Як дізнатися рівняння прямої по 2 точках. Рівняння пряме, що проходить через дві точки

Ця стаття продовжує тему рівняння прямої на площині: розглянемо такий вид рівняння, як загальне рівнянняпрямий. Задамо теорему та наведемо її доказ; Розберемося, що таке неповне загальне рівняння прямої і як здійснювати переходи від загального рівняння до інших типів рівнянь прямої. Усю теорію закріпимо ілюстраціями та вирішенням практичних завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нехай на площині задано прямокутну систему координат O x y .

Теорема 1

Будь-яке рівняння першого ступеня, що має вигляд A x + B y + C = 0 де А, В, С - деякі дійсні числа(А і В не дорівнюють одночасно нулю) визначає пряму лінію в прямокутної системикоординат на площині. У свою чергу, будь-яка пряма у прямокутній системі координат на площині визначається рівнянням, що має вигляд A x + B y + C = 0 при деякому наборі значень А, В, С.

Доведення

зазначена теорема і двох пунктів, доведемо кожен із них.

1. Доведемо, що рівняння A x + B y + C = 0 визначає на площині пряму.

Нехай існує деяка точка М 0 (x 0 , y 0) координати якої відповідають рівнянню A x + B y + C = 0 . Отже: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Віднімемо з лівої та правої частин рівнянь A x + B y + C = 0 ліву та праву частини рівняння A x 0 + B y 0 + C = 0 отримаємо нове рівняння, що має вигляд A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Воно еквівалентне A x + B y + C = 0.

Отримане рівняння A(x – x 0) + B (y – y 0) = 0 є необхідним та достатньою умовоюперпендикулярності векторів n → = (A , B) та M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) . Таким чином, безліч точок M (x , y) задає у прямокутній системі координат пряму лінію, перпендикулярну до напрямку вектора n → = (A , B) . Можемо припустити, що це не так, але тоді вектори n → = (A , B) і M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) не були б перпендикулярними, і рівність A (x - x 0 ) + B(y - y 0) = 0 не було б вірним.

Отже, рівняння A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 визначає деяку пряму у прямокутній системі координат на площині, а отже, і еквівалентне йому рівняння A x + B y + C = 0 визначає ту саму пряму. Так ми довели першу частину теореми.

1. Наведемо доказ, що будь-яку пряму в прямокутній системі координат на площині можна встановити рівнянням першого ступеня A x + B y + C = 0 .

Задамо в прямокутній системі координат на прямій площині a ; точку M 0 (x 0 , y 0) , якою проходить ця пряма, і навіть нормальний вектор цієї прямої n → = (A , B) .

Нехай також існує деяка точка M (x, y) - плаваюча точка пряма. У такому разі вектори n → = (A , B) і M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) є перпендикулярний другдругові, та їх скалярний добутокє нуль:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Перепишемо рівняння A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, визначимо C: C = - A x 0 - B y 0 і в кінцевому результатіотримаємо рівняння A x + B y + C = 0.

Так ми довели і другу частину теореми, і довели всю теорему в цілому.

Визначення 1

Рівняння, що має вигляд A x + B y + C = 0 – це загальне рівняння прямоїна площині у прямокутній системі координатO x y.

Спираючись на доведену теорему, ми можемо зробити висновок, що задані на площині фіксованої прямокутної системи координат пряма лінія та її загальне рівняння нерозривно пов'язані. Інакше висловлюючись, вихідної прямої відповідає її загальне рівняння; загальному рівнянню прямої відповідає задана пряма.

З доказу теореми також випливає, що коефіцієнти А і В при змінних x та y є координатами нормального вектора прямої, яка задана загальним рівнянням прямої A x + B y + C = 0 .

Розглянемо конкретний прикладзагального рівняння прямої.

Нехай встановлено рівняння 2 x + 3 y - 2 = 0 , якому відповідає пряма лінія в заданій прямокутній системі координат. Нормальний вектор цієї прямої – це вектор n → = (2, 3) . Зобразимо задану пряму лінію на кресленні.

