Рішення показових рівнянь варіант 2. Розв'язання показових рівнянь з математики

Так називаються рівняння виду, де невідоме знаходиться й у показнику та на підставі ступеня.

Можна вказати абсолютно чіткий алгоритм розв'язання рівняння виду. Для цього треба звернути увагу на те, що при а(х)не рівному нулю, одиниці і мінус одиниці рівність ступенів з однаковими основами (будь-то позитивними або негативними) можлива лише за умови рівності показників Тобто все коріння рівняння буде корінням рівняння f(x) = g(x)Зворотне ж твердження неправильне, якщо а(х)< 0 і дробових значеннях f(x)і g(x)вирази а(х) f(x) і

а(х) g(x) втрачають сенс. Тобто при переході від до f(x) = g(x)(Прі і можуть з'явитися сторонні корені, які потрібно виключити перевіркою за вихідним рівнянням. А випадки а = 0, а = 1, а = -1треба розглянути окремо.

Отже, для повного рішеннярівняння розглядаємо випадки:

а(х) = О f(x)і g(x)будуть позитивними числами, то це рішення. В іншому випадку, ні

а(х) = 1. Коріння цього рівняння є корінням та вихідного рівняння.

а(х) = -1. Якщо при значенні х, що задовольняє це рівняння, f(x)і g(x)є цілими числами однакової парності (або обидва парні, або обидва непарні), це рішення. В іншому випадку, ні

При і вирішуємо рівняння f(x)= g(x)і підстановкою отриманих результатів у вихідне рівняння відсікаємо сторонні корені.

Приклади розв'язання показово-ступеневих рівнянь.

Приклад №1.

1) x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0 і 3 2 > 0, то x 1 = 3 - це рішення.

2) x – 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Обидва показники парні. Це рішення х 3 = 1.

4) x - 3? 0 і x? ± 1. x = x 2 , x = 0 або x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -правильно це рішення x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - правильно це рішення x 5 = 1.

Відповідь: 0, 1, 2, 3, 4.

Приклад №2.

За визначенням арифметичного квадратного кореня: x - 1? 0, x? 1.

1) x – 1 = 0 або x = 1, = 0, 0 0 це не рішення.

2) x – 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не підходить в ОДЗ.

Д = (-2) - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16 - коренів немає.

Лекція: «Методи розв'язання показових рівнянь».

1 . Показові рівняння.

Рівняння, що містять невідомі показники ступеня, називаються показовими рівняннями. Найпростішим є рівняння аx = b, де а > 0, а ≠ 1.

1) При b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) При b > 0 використовуючи монотонність функції та теорему про корені, рівняння має єдиний корінь. Для того, щоб його знайти, треба b уявити у вигляді b = aс, а x = bс o x = c або x = logab.

Показові рівняння шляхом алгебраїчних перетвореньпризводять до стандартних рівнянь, які вирішуються, використовуючи такі методи:

1) метод приведення до однієї основи;

2) метод оцінки;

3) графічний метод;

4) метод запровадження нових змінних;

5) метод розкладання на множники;

6) показово - статечні рівняння;

7) показові з параметром.

2 . Метод приведення до однієї основи.

Спосіб заснований на наступній властивості ступенів: якщо рівні два ступені і рівні їх основи, то рівні та їх показники, тобто рівняння треба спробувати звести до вигляду

приклади. Вирішити рівняння:

1 . 3x = 81;

Уявимо праву частинурівняння у вигляді 81 = 34 і запишемо рівняння, що дорівнює вихідному 3 x = 34; x = 4. Відповідь: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">і перейдемо до рівняння для показників ступенів 3x +1 = 3 - 5x; 8x = 4; x = 0,5 Відповідь: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Зауважимо, що числа 0,2, 0,04, √5 і 25 є ступенем числа 5. Скористаємося цим і перетворимо вихідне рівняння наступним чином:

, звідки 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, з якого знаходимо рішення x = -1. Відповідь: -1.

5. 3x = 5. За визначенням логарифму x = log35. Відповідь: log35.

6. 62x +4 = 33x. 2x+8.

Перепишемо рівняння у вигляді 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, тобто png. 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Використовуючи властивості ступенів, запишемо рівняння у вигляді 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 далі 3∙3x = 9, 3x+1 = 32 , т.е. е. x+1 = 2, x =1. Відповідь: 1.

Банк завдань №1.

Вирішити рівняння:

Тест №1.

Тест №2

3 Метод оцінки.

Теорема про коріння: якщо функція f(x) зростає (зменшується) на проміжку I, число а – будь-яке значення, що приймається f на цьому проміжку, тоді рівняння f(x) = а має єдиний корінь на проміжку I.

При вирішенні рівнянь методом оцінки використовується ця теорема та властивості монотонності функції.

приклади. Розв'язати рівняння: 1. 4x = 5 - x.

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді 4x+x=5.

1. якщо x = 1, то 41+1 = 5 , 5 = 5 правильно, отже 1 – корінь рівняння.

Функція f(x) = 4x – зростає на R, і g(x) = x –зростає на R => h(x)= f(x)+g(x) зростає на R як сума зростаючих функцій, значить x = 1 – єдиний корінь рівняння 4x = 5 – x. Відповідь: 1.

2.

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді .

1. якщо x = -1, то , 3 = 3-вірно, отже x = -1 - Корінь рівняння.

2. Доведемо, що він єдиний.

3. Функція f(x) = - зменшується на R, і g(x) = - x – зменшується на R=> h(x) = f(x)+g(x) – зменшується на R, як сума спадних функцій . Значить з теореми про корені, x = -1 – єдиний корінь рівняння. Відповідь: -1.

Банк завдань №2. Вирішити рівняння

а) 4x + 1 = 6 - x;

б)

в) 2x - 2 = 1 - x;

4. Метод запровадження нових змінних.

Метод описаний у п. 2.1. Введення нової змінної (підстановка) зазвичай провадиться після перетворень (спрощення) членів рівняння. Розглянемо приклади.

приклади. Рішити рівняння: 1. .

Перепишемо рівняння інакше: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src=">т. е..png" width="210" height = "45">

Рішення. Перепишемо рівняння інакше:

Позначимо - не підходить.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" ірраціональне рівняння. Зазначаємо, що

Рішенням рівняння є x = 2,5 ≤ 4, отже 2,5 – корінь рівняння. Відповідь: 2,5.

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді та розділимо його обидві частини на 56x+6 ≠ 0. Отримаємо рівняння

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, т.." width="118" height="56">

Коріння квадратного рівняння – t1 = 1 та t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Рішення . Перепишемо рівняння у вигляді

і зауважимо, що є однорідним рівнянням другого ступеня.

Розділимо рівняння на 42x, отримаємо

Замінимо https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Відповідь: 0; 0,5.

Банк завдань №3. Вирішити рівняння

б)

г)

Тест №3 із вибором відповіді. Мінімальний рівень.

Тест №4 із вибором відповіді. Загальний рівень.

5. Метод розкладання на множники.

1. Розв'яжіть рівняння: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Рішення..png" width="169" height="69"> , звідки

2. 6x+6x+1=2x+2x+1+2x+2.

Рішення. Винесемо за дужки у лівій частині рівняння 6x, а правій частині – 2x. Отримаємо рівняння 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Так як 2x >0 при всіх x можна обидві частини цього рівняння розділити на 2x, не побоюючись при цьому втрати рішень. Отримаємо 3x = 1 ó x = 0.

3.

Рішення. Розв'яжемо рівняння методом розкладання на множники.

Виділимо квадрат двочлена

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 - Корінь рівняння.

Рівняння x + 1 = 0 "border-collapse:collapse;border:none">

А1 5x-1+5x-5x+1=-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

А2 3x +1 +3x-1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

А3 32x + 32x +1 -108 = 0. x = 1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

А5 2x-2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест №6 Загальний рівень.

6. Показово – статечні рівняння.

