Підписка на новини журналу. Співвідношення між сторонами та кутами трикутника: система уроків із застосуванням рівневої диференціації

86 На малюнку дано пряму а і трикутник ABC. Побудуйте фігуру F, на яку відображається цей трикутник при осьовий симетріїз віссю а. Що таке фігура F? Рішення. Побудуємо точки А, Вх, С, симетричні точкамА, У, З щодо прямой_а. і Проведемо - А С дем відрізки АВ, В С і.1_ Так як при русі, зокрема при осьової симетрії, трикутник відображається на рівний йому трикутник_, то шуканою Лігу- А В С рій є трикутник _" i 1_, рівний трикутнику

14 Знайдіть координати середини медіани AM трикутника ABC, якщо А (-2; 4), В (2; -1), С (6; 1). Рішення. 1) Відрізок AM - медіана трикутника ABC тому точка М -_половина_стороны ВС. За умовою задачі В (2; -1), С (JL ; _1_), отже, М (_1_; 0) - 2) Нехай точка К - середина відрізка AM. Оскільки А (-2; 4), М; _0_), то К (JL ; Відповідь. До (JL ; J_)

88- На малюнку дано точку О і трикутник ABC. Побудуйте фігуру F, на яку відображається трикутник ABC. центральної симетріїз центром О. Що таке фігура F? Рішення. Побудуємо точки А1? В і Cj, симетричні точкам А, В і С щодо точки Qf і проведемо відрізки AjBx, BjCj і Так як при русі, зокрема при центральній симетрії_? трикутник відображається на рівний йому трикутник т0 позов. мій фігурою F є трикутник рівний трикутнику

73 кутнику = _2- (кут (см). = л a2V3 48 V3 - 4 yfe = (см) Отже, R = а 8 л СМ. Знайдіть довжину кола, вписаного: а) в рівносторонній трикутник зі стороною а; б) у рівнобедрений трикутник з кутом 2а при вершині та бічною стороною а; в) прямокутний трикутник з гострим кутом а і протилежним катетом а. Рішення. а) На малюнку коло з центром О та радіусом г вписано в рівносторонній трикутник ABC зі стороною AR = а. У прямокутному трикутнику ADO катет OD = г, катет AD = ~, a Z. OAD = 30 t і отже, г = AT) tfl 30° „ q Я_tm_aS і о _ 3 _2д_о%"3 =_27iaN"3 3
б) На малюнку коло з центром О та радіусом г вписано в рівнобедрений трикутник ABC, у якому АВ = ВС = а та Z. В = 2а. у прямокутному трикутнику ABD з A D = 90° АВ = а, а A ABD = а, тому AD = а sina 2) У прямокутному трикутнику AOD з прямим кутом D A ВАТ = А- = - (90°- JL), тому г - _ a sina sin L (90е - JL 2 = AD iHLOAD. Звідси С = 2лг = 2л a sina sin ^ (90е-JL) в) На малюнку коло з центром О і радіусом г вписано в трикутник ABC, в якому А С = 90 °, А А = а, НД = а. Тому АС = а: Мй., АВ = а: 1 а - -^tggsina- 2 sina З іншого боку, SABC = - Р 1 + а + а = - --tga-sina- * sina + cosa + 1 / Таким чином, J-, звідки 2к a coso. я) 271 ° ^ 3; б) 2л a sina sin ^ (90е-JL)_; B) "кшга( sina+coea +1

44 У паралелограмі ABCD діагоналі АС = 12 м, BD = б м, Z. АОВ = 60°. Знайдіть периметр паралелограма. Рішення. У трикутнику АОВ за теоремою косінусів отримуємо: АВ2 = = АО2 + 2 - 2 АО ВО cos Z АОВ Так як діагоналі паралелограма jr> точкою перетину ділиться навпіл, то АО = 6 м> ВО = J * _м. Тому AR2 = 624 - З2-2-6-3. -Л_, АВ = ЗУЗ м. Аналогічно в трикутнику ВОС отримуємо: ВС2 ​​= ОВ2 + -_ ОВ_ОС_. CosZ. ВОС. Так як / КОС = 1ЯП ° - / 60е т т0 cosZ ВОС = cos (180 ° - Z-AOB) = -cosZ. АОВ=_I__Отже, ВС2 = б2 + 32 +2-6-3.12_= _, ВС = ЗУ7 м. Отже, периметр паралелограма дорівнює: 2 (^jg + ВС_) = = зУз +3>/7) = 6 (Уз + л/7) (М). Відповідь. Р = 6 (Уз + л/7) М

МОУ « Свердловська основна загальноосвітня школа»

Ленінськ – Кузнецький район

Кемеровська область.

Співвідношення між сторонами

та кутами трикутника:

система уроків із застосуванням рівневої диференціації.

Склад:

вчитель математики

Воробйова Віра Анатоліївна.

2010 рік.

Анотація _______________________________________________________ 3

Пояснювальна записка_____________________________________4 - 5

Технологічна картатеми_________________________________6

Конспект 1 _______________________________________________7 – 11

Конспект 2_______________________________________________ 12 – 15

Конспект 3_______________________________________________ 16 – 19

Конспект 4_______________________________________________ 20 – 22

Конспект 5_______________________________________________ 23 - 26

Анотація.

У цій роботі представлена ​​система уроків на тему «Співвідношення між

сторонами та кутами трикутника» із застосуванням рівневої диференціації. В основу розробок цієї системи уроків покладено провідну роль у сучасній педагогічної психологіїособистісно-діяльнісний підхід до навчання. Особистісно - діяльнісний підхід до навчання передбачає, що це впливу учня як у суб'єкт навчання з метою управління його навчальної діяльністю переломлюються через призму особистості учня, його индивидуально-психологические і психофізіологічні особливості. З цього випливає, що досягти оптимальних результатів навчання кожного учня можна лише в тому випадку, якщо викладання предмета вести на кількох рівнях складності, що забезпечують поступовий перехід від рівня актуального розвиткудо зони найближчого розвитку. Система уроків складається із п'яти конспектів. На кожному уроці проводиться самостійна робота за рівнями, причому кожен учень починає з вирішення завдань індивідуального варіантупершого рівня складності, однотипних з тими, що розглядалися на попередньому етапі, вирішуються спеціально складені навчальні завдання. Зміст цих завдань диктується, з одного боку, вимогою доступності всім учнів, з другого - вимогою відобразити у яких найістотніші зв'язку й відносини між елементами досліджуваних геометричних об'єктів. Доступність завдань забезпечується невеликим числом висновків, потрібних для їх вирішення, правилами побудови креслень, а також опорою на добре відомі учням раніше вивчених теорем, визначень та властивостей трикутника. Усе це дозволяє вести цьому етапі фронтальну роботуз класом, залучаючи до обговорення вирішення завдань як сильних, і слабких учнів. Практично у кожному конспекті є завдання на готових кресленнях, наявність яких допомагає вчителю найбільш раціонально використовувати час на уроці. Тестові завданнядозволяють своєчасно виявити прогалини у знаннях учнів, економлячи у своїй час вчителя. На п'ятому уроці проводиться диференційована Лабораторна роботавизначення виду трикутника, яка перевіряє знання у учнів всієї теорії даної теми. Завдання додому дається учням диференційовано.

Пояснювальна записка.

Представлена ​​система уроків є частиною розробленої технології внутрішньокласної рівневої диференціації. навчальної діяльностішколярів у викладанні курсу геометрії 9-х класів основної школи

Відповідно до діяльнісного аспекту даного підходу, навчання - це двостороння єдність діяльності учня та навчального по створенню умов для формування у учня структури узагальнених розумових дій, спрямованих на придбання ним заданої системизнань, умінь та навичок. З боку учня процес навчання виступає у формі навчальної діяльності, що визначається психологами як специфічна діяльність суб'єкта щодо його саморозвитку на основі вирішення спеціально поставлених учителем навчальних завдань. З боку вчителя - це організація навчальної діяльності учня, що складається з двох взаємопов'язаних компонентів: формування орієнтовної основи дій, що становлять зміст навчальної діяльності, та цілеспрямованого управління цією діяльністю у процесі самостійної роботи учня.