Також можна стверджувати і таке: пряма, яку ми бачимо на кресленні, визначається загальним рівнянням 2 x + 3 y - 2 = 0 оскільки координати всіх точок заданої прямої відповідають цьому рівнянню.

Ми можемо отримати рівняння λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , помноживши обидві частини загального рівняння прямої на число λ рівне нулю. Отримане рівняння є еквівалентом вихідного загального рівняння, отже, описуватиме ту ж пряму на площині.

Повне загальне рівняння прямої– таке загальне рівняння прямої A x + B y + C = 0 , в якому числа А, В, відмінні від нуля. В іншому випадку рівняння є неповним.

Розберемо всі варіації неповного загального рівняння прямої.

1. Коли А = 0 , ≠ 0 , С ≠ 0 , загальне рівняння набуває вигляду B y + C = 0 . Таке неповне загальне рівняння задає у прямокутній системі координат O x y пряму, яка паралельна осі O x , оскільки за будь-якого дійсному значенні x змінна y набуде значення -C B. Інакше кажучи, загальне рівняння прямої A x + B y + C = 0 , коли А = 0 , В ≠ 0 задає геометричне місце точок (x , y) , координати яких рівні одному й тому ж числу -C B.
2. Якщо А = 0, В ≠ 0, С = 0, загальне рівняння набуває вигляду y = 0. Таке неповне рівняннявизначає вісь абсцис O x.
3. Коли А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 отримуємо неповне загальне рівняння A x + С = 0 , що задає пряму, паралельну осі ординат.
4. Нехай А ≠ 0, В = 0, С = 0, тоді неповне загальне рівняння набуде вигляду x = 0, і це є рівняння координатної прямої O y.
5. Нарешті, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неповне загальне рівняння набуває вигляду A x + B y = 0 . І це рівняння визначає пряму, яка проходить через початок координат. Справді, пара чисел (0 , 0) відповідає рівності A x + B y = 0, оскільки А 0 + 0 = 0 .

Графічно проілюструємо всі вищезгадані види неповного загального рівняння прямої.

Приклад 1

Відомо, що задана пряма паралельна осі ординат і проходить через точку 2 7 - 11 . Необхідно записати загальне рівняння заданої прямої.

Рішення

Пряма, паралельна осі ординат, визначається рівнянням виду A x + C = 0 , в якому А ≠ 0 . Також умовою задані координати точки, якою проходить пряма, і координати цієї точки відповідають умовам неповного загального рівняння A x + C = 0 , тобто. вірна рівність:

A · 2 7 + C = 0

З нього можна визначити C , якщо надати A якесь ненульове значення, наприклад, A = 7 . У такому разі отримаємо: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 . Нам відомі обидва коефіцієнти A і C, підставимо їх у рівняння A x + C = 0 і отримаємо необхідне рівняння прямої: 7 x - 2 = 0

Відповідь: 7 x - 2 = 0

Приклад 2

На кресленні зображено пряму, необхідно записати її рівняння.

Рішення

Наведене креслення дозволяє нам легко взяти вихідні дані для вирішення задачі. Ми бачимо на кресленні, що задана пряма паралельна осі O x проходить через точку (0 , 3) ​​.

Пряму, яка паралельна очи абсцис, визначає неповне загальне рівняння B y + С = 0 . Знайдемо значення B та C . Координати точки (0 , 3) ​​, оскільки через неї проходить задана пряма, будуть задовольняти рівняння прямої B y + С = 0 тоді справедливою є рівність: · 3 + С = 0 . Задамо для якогось значення, відмінне від нуля. Припустимо, У = 1 , у разі з рівності · 3 + З = 0 можемо знайти З: З = - 3 . Використовуємо відомі значенняВ і С отримуємо необхідне рівняння прямої: y - 3 = 0 .

Відповідь: y - 3 = 0.