До показових рівнянь примикають звані показово – статечні рівняння, т. е. рівняння виду (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Якщо відомо, що f(x)>0 та f(x) ≠ 1, то рівняння, як і показове, вирішується прирівнюванням показників g(x) = f(x).

Якщо умовою не виключається можливість f(x)=0 і f(x)=1, то доводиться розглядати й ці випадки під час вирішення показово – статечного рівняння.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Рішення. x2 +2x-8 – має сенс за будь-яких x, тому що багаточлен, значить рівняння рівносильне сукупності

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

б)

7. Показові рівняння параметрів.

1. При яких значеннях параметра p рівняння 4 (5 – 3)  2 +4p2–3p = 0 (1) має єдине рішення?

Рішення. Введемо заміну 2x = t, t > 0, тоді рівняння (1) набуде вигляду t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Дискримінант рівняння (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Рівняння (1) має єдине рішення, якщо рівняння (2) має позитивний корінь. Це можливо у таких випадках.

1. Якщо D = 0, тобто p = 1, тоді рівняння (2) набуде вигляду t2 – 2t + 1 = 0, звідси t = 1, отже, рівняння (1) має єдине рішення x = 0.

2. Якщо p1, то 9(p – 1)2 > 0, тоді рівняння (2) має два різних кореня t1 = p, t2 = 4p – 3. Умовою задачі задовольняє сукупність систем

Підставляючи t1 та t2 у системи, маємо

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Рішення. Нехай тоді рівняння (3) набуде вигляду t2 – 6t – a = 0. (4)

Знайдемо значення параметра a, за яких хоча б один корінь рівняння (4) задовольняє умову t > 0.

Введемо функцію f(t) = t2 – 6t – a. Можливі такі випадки.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} квадратного тричлена f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Випадок 2. Рівняння (4) має єдине позитивне рішення, якщо

D = 0, якщо a = – 9, тоді рівняння (4) набуде вигляду (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Випадок 3. Рівняння (4) має два корені, але один із них не задовольняє нерівності t > 0. Це можливо, якщо

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Таким чином, при a 0 рівняння (4) має єдиний позитивний корінь . Тоді рівняння (3) має єдине рішення

При a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

якщо a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
якщо a = - 9, то x = - 1;

якщо a  0, то

Порівняємо способи розв'язання рівнянь (1) та (3). Зазначимо, що при вирішенні рівняння (1) було зведено до квадратного рівняння дискримінант якого - повний квадрат; тим самим коріння рівняння (2) відразу було обчислено за формулою коренів квадратного рівняння, а далі щодо цього коріння було зроблено висновки. Рівняння (3) було зведено до квадратного рівняння (4), дискримінант якого не є повним квадратом, тому при вирішенні рівняння (3) доцільно використовувати теореми про розташування коренів квадратного тричлена графічну модель. Зауважимо, що рівняння (4) можна розв'язати, використовуючи теорему Вієта.

Вирішимо складніші рівняння.

Завдання 3. Розв'яжіть рівняння

Рішення. ОДЗ: x1, x2.

Введемо заміну. Нехай 2x = t, t > 0, тоді в результаті перетворень рівняння набуде вигляду t2 + 2t – 13 – a = 0. (*)Знайдемо значення a, за яких хоча б один корінь рівняння (*) задовольняє умові t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Відповідь: якщо a > – 13, a  11, a  5, то якщо a – 13,

a = 11, a = 5, то коріння немає.

Список використаної літератури.

1. Гузєєва основи освітньої технології.

2. Гузєєва технологія: від прийому до філософії.

М. "Директор школи" № 4, 1996 р.

3. Гузєєв та організаційні форминавчання.

4. Гузєєв та практика інтегральної освітньої технології.

М. « Народна освіта», 2001 р.

5. Гузєєв із форм уроку – семінару.

Математика у школі №2, 1987 р. с.9 – 11.

6. Селевка освітні технології.

М. «Народна освіта», 1998

7. Єпішева школярів навчаються математики.

М. "Освіта", 1990 р.

8. Іванова підготувати уроки – практикуми.

Математика у школі №6, 1990 р. с. 37 - 40.

9. Смирнова модель навчання математики.

Математика у школі №1, 1997 р. с. 32 – 36.

10. Тарасенко способи організації практичної роботи.

Математика у школі №1, 1993 р. с. 27 - 28.

11. Про один із видів індивідуальної роботи.

Математика у школі №2, 1994 р. с.63 – 64.

12. Хазанкін творчі здібностішколярів.

Математика у школі №2, 1989 р. с. 10.

13. Сканаві. Видавець, 1997 р.

14. та ін Алгебра та початку аналізу. Дидактичні матеріалидля

15. Кривоногов завдання з математики.

М. «Перше вересня», 2002 р.

16. Черкаси. Довідник для старшокласників та

вступників до вузів. «АСТ - прес школа», 2002 р.

17. Жевняк для вступників до вузів.

Мінськ І РФ «Огляд», 1996 р.

18. Письмовий Д. Готуємося до іспиту з математики. М. Рольф, 1999 р.

19. та ін. Вчимося вирішувати рівняння та нерівності.

М. "Інтелект - Центр", 2003 р.

20. та ін. Навчально – тренувальні матеріалидля підготовки до ЕГЕ.

М. «Інтелект – центр», 2003 р. та 2004 р.

21 та ін. Варіанти КІМ. Центр тестування МО РФ, 2002, 2003р.

22. Гольдберг рівняння. "Квант" №3, 1971 р.

23. Волович М. Як успішно навчати математики.

Математика, 1997 р. №3.

24 Окунів за урок, діти! М. Просвітництво, 1988

25. Якиманська - орієнтоване навчанняв школі.

26. Лійметс робота на уроці. М. Знання, 1975 р.

Що таке показове рівняння? приклади.

Отже, показове рівняння… Новий унікальний експонат на нашій спільній виставці найрізноманітніших рівнянь!) Як це майже завжди буває, ключовим словом будь-якого нового математичного термінає відповідне прикметник, що його характеризує. Так і тут. Ключовим словому терміні «показове рівняння» є слово «показове». Що воно значить? Це слово означає, що невідоме (ікс) знаходиться у показниках будь-яких ступенів.І лише там! Це дуже важливо.

Наприклад, такі прості рівняння:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 · 2 2 x -17 · 2 x +4 = 0

Або навіть такі монстри:

2 sin x = 0,5

Прошу відразу звернути увагу на одну важливу річ: підставахступенів (знизу) – тільки числа. А ось у показникахступенів (згори) – найрізноманітніші вирази з іксом. Цілком будь-які.) Все від конкретного рівняння залежить. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс де ще, крім показника (скажімо, 3 x = 18+x 2), то таке рівняння буде вже рівнянням змішаного типу . Такі рівняння немає чітких правил решения. Тому в даному уроціми їх не розглядатимемо. На радість учням.) Тут ми розглядатимемо тільки показові рівнянняВ чистому вигляді.

Загалом кажучи, навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не всі і не завжди. Але серед усього багатого різноманіття показових рівнянь є певні типи, які можна вирішувати і потрібно. Ось саме ці типи рівнянь ми з вами розглянемо. І приклади обов'язково вирішуємо.) Так що влаштовуємося зручніше і в дорогу! Як і в комп'ютерних «стрілялках», наша подорож проходитиме за рівнями.) Від елементарної до простої, від простої – до середньої та від середньої – до складної. По дорозі на вас також чекатиме секретний рівень – прийоми та методи вирішення нестандартних прикладів. Ті, про які ви не прочитаєте у більшості шкільних підручників… Ну, а наприкінці вас, зрозуміло, чекає фінальний бос у вигляді хати.

Що таке найпростіше показове рівняння? Вирішення найпростіших показових рівнянь.

Для початку розглянемо якусь відверту елементарщину. З чого ж треба починати, вірно? Наприклад, таке рівняння:

2 х = 2 2

Навіть без будь-яких теорій, за простою логікою і здоровому глуздуясно, що х = 2. Інакше ж ніяк, правда? Ніяке інше значення ікса не годиться ... А тепер звернемо наш погляд на запис рішенняцього крутого показового рівняння:

2 х = 2 2

Х = 2

Що ж у нас сталося? А сталося таке. Ми фактично взяли і… просто викинули однакові підстави (двійки)! Зовсім викинули. І що радує, потрапили в яблучко!