Структурною одиницею навчального процесув технології, що розглядається, служить блок уроків, пов'язаних однією темою. На першому уроці блоку учням повідомляється тема та ставляться цілі її вивчення. Далі вчитель переходить до етапу попереднього ознайомлення учнів з діяльністю, що формується. На цьому етапі вводяться основні поняття теми, що вивчається, вирішуються спеціально складені навчальні завдання. У цілому нині етап попереднього ознайомлення забезпечує розуміння учнями основних понять теми та змісту тієї діяльності, у якому вони включені і що призводить до вирішення аналізованого класу завдань.

Наступний етап у вивченні теми - самостійна робота учнів, яка проводиться диференційовано на двох або трьох рівнях складності - в залежності від обсягу теми. етапі. Однак функція цих завдань у процесі навчання змінюється: якщо на попередньому етапі вони служили для розкриття діяльності, формування орієнтовної основи складових розумових дій, то тепер виступають як засіб засвоєння цієї діяльності.

Сильні учні, що впоралися з набором завдань першого рівня складності, переходять до самостійної роботи другого, більше високого рівняскладності. Слабким учням час, відведений самостійну роботу, повністю надається на вирішення завдань першого рівня.

Освітні ціліданих уроків:

Вивчення та первинне закріплення понять синуса, косинуса та тангенсу (урок 1);

Вивчення та закріплення теореми про площу трикутника (урок 2);

Вивчення та закріплення теорем синусів та косінусів (урок 3);

Вирішення трикутників за допомогою теорем синусів та косінусів (уроки 4-5).

Виклад матеріалу ведеться з опорою на знання співвідношень між сторонами і кутами, що вже є у учнів. прямокутного трикутника, теореми про суму кутів трикутника, теореми про співвідношення між сторонами та кутами трикутника

Нижче наведено технологічну карту теми та докладні конспектип'ятьох уроків.

Запропонована система уроків геометрії орієнтована працювати за підручником Л.С.Атанасяна. (Геометрія: Підручник для 7-9 класів» (М.: Просвітництво, 2009); у розробці всі посилання дано на теореми, номери завдань і т.д. цього підручника

Технологічна карта теми

«Співвідношення між сторонами та кутами трикутника».

Що повинен знати учень, приступаючи до вивчення теми:

Теорема : Сума кутів трикутника дорівнює 180 0 .

Теорема : У трикутнику: 1) проти більшої сторони лежить більший кут;

2) назад, проти більшого куталежить велика сторона.

Наслідок 1 : У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за катет.

Наслідок 2 : Якщо два кути трикутника рівні, то трикутник рівнобедрений.

Визначення 1 : Синусом гострого кутапрямокутного трикутника називається

ставлення протилежного катетадо гіпотенузи.

Визначення 2 : Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається

ставлення прилеглого катетадо гіпотенузи.

Визначення 3 : Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається

відношення протилежного катета до прилеглого.

Таблиця значень синусів, косінусів та тангенсів деяких кутів:

30 0

45 0

60 0

90 0

sin α

cos α

tg α

-

Що має дізнатися учень у процесі вивчення теми:

Визначення 1 : Для будь-якого гострого кута α із проміжку 0 0 ≤ α ≤ 180 0 синусом

кута α називається ордината ( у) точки М, а косинусом кута α –

абсцису ( х)точки М.

Визначення 2 : Тангенсом кута α (α ≠ 90 0 )називається ставлення

Теорема : Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на

синус кута між ними.

Теорема (синусів) : Сторони трикутника пропорційні синусам

протилежних кутів.

Теорема (косінусів) :

інших його сторін мінус подвоєний твір цих

сторін на косинус кута між ними.

До онспект 1.

Тема: Синус, косинус та тангенс кута.

Тип уроку:

Цілі уроку :

Ввести поняття синуса, косинуса та тангенсу для кутів від 0° до 180°.

Вивести основне тригонометричне тотожність і формули для обчислення координат точки.

Розглянути формули приведення sin (90 ° - α), cos (90 ° - α), sin (180 ° - α),

cos (180 ° - α)

Хід уроку.

I. Організаційний момент

II. Актуалізація знань учнів.

Теоретичне опитування

Що називається синусом гострого кута прямокутного трикутника?

Що називається косинусом гострого кута прямокутного трикутника?

Що називається тангенсом гострого кута прямокутного трикутника?

П I. Математичний диктант.

1 варіант

1. Знайдіть синус кута А. А

2. Знайдітьтангенс кута У. 8

3. Чому дорівнює косинус 60 0? У 6 С

4. Знайдіть cosα якщо sin α = .

5. Знайдіть tgα, якщо cos α = .

6. У трикутнику АВС < С = 90 0 , sin А = . Знайдіть sin У:

7. Спростіть вираз: sin 30 0 cos 45 0 tg 60 0

2варіант.У

1. Знайдіть косінус кута В .

2. Тангенс кута Адорівнює:

12 13

3. Синус 30 0 дорівнює:

З 5 А

4. Знайдіть sin α, якщо cos α = .

5. Знайдіть tgα якщо sin α = .

6. У трикутнику АВС< С= 90 0, sin А = . Знайдіть cosВ:

7. Спростіть вираз: sin 45 0 cos 60 0 tg 30 0

Ввести поняття синуса, косинуса, тангенсу для кутів від 0 0 до 180 0 , використовуючи

одиничну півколо.

sin α =
= = у
sin α = у;

0 ≤ sin α ≤ 1.

cos α =
= = х
cosα = х;

1 ≤ cos α ≤ 1

tg α =
(α ≠ 90 0 )

∆ОММ 1 - прямокутний, отже, за теоремою Піфагора: OM 1 2 + MM 1 2 = ОМ 2

x 2 + у 2 = 1 2

Основне тригонометричне тотожність:

сos 2 α + sin 2 α= 1

2. Формули наведення:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

sin (180° - α) = sin α

cos (180 ° - α) = -cos α

З. Скласти таблицю значень синуса, косинуса і тангенса для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°.

30 Про

45°

60°

90°

120°

135°

150 °

180 °

sin α

c osα

t gα

Значення синуса, косинуса, тангенса для кутів від 0 до 90 учні заповнюють самостійно (це матеріал 8 класу). Значення синуса, косинуса, тангенса для кутів 120°, 135°, 150°, 180° заповнюють за допомогою вчителя, використовуючи формули приведення, одиничну півколо та формули sin α =у, cos α = х , tg α =

Наприклад:

а ) sin 120 ° = sin (180 ° - 60 °) = sin 60 ° = .

б ) tg150 0 =
= : (- ) = - = -

в) sin 180 ° = О (ордината точки Мпри повороті радіусу ОМна 180 ° від

позитивної півосі Охдорівнює о).

4. Вивести формули для обчислення координат точки.

ОМ cos α; sin α

ОА = ОА ОМ

х = ОА cos α; у = ОА sin α

ОА ОА cos α; ОА sin α

IV. Закріплення нового матеріалу.

1. Розібрати розв'язання задач №30 (а), 31 (а, в) з робочого зошита.

2. Самостійно вирішити всім, хто сидить на 1 варіанті завдання №30 (б), на 2 варіанті – №31 (б) з робочого зошита з подальшою взаємоперевіркою між парою, що сидить за однією партою

Завдання №30.

Знайдіть на малюнку синус, косинус і тангенс кута:

а) АОМ;

б) АОК;

Рішення:

а ) Кут АОМутворений променем ОМі позитивною піввіссю абсцис, точка Млежить на одиничній півкола. Значить, синус кута АОМдорівнює ординаті точки М,тобто sin AOM = 0,6. Косинус кута АОМдорівнює абсцисі крапки М,тобто .

cos AOM = 0,8.

Тангенс вен
, т . е . tgAOM = AM:ОА = ­

б) Синус кута ОАКдорівнює ординаті точки До,тобто.

sin AOK = 0,8.

Косинус кута АОКдорівнює абc цисе точки До,тобто cos AOK = - 0,6.

Тангенс кута АОКдорівнює co s AOK, т. е. tg AOK = -­

Відповідь :

а ) sinAOM= 0,6; cos AOM= 0,8; tg AOM= .

б ) sin OAK= 0,8; cos AOK=- 0,6 ; tg AOK=-

Завдання№ 31.

Чи належить одиничному півкола точка:

а) Р (- 0,6; 0,8); б) Т(;); в)H ( ; ) .

Рішення:

Крапка з координатами (х; у) належить одиничному півколо, якщо виконано дві умови: 1) -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤1 та 2) х 2 + у 2 = 1.

Розглянемо ці точки.