Загальне рівняння прямої, що проходить через задану точку площини

Нехай задана пряма проходить через точку М 0 (x 0 , y 0) тоді її координати відповідають загальному рівнянню прямий, тобто. Правильність рівності: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Віднімемо ліву та праву частини цього рівняння від лівої та правої частини загального повного рівнянняпрямий. Отримаємо: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0 це рівняння еквівалентно вихідному загальному, проходить через точку М 0 (x 0 , y 0) і має нормальний вектор n → = (A , B).

Результат, який ми отримали, дає можливість записувати загальне рівняння прямої при відомих координатахнормального вектора прямої та координатах певної точки цієї прямої.

Приклад 3

Дано точку М 0 (- 3 , 4) , через яку проходить пряма, і нормальний вектор цієї прямої n → = (1, - 2) . Необхідно записати рівняння заданої прямої.

Рішення

Вихідні умови дозволяють отримати необхідні дані для складання рівняння: А = 1 , В = - 2 , x 0 = - 3 , y 0 = 4 . Тоді:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 · (x - (- 3)) - 2 · y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Завдання можна було вирішити інакше. Загальне рівняння прямої має вигляд A x + B y + C = 0. Заданий нормальний вектор дозволяє отримати значення коефіцієнтів A і B тоді:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x - 2 · y + C = 0 ⇔ x - 2 · y + C = 0

Тепер знайдемо значення С, використовуючи задану умовоюЗавдання точку М 0 (- 3 , 4) , Через яку проходить пряма. Координати цієї точки відповідають рівнянню x - 2 · y + C = 0, тобто. - 3 - 2 · 4 + С = 0. Звідси З = 11. Необхідне рівняння прямої набуває вигляду: x - 2 · y + 11 = 0 .

Відповідь: x - 2 · y + 11 = 0.

Приклад 4

Задано пряму 2 3 x - y - 1 2 = 0 і точку М 0 , що лежить на цій прямій. Відома лише абсцис цієї точки, і вона дорівнює - 3 . Необхідно визначити ординату заданої точки.

Рішення

Задамо позначення координат точки М0 як x0 та y0. У вихідних даних зазначено, що x0 = -3. Оскільки точка належить заданої прямої, то її координати відповідають загальному рівнянню цієї прямої. Тоді вірною буде рівність:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Визначаємо y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Відповідь: - 5 2

Перехід від загального рівняння прямої до інших видів рівнянь прямої та назад

Як ми знаємо, існує кілька видів рівняння однієї і тієї ж прямої на площині. Вибір виду рівняння залежить від умов задачі; можна вибирати той, який більш зручний для її вирішення. Тут дуже знадобиться навичка перетворення рівняння одного виду на рівняння іншого виду.

Спочатку розглянемо перехід від загального рівняння виду A x + B y + C = 0 до канонічного рівняння x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Якщо А ≠ 0 тоді переносимо доданок B y в праву частинузагального рівняння. У лівій частині виносимо A за дужки. У результаті отримуємо: A x + C A = - B y.

Цю рівність можна записати як пропорцію: x + C A - B = y A .

У разі, якщо В ≠ 0 залишаємо в лівій частині загального рівняння тільки доданок A x , інші переносимо в праву частину, отримуємо: A x = - B y - C . Виносимо – за дужки, тоді: A x = - B y + C B .

Перепишемо рівність як пропорції: x - B = y + C B A .

Звичайно, заучувати отримані формули немає потреби. Достатньо знати алгоритм дій під час переходу від загального рівняння до канонічного.

Приклад 5

Встановлено загальне рівняння прямої 3 y - 4 = 0 . Необхідно перетворити їх у канонічне рівняння.

Рішення

Запишемо вихідне рівняння як 3 y - 4 = 0. Далі діємо за алгоритмом: у лівій частині залишається доданок 0 x; а у правій частині виносимо – 3 за дужки; отримуємо: 0 x = - 3 y - 43.

Запишемо отриману рівність як пропорцію: x - 3 = y - 430. Так ми отримали рівняння канонічного виду.

