираз набуде вигляду: d = rad2 * a = rad2*2*r.

Ще раз скористаємося за допомогою прикладу. Нехай r = 98 метрів. Тоді маємо d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Висновок

Таким чином, ми розглянули у статті п'ять принципово різних методівобчислення діагоналі квадрата. Якщо, на перший погляд, завдання здавалося складним, то після проведених нами міркувань стало очевидним, що особливих проблем тут немає. Зведемо всі отримані нами формули одну таблицю.

1. d = rad2 * a;
2. d = rad2 * radS;
3. d = rad2 * P/4;
4. d = 2 * R;
5. d = rad2 * 2 * r.

Хочеться ще відзначити, що за допомогою першої з наших формул дуже легко побудувати відрізок, рівний коренюквадратному із двох. Для цього будуємо квадрат зі стороною одиниця, його діагональ і дорівнюватиме шуканому відрізку.

Якщо на отриманій діагоналі ми збудуємо прямокутник, використовуючи її як довжину, а ширину візьмемо рівної одиниці, то отримаємо відрізок рівний ще одному ірраціонального числакорінь квадратний із трьох.

Відео

З відео ви дізнаєтесь, як знайти діагональ квадрата, якщо відома його площа.

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.

Щоб правильно розрахувати та виставити діагональ фундаменту або опалубкифундаменту - дуже добре найняти спеців. Але якщо ви вже кілька разів бачили передачу квадратний метр», кілька разів чули розмову про те, як треба будувати, а ще купу анекдотів про будівництво? - інша справа. Це і дає нам « повне право» припускати, що ми самі впораємося з таким простою справою, як кути та діагоналі опалубки фундаменту. Саме такого високої думкипро себе кожен, хто планує будувати лазню своїми руками (Ха-ха!)

Про початок розмітки та проектування фундаменту та опалубки я писав у статті. На момент вбивання колів та встановлення зовнішніх дощок опалубки я вже перевіряв довжину діагоналі. Все сходилося до міліметра. Це найголовніше умови отримання прямих кутів зрубу лазні. Але після першої розмітки були маніпуляції із встановленням дна ростверку, монтаж внутрішніх щитів опалубки, дороблення опалубки стовпчиків від рівня землі до дна майбутнього фундаменту. Звичайно ж, я дуже намагався щоб нічого не зрушити, і коли вбивав глибоко.

Але як і у будь-якій будові, стався перекосяк. Це не так страшно, ніби я цього не помітив або я про це не знав. Тому я перед укладанням арматури вирішив знову перевірити діагоналі. Різниця вийшла в 2 см. Ось і добре, що виявилося до заливання бетону.

Як вивести діагональ опалубки?

Для спрощення будівництва правильної опалубки я робив довжину стін абсолютно рівною. Тому перекіс може вийти лише у вигляді ромба. На малюнку навмисне збільшено ступінь перекосу опалубки для наочності.
Для виправлення ситуації вчинили так:

Таке комбіноване переміщення однієї зі сторін опалубки (північної на малюнку) не було надто важким, оскільки коли та первісне розташування опалубки відповідали правильному положенню. Тому зміщення діагоналі було мінімальним і зусилля з «коригування» положення щитів не викликали механічної напруги та зусиль.

Спосіб встановлення кутів по рівним діагоналямможна використовувати лише за умови рівності сторін. Рівності діагоналейбуде достатньо!

Для сторін опалубки з великим розміромможна застосувати правило "золотого" трикутника. Якщо такий трикутник, згідно з теоремою Піфагора, має сторони 3, 4, то гіпотенуза дорівнює 5 одиницям. Таким чином, достатньо відміряти на сторонах опалубки кратні частини 3 і 4 у вершини прямого кутаі тоді відстань між контрольними точками буде 5 частин! Це і буде гарантією прямих кутів та рівності діагоналей!

Для здійснення правильного планування монтажу опалубкидуже рекомендую використовувати метод обнесення, який дозволяє в будь-який час монтажних робітробити звірку кутів, знімати та повторно встановлювати шнури периметра фундаменту.

Перед заливанням фундаменту не полінуйтеся ще раз перевірити діагоналі. Це не буде зайвим! Бетон неможливо легко та швидко поправити. Помилки виправляти дуже дорого та довго. Фундамент для зрубу має більше вимог до якості, ніж фундамент для кам'яного будинку. Розчином уже нічого не вирівняти!

Не забудьте перед заливкою для її легкого демонтажу!