а) Крапка Р : х = - 0,6, у = 0,8 задовольняють першу умову:

1 ≤ x≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ; х 2 + у 2 =(-0,6) 2 + 0,8 2 = 0,36 + 0,64 = 1,

отже, виконано другу умову. Тому точка Р належить одиничної півкола.

б) Крапка Т: х =, у = , отже, -1 ≤х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1.

() 2 + () 2 = ; ≠ 1

Отже, друга умова не виконана. Тому точка Т не належить одиничної півкола.

в) Крапка Н: х = - , у = - значить, - 1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1. Отже,

перша умова не виконана.х 2 + у 2 =
+
= ; ≠ 1

Отже, друга умова не виконана. Тому точка Н не належить одиничної півкола.

Відповідь:

а) належить;

б) не належить;

в) не належить.

3. Вирішити самостійно завдання № 1012, 1015 (а, б).

Завдання №1012.

Рішення:

Крапка з координатами(х; у ) належить одиничному півколо, якщо виконуються умови: -1≤х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1 та х 2 + у 2 = 1. Крапка М 1 (0; 1) задовольняє всім умовам вона лежить на одиничній півкола.

Крапка М 2 ( ; ) задовольняє всім умовам, отже вона лежить на одиничному півкола.

Крапки М 3 ( ; ); М 4 (- ; ); А (1; 0); В (- 1 ; 0) також лежать на

одиничного півкола.

Сінус< АОМ – это ордината точки М. Косинус < АОМ – это абсцисса точки М. Тангенс < АОМ дорівнює відношеннюсинуса до його косинус.

М 1 (0;1)
sinАОМ 1 = 1, cos AOM 1 = 0, tg AOM 1 = 0.

М 2 ( ; ) sinАОМ 2 = , cos AOM 2 = , tg AOM 2 = : =

М 3 (; ) sinАОМ 3 = , cos AOM 3 = , tg AOM 3 = : = 1

М 4 (- ; ) sinАОМ 4 = , cos AOM 4 = - , tg AOM 4 = : (- ) = -

Завдання №1015.

Рішення: а) cosα = 1 sin α =
=
= 0.

tg α = sin α: cos α = 0: 1 = 0.

б ) sinα = cosα = +
= +
= + .

Так як 0 0 < α < 90 0 cosα > 0 cosα = .

tgα = sinα : cosα = : = 1.

Відповідь:а) 0; б) 1.

V. Підбиття підсумків уроку.

а )

б) Провести рефлексію до рівня складності навчального матеріалу:

Легкий матеріал.

Середній складності матеріал.

Важкий матеріал.

Домашнє завдання

пп. 93 - 95, питання 1 - 6.

Розв'язати задачі:

1 рівень - № 32 (з робочого зошита), №1011, 1015 (в, г).

2 рівень – № 1011, 1015 (в, г), додаткове завдання.

Додаткове завдання:

Крапка В одиничного коламає координати:

а) - ; ; б) - ; ; в) -;

Знайдіть кут, який утворює промінь ОВ із позитивною піввіссю Ох.

До онспект 2.

Тема: Теорема про площу трикутника

Тип уроку: Урок повідомлення нових знань.

Цілі уроку :

Розглянути теорему про площу трикутника.

Навчити учнів вирішувати завдання застосування теореми про площу трикутника.

Розвивати вміння користуватися основним тригонометричним тотожністюта знаходити координати точки.

Хід уроку.

I . Організаційний момент.

II . Актуалізація знань. Повторення теорії.

Теоретичне опитування

Що називається синусом кута α із проміжку 0 ≤ α ≤ 180 0 ?

Що називається косинусом кута α із проміжку 0 ≤ α ≤ 180 0 ?

Що називається тангенсом кута?

Для якого значення тангенс не визначено і чому?

Яка рівність називається основною тригонометричною тотожністю?

Самостійна робота.

1 рівень.

Знайти:

а) sinα, якщо cosα = - .

б) cosα., якщо sinα = .

в) tgα, якщо cosα = .

Перевірте чи лежать на одиничному колі точки:

а) А (;
)

б) В (7; 3)

в) З (; )

Кут між променем ОМ, що перетинають одиничну півколо, і позитивною піввіссю Ох дорівнює α. Знайдіть координати точки М, якщо

а) ОМ = 4; α = 60 ° б) ОМ = 8; α = 150°

2 рівень.

1. Знайти синус, косинус та тангенс кута АОМ, якщо О – початок координат, а точка

А (1; 0), М (-; у) лежать на одиничній півкола.

2. Спростіть вирази:

а) sin 60° · cos 135° · tg 120°

б) cos 60 ° - 2sin 135 ° + cos 2 120 °

3. Знайти кут між променем ОМ та позитивною піввіссю Ох, якщо точка М

має координати:

а) (- 4; 4)

б) (3
; 3)

3 рівень.

(5; 5), Про початок координат.

III. Вивчення нового матеріалу.

Висновок формули про площу трикутника можна отримати в процесі вирішення задачі творчих групахз обговоренням всіх варіантів рішення.

Завдання.

У трикутнику АВС ВС = а, АС = b,< С = α. Найдите площадь треугольника АВС.

Рішення:

До оординати точки В дорівнюють:

х = а cos α, у = а sin α.

Висота МВС, проведена до сторони АС, дорівнює BH .

З іншого боку, ВН - це ордината точки В ,

тобто ВН = а sin α.

S ABC = АС · ВН = b (а sin α) = а b sin α.

Отже, S ABC = а b sin α, де а, b - Сторони трикутника, α - кут між ними.

Для глибшого засвоєння висновку формули про площу трикутника бажано поставити такі питання контролюючого характеру (опитування починати з менш підготовлених учнів):

Навіщо проведено висота МВС?

Чому координати точки рівні (а cos α; а sin α)?

Чому ВН = а sin α?

У формулі S ∆ = a b sin α де по відношенню до сторіна і b трикутника

розташований кут α?

I V. Закріплення вивченого матеріалу.

1. Вирішити самостійно 1 варіанту завдання № 38, 2 варіанта - №39 з робочого зошита з подальшою взаємоперевіркою між парою, що сидить за однією партою. Попередньо рішення обговорити з усім класом.

№ 38 :

Чи лежить кут В між сторонами АВ і ВС трикутника АВС?

Яку формулу використовували для обчислення площі трикутника АВС?

Чи можна площа трикутника АВС обчислити іншим способом?

Який із цих способів найбільш раціональний?

Запитання для обговорення завдання№ 39 :

Яка залежність існує між площею трикутника, двома його сторонами та кутом, укладеним між цими сторонами?

Поясніть, чому в цій задачі S ∆ = BE 2 sin E ?

2. Вирішити самостійно завдання:

1 рівень- № 1020(а), 1022, додаткові завдання № 1, 2.

II рівень- № 1022, 1024, додаткові завдання № 1, 2.

Завдання № 1020(а)

Рішення:

АВ = 6
см,АЗ = 4 см, = 60 0 тоді

S ABC = АВ · АС · sin 60° = 6
·4 = 12
(див 2 )

Відповідь: 12
см 2 .

Завдання№1022

Рішення:

S ABC = АВ · АС sin A

S ABC=60см 2 AC=15 cм,< A=30 0 , отже, AВ=
= 16(см).

Відповідь: 16 см.

Завдання №1024

Рішення:

а) З ∆АВМ si nα = ВМ: АВ => AB=

З ∆АКС s inα = КС: АС => AC=

S ABC= АВ АС sin α ;

S ABC =
· sin α =

б ) З прямокутного ∆АВН sin α =
=> АВ =

у прямокутному ∆ СВН

= 180 0 - (+ = 180 0 - (α + β) =>

sin C = sin (l80 ° - (α + β)) = sin (α + β). sinC = ВН: BC,

НД = h : sin ( а + β).

S ABC = BA BC sinβ =

· sinβ =

=

Відповідь : а )
; б )

Додаткові завдання:

Завдання 1

Знайдіть площу рівнобедреного трикутниказ кутом при підставі 15 0 і бічною стороною, що дорівнює 5 см.

Завдання 2

У ∆АВС АВ = 4, НД = 6, BD - Бісектриса, = 45 0 . Знайдіть: площі трикутників ABD та CBD .

Завдання 3

У трикутнику МNK МК = 12, NK = 16, = а, ММ 1 та NN 1 - медіани, що перетинаються в точці О. Знайти площу чотирикутника N 1 OM 1 K .

