Енергія атома радіусу електронної орбіти. Елементарна теорія бору

Електрон в атомі водню

Постулати Бора

Постулати Бора визначили напрямок розвитку нової науки – квантової фізики атома.Але вони не містили рецепту визначення параметрів стаціонарних станів(орбіт) та відповідних їм значень енергії E n .

Правило квантування, що приводить до значень енергій стаціонарних станів атома водню, що узгоджуються з досвідом, Бором було вгадано. Він припустив, що момент імпульсу електрона, що обертається навколо ядра, може приймати лише дискретні значення, кратні Постійна Планка. Для кругових орбіт правило квантування Бора записується як

Тут m e – маса електрона, υ – його швидкість, r n – радіус стаціонарної кругової орбіти. Правило квантування Бору дозволяє обчислити радіуси стаціонарних орбітелектрону в атомі водню та визначити значення енергій. Швидкість електрона, що обертається круговою орбітою деякого радіуса r в кулонівському полі ядра, як випливає з другого закону Ньютона, визначається співвідношенням

де e – елементарний зарядε0 - електрична постійна. Швидкість електрона і радіус стаціонарної орбіти r n пов'язані правилом квантування Бора. Звідси випливає, що радіуси стаціонарних кругових орбіт визначаються виразом

Найближчою до ядра орбіті відповідає значення n = 1. Радіус першої орбіти, який називається борівським радіусом,дорівнює

Радіуси наступних орбіт зростають пропорційно n2.

Повна механічна енергія E системи з атомного ядраі електрона, що звертається по стаціонарній круговій орбіті радіусом r n дорівнює

Слід зазначити, що E p< 0, так как между электроном и ядром действуют силы притяжения. Подставляя в эту формулу выражения для υ 2 и r n , получим:

Ціле число n = 1, 2, 3, ... називається у квантовій фізиці атома основним квантовим числом.

Згідно з другим постулатом Бора, при переході електрона з однієї стаціонарної орбіти з енергією E nна іншу стаціонарну орбіту з енергією E m< E n атом испускает квант света, частота ν nmякого дорівнює ΔE nm / h:

Ця формула точно збігається з емпіричною формулою Рідберга для спектральних серій атома водню, якщо покласти постійну R рівною

Підстановка числових значень m e , e, ε 0 і h у цю формулу дає результат

R = 3,29 · 10 15 Гц, який дуже добре узгоджується з емпіричним значенням R. Мал. 1 ілюструє утворення спектральних серій у випромінюванні атома водню під час переходу електрона з високих стаціонарних орбіт більш низькі.

Електрон в атомі водню

Потенційна енергіявзаємодії електрона з ядром в атомі водню дорівнює

Рішення рівняння (1.15) проводять шляхом поділу змінних з урахуванням природних вимог, що накладаються на ψ -функцію: вона повинна бути однозначною, кінцевою, безперервною та гладкою. В теорії диференціальних рівняньдоводиться, що рішення рівняння є безперервними, однозначними та кінцевими в наступних випадках:

1) за будь-яких позитивних безперервних значенняхенергії;

2) при дискретних негативних значенняхенергії.

Перший випадок відповідає вільному електрону(Заштрихована область на рис. 1.5 б), другий - одержуваним із рівняння Шредінгера власним значенням енергії

n = 1, 2, 3, …

(1.16)

Випадок (Е< 0) відповідає пов'язаним станам електрону в атомі.

Рішення рівняння Шредінгера наводить у випадку Е< 0 до формули (1.16) для енергетичних рівнів без використання будь-яких додаткових постулатів (на відміну початкової теорії Бора). Крім того, збіг з формулою Бора означає, що ми прийшли до тієї ж системи енергетичних рівнів, як у теорії Бора. Це саме стосується і частот випромінювання при переходах між рівнями.

Таким чином, рішення рівняння Шредінгера призводить для атома водню до появи дискретних енергетичних рівнів. Е 1 ,Е 2 , ..., Е п,показаних на рис. 1.5 бяк горизонтальних прямих.

а) б)

Рис. 1.5. а - потенційна енергія U(r) та б - власні значенняЕнергія Е електрона в атомі водню.

Найнижчий рівень Е 1 , відповідальний мінімальної можливої ​​енергії, - Основний , всі інші (Е п > Е 1 , п = 2, 3, ...) - збуджені . При Е< 0 рухелектрона є пов'язаним -він знаходиться усередині гіперболічної потенційної ями. З малюнка випливає, що зі зростанням головного квантового числа пенергетичні рівнірозташовуються вже і при п → ∞ Е ∞ → 0.

При Е> 0 рух електрона є вільним; область безперервного спектру Е > 0 (заштрихована на рис. 1.5 б) відповідає іонізованому атому.

Відмінністьв інтерпретації з теорією Бора відноситься тільки до станів електрона: теоретично Бора це рух по стаціонарних орбітах, тут же орбіти втрачають фізичний зміст, їхнє місце займають ψ -функції.

Діаграма енергетичних рівнів (рис.1.5) дозволяє надати кілька важливих визначень.

Енергія збудження Е віз- Це енергія, яку необхідно повідомити електрону, щоб він з основного стану ( n = 1) перейшов у збуджене. Наприклад, Е віз= 10,2 эВ – енергія, необхідна переходу електрона у стан, відповідне n = 2 (перше збуджений стан).

Енергія іонізації Е іон- Енергія, необхідна для відриву електрона, що знаходиться в основному стані ( n = 1), від ядра, тобто. для переведення електрона на рівень з n = ∞ . Для атома водню енергія іонізації дорівнює 136 еВ.

З аналізу випливає три висновки.

· ЕЕлектрон в атомі може мати лише дискретні значення енергії. У будь-якому атомі енергії електронів дискретні.

· Існує стан електрона з енергією, менше якої електрон мати не може. Цей стан називається основним. Решта стану називають збудженими. При цьому, рухаючись із прискоренням, будь-яка заряджена частка випромінює електромагнітні хвилі. На цьому принципі влаштовані всі антени, будь-які джерела електромагнітного випромінювання- радіохвиль, видимого світла, рентгенівських та гамма-променів. А електрон в атомі, в якому стані він не знаходився, не випромінює, хоча рухається з прискоренням. Електрон у збудженому стані може випромінювати електромагнітну енергію, перейшовши в один із станів із меншою енергією. Енергія випромінюється квантами, й у процесі випромінювання, як і всіх процесах, які у природі, виконується закон збереження енергії. Енергія випромінюваного кванта відповідно до закону збереження енергії дорівнює hn = = E n - E m , де nі m- цілі числа та n > m. Скільки часу електрон проведе у збудженому стані, залежить від низки причин, досліджених квантовою механікою. Ці часи різні, але вони кінцеві.

· Як виняток, основний стан електрона в атомі стійкий, оскільки закон збереження енергії забороняє електрону, що перебуває в основному стані, випромінювати електромагнітну енергію.

Атом водню. Радіус та енергія електронних орбіт в атомі водню. Серія атома водню. Постійна Рітберг.

Теорія Бору водневих атомів.

Нільс Бор створив теорію будови атома, здатну пояснити досліди Резерфорда та спектр випромінювання парів водню.