Так, дійсно, якщо в показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в будь-яких ступенях, то ці числа можна відкинути і просто прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє.) І далі можна працювати вже окремо з показниками і вирішувати куди простіше рівняння. Здорово, правда?

От і ключова ідеярішення будь-якого (так-так, саме будь-якого!) показового рівняння: за допомогою тотожних перетвореньнеобхідно домогтися того, щоб ліворуч і праворуч у рівнянні стояли однакові числа-підстави в різних ступенях. А далі можна сміливо прибрати однакові підстави та прирівняти показники ступенів. І працювати з більш простим рівнянням.

А тепер запам'ятовуємо залізне правило: прибирати однакові підстави можна тоді і тільки тоді, коли в рівнянні зліва та праворуч числа-основи стоять у гордій самотності.

Що означає, у гордій самоті? Це означає, без усіляких сусідів та коефіцієнтів. Пояснюю.

Наприклад, у рівнянні

3·3 x-5 = 3 2 x +1

Трійки прибирати не можна! Чому? Тому що ліворуч у нас стоїть не просто одинока трійка, а твір 3·3 x-5. Зайва трійка заважає: коефіцієнт, розумієш.

Те саме можна сказати і про рівняння

5 3 x = 5 2 x +5 x

Тут також всі підстави однакові – п'ятірка. Але праворуч у нас не одинокий ступінь п'ятірки: там – сума ступенів!

Коротше кажучи, прибирати однакові підстави маємо право лише тоді, коли наше показове рівняння виглядає так і тільки так:

af (x) = a g (x)

Такий вид показового рівняння називають найпростішим. Або, по-науковому, канонічним . І яке б навкручене рівняння перед нами не було, ми його, так чи інакше, зводитимемо саме до такого найпростішого (канонічного) вигляду. Або, в деяких випадках, до сукупностірівнянь такого виду. Тоді наше найпростіше рівняння можна в загальному виглядіпереписати ось так:

F(x) = g(x)

І все. Це буде еквівалентне перетворення. При цьому як f(x) і g(x) можуть стояти абсолютно будь-які вирази з іксом. Які завгодно.

Можливо, особливо допитливий учень поцікавиться: а з якої такої статі ми ось так легко і просто відкидаємо однакові підстави зліва і праворуч і прирівнюємо показники ступенів? Інтуїція інтуїцією, але раптом, у якомусь рівнянні та для якоїсь підстави даний підхідвиявиться невірним? Чи завжди законно викидати однакові підстави?На жаль, для суворої математичної відповіді на цей цікаве питанняпотрібно досить глибоко і серйозно занурюватися в загальну теоріюпристрої та поведінки функцій. А трохи конкретніше – явище Суворої монотонності.Зокрема, суворої монотонності показової функціїy= a x. Оскільки саме показова функція та її властивості лежать в основі розв'язання показових рівнянь, так.) Розгорнута відповідь на це питання буде дана в окремому спецуроці, присвяченому розв'язанню складних нестандартних рівнянь з використанням монотонності різних функцій.

Пояснювати докладно цей момент зараз - це лише виносити мозок середньостатистичного школяра і відлякувати його раніше сухою і важкою теорією. Я цього робити не буду.) Бо наша основна на Наразізавдання – навчитися розв'язувати показові рівняння!Найпростіші! Тому – поки не паримось і сміливо викидаємо однакові підстави. Це можна, можливо, повірте мені слово!) А далі вже вирішуємо еквівалентне рівняння f(x) = g(x). Як правило, простіше, ніж вихідне показове.

Передбачається, звичайно ж, що вирішувати хоча б, і рівняння, вже без іксів у показниках, народ на даний момент вже вміє. Інакше несолодко вам доведеться, так...

Я мовчу про ірраціональні, тригонометричні та інші звірячі рівняння, які також можуть спливти в процесі ліквідації підстав. Але не лякайтеся, відверту бляху в показниках ступенів ми з вами поки що розглядати не будемо: рано ще. Тренуватимемося лише на найпростіших рівняннях.)

Тепер розглянемо рівняння, які потребують деяких додаткових зусиль, щоб звести їх до найпростіших. Для відмінності назвемо їх простими показовими рівняннями. Отже, рухаємось на наступний рівень!

Рівень 1. Прості показові рівняння. Розпізнаємо ступені! Натуральні показники.

Ключовими правилами у вирішенні будь-яких показових рівнянь є правила дій зі ступенями. Без цих знань та вмінь нічого не вийде. На жаль. Так що якщо зі ступенями проблеми, то для початку милості прошу. Крім того, ще нам знадобляться. Ці перетворення (цілі два!) – основа розв'язання всіх рівнянь математики взагалі. І не лише показових. Так що, хто забув, теж прогуляйтеся посиланням: я їх не просто так ставлю.

Але одних лише дій зі ступенями та тотожних перетворень мало. Необхідна ще особиста спостережливість і кмітливість. Адже нам потрібні однакові підстави, чи не так? Ось і оглядаємо приклад і шукаємо їх у явному чи замаскованому вигляді!

Наприклад, таке рівняння:

3 2 x - 27 x +2 = 0

Перший погляд на підстави. Вони різні! Трійка та двадцять сім. Але панікувати і впадати у відчай рано. Саме час згадати, що

27 = 3 3

Числа 3 і 27 – родички за рівнем! Причому близькі.) Отже, маємо повне правозаписати:

27 x +2 = (3 3) x+2

А ось тепер підключаємо наші знання про діях зі ступенями(А я попереджав!). Є там така дуже корисна формулка:

(a m) n = a mn

Якщо тепер запустити її в хід, то взагалі добре виходить:

27 x +2 = (3 3) x +2 = 3 3 (x +2)

Вихідний приклад тепер виглядає так:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Добре, підстави ступенів вирівнялися. Чого ми й домагалися. Полдела сделано.) А ось тепер запускаємо в хід базове тотожне перетворення - переносимо 3 3 (x +2) праворуч. Елементарні діїматематики ніхто не скасовував, так.) Отримуємо:

3 2 x = 3 3(x +2)

Що нам дає такий вид рівняння? А те, що тепер наше рівняння зведене до канонічного вигляду: зліва та справа однакові числа(трійки) у ступенях. Причому обидві трійки - у гордій самоті. Сміливо прибираємо трійки та отримуємо:

2х = 3(х+2)

Вирішуємо це і отримуємо:

X = -6

Ось і всі справи. Це правильна відповідь.)

А тепер осмислюємо перебіг рішення. Що нас урятувало у цьому прикладі? Нас врятувало знання ступенів трійки. Як саме? Ми упізналисеред 27 зашифровану трійку! Цей приймач (шифрування однієї і тієї ж підстави під різними числами) – один із найпопулярніших у показових рівняннях! Якщо тільки не найпопулярніший. Та й теж, до речі. Саме тому в показових рівняннях така важлива спостережливість і вміння розпізнавати в числах ступеня інших чисел!

Практична порада:

Ступені популярних чисел треба знати. В обличчя!

Звичайно, звести двійку на сьому ступінь або трійку на п'яту може кожен. Не в умі, то хоча б на чернетці. Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки - дізнаватися, яке число і в якій мірі ховається за числом, скажімо, 128 або 243. А це вже складніше, ніж просте зведення, погодьтеся. Відчуйте різницю, що називається!

Оскільки вміння розпізнавати ступені в обличчя стане в нагоді не тільки на цьому рівні, а й на наступних, ось вам невелике завдання:

Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Відповіді (вразки, звичайно):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Так Так! Не дивуйтеся, що відповідей більше, ніж завдань. Наприклад, 2 8 , 4 4 та 16 2 – це все 256.