V. Підбиття підсумків уроку.

а ) Підбити підсумки досягнення мети уроку.

б) Провести рефлексію до рівня задоволеності уроком:

Домашнє завдання.

п.96, питання 7.

Розв'язати задачі:

1 рівень -№ 40 з робочого зошита, № 1020 (б, в), 1021, 1023.

2 рівень -№1021, 1023, додаткові завдання №2,3.

До онспект 3.

Тема : Теореми синусів та косінусів.

Тип уроку: Урок повідомлення нових знань.

Цілі уроку:

Розглянути теореми синусів та косінусів.

Розвинути вміння та навички їх застосування при вирішенні завдань.

Закріпити теорему про площу трикутника та вдосконалювати навички вирішення задач на її застосування.

Хід уроку.

I . Організаційний момент.

II. Актуалізація знань учнів.

1. Теоретичне опитування.

Підготувати біля дошки доказ теореми про площу трикутника, а потім заслухати відповідь усім класом.

2 . Перевірка домашнього завдання.

Індивідуально перевірити домашні завдання № 40 (з робочого зошита), № 1023; додаткові завдання №3, №2.

3.Робота за індивідуальними картками

1 рівень (картка №1)

1. Площа рівностороннього трикутникадорівнює 24
. Знайдіть бік цього трикутника.

2. У паралелограмі один із кутів дорівнює 45 0 , а його сторони дорівнюють 5 см і 8 см. Знайдіть його площу.

3. У прямокутнику діагональ дорівнює 12 см, а кут між діагоналями 30 0 . Знайдіть площу прямокутника.

2 рівень (картка №2)

1. Знайдіть площу паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 6
см і 7см, а кут між ними дорівнює 45 0 .

2. У трикутнику MNK = 150 0 , МN = 4 см, NK = 6см, NE бісектриса трикутника. Знайдіть площу трикутників MNE та NKE .

3. Медіани МВС перетинаються в точці О = 30 0 АВ = 4 см,

НД = 6 см. Знайдіть добуток площ трикутників АОС, ВОС, ВОА .

3 рівень (картка №3)

1. Трапеція ABCD вписана в коло так, що основа AD - Діаметр кола. Діагональ трапеції дорівнює 16 см, а її площа – 64 см 2 . Знайдіть кути трапеції.

2. У рівнобедреної трапеції ABCD основа AD дорівнює 8 см, діагональ BD перпендикулярна бічній стороні АВ, а кут при основі AD дорівнює 60 0 . Знайдіть площу трапеції.

3. У трикутнику МNK медіани ММ 1 та КК 1 перетинаються у точці О, ММ 1 = 4,5, КК 1 = 6. Знайдіть кут МОК, якщо відомо, що площа трикутника S MNK = 9.

III. Розв'язання задач на готових кресленнях.

Вирішити самостійно завдання на готових кресленнях з подальшою самоперевіркою та обговоренням рішення тих із них, з якими не впоралися більшість учнів.

Під час обговорення завдань звернути увагу на такі формули:

S парал-ма = а b sin α, де а , b - Сторони паралелограма, α - Кут між ними.

S прям-ка = d 2 sinα, де d - діагональ прямокутника, α - Кут між діагоналями.

Sпарал-ма = d 2 d 1 sinα де d 1 і d 2 - діагоналі паралелограма, α - Кут між

ними.

1. Мал. 1. Знайти: S.

2. Мал. 2 . ABCD-паралелограм . ВD = 6, АС = 10.

Знайти: S.

3. Мал. 3. ABCD - Паралелограм.

Знайти: S.

4. Мал. 4. ABCD - Прямокутник. АС = 12.

Знайти: S.

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4

IV. Вивчення нового матеріалу.

1. Теорема синусів : Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Дано:∆АВС

Довести:
=
=

Доведенняпроводиться у вигляді бесіди вчителя з учнями:

Запитання:Яка формула виражає залежність між сторонами трикутника та синусами його кутів?

Відповідь:Формула для обчислення площі трикутника:

S АВС = АВВС sinB(1) S АВС = AC ВС sinC (2)

SАВС = AВ АС sinА (3)

Запитання: Прирівняємо рівності 1 і 2. Чому рівне ставлення
?

Відповідь:АВ ПС sinB = AC нд sinС, АВ sinB = АС sinС,

=
(4)

Як можна здобути рівність
=

Відповідь:Прирівняємо рівності 2 та 3:

AC НД sin C = AВ АС sinА

ВС sin З = АВ sin А,
=
(5)

Чи правильна рівність
=
=
? Чому? (Вірно, це випливає з

рівностей 4 та 5).

2. Дуже часто у трикутнику відомі дві сторони та кут між ними і необхідно знайти третю його сторону. Впоратися з цим завданням нам дозволяє теорема косінусів.

Теорема косінусів : Квадрат сторони трикутника дорівнює суміквадратів двох

інших його сторін без подвоєного твору цих сторін на

косинус кута між ними.

Дано: ∆АВС , АВ = с, НД = а , СА = b .

Довести: а 2 = b 2 + з 2 – 2 bc cosA .

Д доказпроводиться у вигляді відповідей на запитання учнів:

Запитання:Помістимо ∆АВС в прямокутну систему

Координат так, щоб точка А збігалася з початком

координат, точка В лежала на позитивній півосі Ох , а точка З розташовувалась у 1 координатній чверті.

Чому рівні координати вершин і З трикутника?

Відповідь:Т. до. АВ = с і точка В лежить на позитивній півосі Ох , то В (з ; 0).

Якщо з точки опустити перпендикулярСН , то sin α =
,

cosα =
т . е . CH=AC sinα = b sinα ,

АН = AC cos α = b cos α.

Але СН - це ордината точки С, АН - абсцис точки С, тому С (b cos α; b sin α).

Запитання:Чому дорівнює відстань між точками і С, якщо В (с; 0),

З (b cos α; b sin α)?

Відповідь: ВС 2 = (х C - х В ) 2 + (у С - у В ) 2 = (b cos α - с) 2 + (b sin α - 0) 2 = b 2 cos 2 α -

- 2 b з cos α + с 2 + b 2 sin 2 α = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) + з 2 - 2 b з cos α = b 2 + з 2 - 2 b з cos α,

тобто а 2 = b 2 + с 2 - 2 b зcos А.

V. Закріплення дослідженого матеріалу.

1. Виконати усно завдання:

- Запишіть теорему синусів для трикутника MNK :

Відповідь :
=
=

- Запишіть теорему косинусів для обчислення сторони:

а) АВ у трикутнику АВС;

б) РЄ у трикутнику CDE .

Відповідь:а) АВ 2 = ВС 2 + АС 2 - 2ВС АС cosC

б) РЄ 2 = CD 2 + DE 2 - 2CD DE cosD

2. Розібрати завдання №41, 44 із робочого зошита.

Наводять питання до завдання№ 41:

- Яка сторона лежить проти кута А? Який кут лежить проти сторони АС?

- Використовуючи властивості пропорцій, висловіть ВС та знайдіть його значення. (ВС = 2 см.)

Наводять питання до завдання№ 44:

- Як запишеться теорема косінусів для обчислення сторони АВ трикутника

АОВ?

- Чому дорівнює кутВОС? Чому?

- Як обчислити косинус 120 0?

- Чому дорівнює периметрпаралелограма?(Р = 6 . (
+
) див.)

3. Самостійно розв'язати задачі № 1025 (а, в, г, е, і)

VI. Підбиття підсумків уроку.

а ) Підбити підсумки досягнення мети уроку.

б) Провести рефлексію до рівня комфортності під час уроку.

Комфортно почував себе на уроці.

Нормально почував себе на уроці.

Погано почував себе на уроці.

Домашнє завдання.

пп. 97, 98; питання 8, 9.

Розв'язати задачу № 42 з робочого зошита, № 1025 (б, д, ж,).

До онспект 4.

Тема: Рішення трикутників.

Тип уроку: Урок повідомлення нових знань.

Мета уроку:

Сформувати вміння та навички застосування теореми

синусів і теореми косінусів до розв'язання трикутників.

Розвинути логічне мисленняучнів під час вирішення

трикутників.

Виховувати посидючість, зосередженість у учнів.

Хід уроку.

I. Організаційний момент.

II . Актуалізація знань учнів.

1. Теоретичне опитування.

- Сформулювати теорему синусів.

- сформулювати теорему косінусів.

2 . Усне вирішення завдань на готових кресленнях.