Відповідь: x - 3 = y - 4 3 0.

Щоб перетворити загальне рівняння прямої на параметричні, спочатку здійснюють перехід до канонічному вигляду, а потім перехід від канонічного рівняння до прямої параметричних рівнянь.

Приклад 6

Пряма задана рівнянням 2 x – 5 y – 1 = 0 . Запишіть параметричні рівняння цієї прямої.

Рішення

Здійснимо перехід від загального рівняння до канонічного:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Тепер приймемо обидві частини отриманого канонічного рівняння рівними λ тоді:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Відповідь:x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Загальне рівняння можна перетворити на рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = k · x + b , але тільки тоді, коли ≠ 0 . Для переходу в лівій частині залишаємо доданок B y інші переносяться в праву. Отримаємо: B y = - A x - C. Розділимо обидві частини отриманого рівність на B відмінне від нуля: y = - A B x - C B .

Приклад 7

Встановлено загальне рівняння прямої: 2 x + 7 y = 0 . Необхідно перетворити те рівняння на рівняння з кутовим коефіцієнтом.

Рішення

Виробимо потрібні діїза алгоритмом:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Відповідь: y = - 2 7 x.

Із загального рівняння прямої досить просто отримати рівняння у відрізках виду x a + y b = 1 . Щоб здійснити такий перехід, перенесемо число C у праву частину рівності, розділимо обидві частини одержаної рівності на – С і, нарешті, перенесемо у знаменники коефіцієнти при змінних x та y:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Приклад 8

Необхідно перетворити загальне рівняння прямої x - 7 y + 1 2 = 0 рівняння прямої у відрізках.

Рішення

Перенесемо 1 2 до правої частини: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Розділимо на -1/2 обидві частини рівності: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Відповідь: x-1 2 + y 1 14 = 1 .

Загалом, нескладно проводиться і зворотний перехід: від інших рівнянь до загального.

Рівняння прямої у відрізках і рівняння з кутовим коефіцієнтом легко перетворити на загальне, просто зібравши всі складові в лівій частині рівності:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Канонічне рівнянняперетворюється на загальне за такою схемою:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для переходу від параметричних спочатку здійснюється перехід до канонічного, а потім до загального:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Приклад 9

Задані параметричні рівняння прямої x = - 1 + 2 · y = 4 . Необхідно записати загальне рівняння цієї прямої.

Рішення

Здійснимо перехід від параметричних рівняньдо канонічного:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Перейдемо від канонічного до загального:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Відповідь: y - 4 = 0

Приклад 10

Задано рівняння прямої у відрізках x 3 + y 1 2 = 1 . Необхідно здійснити перехід до загального виглядурівняння.

Рішення:

Просто перепишемо рівняння у необхідному вигляді:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Відповідь: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Складання загального рівняння прямої

Вище ми говорили про те, що загальне рівняння можна записати при відомих координатах нормального вектора та координатах точки, через яку проходить пряма. Така пряма визначається рівнянням A(x – x 0) + B (y – y 0) = 0 . Там ми розібрали відповідний приклад.

Зараз розглянемо складніші приклади, у яких спочатку необхідно визначити координати нормального вектора.

Приклад 11

Задано пряму, паралельну прямій 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Також відома точка M 0 (4 , 1) через яку проходить задана пряма. Необхідно записати рівняння заданої прямої.

Рішення

Вихідні умови говорять нам про те, що прямі паралельні, тоді як нормальний вектор прямий, рівняння якої потрібно записати, візьмемо напрямний вектор прямий n → = (2 , - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Тепер нам відомі всі необхідні дані, щоб скласти загальне рівняння прямої:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Відповідь: 2 x - 3 y - 5 = 0.

Приклад 12

Задана пряма проходить через початок координат перпендикулярно до прямої x - 2 3 = y + 4 5 . Необхідно скласти загальне рівняння заданої прямої.

Рішення

Нормальний вектор заданої прямої буде напрямний вектор прямий x - 2 3 = y + 4 5 .