Рівень 2. Прості показові рівняння. Розпізнаємо ступені! Негативні та дробові показники.

На цьому рівні ми вже використовуємо наші знання про ступені на повну котушку. А саме – залучаємо до цього захоплюючого процесу негативні та дробові показники! Так Так! Нам же треба нарощувати міць, правда?

Наприклад, таке страшне рівняння:

Знову перший погляд – на підставі. Підстави – різні! Причому цього разу навіть далеко не схожі другна друга! 5 та 0,04… А для ліквідації підстав потрібні однакові… Що ж робити?

Нічого страшного! Насправді все те саме, просто зв'язок між п'ятіркою і 0,04 візуально проглядається погано. Як викрутимося? А перейдемо в числі 0,04 до звичайного дробу! А там, дивишся, все й утворюється.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Ух ти! Виявляється, 0,04 – це 1/25! Ну хто б міг подумати!

Ну як? Тепер зв'язок між числами 5 та 1/25 легше побачити? Ось те й воно…

А тепер уже за правилами дій зі ступенями з негативним показником можна твердою рукою записати:

От і відмінно. Ось ми й дісталися однакової підстави – п'ятірки. Замінюємо тепер у рівнянні незручне нам число 0,04 на 5 -2 і отримуємо:

Знову ж таки, за правилами дій зі ступенями, тепер можна записати:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Про всяк випадок, нагадую (раптом, хто не в курсі), що базові правиладій зі ступенями справедливі для будь-якихпоказників! У тому числі й для негативних.) Тож сміливо беремо і перемножуємо показники (-2) та (х-1) за відповідним правилом. Наше рівняння стає все кращим і кращим:

Всі! Окрім одиноких п'ятірок у ступенях ліворуч і праворуч більше нічого немає. Рівняння зведено до канонічного вигляду. А далі – по накатаній колії. Забираємо п'ятірки та прирівнюємо показники:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Приклад практично вирішено. Залишилась елементарна математикасередніх класів – розкриваємо (правильно!) дужки та збираємо все зліва:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Вирішуємо це і отримуємо два корені:

x 1 = 1; x 2 = 3

От і все.)

А тепер знову поміркуємо. У цьому прикладі нам знову довелося розпізнати одне й те саме число різною мірою! А саме - побачити серед 0,04 зашифровану п'ятірку. Причому цього разу – у негативного ступеня!Як нам це вдалося? З ходу – ніяк. А ось після переходу від десяткового дробу 0,04 до звичайного дробу 1/25 все і висвітилося! І далі все рішення пішло як по маслу.

Тому чергова зелена практична порада.

Якщо в показовому рівнянні є десяткові дроби, то переходимо від десяткових дробів до звичайних. У звичайних дробахнабагато простіше розпізнати ступені багатьох популярних чисел! Після розпізнавання переходимо від дробів до ступенів із негативними показниками.

Майте на увазі, що такий фінт у показових рівняннях зустрічається дуже часто! А людина не в темі. Дивиться він, наприклад, числа 32 і 0,125 і засмучується. Невідомо йому, що це одна і та ж двійка, тільки в різних ступенях… Але ж ви вже в темі!)

Вирішити рівняння:

О! Зовнішність оманлива. Це найпростіше показове рівняння, незважаючи на його жахливий зовнішній вигляд. І зараз я вам це покажу.)

По-перше, розуміємося з усіма чиселами, що сидять в підставах та в коефіцієнтах. Вони, певна річ, різні, так. Але ми все ж таки ризикнемо і спробуємо зробити їх однаковими! Спробуємо дістатися до одного і того ж числа у різних ступенях. Причому, бажано, числа найменшого. Отже, починаємо розшифровку!

Ну, з четвіркою відразу все ясно – це 2 2 . Так, уже дещо.)

З дробом 0,25 – поки що незрозуміло. Перевіряти треба. Використовуємо практичну пораду – переходимо від десяткового дробу до звичайного:

0,25 = 25/100 = 1/4

Вже набагато краще. Бо тепер виразно видно, що 1/4 – це 2 -2 . Відмінно, і число 0,25 теж споріднено з двійкою.)

Поки що все йде добре. Але залишилося найгірше з усіх – корінь квадратний із двох!А із цим перцем що робити? Чи можна його також подати як ступінь двійки? А хто ж його знає?

Що ж, знову ліземо до нашої скарбниці знань про ступені! На цей раз додатково підключаємо наші знання про коріння. З курсу 9-го класу ми з вами мали винести, що будь-який корінь, за бажання, завжди можна перетворити на ступінь з дрібним показником.

Ось так:

У нашому випадку:

Ось як! Виявляється, корінь квадратний із двох – це 2 1/2 . Ось воно що!

От і прекрасно! Усі наші незручні числа насправді виявилися зашифрованою двійкою.) Не сперечаюся, десь витончено зашифрованою. Але й ми теж підвищуємо свій професіоналізм у розгадці подібних шифрів! А далі вже все очевидно. Замінюємо в нашому рівнянні числа 4, 0,25 і корінь із двох на ступені двійки:

Всі! Підстави всіх ступенів у прикладі стали однаковими – двійка. А тепер у хід йдуть стандартні дії зі ступенями:

a m ·a n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Для лівої частини вийде:

2 -2 · (2 ​​2) 5 x -16 = 2 -2 +2 (5 x -16)

Для правої частини буде:

І тепер наше зле рівняння стало виглядати так:

Хто не втрутився, як саме вийшло це рівняння, то тут питання не до показових рівнянь. Питання – до дій зі ступенями. Я просив терміново повторити тим, у кого проблеми!

Ось і фінальна пряма! Отримано канонічний виглядпоказового рівняння! Ну як? Переконав я вас, що не так страшно? ;) Забираємо двійки та прирівнюємо показники:

Залишилося лише вирішити це лінійне рівняння. Як? За допомогою тотожних перетворень, звісно.) Дорішайте, чого вже там! Помножуйте обидві частини на двійку (щоб прибрати дріб 3/2), переносіть доданки з іксами вліво, без іксів вправо, наводьте подібні, рахуйте – і буде вам щастя!

Повинно все вийти красиво:

X = 4

А тепер знову осмислюємо перебіг рішення. У цьому прикладі нас врятував перехід від квадратного коренядо ступеня з показником 1/2. Причому тільки таке хитре перетворення нам допомогло скрізь вийти на однакову основу (двійку), яка й урятувала становище! І, якби не воно, то ми мали всі шанси назавжди зависнути і так і не впоратися з цим прикладом, так…

Тому не нехтуємо черговою практичною порадою:

Якщо в показовому рівнянні є коріння, то переходимо від коренів до ступенів з дробовими показниками. Дуже часто тільки таке перетворення прояснює подальшу ситуацію.

Звичайно ж, негативні та дробові ступені вже набагато складніше натуральних ступенів. Хоча б з погляду візуального сприйняття і, особливо, розпізнавання справа наліво!

Зрозуміло, що безпосередньо звести, наприклад, двійку в ступінь -3 або четвірку в ступінь -3/2 не така вже й велика проблема. Для знаючих.)

А ось іди, наприклад, з ходу зрозумій, що

0,125 = 2 -3

Або

Тут тільки практика та багатий досвід керують, так. І, звичайно ж, чітке уявлення, що таке негативний та дробовий ступінь.А також - практичні поради! Так-так, ті самі зелені.) Сподіваюся, що вони все-таки допоможуть вам краще орієнтуватися у всьому різношерстому різноманітті ступенів і значно збільшать ваші шанси на успіх! Тож не нехтуємо ними. Я не дарма зеленим кольоромпишу іноді.)

Зате, якщо ви станете на «ти» навіть з такими екзотичними ступенями, як негативні та дробові, то ваші можливості у вирішенні показових рівнянь колосально розширяться, і вам вже буде під силу практично будь-який тип показових рівнянь. Ну, якщо не будь-який, то відсотків 80 усіх показових рівнянь – точно! Так-так, я не жартую!