Спектр характеризує розподіл інтенсивності випромінювання за шкалою частот (або за шкалою довжин хвиль).

Постулати Бора.

1-й постулат:

електрон в атомі може рухатися тільки за певними стаціонарними орбітами, перебуваючи на яких він не випромінює і не поглинає енергію. Момент імпульсу електрона на цих орбітах кратний постійної планки:

m e- Маса електрона, - швидкість електрона на орбіті з номером n, r n– радіус орбіти з номером n, n =1,2,3,….

Дж·с – постійна Планка.

2-й постулат:

при переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу випромінюється або поглинається фотон, енергія якого

E n1і E n2- Енергія електрона в стані 1 і 2 (тобто на орбітах 1 і 2), - Частота електромагнітних хвиль, - Постійна Планка.

Радіус орбіти електрона в атомі водню.

1-й постулат Бора, .

Виразимо швидкість електрона:

Розглянемо кругові електронні орбіти. На електрон із зарядом -eз боку ядра із зарядом +eдіє сила Кулону F, повідомляючи електрону нормальне прискорення,

По 2-му закону Ньютона,

. (4)

Скоротимо і підставимо швидкість (3):

.

.

Радіус першої орбіти електрона ( n= 1), називається радіусом Бору,

= 0.53 · 10 -10 м.

Радіус орбіти електрона в атомі водню

, n=1,2,3,…. - Номер орбіти.

Енергія електрона в атомі водню.

Енергія електрона являє собою суму кінетичної енергії та потенційної.

І .

Потенційна енергія – це енергія електрона із зарядом у електричному полі ядра. З рівняння (4) видно, що

Тоді на n-ій орбіті енергія електрона дорівнює

Тобто. кінетична енергія електрона дорівнює повній енергії, взятій зі знаком «-».

Також повну енергію можна записати через потенційну:

= , або

.

Підставимо. Тоді

Енергія на першій орбіті (на першому енергетичному рівні) дорівнює

13,6 еВ.

Величину = 13,6 еВ = 2,18∙10 -18 Джназивають енергією іонізації(Ця енергія необхідна, щоб перевести електрон, що знаходиться на першому рівні, у вільний стан, тобто щоб іонізувати атом). Остаточно, енергія електрона на nом енергетичному рівні (на n-ой орбіті) записується як

Спектр випромінювання водню.

Енергія випромінюваного або поглинається кванта:

Частота, довжина хвилі, - швидкість світла у вакуумі.

= + = ,

Формула Бальмера,

визначає довжину хвиль у спектрі атома водню.

1,1∙10 7 м -1 – постійна Рідберга.

І – номери енергетичних станів (номери орбіт) електрона.

Переходи електрона з збуджених енергетичних станів на основний енергетичний рівень ( = 1) супроводжуються випромінюванням в УФ області спектру (серія ліній Лаймана),

переходи на рівень с = 2 призводять до ліній видимої області(серія Бальмера),

переходи до рівня з = 3, 4, 5, … наводять випромінюванню в ІК області.

Теорія Бора не змогла пояснити будову складних атомів. Для пояснення поведінки мікрочастинок розвинута квантова механіка.

Вона заснована на тому, що будь-яка мікрочастинка, поряд з корпускулярними, має також хвильовими властивостями(Гіпотеза де Бройля).

Для фотона, імпульс

За аналогією з фотоном, будь-яку мікрочастинку можна розглядати як хвилю із довжиною хвилі.

Довжина хвилі де Бройль.

Гіпотеза де Бройля підтверджена експериментально спостереженням дифракції електронів, та був і протонів.

Принцип невизначеності.

Перша спроба створення з урахуванням накопичених експериментальних даних моделі атома належить Дж. Дж. Томсону (1903). Відповідно до цієї моделі, атом є безперервно зарядженим позитивним зарядомкуля радіусом близько 10 -10 м, усередині якого біля своїх положень рівноваги коливаються електрони; сумарний негативний заряделектронів дорівнює позитивному заряду кулі, тому атом загалом нейтральний. Через кілька років було доведено, що уявлення про безперервно розподілений усередині атома позитивний заряд помилкове.

У розвитку поглядів на будову атома велике значення дослідів англійського фізика Еге. Резерфорда (1871 -1937) з розсіяння a-частинок у речовині. Альфа-частинки виникають при радіоактивних перетвореннях; вони є позитивно зарядженими частинками із зарядом 2е та масою, приблизно в 7300 разів більшої масиелектрону. Резерфорд, досліджуючи проходження a-частинок у речовині, показав, що основна їхня частина відчуває незначні відхилення, але деякі a-частинки (приблизно одна з 20 000) різко відхиляються від початкового напрямку (кути відхилення досягали навіть 180 °). Резерфордом було зроблено висновок, що значне відхилення a-часток зумовлено їхньою взаємодією з позитивним зарядом великої маси, яка зосереджена в обсязі, дуже малому в порівнянні з об'ємом атома.

На підставі своїх досліджень Резерфорд 1911 р. запропонував ядерну (планетарну) модель атома. Згідно з цією моделлю, навколо позитивного ядра, що має заряд Ze (Z - порядковий номерелемента в системі Менделєєва, е- Елементарний заряд), розмір 10 -15 - 10 -14 м та масу, практично рівну масіатома, в області з лінійними розмірами близько 10 -10 м по замкнутих орбіт рухаються електрони, утворюючи електронну оболонкуатома. Оскільки атоми нейтральні, то заряд ядра дорівнює сумарному заряду електронів, тобто навколо ядра має обертатися Zелектронів.

Однак електрон, що рухається прискорено по колу під дією кулонівської сили, згідно з електродинамікою, повинен випромінювати електромагнітні хвилі і внаслідок цього безперервно втрачати енергію. В результаті електрон наближається до ядра і в кінці кінців впадена нього. Атом Резерфорда, з погляду класичної фізики, Виявляється нестійкою системою, що суперечить дійсності.

Перша спроба побудувати якісно нову - квантову - теорію атома було зроблено 1913 р. датським фізиком Нільсом Бором. Він поставив собі за мету пов'язати в єдине ціле емпіричні закономірності лінійних спектрів, ядерну модельатома Резерфорда та квантовий характервипромінювання та поглинання світла.

Щоб пояснити стійкість атома датський фізик Нільс Бор постулював основні положення ( постулати Бора ), які являли собою першу квантову модель атома.

Постулати Бора :

1. Електрони в атомі рухаються деякими стаціонарними орбітами. Рух електронів стаціонарними орбітами не супроводжується випромінюванням електромагнітних хвиль.