Тоді n → = (3, 5) . Пряма проходить через початок координат, тобто. через точку О (0 , 0). Складемо загальне рівняння заданої прямої:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Відповідь: 3 x + 5 y = 0

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Нехай пряма проходить через точки М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2). Рівняння прямої, що проходить через точку М 1 має вигляд у- у 1 = k (х – х 1), (10.6)

де k - Поки невідомий коефіцієнт.

Оскільки пряма проходить через точку М 2 (х 2 у 2), то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння (10.6): у 2 -у 1 = k (Х 2 -х 1).

Звідси знаходимо Підставляючи знайдене значення k рівняння (10.6), отримаємо рівняння прямої, що проходить через точки М 1 і М 2:

Передбачається, що в цьому рівнянні х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2

Якщо х 1 = х 2 то пряма, що проходить через точки М 1 (х 1, у I) і М 2 (х 2, у 2) паралельна осі ординат. Її рівняння має вигляд х = х 1 .

Якщо у 2 = у I, то рівняння прямої може бути записано у вигляді у = у 1, пряма М 1 М 2 паралельна осі абсцис.

Рівняння прямої у відрізках

Нехай пряма перетинає вісь Ох у точці М 1 (а; 0), а вісь Оу – у точці М 2 (0; b). Рівняння набуде вигляду:
тобто.
. Це рівняння називається рівнянням прямої у відрізках, т.к. числа а та b вказують, які відрізки відсікає пряма на осях координат.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку перпендикулярно даному вектору

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через дану точкуМо (х О; у о) перпендикулярно даному ненульовому вектору n = (А; В).

Візьмемо на прямий довільну точку М (х; у) і розглянемо вектор М 0 М (х - х 0; у - у о) (див. рис.1). Оскільки вектори n і М про М перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює нулю: тобто

А (х - хо) + В (у - уо) = 0. (10.8)

Рівняння (10.8) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору .

Вектор n= (А; В), перпендикулярний до прямої, називається нормальним нормальним вектором цієї прямої .

Рівняння (10.8) можна переписати як Ах + Ву + С = 0 , (10.9)

де А і координати нормального вектора, С = -Ах про - Ву про - вільний член. Рівняння (10.9) є загальне рівняння прямої(Див. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонічні рівняння прямої

,

Де
- координати точки, якою проходить пряма, а
- Спрямовуючий вектор.

Криві другого порядку Окружність

Окружністю називається безліч всіх точок площини, рівновіддалених від цієї точки, яка називається центром.

Канонічне рівняння кола радіусу R з центром у точці
:

Зокрема, якщо центр колу збігається з початком координат, то рівняння матиме вигляд:

Еліпс

Еліпсом називається безліч точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок і , які називаються фокусами, є постійна величина
більша, ніж відстань між фокусами
.

Канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, а початок координат посередині між фокусами має вигляд
г де a довжина великої півосі; b - Довжина малої півосі (рис. 2).

Нехай дані дві точки М 1 (х 1, у 1)і М 2 (х 2, у 2). Запишемо рівняння прямої у вигляді (5), де kпоки невідомий коефіцієнт:

Бо точка М 2належить заданої прямої, її координати задовольняють рівнянню (5): . Висловлюючи звідси і підставивши їх у рівняння (5) отримаємо шукане рівняння:

Якщо це рівняння можна переписати у вигляді, зручнішому для запам'ятовування:

(6)

приклад.Записати рівняння прямої, що проходить через точки М 1 (1,2) та М 2 (-2,3)

Рішення. . Використовуючи властивість пропорції і виконавши необхідні перетворення, отримаємо загальне рівняння прямої:

Кут між двома прямими

Розглянемо дві прямі l 1і l 2:

l 1: , , і

l 2: , ,

φ-кут між ними (). З рис.4 видно: .

Звідси , або

За допомогою формули (7) можна визначити один із кутів між прямими. Другий кут дорівнює.