а ) За даними малюнка знайдіть значення синуса кутів А і В трикутника АВС.

б) За даними малюнка назвіть формулу для

знаходження сторін АВ та ПС трикутника АВС.

3 .Індивідуальна робота за картками.

1 рівень (картка №1)

1. Дано: ∆АВС,<А = 45 0 , <С = 15 0 , НД = 4
.

- Що означає «вирішити трикутник»?

- Перерахуйте три основні завдання вирішення трикутників. - Складіть план розв'язання трикутників:

а) з обох боків та кутку між ними;

б) збоку і кутам, що прилягають до неї;

в) з трьох сторін;

г) Поясніть, чому завдання має одне рішення під час вирішення трикутника:

- з обох боків та кутку між ними;

- по стороні та прилеглих до неї кутах;

- по трьох сторонах.

-Даний трикутник АВС (Підготувати креслення на дошці). Запишіть формулу для обчислення:

а) НД , якщо АВ = с, АС = b , = α ;

б) АС, якщо ВС = а , = β, .

в) якщо АВ 12

Т. до. cos З< 0 =>- тупий, МВС - Тупокутний.

Відповідь:тупокутний.

V. Підбиття підсумків уроку.

а ) Підбити підсумки досягнення мети уроку.

б) Провести рефлексію засвоєння матеріалу.

1. Добре засвоїв матеріал уроку.

2. Середньо засвоїв матеріал уроку.

3. Не засвоїв матеріал уроку.

Домашнє завдання.

П. 99; питання 10, 11. Розв'язати задачі:

І рівень:№ 45 з робочого зошита; № 1027, 1028, 1031 (а, б).

II рівень: № 1027, 1028, 1031 (а, б), 1032.

До онспект 5.

Тема: Рішення трикутників.

Тип уроку: Урок закріплення нових знань.

Цілі уроку:

Відпрацьовувати вміння застосовувати теореми синусів і косінусів у вирішенні завдань знаходження невідомих елементів у трикутника.

Показати практичну спрямованість таких завдань.

Розвивати увагу, активність, самостійність.

Виховувати відповідальність, уміння працювати парами, дружні стосунки між хлопцями та дівчатами.

Хід уроку

I) Організаційний момент.

II) Актуалізація знань учнів.

а)Перевірка письмового домашнього завдання .

б) Теоретичне опитування:

- Що означає «вирішити трикутник»?

- Сформулюйте основні завдання вирішення трикутників.

- Які теореми застосовуються на вирішення трикутників?

- Сформулюйте теореми синусів та косінусів.

в)Усне вирішення завдань на готових кресленнях .

Використовуючи малюнки, скласти план розв'язання задач.

(при вирішенні завдань особливу увагу приділяти правильному вибору теореми, тобто тієї теореми, яка дозволяє раціональніше вирішити задачу)

1. Знайти: а,< В, < С. 2. Найти: < В, а, с. 3. Найти: < А, < В, < С.

Поки клас вирішує усно завдання двоє учнів на звороті дошки вирішують практичні завдання, після закінчення усної роботи учні пояснюють розв'язання своїх завдань.

Завдання 1.

Знайти ширину озера, якщо (рис.1) АС = 120м,< А = 60° , < С = 45°.

Рішення:

Завдання 2.

І виміряємо далекометром відстань СВ = 62м, СА = 80м. Кут між ними 60 °.

Знайти відстань між двома деревами А та В (рис 2)

Рішення:

АВ = СВ 2 + СА 2 - 2 · СВ · СА · cosC Визначте вигляд трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють а = 10 см і =15 см, а кут між ними дорівнює ‹ γ =70 0 .

Завдання 3 групи:

Визначте вигляд трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють а = 12 см і =14 см, а кут між ними дорівнює ‹ γ =80 0 .

Виконання роботи:

Знайдіть довжину сторони з, використовуючи теорему косинусів.

Обчисліть величину кута β, використовуючи теорему синусів.

Обчисліть величину кута α, використовуючи властивість трикутника про суму його кутів.

Знаючи всі кути трикутника, визначте його вигляд.

Завдання 1 групи:

Два пароплави починають рух одночасно з одного і того ж пункту і рухаються рівномірно прямими, що перетинаються під кутом 60 0 . Швидкість першого пароплава дорівнює 70 км/год, а другого – 60 км/год. Досліджуйте на якій відстані один від одного будуть пароплави через 3 години.

в) D К · sin К = . . . · sin Е

№3 . Закінчити фразу. У трикутнику проти більшого кута лежить _______________ ________________________________.

№4. У трикутнику АВС АВ найменша сторона. Визначити найменший кут цього трикутника. (Вибрати та підкреслити правильну відповідь)

а)< А; б) < В; в) < С;

№5 . Заповніть пропуски .

Для того щоб вирішити трикутник по стороні а та двом кутам α і β, потрібно:

. . . знайти кут γ за допомогою рівності ______________________________.

. . . знайти сторону b за допомогою рівності ___________________________.

. . . знайти бік зз допомогою рівності ___________________________.

2 варіант(Рівень 2).

№1 . Нехай а, b, c - Довжини сторін трикутника АВС. Знайдіть довжину найбільшої сторони цього трикутника, якщо< А = 63 0 , < С = 57 0 . .

а ) Підбити підсумки досягнення мети уроку.

б) Провести рефлексію готовність до заліку.

1. Готовий до заліку.

2. Майже готовий до заліку

3. Не готовий до заліку.

Домашнє завдання: Підготувати доказ задачі №1033; розв'язати задачі:

1 рівень - № 1034, № 47, № 48 (з робочого зошита);

2 рівень - №1033, №1035, завдання №7.

Організація навчання під час уроків геометрії.

Представлена ​​система уроків є частиною розробленої технології внутрішньокласної рівневої диференціації навчальної діяльності школярів у викладанні курсу геометрії 9-х класів основної школи. В основу цієї технології покладено провідну роль у сучасній педагогічній психології особистісно-діяльнісний підхід до навчання.

Відповідно до діяльнісного аспекту цього підходу, навчання - це двостороннє єдність діяльності учня і навчального зі створення умов формування у учня структури узагальнених розумових дій, вкладених у придбання ним заданої системи знань, умінь і навичок. З боку учня процес навчання виступає у формі навчальної діяльності, що визначається психологами як специфічна діяльність суб'єкта щодо його саморозвитку на основі вирішення спеціально поставлених учителем навчальних завдань. З боку вчителя - це організація навчальної діяльності учня, що складається з двох взаємопов'язаних компонентів: формування орієнтовної основи дій, що становлять зміст навчальної діяльності, та цілеспрямованого управління цією діяльністю у процесі самостійної роботи учня. .

Особистісно - діяльнісний підхід до навчання передбачає, що це впливу учня як у суб'єкт навчання з метою управління його навчальної діяльністю переломлюються через призму особистості учня, його индивидуально-психологические і психофізіологічні особливості. З цього випливає, що досягти оптимальних результатів навчання кожного учня можна лише в тому випадку, якщо викладання предмета вести на кількох рівнях складності, що забезпечують поступовий перехід від рівня актуального розвитку до зони найближчого розвитку.

Структурною одиницею навчального процесу в технології, що розглядається, служить блок уроків, пов'язаних однією темою. На першому уроці блоку учням повідомляється тема та ставляться цілі її вивчення. Далі вчитель переходить до етапу попереднього ознайомлення учнів з діяльністю, що формується. На цьому етапі вводяться основні поняття теми, що вивчається, вирішуються спеціально складені навчальні завдання. Зміст цих завдань диктується, з одного боку, вимогою доступності всім учнів, з другого - вимогою відбити у яких найістотніші зв'язку й відносини між елементами досліджуваних геометричних об'єктів. Доступність завдань забезпечується невеликим числом висновків, потрібних для їх вирішення, детальним розглядом моделей фігур та правил побудови креслень, а також опорою на добре відомі учням раніше вивчених теорем, визначень та властивостей трикутника. Усе це дозволяє вести цьому етапі фронтальну роботу з класом, залучаючи до обговорення вирішення завдань як сильних, і слабких учнів. Після того, як розв'язання задачі осмислено та зрозуміло всіма учнями, воно під керівництвом вчителя з докладними поясненнями записується учнями у їх класні зошити. У цілому нині етап попереднього ознайомлення забезпечує розуміння учнями основних понять теми та змісту тієї діяльності, у якому вони включені і що призводить до вирішення аналізованого класу завдань.