2. У стаціонарному стані атома електрон, рухаючись круговою орбітою, повинен мати дискретні квантовані значення моменту імпульсу, що задовольняють умову квантування моменту імпульсу електрона

n = 1,2,3 ... - головне квантове число(Номер орбіти-рівня), m e -маса елетрону, v- його швидкість на n-ой орбіті радіусу r n, , h = 6,62 · 10 -34 Дж · с - постійна Планка;

3. При переході електрона з однієї стаціонарної орбіти в іншу випромінюється (поглинається) один фотон з енергією:

(3.5.2)

рівної різниціенергій відповідних стаціонарних станів ( Е nі Е m- відповідно енергії стаціонарних станів атома до та після випромінювання (поглинання). При Е n>Е mвідбувається випромінювання фотона (перехід атома зі стану з більшою енергією в стан меншою енергією, тобто перехід електрона з більш віддаленої від ядра орбіти на найближчу), при Е n<Е m- його поглинання (перехід атома у стан більшої енергією, т. е. перехід електрона більш віддалену від ядра орбіту). Набір можливих дискретних частот

(3.5.3)

квантових переходів визначає лінійний спектр атома. Випромінювання атома є не безперервним спектром, а спектром, що складається з окремих ліній, що відповідають певним частотам.

Використовуючи постулати Бора, закон Кулона та обертання електрона по круговій орбіті, можна розрахувати величину радіуса орбіти r n і швидкість електрона на ній v n:

n = 1,2,3 ...(3.5.4)

де m - Маса електрона;

ε 0 – електрична постійна:

z – порядковий номер елемента;

е – заряд ядра.

Повна енергія Е орбітального електрона дорівнює сумі його кінетичної та потенційної енергій:

Е n = Е кінn + Е потn

(3.5.6)

Для атома водню ( Z=1) радіус першої орбіти електрона при n=1, званий першим борівським радіусом, дорівнює r 1 = 0,528 10-10 м.Енергія електрона у водневому атомі може приймати такі дискретні значення:

n = 1,2,3 ...(3.5.7)

Повна енергія електрона в атомі – від'ємна величина (Е n<0), т.е. электроны в атоме движутся как в потенциальной яме.

Електрони, перебуваючи на стаціонарних орбітах, мають потенційну енергію, максимальна величина якої буде ¥, тобто відповідатиме іонізованому атому. Там вона дорівнюватиме нулю, отже, потенційна енергія електрона в атомі негативна.

Ціле число nу виразі, що визначає енергетичні рівні атома, називається основним квантовим числом. Енергетичний рівень з n = 1є основним (нормальним); стану з n>1є збудженими.

З наведених вище формул можна отримати вираз для частоти випромінювання при переході електрона з одного енергетичного рівня на інший

(3.5.8)

R- Постійна Рідберга, для атома водню R=3.29 10 15 c -1.

При переході електрона з довільного збудженого рівня на рівень із фіксованим значенням mотримаємо набір частот (групу ліній у спектрі атома), який називається серією. Так, в атомі водню перехід на основний рівень (m=1) c довільного збудженого рівня (n = 2,3,4 ...)визначає серію Лаймана; перехід на рівень з m=2з рівня n = 3,4,5 ...визначає серію Бальмера; перехід на рівень з m=3з рівня n = 4,5,6 ...визначає серію Пашена тощо.

Перехід з більш віддаленої орбіти на ближчу пов'язаний із випромінюванням одного фотона – така причина виникнення лінійного спектру випромінювання, а перехід електрона більш дальню орбіту при поглинанні фотона відповідає виникненню лінійного спектру поглинання.

Атомні спектри мають яскраво виражену індивідуальність, причому їх вид визначається не тільки атомом даного елемента, але і його будовою, зовнішніми факторами: температурою, тиском, електричними та магнітними полями та ін.

Отримання та аналіз спектрів відіграють величезну роль у теоретичній та прикладній фізиці та техніці. Вивчення спектрів випромінювання та поглинання речовин дозволяє встановити енергетичні рівні та найтонші деталі будови атомів. Знання спектрів атомів і молекул різних хімічних сполук дозволяє проводити спектральний аналіз, тобто. встановлювати склад досліджуваних тел.

План розв'язання задач на тему «Теорія атома водню по Бору»

1. Слід звернути увагу на те, що створена Бором теорія атома водню – перша квантова теоріяатома , згідно з якою електрон в атомі може перебувати лише у певних стаціонарних станах. Параметри електрона в атомі: радіус кругової орбіти, швидкість і момент імпульсу, період звернення, енергія електрона, – мають у цих станах дискретні значення, які визначаються основним квантовим числом (номер орбіти). Ця залежність відбивається індексом величин: .

2. У міру збільшення номера орбіти її радіус збільшується, а швидкість електрона зменшується; в результаті період обігу зростає, зростає момент імпульсу електрона та збільшується його енергія. .

3. Порядок величин параметрів електрона в атомі водню можна оцінити за вказаними залежностями та значеннями величин для основного стану. У цьому стані радіус орбіти , швидкість електрона , період звернення , момент імпульсу , та повна енергія електрона

Завдання 30.Для електрона, що знаходиться на першій орбіті () атома водню, визначте радіус орбіти, момент імпульсу електрона та його швидкість.

Тут – маса та швидкість електрона; – заряд електрона та ядра (); - Коефіцієнт пропорційності в законі Кулона.

У рівнянні (1) дві невідомі величини: . Інше рівняння, яке також містить ці величини – перший постулат Бора, що визначає умову квантування моменту імпульсу електрона:

Тут - радіус-ої стаціонарної орбіти; - Головне квантове число; - Постійна Планка.

Виразимо з рівняння (2) швидкість електрона:

Підставимо це значення швидкості в рівняння (1) і визначимо з нього радіус орбіти електрона:

Отриману формулу подаємо у наступному вигляді:

де – перший борівський радіус.

Обчислюємо величину радіуса першої орбіти електрона в атомі водню:

Момент імпульсу електрона обчислюємо за рівнянням (2) першого постулату Бора:

Швидкість електрона на першій орбіті в атомі водню визначимо за величиною моменту імпульсу електрона (відповідно до рівняння (3)):

Обчислюємо швидкість електрона першій орбіті в атомі водню:

Завдання 31.Для електрона, що знаходиться на третій орбіті () атома водню, визначте радіус орбіти, швидкість електрона на цій орбіті та період його обігу.

Дано Електрон в атомі: .

Рішення Запишемо другий закон Ньютона для руху електрона по колу радіусом навколо ядра атома водню, заряд якого (рис. 51). Сила Кулона спрямована по радіусу кола до її центру і є доцентровою, тому рівняння закону Ньютона запишемо в проекції на нормаль до траєкторії:

Тут – маса та швидкість електрона; - Заряд електрона та ядра; - Кулонівська постійна в системі одиниць СІ.