Отже, наша перша частина знайомства із показовими рівняннями підійшла до свого логічного завершення. І, як проміжне тренування, я традиційно пропоную трохи вирішити самостійно.)

Завдання 1.

Щоб мої слова про розшифровку негативних і дробових ступенівне пропали задарма, пропоную зіграти у невелику гру!

Подайте у вигляді ступеня двійки числа:

Відповіді (безладно):

Вийшло? Чудово! Тоді робимо бойове завдання – вирішуємо найпростіші та найпростіші показові рівняння!

Завдання 2.

Вирішити рівняння (всі відповіді – безладно!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Відповіді:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Вийшло? Справді, куди простіше!

Тоді вирішуємо наступну партію:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x ·4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Відповіді:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

І ці приклади однієї лівої? Чудово! Ви ростете! Тоді ось вам на закуску ще приклади:

Відповіді:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

І це вирішено? Що ж, респект! Знімаю капелюх.) Значить, урок пройшов недаремно, і початковий рівеньрішення показових рівнянь вважатимуться успішно освоєним. Попереду – наступні рівні та складніші рівняння! І нові прийоми та підходи. І нестандартні приклади. І нові сюрпризи.) Все це – у наступному уроці!

Щось не вийшло? Значить, швидше за все, проблеми у . Або в . Або в тому й іншому одразу. Тут я вже безсилий. Можу вкотре запропонувати лише одне – не лінуватися і прогулятися посиланнями.)

Далі буде.)

Початковий рівень

Показові рівняння. Вичерпне керівництво (2019)

Вітання! Сьогодні ми обговоримо з тобою, як вирішувати рівняння, які можуть бути як елементарними (а я сподіваюся, що після прочитання цієї статті майже всі вони і будуть для тебе такими), так і такими, які зазвичай дають на засипку. Мабуть, щоби засипати остаточно. Але я постараюся зробити все можливе, щоб тепер ти не потрапив в халепу, зіткнувшись з таким типом рівнянь. Я не буду більше ходити навкруги, а відразу відкрию маленький секрет: сьогодні ми будемо займатися показовими рівняннями.

Перш ніж переходити до розбору способів їх вирішення, я одразу змалюю перед тобою коло питань (досить невелике), яке тобі варто повторити, перш ніж кидатися на штурм цієї теми. Отже, для отримання найкращого результату, будь ласка, повтори:

1. Властивості та
2. Рішення та рівнянь

Повторив? Чудово! Тоді тобі не важко помітити, що коренем рівняння є число. Ти зрозумів, як я це зробив? Правда? Тоді продовжуємо. Тепер дай відповідь мені на запитання, чому дорівнює в третьому ступені? Ти абсолютно правий: . А вісімка – це якийсь ступінь двійки? Правильно – третя! Тому що. Ну ось, тепер давай спробуємо вирішити таке завдання: Нехай я раз множу саме на себе число і отримую в результаті. Питається, скільки разів я помножив сам на себе? Ти, звичайно, можеш перевірити це безпосередньо:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( align)

Тоді ти можеш зробити висновок, що я сам на себе множив рази. Як це ще можна перевірити? А ось як: безпосередньо за визначенням ступеня: . Але, погодься, якби я питав, скільки разів два треба помножити саме на себе, щоб отримати, скажімо, ти сказав би мені: я не морочитиму собі голову і множитиму сам на себе до посиніння. І був би абсолютно правий. Бо ти можеш записати всі дії коротко(а стислість - сестра таланту)

де - це і є ті самі «рази»коли ти множиш сам на себе.

Я думаю, що ти знаєш (а якщо не знаєш, терміново, дуже терміново повторюй ступеня!), що, тоді моє завдання запишеться у вигляді:

Звідки ти можеш зробити цілком виправданий висновок, що:

Ось так непомітно я записав найпростіше показове рівняння:

І навіть знайшов його корінь. Тобі не здається, що все зовсім очевидно? Ось і я думаю саме так само. Ось тобі ще один приклад:

Але що робити? Адже не можна записати у вигляді ступеня (розумного) числа. Давай не будемо впадати у відчай і зауважимо, що обидва ці числа чудово виражаються через ступінь одного і того ж числа. Якого? Правильно: . Тоді вихідне рівняння перетворюється на вид:

Звідки, як ти зрозумів, . Давай більше не тягтимемо і запишемо визначення:

У нашому випадку: .

Вирішуються ці рівняння зведенням їх до вигляду:

з наступним рішенням рівняння

Ми власне в попередньому прикладі це й робили: у нас вийшло, що. І ми вирішували з тобою найпростіше рівняння.

Начебто нічого складного, правда? Давай спочатку потренуємося на найпростіших приклади:

Ми знову бачимо, що праву та ліву частину рівняння потрібно подати у вигляді ступеня одного числа. Правда ліворуч це вже зроблено, а ось справа стоїть число. Але нічого страшного, адже, і моє рівняння чудовим чиномперетвориться ось на таке:

Чим мені довелося скористатися тут? Яким правилом? Правило «ступеня ступеня», Що говорить:

А що якщо:

Перш ніж відповісти на це питання, давай ми з тобою заповнимо таку табличку:

Нам не важко помітити, що чим менше, тим менше менше значення, але тим не менш, всі ці значення більше нуля. І ТАК БУДЕ ЗАВЖДИ!!! Це ж властивість справедливо ДЛЯ БУДЬ-ЯКОГО ПІДСТАВИ З БУДЬ-ЯКИМ ПОКАЗНИКОМ!! (для будь-яких та). Тоді який ми можемо зробити висновок про рівняння? А ось який: воно коріння не має! Як не має коріння і будь-яке рівняння. Тепер давай потренуємось і вирішуємо прості приклади:

Давай звірятися:

1. Тут від тебе нічого не потрібно, крім знання властивостей ступенів (які, до речі, я просив тебе повторити!) Як правило, всі призводять до найменшої основи: , . Тоді вихідне рівняння буде рівносильним наступному: Все, що мені потрібно - це скористатися властивостями ступенів: при множенні чисел з однаковими основами ступеня складаються, а при розподілі - віднімаються.Тоді я отримаю: Ну а тепер зі спокійною совістюперейду від показового рівняння до лінійного: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x = 0. \\
\end(align)

2. У другому прикладі треба бути уважнішими: біда вся в тому, що в лівій частині у нас ну ніяк не вийде уявити і у вигляді ступеня одного й того ж числа. У такому разі іноді корисно представляти числа у вигляді добутку ступенів з різними підставами, але однаковими показниками:

Ліва частина рівняння набуде вигляду: Що ж нам це дало? А ось що: Числа з різними основами, але однаковими показниками можна перемножувати.При цьому основи перемножуються, а показник не змінюється:

Щодо моєї ситуації це дасть:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\end(align)

Непогано, правда?

3. Я не люблю, коли у мене без особливої ​​потреби з одного боку рівняння стоять два доданки, а з іншого - жодного (іноді, звичайно, це виправдано, але зараз не такий випадок). Перенесу доданок з мінусом праворуч:

Тепер, як і раніше, запишу все через ступені трійки:

Складу ступеня зліва та отримаю рівносильне рівняння

Ти легко знайдеш його корінь:

4. Як і в прикладі три, складові з мінусом - місце у правій частині!

Зліва у мене майже все добре, крім чого? Так, мені заважає «неправильний ступінь» у двійки. Але я можу легко це виправити, записавши: . Еврика - зліва всі підстави різні, але всі ступені - однакові! Терміново перемножуємо!

Тут знову все ясно: (якщо ти не зрозумів, яким чарівним чиномя отримав останню рівність, відірвись на хвилину, відпочинь і прочитай властивості ступеня ще раз дуже уважно. Хто казав, що можна пропускати ступінь із негативним показником? Ну от і я про те, що ніхто). Тепер я отримаю:

\begin(align)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Ось тобі завдання для тренування, до яких я лише наведу відповіді (але у «перемішаному» вигляді). Виріш їх, звірись, і ми з тобою продовжимо наші пошуки!