Наступний етап у вивченні теми – самостійна робота учнів, яка проводиться диференційовано на двох або трьох рівнях складності – залежно від обсягу теми. Відповідно до числа рівнів на неї відводиться в блоці два або три уроки. Самостійна робота кожного учня починається з рішення за індивідуальним варіантом завдань першого рівня складності, однотипних з тими, що розглядалися на попередньому етапі. Однак функція цих завдань у процесі навчання змінюється: якщо на попередньому етапі вони служили для розкриття діяльності, формування орієнтовної основи складових розумових дій, то тепер виступають як засіб засвоєння цієї діяльності. На першому уроці самостійної роботи проводиться також перший етап теоретичного заліку, що складається в індивідуальному опитуванні визначень та формулювань теорем.

Сильні учні, що впоралися з набором завдань першого рівня складності за один урок, переходять до самостійної роботи другого, вищого рівня складності. Вони отримують спеціальні методичні посібники, у яких розглядаються додаткові питання теорії та методи вирішення завдань, що вимагають глибшого, ніж на першому рівні, аналізу та узагальнення властивостей фігур, що вивчаються. На уроці учні самостійно знаються на наведених у посібнику рішеннях завдань. Робота учнів з методичних посібників супроводжується виконанням обов'язкового домашнього завдання у вирішенні двох чи трьох завдань відповідного рівня складності. Слабким учням час, відведений самостійну роботу, повністю надається на вирішення завдань першого рівня.

Після закінчення самостійної роботи у спеціально відведений час проводиться другий етап теоретичного заліку, якого учні повинні підготувати докази тих теорем, якими вони користувалися під час вирішення завдань і формулювання яких відповідали першому етапі. Другий етап заліку перестав бути обов'язковим і здається за бажання тими учнями, які цікавляться предметом і прагнуть глибшого вивчення матеріалу.

Слід також звернути увагу на зміну функції позначки, що відбувається під час роботи з розглянутої технології. Відмітка «3» за роботу на тему виставляється тим учням, які впоралися лише із завданнями першого рівня, позначки «4» та «5» - тим, хто успішно закінчив роботу на другому рівні. Через війну оцінка відбиває не кількість помилок учня, як це відбувається під час роботи з традиційної технології, а освоєний їм рівень складності. Це вносить елемент змагальності у роботу учнів і є додатковим чинником підвищення успішності.

На вивчення теми "Співвідношення між сторонами та кутами трикутника" відводиться 5 уроків. Цей блок забезпечує засвоєння учнями теорем синусів і косінусів та способів діяльності, необхідних для вирішення завдань, пов'язаних із розв'язанням трикутників.

Варіант №1.

1. Чому рівні значення синуса та косинуса кута, що дорівнює 135°.

2. Знайдіть кут, якщо його косинус дорівнює -.

3. Знайдіть кут якщо його синус дорівнює . Скільки розв'язків має завдання?

4. Сторони прямокутного трикутника дорівнюють 3 см, 4 см і 5 см. Знайти синус косинус і тангенс меншого гострого кута цього трикутника.

5. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 дм, а кут, що прилягає, дорівнює 60º. Знайдіть гіпотенузу цього трикутника.

. Чи правильні його обчислення?

. б) cos α, якщо sin α = . в) tg α, якщо cos α = .

); б) В(7;3); в) З ( ).

9. Кут між променем ОМ, що перетинає одиничну півколо, і позитивною піввіссю ОХ дорівнює α. Знайдіть координати точки М, якщо: а) ЗМ = 4; α = 60º. б) ОМ = 8; α = 150 º.

10. Для трикутника АВС справедлива рівність: а) АВ² = ВС² + АС² -2 ВС·АС·cos
ВСА;

б) ВС² = АВ² + АС² -2 АВ·АС·cos
АВС; в) АС² = АВ² + ВС² -2 АВ·ВС·cos
АСВ.

11. Площа трикутника MNK дорівнює: а) MN · MK · sin
MNK; б) MК · NK · sin
MNK;

в) MN · NK · sin
MNK.

12. Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то ця сторона лежить проти: а) тупого кута; б) прямого кута; в) гострого кута.

13.У трикутнику АВС відомі довжини сторін АВ та ВС. Щоб знайти бік АС, необхідно знати величину: а) кута А; б) кута В; в) кута С.

14. Трикутник із сторонами 5; 6 та 7 см: а) гострокутний; б) прямокутний; в) тупокутний.

15. У трикутнику АВС
А = 30 °, ВС = 3. Радіус описаної близько АВС кола дорівнює:

а) 1,5; б)
; у 3.

16. Якщо у трикутнику MNK
M= 76º ,
N = 60º, то найменшою стороною трикутника є сторона: а) MN; б) NK; в) МК.

17. У трикутнику CDE: а) CD · sin C = DE · sin E; б) CD · sin Е = DE · sinС; в) CD · sin D = DE · sin E.

18. За теоремою синусів: а) Сторони трикутника обернено пропорційні синусам протилежних кутів; б) Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів; в) Сторони трикутника пропорційні синусам прилеглих кутів.

19. У трикутнику АВС АВ= 10 см, ВС = 5 см. Знайти відношення синуса А до синуса С: а) ; б) 5; в 2.

20. Знайдіть площу трикутника, якщо
А = 45 º, АВ = 4, АС = 7.

21. У трикутнику MNK
N = 60º, NP-бісектриса, MN = NK, MN =2. Обчисліть скалярний добуток векторів: а)
; б)
; в)
.

і
.

23. Знайдіть y, якщо відомо, що
і
перпендикулярні.

, якщо
а кут між ними дорівнює 120 º

25.Скалярний добуток векторів позитивне число, що можна сказати про вугілля між ними?

, якщо вектори протилежно спрямовані та
.

Залік з геометрії у 9 класі.

Тема: «Співвідношення між сторонами та кутами трикутника. Теорема синусів. Теорема косінусів. Скалярне твір векторів».

Варіант №2.

1. Чому рівні значення синуса та косинуса кута, що дорівнює 150°.

2. Знайдіть кут якщо його косинус дорівнює .

3. Знайдіть кут якщо його синус дорівнює -. Скільки розв'язків має завдання?

4. Сторони прямокутного трикутника дорівнюють 3 см, 4 см і 5 см. Знайти синус косинус і тангенс більшого гострого кута цього трикутника.

5. Катет прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а протилежний кут дорівнює 45 º. Знайдіть гіпотенузу цього трикутника.

6. Обчислюючи синус гострого кута, учень отримав число
. Чи правильні його обчислення?

7. Знайдіть а) sin α, якщо cos α = . б) cos α, якщо sin α = . в) в) tg α, якщо cos α = .

8. Перевірте, чи лежать на одиничному колі точки: А (
); б) В(2;3); в) З (
).

9. Кут між променем ОР, що перетинає одиничну півколо, і позитивною піввіссю ОХ дорівнює α. Знайдіть координати точки Р, якщо: а) ОР = 6; α = 30º. б) ОР = 8; α = 120º.

10. Для трикутника MNK справедлива рівність: а) MN² = MK² + NK² -2 MK·NK·cos
MKN;

б) MK² = MN² + NK² -2 MN · NK · cos
MKN; в) NK² = MN² + MK² -2 MN · MK · cos
MKN.

11. Площа трикутника CDE дорівнює: а) CD · DE · sin
CDE; б) CD · DE;

в) CD · DE · sin
CDE.

12.Якщо квадрат сторони трикутника більший за суму квадратів двох інших його сторін, то ця сторона лежить проти: а) гострого кута; б) прямого кута; в) тупого кута

13.У трикутнику MNK відомі довжина сторони MN та величина кута К. Щоб знайти сторону NK, необхідно знати: а) величину кута M; б) довжину сторони MK; в) значення периметра MNK.

14. Трикутник із сторонами 2; 3 та 4 см: а) гострокутний; б) прямокутний; в) тупокутний.

15. У трикутнику MNK
K = 60°, MN = 2. Радіус описаної близько MNK кола дорівнює:

а)4; б) ; в 2.

16. Якщо у трикутнику АВС
А = 48º,
В = 72º, найбільшою стороною трикутника є сторона: а) АВ; б) АС; в) НД.

17. У трикутнику АВС: а) АВ · sin C = АС · sin С; б) АВ · sin В = АС · sinС; в) АВ · sin А = ВС · sin В.