Формулу (3) подаємо у наступному вигляді: Тут – перший борівський радіус (згідно з формулою (4) ). Обчислюємо радіус третьої борівської орбіти електрона в атомі водню: Обчислюємо швидкість електрона на третій орбіті, використовуючи перший постулат Бора, за формулою (3): Період звернення електрона на ній орбіті: час одного обороту, - визначимо за формулою шляху для рівномірного руху електрона зі швидкість: Формулу (5) представимо в наступному вигляді: , - Період обігу електрона на першій орбіті. Обчислюємо період обігу електрона на третій борівській орбіті атома водню за формулою (6): Отримана величина періоду звернення показує, що число обертів за одну секунду, яке здійснює електрон при русі в полі ядра атома водню: . Завдання 32.Для атома водню визначте 1) повну енергію електрона на орбітах з головним квантовим числом і 2) довжину хвилі фотона, що випромінюється при переході електрона з шостого енергетичного рівня на перший – у серії Лаймана (ультрафіолетової). Дано Електрон в атомі: ; . Рішення Повна енергія електрона в атомі водню (і в будь-якому іншому атомі) дорівнює сумі кінетичної енергії електрона та потенційної енергії його взаємодії із зарядом ядра: . Таким чином, величина повної енергії атома водню може з головним квантовим числом Тут - маса електрона і його швидкість на ній орбіті; - Кулонівська постійна в системі одиниць СІ; - Заряд електрона та ядра; - Радіус орбіти з номером. Швидкість електрона визначимо із закону динаміки руху по круговій орбіті (з другого закону Ньютона, записаного у проекції на нормаль): Підставимо знайдене значення у формулу енергії електрона (1): (3) Порівнюючи рівняння (1) і (3), відзначимо співвідношення енергій електрона, що рухається в атомі водню: 1) потенційна енергія; 2) кінетична енергія. Повна енергія електрона в атомі негативна; це означає, що електрон перебуває у зв'язаному стані завдяки електростатичній взаємодії із зарядженим ядром атома. Для отримання розрахункової формули повної енергії електрона формулу (3) підставимо значення радіуса орбіти; при цьому енергія електрона може з головним квантовим числом де - Енергія електрона в стані з квантовим числом (одна з шуканих величин). Величина є мінімальною енергією, яку має атом водню в основному стані (). Максимальна енергія (згідно з формулою (4) ) відповідає іонізації атома шляхом відриву електрона від ядра. Обчислимо за формулою (4) енергію атома у збудженому стані, що відповідає руху електрона по шостій стаціонарній орбіті: Щоб визначити довжину хвилі фотона, що випускається при переході електрона з 6-го енергетичного рівня на 1-й, використовуємо другий постулат Бора: при переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу випромінюється фотон з енергією, що дорівнює різниці енергій електрона на цих орбітах : Рівняння (5) дає наступну розрахункову формулу довжини хвилі випромінюваного фотона: Обчислюємо за цією формулою довжину хвилі спектральної лінії, що відповідає переходу електрона в атомі водню з 6 стаціонарної орбіти на 1 (в основний стан): Це довжина хвилі ультрафіолетового (УФ) випромінювання, оскільки величина . План розв'язання задач на тему «Елементи квантової механіки» 1. Довжина хвилі де Бройля для частинок обчислюється за формулою, де імпульс частинки. Якщо відома кінетична енергія частки , то імпульс виражають через енергію: Якщо заряджена частка (електрон, протон, -частка) прискорена електричним полем, яке здійснило роботу , то кінетична енергія визначається величиною прискорюючої різниці потенціалів. Звичну формулу класичної механіки можна використовувати для частинок, кінетична енергія яких мала порівняно з їхньою енергією спокою: . Наведемо значення енергії спокою деяких частинок: для електрона ; для протону ; для-частки. 2. Довжину хвилі де Бройля можна визначити з дифракційного експерименту, використовуючи для паралельного пучка частинок такі самі умови максимумів і мінімумів дифракції, як і потоку фотонів видимого або рентгенівського випромінювання. Наведемо ці формули: 1) для дифракції на щілини: а) умова -; б) умова – ; 2) для дифракції на кристалі – формула Вульфа – Бреггов: . 3. Для мікрочастинок, що знаходяться в обмеженій області простору (в атомі, в ядрі, у вузькій потенційній ямі), характерна ненульова мінімальна кінетична енергія: і ненульове значення мінімального імпульсу: так як така частка, відповідно до співвідношення невизначеностей, не може мати точні нульові значення. Оскільки невизначеність координати частки – визначається характерним розміром області, то, використовуючи співвідношення, можна отримати формулу, що зв'язує мінімальну кінетичну енергіючастинки з обсягом области: . Завдання 33.Електрон рухається зі швидкістю . Визначте довжину хвилі де Бройля електрона з огляду на залежність його маси від швидкості. Дано Електрон: ; ; . Рішення Довжина хвилі де Бройля вільно рухомої частки визначається формулою: , (1) де - Постійна Планка; - Імпульс частинки; – її маса та швидкість. При швидкостях, порівнянних зі швидкістю світла , маса часток залежить від їхньої швидкості. Збільшення маси частки залежно від її швидкості описується формулою спеціальної теорії відносності: де - Маса спокою електрона; - Швидкість світла у вакуумі. Підстановкою виразу (2) для маси електрона у формулу (1) отримуємо наступну розрахункову формулу довжини хвилі де Бройля релятивістського електрона: Обчислюємо величину: Завдання 34.Електрон пройшов в електростатичному полі (ЕСП) прискорюючу різницю потенціалів: 1); 2). Визначте довжини хвиль де Бройля електрона за . Пройшовши в ЕСП прискорюючу різницю потенціалів, електрон придбав кінетичну енергію, рівну роботі електричного поля: Величина роботи, досконалої поля, . Прирівнюючи дві останні формули, визначаємо кінетичну енергію: Обчислюємо кінетичну енергію електрона для обох випадків: Порівняємо знайдені величини енергії з енергією спокою електрона Зазначаємо, що . Отже, електрон не є релятивістським і для його імпульсу та кінетичної енергії справедливі формули класичної механіки: Перевіримо, що це так, обчисливши швидкість електрона при рівності . Релятивістська поправка (множник) у цьому випадку дорівнює . Використовуючи для кінетичної енергії формулу (2), визначаємо за формулою (3) імпульс електрона: Підстановкою отриманої величини імпульсу електрона формулу (1) отримуємо наступну розрахункову формулу довжини хвилі електрона: Обчислюємо за формулою (5): Обчислимо величину наступним шляхом: згідно з формулою (5) Завдання 35.Паралельний пучок атомів водню, що падає під кутом ковзання до поверхні монокристалу, дає дифракційний максимум одного порядку.

З курсу фізики ви знаєте, що атом будь-якої речовини складається з ядра і електронів, що обертаються навколо нього. Таку модель атома запропонував видатний англійський фізик Е. Резерфорд. Грунтуючись на цій моделі, один із основоположників квантової механіки датський фізик Н. Бор у 1913 році зробив перші правильні розрахунки атома водню, які досить добре збіглися з експериментальними даними. Теорія атома водню, запропонована Бором, відіграла надзвичайно важливу роль у розвитку квантової механіки, хоча надалі зазнала істотних змін.

Атом водню. Постулати Бора. Згідно з моделлю Резерфорда-Бора атом водню складається з одноразово зарядженого позитивного ядра і одного електрона, що обертається навколо нього. У першому наближенні можна припустити, що рух електрона відбувається по траєкторії, що є коло, в центрі якого знаходиться нерухоме ядро. Відповідно до вимог класичної електродинаміки будь-який прискорений рух зарядженого тіла (у тому числі й електрона) має супроводжуватися випромінюванням електромагнітних хвиль. У моделі атома електрон рухається з колосальним доцентровим прискоренням, і тому він мав би безперервно випромінювати світло. При цьому енергія його мала б зменшуватися, а сам електрон мав би все ближче і ближче зміщуватися до ядра. Закінчилося б це тим, що електрон об'єднався б із ядром ("упав" би на ядро). Однак нічого подібного не відбувається і атоми в збудженому стані не випромінюють світла. Для пояснення цього факту Бор запропонував два основні постулати.