Готовий? Відповідіось такі:

1. будь-яке число

Ну гаразд, гаразд, я пожартував! Ось вам нариси рішень (деякі - дуже короткі!)

Тобі не здається невипадковим, що один дріб зліва - це «перевернутий» інший? Гріх цим не скористатиметься:

Це правило дуже часто використовується при вирішенні показових рівнянь, запам'ятай його добре!

Тоді вихідне рівняння стане таким:

Вирішивши це квадратне рівняння, ти отримаєш ось таке коріння:

2. Ще один прийом рішення: розподіл обох частин рівняння на вираз, що стоїть ліворуч (або праворуч). Розділю на те, що праворуч, тоді отримаю:

Звідки (чому?!)

3. навіть не хочу повторятися, настільки все вже «розжовано».

4. рівносильно квадратному рівнянню, коріння

5. Потрібно скористатися формулою, наведеною в першому завданні, тоді отримаєш, що:

Рівняння перетворилося на тривіальну тотожність, яка вірна за будь-якого. Тоді відповідь – це будь-яке дійсне число.

Ну що ж, ось ти й потренувався вирішувати найпростіші показові рівняння.Тепер я хочу тобі навести кілька життєвих прикладівякі допоможуть тобі зрозуміти, а для чого вони потрібні в принципі. Тут я наведу два приклади. Один з них цілком повсякденний, ну а інший - радше має науковий, ніж практичний інтерес.

Приклад 1 (меркантильний)Нехай у тебе є карбованців, а тобі хочеться перетворити його на карбованців. Банк пропонує тобі взяти у тебе ці гроші під річні з щомісячною капіталізацією відсотків (щомісячним нарахуванням). Постає питання, на скільки місяців потрібно відкрити вклад, щоб набрати потрібну кінцеву суму? Цілком приземлене завдання, чи не так? Проте її рішення пов'язане із побудовою відповідного показового рівняння: Нехай – початкова сума, – кінцева сума, – процентна ставка за період, – кількість періодів. Тоді:

У нашому випадку (якщо ставка річних, то за місяць нараховують). А чому ділиться на? Якщо не знаєш відповіді на це запитання, згадуй тему «»! Тоді ми отримаємо таке рівняння:

Дане показове рівняння вже можна вирішити лише за допомогою калькулятора (його зовнішній вигляд на це натякає, причому для цього потрібне знання логарифмів, з якими ми познайомимося трохи пізніше), що я й зроблю: … Таким чином, для отримання млн. нам потрібно зробити внесок на місяць (не дуже швидко, чи не так?).

Приклад 2 (скоріше науковий).Незважаючи на його, деяку «відірваність», рекомендую тобі звернути на нього увагу: він регулярно «прослизає в ЄДІ!! (Завдання взято з «реального» варіанта) У ході розпаду радіоактивного ізотопуйого маса зменшується за законом, де (мг) - початкова маса ізотопу, (мін.) - Час, що минув від початкового моменту, (мін.) - Період напіврозпаду. У початковий моментчасу маса ізотопу мг. Період його напіврозпаду мін. Через скільки хвилин маса ізотопу дорівнюватиме мг? Нічого страшного: просто беремо і підставляємо всі дані у запропоновану нам формулу:

Розділимо обидві частини на, «в надії», що зліва ми отримаємо що-небудь зручне:

Ну що ж, нам дуже пощастило! Ліворуч стоїть, тоді перейдемо до рівносильного рівняння:

Звідки хв.

Як бачиш, показові рівняння мають цілком реальний додаток на практиці. Тепер я хочу розібрати з тобою ще один (нехитрий) спосіб розв'язання показових рівнянь, який ґрунтується на винесенні загального множника за дужки з наступним угрупованням доданків. Не лякайся моїх слів, ти вже стикався з цим методом у 7 класі, коли вивчав багаточлени. Наприклад, якщо тобі потрібно було розкласти на множники вираз:

Давай згрупуємо: перший і третій доданок, а також другий і четвертий. Зрозуміло, що перше і третє - це різниця квадратів:

а друге та четверте мають загальний множниктрійку:

Тоді вихідний вираз рівносильний такому:

Звідки винести загальний множник вже не важко:

Отже,

Ось приблизно таким чином ми й чинитимемо при вирішенні показових рівнянь: шукати «спільність» серед доданків і виносити її за дужки, ну а потім - будь що буде, я вірю, що нам везти =)) Наприклад:

Праворуч стоїть далеко не ступінь сімки (я перевіряв!) Та й ліворуч – трохи краще, можна, звичайно, «відтяпати» від першого доданку множник а від другого, а потім уже розбиратися з отриманим, але давай з тобою вчинимо розумніше. Я не хочу мати справу з дробами, які неминуче утворюються при «виділенні», то чи не краще мені винести? Тоді дробів у мене не буде: як то кажуть, і вовки ситі, і вівці цілі:

Порахуй вираз у дужках. Чарівним, магічним чином виходить, що (дивно, хоч чого нам ще чекати?).

Тоді скоротимо обидві частини рівняння цей множник. Отримаємо: , звідки.

Ось приклад складніший (зовсім небагато, щоправда):

Ось біда! У нас тут немає однієї спільної підстави! Не зовсім ясно, що тепер робити. А давай зробимо, що зможемо: по-перше, перенесемо «четвірки» в один бік, а «п'ятірки» в інший:

Тепер давай винесемо «загальне» ліворуч і праворуч:

Ну і що тепер? У чому вигода від такого безглуздого угруповання? На перший погляд вона зовсім не видно, проте давай глянемо глибше:

Ну а тепер зробимо так, щоб ліворуч у нас був тільки вираз с, а праворуч – все інше. Як це зробити? А ось як: Розділити обидві частини рівняння спочатку на (так ми позбудемося ступеня праворуч), а потім розділимо обидві частини на (так ми позбудемося числового множника зліва). Остаточно отримаємо:

Неймовірно! Зліва у нас стоїть вираз, а праворуч – просто. Тоді відразу робимо висновок, що

Ось тобі ще один приклад на закріплення:

Я приведу його коротке рішення(не особливо обтяжуючи себе поясненнями), постарайся сам розібратися в усіх тонкощах рішення.

Тепер підсумкове закріплення пройденого матеріалу. Постарайся самостійно вирішити такі завдання. Я лише наведу короткі рекомендації та поради до їх вирішення:

1. Винесемо загальний множник за дужки:
2. Перше вираз представимо у вигляді: , Розділимо обидві частини на і отримаємо, що
3. , Тоді вихідне рівняння перетворюється на вигляд: Ну а тепер підказка - шукай, де ми з тобою вже вирішували це рівняння!
4. Уяви як, як, а, ну а потім поділи обидві частини на, так ти отримаєш найпростіше показове рівняння.
5. Винеси за дужки.
6. Винеси за дужки.

ПОКАЗНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Я припускаю, що після ознайомлення з першою статтею, в якій розповідалося що таке показові рівняння та як їх вирішувати, ти опанував необхідним мінімумомзнань, необхідні вирішення найпростіших прикладів.

Тепер я розберу ще один метод розв'язання показових рівнянь, це

метод введення нової змінної (або заміни).Їм вирішується більшість «важких» завдань, на тему показові рівняння (і не лише рівняння). Цей метод - одне із найчастіше вживаних практично. Спочатку рекомендую ознайомитися з темою.

Як ти вже зрозумів з назви, суть цього методу – запровадити таку заміну змінної, що твоє показове рівняння чудовим чином перетвориться на таке, яке ти вже легко можеш вирішити. Все що тобі залишиться після вирішення цього «спрощеного рівняння» - це зробити «зворотну заміну»: тобто повернутися від заміненого до замінного. Давай проілюструємо щойно сказане дуже простому прикладі:

Приклад 1:

Це рівняння вирішується за допомогою «простої заміни», як її зневажливо називають математикою. Справді, заміна тут – найочевидніша. Варто лише побачити, що

Тоді вихідне рівняння перетвориться на таке:

Якщо ж додатково уявити як, то цілком ясно, що треба замінювати: звичайно ж, . На що тоді перетвориться вихідне рівняння? А ось у що:

Ти без проблем самостійно знайдеш його коріння: . Що нам робити тепер? Настав час повертатися до вихідної змінної. А що я забув вказати? Саме: при заміні деякою мірою на нову змінну (тобто при заміні виду) мене цікавитимуть тільки позитивне коріння! Ти й сам легко відповиш, чому. Таким чином, нас з тобою не цікавить, а ось друге коріння нам цілком підходить:

Тоді звідки.