18. За теоремою про площу трикутника: а) Площа трикутника дорівнює добутку двох його сторін на синус кута між ними; а) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на кут між ними; в) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними.

19. У трикутнику АВС АВ = 6 см, ВС = 2 см. Знайти відношення синуса А до синуса С: а) ; б); у 3.

20. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо
С = 60 º, АС = 6, ВС = 8.

21. У трикутнику АВС
В = 90º, АВ = ВС, ВD – медіана трикутника, АС =
. Обчисліть скалярний добуток векторів: а)
; б)
; в)
.

22. Обчисліть косинус кута між векторами
і
.

23. Знайдіть х, якщо відомо, що
і
перпендикулярні.

24. Обчисліть скалярний добуток векторів
, якщо
а кут між ними дорівнює135º

25.Скалярний добуток векторів негативне число, що можна сказати про вугілля між ними?

26. Знайдіть скалярний добуток векторів
, якщо вектори спрямовані та

Під диференціацією розуміють систему навчання, при якій кожен учень, опановуючи деяким мінімумом загальноосвітньої підготовки, що є загальнозначущою і забезпечує можливість адаптації в постійно змінюються життєвих умовах, право і гарантовану можливість приділяти перевагу тим напрямкам, які найбільшою мірою відповідають його схильностям.
Розрізняють два види диференціації: рівнева диференціація та профільна диференціація.
Рівнева диференціація виявляється у тому, що, навчаючись в одному класі, за однією програмою та підручником. Діти можуть засвоювати матеріал різних рівнях. Визначальним у своїй є рівень обов'язкової підготовки. Його досягнення свідчить про виконання учнем мінімально необхідних вимог щодо засвоєння змісту. На його основі формуються вищі рівні оволодіння матеріалом. Враховуючи свої здібності, інтереси, потреби, учень отримує можливість вибирати обсяг і глибину засвоєння навчального матеріалу, обов'язкових результатів навчання стає тим об'єктивним критерієм, на основі якого може видозмінюватися найближча мета кожного учня та перебудовуватися зміст його роботи: або його зусилля спрямовуються на оволодіння матеріалом вищому рівні, чи триває робота з формуванню найважливіших опорних знань і навичок.
Групи можуть формуватися до роботи під час уроків, на додаткових заняттях. У процесі самостійної діяльності учнів не варто обмежуватися лише диференційованим підходом, слід варіювати індивідуальну, фронтальну форми роботи залежно від етапу вивчення теми, потреби учнів допомоги вчителю.
Важливо, що діти можуть оцінити власні сили і вибрати собі рівень цілей, відповідний їхнім потребам і можливостям зараз, а згодом – перейти більш високий рівень.

Технологія рівневої диференціації.
Цілі.
Організувати навчальний процес з урахуванням обліку індивідуальних особливостей особистості, тобто. на рівні можливостей та здібностей.
Основне завдання: побачити індивідуальність учня та зберегти її, допомогти дитині повірити у свої сили, забезпечити її максимальний розвиток у комфортних, безкофліктних та безпечних умовах.
Опис порядку використання (застосування) технології.
За своїми природними здібностями, рівнем сприйняття, за специфікою розумової діяльності учні дуже відрізняються друг від друга. Нерідко в одному класі можна спостерігати школярів із протилежними один одному рівнями розвитку. Ця проблема в технології рівневої диференціації вирішується запровадженням базового рівня.
Диференціація здійснюється поза рахунок того, що одним учням дають менший обсяг матеріалу, а іншим більший, а рахунок того, що, пропонуючи учням однаковий його обсяг, вчитель орієнтує їх на різні рівні вимог до його освоєння.
Форми диференціації:
- Зовнішня: здійснюється в рамках селективної системи (відбору групи учнів для більш глибокого вивчення матеріалу);
- Внутрішня: заснована на обліку індивідуальних особливостей учнів класу (варіативність темпу вивчення матеріалу, диференціація навчальних завдань, вибір різних видів діяльності, ступінь допомоги вчителя).
Рівні знань з В.П.Беспалька.
1. Фактологічний рівень знань: впізнавання, називання, розрізнення, визначення пам'яті (відповідає оцінці «3»).
2. Описовий рівень знань: фактологічний рівень + виділення складових частин або етапів, опис на основі виділення найбільш очевидних ознак (не завжди суттєвих), порівняння, аналогії, приклади (відповідає оцінці «4»).
3. Доказовий рівень знань: фактологічний рівень + описовий рівень +
+ виділення суттєвих ознак об'єктів та явищ, встановлення причинно-наслідкових зв'язків, прогнозування розвитку подій у нових умовах, аргументація своєї думки, своє формулювання визначення (відповідає оцінці «5»).
4. Творчий рівень знань: фактологічний рівень+описовий рівень+
+ доказовий рівень + застосування знань у нових умовах, власний погляд нові знання, включення в загальну систему знань кожного учня (рівень олімпіадних завдань).
Ця технологія забезпечує певний рівень оволодіння знаннями, вміннями та навичками, певний ступінь самостійності дітей у навчанні.
При повторенні матеріалу застосовується методика вільного вибору різнорівневих завдань.
При контролі знань диференціація заглиблюється і перетворюється на індивідуалізацію.
Перехід до нового матеріалу здійснюється лише після оволодіння учнями загальним всім рівнем освітнього стандарту.
Технологія рівневої диференціації спрямовано як на дітей, які мають труднощі у навчанні, а й обдарованих дітей.
Результат використання технології.
1. Забезпечення певного рівня оволодіння знаннями, вміннями та навичками (від репродуктивного до творчого).
2. Забезпечення певного ступеня самостійності дітей у навчанні (від постійної допомоги з боку вчителя – робота за зразком, інструктаж тощо до повної самостійності).
3. Учні отримують право обирати той рівень засвоєння, який відповідає їхнім потребам, інтересам та здібностям.
Методична розробка уроку геометрії в 9 класі на тему: «Синус, косинус, та тангенс кута» з використанням технології рівневої диференціації.

Цілі уроку:
- Удосконалення умінь знаходити синуси, косінуси, тангенси для кутів від 00 до 1800.
- Застосовувати основну тригонометричну тотожність та обчислювати координати точки.

План уроку:
1. Організаційний момент.
3. Виведення формули для обчислення координат точки.
4. Розв'язання задач (закріплення формули для обчислення координат точки, що не лежить на одиничному півкола).
5. Самостійна робота.
6. Підбиття підсумків уроку. Домашня робота.

Хід уроку
2. Актуалізація знань учнів.
а) Індивідуальна робота за картками.

1 рівень (фактологічний)
картка №1
1. З'ясуйте, чи належать одиничному півколо точки:

А, В
3. Знайдіть синуси, косинуси кутів АОВ, якщо О – початок координат, а координати точок:
А (1; 0); В; З.

2 рівень (описовий)
картка №2
1. Знайдіть кут ВОС, якщо О – початок координат, а координати точок: В; З
2. Знайдіть: sin α, якщо cos α = .
3. Обчисліть синуси, косинуси, тангенси кутів 450, 1200.
Доказовий рівень
б) Розв'язання завдань на готових кресленнях із наступною самоперевіркою.
1. Знайти: х; у.
У
В(х; 1/2) А(1/2; у)
х
-1 0 1
2. Знайти:
у
З() D
х
-1 про 1
3. Знайти: координати точок А, В. АО = , ОВ = 2 = 900.

У
У
А
х
-1 0 1

На дошці зафіксувати всі формули, які використовуються під час вирішення завдань.
sin α = у; 0 ≤ sin α ≤ 1 cos α = х; -1 ≤ cos α ≤ 1
sin2 α + cos2 α = 1
Точка А лежить на од. півокр. Якщо: 1. -1 ≤ х ≤ 1;
2. 0 ≤ у ≤ 1;
3. х2 + у2 = 1
(При розв'язанні задачі №3 виникає питання знайти координати точки, що не лежить на одиничному півкола).
3. Висновок формули для обчислення координат точки, що не лежить на одиничному півкола.

4. Вирішити самостійно.
(група 1). Знайти: S АВО, якщо В, А()
У

(група 2). Розібрати розв'язання задачі №1018.
5. Самостійна робота з подальшою самоперевіркою.
1 варіант.
1 РІВЕНЬ
Вміти застосовувати основне тригонометричне тотожність для знаходження sinα cosα tgα 1. Sinα , якщо cosα = - .