Згідно з першим постулатом Бора електрон може перебувати тільки на таких орбітах, для яких момент кількості руху електрона (тобто добуток кількості руху електрона mν на радіус орбіти ) кратний значенню (де - постійна Планка) * . Поки електрон знаходиться на одній із таких орбіт, випромінювання енергії не відбувається. Кожній дозволеній орбіті електрона відповідає певна енергія, або певний енергетичний стан атома, що називається стаціонарним. Перебуваючи у стаціонарному стані, атом не випромінює світла. Математично перший постулат Бора можна записати так:

де - Деяке ціле число, зване головним квантовим числом.

* (Постійна Планка є універсальною фізичною константою і має сенс витвір енергії на час, що називається в механіці дією. Завдяки тому що величина h є як би елементарною кількістю дії, постійна Планка називається квантом (порцією) дії. Введення у фізику поняття кванта дії було початком створення найважливішої фізичної теорії XX століття – квантової теорії. Квант дії дуже малий:)

Другий постулат Бора містить твердження, що поглинання чи випромінювання світла атомом відбувається лише за переходах атома з одного стаціонарного стану до іншого. При цьому енергія поглинається або випускається певними порціями, квантами, значення яких визначається різницею енергій, відповідних початковому і кінцевому стаціонарним станам атома:

де - енергія початкового стану атома, - енергія його кінцевого стану, - частота світла, випущеного або поглиненого атомом. Якщо то енергія випромінюється атомом, якщо ж щось поглинається.

Пізніше кванти світла отримали назву фотонів.

Таким чином, за теорією Бора електрон в атомі не може змінювати свою траєкторію поступово (безперервно), а може лише "перестрибувати" з однієї стаціонарної орбіти на іншу. При переході зі стаціонарної орбіти, більш віддаленої від ядра, на стаціонарну орбіту, розташовану ближче до ядра, саме відбувається випромінювання світла.

Радіуси орбіт та енергетичні рівні атомів.. Радіуси дозволених електронних орбіт можна знайти, використовуючи закон Кулона, співвідношення класичної механіки та перший постулат Бора. Їх значення визначаються виразом

Найближчою до ядра дозволеної орбіті відповідає n = 1. Використовуючи отримані експериментально значення величин m, e та A, знаходимо для її радіуса значення

Ця величина таки приймається за радіус атома водню. Будь-яка інша орбіта з квантовим числом n має радіус.

Таким чином, радіуси послідовно розміщених електронних орбіт зростають як квадрат числа n (рис. 1).

Значення повної енергії атома, що відповідає знаходженню електрона на n-ій орбіті, визначається формулою

Ці значення енергій називаються енергетичними рівнями атома. Якщо по вертикальній осі відкладати можливі значення енергії атома, можна отримати так званий енергетичний спектр дозволених станів атома (рис. 2).

Відстань між послідовно розташованими енергетичними рівнями швидко зменшується. Це можна легко пояснити: збільшення енергії атома (за рахунок поглинання атомом енергії ззовні) супроводжується переходом електрона на все більш віддалені орбіти, де взаємодія між ядром та електроном стає слабшою. З цієї причини перехід між сусідніми віддаленими орбітами пов'язаний із дуже малою зміною енергії. Енергетичні рівні при цьому розташовуються настільки близько, що спектр стає практично безперервним. У верхній частині безперервний спектр закінчується рівнем іонізації атома (n = ∞), що відповідає повному відділенню електрона від ядра (електрон стає вільним).

Знак "-" у виразі для повної енергії атома вказує на те, що енергія атома тим менша, чим ближче до ядра знаходиться електрон. Щоб видалити електрон від ядра, необхідно витратити певну енергію, тобто повідомити атому деяку енергію ззовні. Енергія атома приймається рівною нулю при n = ∞, тобто у разі коли атом іонізований. Саме тому значення відповідають негативні значення енергії. Рівню з n = 1 відповідають мінімальна енергія атома та мінімальний радіус дозволеної орбіти електрона. Цей рівень називається основним чи незбудженим. Рівні з n = 2, 3, 4... називаються рівнями збудження.

Квантові числа. Теоретично Бора передбачалося, що електронні орбіти мають вигляд кіл. Ця теорія дала досить добрі результати лише під час розгляду найпростішого атома - атома водню. Але при розрахунку атома гелію вона не змогла дати кількісно правильні результати. Певним кроком уперед була планетарна модель атома, що передбачала рух електронів подібно до планет сонячної системи по еліптичних орбітах, в одному з фокусів яких розташовувалося ядро. Однак і ця модель швидко вичерпала себе, не давши відповіді на багато питань.

Це з принципової неможливістю визначення характеру руху електрона в атомі. У доступному нашому спостереженню макросвіт немає аналогів цього руху. Ми не можемо не тільки простежити шлях руху електрона, але й навіть визначити точно його місцезнаходження в певний момент часу. Саме поняття орбіти, чи траєкторії руху електрона в атомі, позбавлене фізичного змісту. Жодної певної послідовності появи електрона в різних точкахпростору встановити не можна, він виявляється хіба що " розмазаним " у певній області, званої зазвичай електронним хмарою. Хмара ця, наприклад, для незбудженого атома водню має форму кулі, але щільність не однакова. Імовірність виявлення електрона буде найбільшою поблизу сфери з радіусом r 1 відповідним радіусу першої борівської орбіти. Надалі під орбітою електрона в атомі ми розумітимемо геометричне місце точок, які характеризуються найбільшою ймовірністю виявлення електрона, або, іншими словами, область простору з найбільшою щільністю електронної хмари.

Завжди сферична електронна хмара буде лише для випадку незбудженого стану атома водню, коли головне квантове число n = 1 (рис. 3, а). Якщо ж n = 2, то, крім сферичної хмари, розміри якої будуть тепер у чотири рази більші, електрон може створити хмару у вигляді своєрідної гантельки (рис. 3, б). З появою несферичності області переважної локалізації електрона (електронної хмари) пов'язано запровадження другого квантового числа l, званого орбітальним квантовим числом. Кожному значенню головного квантового числа n відповідають позитивні цілочисельні значення квантового числа l від нуля до (n - 1):

Тож якщо n = 1, то l має єдине значення, рівне нулю. Якщо ж n = 3, то l може набувати значень 0, 1, 2. При n = 1 є тільки сферична орбіта, тому і l = 0. Коли n = 2, можливі як сферична, так і гантелеподібні орбіти, тому і l може дорівнювати або нулю, або одиниці.

Якщо n = 3, то l = 0, 1, 2. Електронна хмара, що відповідає значенню l = 2, набуває вже досить складного характеру. Для нас, проте, важлива не форма електронної хмари, бо яка йому відповідає енергія атома.