Відповідь:

Як бачиш, у попередньому прикладі заміна так і просилася до нас у руки. На жаль, так буває далеко не завжди. Однак, давай не переходитимемо відразу до сумного, а потренуємося ще на одному прикладі з досить простою заміною

приклад 2.

Ясно, що швидше за все замінювати доведеться (це найменша зі ступенів, що входить до нашого рівняння), проте перш ніж вводити заміну, наше рівняння потрібно до неї «підготувати», а саме: , . Тоді можна замінювати, в результаті я отримаю наступний вираз:

О жах: кубічне рівнянняз абсолютно моторошними формулами його рішення (якщо говорити в загальному вигляді). Але давай не будемо відразу зневірятися, а подумаємо, що нам робити. Я запропоную шахрайство: ми знаємо, що для отримання «красивої» відповіді, нам потрібно отримати у вигляді певної міри трійки (з чого б це, а?). А давай спробуємо вгадати хоча б один корінь нашого рівняння (я почну гадати зі ступенів трійки).

Перше припущення. Не є коренем. На жаль і ах...

.
Ліва частина дорівнює.
Права частина: !
Є! Вгадали перший корінь. Тепер справа піде легше!

Ти знаєш про схему поділу «куточком»? Звичайно, знаєш, ти застосовуєш її, коли ділиш одне число на інше. Але мало хто знає, що те саме можна робити і з багаточленами. Є одна чудова теорема:

Стосовно моєї ситуації це говорить мені про те, що ділиться без залишку на. Як же здійснюється поділ? А ось як:

Я дивлюся, на який одночлен я повинен примножити, щоб отримати Ясно, що на, тоді:

Віднімаю отриманий вираз, отримаю:

Тепер на що мені потрібно примножити, щоб отримати? Ясно, що на, тоді отримаю:

і знову відніму отриманий вираз із того, що залишилося:

Ну і останній крок, домножу на, і відніму з виразу, що залишився:

Ура, розподіл закінчено! Що ми накопичили у приватному? Само собою: .

Тоді отримали таке розкладання вихідного многочлена:

Розв'яжемо друге рівняння:

Воно має коріння:

Тоді вихідне рівняння:

має три корені:

Останній корінь ми, звичайно, відкинемо, оскільки він менший за нуль. А перші два після зворотної заміни дадуть нам два корені:

Відповідь: ..

Цим прикладом я зовсім не хотів налякати тебе, скоріше я ставив собі за мету показати, що хоч у нас була досить проста заміна, проте вона призвела до досить складному рівнянню, Рішення якого зажадало від нас деяких особливих навичок. Що ж, від цього ніхто не застрахований. Зате заміна в даному випадкубула досить очевидною.

Ось приклад із дещо менш очевидною заміною:

Цілком не зрозуміло, що нам робити: проблема в тому, що в нашому рівнянні дві різні підстави і одна підстава не виходить з іншого зведенням у будь-який (розумний, природно) ступінь. Однак що ми бачимо? Обидва підстави - відрізняються лише знаком, які твір - є різниця квадратів, рівна одиниці:

Визначення:

Таким чином, числа, що є підставами в нашому прикладі, - пов'язані.

У такому разі розумним кроком буде домножити обидві частини рівняння на сполучене число.

Наприклад, тоді ліва частина рівняння стане рівна, а права. Якщо зробити заміну, то наше з тобою вихідне рівняння стане таким:

його коріння, тоді, а пам'ятаючи, що отримаємо, що.

Відповідь: , .

Як правило, методу заміни виявляється достатньо для вирішення більшості «шкільних» показових рівнянь. Наступні завдання взяті з ЄДІ С1 ( підвищений рівеньскладності). Ти вже досить грамотний для того, щоб самостійно вирішувати ці приклади. Я лише наведу необхідну заміну.

1. Розв'яжіть рівняння:
2. Знайдіть коріння рівняння:
3. Розв'яжіть рівняння: . Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку:

А тепер короткі пояснення та відповіді:

1. Тут нам достатньо помітити, що в. Тоді вихідне рівняння буде еквівалентне ось такому: Це рівняннявирішується заміною Подальші викладки пророби самостійно. Наприкінці твоє завдання зведеться до вирішення найпростіших тригонометричних (залежних від синуса чи косинуса). Рішення подібних прикладівми розберемо інших розділах.
2. Тут навіть можна обійтися без заміни: достатньо перенести віднімається вправо і уявити обидва підстави через ступені двійки: , а потім відразу перейти до квадратного рівняння.
3. Третє рівняння теж вирішується досить стандартно: уявімо як. Тоді замінивши отримаємо квадратне рівняння: тоді,

   Адже ти вже знаєш, що таке логарифм? Ні? Тоді терміново читай тему!

   Перший корінь, очевидно, не належить відрізку, а другий - незрозуміло! Але ми це дуже скоро дізнаємось! Так, то (це властивість логарифму!) Порівняємо:

   Віднімемо з обох частин, тоді отримаємо:

   Ліву частинуможна уявити у вигляді:

   домножимо обидві частини на:

   можна примножити на, тоді

   Тоді порівняємо:

   оскільки, то:

   Тоді друге коріння належить шуканому проміжку

   Відповідь:

Як бачиш, відбір коренів показових рівнянь потребує достатньо глибокого знаннявластивостей логарифмівтак що я раджу тобі бути якомога уважніше, коли вирішуєш показові рівняння. Як ти розумієш, у математиці все взаємопов'язане! Як казала моя вчителька з математики: «математику, як історію, за ніч не прочитаєш».

Як правило, всю складність під час вирішення завдань С1 становить саме відбір коренів рівняння.Давай потренуємося ще на одному прикладі:

Зрозуміло, що саме рівняння вирішується досить легко. Зробивши заміну ми зведемо наше вихідне рівняння до наступного:

Спочатку давай розглянемо перший корінь. Порівняємо і: оскільки, то. (властивість логарифмічної функції, за). Тоді ясно, що перший корінь не належить нашому проміжку. Тепер другий корінь: . Зрозуміло, що (оскільки функція при - зростаюча). Залишилося порівняти в.

тому що, то, в той же час. Таким чином, я можу «вбити кілочок» між і. Цим кілочком є ​​число. Перше вираз менше, а друге – більше. Тоді другий вираз більше першогоі корінь належить проміжку.

Відповідь: .

На завершення давай розглянемо ще один приклад рівняння, де заміна досить нестандартна:

Давай одразу почнемо з того, що робити можна, а що – в принципі можна, але краще не робити. Можна - уявити все через ступені трійки, двійки та шістки. До чого це призведе? Та ні до чого і не приведе: мішанина ступенів, причому деяких буде досить складно позбутися. А що ж тоді потрібне? І що нам це дасть? А те, що ми можемо звести рішення даного прикладудо вирішення досить простого показового рівняння! Спочатку давай перепишемо наше рівняння у вигляді:

Тепер розділимо обидві частини рівняння на:

Евріка! Тепер можна замінювати, отримаємо:

Ну що, тепер твоя черга вирішувати завдання на показові, а я приведу до них лише короткі коментаріщоб ти не збився з правильного шляху! Успіхів!

1. Найважча! Заміну тут побачити ох як негелко! Проте цей приклад цілком вирішуємо за допомогою виділення повного квадрата . Для його вирішення достатньо зауважити, що:

Тоді ось тобі і заміна:

(Зверніть увагу, що тут при нашій заміні ми не можемо відкидати негативний корінь!!! А чому, як ти гадаєш?)