а) У б)А (2;3) в) С

Вміти знаходити координати точки. 3. Кут між променем ОР, що перетинає одиничну півколо, і позитивною піввіссю Ох дорівнює α. Знайдіть координати точки М, якщо ОР = 6, α = 300
II РІВЕНЬ
Вміти знаходити координати точки. 1. Знайдіть кут між променем ОР, що перетинає одиничне півколо, і позитивною піввіссю Ох, якщо точка.

Cos2450 – sin1500+cos1200

1 варіант.
1 РІВЕНЬ
Вміти застосовувати основне тригонометричне тотожність для знаходження sinα cosα tgα 1. Sinα, якщо cosα = .

Знати умови належності точки з координатами (х;у) одиничного півкола 2. Перевірте, чи лежать на одиничному колі точки:
а) У б) А (7;2) в) С

Вміти знаходити координати точки. 3. Кут між променем ОМ, що перетинає одиничну півколо, і позитивною піввіссю Ох дорівнює α. Знайдіть координати точки М, якщо ОМ = 4, α = 600
II РІВЕНЬ
Вміти знаходити координати точки. 1. Знайдіть кут між променем ОМ, що перетинає одиничне півколо, і позитивною піввіссю Ох, якщо точка М (-4; 4).
Вміти застосовувати формули приведення знаходження синуса косинуса тангенса для кутів 1200 ,1350,1500. 2Спростіть вираз:
Cos1200 – 2sin2 1350+cos600

Відповіді внести до оцінного листа (аркуші здаються вчителю).
Ф.І.______________________________________КЛАС__________ ВАРІАНТ______

1 РІВЕНЬ 2 РІВЕНЬ
№ 1 2 3 1 2
ВІДПОВІДІ

а)
б)
в)

6. Домашня робота: Аналіз самостійної роботи.

Відкритий урок з геометрії у 9 класі

Тема: Теорема про площу трикутника.

Цілі:

Довести теорему про площу трикутника;

Навчити учнів вирішувати завдання застосування теореми про площу трикутника;

Активізувати пізнавальну діяльність учнів, підтримати інтерес до предмета;

Виховувати повагу один до одного, порозуміння, впевненість у собі.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

Вступне слово вчителя.

Світ, у якому ми живемо, наповнений геометрією будинків та вулиць, гір та полів, творами природи та людства. Краще орієнтуватися в ньому, відкривати нове, розуміти красу та мудрість навколишнього світу допоможе нам добре знання такого предмета як геометрія.

І сьогодні на уроці, тема якого «Теорема про площу трикутника» спробуємо виявити зв'язки геометрії з різними областями людських знань, зокрема, на прикладі вирішення завдань із практичним застосуванням.

Спочатку послухаємо у тому, як розвивалася геометрія у Росії.

Виступає учень.

Потреби землеробства, будівництва та військової справи породили початки геометрії у всіх народів, у тому числі й у слов'ян. Вже у старовинних пам'ятниках російської історії ми зустрічаємо початкові відомості з геометрії.

Споконвічно російським керівництвом, що викладав прийоми вимірювання площ, є «Книга сошного листа», найдавніший екземпляр якої належить до 1629 року. Є відомості, що оригінал було складено ще раніше, за Івана Грозного в 1556 році.

При обчисленні площ постатей рекомендується в цій книзі розбивати їх на квадрати, прямокутники, трикутники, трапеції. Площі квадрата і прямокутника обчислювалися за правилами, що застосовуються зараз. Площа ж трикутника знаходилася до половини твору підстави на бічну сторону. Останнє правило, буквально зрозуміле. Неправильно, оскільки воно справедливе лише прямокутного трикутника. Але цими правилами колись користувалися древні єгиптяни.

Можливо. Що російська землемірна практика мала справу лише з прямокутними чи майже прямокутними трикутниками, й у разі ми маємо підстави робити закид нашим предкам у незнанні правил початкової геометрії. У ті віддалені часи земля була предметом купівлі-продажу, і точність результату виміру грала незначну роль.

Виявляється, що у південноросійських губерніях, де вільної землі було багато і тому не цінувалася, такі прийоми оцінки площ застосовувалася ще 19 столітті.

За Івана Грозного було складено і перше російське посібник із землемірства – книга «…глибока, що дає легкий спосіб вимірювати місця найнедоступніші, площині, нетрі». А в середині 16 століття була складена перша загальна карта Європейської Росії, яка разом із «кресленнями Сибірських земель» 1667 вважається чудовим пам'ятником російської картографії. В одному з рукописів 16 століття вперше згадується премудрий Клідас, тобто основоположник нашої сучасної геометрії - Евклід.

Завдання.

Знайдіть площу земельної ділянки, що має форму трикутника, у якої відомі дві сторони та кут між ними.

2. Актуалізація знань. Повторення теорії

1. (Фронтальна робота з класом.)

1) Які формули використовуються для обчислення координат точки А?

(Відповідь: х = ОА ∙ cosα; у = ОА ∙ sinα.)

2) Які формули використовуються для обчислення площі:

а) трикутника; б) паралелограма?

Формули площі трикутника:

S = ab, де а, b - катети прямокутного трикутника,

S = ah , де а - основа трикутника, h-висота,

Формула Герона:

S = , р = - напівпериметр

а, b, з боку трикутника

2. Розв'язання задач за готовими кресленнями

Знайдіть площу трикутника

Відповіді: 6; 6; 28

3. Вивчення нового матеріалу

Висновок формули про площу трикутника можна отримати у процесі розв'язання задачі у творчих групах з подальшим обговоренням усіх варіантів розв'язків.

Завдання:

Дано: Трикутник ABC, BC=a, CA=b, S-площа трикутника.

Довести: S= absinC

Доказ: S=ah, h=bsinC.

Отже: S = absinC

Отже, ми довели теорему про площу трикутника

Теорема: Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними.

За допомогою цієї теореми вирішимо наше практичне завдання.

S = °= 5

4. Розв'язання задач

1) № 1020(а)

Дано: АВС, АВ = 6 см, АС = 4 см, ˚

Знайти: S =?

Відповідь: 12

2) № 1022

Дано: S = 60 см, АС = 15 см, ˚

Знайти: АВ =?

Відповідь: 16 см.

3) Знайти площу рівнобедреного трикутника з кутом при підставі 15 і бічною стороною, що дорівнює 5 см.

Відповідь: див.

4) У паралелограмі АВСD АВ = 6, АD = 4,sinA = 0,8. Знайдіть більшу висоту паралелограма.

Відповідь: 4,8

5) . Підстави рівнобедреної трапеції дорівнюють 6 і 12. Синус гострого кута трапеції дорівнює 0,8. Знайдіть бічну сторону трапеції

Відповідь: 5

5. Самостійна робота

1 варіант

1. Знайдіть:

а) sin α, якщо cos α = ;

б) cos α, якщо sin α = ;

в) tg α, якщо cos α =

а) А(); б) В(7; 3); в) С(; )

3. Сторони трикутника дорівнюють 5см і 6см, а кут між ними дорівнює 30˚.

2 варіант

1. Знайдіть:

а) sin α, якщо cos α = ;

б) cos α, якщо sin α = ;

в) tg α, якщо cos α =

2. Перевірте, чи лежать на одиночному півкола точки:

а) А(); б) В(; ); в) С(2; 3)

3. Сторони трикутника дорівнюють 4см і 7см, а кут між ними дорівнює 45˚.

2 рівень

1 варіант

1. Знайдіть:

а) sin α, якщо cos α = ;

б) cos α, якщо sin α = ;

в) tg α, якщо cos α =

2. Кут між променем ОМ, що перетинає одиничну півколо, і позитивною піввіссю ОХ дорівнює α. Знайдіть координати точки М, якщо:

а) ОМ = 4, α = 60?; б) ОМ = 8, α = 150?

3. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо бічна сторона 10, а кут між ними 120˚.

2 варіант

1. Знайдіть:

а) sin α, якщо cos α = ;

б) cos α, якщо sin α = ;

в) tg α, якщо cos α =

2. Кут між променем ОР, що перетинає одиничну півколо, і позитивною піввіссю ОХ дорівнює α. Знайдіть координати точки Р, якщо:

а) ОР = 6, α = 30?; б) ОР = 10, α = 120?

3. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо бічна сторона 8, а кут між ними 135˚.

3 рівень

1 варіант

2 варіант

Відповіді до завдань самостійної роботи