Енергія атома водню визначається лише значенням головного квантового числа n і залежить від значення орбітального числа l. Інакше кажучи, якщо n = 3, атом матиме певну енергію W 3 незалежно від того, на якій з можливих орбіт, відповідних даному значенню n і різним можливим значенням l, знаходиться електрон. Це означає, що при поверненні з рівня збудження на основний рівень атом випускатиме фотони, енергія яких не залежить від значення l.

Розглядаючи просторову модель атома, необхідно пам'ятати, що електронні хмари у ньому мають суворо певну орієнтацію. Положення електронної хмари в просторі щодо обраного якимось чином напрямку задається магнітним квантовим числом m, яке може набувати цілочисельних значень від -l до +l, включаючи 0. При даній формі (даному значенні l) електронна хмара може мати кілька різних орієнтацій у просторі . При l = 1 їх буде три, відповідні значення магнітного квантового числа т, рівним -1, 0 і +1. Якщо l = 2, різних орієнтацій електронної хмари буде 5, відповідних значенням m = -2, -1, 0, +1 і +2. Природно, якщо вже форма електронної хмари у вільному атомі водню не впливає на енергію атома, то тим більше не впливає на енергію атома орієнтація цієї хмари в просторі.

Зрештою, при більш детальному розгляді експериментальних даних з'ясувалося, що самі електрони можуть перебувати на орбітах у двох можливих станах, що визначаються напрямком так званого спина електрона.

Але що таке спін електрона?

У 1925 році англійські фізики Дж. Уленбек і С. Гоудсміт для пояснення тонкої структури ліній в оптичних спектрах деяких елементів запропонували гіпотезу, згідно з якою кожен електрон обертається навколо своєї власної осі подібно до дзиги або веретена. При такому обертанні електрон набуває деякого моменту імпульсу, який і отримав назву спина (у перекладі з англійської спин означає обертання, веретено). Оскільки обертання може відбуватися за годинниковою стрілкою або проти, то і спин (інакше кажучи вектор моменту імпульсу) може мати два напрямки. В одиницях спин дорівнює 1/2, а завдяки різним напрямкам має знак "+" або "-". Таким чином, орієнтація електрона на орбіті визначається спіновим квантовим числом, рівним ± 1 / 2 . Зазначимо, як і орієнтація спина, як і орієнтація орбіти електрона, впливає енергію атома водню, що у вільному стані.

Пізніші дослідження та розрахунки показали, що пояснити спин електрона простим обертанням його навколо осі не можна. При підрахунку кутової швидкості обертання електрона для пояснення експериментальних даних з'ясувалося, що лінійна швидкість точок, що лежать на екваторі електрона (у припущенні, що електрон має кулясту форму), повинна бути більшою за швидкість світла, чого не може бути. Спин є деякою невід'ємною характеристикою електрона, наприклад, як його маса або заряд.

Квантові числа - адреса електрона в атомі. Отже, ми з'ясували, що для опису руху електрона в атомі, або, як кажуть фізики, визначення стану електрона в атомі, необхідно задати набір з чотирьох квантових чисел: n, l, m і σ.

Головне квантове число n визначає, власне кажучи, розміри електронної орбіти. Чим більше n, тим більший простір охоплює відповідну електронну хмару. Задаючись значенням n, ми цим визначаємо номер електронної оболонки атома. Саме число n може приймати будь-які цілі значення від 1 до ∞:

Орбітальне квантове число l визначає форму електронної хмари. З усієї сукупності орбіт, що належать до того самого значення n, орбітальне число l виділяє орбіти, що мають однакову форму. Кожному значенню відповідає своя подоболочка. Число підболілок дорівнює n, тому що l може приймати значення від 0 до (n - 1):

Магнітне квантове число m визначає просторову орієнтацію орбіти групи орбіт, мають однакову форму, тобто які стосуються однієї подоболочке. У кожній підболочці налічується (2l + 1) по-різному орієнтованих орбіт, оскільки m може приймати значення від 0 до ±l:

Нарешті, спинове квантове число а визначає орієнтацію спини електрона на заданій орбіті. Значень у σ всього два:

Розглядаючи атом водню і оперуючи поняттями "оболонка", "подоболочка", "орбіта", ми говорили не так про будову атома, як про можливості, що відкриваються перед єдиним електроном, що міститься в цьому атомі. Електрон в атомі водню може переходити з оболонки на оболонку та з орбіти на орбіту в межах однієї оболонки.

Набагато складніше виявляється картина розподілу електронів та можливостей їх переходів у багатоелектронних атомах.

На час створення теорії Бору про атом водню були такі експериментальні дані. Атом водню складається з ядра (протона), що несе позитивний заряд, що дорівнює за величиною заряду електрона, і одного електрона, який згідно з планетарною моделлю Резерфорда, рухається навколо ядра по круговій або еліптичній орбіті. Розміри атома водню визначаються діаметром орбіти електрона і становлять дещо більше 10 -10 м.

Ядерна модель атома разом із класичною механікою і електродинамікою виявилася нездатною пояснити ні стійкість атома, ні характер атомного спектра. Вихід із глухого кута був знайдений в 1913 р. датським фізиком Нільсом Бором, щоправда, ціною введення припущень, що суперечать класичним уявленням. Допущення, зроблені Бором, містяться у двох висловлених ним постулатах.

Перший постулат Бора(постулат стаціонарних станів) говорить :

з нескінченної множини електронних орбіт, можливих з погляду класичної механіки, здійснюються насправді лише деякі дискретні орбіти, що задовольняють певним квантовим умовам. Електрон, що знаходиться на одній із цих орбіт, незважаючи на те, що він рухається з прискоренням, не випромінює електромагнітних хвиль (світла).

Згідно з першим постулатом атом характеризується системою енергетичних рівнів. , кожен із яких відповідає певному стаціонарному стану. Стаціонарним станам відповідають стаціонарні орбіти, якими електрон може обертатися навколо ядра невизначено довго, не випромінюючи енергію. Енергія атома може змінитися лише при стрибкоподібному переході електрона з одного енергетичного стану до іншого.

Другий постулат Бора (правило частот) формулюється наступним чином: випромінювання випромінюється або поглинається у вигляді світлового кванта енергії при переході електрона з одного стаціонарного (стійкого) стану до іншого (рис. 4.4). Розмір світлового кванта дорівнює різниці енергій тих стаціонарних станів, між якими відбувається квантовий перехід електрона:

. (4.3)

Звідси випливає, що зміна енергії атома, пов'язана з випромінюванням при

поглинання фотона, пропорційно частоті ν:

, (4.4)

тобто. частота випромінюваного світла може бути представлена ​​у вигляді різниці двох величин, що характеризують енергію випромінюючої системи.

Другий постулат Бора також суперечить електродинаміці Максвелла. По Бору частота випромінювання визначається лише зміною енергії атома і не залежить від характеру руху електрона. А згідно з Максвеллом (тобто з точки зору класичної електродинаміки) частота випромінювання залежить від характеру руху електрона. Згідно з теорією Бора енергія електрона в атомі водню, що знаходиться на n-му енергетичному рівні, дорівнює:

Важливу роль розвитку планетарної моделі зіграли емпіричні закономірності, отримані для лінійного спектру атома водню.