Тепер для вирішення прикладу тобі залишилося вирішити два рівняння:

Обидва вони вирішуються "стандартною заміною" (натомість другий в одному прикладі!)

2. Зауваж, що й зроби заміну.

3. Розклади число на взаємно-прості співмножники і спрости отриманий вираз.

4. Поділи чисельник і знаменник дробу на (або, якщо тобі так більше до душі) і зроби заміну або.

5. Зауваж, що числа і - сполучені.

ПОКАЗНІ РІВНЯННЯ. ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

На додаток давай розглянемо ще один спосіб - розв'язання показових рівнянь методом логарифмування. Не можу сказати, що вирішення показових рівнянь цим методом дуже популярне, проте в деяких випадках тільки він здатний привести нас до правильному рішеннюнашого рівняння. Особливо часто він використовується для вирішення так званих « змішаних рівнянь»: тобто таких, де трапляються функції різного виду.

Наприклад, рівняння виду:

в загальному випадкуможна вирішити лише логарифмуванням обох частин (наприклад на підставі), при якому вихідне рівняння перетвориться на наступне:

Давай розглянемо наступний приклад:

Ясно, що за ОДЗ логарифмічноїфункції, нас цікавлять лише. Проте, це випливає не лише з ОДЗ логарифму, а ще з однієї причини. Я думаю, що тобі не буде важко вгадати, за якою саме.

Давай прологарифмуємо обидві частини нашого рівняння на підставі:

Як бачиш, логарифмування нашого вихідного рівняння досить швидко призвело до правильної (і красивої!) відповіді. Давай потренуємося ще на одному прикладі:

Тут теж немає нічого страшного: прологарифмуємо обидві сторони рівняння на підставі, тоді отримаємо:

Зробимо заміну:

Однак, ми дещо пропустили! Ти помітив, де я промахнувся? Адже тоді:

що не задовольняє вимогу (подумай, звідки вона взялася!)

Відповідь:

Спробуй самостійно записати рішення показових рівнянь наведених нижче:

А тепер звір своє рішення з цим:

1. Логарифмуємо обидві частини на підставі, враховуючи, що:

(другий корінь нам не підходить через заміну)

2. Логарифмуємо на підставі:

Перетворимо отриманий вираз до такого виду:

ПОКАЗНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКИЙ ОПИС І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Показове рівняння

Рівняння виду:

називається найпростішим показовим рівнянням.

Властивості ступенів

Підходи до вирішення

• Приведення до однаковій підставі
• Приведення до однакового показникаступеня
• Заміна змінної
• Спрощення виразу та застосування одного з вищеназваних.

білгородський державний університет

КАФЕДРА алгебри, теорії чисел та геометрії

Тема роботи: Показово-ступеневі рівняння та нерівності.

Дипломна роботастудента фізико-математичного факультету

Науковий керівник:

______________________________

Рецензент: _______________________________

________________________

Білгород. 2006 р.

Вступ.

«…радість бачити та розуміти…»

А. Ейнштейн.

У цій роботі я спробувала передати свій досвід роботи вчителем математики, передати хоч якоюсь мірою своє ставлення до її викладання - людської справи, в якій дивним чином переплітаються і математична наука, І педагогіка, і дидактика, і психологія, і навіть філософія

Мені довелося працювати з малюками та випускниками, з дітьми, що стоять на полюсах інтелектуального розвитку: тими, хто перебував на обліку у психіатра та хто справді цікавився математикою

Мені довелося вирішувати безліч методичних завдань. Я спробую розповісти про тих, які мені вдалося вирішити. Але ще більше - не вдалося, та й у тих, що начебто вирішені, постають нові питання.

Але ще важливіше самого досвіду - вчительські роздуми та сумніви: а чому він саме такий, цей досвід?

І літо нині на дворі інше, і розворот освіти став цікавішим. «Під юпітерами» нині не пошуки міфічної оптимальної системинавчання «всіх і всьому», а сама дитина. Але тоді – з необхідністю – і вчитель.

У шкільному курсі алгебри та почав аналізу, 10 – 11 клас, при здачі ЄДІза курс середньої школиі на вступних іспитах до ВНЗ зустрічаються рівняння та нерівності, що містить невідоме на підставі та показники ступеня – це показово-статечні рівняння та нерівності.

У школі їм мало приділяється уваги, у підручниках практично немає завдань на цю тему. Однак, оволодіння методикою їх вирішення, мені здається, дуже корисним: воно підвищує розумові та творчі здібності учнів, перед нами відкриваються нові горизонти. При вирішенні завдань учні набувають перших навичок дослідницької роботи, збагачується їх математична культура, розвиваються здібності до логічного мислення. У школярів формуються такі якості особистості як цілеспрямованість, цілепокладання, самостійність, які будуть корисні їм у подальшого життя. А також відбувається повторення, розширення та глибоке засвоєння навчального матеріалу.

Працювати над цією темою дипломного дослідженняя почала ще з написання курсової. У ході, якою я глибше вивчила та проаналізувала математичну літературуз цієї теми, виявила найбільш відповідний методрозв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

Він полягає в тому, що крім загальноприйнятого підходу при вирішенні показово-ступеневих рівнянь (підстава береться більше 0) і при вирішенні тих же нерівностей (підстава береться більше 1 або більше 0, але менше 1), розглядаються ще й випадки, коли основи негативні, рівні 0 та 1.

Аналіз письмових екзаменаційних робітучнів показує, що неосвітленість питання про негативне значенняаргументу показово-ступеневої функції в шкільних підручниках, Викликає у них ряд труднощів і веде до появи помилок. А також у них виникають проблеми на етапі систематизації отриманих результатів, де в силу переходу до рівняння – слідства або нерівності – слідства, з'явиться стороннє коріння. З метою усунення помилок ми використовуємо перевірку за вихідним рівнянням або нерівністю та алгоритм розв'язання показово-ступеневих рівнянь, або план розв'язання показово-ступеневих нерівностей.

Щоб учні змогли успішно здати випускні та вступні екзамени, я вважаю, необхідно приділяти більше уваги рішенню показово-ступеневих рівнянь та нерівностей на навчальних заняттях, або додатково на факультативах та гуртках.

Таким чином тема , моєї дипломної роботи визначено наступним чином: «Показово-ступеневі рівняння та нерівності».

Цілями справжньої роботиє:

1. Проаналізувати літературу на цю тему.

2. Дати повний аналізрозв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

3. Навести достатню кількість прикладів з цієї теми різноманітних типів.

4. Перевірити на урочних, факультативних і гурткових заняттях як сприйматиметься запропоновані прийоми розв'язання показово-ступеневих рівнянь і нерівностей. Дати відповідні рекомендації щодо вивчення цієї теми.

Предметом нашого дослідження є розробка методики розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

Мета та предмет дослідження зажадали вирішення наступних завдань:

1. Вивчити літературу на тему: «Показово-ступеневі рівняння та нерівності».

2. Опанувати методики розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

3. Підібрати навчальний матеріал та розробити систему вправ різних рівнівна тему: «Рішення показово-ступеневих рівнянь і нерівностей».

У ході дипломного дослідження було проаналізовано понад 20 робіт, присвячених застосуванню різних методіврозв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей. Звідси одержуємо.

План дипломної роботи:

Вступ.

Глава I. Аналіз літератури на тему дослідження.

Розділ II. Функції та їх властивості, що використовуються при вирішенні показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

ІІ.1. Ступінна функція та її властивості.

ІІ.2. Показова функція та її властивості.

Розділ III. Розв'язання показово-ступеневих рівнянь, алгоритм та приклади.

Розділ IV. Вирішення показово-ступеневих нерівностей, план розв'язання та приклади.

Глава V. Досвід проведення занять зі школярами на цю тему.

1.Навчальний матеріал.

2.Завдання для самостійного рішення.

Висновок. Висновки та пропозиції.

Список використаної литературы.

У І главі проаналізовано літературу