приклад. Дві прямі задані рівняннями у=2х+3 та у=-3х+2. знайти кут між цими прямими.

Рішення. З рівнянь видно, що k1 = 2, а k2 = -3. підставляючи дані значення формулу (7), знаходимо

. Таким чином, кут між даними прямими дорівнює .

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих

Якщо прямі l 1і l 2паралельні, то φ=0 і tgφ=0. з формули (7) випливає, що , звідки k 2 =k 1. Таким чином, умовою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів.

Якщо прямі l 1і l 2перпендикулярні, то φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Таким чином, умова перпендикулярності двох прямих полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною та протилежні за знаком.

Відстань від точки до прямої

Теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій.

Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад.Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x+1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p/4.

приклад.Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад.Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

k=. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0.

Відстань від точки до прямої визначається довжиною перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Якщо пряма паралельна площині проекції (h | | П 1), то для того щоб визначити відстань від точки Адо прямої hнеобхідно опустити перпендикуляр з точки Ана горизонталь h.

Розглянемо більше складний приклад, коли пряма займає загальне становище. Нехай необхідно визначити відстань від точки Мдо прямої азагального становища.

Завдання визначення відстані між паралельними прямимивирішується аналогічно до попередньої. На одній прямій береться точка, з неї опускається перпендикуляр в іншу пряму. Довжина перпендикуляра дорівнює відстані між паралельними прямими.

Кривий другого порядкуназивається лінія, яка визначається рівнянням другого ступеня щодо поточних декартових координат. У загальному випадкуАх 2 + 2Вху + Су 2 + 2Дх + 2Еу + F = 0,

де А, В, С, Д, Е, F – дійсні числа і, принаймні, одне з чисел А 2 +В 2 +С 2 ≠0.

Окружність

Центр кола– це геометричне місце точок у площині, що стоять від точки площини С(а,b).

Окружність задається наступним рівнянням:

Де х,у - координати довільної точки кола, R - радіус кола.

Ознака рівняння кола

1. Відсутня доданок з х,у

2. Рівні Коефіцієнти при х 2 та у 2

Еліпс

Еліпсомназивається геометричне місце точок у площині, сума відстаней кожної з яких від двох даних точок цієї площини називається фокусами (постійна величина).

Канонічне рівняння еліпса:

Х і у належать еліпсу.

а – велика піввісьеліпса

b – мала піввісь еліпса

У еліпса 2 осі симетрії ОХ та ОУ. Осі симетрії еліпса – його осі, точка їхнього перетину – центр еліпса. Та вісь на якій розташовані фокуси, називається фокальною віссю. Крапка перетину еліпса з осями – вершина еліпса.

Коефіцієнт стиснення (розтягування): ε = с/а– ексцентриситет (характеризує форму еліпса), що він менше, тим менше витягнутий еліпс вздовж фокальної осі.

Якщо центри еліпса перебувають над центрі З(α, β)

Гіперболу

Гіперболоюназивається геометричне місце точок у площині, абсолютна величинарізниці відстаней, кожна з яких від двох даних точок цієї площини, званих фокусами, є величина постійна, відмінна від нуля.

Канонічне рівняння гіперболи

Гіпербола має 2 осі симетрії:

а – дійсна піввісь симетрії

b – уявна піввісь симетрії

Асимптоти гіперболи:

Парабола

Параболоюназивається геометричне місце точок у площині, рівновіддалених від даної точки F, яка називається фокусом і даною прямою, званою директрисою.

Канонічне рівняння параболи:

У 2 = 2рх, де р - Відстань від фокусу до директриси (параметр параболи)

Якщо вершина параболи (α, β), то рівняння параболи (у-β) 2 =2р(х-α)

Якщо фокальну вісь прийняти за вісь ординат, то рівняння параболи набуде вигляду: х 2 =2qу

Визначення.Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А,Ві З можливі такі окремі випадки:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 (By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А ≠0 – пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В ≠0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виглядів залежності від будь-яких заданих початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі

Визначення.У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже, С = -1 . Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.