У 1858 р. швейцарський фізик І. Бальмер встановив, що частоти дев'яти ліній у видимій області спектру водню задовольняють співвідношення

. (4.5)

Тут – частота світлової хвилі, – постійна, що отримала назву постійної Рідбергаm=3,4, 5, …, 11.

Відкриття водневої серії Бальмера (4.5) послужило поштовхом виявлення інших серій у спектрі атома водню на початку 20 століття.

З формули (4.5) видно, що зі збільшенням mчастота ліній спектру зростає, при цьому інтервали між сусідніми частотами зменшуються, тому при частоті . Максимальне значення частоти серії Бальмера, отримане при , називається кордономсерії Бальмера, за межами якої знаходиться безперервний спектр.

В ультрафіолетовій області спектру водню знаходиться серія Лаймана:

, m=2,3,4… (4.6)

В інфрачервоній області розташовані ще чотири серії:

Серія Пашена, , m = 4,5,6…

Серія Брекета , m = 5,6,7… (4.7)

Серія Пфунда , m = 6,7,8…

Серія Хемфрі , m = 7,8,9…

Як зазначалося, частоти всіх ліній спектру атома водню є однією формулою (4.2).

Частота лінії у кожній серії прагне граничного (максимального) значення , Яке називається межеюсерії. Спектральні серії Лаймана та Бальмера відокремлені, решта серій частково перекривається. Наприклад, межі (довжини хвиль) перших трьох серій (Лаймана, Бальмера, Пашена) відповідно дорівнюють 0,0912 мкм, 0,3648 мкм, 0, 8208 мкм ( λ min = c/ν max).

Бором було запроваджено правило квантування орбіт , що свідчить: у стаціонарному стані атома електрон, рухаючись по круговій орбіті радіуса r, повинен мати дискретні, тобто. квантовані, значення моменту імпульсу, що задовольняють умову

n=1, 2, 3…, (4.8)

де n головне квантове число.

Розглянемо електрон (рис. 4.5), що рухається зі швидкістю Vу полі атомного ядра із зарядом Ze.Квантова система, що складається з ядра і лише одного електрона, називається водневоподібним атомом. Таким чином, термін «водородноподібний атом» застосовується, крім атома водню, у якого Z= 1, до одноразово іонізованого атома гелію Не+ до дворазово іонізованого атома літію Li+2 і т.д.

На електрон, що рухається кругової стаціонарної орбіті, діє електрична, тобто. кулонівська сила тяжіння з боку ядра

. (4.9)

Відповідно до другого закону Ньютона запишемо:

, (4.10)

тобто. кулонівська сила тяжіння компенсується відцентровою силою.

Підставивши у формулу (4.10) вираз для швидкості (4.8) і вирішивши отримане рівняння щодо r n, отримаємо набір дискретних значень радіусів орбіт електрона у водневих атомах:

, (4.11)

де n = 1,2,3… .

За допомогою формули (4.11) визначають радіуси дозволених стаціонарних орбіт у борівській напівквантовій моделі атома. Число n= 1 відповідає найближчої до ядра орбіті, тому атома водню ( Z=1) радіус першої орбіти

м, (4.12)

а відповідна цій орбіті швидкість електрона

.

Найменший радіус орбіти називається першим борівським радіусом.

(). З виразу (4.11) видно, що радіуси далеких від ядра орбіт для водневих атомів збільшуються пропорційно квадрату числа n(Рис. 4.6)

(4.13)

Тепер розрахуємо для кожної з дозволених орбіт повну енергію електрона, що складається з його кінетичної та потенційної енергії:

. (4.14)

Нагадаємо, що потенційна енергія електрона в полі позитивно зарядженого ядра є негативною величиною. Підставляючи у вираз (4.14) значення швидкості vз (4.8), а потім, використовуючи формулу (4.13) для r, отримуємо ( ):

, n = 1, 2, 3 … (4.15)

Негативний знак у виразі (4.15) для енергії атома обумовлений тим, що за нульове значення потенційної енергії електрона прийнято вважати те, що відповідає видаленню електрона на нескінченність від ядра.

Орбіта з найменшим радіусом відповідає найменшому значенню енергії та називається До- орбітою, за нею слідує L- орбіта, М- Орбіта і т.д. При русі електронів цими орбітами атом перебуває у стійкому стані.

Схема енергетичних рівнів для спектральних серій атома водню, що визначаються рівнянням (4.15), зображено на рис. 4.7.

Горизонтальні лінії відповідають енергіям стаціонарних станів.

Відстані між енергетичними рівнями пропорційні квантам енергій, які випускають атом при відповідних переходах електрона (зображені стрілками). При поглинанні атомом квантів енергії напрямки стрілок слід змінити протилежні.

З виразу (4.14) видно, що у планетарної моделі Бора енергетичні стани атома водню характеризуються нескінченною послідовністю енергетичних рівнів. E n. Значення E nобернено пропорційні квадрату числа n, Яке називається головним квантовим числом . Енергетичний стан атома з n=1 називається основним чи нормальним, тобто. незбудженим станом, що відповідає мінімальному значенню енергії. Якщо n> 1 стан атома є збудженим ().

Енергія E 1 основного стану атома водню з (4.15) дорівнює│

– 13,53 еВ.

Енергія іонізації атома водню, тобто. E i = │ E 1 - E ∞│= 13,53 ЕВ,дорівнює роботі, що здійснюється при переміщенні електрона з основного стану ( n=1) у безкінечність без повідомлення йому кінетичної енергії.

Найпростіший з атомів, атом водню став своєрідним тест-об'єктом для теорії Бора. На час створення теорії він був добре вивчений експериментально. Було відомо, що містить єдиний електрон. Ядром атома є протон – позитивно заряджена частка, заряд якої дорівнює модулю заряду електрона, а маса в 1836 разів перевищує масу електрона. Ще в початку XIXстоліття були відкриті дискретні спектральні лінії у видимій області випромінювання атома водню (так званий лінійний спектр). Згодом закономірності, яким підпорядковуються довжини хвиль (або частоти) лінійчастого спектра, були добре вивчені кількісно (І. Бальмер, 1885). Сукупність спектральних ліній атома водню у видимій частині спектра було названо серією Бальмера. Пізніше аналогічні серії спектральних ліній були виявлені в ультрафіолетовій та інфрачервоній частинах спектру. У 1890 році І. Рідберг отримав емпіричну формулу для частот спектральних ліній:

Для серії Бальмера m = 2, n = 3, 4, 5, .... Для ультрафіолетової серії (серія Лаймана) m = 1, n = 2, 3, 4, .... Постійна R у цій формулі називається постійною Рідбергом. Її чисельне значення R = 3,29 · 1015 Гц. До Бору механізм виникнення лінійних спектрів і зміст цілих чисел, що входять до формул спектральних ліній водню (і ряду інших атомів), залишалися незрозумілими.

Постулати Бора визначили напрямок розвитку нової науки – квантової фізики атома. Але вони не містили рецепт визначення параметрів стаціонарних станів (орбіт) і відповідних їм значень енергії E n .