якщо х 1 ≠ х 2 і х = х 1 якщо х 1 = х 2 .

Дроб = k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення.Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом

Якщо загальне Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтомk.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.

Визначення.Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові А α 1 + В α 2 = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення.Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

Рівняння прямої у відрізках

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо: або

Геометричний змісткоефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямий з віссю Оу.

приклад.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 помножити на число , Яке називається нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

нормальне рівнянняпрямий. Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ*С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типирівнянь цієї прямої.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осямабо проходять через початок координат.

приклад. Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .

Рішення.Рівняння прямої має вигляд: , ab/2 = 8; ab=16; a = 4, a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.

Рішення. Рівняння прямої має вигляд: де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Кут між прямими на площині

Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими визначатиметься як

.

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = А, В 1 = В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доведення.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = π /4.

приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Рівняння прямої через дві точки. у статті" " я обіцяв вам розібрати другий спосіб вирішення представлених завдань на знаходження похідної, при даному графікуфункції та дотичної до цього графіка. Цей спосіб ми розберемо в , НЕ пропустіть! Чомуу наступній?

Справа в тому, що там використовуватиметься формула рівняння прямої. Звичайно, можна було б просто показати цю формулуі порадити вам її вивчити. Але краще пояснити – від куди вона походить (як виводиться). Це необхідно! Якщо ви забудете її, то швидко відновити їїне уявить труднощів. Нижче докладно все викладено. Отже, у нас на координатної площиниє дві точки А(х 1 ;у 1) і (х 2 ;у 2), через зазначені точки проведена пряма:

Ось сама формула пряма:

* Тобто при підстановці конкретних координат точок ми отримаємо рівняння виду y=kx+b.

**Якщо цю формулу просто «зазубрити», то є велика можливість заплутатися з індексами при х. Крім того, індекси можуть позначатися по-різному, наприклад:

Тому й важливо розуміти сенс.

Тепер виведення цієї формули. Все дуже просто!

Трикутники АВЕ і ACF подібні до гострому кутку(перша ознака подоби прямокутних трикутників). З цього випливає, що відносини відповідних елементів рівні, тобто:

Тепер просто виражаємо дані відрізки через різницю координат точок:

Звичайно, не буде ніякої помилки якщо ви запишите відносини елементів в іншому порядку (головне дотримуватися відповідності):

В результаті вийде одне й теж рівняння прямої. Це все!

Тобто, як би не були позначені самі точки (та їх координати), розуміючи цю формулу, ви завжди знайдете рівняння прямої.

Формулу можна вивести використовуючи властивості векторів, але принцип виведення буде той самий, оскільки йтиметься про пропорційність їх координат. У цьому випадку працює все подібність прямокутних трикутників. На мій погляд описаний вище висновок більш зрозумілий)).

Подивитися висновок через координати векторів >>>

Нехай на координатній площині побудовано пряму, що проходить через дві задані точкиА(х 1 ;у 1) і В(х 2 ;у 2). Зазначимо на прямій довільну точку З координатами ( x; y). Також позначимо два вектори:

Відомо, що у векторів, що лежать на паралельних прямих (або на одній прямій), їх відповідні координати пропорційні, тобто:

- Записуємо рівність відносин відповідних координат:

Розглянемо приклад:

Знайти рівняння прямої, що проходить через дві точки з координатами (2; 5) та (7: 3).

Можна навіть не будувати саму пряму. Застосовуємо формулу:

Важливо, щоб ви вловили відповідність при складанні співвідношення. Ви не помилитеся, якщо запишіть:

Відповідь: у=-2/5x+29/5 йди у=-0,4x+5,8

Щоб переконатися, що отримане рівняння знайдено правильно, обов'язково робіть перевірку — підставте у нього координати даних за умови точок. Повинні вийти вірні рівності.

На цьому все. Сподіваюся, матеріал вам був корисний.

З повагою, Олександр.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.