Правило квантування, що приводить до значень енергій стаціонарних станів атома водню, що узгоджуються з досвідом, Бором було вгадано. Він припустив, що момент імпульсу електрона, що обертається навколо ядра, може приймати лише дискретні значення, кратні постійної планці. Для кругових орбіт правило квантування Бора записується як

де e – елементарний заряд, ε0 – електрична постійна. Швидкість електрона і радіус стаціонарної орбіти r n пов'язані правилом квантування Бора. Звідси випливає, що радіуси стаціонарних кругових орбіт визначаються виразом

Радіуси наступних орбіт зростають пропорційно n2.

Повна механічна енергія системи E з атомного ядра і електрона, що обертається по стаціонарній круговій орбіті радіусом r n , дорівнює

Ціле число n = 1, 2, 3 ... називається в квантовій фізиці атома головним квантовим числом.

Згідно з другим постулатом Бора, при переході електрона з однієї стаціонарної орбіти з енергією E n на іншу стаціонарну орбіту з енергією E m< E n атом испускает квант света, частота ν nm которого равна ΔE nm / h:

Підстановка числових значень m e , e, ε 0 і h у цю формулу дає результат

який дуже добре узгоджується з емпіричним значенням R. 6.3.1 ілюструє утворення спектральних серій у випромінюванні атома водню під час переходу електрона з високих стаціонарних орбіт більш низькі.

На рис. 6.3.2. зображено діаграму енергетичних рівнів атома водню та вказано переходи, що відповідають різним спектральним серіям.

Прекрасна згода боровської теорії атома водню з експериментом служила вагомим аргументом на користь її справедливості. Однак спроби застосувати цю теорію до більш складним атомамне увінчалися успіхом. Бор не зміг надати фізичної інтерпретації правилу квантування. Це було зроблено десятиліттям пізніше де Бройлем на основі уявлень про хвильові властивості частинок. Де Бройль запропонував, що кожна орбіта в атомі водню відповідає хвилі, що розповсюджується по колу біля ядра атома. Стаціонарна орбіта виникає у разі, коли хвиля безупинно повторює себе після кожного обороту навколо ядра. Іншими словами, стаціонарна орбіта відповідає круговій стоячій хвилі де Бройля на довжині орбіти (рис. 6.3.3). Це дуже схоже на стаціонарну картину стоячих хвиль у струні із закріпленими кінцями.

У стаціонарному квантовому стані атома водню на довжині орбіти має укладатися за ідеєю де Бройля ціле число довжин хвиль λ, тобто.

Підставляючи це співвідношення довжину хвилі де Бройля λ = h / p, де p = m e υ – імпульс електрона, отримаємо:

Отже, борівське правило квантування пов'язані з хвильовими властивостями електронів.

Успіхи теорії Бора у поясненні спектральних закономірностей щодо атома водню були разючі. Стало ясно, що атоми – це квантові системиа енергетичні рівні стаціонарних станів атомів дискретні. Майже одночасно із створенням теорії Бора було отримано прямий експериментальний доказ існування стаціонарних станів атома та квантування енергії. Дискретність енергетичних станів атома була продемонстрована у 1913 р., у досвіді Д. Франка та Г. Герца, в якому досліджувалося зіткнення електронів з атомами ртуті. Виявилося, що й енергія електронів менше 4,9 эВ, їх зіткнення з атомами ртуті відбувається за законом абсолютно пружного удару. Якщо ж енергія електронів дорівнює 4,9 еВ, то зіткнення з атомами ртуті набуває характеру непружного удару, Т. е. в результаті зіткнення з нерухомими атомами ртуті електрони повністю втрачають свою кінетичну енергію. Це означає, що атоми ртуті поглинають енергію електрона і переходять з основного стану в перший збуджений стан,

Спектральна лінія з такою частотою дійсно була виявлена ​​в ультрафіолетовій частині спектра випромінювання атомів ртуті.

Уявлення про дискретні стани суперечить класичній фізиці. Тому постало питання, чи не спростовує квантова теорія її закони.

Квантова фізика не скасувала фундаментальних класичних законів збереження енергії, імпульсу, електричного розрядуі т. д. Відповідно до сформульованого Н. Бором принципу відповідності, квантова фізикавключає закони класичної фізики, і при певних умовможна виявити плавний перехід від квантових уявлень до класичних. Це можна побачити з прикладу енергетичного спектру атома водню (рис. 6.3.2). При великих квантових числах n>>1 дискретні рівні поступово зближуються, і виникає плавний перехід в область безперервного спектру, що випливає з класичної фізики.

Половинчаста, напівкласична теорія Бора з'явилася важливим етапому розвитку квантових уявлень, введення яких у фізику вимагало кардинальної перебудови механіки та електродинаміки. Така перебудова була здійснена у 20-ті – 30-ті роки ХХ століття.

Уявлення Бора про певні орбіти, якими рухаються електрони в атомі, виявилося досить умовним. Насправді рух електрона в атомі дуже мало схожий на рух планет чи супутників. Фізичний сенс має лише можливість виявити електрон у тому чи іншому місці, що описується квадратом модуля хвильової функції |Ψ| 2 . Хвильова функціяΨ є рішенням основного рівняння квантової механіки – рівняння Шредінгера. Виявилося, що стан електрона атомі характеризується цілим набором квантових чисел. Головне квантове число n визначає квантування енергії атома. Для квантування моменту імпульсу вводиться так зване орбітальне квантове число l. Проекція моменту імпульсу на будь-який виділений у просторі напрям (наприклад, напрям вектора магнітного поля) також приймає дискретний рядзначень. Для квантування проекції моменту імпульсу вводиться магнітне квантове число m. Квантові числа n, l, m пов'язані певними правиламиквантування. Наприклад, орбітальне квантове число l може набувати цілочисельних значень від 0 до (n – 1). Магнітне квантове число m може набувати будь-яких цілочисельних значень в інтервалі ±l. Таким чином, кожному значенню головного квантового числа n, що визначає енергетичний стан атома, відповідає цілий рядкомбінацій квантових чисел l та m. Кожна така комбінація відповідає певний розподілймовірності |Ψ| 2 виявлення електрона у різних точках простору («електронна хмара»).

Стани, у яких орбітальне квантове число l = 0, описуються сферично симетричними розподілами ймовірності. Вони називаються s-станами (1s, 2s, ..., ns, ...). При значеннях l > 0 сферична симетрія електронної хмари порушується. Стани з l = 1 називаються p-станами, з l = 2 – d-станами і т.д.

На рис. 6.3.4 зображені криві розподілу ймовірності ρ(r) = 4πr 2 |Ψ| 2 виявлення електрона в атомі водню різних відстанях від ядра в станах 1s і 2s.

Як видно із рис. 6.3.4 електрон у стані 1s (основний стан атома водню) може бути виявлений на різних відстанях від ядра. З найбільшою ймовірністю його можна виявити на відстані, рівному радіусу r 1 першої борівської орбіти. Імовірність виявлення електрона в стані 2s максимальна на відстані r = 4r 1 від ядра. В обох випадках атом водню можна представити у вигляді сферично-симетричної електронної хмари, в центрі якої знаходиться ядро.